Числовая последовательность
- Формулы числовых последовательностей
- Задание последовательностей описанием
- Рекуррентные формулы числовых последовательностей
- Свойства числовых последовательностей
- Примеры
п.1. Формулы числовых последовательностей
Запишем несколько первых чётных чисел и пронумеруем их:
2n
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Этот ряд бесконечен, но, глядя на таблицу, его легко задать формулой: begin{gather*} mathrm{y_n = 2n, n in mathbb{N}} end{gather*}
Теперь, пользуясь формулой, для любого порядкового номера n мы сможем найти соответствующее чётное число.
Функцию натурального аргумента (mathrm{y_n=f(n), ninmathbb{N}}) называют числовой последовательностью.
Значения y1, y2, …, yn,… называют членами последовательности.
В символе yn число n называют индексом последовательности.
Для обозначения членов последовательности и их индексов можно использовать разные буквы: x1, x2, …, xm,…; a1, a2, …, ak,…; A1, A2, …, As,… и т.д.
Числовую последовательность как частный случай функции можно задавать аналитически (формулой), описанием (словесно), рекуррентно, графически и т.д.
Первые три способа используются чаще других.
Например:
Найти 1й, 3й и 4й члены последовательности, заданной формулой (mathrm{y_n=frac{n-1}{n+1}}) $$ mathrm{ y_1=frac{1-1}{1+1}=0, y_3=frac{3-1}{3+1}=frac12, y_4=frac{4-1}{4+1}=frac35 } $$
п.2. Задание последовательностей описанием
Последовательность, заданную формулой yn=2n, можно задать описанием как «последовательность чётных чисел».
Последовательность, заданную формулой (mathrm{y_n=frac{n-1}{n+1}}), можно задать описанием как «последовательность дробей, числитель которых на 1 меньше индекса, а знаменатель на 1 больше индекса последовательности».
Кроме того, существуют такие последовательности, которые можно задать только описанием.
Например:
1. Последовательность простых чисел:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
2. Последовательность десятичных приближений числа (mathrm{sqrt{3}}) по недостатку:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,7302050; 1,73020508,…
п.3. Рекуррентные формулы числовых последовательностей
Важнейшим классом числовых последовательностей, которые широко используются в алгоритмах вычислительной математики, являются рекуррентные отношения (от латинского слова recurrere – возвращаться).
Рекуррентной формулой называют правило, по которому можно найти n-й член последовательности, если известны значения её предыдущих членов.
Например:
Найти y5, если y1 = 1, yn = 2yn-1 + 1
Проводим последовательные вычисления:
y2 = 2y1 + 1 = 3, y3 = 2y2 + 1 = 7, y4 = 2y3 + 1 = 15, y5 = 2y4 + 1 = 31
Интересно, что, если присмотреться, эту последовательность можно также задать аналитически: yn = 2n – 1.
п.4. Свойства числовых последовательностей
Числовую последовательность называют возрастающей, если каждый её член, начиная со второго, больше предыдущего:
y1 < y2 < y3 < … < yn < …
Например:
Последовательность квадратов натуральных чисел yn = n2 возрастающая:
1 < 4 < 9 < … < n2 < …
Числовую последовательность называют убывающей, если каждый её член, начиная со второго, меньше предыдущего:
y1 > y2 > y3 > … > yn > …
Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе (mathrm{y_n=frac1n}) – убывающая: $$ 1gtfrac12gtfrac13gt…gtfrac1ngt… $$
Числовую последовательность называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что для любого члена последовательности выполняется неравенство
yn ≤ M
Например:
Последовательность отрицательных дробей с индексом в знаменателе (mathrm{y_n=-frac1n}) ограничена сверху числом M = 0: $$ -1lt 0, -frac12lt 0, -frac13lt 0,.., -frac1nlt 0, … $$
Числовую последовательность называют ограниченной снизу, если существует такое число M, что для любого члена последовательности выполняется неравенство
yn ≥ M
Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе (mathrm{y_n=frac1n}) ограничена снизу числом M = 0: $$ -1gt 0, frac12gt 0, frac13gt 0,.., frac1ngt 0, … $$
Числовую последовательность называют ограниченной, если она ограничена сверху и снизу, т.е. существуют такие числа M и K, что для любого члена последовательности выполняется неравенство
M ≤ yn ≤ K или M ≥ yn ≥ K
Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе (mathrm{y_n=frac1n}) ограничена: $$ 1gt frac12gt frac13gt … gt frac1ngt … gt 0 $$ Верхней границей является M = 1, нижней границей K = 0.
Числовую последовательность называют стационарной, если для любого члена последовательности выполняется равенство
yn = C
где C – некоторое число.
