Как найти ысоту треугольника

Как найти ысоту треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

  • Нахождение высоты треугольника

    • Высота в разностороннем треугольнике

    • Высота в равнобедренном треугольнике

    • Высота в прямоугольном треугольнике

    • Высота в равностороннем треугольнике

  • Примеры задач

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

Высота в разностороннем треугольнике ABC

1. Через площадь и длину стороны

Формула для нахождения высоты треугольника через его площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

Формула для нахождения высоты треугольника через длины его сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

Формула для расчета полупериметра треугольника

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

Формула для нахождения высоты треугольника через длину стороны и синуса угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

Формула для нахождения высоты треугольника через длины сторон и радиус описанной окружности

Описанная вокруг разностороннего треугольника окружность

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Формула для нахождения высоты к основанию в равнобедренном треугольнике

Опущенная на основание равнобедренного треугольника высота

Высота в прямоугольном треугольнике

Проведенная к гипотенузе высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

Формула для нахождения высоты к гипотенузе в прямоугольном треугольнике

2. Через стороны треугольника

Формула для нахождения высоты к гипотенузе в прямоугольном треугольнике через длины его сторон

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Формула для нахождения высоты в равностороннем треугольнике

Высота в равностороннем треугольнике

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Нахождение высоты треугольника через длину стороны и синус прилежащего угла (пример)

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Нахождение основания равнобедренного треугольника через высоту и боковую сторону (пример)

Источник


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Для вычисления площади треугольника вам необходимо знать его высоту. Если она не дана, вы можете вычислить ее по известным вам величинам! В этой статье мы расскажем о нескольких способах найти высоту треугольника по известным значениям других величин.

  1. Изображение с названием Find the Height of a Triangle Step 1

    1

    Напомним формулу для вычисления площади треугольника. Площадь треугольника вычисляется по формуле: A = 1/2bh.[1]

    • А – площадь треугольника
    • b – сторона треугольника, на которую опущена высота.
    • h – высота треугольника

  2. Изображение с названием Find the Height of a Triangle Step 2

    2

    Посмотрите на треугольник и подумайте, какие величины вам уже известны. Если вам дана площадь, обозначьте ее буквой «А» или «S». Вам также должно быть дано значение стороны, обозначьте ее буквой «b». Если вам не дана площадь и не дана сторона, воспользуйтесь другим методом.

    • Имейте в виду, что основанием треугольника может быть любая его сторона, на которую опущена высота (независимо от того, как расположен треугольник). Чтобы лучше понять это, представьте, что вы можете повернуть этот треугольник. Поверните его так, чтобы известная вам сторона была обращена вниз.
    • Например, площадь треугольника равна 20, а одна из его сторон равна 4. В этом случае “‘А = 20″‘, ‘”b = 4′”.

  3. Изображение с названием Find the Height of a Triangle Step 3

    3

    Подставьте данные вам значения в формулу для вычисления площади (А = 1/2bh) и найдите высоту. Сначала умножьте сторону (b) на 1/2, а затем разделите площадь (А) на полученное значение. Таким образом, вы найдете высоту треугольника.

    • В нашем примере: 20 = 1/2(4)h
    • 20 = 2h
    • 10 = h

    Реклама

  1. Изображение с названием Find the Height of a Triangle Step 4

    1

    Вспомните свойства равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60˚). Если в таком треугольнике провести высоту, вы получите два равных прямоугольных треугольника. [2]

    • Например, рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 8.

  2. Изображение с названием Find the Height of a Triangle Step 5

    2

    Вспомните теорему Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что в любом прямоугольном треугольнике с катетами «а» и «b» гипотенуза «с» равна: a2+b2=c2. Эту теорему можно использовать, чтобы найти высоту равностороннего треугольника![3]

  3. Изображение с названием Find the Height of a Triangle Step 6

    3

    Разделите равносторонний треугольник на два прямоугольных треугольника (для этого проведите высоту). Затем обозначьте стороны одного из прямоугольных треугольников. Боковая сторона равностороннего треугольника – это гипотенуза «с» прямоугольного треугольника. Катет «а» равен 1/2 стороне равностороннего треугольника, а катет «b» – это искомая высота равностороннего треугольника.

    • Итак, в нашем примере с равносторонним треугольником с известной стороной, равной 8: c = 8 и a = 4.

  4. Изображение с названием Find the Height of a Triangle Step 7

    4

    Подставьте эти значения в теорему Пифагора и вычислите b2. Сначала возведите в квадрат «с» и «а» (умножьте каждое значение само на себя). Затем вычтите a2 из c2.

    • 42 + b2 = 82
    • 16 + b2 = 64
    • b2 = 48

  5. Изображение с названием Find the Height of a Triangle Step 8

    5

    Извлеките квадратный корень из b2, чтобы найти высоту треугольника. Для этого воспользуйтесь калькулятором. Полученное значение и будет высотой вашего равностороннего треугольника!

