Как найти закон движения точки по траектории

    В
задачах данного раздела определяются
координаты, скорость, ускорение точки
в любой назначенный момент времени при
различных способах задания движения.
Из всех способов задания движения точки
наибольшее распространение получили
координатный и естественный способы.

    Рассмотрим
вначале координатный способ задания
движения точки. Положение в пространстве
движущейся точки определяется тремя
координатами в декартовой системе
координат. Эти координаты задаются как
функции времени:

                      
(1.1)

    Зависимости
(1.1) называются уравнениями движения
точки в декартовых координатах.

    Если
движение точки происходит в плоскости
ху, то задаются только два уравнения
движения:

x
= x(t);              
y = y (t).

    При
прямолинейном движении точки достаточно
задать одно уравнение движения:

x
= x(t),

если
принять, что ось х совпадает с прямой,
по которой движется точка.

    Скорость
точки представляет собой вектор,
характеризующий быстроту и направление
движения точки в данный момент времени.

    При
задании движения точки уравнениями
(1.1) проекции скорости на оси декартовых
координат равны:

    Модуль
скорости

                               
.
                                         
(1.2)

    Направление
скорости определяется направляющими
косинусами:

.

    Если
движение точки задается в плоскости
ху, то

.

    При
прямолинейном движении по оси х:

.

    Характеристикой
быстроты изменения скорости является
ускорение
а.
Ускорение точки равно производной от
вектора скорости по времени:

.

    При
задании движения точки уравнениями
(1.1) проекции ускорения на координатные
оси равны:

    Модуль
ускорения:

                      
.
                                         
(1.3)

    Направление
ускорения определяется направляющими
косинусами

;
;.

    Если
движение точки задается в плоскости
ху, то
;

;
;.

    При
прямолинейном движении по оси х

;
.

    Далее
рассмотрим естественный способ задания
движения точки.

    Считается,
что движение точки задано естественным
способом, если указаны ее траектория и
закон изменения криволинейной координаты
s = s(t). Уравнение s = s(t) называется
законом движения точки по траектории.
При этом на траектории указывается
начало отсчета, а также положительное
направление отсчета координаты s в виде
стрелки
.

    Модуль
скорости точки определяется по формуле

                              
.
                                                                 
(1.4)

    Вектор
скорости
V направлен по касательной к траектории
в сторону стрелки
,
если,
и в противоположную сторону, если.

    Ускорение
точки определяется как векторная сумма
касательного и нормального ускорений
точки:

 а
=
а
+
а_n
.

    Модуль
касательного ускорения определяется
по формуле

                             
.
                                                   
(1.5)

    Вектор
касательного ускорения
а
направлен
по касательной к траектории в сторону
стрелки
,
если,
и в противоположную, если.

    Модуль
нормального ускорения определяется по
формуле

                                         
,
                                                            
(1.6)

где

– радиус кривизны траектории в данной
точке.

    Вектор
нормального ускорения
а_n
всегда направлен по главной нормали в
сторону центра кривизны траектории.

    Модуль
полного ускорения

                                           
.
                                                          
(1.7)

    Если
движение точки задано координатным
способом, то можно определить параметры
движения, характерные для естественного
способа задания движения.

    Так
можно, например, по уравнениям движения
точки (1.1) найти уравнение ее траектории
в форме зависимости между координатами.
Для этого надо из уравнений движения
исключить время t. Затем можно найти
закон движения точки по траектории s =
s(t), используя формулу (1.4). Из этой формулы
следует, что ds = V dt; с учетом формулы
(1.2) имеем
и

                                       
.
                                                
(1.8)

    В
законе движения (1.8) за начало отсчета
координаты s принимается начальное
положение точки, когда t = 0. Знак “плюс”
или “минус” перед интегралом ставится
в зависимости от выбора положительного
направления отсчета координаты s: если
движение точки начинается в сторону
стрелки
,
то следует брать знак “плюс”, в противном
случае – знак “минус”.

    Рассмотрим
вначале методику решения задач, в которых
движение точки задано координатным
способом. Уравнения (1.1) определяются
либо из геометрических условий, либо в
результате интегрирования дифференциальных
уравнений движения точки. Интегрирование
дифференциальных уравнений движения
точки рассматривается в разделе “Динамика
точки”, который не входит в данное
пособие. Получение уравнений (1.1) с
использованием геометрии движения
рассмотрим на примере исследования
движения точки обода колеса.

Задача
1.1 (3)

Задача
1.2 (1)

Задача
1.3 (2)

Задача
1.4 (4)

Задача
1.5 (4)

Задача
1.6 (5)

Задача
1.7 (6)

Задача
1.8 (7)

Задача
1.1 (3)

    Найти
уравнения движения точки М обода колеса
радиуса R вагона, который движется по
прямолинейному участку пути со скоростью
V. Колесо катится без скольжения. Точка
М в начальный момент движения соприкасалась
с рельсом, т.е. занимала положение М₀
(рис. 1.1).

Рис.
1.1

    Решение

    Изобразим
на расчетной схеме (рис. 1.1) оси координат
х и у, начало координат поместим в
начальное положение точки М₀.

    Рассмотрим
два положения колеса: в начальный момент
t = 0 и в текущий момент времени t.

    Отметим
положение точки М на ободе колеса и
положение центра С колеса в момент t,
координаты точки: x_м
= М₀В,
у_м
= МВ.

    Расстояние
от центра колеса до рельса остается
постоянным и равным R; это значит, что
центр C колеса движется по прямой,
параллельной оси х. За время t центр
колеса переместится на расстояние C₀C
= Vt (закон равномерного движения точки
C), одновременно колесо повернется на
угол 
.

    Чтобы
получить уравнения движения точки М,
надо координаты этой точки представить
как функции времени.

    Из
расчетной схемы (рис. 1.1) видно, что

х_м
= C₀C
– ЕС, у_м
= ВЕ – МЕ;

или

х_м
= Vt – ЕС, у_м
= R – МЕ.

    Из
треугольника МЕС имеем;

МЕ
= Rsin (90
– 
) = Rcos
,

ЕC
= Rcos (90
– 
) = Rsin
,

Тогда
х_м
= Vt – Rsin
, (a)

у_м
= R – Rcos
.

    Найдем
зависимость угла 
от времени t: так как колесо катится без
скольжения, то длина дуги АМ окружности
обода колеса (рис.1.1) равна длине отрезка
М₀А.

    При
этом

М₀А
= С₀С
= Vt ,

но
длина дуги АМ равна также произведению
радиуса R на центральный угол 
; поэтому Vt = R
, отсюда
.

    Теперь
уравнения (а) будут иметь вид

;
                
.

    Полученные
уравнения представляют собой уравнения
движения точки М. В аналитической
геометрии показано, что это параметрические
уравнения циклоиды (параметром в данном
случае является время t). Таким образом,
траектория точки обода колеса, движущегося
по прямолинейному участку пути без
проскальзывания, является циклоидой.
Длина одной ветви циклоиды L (рис. 1.1)
равна 2
R, высота – H = 2R.

Задача
1.2 (1)

    Даны
уравнения движения точки:

      
;       
(х,
у – м; t – с).                          
(б)

1. Определить
   уравнение траектории и построить ее.

2. Определить
   начальное положение точки на траектории.

3. Указать
   моменты времени, когда точка пересекает
   оси координат.

4. Найти
   закон движения точки по траектории s =
   s(t), принимая за начало отсчета расстояний
   начальное положение точки.

5. Построить
   график движения точки.

    Решение

    1.
Для получения уравнения траектории
вида F(x, y) = 0 исключим из уравнений
движения (б) время t: из первого уравнения
системы (б) найдем

,

подставляя
это выражение во второе уравнение той
же системы, получим уравнение траектории

y
= x + 5.

Рис. 1.2

Это – уравнение прямой линии. Для построения прямой представим ее уравнение в отрезках , где а– отрезок, отсекаемый прямой на оси х, b – отрезок, отсекаемый прямой на оси у. В данном случаеа= -5 м, b = 5 м. Откладываем на оси х отрезока= -5 м, по оси у – отрезок b = 5 м. Через полученные точки проводим прямую (рис. 1.2).

    2.
Для определения положения точки в
начальный момент времени необходимо
подставить значение t = 0 в уравнения
движения (б)

м;

м.

Точка
при t = 0 занимает положение М₀
(-1;4).