Например:
Последовательность (mathrm{y_1=1, y_n=y^2_{n-1} – 4y_{n-1}+4}) стационарна, т.к. begin{gather*} mathrm{ y_2=1-4+4=1, y_3=1-4+4=1,…}\ mathrm{ y_n=1, forall nin mathbb{N}} end{gather*}
п.5. Примеры
Пример 1. Найдите первые 4 члена последовательности, заданной формулой
a) (mathrm{y_n=frac{n^2+1}{2n-1}})
yn
$$ mathrm{ frac{1^2+1}{2-1}=2 } $$
$$ mathrm{ frac{2^2+1}{4-1}=frac53=1frac23 } $$
$$ mathrm{ frac{3^2+1}{6-1}=2 } $$
$$ mathrm{ frac{4^2+1}{8-1}=frac{17}{7}=2frac37 } $$
б) (mathrm{y_n=frac{2^n}{n^2}})
yn
$$ mathrm{ frac{2^1}{1^2}=2 } $$
$$ mathrm{ frac{2^2}{2^2}=1 } $$
$$ mathrm{ frac{2^3}{3^2}=frac89 } $$
$$ mathrm{ frac{2^4}{4^2}=1 } $$
Пример 2. Найдите первые 4 члена последовательности, заданной рекуррентной формулой
a) y1 = 3, yn = 3yn – 1
yn
3
3 · 3 – 1 = 8
3 · 8 – 1 = 23
3 · 23 – 1 = 68
б) y1 = 1, y2 = 2, yn = 2yn-1 + yn-2
yn
1
2
2 · 2 + 1 = 5
2 · 5 + 2 = 12
Пример 3*. Укажите какую-либо формулу для n-го члена числовой последовательности
а) 3, 5, 7, 9, …
Это – последовательность нечётных чисел, для которой:
yn = 2n + 1
б) 5, -5, 5, -5,…
Это – знакопеременная последовательность, для которой модуль всегда равен 5, а знак меняется. Изменение знака можно записать как степень (–1). Учитывая, что нечётные члены последовательности положительные, а чётные – отрицательные, получаем:
yn = (–1)n+1 · 5
в) (mathrm{frac{1}{1cdot 2}, frac{1}{2cdot 3}, frac{1}{3cdot 4},…})
Это – последовательность дробей, у которых в знаменателе произведение текущего индекса n на следующий индекс (n + 1):
(mathrm{y_n=frac{1}{n(n+1)}})
г) 2, 5, 10, 17, 26, 37, …
Заметим, что
5 – 2 = 3, 10 – 5 = 5, 17 – 10 = 7, 26 – 17 = 9, …
Каждый последующий член отличается от предыдущего на возрастающее нечётное число. Можем записать рекуррентную формулу:
y1 = 2, yn = yn-1 + (2n –1)
Пример 4*. Пифагор изучал последовательность «треугольных» чисел, которые можно задать следующими геометрическими фигурами:
и т.д.
Задайте эту последовательность 1) рекуррентной формулой; 2) аналитической формулой.
1) Запишем последовательность в явном виде, как это следует из чертежа: $$ mathrm{ y_1=1, y_2=underbrace{1}_{y_1}+2=3, y_3=underbrace{1+2}_{y_2}+3=6, y_4=underbrace{1+2+3}_{y_3}+4=10 } $$ Отсюда получаем следующую рекуррентную формулу: y1 = 1, yn = yn-1 + n
2) Для произвольного члена последовательности:
yn = 1 + 2 + 3 + … + (n – 2) + (n – 1) + n
Найдём эту сумму. Для этого запишем выражение наоборот:
yn = n + (n – 1) + (n – 2) + … + 3 + 2 + 1
И найдём сумму: begin{gather*} mathrm{ y_n+y_n=2y_n=(1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n)+ }\ mathrm{ +(n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1)= }\ mathrm{ =(1+n)+underbrace{(2+n-1)}_{=n+1}+ underbrace{3+n-2}_{=n+1}+…+underbrace{n-2+3}_{=n+1}+underbrace{n-1+2}_{=n+1}+(n+1)= }\ mathrm{ =n(n+1) } end{gather*} Получаем: (mathrm{2y_n=n(n+1)Rightarrow y_n=frac{n(n+1)}{2}}) – искомая аналитическая формула.