    • b = √48 = 6,93

    Реклама

  1. Изображение с названием Find the Height of a Triangle Step 9

    1

    Подумайте, какие значения вам известны. Вы можете найти высоту треугольника, если вам известны значения сторон и углов. Например, если известен угол между основанием и боковой стороной. Или если известны значения всех трех сторон. Итак, обозначим стороны треугольника: «a», «b», «c», углы треугольника: «А», «В», «С», а площадь – буквой «S».

    • Если вам известны все три стороны, вам понадобится значение площади треугольника и формула Герона.
    • Если вам известны две стороны и угол между ними, можете использовать следующую формулу для нахождения площади: S=1/2ab(sinC).[4]

  2. Изображение с названием Find the Height of a Triangle Step 10

    2

    Если вам даны значения всех трех сторон, используйте формулу Герона. По этой формуле придется выполнить несколько действий. Сначала нужно найти переменную «s» (мы обозначим этой буквой половину периметра треугольника). Для этого подставьте известные значения в эту формулу: s = (a+b+c)/2.[5]

    • Для треугольника со сторонами а = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. В результате получается: s=12/2, где s=6.
    • Затем вторым действием мы находим площадь (вторая часть формулы Герона). Площадь = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Вместо слова «площадь» вставьте эквивалентную формулу для поиска площади: 1/2bh (или 1/2ah, или 1/2ch).
    • Теперь найдите эквивалентное выражение для высоты (h). Для нашего треугольника будет справедливо следующее уравнение: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Где 3/2h=√(6(2(3(1))). Получается, 3/2h = √(36). С помощью калькулятора вычислите квадратный корень. В нашем примере: 3/2h = 6. Получается, что высота (h) равна 4, сторона b – основание.

  3. Изображение с названием Find the Height of a Triangle Step 11

    3

    Если по условию задачи известны две стороны и угол, вы можете использовать другую формулу. Замените площадь в формуле эквивалентным выражением: 1/2bh. Таким образом, у вас получится следующая формула: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Ее можно упростить до следующего вида: h = a(sin C), чтобы убрать одну неизвестную переменную.[6]

    • Теперь осталось решить полученное уравнение. Например, пусть «а» = 3, «С» = 40 градусов. Тогда уравнение будет выглядеть так: «h» = 3(sin 40). С помощью калькулятора и таблицы синусов подсчитайте значение «h». В нашем примере h = 1,928.

    Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 437 162 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник


Download Article


Download Article

To calculate the area of a triangle you need to know its height. To find the height follow these instructions. You must at least have a base to find the height.

  1. Image titled Find the Height of a Triangle Step 1

    1

    Recall the formula for the area of a triangle. The formula for the area of a triangle is

    A=1/2bh.

    [1]

    • A = Area of the triangle
    • b = Length of the base of the triangle
    • h = Height of the base of the triangle

  2. Image titled Find the Height of a Triangle Step 2

    2

    Look at your triangle and determine which variables you know. You already know the area, so assign that value to A. You should also know the value of one side length; assign that value to “‘b'”.

    Any side of a triangle can be the base,

    regardless of how the triangle is drawn. To visualize this, just imagine rotating the triangle until the known side length is at the bottom.

    Example
    If you know that the area of a triangle is 20, and one side is 4, then:
    A = 20 and b = 4.

    Advertisement

  3. Image titled Find the Height of a Triangle Step 3

    3

    Plug your values into the equation A=1/2bh and do the math. First multiply the base (b) by 1/2, then divide the area (A) by the product. The resulting value will be the height of your triangle!

    Example
    20 = 1/2(4)h Plug the numbers into the equation.
    20 = 2h Multiply 4 by 1/2.
    10 = h Divide by 2 to find the value for height.

    4. Advertisement

  1. Image titled Find the Height of a Triangle Step 4

    1

    Recall the properties of an equilateral triangle. An equilateral triangle has three equal sides, and three equal angles that are each 60 degrees. If you

    cut an equilateral triangle in half, you will end up with two congruent right triangles.

    [2]

    • In this example, we will be using an equilateral triangle with side lengths of 8.

  2. Image titled Find the Height of a Triangle Step 5

    2

    Recall the Pythagorean Theorem. The Pythagorean Theorem states that for any right triangle with sides of length a and b, and hypotenuse of length c:

    a2 + b2 = c2.

    We can use this theorem to find the height of our equilateral triangle![3]

  3. Image titled Find the Height of a Triangle Step 6

    3

    Break the equilateral triangle in half, and assign values to variables a, b, and c. The hypotenuse c will be equal to the original side length. Side a will be equal to 1/2 the side length, and side b is the height of the triangle that we need to solve.