    3.
В момент пересечения точкой оси у
координата х равна нулю, а первое
уравнение системы (б) примет вид:

.

Отсюда

где
n = 0, 1, 2 …

    В
момент пересечения точкой оси х координата
у равна нулю, а второе уравнение системы
(б) примет вид:

или
.

Но
косинус не может быть больше 1.
Следовательно, точка не пересекает ось
х (см. об этом также п. 4 решения задачи).

    4.
Для определения закона движения точки
по траектории воспользуемся формулой
(1.8). За начало отсчета координаты s примем
начальное положение точки М₀.
Подставляя в уравнения (б) значения t >
0, видим, что с выходом из начального
положения М₀
координаты точки х и у увеличиваются.
Это направление движения точки примем
за положительное направление отсчета
координаты s (см. стрелку
на
рис. 1.2), а в формуле (1.8) оставим знак
“плюс”:

.

    Учитывая,
что

получим

или

                                         
.
                                                      
(в)

    Из
закона (в) следует, что координата s не
может быть отрицательной, т.е. точка
движется по полупрямой М₀М
(рис.1.2) и ось х не пересекает (см. по этому
поводу п. 3 решения задачи).

    5.
График движения точки – это графическое
представление зависимости расстояния
s от времени t. Для построения такого
графика по оси абсцисс откладывают
последовательные значения времени t, а
по оси ординат – соответствующие им
значения расстояния s. Построенные точки
соединяют плавной линией. График
зависимости (в) можно построить быстрее,
если воспользоваться известным графиком
косинуса. Для этого вначале построим
график функции
(штриховая
линия на рис. 1.3), затем этот график
сместим вдоль оси s на величинум.

Рис.
1.3.

Задача
1.3 (2)

    Даны
уравнения движения точки:

          
;       
(х,
у – см; t – с ).                            
(г)

1. Определить
   уравнение траектории и построить ее.

2. Определить
   начальное положение точки на ее
   траектории.

3. Найти
   закон движения точки по траектории s =
   s(t), принимая за начало отсчета расстояний
   начальное положение точки.

4. Определить
   время T прохождения точкой полной
   окружности.

    Решение

Рис. 1.4

1. Чтобы найти уравнение траектории точки необходимо из уравнений движения (г) исключить время t. Для этого уравнения движения (г) разрешим относительно ии возведем полученные результаты в квадрат ; ,

    сложим
эти уравнения и после преобразования
получим

.

    Это
уравнение окружности радиуса R = 5 см,
центр окружности расположен в точке
С (-2,5; 5) (рис. 1.4).

    2.
Для определения начального положения
точки подставим значение времени t = 0 в
уравнения (г)

х₀
= 5 соs0 – 2,5 = 2,5 см; у₀
= 5 sin0 – 5 = 5 см;

    Точка
при t = 0 занимает положение М₀
(2,5; 5).

    3.
Для определения закона движения точки
по траектории воспользуемся формулой
(1.8). За начало отсчета координаты s примем
точку M₀.
Из системы уравнений (г) видно, что с
увеличением времени t от нуля x уменьшается,
а y увеличивается.

    Такое
возможно, если после выхода из начального
положения точка будет двигаться по
окружности против часовой стрелки. Это
направление движения точки примем за
положительное направление отсчета
координаты s (см. стрелку
на
рис. 1.4), а в формуле (1.8) перед интегралом
оставим знак “плюс”:

,
где
;.

    Отсюда

                                              
;
.
                                          
(д)

    4.
Определим время Т прохождения точкой
полной окружности.
Т – время, по
истечении которого s в формуле (д) станет
равным длине окружности 2
R:

                                       
.

    Отсюда
с.

Задача
1.4 (4)

    Даны
уравнения движения точки:

                              
;
               
y = t (x, y – м; t – с ).                                
(е)

1. Определить
   уравнение траектории точки.

2. Определить
   скорость и ускорение точки при t = 0 и t
   = 1 с.

3. Построить
   траекторию и указать полученные векторы
   скорости и ускорения на чертеже.

    Решение

    1.
Уравнение траектории получается
подстановкой в первое уравнение системы
(е) величины t = y, полученной из второго
уравнения этой системы:

                                                  
.
                                                            
(ж)

    2.
Модуль скорости точки определяется по
формуле
,
где–
проекции вектора скорости на координатные
оси. Для заданного движения (е) имеем

,
                            
м/c.

    При
t = 0                  
,м/c.

    Модуль
скорости V₀
= 1 м/c.

    При
t = 1 с,          
м/c,м/c.

    Модуль
скорости V₁
= 4,82 м/с.

    Модуль
ускорения точки определяется по формуле
,
где,–
проекции вектора ускорения на координатные
оси. Для заданного движения (е) имеем

                               
,
                          
.

    При
t = 0             
м/с²
,
               
.

    Модуль
ускорения a₀
= 7,4 м/с².

    При
t = 1 с                  
,.

    Модуль
ускорения a₁
= 0.

    3.
Траектория точки (ж) представляет собой
косинусоиду.

Рис.1.5

Для построения траектории найдем по уравнению (ж) пять точек, задавшись пятью значениями у: у = 0, 1, 2, 3, 4, М0(3; 0), М1(0; 1), М2(-3; 2), М3(0; 3), М4(3; 4). По этим точкам построена траектория на рис. 1.5.   Определим положение точки в моменты времени t = 0 и t = 1 с, учитывая (е). При t = 0 x0 = 3 м, y0 = 0, точка занимает положение М0(3; 0).

  При
t = 1 с x₁
= 0, y₁ =
1 м, точка занимает положение М₁(0;
1). Для этих положений точки построим
векторы скорости и ускорения. От точки
M₀
отложим проекции скорости V_0x = 0
и V_0y = 1
м/с (см. п.2); направление вектора 
V₀
показано на рис. 1.5. Вектор скорости 
V₁
построим следующим образом: через точку
M₁
проведем оси
и,
осьпараллельна
оси x, а осьсовпадает
с осью y. Вдоль этих осей от точки M₁
отложим отрезки, равные проекциям V_1x
и V_1y
(с
учетом их знаков); затем построим
прямоугольник, диагональ которого есть
вектор 
V₁.
Модуль вектора ускорения
a₀
равен модулю проекции a_0x
(см. п. 2), 
a₀
направлен от точки M₀
в сторону, противоположную положительному
направлению оси x (cкорости 
V₀,

V₁
должны совпадать с касательными к
траектории соответственно в точках M₀
и M₁.
Вектор
a₀
должен быть направлен от точки M₀
внутрь кривой).

Задача
1.5 (4)

    Даны
уравнения движения точки:

                       
;
         
(х,
у – м; t – с ).                     
(з)

1. Определить
   уравнение траектории точки.

2. Определить
   скорость и ускорение точки при t = 1 с.

3. Построить
   траекторию и указать полученные векторы
   скорости и ускорения на чертеже.

    Решение

    1.
Для того чтобы получить уравнение
траектории, необходимо из уравнений
движения (з) исключить время. Запишем
эти уравнения в виде

,
.

    Возведем
оба уравнения в квадрат, вычтем второе
из первого и получим уравнение траектории:

                                                  
x²
– y²
= 4².
                                                              
(и)

    Это
уравнение равнобочной гиперболы, полуось
которой b = 4 м.

    2.
Определим проекции скорости

    В
заданный момент времени t = 1с, V_1x
= 4,68 м/с, V_1у
=
6,16 м/с
модуль скорости
м/с.

    Определим
проекции ускорения

м/с²,
           
м/с²
.

    В
момент времени t = 1с, а_1x
= 6,16 м/с²,
а_1у
=
4,68 м/с²
модуль
ускорения
м/с².

    3.
Построим траекторию точки по уравнению
(и). Действительной осью гиперболы
является ось х (рис. 1.6). На траектории
найдем точку М₁,
соответствующую моменту времени t = 1 с.
Координаты этой точки: x₁ = 2(e +
e^-1)
= 6,16 м; y₁ = 2(e –
e^-1)
= 4,68 м; M₁
(6,16; 4,68).