Ответ: 1) y1 = 1, yn = yn-1 + 2; 2) (mathrm{y_n=frac{n(n+1)}{2}})
Содержание:
- Основные понятия и определения
- Задание последовательности формулой ее общего члена
- Рекуррентный способ задания последовательности
Основные понятия и определения
Определение
Последовательностью называется функция, которая переводит множество
натуральных
чисел $N$ в некоторое множество
$X$ :
$left{x_{n}right}=left{x_{n}right}_{n=1}^{infty}=left{x_{1} ; x_{2} ; ldots ; x_{n} ; ldotsright}, x_{i} in N$
Элемент $x_{1}$ называется первым членом
последовательности, $x_{2}$ – вторым, … ,
$x_{n}$ –
$n$-ым или общим членом последовательности.
Пример
Задание. Для последовательности $x_{n}={-1 ; 2 ; 5 ; 8 ;-3 ; 0 ; ldots}$
определить, чему равен третий член $x_{3}$
Решение. Третьим элементом последовательности будет элемент, идущий третьим по счету, то есть для
заданной последовательности имеем, что $x_{3}=5$
Ответ. $x_{3}=5$
Задание последовательности формулой ее общего члена
Обычно последовательность целесообразнее задавать формулой ее общего члена, которая позволяет найти любой член
последовательности, зная его номер.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти формулу общего члена последовательности
$x_{n}={6 ; 20 ; 56 ; 144 ; 352 ; ldots}$
Решение. Запишем каждый член последовательности в следующем виде:
$n=1 : x_{1}=6=2 cdot 3=2^{1} cdot 3=2^{1} cdot(2 cdot 1+1)$
$n=2 : x_{2}=20=4 cdot 5=2^{2} cdot 5=2^{2} cdot(2 cdot 2+1)$
$n=3 : x_{3}=56=8 cdot 7=2^{3} cdot 7=2^{3} cdot(2 cdot 3+1)$
Как видим, члены последовательности представляют собой произведение степени двойки, умноженной на
последовательные нечетные числа, причем два возводится в степень, которая равна номеру рассматриваемого элемента.
Таким образом, делаем вывод, что
$x_{n}=2^{n} cdot(2 n+1)$
Ответ. Формула общего члена: $x_{n}=2^{n} cdot(2 n+1)$
Пример
Задание. Найти 15 член последовательности, заданной формулой
$n$-го члена:
$x_{n}=frac{(-1)^{n}}{n}, n in N$
Решение. Для того чтобы найти $x_{15}$ ,
подставим в формулу общего члена значение $n=15$ . Получим:
$x_{15}=frac{(-1)^{15}}{15}=-frac{1}{15}$
Ответ. $x_{15}=frac{(-1)^{15}}{15}=-frac{1}{15}$
Пример
Задание. Проверить, являются ли числа
$a=6$ и
$b=1$ членами последовательности
$left{x_{n}right}=left{frac{n^{2}+11}{n+1}right}$
Решение. Число $a=6$ является
членом последовательности $left{x_{n}right}, n in N$ , если существует
такой номер $n_{0} in N$ , что
$x_{n_{0}}=a=6$ :
$6=x_{n o}=frac{n_{0}^{2}+11}{n_{0}+1} Rightarrow frac{n_{0}^{2}+11}{n_{0}+1}=6 Rightarrow$
$Rightarrow n_{0}^{2}-6 n_{0}+5=0 Rightarrow=left{begin{array}{l}{n_{0}=1} \ {n_{0}=5}end{array}right.$
Таким образом, число $a=6$ является первым и
пятым членами заданной последовательности.
Проверим теперь, является ли число $b=1$ членом указанной
последовательности $left{x_{n}right}=left{frac{n^{2}+11}{n+1}right}$ . Рассуждая аналогично,
как и для $a=6$ , получаем:
$frac{n_{0}^{2}+11}{n_{0}+1}=1 Rightarrow n_{0}^{2}-n_{0}+10=0 Rightarrow D=1-40=-39 lt 0$
Таким образом, уравнение $n_{0}^{2}-n_{0}+10=0$ не имеет
решение в натуральных числах, а значит, $b=1$ не
является членом последовательности $left{x_{n}right}$
Ответ. Число $a=6$ является
первым и пятым членами заданной последовательности, а
$b=1$ не является членом последовательности
$left{x_{n}right}=left{frac{n^{2}+11}{n+1}right}$
Рекуррентный способ задания последовательности
Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью рекуррентного соотношения.
В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому
правилу. Например, известен первый член $x_{1}$
последовательности и известно, что $x_{n+1}=fleft(x_{n}right)$ , то
есть $x_{2}=fleft(x_{1}right), x_{3}=fleft(x_{2}right)$ и так далее до нужного члена.
Пример
Примером рекуррентно заданной последовательности является последовательность чисел
Фибоначчи – 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … , в которой каждое последующее число, начиная с третьего, является суммой
двух предыдущих: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 и так далее. Данную последовательность можно задать рекуррентно:
$x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}, n in N, x_{1}=x_{2}=1$
Пример
Задание. Последовательность $left{x_{n}right}$
задана при помощи рекуррентного соотношения $x_{n+2}=frac{1}{2}left(x_{n+1}+x_{n}right), x_{1}=2, x_{2}=4$ .