    • Using our example equilateral triangle with sides of 8, c = 8 and a = 4.

  4. Image titled Find the Height of a Triangle Step 7

    4

    Plug the values into the Pythagorean Theorem and solve for b2.[4]
     First square c and a by multiplying each number by itself. Then subtract a2 from c2.

    Example
    42 + b2 = 82 Plug in the values for a and c.
    16 + b2 = 64 Square a and c.
    b2 = 48 Subtract a2 from c2.

  5. Image titled Find the Height of a Triangle Step 8

    5

    Find the square root of b2 to get the height of your triangle! Use the square root function on your calculator to find Sqrt(2. The answer is the height of your equilateral triangle!

    • b = Sqrt (48) = 6.93

    6. Advertisement

  1. Image titled Find the Height of a Triangle Step 9

    1

    Determine what variables you know. The height of a triangle can be found if you have 2 sides and the angle in between them, or all three sides. We’ll call the sides of the triangle a, b, and c, and the angles, A, B, and C.

    • If you have all three sides, you’ll use

      Heron’s formula

      , and the formula for the area of a triangle.

    • If you have two sides and an angle, you’ll use the formula for the area given two angles and a side.

      A = 1/2ab(sin C).[5]

  2. Image titled Find the Height of a Triangle Step 10

    2

    Use Heron’s formula if you have all three sides. Heron’s formula has two parts. First, you must find the variable

    s, which is equal to half of the perimeter of the triangle.

    This is done with this formula:

    s = (a+b+c)/2.[6]

    Heron’s Formula Example
    For a triangle with sides a = 4, b = 3, and c = 5:
    s = (4+3+5)/2
    s = (12)/2
    s = 6
    Then use the second part of Heron’s formula, Area = sqr(s(s-a)(s-b)(s-c). Replace Area in the equation with its equivalent in the area formula: 1/2bh (or 1/2ah or 1/2ch).
    Solve for h. For our example triangle this looks like:
    1/2(3)h = sqr(6(6-4)(6-3)(6-5).
    3/2h = sqr(6(2)(3)(1)
    3/2h = sqr(36)
    Use a calculator to calculate the square root, which in this case makes it 3/2h = 6.
    Therefore, height is equal to 4, using side b as the base.

  3. Image titled Find the Height of a Triangle Step 11

    3

    Use the area given two sides and an angle formula if you have a side and an angle. Replace area in the formula with its equivalent in the area of a triangle formula: 1/2bh. This gives you a formula that looks like 1/2bh = 1/2ab(sin C). This can be simplified to

    h = a(sin C)

    , thereby eliminating one of the side variables.[7]
     Note that angle C and side a are both positioned across from the height that you need to find (both on the right side from it, or both on the left side).

    Finding Height with 1 Side and 1 Angle Example
    For example, with a = 3, and C = 40 degrees, the equation looks like this:
    h = 3(sin 40)
    Use your calculator to finish the equation, which makes h roughly 1.928.

    4. Advertisement

Practice Problems and Answers

Add New Question

  • Question

    How do I find the area of an equilateral triangle when only the height is given?

    Community Answer

    H = height, S = side, A = area, B = base. You know that each angle is 60 degrees because it is an equilateral triangle. If you look at one of the triangle halves, H/S = sin 60 degrees because S is the longest side (the hypotenuse) and H is across from the 60 degree angle, so now you can find S. The base of the triangle is S because all the sides are the same, so B = S. Using A = (1/2)*BH, you get A = (1/2)*SH, which you can now find.

  • Question

    How do I calculate the height of a right triangle, given only the length of the base and the interior angle at the base?

    Donagan

    Look up the tangent of the angle in a trigonometry table. Multiply the tangent by the length of the base.

  • Question

    How do I determine the height of a triangle when I know the length of all three sides?

    Community Answer

    You already know the base, so calculate the area by Heron’s formula. Then, substitute the values you know in the formula. Area=1/2 * base * height or height=2 * Area/base and find your answer.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

Video

References

About This Article

Article SummaryX

If you know the base and area of the triangle, you can divide the base by 2, then divide that by the area to find the height. To find the height of an equilateral triangle, use the Pythagorean Theorem, a^2 + b^2 = c^2. Cut the triangle in half down the middle, so that c is equal to the original side length, a equals half of the original side length, and b is the height. Plug a and c into the equation, squaring both of them. Then subtract a^2 from c^2 and take the square root of the difference to find the height. If you want to learn how to calculate the area if you only know the angles and sides, keep reading!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 2,403,060 times.

Reader Success Stories

  • Kai Parker

    “My Geometry teacher is not the best teacher, and I usually have to look up terms and lessons so I can teach myself…” more

Did this article help you?