Рис.
1.6

Вектор
скорости построим следующим образом:
через точку М₁
проведем оси
и,
параллельные соответствующим осям x и
y; вдоль этих осей от точки М₁
отложим отрезки, равные проекциям V_1x
и V_1y
(с учетом их знаков). Диагональ
прямоугольника, построенного на этих
отрезках, есть вектор
V₁.
Вектор ускорения
a₁
строим подобным образом: от точки М₁
вдоль оси
отложим
отрезок, равный проекцииa_1x,
а вдоль оси
отложим
отрезокa_1y.
Затем на этих отрезках строим прямоугольник,
диагональ которого есть вектор
a₁.
Вектор скорости
V₁
должен быть направлен по касательной
к траектории в точке M₁,
а вектор ускорения
a₁
должен быть направлен от точки M₁
внутрь кривой.    
Задача 1.6 (5)

Рис. 1.7

Даны уравнения движения точки М шатуна АВ кривошипно-ползунного механизма (рис. 1.7): (х, у – м; t – с ).         (к) Определить уравнение траектории точки. Определить скорость и ускорение точки в момент, когда она пересечет прямую y = 20 см.

    Решение

1.
Чтобы определить уравнение траектории,
следует исключить время из уравнений
движения (к). Учитывая, что

,

получим
.

Траектория
представляет собой эллипс с полуосями
20 см и 40 см.

    2.
Определим время Т, когда точка пересечет
прямую у = 20 см, первое уравнение системы
(к) в этот момент примет вид:
20 = 40 sin2
t, отсюда следует
с.

    Найдем
величины скорости и ускорения по
значениям их проекций в момент времени
с:

см/с;
               
см/с.

    Модуль
скорости
см/с.

    Проекции
ускорения

см/с²;

см/с².

    Модуль
ускорения

см/с².

Задача
1.7 (6)

    Дан
закон движения точки по окружности
радиуса R = 5 м:

                 
(s
– см; t –с ).                                             
(л)

1. Определить
   скорость и ускорение точки при t = 0 и t₁
   = 10 с.

2. Определить
   моменты остановки точки.

3. Определить
   путь, пройденный точкой за 10 с.

    Решение

Рис. 1.8

1. На траектории отметим точку O – начало отсчета координаты s и укажем положительное направление отсчета этой координаты стрелкой (рис. 1.8). Отметим положение точки в моменты времени t = 0 и t1= 10 с. При t = 0 s0= -15 см; при t1= 10 с s1= 355 см. Положение точек M0и M1указано на рис. 1.8. Проведем из точек M0и M1естественные оси координат0, n0;1, n1.

Определим
проекцию скорости на касательную
,
учитывая (л),

                                          
.
(м)

При
t = 0,                 
V
_o
= 162 см/с             
и t₁
= 10 c                
V
₁
= 12 см/с.

    Теперь
отложим найденные проекции скорости
из точек M₀
и M₁
по соответствующим касательным: V
_o
– по касательной 
_o,
V
₁
– по касательной 
₁.
Векторы 
V_o
и 
V₁
совпадают со своими проекциями V
_o
и V₁.

Определим
проекции ускорения на естественные оси
координат, учитывая (л),

см/с²;
см/с².

    Ускорение
точки
.

При
t = 0                       
см/с²;
                   
см/с²;

см/с².

При
t₁
= 10 с             
см/с²;
                     
см/с²;

см/с².

    Отложим
из точек M₀
и M₁
по естественным осям проекции а_o,
а_no,
а
₁,
а_n1.
Векторы
a₀,
a₁
изображаются диагоналями прямоугольников,
построенных на проекциях ускорений.

    2.
Чтобы найти моменты остановки, необходимо
найти время t*, когда скорость точки
равна нулю. Из уравнения (м) получим

3(t*)²
– 45t* + 162 = 0.

    Решив
это уравнение, будем иметь t₁*
= 6 с, t₂*
= 9 с.

    3.
Поскольку за 10 с точка сделала две
остановки (см. п. 2), пройденный ею путь
за 10 с можно найти как сумму пути,
пройденного точкой от начального
положения до первой остановки, пути,
пройденного точкой от первой до второй
остановки, и пути, пройденного точкой
от второй остановки до момента времени
t₁
= 10 с, т.е.

,

где
s₀
= -15 см;

см;

см;

см.

Путь,
пройденный точкой за 10 с, равен

 см.

Задача
1.8 (7)

    По
заданным уравнениям движения точки:

       
;
               
(х,
у – м; t – с)                         
(н)

найти
ее касательное и нормальное ускорение,
а также радиус кривизны траектории для
заданного момента времени t₁
= 0,5 
с.

    Решение

    Заданные
уравнения движения точки (н) позволяют
найти проекции скорости точки, м/с,

;

.

    Модуль
скорости, м/с,

                                    
.
                                  
(о)

    В
момент времени t₁
= 0,5 
с V₁
= 2 м/с.

    Проекции
ускорения точки, м/с²:

.

    Модуль
полного ускорения, м/с²

                                   
.
                                      
(п)

    В
момент времени t₁
= 0,5 
                        
с_а
= 2 м/с².

    Зная
выражение скорости, как функции времени
t (о), определим модуль касательного
ускорения точки, м/с²,
по формуле (1.5)

                                          
.
                                       
(р)

    В
момент
см/с².

    По
полному ускорению (п) и касательному
ускорению (р) найдем модуль нормального
ускорения точки для
с,
учитывая формулу (1.7)

м/с².

    Нормальное
ускорение а_n1
и радиус кривизны траектории 
₁
связаны зависимостью (1.6), из которой
следует, что при
с

м.

Кинематика изучает простейшую форму движения – механическое движение. Кинематически определить движение тела – это значит указать его положение относительно выбранной системы отсчета в каждый момент времени.

Движение материальной точки (в дальнейшем будем говорить просто точки) задано, если известен закон движения.

Закон движения. Закон движения – это уравнение, позволяющее определить положение точки относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени.

Основная задача кинематики точки. По известному закону движения определить  траекторию движения точки, ее положение на траектории, скорость и ускорение точки в ее положении на траектории.

Способы задания движения точки

В зависимости от выбора системы отсчета существуют три способа задания движения точки – векторный, координатный и естественный. Рассмотрим эти способы задания движения в отдельности.

Векторный способ задания движения точки

Пусть точка  движется вдоль некоторой линии. В качестве начала отсчета выберем произвольный центр . Положение точки  на линии определяется радиус-вектором  (рис.К.9).

 

Таким образом, вектор  определяет положение движущейся точки в любой момент времени. Следовательно, уравнение  является законом движения при векторном способе задания движения.

Величина  называется вектором скорости точки. Вектор скорости точки всегда направлен по касательной к годографу (траектории движения точки) в сторону перемещения точки.

Величина         называется вектором ускорения точки.

Определим направление вектора . Направление вектора  определяется направлением вектора .  Пусть точка  движется по некоторой траектории (рис.К.10) от точки  к точке . Пусть скорость в точке  равна , а скорость в точке  равна . Перенесем вектор  параллельно самому себе из точки  в точку .

Тогда вектор .

 

 Как показано на рис.К.10, вектор  направлен в сторону вогнутости траектории движения точки, следовательно и вектор ускорения  всегда направлен в ту же сторону, то есть в сторону  вогнутости траектории движения точки.

 Координатный способ задания движения точки

Пусть точка  движется вдоль некоторой линии. В качестве системы отсчета выберем декартовую систему координат с началом в произвольном центре . Тогда положение точки  на линии определяются текущими координатами в любой момент времени

Следовательно, система уравнений  определяют закон движения точки при координатном способе задания движения. Исключая из закона движения время , получим уравнение вида , являющееся уравнением траектории движения точки.

Пример. Закон движения записывается уравнениями . Найти уравнение траектории движения точки.

Решение. Из первого уравнения следует, что  или . Тогда из второго уравнения . Или . Таким образом получено, что  траекторией движения точки является прямая линия .

Компоненты скорости и ускорения движущейся точки в любой момент времени определяются по формулам

 

                                                                                                         (К.9)      

                                                                .

Модули скорости и ускорения                                                              

                                                                                      (К.10)                                                     

Векторы скорости и ускорения

                                        

                                         .

Содержание:

Предмет кинематики:

Кинематикой называют раздел теоретической механики, в котором изучают механическое движение, рассматриваемое без учета сил, приложенных к движущимся объектам

Арифметика наряду с некоторыми другими науками, занимающимися исчислением, является наиболее отвлеченной из математических наук. Для нее достаточно одного понятия «число», и она не нуждается ни в каких других фундаментальных понятиях.