Выписать несколько первых членов этой последовательности.
Решение. Найдем третий член заданной последовательности:
$x_{3}=frac{1}{2}left(x_{2}+x_{1}right)=frac{4+2}{2}=frac{6}{2}=3$
Аналогично находим далее, что
$x_{4}=frac{1}{2}left(x_{3}+x_{2}right)=frac{3+4}{2}=frac{7}{2}=3,5$
$x_{5}=frac{1}{2}left(x_{4}+x_{3}right)=frac{3+3,5}{2}=frac{6,5}{2}=3,25$
и так далее.
При рекуррентном задании последовательностей, получаются очень громоздкими выкладки, так как, чтобы найти элементы с
большими номерами, необходимо найти все предыдущие члены указанной последовательности, например, для
нахождения $x_{500}$ надо найти все предыдущие 499 членов.
Читать дальше: ограниченные последовательности.
$begingroup$
How do I find an explicit formula for:
$T(0)=1, T(n+1)=T(n)*2+4$ ? Or anything of a similar form?
Is there a general way to find explicit formulas for all sequences that aren’t arithmetic or geometric?
asked May 15, 2015 at 18:09
$endgroup$
1
$begingroup$
Let $u(n)=T(n)+4$. Then we have
$$
u(0)=T(0)+1=5,
$$
$$
u(n+1)=T(n+1)+4=2T(n)+8=2(T(n)+4)=2u(n)=2^{n+1}u(0)=5*2^{n+1}.
$$
Hence
$$
T(n)=5*2^{n}-4.
$$
P.S. Please see http://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation for your last question.
answered May 15, 2015 at 18:15
BlindBlind
1,0545 silver badges23 bronze badges
$endgroup$
You must log in to answer this question.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
Что такое последовательность?
Последовательность – это функция, домен которой представляет собой упорядоченный список чисел. Эти числа представляют собой положительные целые числа, начинающиеся с 1. Иногда люди по ошибке используют термины «серия» и «последовательность». Последовательность – это набор положительных целых чисел, а серия – это сумма этих положительных целых чисел. Обозначение терминов в последовательности:
1, A 2, A 3, A 4, A н,…
Найти n-й член последовательности легко с помощью общего уравнения. Но делать наоборот – борьба. Поиск общего уравнения для заданной последовательности требует много размышлений и практики, но изучение конкретного правила поможет вам найти общее уравнение. В этой статье вы узнаете, как вызвать закономерности последовательностей и написать общий термин, когда даны первые несколько терминов. Существует пошаговое руководство, которое поможет вам понять процесс и дать вам четкие и правильные вычисления.
Общий термин арифметических и геометрических рядов
Джон Рэй Куэвас
Что такое арифметическая последовательность?
Арифметический ряд – это последовательность упорядоченных чисел с постоянной разницей. В арифметической последовательности вы заметите, что каждая пара следующих друг за другом членов отличается на одинаковую величину. Например, вот первые пять членов серии.
3, 8, 13, 18, 23
Вы замечаете особый узор? Очевидно, что каждое число после первого на пять больше, чем предыдущее. То есть общая разница в последовательности – пять. Обычно формула для n-го члена арифметической последовательности, первый член которой равен 1, а общая разность – d, отображается ниже.
а п = а 1 + (п – 1) г
Этапы нахождения общей формулы арифметических и геометрических последовательностей
1. Создайте таблицу с заголовками n и a n, где n обозначает набор последовательных положительных целых чисел, а n обозначает термин, соответствующий положительным целым числам. Вы можете выбрать только первые пять членов последовательности. Например, сведите в таблицу ряды 5, 10, 15, 20, 25,…
| п | ан |
|---|---|
|
1 |
5 |
|
2 |
10 |
|
3 |
15 |
|
4 |
20 |
|
5 |
25 |
2. Решите первое общее различие a. Рассмотрим решение как древовидную диаграмму. Для этого шага есть два условия. Этот процесс применяется только к последовательностям, имеющим линейный или квадратичный характер.
Условие 1: Если первая общая разность является константой, используйте линейное уравнение ax + b = 0 при нахождении общего члена последовательности.
а. Выберите две пары чисел из таблицы и составьте два уравнения. Значение n из таблицы соответствует x в линейном уравнении, а значение a n соответствует 0 в линейном уравнении.