Источник

Здесь рассмотрены все возможные способы нахождения высоты треугольников разных типов. Высота
треугольника – отрезок, проведенный из вершины треугольника перпендикулярно к противоположной
стороне. В задачах нахождение высоты часто является промежуточным звеном для поиска других значений.
Она и является катетом в треугольнике, который сама же образует, и участвует во многих формулах,
например, для нахождения площади.

  • Высота разностороннего треугольника через площадь и длину
    стороны
  • Высота разностороннего треугольника через длины всех
    сторон
  • Высота разностороннего треугольника через длину прилежащей
    стороны и синус угла
  • Высота разностороннего треугольника через стороны и радиус
    описанной окружности
  • Высота равнобедренного треугольника через основание и
    боковые стороны
  • Высота прямоугольного треугольника через длины отрезков,
    образованных на гипотенузе
  • Высота прямоугольного треугольника через все стороны
    треугольника
  • Высота равностороннего треугольника через сторону
    треугольника

Через площадь и длину стороны разностороннего треугольника

Через площадь и длину высота находится по формуле:

h = 2S / a

где S – площадь треугольника, а – сторона треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Согласно этой формуле высота равна удвоенной площади, деленной на длину стороны, к которой она
проведена.

Пример.  Найдите высоту разностороннего треугольника, проведенную к стороне а,
площадь которого равна 27 см, а длина стороны а составляет одну треть от площади. Решение: Найдем
сторону а. Так как известно, что она составляет треть от площади, а = 27 / 3 = 9 см.
Теперь воспользуемся формулой для нахождения высоты: h = 2S / a. Подставим
известные значения. h = 2 * 27 / 9 = 6 см. Ответ: 6 см

Через длины всех сторон разностороннего треугольника

Через длины всех сторон высота разностороннего треугольника ищется по формуле:

h = (2 √(p (p-a)(p-b)(p-c))) / 2
p = (a + b + c) / 2

где h – высота, а, b, c – стороны треугольника, p – полупериметр треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Полупериметр треугольника можно найти либо в два этапа через периметр, либо сразу по формуле. Этим
способом удобно пользоваться, когда треугольник разносторонний.

Пример. Периметр разностороннего треугольника равен 18 см. Длины сторон 6 см и 8 см. Найдите
высоту, проведенную к стороне а. Решение: P = a + b + c, значит с = P – a – b , то есть c = 18 – 8 – 6 = 4 см. Для
нахождения h будем использовать формулу h = (2 √(p (p-a)(p-b)(p-c))) / 2.
Сначала найдем полупериметр (p): p = p / 2 = 18 / 2 = 9 см. Подставим,
найденные значения в формулу высоты: h = (2 √(9 (9 — 6)(9 — 8)(9 — 4))) / 2 = √135 / 3 = 2,12 см

Через длину прилежащей стороны и синус угла разностороннего треугольника

Через длину прилежащей стороны и синус угла высота ищется по следующей формуле:

h = a * sin α

где а – длина стороны, sin α – синус прилежащей стороны.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В разностороннем треугольнике высота проведена к стороне AB. Угол ACH равен
30˚, а длина стороны AB 12 см. Найдите длину высоты CH в треугольнике ABC. По теореме о сумме углов
в треугольнике найдем угол САН. ∠САН = 180 – (∠АСН + ∠АНС). ∠САН = 180 – 90 – 30 = 60˚  sin 60º = 1/2. СН = AB * sin ∠САН, СН = 12 * 1/2 = 6 см. Ответ:
6 см

Через стороны и радиус описанной окружности разностороннего треугольника

Через стороны и радиус описанной окружности высоту можно найти по следующей формуле:

h = bc / 2R

где r – радиус описанной около треугольника окружности, b,c – стороны треугольника

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Вокруг разностороннего треугольника описана окружность с радиусом 3 см. Из
вершины между сторонами b и с проведена высота. Стороны b и с соответственно равны 5 см и 6 см.
Найдите высоту. Решение: Найдем высоту, используя формулу h = 5 * 6 / 2 * 3 = 30 / 6 = 5 см. Ответ:
5 см.

Через длины отрезков прямоугольного треугольника, образованных на гипотенузе

Через длины отрезков образованных на гипотенузе высоту можно найти по следующей формуле:

h = √(C1 * C2)

где: C1, C2 — отрезки, образованные проведением высоты к гипотенузе.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В прямоугольном треугольнике катеты равны 4 см и 3 см. Угол BAH равен 30˚.
Найдите высоту. По теореме Пифагора найдём сторону BC, которая является гипотенузой в треугольнике
ABC. BC² = AB² = AC²,  BC² = 4² + 3² = 16+9 = 25 см², BC = √25 = 5 см. Угол
АНВ равен 90˚, так как АН является высотой, то есть, проведена перпендикулярно к стороне ВС.
Следовательно, треугольник АНВ – прямоугольный. Сторона ВН лежит напротив угла 30˚ в прямоугольном
треугольнике, значит, ее длина равна половине длины гипотенузы. Найдем ВН. BH = 1/2 AB. BH = 1/2 × 4 = 2 см. BC = BH + HC,
значит, HC = BC – BH, HC = 5 – 2 = 3 см. По формуле найдем высоту
(АН). АН = √(2 * 3) = √6 = 2,4 см. Ответ: 2,4 см.