Геометрия не может ограничиться одним понятием числа. Она основывается также и на понятиях, связанных с геометрической формой (длина, поверхность, объем, угол). Геометрия часто пользуется понятием движения; линию геометрия определяет как след точки. Но если точка оставила след, то, следовательно, она передвигалась; фигура, образовавшая тело вращения, поворачивалась вокруг оси, т. е. тоже находилась в движении. Однако геометрию не интересует, совершалось ли это движение в течение многих тысячелетий или же в малые доли секунды. Понятие времени чуждо геометрии. Размерностью геометрических величин является размерность длины L в той или иной степени (площадь измеряется в L², объем—в L³, размерность угла

К понятиям числа и геометрической формы добавляется новое понятие — «время» в науке, изучающей геометрические свойства движения и называемой кинематикой.

«В мире нет ничего, кроме движущейся материи, и движущаяся материя не может двигаться иначе, как в пространстве и во времени». Механическое движение, как и все прочие виды движения (теплота, электричество, ядерные процессы, органическая жизнь и пр.), не может происходить вне времени. Напомним, что под механическим движением мы понимаем один из видов движения материи, выражающийся в изменении с течением времени взаимных положений тел или частей тела. Положение тел, а также их механическое движение может быть отмечено лишь относительно других реальных или условных тел. Так, например, положение корабля может быть отмечено относительно берегов или относительно сетки географических долгот и широт; чтобы дать положение летящего самолета, можно указать направление, в котором этот самолет находится, и расстояние до него или же дать его координаты х, у и z относительно системы осей, определенным образом ориентированных в пространстве; чтобы дать положение поезда, можно назвать железную дорогу, по которой он движется, и его расстояние от станции. Реальное или условное твердое тело, по отношению к которому определяется положение других движущихся тел, называют системой отсчета.

Кинематика изучает изменения в положении тел по отношению к системе отсчета. Она дает возможность разобраться в многообразии видов механического движения и установить пространственные и временные меры движения (путь, скорость и т. п.), но не дает возможности предсказать, как будет двигаться тело под действием приложенных сил, или определить, какие силы должны быть приложены к телу для того, чтобы оно совершало то или иное движение. Понятие «силы» чуждо кинематике.

Формулы размерности кинематических величин содержат размерности длины L и времени Т, размерность же силы F или массы M в размерность кинематических величин не входит.

Кинематика является разделом теоретической механики, в котором изучают механическое движение, рассматриваемое без учета сил, приложенных к движущимся объектам. Изучение же механического движения в связи с силами, приложенными к движущимся объектам, составляет предмет динамики.

Кинематика наряду со статикой является необходимой предпосылкой динамики и, следовательно, всех других механических дисциплин. Но кинематика имеет также и непосредственное применение в технике. Техника широко пользуется законами и формулами кинематики. Большое значение кинематика имеет в теории механизмов и машин (TMM) .

История развития кинематики

Кинематика как самостоятельный раздел теоретический механики возникла в XIX столетии

Многие сведения из кинематики были известны еще в глубокой древности. Так, например, в сочинении «Механические проблемы», принадлежащем Аристотелю или кому-либо из его учеников, дан закон сложения двух прямолинейных равномерных движений. В древней астрономии пользовались равномерным круговым движением точки и знали, что проекция этой точки на прямую, лежащую в той же плоскости, совершает гармоническое колебание. Но появление отрывочных сведений еще не является возникновением науки. И хотя основателем кинематики иногда называют Галилея, кинематика как самостоятельный раздел теоретической механики возникла лишь в XIXв.

Упомянем о некоторых из открытий Галилея в области кинематики.

Галилей показал, что пути, проходимые движущимся телом, не всегда пропорциональны времени, и в своих исследованиях он пользовался понятием скорости. Но во времена Галилея считали возможным делить друг на друга только отвлеченные или одноименные числа, и потому Галилей не дал формулы скорости точки как отношения пройденного пути ко времени: 

Тем более он не мог дать формулы скорости в данное мгновение, которая стала возможной лишь после открытия дифференциального исчисления. Обе эти формулы были введены в науку Эйлером в сочинении «Механика, т. е. наука о движении, изложенная аналитическим методом», изданном в Петербурге в 1736 г.

Совершенно новым понятием, к которому пришел Галилей, возможно, под влиянием работ Бенедетти, было понятие ускоренного прямолинейного движения, хотя Галилей не вводит термина «ускорение» и не приводит формулы ускорения как отношения изменения величины скорости ко времени.

Галилей дал законы равноускоренного движения и свободного падения тел, установив, что пути, проходимые падающим телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как ряд нечетных чисел. Так, было установлено, что пути, проходимые свободно падающим телом, пропорциональны квадрату времени, и в современном обозначении

Законы падения тел Галилей вывел экспериментально, наблюдая качение шаров по наклонным плоскостям. Еще Леонардо да Винчи, великому предшественнику Галилея в области механики, была известна зависимость между длинами (и высотами) наклонных плоскостей и временем, в течение которого с этих плоскостей спускаются шары. Но эти работы Леонардо да Винчи не могли оказать влияния на развитие науки, они стали частично известны лишь после того, как в 1797 г. их опубликовал Вентури. Ко времени их опубликования эти работы имели только историческое значение.

Галилей показал, что движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту, состоит из двух независимых друг от друга движений: горизонтального равномерного и вертикального равнопеременного. Этим он не только ввел в употребление законы параллелограмма перемещений (см. §27), но в принципе обосновал введенный значительно позднее (в 1742 г.) Маклореном координатный способ определения движения (см. § 21), при котором движение точки рассматривают по движениям ее проекций на неподвижные оси.

Кинематика солнечной системы была создана в развитие теории Коперника астрономом Иоганном Кеплером и выражена в трех законах (1609 и 1619 гг.). Хотя законы Кеплера относятся только к движению планет, они имели громадное влияние на развитие всей теоретической механики.

Гюйгенс установил, что при движении точки по окружности центробежная сила пропорциональна квадрату скорости и обратно пропорциональна радиусу круга, откуда позднее было установлено,что при всяком криволинейном движении нормальное ускорение пропорционально квадрату скорости и обратно пропорционально радиусу кривизны.

Эйлер, по-видимому, первый (1772 г.), а за ним уже Ампер (1834 г.) предложили выделить кинематику в самостоятельный раздел механики — учение о.механическом движении без учета сил, приложенных к движущимся объектам.

Гаспар Кориолис исследовал составное движение и доказал (1831 г.) знаменитую теорему, позднее получившую название теоремы Кориолиса. Эта теорема является основной в механике относительного движения и имеет огромное значение для различных отраслей науки. Несколько позднее на основе этой теоремы в кинематике составного движения точки стали применять ускорение Кориолиса.

Понятие полного ускорения как величины, характеризующей изменение скорости в данное мгновение, установлено сравнительно недавно. Эта честь принадлежит Понселе, впервые начавшему применять понятие и термин «ускорение» в своих лекциях (1841 г.), и Резалю, впервые применившему его в учебнике (1851 и 1862 гг.).
Луи Пуансо в работе «Новая теория вращения тел» (1834 г.) обогатил кинематику рядом блестящих исследований и дал наглядные геометрические интерпретации. В частности, он изучил сложение вращений и вращение тела около неподвижной точки. Эта геометрическая теория позднее была развита Понселе, Шалем, Мебиусом и др.

По-видимому, первую монографию по кинематике под названием «Трактат по чистой кинематике (движение, рассматриваемое независимо от его причин)» издал Резаль (1862 г.). По прикладной кинематике заслуживает упоминания книга проф. П. О. Сомова «Кинематика подобно-изменяемой системы двух измерений» (1885 г.).

В настоящее время кинематика является хорошо исследованной областью науки, и дальнейшее развитие кинематики происходит преимущественно в виде применения ее к различным частным задачам техники.

Кинематика точки

В кинематике изучается движение материальных объектов (точки, твердого тела, сплошной среды) без рассмотрения причин, вызывающих или изменяющих это движение. Такое изучение движения материальных объектов не требует учета материальных характеристик этих объектов — массы, моментов инерции и др.

В кинематике рассматривают такие характеристики движения, как скорость и ускорение точки, угловые скорость и ускорение твердого тела и др.