а (п) + Ь = а п
б. Сформировав два уравнения, вычислите a и b методом вычитания.
c. Подставим вместо общего члена a и b.
d. Проверьте правильность общего члена, подставив значения в общее уравнение. Если общий термин не соответствует последовательности, в ваших расчетах есть ошибка.
Условие 2: Если первая разность непостоянна, а вторая разность постоянна, используйте квадратное уравнение ax 2 + b (x) + c = 0.
а. Выберите из таблицы три пары чисел и составьте три уравнения. Значение n из таблицы соответствует x в линейном уравнении, а значение an соответствует 0 в линейном уравнении.
an 2 + b (n) + c = a n
б. Сформировав три уравнения, вычислите a, b и c методом вычитания.
c. Замените a, b и c на общий термин.
d. Проверьте правильность общего члена, подставив значения в общее уравнение. Если общий термин не соответствует последовательности, в ваших расчетах есть ошибка.
Нахождение общего члена последовательности
Джон Рэй Куэвас
Проблема 1: общий термин арифметической последовательности с использованием условия 1
Найдите общий член последовательности 7, 9, 11, 13, 15, 17,…
Решение
а. Создайте таблицу значений n и n.
| п | ан |
|---|---|
|
1 |
7 |
|
2 |
9 |
|
3 |
11 |
|
4 |
13 |
|
5 |
15 |
|
6 |
17 |
б. Возьмите первое отличие n.
Первая разность арифметического ряда
Джон Рэй Куэвас
c. Постоянная разница равна 2. Поскольку первая разность постоянна, общий член данной последовательности является линейным. Выберите два набора значений из таблицы и составьте два уравнения.
Общее уравнение:
an + b = a n
Уравнение 1:
при n = 1, a 1 = 7
а (1) + Ь = 7
а + Ь = 7
Уравнение 2:
при n = 2, a 2 = 9
а (2) + Ь = 9
2a + b = 9
d. Вычтите два уравнения.
(2a + b = 9) – (a + b = 7)
а = 2
е. Подставьте значение a = 2 в уравнение 1.
а + Ь = 7
2 + Ь = 7
б = 7 – 2
b = 5
f. Подставьте значения a = 2 и b = 5 в общее уравнение.
an + b = a n
2n + 5 = a n
г. Проверьте общий член, подставив значения в уравнение.
а п = 2 п + 5
а 1 = 2 (1) + 5 = 7
а 2 = 2 (2) + 5 = 9
а 3 = 2 (3) + 5 = 11
а 4 = 2 (4) + 5 = 13
а 5 = 2 (5) + 5 = 15
а 6 = 2 (6) + 5 = 17
Следовательно, общий член последовательности:
а п = 2 п + 5
Проблема 2: общий термин арифметической последовательности с использованием условия 2
Найдите общий член последовательности 2, 3, 5, 8, 12, 17, 23, 30,…
Решение
а. Создайте таблицу значений n и n.
| п | ан |
|---|---|
|
1 |
2 |
|
2 |
3 |
|
3 |
5 |
|
4 |
8 |
|
5 |
12 |
|
6 |
17 |
|
7 |
23 |
|
8 |
30 |
б. Возьмите первое отличие n. Если первая разность n непостоянна, возьмите вторую.
Первая и вторая разность арифметического ряда
Джон Рэй Куэвас
c. Вторая разница равна 1. Поскольку вторая разность постоянна, общий член данной последовательности квадратичен. Выберите три набора значений из таблицы и составьте три уравнения.
Общее уравнение:
an 2 + b (n) + c = a n
Уравнение 1:
при n = 1, a 1 = 2
а (1) + Ь (1) + с = 2
а + б + с = 2
Уравнение 2:
при n = 2, a 2 = 3
а (2) 2 + Ь (2) + с = 3
4a + 2b + c = 3
Уравнение 3:
при n = 3, a 2 = 5
а (3) 2 + Ь (3) + с = 5
9a + 3b + c = 5
d. Вычтите три уравнения.
Уравнение 2 – Уравнение 1: (4a + 2b + c = 3) – (a + b + c = 2)
Уравнение 2 – Уравнение 1: 3a + b = 1
Уравнение 3 – Уравнение 2: (9a + 3b + c = 5) – (4a + 2b + c = 3)
Уравнение 3 – Уравнение 2: 5a + b = 2
(5a + b = 2) – (3a + b = 1)
2а = 1
а = 1/2
е. Подставьте значение a = 1/2 в любое из двух последних уравнений.
3а + Ь = 1
3 (1/2) + Ь = 1
б = 1 – 3/2
б = – 1/2
а + б + с = 2
1/2 – 1/2 + c = 2
с = 2
f. Подставьте значения a = 1/2, b = -1/2 и c = 2 в общее уравнение.
an 2 + b (n) + c = a n
(1/2) n 2 – (1/2) (n) + 2 = a n
г. Проверьте общий член, подставив значения в уравнение.