Через основание и боковые стороны равнобедренного треугольника

Через основание и боковые стороны высота равнобедренного треугольника находится по формуле:

h = √(b² — a²/4)

где а – основание треугольника, b – боковая сторона. Для равнобедренного треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторона равна 8 см. Из вершины В к
основанию АС проведена высота ВН. Отрезок АН равен 5 см. Найдите высоту. Решение: Так как по условию
треугольник АВС равнобедренный по условию, то АВ = ВС = 8 см высота ВН,
является и медианой, и биссектрисой. Значит, АН = НС, а АС = НС + АН, АС = 5 + 5 = 10 см. По
формуле найдем высоту ВН = √(АВ² — АС² / 4). ВН = √(8² — 10² / 4) = √(64 — 100 / 4) = √39 = 6 см.
Ответ: 6 см.

Высота прямоугольного треугольника через все стороны треугольника

Если известны все стороны прямоугольного треугольника, то можно найти его высоту по следующей
формуле:

h = ab / c

где a,b,c – стороны треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В прямоугольном треугольнике угол между катетом и гипотенузой равен 45˚.
Длина стороны АС равна 6 см. Найти высоту АН. Решение: По теореме о сумме углов в треугольнике
найдем угол АСВ. ∠АСВ = 180˚ – (45˚ + 90˚) = 45˚. Так как АСВ = АСВ, то
треугольник АВС равнобедренный с основанием ВС. Таким образом, АС = АВ = 6 см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС. BC² = AB² + AC². BC² = 6² + 6² = 36 +36 = 72 см². ВС = √72 = 6√2 см. Найдем
высоту по формуле AH = AB * AC / BC. АН = 6 * 6 / 6√2= см. Домножим
полученное значение на √2: (6 * √2) / √2 * √2 = 6√2 / 2 = 3√2 см. Ответ:
3√2 см

Через сторону равностороннего треугольника

Высота равностороннего треугольника через сторону треугольника ищется по следующей формуле:

h = a√3 / 2

где a – сторона треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример: Найдите высоту в равностороннем треугольнике, если известно, что его сторона
равна 4√3 см. Решение: Для нахождения высоты воспользуемся формулой h = a√3 / 2 = √3 * 4 √3 / 2 = 4 * 3 / 2 = 6 см. Ответ:
6 см

В зависимости от типа треугольника высота может располагаться по-разному:

  1. Например, в треугольнике KGM высота GH, проведённая из вершины G к стороне находится внутри
    треугольника, так как треугольник является остроугольным. Кроме того, треугольник в данном
    примере равнобедренный, значит, она же является биссектрисой и медианой. Знание этого пригодится
    при решении задач, например таким образом можно будет найти основание.Рисунок 1
  2. В тупоугольном треугольнике высота будет выходить за его пределы и для того чтобы её провести
    понадобится сначала продлить сторону. Например, на рисунке сторона ВС продлена до НС.Рисунок 2
  3. В случае, когда треугольник имеет прямой угол – высота совпадёт с одним из катетов, либо будет
    внутри треугольника (как в первом рассмотренном варианте) и проведена к гипотенузе.Рисунок 3
Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 14 апреля 2020 года; проверки требуют 153 правки.

Высота в треугольниках различного типа

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (точнее, на прямую, содержащую противоположную сторону).
В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для остроугольного треугольника), совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника) или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника.

(!) Удобно высоты треугольника обозначать следующим образом.

Если ABC ― треугольник, и {displaystyle a=BC}, {displaystyle b=AC}, {displaystyle c=AB} ― длины сторон (или просто стороны), то h_{a}, h_{b}, h_{c} ― высоты, опущенные соответственно из вершин A, B, C на стороны a, b, c (или их продолжения).

Свойства[править | править код]

Свойства ортоцентра[править | править код]

  • Все 3 высоты треугольника пересекаются в 1 точке, называемой ортоцентром. Доказательства ниже.
  • Ортоцентр изогонально сопряжен центру описанной окружности.
  • Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом, центром описанной окружности и центром окружности девяти точек (см. прямая Эйлера).
  • Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
  • В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника; в тупоугольном — вне треугольника; в прямоугольном — в вершине прямого угла.