Движение материальных объектов, в частности материальной точки, совершается в пространстве при изменении времени. Пространство в классической механике считается эвклидовым, не зависящим от времени и движущихся в нем материальных объектов. Время принимается универсальным, не связанным с пространством и не зависящим как от движения наблюдателя, с точки зрения которого рассматривается движение материального объекта, так и от движения самого материального объекта.

Движение материального объекта всегда следует рассматривать относительно какого-либо твердого тела — тела отсчета, т.е. движение является относительным. С телом отсчета скрепляют систему осей координат, например декартовых, принимая ее за систему отсчета, относительно которой рассматривается движение материального объекта. Системой отсчета для трехмерного эвклидова пространства не может служить одна точка, линия или плоскость, а должны быть три оси, не обязательно прямолинейные, но не лежащие в одной плоскости.

Независимость времени от движения означает, что во всех системах отсчета, произвольно движущихся друг относительно друга, оно одно и то же, если за начало отсчета выбрано общее для них событие.

В кинематике сплошной среды телами отсчета, относительно которых рассматривается движение, могут быть также деформируемые тела.

В курсе теоретической механики обычно изучаются движение точки и твердого тела. Соответственно кинематика делится на кинематику точки и кинематику твердого тела. В настоящем курсе дополнительно излагаются также основы кинематики сплошной среды.

В кинематике точки рассматриваются характеристики движения точки, такие, как скорость, ускорение, и методы их определения при различных способах задания движения. Важным в кинематике точки является понятие траектории. Траекторией точки называется геометрическое место ее последовательных положений в пространстве с течением времени относительно рассматриваемой системы отсчета.

По виду траекторий движения точки делятся на прямолинейные и криволинейные. Форма траектории зависит от выбранной системы отсчета. Одно и то же движение точки может быть прямолинейным относительно одной системы отсчета и криволинейным относительно другой. Например, если с летящего горизонтально Земле с постоянной скоростью самолета отцеплен груз, то, пренебрегая сопротивлением воздуха и учитывая только действие силы тяжести, получим в качестве траектории движения центра масс груза относительно самолета прямую линию, а относительно Земли — параболу.

Скорость точки

Одной из основных характеристик движения точки является ее скорость относительно выбранной системы отсчета, которая изображена в виде декартовой прямоугольной системы координат (рис. 1).

Рис. 1

Положение движущейся точки относительно рассматриваемой системы отсчета определяется в момент времени  радиусом-вектором , который соединяет неподвижную точку с этой точкой. В другой момент времени движущаяся точка займет положение и ее радиусом-вектором будет . За время радиус-вектор движущейся точки изменится на .

Средней скоростью точки за время называют отношение  , т. е.

Средняя скорость параллельна вектору . В общем случае она зависит от времени осреднения . У нее нет конкретной точки приложения на траектории.

Введем скорость точки в момент , которая определяется как предел средней скорости, если промежуток времени, за который определяется средняя скорость, стремится к нулю, т. е.

Скорость точки направлена в сторону ее движения по предельному направлению вектора при , стремящемся к нулю, т. е. по предельному направлению секущей ,  которая совпадает с касательной к траектории в точке . Таким образом, скорость точки равна первой производной по времени от ее радиуса-вектора. Она направлена по касательной к траектории в сторону движения точки.

Начало радиуса-вектора движущейся точки можно выбрать в любой неподвижной точке. На рис. 1 представлен случай, в котором радиусом-вектором является также р с началом в точке . Радиусы-векторы и имеют одинаковые изменения и за время и поэтому

Размерность скорости в получаем из (1):

.

Часто скорость выражают в км/ч; .

Для характеристики переменного вектора используют понятие его годографа. Годографом вектора называют геометрическое место его концов, если переменный вектор в различные моменты времени откладывать от одной и той же общей точки.

Траектория точки, очевидно, является годографом радиуса-вектора или  (рис. 1). Последовательные положения вектора в различные моменты времени откладываются в этом случае от точки , а вектора  — от точки .

Первая производная по времени от радиуса-вектора есть скорость точки, направленная по касательной к траектории. Следовательно, параллельно касательной к годографу направлена первая производная по скалярному аргументу от любого переменного вектора.

Годографом вектора скорости является линия, на которой располагаются концы этого вектора в различные моменты времени, если их начала совместить в одной общей точке. Для построения годографа вектора скорости выбираем точку, например  (рис. 2,6), и начала векторов скорости для различных моментов времени переносим в эту точку, не изменяя их величин и направлений. Каждой точке траектории (рис. 2, а) будет соответствовать своя изображающая точка на годографе вектора скорости (рис. 2,6). Масштаб для скоростей при построении годографа вектора скорости может быть выбран отличным от масштаба для скоростей, изображаемых в точках траектории. При движении точки по траектории соответствующая ей изображающая точка движется по годографу вектора скорости.

Рис. 2

При равномерном движении точки по прямой годографом вектора скорости является одна точка; при неравномерном движении — отрезок прямой, параллельный траектории.

Ускорение точки

Пусть движущаяся точка в момент времени имеет скорость . В момент времени эта точка занимает положение , имея скорость  (рис. 3,а). Чтобы изобразить приращение скорости за время , перенесем вектор скорости параллельно самому себе в точку .

Средним ускорением точки за время называют отношение , т. е. . Среднее ускорение точки параллельно приращению скорости . Как и средняя скорость, среднее ускорение не имеет на траектории конкретной течки приложения и изображено в точке условно. В общем случае среднее ускорение зависит от времени .

Ускорением точки в момент времени называют предел, к которому стремится среднее ускорение при , стремящемся к нулю, т. е.

Рис. 3

Таким образом, ускорение точки равно первой производной по времени от скорости точки.

Приращение скорости и, следовательно, среднее ускорение направлены внутрь вогнутости траектории. Так же направлены и их предельные значения при , стремящемся к нулю. Поэтому ускорение точки направлено тоже внутрь вогнутости траектории. Кроме того, ускорение как первая производная по времени от скорости, по свойству годографа вектора, параллельна касательной к годографу вектора скорости (рис. 3,6).

Размерность ускорения в получаем из (2):

Векторный способ изучения движения

Движение точки относительно рассматриваемой системы отсчета при векторном способе изучения движения задается радиусом-вектором этой точки (рис. 4). Движение точки считается заданным, если известен радиус-вектор движущейся точки как функция времени, т. е.

Задание векторного уравнения движения (3) полностью определяет движение точки.

Траекторией точки является годограф радиуса-вектора. Скорость точки направлена по касательной к траектории и вычисляется, согласно ее определению, по формуле

Для ускорения точки соответственно имеем

Таким образом, если движение точки задано векторным способом, то скорость и ускорение вычисляются по формулам (4) и (5).

Определение скорости и ускорения точки сводится к чисто математической задаче вычисления первой и второй производных по времени от радиуса-вектора этой точки. Для практического вычисления скорости и ускорения обычно используют координатный и естественный способы изучения движения. Векторный способ ввиду его краткости и компактности удобен для теоретического изложения кинематики точки.

Рис. 4

Координатный способ изучения движения

Задание движения и траектория:

Движение точки можно изучать используя любую систему координат. Рассмотрим случай декартовых прямоугольных осей координат, которые являются также системой отсчета, относительно которой рассматривается движение точки. Движение точки в декартовых координатах считается заданным, если известны координаты точки как непрерывные, дважды дифференцируемые функции времени (рис. 5), т. е. заданы уравнения движения точки в декартовых координатах:

Уравнения движения точки в декартовых координатах полностью определяют движение точки. Они позволяют найти положение точки, ее скорость и ускорение в любой момент времени. Уравнения движения (6) есть также уравнения траектории точки в параметрической форме. Параметром является время . Уравнения траектории в координатной форме из (6) получают исключением параметра . Исключая время, например, из первых двух уравнений и затем из второго и третьего, получим уравнения двух поверхностей:

Это и есть уравнения траектории в координатной форме. Траекторией является линия пересечения двух поверхностей. Эти поверхности являются цилиндрическими, так как их уравнения не содержат одной из координат: первое — координаты , второе — координаты . Ось первой цилиндрической поверхности параллельна оси , второй — оси .

Исключая время из уравнений движения в другом порядке, получим траекторию точки как линию пересечения двух других цилиндрических поверхностей, например

При исключении параметра из уравнений движения могут быть получены отрезки линий или точки, которые не содержатся в уравнениях (6). Эти дополнительные точки не следует считать точками траектории.

Рис. 5

Пример 1.