(1/2) n 2 – (1/2) (n) + 2 = a n
а п = 1/2 (п 2 – п + 4)
а 1 = 1/2 (1 2 – 1 + 4) = 2
а 2 = 1/2 (2 2 – 2 + 4) = 3
а 3 = 1/2 (3 2 – 3 + 4) = 5
а 4 = 1/2 (4 2 – 4 + 4) = 8
а 5 = 1/2 (5 2 – 5 + 4) = 12
а 6 = 1/2 (6 2 – 6 + 4) = 17
7 = 1/2 (7 2 – 7 + 4) = 23
Следовательно, общий член последовательности:
а п = 1/2 (п 2 – п + 4)
Проблема 3: общий термин арифметической последовательности с использованием условия 2
Найдите общий член для последовательности 2, 4, 8, 14, 22,…
Решение
а. Создайте таблицу значений n и n.
| п | ан |
|---|---|
|
1 |
2 |
|
2 |
4 |
|
3 |
8 |
|
4 |
14 |
|
5 |
22 |
б. Возьмите первую и вторую разность n.
Первая и вторая разность арифметической последовательности
Джон Рэй Куэвас
c. Вторая разность равна 2. Поскольку вторая разность является константой, общий член данной последовательности квадратичен. Выберите три набора значений из таблицы и составьте три уравнения.
Общее уравнение:
an 2 + b (n) + c = a n
Уравнение 1:
при n = 1, a 1 = 2
а (1) + Ь (1) + с = 2
а + б + с = 2
Уравнение 2:
при n = 2, a 2 = 4
а (2) 2 + Ь (2) + с = 4
4a + 2b + c = 4
Уравнение 3:
при n = 3, a 2 = 8
а (3) 2 + Ь (3) + с = 8
9a + 3b + c = 8
d. Вычтите три уравнения.
Уравнение 2 – Уравнение 1: (4a + 2b + c = 4) – (a + b + c = 2)
Уравнение 2 – Уравнение 1: 3a + b = 2
Уравнение 3 – Уравнение 2: (9a + 3b + c = 8) – (4a + 2b + c = 4)
Уравнение 3 – Уравнение 2: 5a + b = 4
(5a + b = 4) – (3a + b = 2)
2а = 2
а = 1
е. Подставьте значение a = 1 в любое из двух последних уравнений.
3а + Ь = 2
3 (1) + Ь = 2
б = 2-3
б = – 1
а + б + с = 2
1-1 + с = 2
с = 2
f. Подставьте значения a = 1, b = -1 и c = 2 в общее уравнение.
an 2 + b (n) + c = a n
(1) n 2 – (1) (n) + 2 = a n
п 2 – п + 2 = а п
г. Проверьте общий член, подставив значения в уравнение.
п 2 – п + 2 = а п
а 1 = 1 2 – 1 + 2 = 2
а 2 = 2 2 – 2 + 2 = 4
а 3 = 3 2 – 3 + 2 = 8
а 4 = 4 2 – 4 + 2 = 14
а 5 = 5 2 – 5 + 2 = 22
Следовательно, общий член последовательности:
а п = п 2 – п + 2
Самооценка
Для каждого вопроса выберите лучший ответ. Ключ ответа ниже.
- Найдите общий член последовательности 25, 50, 75, 100, 125, 150,...
- ан = п + 25
- an = 25n
- an = 25n ^ 2
- Найдите общий член последовательности 7/2, 13/2, 19/2, 25/2, 31/2,...
- an = 3 + n / 2
- ан = п + 3/2
- ан = 3n + 1/2
Ключ ответа
- an = 25n
- ан = 3n + 1/2
Интерпретация вашей оценки
Если вы получили 0 правильных ответов: извините, попробуйте еще раз!
Если вы получили 2 правильных ответа: Хорошая работа!
Изучите другие статьи по математике
- Полное руководство по треугольнику 30-60-90 (с формулами и примерами)
Эта статья представляет собой полное руководство по решению задач для треугольников 30-60-90. Он включает формулы паттернов и правила, необходимые для понимания концепции треугольников 30-60-90. Также приведены примеры, показывающие пошаговую процедуру, как это сделать.
- Как использовать правило знаков Декарта (с примерами)
Научитесь использовать правило знаков Декарта для определения количества положительных и отрицательных нулей в полиномиальном уравнении. Эта статья представляет собой полное руководство, которое определяет Правило знаков Декарта, процедуру его использования, а также подробные примеры и решения.