Свойства, связанные с описанной окружностью[править | править код]

  • Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника. Последний треугольник называют дополнительным треугольником по отношению к первому треугольнику.
  • Последнее свойство можно сформулировать так: Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром дополнительного треугольника.
  • Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
  • Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.
  • Если О — центр описанной окружности ΔABC, то overrightarrow{OH}=overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC} ,
  • Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.
  • Любой отрезок, проведенный из ортоцентра до пересечения с описанной окружностью всегда делится окружностью Эйлера пополам. Ортоцентр есть центр гомотетии этих двух окружностей.
  • Теорема Гамильтона. Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих ту же самую окружность Эйлера (окружность девяти точек), что и исходный остроугольный треугольник.
  • Следствия теоремы Гамильтона:
    • Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника Гамильтона, имеющих равные радиусы описанных окружностей.
    • Радиусы описанных окружностей трёх треугольников Гамильтона равны радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.

Свойства высот равнобедренного треугольника[править | править код]

  • Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный, и третья высота одновременно является медианой и биссектрисой того угла, из которого она выходит.
  • Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две высоты равны, а третья высота одновременно является медианой и биссектрисой.

Свойства высот равностороннего треугольника[править | править код]

  • Теорема Вивиани (Viviani’s theoremn  (англ.) (рус.). Для любой точки P внутри равностороннего треугольника сумма перпендикуляров к трем сторонам равна высоте треугольника.[1]

Свойства высот равнобедренного треугольника[править | править код]

  • Теорема Вивиани обобщенная для любой точки P на основании равнобедренного треугольника. Сумма расстояний от произвольной точки, лежащей на основании равнобедренного треугольника, до боковых (равных) сторон есть величина постоянная, равная высоте, опущенной на боковую сторону.[2]

Свойства высот произвольного треугольника[править | править код]

  • Теорема Вивиани обобщенная. Если от концов наименьшей из трех сторон треугольника отложить на двух оставшихся сторонах одинаковые отрезки, равные длине наименьшей из трех сторон, то, соединив два невершинных конца отложенных отрезков прямой, получим геометрическое место точек, лежащих внутри треугольника. Для любой точки P этого геометрического места точек внутри треугольника сумма расстояний до трех сторон есть величина постоянная. [3]

Свойства оснований высот треугольника[править | править код]

  • Основания высот образуют так называемый ортотреугольник, обладающий собственными свойствами.
  • Описанная около ортотреугольника окружность – окружность Эйлера. На этой окружности также лежат три середины сторон треугольника и три середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника.
  • Другая формулировка последнего свойства:
    • Теорема Эйлера для окружности девяти точек. Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его внутренних медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (на окружности девяти точек).
  • Теорема. В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному.
  • Теорема. В треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, лежащие на двух сторонах, антипараллелен третьей стороне, с которой он не имеет общих точек. Через два его конца, а также через две вершины третьей упомянутой стороны всегда можно провести окружность.

Свойства середин высот треугольника[править | править код]

  • Теорема Шлёмильха. В 1860 году Шлёмильх доказал теорему: три прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединами его соответствующих высот, пересекаются в одной точке. В 1937 году советский математик С. И. Зетель показал, что эта теорема верна не только для высот, но и для любых других чевиан.
  • Еще одна очевидная теорема. Середина высоты треугольника всегда лежит на пересекающей ее средней линии треугольника.
  • Теорема Ригби. Если к любой стороне остроугольного треугольника провести высоту и касающуюся ее с другой стороны вневписанную окружность, то точка касания последней с этой стороной, середина упомянутой высоты, а также инцентр лежат на одной прямой.[4].
  • Из теоремы Ригби следует, что 3 отрезка, соединяющих середину каждой из 3 высот треугольника с точкой касания вневписанной окружности, проведенной к той же стороне, что и высота, пересекаются в инцентре.
  • Середины X и Y двух высот треугольника ABC, а также середина K стороны BC, из концов которой эти две высоты выходят, а также ортоцентр H лежат на одной окружности, на которой также лежит и пятая точка D – основание третьей высоты AD[5].
  • Пусть в треугольнике АВС О – центр описанной окружности. Пусть прямая x проходит через середину высоты треугольника, опущенную из вершины А, и параллельна ОА. Аналогично определяются прямые y и z. Эти 3 прямые пересекаются в одной точке Т, которая является центром окружности Тэйлора [6] треугольника АВС.[7].

Другие свойства[править | править код]

  • Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его внутренняя биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между внутренними медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
  • Высота треугольника изогонально сопряжена диаметру (радиусу) описанной окружности, проведенному из той же самой вершины.
  • В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него 2 пары треугольников с 1 общей вершиной, которые подобны.
  • В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
  • Три части высот данного остроугольного треугольника внутри его ортотреугольника оказываются тремя биссектрисами.

Свойства минимальной из высот[править | править код]

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

  • Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямые, лежащие в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.
  • Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.
  • При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, максимальное расстояние между ними за время движения от первой встречи до второй, не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.
  • Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника.