Даны уравнения движения точки по плоскости

где , ,  — положительные постоянные величины. Определить уравнение траектории в координатной форме.

Решение. Уравнения движения (а) есть уравнения траектории точки в параметрической форме с параметром . Исключим его из уравнений движения. Для этого достаточно сложить правые и левые части уравнений, разделив предварительно первое уравнение на , а второе — на . Получим

так как

Уравнение (б) есть уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки  и (рис. 6).

Рис. 6

Из уравнений (а) следует, что координаты точки и все время положительны и удовлетворяют условиям , , т. е. они могут изменяться только в пределах , .  Точки прямой, для которых и , не содержатся в уравнениях движения (а). Они дополнительно появились при исключении из уравнений параметра . Их не следует включать в траекторию.

Траектория точки в координатной форме выражается уравнением и двумя неравенствами:

Скорость в декартовых координатах

Разложим радиус-вектор и скорость точки на составляющие, параллельные осям координат (рис. 7). Получим

где — координаты точки —единичные векторы осей координат; — проекции скорости на оси координат.

Учитывая (7), согласно определению скорости, имеем

так как   не изменяются при движении точки . Точки над   означают их производные по времени. Сравнивая (7) и (8), получаем для проекций скорости на декартовы оси координат следующие формулы:

Проекция скорости точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей координаты этой точки. По проекциям определяют числовое значение (модуль) скорости и косинусы углов вектора скорости с осями координат:

Рис. 7

Рис. 8

Если точка движется в плоскости, то, выбрав оси координат и в этой плоскости, получим:

Соответственно

Для прямолинейного движения точки координатную ось, например Для прямолинейного движения точки координатную ось, например Ох, направляют по траектории (рис. 8). Тогда и , , . Проекция скорости и ее модуль определяются по формулам

Уравнение годографа вектора скорости

Известны уравнения движения точки в декартовых координатах. Получим уравнения годографа вектора скорости. На рис. 9, а изображены траектория точки и несколько векторов скорости в выбранном масштабе для различных моментов времени, а на рис. 9,6 представлен годограф вектора скорости этого движения. Точке на траектории соответствует точка на годографе вектора скорости.

Координаты точки , согласно определению годографа, выражаются через проекции вектора скорости на оси координат по формулам

Если оси координат для годографа вектора скорости параллельны соответствующим осям координат, относительно которых заданы уравнения движения точки, то

Рис. 9

Параметрические уравнения годографа вектора скорости принимают такую форму:

Исключая из этих уравнений параметр , получим уравнения годографа вектора скорости в координатной форме.

Годограф вектора скорости дает наглядное представление о скоростях движущейся точки в разные моменты времени. Он также позволяет определить направление вектора ускорения, так как ускорение параллельно касательной к годографу вектора скорости.

Ускорение точки в декартовых координатах

Разложим ускорение точки на составляющие, параллельные осям декартовой системы координат. Получим

где — проекции ускорения на координатные оси. Согласно определению ускорения и формулам (7) и (8), имеем

Сравнивая (11) и (12), получаем формулы для проекций ускорения на оси декартовой системы координат:

Проекция ускорения на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты движущейся точки.

Числовое значение ускорения и косинусы углов вектора ускорения с осями координат определяем по формулам

При движении точки по плоскости оси и выбирают в этой же плоскости. Тогда , . Формулы для ускорения и его проекций на оси координат примут вид

Соответственно

Для прямолинейного движения ось направим по траектории точки. Тогда , и , . Формулы для ускорения и его проекции на ось принимают вид

Соответственно для числового значения ускорения имеем

Рис. 10

Пример 2.

Движение точки по плоскости задано уравнениями

где , и —постоянные положительные величины. Определить уравнение траектории в координатной форме, значения скорости и ускорения точки в момент времени , а также уравнение годографа вектора скорости.

Решение. Уравнение траектории в координатной форме находим исключением времени из уравнений движения. Для этого поделим первое уравнение на , второе — на , возводим в квадрат и складываем. Получаем уравнение эллипса (рис. 10, а) с полуосями  и :

так как

При точка имеет координаты , т. е. занимает положение . Определим проекции скорости и ускорения на оси координат. Имеем:

Для момента времени получаем:

По проекциям устанавливаем направление скорости по касательной к траектории и направление ускорения по радиусу-вектору к точке . Изображаем эти векторы в точке и дополнительно в точках и .

Если выбрать для годографа вектора скорости оси и параллельными осям и , то для его текущих координат имеем

Исключая из этих параметрических уравнений годографа вектора скорости время г, получим следующее его уравнение в координатной форме:

На рис. 10,6 отмечены три изображающие точки годографа , и , соответствующие точкам траектории , и , а также указаны направления ускорения в этих точках.

Естественный способ изучения движения

Естественный способ задания движения:

При естественном способе задания движения задаются траектория и закон движения точки по траектории. Движение точки рассматривается относительно фиксированной системы отсчета. Задание траектории относительно выбранной системы отсчета осуществляется различными способами: уравнениями (возможно, вместе с неравенствами), словесно или в виде графика (в каком-либо масштабе). Например, можно сказать, что траекторией автомобиля, принимаемого за точку, является дуга окружности радиусом 10 км и т. д.

Для задания закона движения точки по траектории необходимо выбрать на траектории точку , принимаемую за начало отсчета расстояний (рис. 11). Расстояния в одну сторону от точки по траектории считаются положительными (например, вправо), в другую — отрицательными. Кроме того, следует задать начало отсчета времени. Обычно за принимают момент времени, в который движущаяся точка проходит через точку , или момент начала движения. Время до этого события считается отрицательным, а после него — положительным.

Если в момент времени движущаяся точка занимает положение М, то закон движения точки по траектории задается зависимостью от времени расстояния , отсчитываемого от точки до точки , т. е. . Эта функция должна быть непрерывной и дважды дифференцируемой. Расстояние берется по траектории, какой бы сложной ни была форма траектории. Это расстояние не имеет прямого отношения к пройденному точкой пути за время , так как за начало отсчета расстояний может быть выбрана, в частности, и конечная точка пути. К тому же движение точки может быть колебательным вокруг начальной точки .

Рис. 11

От задания движения в декартовых координатах можно перейти к его заданию естественным способом. Закон движения точки по траектории в дифференциальной форме через декартовы координаты выражается в виде

и после интегрирования —в конечной форме

если

За начало отсчета расстояний принята точка траектории, в которой находится движущаяся точка в начальный момент времени. Знак у квадратного корня определяется выбором направления положительных и отрицательных расстояний.

Скорость точки при естественном способе задания движения

Пусть движение точки задано естественным способом, т. е. заданы траектория точки и закон ее движения по траектории . Вычислим скорость точки. Для этого используем радиус-вектор движущейся точки, начало которого находится в неподвижной точке (рис. 12). При движении точки ее радиус-вектор изменяется с течением времени, а следовательно, он изменяется в зависимости от расстояния. Используя определение скорости, имеем

или , где . Вектор направлен по касательной к траектории как производная от вектора по скалярному аргументу и является единичным вектором. Модуль этого вектора равен единице, как предел отношения длины хорды к длине стягивающей ее дуги при стремлении ее к нулю.

Единичный вектор всегда направлен по касательной к траектории в сторону возрастающих (положительных) расстояний независимо от направления движения точки. При направления векторов и совпадают. Вектор в этом случае направлен в сторону возрастающих расстояний. Если точка движется в сторону убывающих расстояний, то и направления векторов и противоположны. Но вектор направлен в сторону убывающих расстояний, а следовательно, вектор опять направлен в сторону возрастающих расстояний.

При вектор скорости направлен по , т. е. в сторону возрастающих расстояний; при он имеет направление, противоположное , т. е. в сторону убывающих расстояний.

Величина называется алгебраической скоростью точки. Ее можно считать проекцией скорости на положительное направление касательной к траектории, совпадающее с направлением единичного вектора .

Рис. 12

Естественное задание движения точки полностью определяет скорость точки по величине и направлению. Алгебраическую скорость находят дифференцированием по времени закона изменения расстояний. Единичный вектор определяют по заданной траектории.