- Решение проблем связанных ставок в исчислении
Научитесь решать различные виды задач связанных ставок в исчислении. Эта статья представляет собой полное руководство, которое показывает пошаговую процедуру решения проблем, связанных со связанными / связанными ставками.
- Односторонние внутренние углы: теорема, доказательство и примеры
В этой статье вы можете изучить концепцию теоремы об односторонних внутренних углах в геометрии, решая различные приведенные примеры. В статье также содержится обращение к теореме о односторонних внутренних углах и ее доказательство.
- Предельные законы и оценка пределов
Эта статья поможет вам научиться оценивать пределы, решая различные задачи в исчислении, которые требуют применения предельных законов.
- Формулы уменьшения мощности и их использование (с примерами)
В этой статье вы можете узнать, как использовать формулы уменьшения мощности для упрощения и оценки тригонометрических функций различных степеней.
Вопросы и Ответы
Вопрос: Как найти общий член последовательности 0, 3, 8, 15, 24?
Ответ: Общий термин для последовательности – an = a (n-1) + 2 (n + 1) + 1
Вопрос: каков общий термин набора {1,4,9,16,25}?
Ответ: Общий член последовательности {1,4,9,16,25} равен n ^ 2.
Вопрос: Как получить формулу, если общая разница приходится на третью строку?
Ответ: Если постоянная разность приходится на третье, уравнение кубическое. Попробуйте решить его по образцу квадратных уравнений. Если это не применимо, вы можете решить эту проблему, используя логику и метод проб и ошибок.
Вопрос: Как найти общий член последовательности 4, 12, 26, 72, 104, 142, 186?
Ответ: Общий член последовательности равен an = 3n ^ 2 – n + 2. Последовательность квадратична со второй разностью 6. Общий член имеет вид an = αn ^ 2 + βn + γ. Чтобы найти α, β, Вставные значения γ для n = 1, 2, 3:
4 = α + β + γ
12 = 4α + 2β + γ
26 = 9α + 3β + γ
и решаем, получая α = 3, β = −1, γ = 2
Вопрос: Каков общий член последовательности 6,1, -4, -9?
Ответ: Это простая арифметическая последовательность. Он следует формуле an = a1 + d (n-1). Но в этом случае второй член должен быть отрицательным an = a1 – d (n-1).
При n = 1, 6 – 5 (1-1) = 6
При n = 2, 6 – 5 (2-1) = 1
При n = 3,6 – 5 (3-1) = -4
При n = 4, 6 – 5 (4-1) = -9
Вопрос: Каким будет n-й член последовательности 4, 12, 28, 46, 72, 104, 142…?
Ответ: К сожалению, такой последовательности не существует. Но если вы замените 28 на 26. Общий член последовательности будет an = 3n ^ 2 – n + 2
Вопрос: Как найти общий член для последовательности 1/2, 2/3, 3/4, 4/5…?
Ответ: Для данной последовательности общий термин можно определить как n / (n + 1), где «n» явно натуральное число.
Вопрос: Есть ли более быстрый способ вычислить общий член последовательности?
Ответ: К сожалению, это самый простой способ найти общий член базовых последовательностей. Вы можете обратиться к своим учебникам или подождать, пока я напишу еще одну статью о вашей проблеме.
Вопрос: Какова явная формула для n-го члена последовательности 1,0,1,0?
Ответ: Явная формула для n-го члена последовательности 1,0,1,0: an = 1/2 + 1/2 (−1) ^ n, где индекс начинается с 0.
Вопрос: Что такое обозначение пустого множества в построителе множеств?
Ответ: обозначение пустого множества – «Ø».
Вопрос: Какова общая формула последовательности 3,6,12, 24..?
Ответ: Общий член данной последовательности равен an = 3 ^ r ^ (n-1).
Вопрос: Что делать, если для всех строк нет общей разницы?
Ответ: если для всех строк нет общей разницы, попробуйте определить ход последовательности методом проб и ошибок. Вы должны сначала идентифицировать шаблон, прежде чем заключать уравнение.
Вопрос: Каков общий вид последовательности 5,9,13,17,21,25,29,33?
Ответ: Общий член последовательности равен 4n + 1.
Вопрос: Есть ли другой способ найти общий член последовательностей, используя условие 2?
Ответ: Есть много способов решить общий член последовательностей, один – методом проб и ошибок. Главное, что нужно сделать, это записать их общие черты и вывести из них уравнения.
Вопрос: Как найти общий член последовательности 9,9,7,3?
Ответ: Если это правильная последовательность, то единственная картина, которую я вижу, – это когда вы начинаете с числа 9.
9
9 – 0 = 9
9 – 2 = 7
9–6 = 3
Следовательно.. 9 – (n (n-1)), где n начинается с 1.