Соотношения[править | править код]

где c — основание, a — боковая сторона.

Теорема о произвольной точке внутри треугольника[править | править код]

Теорема о произвольной точке внутри треугольника. Если pa, pb и pc – расстояния (перпендикулярные отрезки) от любой точки P треугольника до трех его сторон, а ha, hb и hc – длины высот, опущенных на соответствующие стороны (a, b и c), тогда [8]

{displaystyle {frac {p_{a}}{h_{a}}}+{frac {p_{b}}{h_{b}}}+{frac {p_{c}}{h_{c}}}=1.}

Следствие теоремы. Если точка P есть инцентр данного треугольника, то pa = pb = pc = r. Тогда из последней теоремы имеем:

{frac 1{h_{a}}}+{frac 1{h_{b}}}+{frac 1{h_{c}}}={frac {1}{r}}, где r — радиус вписанной окружности.

Теорема о трех произвольных чевианах внутри треугольника, одна из которых является высотой[править | править код]

Теорема. Если две произвольные чевианы (не обязательно две высоты) внутри остроугольного треугольника пересекаются в точке третьей чевианы, являющейся высотой этого треугольника, тогда сама высота является биссектрисой угла, образованного двумя отрезками прямых, проведенных из основания указанной высоты до двух оснований указанных чевиан (до двух точек пересечения двух указанных чевиан со сторонами). [9]

Теорема о произвольной точке высоты[править | править код]

Теорема о произвольной точке высоты. Если E – произвольная точка на высоте AD любого треугольника ABC, то [10]:77–78

{displaystyle AC^{2}+EB^{2}=AB^{2}+CE^{2}.}

Теоремы о высотах прямоугольного треугольника[править | править код]

Обратная теорема Пифагора[править | править код]

  • В прямоугольном треугольнике 3 высоты ha, hb, и hc (первые 2 из которых равны длинам сторон соответственно b и a в этом треугольнике) связаны соотношением, согласно [11][12]
{displaystyle {frac {1}{h_{a}^{2}}}+{frac {1}{h_{b}^{2}}}={frac {1}{h_{c}^{2}}}.}

Это соотношение известно под названием обратной теоремы Пифагора (inverse Pythagorean theorem  (англ.) (рус.).

Теорема о высоте прямоугольного треугольника[править | править код]

Если высота в прямоугольном треугольнике ABC длиной h, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу длиной c на отрезки m и n, соответствующие катетам b и a, то верны следующие равенства:

Теорема о проекциях[править | править код]

См. с. 51, ф. (1.11-4)[13].
Теорема о проекциях: c=acos beta +bcos alpha ; a=bcos gamma +ccos beta ; b=ccos alpha +acos gamma . Из теоремы о проекциях следует то, что высота, опущенная, например, из вершины C, делит противоположную ей сторону c на две части {displaystyle acos beta } и {displaystyle bcos alpha }, считая от вершины A к B.

История[править | править код]

  • Утверждение: «Все 3 высоты треугольника пересекаются в одной точке», называемой теперь ортоцентром, в «Началах» Евклида отсутствует. Часть историков приписывает это утверждение Архимеду и называют его теоремой Архимеда[14]. Ортоцентр впервые в греческой математике использован в «Книге лемм» Архимеда, хотя явного доказательства существования ортоцентра Архимед не привёл.
  • В косвенной форме и в явном виде это утверждение («Все 3 высоты треугольника пересекаются в одной точке») встречается у Прокла (410-485) – комментатора Евклида[15].
  • Тем не менее до середины девятнадцатого века, ортоцентр нередко называли архимедовой точкой[16].
  • Другие историки математики считают автором первого доказательства Уильяма Чеппла (William Chapple (surveyor)  (англ.) (рус.) (Miscellanea Curiosa Mathematica, 1749 год)[17].
  • Сам термин ортоцентр впервые был использован У. Х. Безантом (W. H. Besant  (англ.) (рус.) в работе “Конические сечения, исследованные геометрически (1869)” ([18]) [19].

Две составные части высоты: предвысота и поствысота [20][править | править код]

Три чевианы, проходящие через общую точку

  • На рис. справа в треугольнике ABC через точку O проведены 3 высоты: AD, BE и CF. Тогда точка O пересечения 3 высот разбивает каждую высоту на 2 отрезка прямых, один из них (который начинается в вершине, а заканчивается в точке пересечения O) мы назовем довысотой или предвысотой, а второй из них (который начинается в точке пересечения O, а заканчивается в точке его пересечения со стороной, противоположной вершине) мы назовем поствысотой.
  • Эти 2 термина введены по аналогии с операторами цикла с учетом их изображения на блок-схемах в информатике. Там есть понятия цикла соответственно с пред- и пост-условием в зависимости от того, стоит ли это условие перед или после тела цикла. У нас в роли тела цикла выступает точка O пересечения высот, а в роли условия – первый или второй конец отрезка, вводимого, как понятие для одной из двух частей высоты.
  • С помощью этих 2 понятий совсем просто формулируются некоторые теоремы геометрии.