Геометрические понятия. Дифференцирование единичного вектора

Радиус кривизны и соприкасающаяся плоскость. В точке кривой линии проведем касательную (рис. 13). В другой близкой точке кривой , отстоящей от точки на расстоянии , построим касательную . В общем случае пространственной кривой касательные и будут скрещиваться. Проведем в точке прямую линию параллельную . Угол между линиями и называется углом смежности. Кривизной кривой  в точке  называют предел, к которому стремится угол смежности, приходящийся на единицу расстояния , причем стремится к нулю, т. е.

Радиусом кривизны кривой  в точке называют величину, обратную кривизне кривой в этой точке, т. е.

Вычислим радиус кривизны дуги окружности радиусом (рис. 14). Дуга окружности длиной , опирающаяся на центральный угол , выражается зависимостью . Для радиуса кривизны имеем

т. е. для окружности радиус кривизны в каждой ее точке один и тот же и совпадает с радиусом окружности.

Участок кривой из малой окрестности какой-либо ее точки лучше всего аппроксимирует по сравнению с дугами других окружностей элемент дуги окружности, радиус которой равен радиусу кривизны кривой в рассматриваемой точке.

Рис. 13

Рис. 14

Для определения понятия соприкасающейся плоскости проводим вспомогательную плоскость через две пересекающиеся прямые  и  (см. рис. 13). Предельное положение этой плоскости при совпадении в пределе точки с точкой называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке .

Рис. 15

В случае плоской кривой соприкасающейся плоскостью для всех точек кривой является сама плоскость, в которой расположена эта кривая.

Естественный трехгранник

Построим в точке кривой линии естественные оси этой кривой (рис. 15). Первой естественной осью является касательная . Ее положительное направление совпадает с направлением единичного вектора касательной , направленного в сторону возрастающих расстояний.

Перпендикулярно касательной располагается нормальная плоскость кривой. Нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью . Она является линией пересечения нормальной плоскости с соприкасающейся плоскостью. По главной нормали внутрь вогнутости кривой направим единичный вектор . Он определяет положительное направление второй естественной оси.

Нормаль, перпендикулярная главной нормали, называется бинормалью. Единичный вектор , направленный по бинормали так, чтобы три вектора , и образовывали правую систему осей координат, определит положительное направление третьей естественной оси.

Три взаимно перпендикулярные оси , и , положительные направления которых совпадают с направлениями единичных векторов , , , называются естественными осями кривой. Эти оси образуют в точке естественный трехгранник. При движении точки по кривой естественный трехгранник движется вместе с точкой как твердое тело, поворачиваясь вокруг вершины, совпадающей с движущейся точкой.

Дифференцирование единичного вектора

Вычислим производную от единичного вектора по скалярному аргументу. В кинематике точки скалярными аргументами обычно являются время и расстояние по траектории. В качестве единичного вектора выберем , направленный по касательной к траектории, и вычислим его производную по времени.

Производная перпендикулярна самому единичному вектору . Для доказательства этого используем тождество

Дифференцируя по времени обе части этого тождества, получим

Каждый из сомножителей этого выражения не равен нулю, поэтому векторы и перпендикулярны друг другу. Это справедливо для любого другого вектора, числовая величина (модуль) которого постоянна. Направим по вектору единичный вектор . Тогда

Годографом вектора является кривая, расположенная на сфере единичного радиуса, так как единичный вектор изменяется только по направлению (рис. 16).

Рис. 16

По определению модуля производной от вектора имеем

Длина малой хорды с точностью до малых величин более высокого порядка равна длине дуги, которую стягивает хорда, т. е.

где — угол, опирающийся на эту дугу. Используя это выражение, получим

Подставляя это значение в (14) и используя выражение для радиуса кривизны и переменную , получим

Радиус кривизны считаем положительным.

Вектор и совпадающий с ним по направлению единичный вектор направлены параллельно предельному положению вектора при , стремящемся к нулю, т. е. они расположены в соприкасающейся плоскости кривой. Единичный вектор перпендикулярен вектору , направленному по касательной к кривой. Следовательно, вектор направлен по главной нормали кривой в сторону ее вогнутости, так как в эту сторону направлено предельное положение вектора .

Если имеем любой другой вектор с постоянным модулем, то для него остается справедливым все, что было получено для единичного вектора, только радиус годографа следует заменить его модулем . Получим

где — теперь единичный вектор,  перпендикулярный вектору и направленный параллельно .

Формулу (15′) можно выразить векторным произведением:

где — вектор угловой скорости поворота вектора , модуль которого . Вектор угловой скорости следует направить перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы и , причем так, чтобы с его стрелки увидеть поворот вектора к в этой плоскости на угол  против часовой стрелки. Подробнее понятие вектора угловой скорости дается при рассмотрении вращения твердого тела вокруг неподвижной оси и в других случаях его движений.

Ускорение точки при естественном способе задания движения

Учитывая, что для скорости точки имеем

в соответствии с определением ускорения и (15) получаем

так как и направлен внутрь вогнутости траектории параллельно единичному вектору главной нормали .

Получено разложение ускорения точки по осям естественного трехгранника. Часть ускорения

называется касательной составляющей ускорения. Другая часть ускорения

называется нормальной составляющей ускорения. Она направлена внутрь вогнутости траектории, т. е. в сторону положительного направления единичного вектора главной нормали , так как внутрь вогнутости траектории направлено полное ускорение. Таким образом, ускорение точки

Из (17) получим формулы для проекций ускорения на естественные оси. Имеем:

Проекция ускорения на положительное направление касательной, совпадающее с направлением единичного вектора , называется касательным ускорением, а на главную нормаль, направленную по единичному вектору ,— нормальным ускорением. Проекция ускорения на бинормаль, направленную по единичному вектору , равна нулю; следовательно, ускорение точки расположено в соприкасающейся плоскости траектории. В этой плоскости находятся единичные векторы касательной и главной нормали.

Учитывая ортогональность и  (рис. 17), в соответствии с уравнением (18) имеем

Рис. 17

Нормальная составляющая ускорения  всегда направлена внутрь вогнутости траектории. Касательная составляющая при направлена в положительную сторону касательной, т. е. по направлению единичного вектора , а при  — в отрицательную, противоположно .

При  и векторы скорости и касательной составляющей ускорения направлены в одну сторону — по . Движение точки является ускоренным в положительном направлении касательной к траектории. При и опять векторы скорости и касательной составляющей ускорения имеют одинаковые направления и, следовательно, движение точки является ускоренным, но в отрицательном направлении касательной к траектории.

Если  и , то вектор скорости направлен по , а вектор касательной составляющей ускорения противоположен ему по направлению. Движение точки является замедленным в положительном направлении касательной к траектории. При и имеем замедленное движение точки в отрицательную сторону касательной к траектории точки.

Случаи обращения в нуль касательного ускорения получают из условия

Это условие выполняется все время, пока , т.е. при равномерном движении точки по траектории любой формы. Касательное ускорение обращается в нуль также в те моменты времени, в которые алгебраическая скорость достигает экстремума, например максимума или минимума. Для изображенного на рис. 18 изменения алгебраической скорости в зависимости от времени касательное ускорение равно нулю в моменты времени и . При колебаниях маятника (рис. 19) эти моменты соответствуют его прохождению через точку . При движении маятника в одну сторону алгебраическая скорость в точке  достигает максимума, при движении в обратном направлении — минимума.

Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20

Случаи обращения в нуль нормального ускорения следуют из условия

Это условие выполняется при , т. е. при прямолинейном движении точки. При движении точки по криволинейной траектории в точках перегиба, в которых происходит изменение выпуклости траектории на вогнутость, и наоборот (рис. 20). Нормальное ускорение обращается также в нуль в моменты времени, в которые , т. е. в моменты изменения направления движения точки по траектории. Для маятника такими моментами являются моменты отклонения маятника на наибольший угол как в одну сторону, так и в другую. Эти моменты соответствуют мгновенным остановкам маятника.

Случаи обращения в нуль касательного и нормального ускорений, а также общие формулы для них показывают, что касательное ускорение характеризует изменение вектора скорости по величине, а нормальное— по направлению.

Рис. 21

Пример 3.

Точка движется по дуге окружности радиусом по закону , где . Начало отсчета расстояний и времени, а также направление положительных расстояний указаны на рис. 21. Определить скорость и ускорение точки в момент времени , а также их значения в точке и в точке траектории , в которой скорость обращается в нуль.