Если нет, то я считаю, что указанная вами последовательность ошибочна. Пожалуйста, попробуйте перепроверить.
Вопрос: Как найти выражение для общего члена ряда 1 + 1 • 3 + 1 • 3 • 5 + 1 • 3 • 5 • 7 +…?
Ответ: Общий член серии (2n-1) !.
Вопрос: Общий термин для последовательности {1,4,13,40,121}?
Ответ: 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 3 ^ 2 = 13
1 + 3 + 3 ^ 2 + 3 ^ 3 = 40
1 + 3 + 3 ^ 2 + 3 ^ 3 + 3 ^ 4 = 121
Итак, общий член последовательности – (под) n = a (под) n-1 + 3 ^ (n-1)
Вопрос: Как найти общий член для последовательности, заданной как an = 3 + 4a (n-1), заданной a1 = 4?
Ответ: То есть вы имеете в виду, как найти последовательность с учетом общего термина. Учитывая общий термин, просто начните подставлять значение a1 в уравнение и пусть n = 1. Сделайте это для a2, где n = 2, и так далее и так далее.
Вопрос: Как найти общую схему 3/7, 5/10, 7/13,…?
Ответ: Для дробей можно отдельно анализировать закономерность в числителе и знаменателе.
Для числителя мы видим, что образец складывается из 2.
3
3 + 2 = 5
5 + 2 = 7
или добавив число, кратное 2
3
3 + 2 = 5
3 + 4 = 7
Следовательно, общий член числителя равен 2n + 1.
Что касается знаменателя, мы можем заметить, что образец складывается из 3.
7
7 + 3 = 10
10 + 3 = 13
Или добавив число, кратное 3
7
7 + 3 = 10
7 + 6 = 13
Следовательно, знаменатель равен 3n + 4.
Объедините два шаблона, и вы получите (2n + 1) / (3n + 4), который является окончательным ответом.
Вопрос: Каков общий член последовательности {7,3, -1, -5}?
Ответ: Шаблон для данной последовательности:
7
7 – 4 = 3
3–4 = -1
-1-4 = -5
Все последующие члены вычитаются на 4.
Вопрос: Как найти общий член последовательности 8,13,18,23,…?
Ответ: Первое, что нужно сделать, это попытаться найти общее различие.
13 – 8 = 5
18–13 = 5
23–18 = 5
Таким образом, общее различие – 5. Последовательность достигается добавлением 5 к предыдущему члену. Напомним, что формула арифметической прогрессии имеет вид an = a1 + (n – 1) d. Если a1 = 8 и d = 5, подставьте значения в общую формулу.
an = a1 + (n – 1) d
an = 8 + (n – 1) (5)
ан = 8 + 5n – 5
an = 3 + 5n
Следовательно, общий член арифметической последовательности равен an = 3 + 5n
Вопрос: Как найти общий член последовательности -1, 1, 5, 9, 11?
Ответ: На самом деле я не очень хорошо понимаю последовательность. Но мой инстинкт подсказывает, что это так…
-1 + 2 = 1
1 + 4 = 5
5 +4 = 9
9 + 2 = 11
+2, +4, +4, +2, +4, +4, +2, +4, +4
Вопрос: Как найти общий член 32,16,8,4,2,…?
Ответ: Я считаю, что каждый термин (кроме первого) находится путем деления предыдущего члена на 2.
Вопрос: Как найти общий член последовательности 1/2, 1/3, 1/4, 1/5?
Ответ: Вы можете заметить, что единственная изменяющаяся часть – это знаменатель. Итак, мы можем установить числитель равным 1. Тогда общая разница знаменателя равна 1. Итак, выражение равно n + 1.
Общий член последовательности равен 1 / (n + 1)
Вопрос: Как найти общий член последовательности 1,6,15,28?
Ответ: Общий член последовательности равен n (2n-1).
Вопрос: Как найти общий член последовательности 1, 5, 12, 22?
Ответ: Общий член последовательности 1, 5, 12, 22 равен / 2.
© 2018 Луч
Условие:
Есть последовательность заданная x(1)=1 и следующей рекуррентной формулой:
Напомню что рекуррентная формула- это формула по которой из известных членов последовательности можно посчитать следующий.
Найдите x(2017).
Решение:
Исследовав функции y(n)=x(n)-n и x(n) находим явный вид последовательности:
Найдем максимальную степень двойки k, что она меньше n, тогда:
Докажем что это явный вид.
Для начала проверим n=1
Теперь проверим что выполняется рекуррентная формула
Следовательно мы узнали явный вид, значит посчитать какой-нибудь член последовательности не проблема.
Ответ: x(2017)=24225