Например, в любом треугольнике (в остро-, прямо-, и в тупоугольном) 3 произведения пред- и поствысоты совпадают [21]. Для остро-и прямоугольного треугольников это утверждение легко доказываемое. Оно верно и для любого тупоугольного треугольника, что удивительно, поскольку в таком треугольнике 2 из 3 высот даже не лежат внутри самого треугольника.

  • Замечание. На этом рис. справа в треугольнике ABC чевианы не являются высотами. На следующем рис. справа в треугольнике ABC три высоты: {displaystyle AH_{a},BH_{b},CH_{c}}

Высоты в треугольнике ABC

Вариации по теме. Высоты в четырёхугольнике[править | править код]

Теорема[22]. Пусть ABCD — вписанный четырёхугольник, A_{1} — основание перпендикуляра (высоты), опущенного из вершины A на диагональ BD; аналогично определяются точки {displaystyle B_{1},C_{1},D_{1}}. Тогда точки {displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}} лежат на одной окружности.

Это утверждение — следствие леммы о шестой окружности.

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. С. 139, п. 128, Следствие
  2. ↑ Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. С. 138, п. 127
  3. ↑ Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. С. 137, п. 126. Задача, черт. 106
  4. ↑ Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390. p. 30, Figure 34, §3. An Unlikely Collinearity.
  5. ↑ Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390. p. 33, figure 40, §Exercise 3.2
  6. ↑ Круг Тейлора// https://deru.abcdef.wiki/wiki/Taylor-Kreis
  7. ↑ Мякишев А. Прогулки по окружностям: от Эйлера до Тейлора// Математика. Все для учителя! № 6 (6). июнь 2011. с. 3, задача 2, рис. 3// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf Архивная копия от 22 августа 2022 на Wayback Machine
  8. ↑ Johnson, 2007, p. 74, Section 103c
  9. ↑ Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. 2-е изд. М.: Учпедгиз, 1962. с. 85, п. 70. черт. 62
  10. ↑ Posamentier A. S., Salkind. C.T.Challenging Problems in Geometry, Dover Publishing Co., second revised edition, 1996.
  11. ↑ Voles, Roger, “Integer solutions of a^{{-2}}+b^{{-2}}=d^{{-2}},” Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.
  12. ↑ Richinick, Jennifer, “The upside-down Pythagorean Theorem,” Mathematical Gazette 92, July 2008, 313–317.
  13. ↑ Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — 832 с. Архивная копия от 19 января 2015 на Wayback Machine
  14. ↑ Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902. С. 9, п. 16. Высоты треугольника. Теорема Архимеда.
  15. ↑ Nathan Altshiller-Court. “College Geometry. An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle”. Second Edition. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. P. 298, §175.
  16. ↑ Maureen T. Carroll, Elyn Rykken. Geometry: The Line and the Circle. Дата обращения: 10 апреля 2020.
  17. ↑ Bogomolny, Alexander, A Possibly First Proof of the Concurrence of Altitudes, <https://www.cut-the-knot.org/triangle/Chapple.shtml>. Проверено 17 ноября 2019. Архивная копия от 7 мая 2021 на Wayback Machine
  18. ↑ Conic Sections Treated Geometrically, 1869. Ссылка: 1895: Conic sections treated geometrically Архивная копия от 18 апреля 2018 на Wayback Machine from Cornell University Historical Math Monographs.
  19. ↑ Nathan Altshiller-Court. “College Geometry. An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle”. Second Edition. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. P. 298, §176
  20. ↑ Стариков В.Н. 10-е исследование по геометрии (§ До- (пред-)- и пост-чевианы). Научный рецензируемый электронный журнал МГАУ “Наука и образование”. 2020. № 1. 7 с.// http://opusmgau.ru/index.php/see/article/view/1604 Архивная копия от 29 июня 2020 на Wayback Machine
  21. ↑ Nathan Altshiller-Court. “College Geometry. An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle”. Second Edition. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. P. 94, §177. Theorem.
  22. ↑ Вокруг задачи Архимеда. Упр. 7, рис. 11, следствие, c. 5 Архивная копия от 29 апреля 2016 на Wayback Machine.

Литература[править | править код]

  • Johnson, Roger A. Advanced Euclidean Geometry. — Dover, 2007. — ISBN 978-0-486-46237-0.

Ссылки[править | править код]

  • Справочник: Треугольники

См. также[править | править код]

  • Ортоцентр
  • Медиана
  • Замечательные точки треугольника
Источник

Добавить комментарий