Решение. Скорость и проекции ускорения на естественные оси определяем по формулам  (16) и (19). Имеем:

Скорость обращается в нуль, если , т. е. в момент времени и другие моменты времени, которые в этом примере не рассматриваются. При , т. е. в момент изменения направления движения точки, имеем

Подставляя в формулы для и  значение , получаем

Касательное ускорение в этот момент времени обращается в нуль, так как алгебраическая скорость достигает своего максимума.

Частные случаи движения точки

Равномерное движение

При равномерном движении точки по траектории любой формы ; следовательно, постоянна и алгебраическая скорость , которая может отличаться от только знаком. Так как

то

если принять при .

Равнопеременное движение

Равнопеременным движением называют такое движение по траектории любой формы, при котором касательное ускорение . Движение является равноускоренным, если алгебраическая скорость  и касательное ускорение имеют одинаковые знаки. Если и имеют разные знаки, то движение является равнозамедленным.

Получим формулы для алгебраической скорости и расстояния при равнопеременном движении. Имеем:

следовательно,

если принять при .

Так как , то с учетом (21)

если при . Выполняя интегрирование, получим

Из (21) и (22) можно определить любые две неизвестные величины, если известны остальные три величины, входящие в эти формулы.

Скорость и ускорение точки в полярных координатах

Рассмотрим движение точки по плоскости. В этом случае движение можно задать в полярных координатах. Для этого примем какую-либо точку плоскости за полюс и проведем из нее полярную ось, например ось (рис. 22). Положение движущейся точки на плоскости известно, если заданы радиус-вектор и полярный угол как функции времени, т. е.

Полярный угол считается положительным, если он откладывается от полярной оси до радиуса-вектора против часовой стрелки. Радиус-вектор как расстояние от точки до точки принимает только положительные значения.

Уравнения (23) называются уравнениями движения точки в полярных координатах. Они являются также уравнениями траектории точки в параметрической форме. Если из (23) исключить параметр — время , то получим уравнение траектории в полярных координатах:

Введем единичный вектор , направленный по радиусу-вектору от полюса к точке . Тогда

Для скорости получаем

Согласно (15), для производной по времени от единичного вектора имеем

где вместо единичного вектора введен единичный вектор , направление которого получается поворотом вектора на в положительном направлении угла , т. е. против часовой стрелки (рис. 22). После этого для скорости точки получаем

Рис. 22    

Это разложение скорости точки на радиальную и трансверсальную (поперечную) составляющие, т. е.

где

Для проекций скорости на оси, положительные направления которых совпадают с направлениями единичных векторов и из (24), получаем

Они соответственно называются радиальной и трансверcальной скоростями. В зависимости от знаков производных  и  радиальная и трансверсальная скорости могут быть как положительными, так и отрицательными.

Используя (24), определяем ускорение точки в полярных координатах. Имеем

Выполняя дифференцирование, получим

Для производной по времени от единичного вектора имеем

dp°ldt =

так как вектор поворачивается с той же угловой скоростью , что и вектор , а единичным вектором, по которому направлен вектор , является вектор .

После подстановки в выражение для ускорения производных от единичных векторов и объединения слагаемых имеем

Получили разложение ускорения точки на радиальную и трансверсальную составляющие, т. е.

Для проекций ускорения на оси и получаем

Ускорение называется радиальным, а — трансверсальным. Трансверсальное ускорение можно выразить также в форме

Это выражение для трансверсального ускорения широко используется при рассмотрении движения планет и искусственных спутников Земли.

Рис. 23

Радиальная и трансверсальная составляющие ускорения взаимно перпендикулярны, поэтому

Отметим, что для неподвижных осей координат , и справедливы формулы

Для подвижных осей и , как следует из (26) и (28), и не равны производным по времени от  и .

Частные случаи

 1. Если , то имеем прямолинейное движение по прямой . В этом случае  и из (26) и (28) получаем:

Эти величины совпадают с ранее полученными выражениями для них при изучении движения точки в декартовых координатах. Только расстояние следует заменить на координату .

2. При (рис. 23) получаем движение точки по окружности. В этом случае . Из (26) и (28) имеем:

В этих формулах является угловой скоростью вращения радиуса-вектора, а — его угловым ускорением.

Пример 4.

Движение точки задано в полярных координатах уравнениями

где  и —постоянные величины. Определить уравнение траектории, скорость и ускорение точки в полярных координатах для момента времени и момента времени .

Решение. Исключая из уравнений движения параметр , получим следующее уравнение траектории в полярных координатах:

Это уравнение кардиоиды (рис. 24).

Проекции скорости и ускорения на полярные оси определяем по формулам (26) и (28). Имеем:

Для момента времени из этих формул получаем:

Векторы скорости и ускорения для моментов времени и изображаем на рисунке.

Пример 5.

Движение точки задано в прямоугольной системе координат уравнениями

где и —в метрах, — в секундах.

Определить уравнение траектории в координатной форме, а также скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорения, радиальную и трансверсальную составляющие скорости и радиус кривизны траектории в момент времени . Изобразить на рисунке траекторию, скорости и ускорения в указанный момент времени.

Решение. Уравнения движения представляют собой уравнение траектории в параметрической форме. Для определения уравнения траектории в координатной форме следует из уравнений движения исключить время . Имеем:

следовательно,

Это уравнение параболы. He все точки параболы являются точками траектории. Так как при любых значениях и , то из уравнений движения получаем дополнительные ограничения для координат точек траектории .

Таким образом, точки траектории удовлетворяют условиям

Часть точек параболы, не являющихся точками траектории, дополнительно появилась при исключении из уравнений движения параметра

Рис. 24

Рис. 25

На рис. 25 приведена траектория точки. Траекторией является только часть параболы .

Определяем проекции скорости на оси и скорость в любой момент времени:

При 

Проекции ускорения в любой момент времени определяем по формулам 

При

Для модуля касательного ускорения при имеем

Нормальное ускорение при

Для вычисления радиальной скорости предварительно определяем радиус-вектор:

Тогда при  получаем

Трансверсальную скорость при определяем по формуле

Координаты движущейся точки при

По координатам отмечаем положение движущейся точки на траектории и, выбрав масштабы, изображаем векторы скорости и ускорения по их проекциям на оси. Для радиальной составляющей скорости учитываем ее направление, противоположное единичному вектору  , так как получилось со знаком минус.

Для трансверсальной составляющей скорости определено только числовое значение. Из рис. 25 следует, что направление вектора противоположно направлению единичного вектора (направление получается поворотом на вектора против часовой стрелки). Следовательно, в рассматриваемом случае надо взять со знаком минус, т.е. .

Для проверки правильности определения можно использовать формулы

Нормальное ускорение всегда направлено внутрь вогнутости траектории. Направление касательного ускорения , определяем по  и ; оно оказалось направленным по вектору скорости. Следовательно, точка в рассматриваемый момент времени движется ускоренно.

Определим радиус кривизны траектории в момент времени . Все необходимые величины для этого уже имеются. Получим

Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах

При движении точки в пространстве иногда используются цилиндрические оси координат. Они получаются добавлением к полярным координатам на плоскости координаты , отсчитываемой вдоль неподвижном оси , перпендикулярной плоскости, в которой расположены полярные оси координат (рис. 26).

Положение точки определяют заданием трех ее цилиндрических координат как функций времени:

Разложение векторов скорости и ускорения на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат , , , выразится в следующей форме:

где  – единичные векторы, направленные по осям цилиндрической системы координат. Оси и расположены в одной плоскости с осями  и .

Представим радиус-вектор точки как сумму двух векторов, т. е.

Скорость точки получим дифференцированием радиуса-вектора по времени:

Первое слагаемое в этом выражении вычислялось при выводе формулы (24) для скорости точки в полярных координатах. Было получено

Во втором слагаемом постоянный по модулю и направлению единичный вектор можно вынести за знак производной. Для скорости получается следующее разложение на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат:

Сравнивая (32) с (30), получаем формулы для проекций скорости на цилиндрические оси координат:

Так как составляющие скорости , и , параллельные осям цилиндрической системы координат, взаимно перпендикулярны, то для модуля скорости имеем

Ускорение точки получим дифференцированием по времени вектора скорости:

Первое слагаемое в этом выражении вычислялось при выводе ускорения в полярных координатах:

Во втором слагаемом при дифференцировании выносим вектор за знак производной. Объединяя результаты дифференцирования, получим следующее разложение ускорения на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат:

Сравнивая его с (31), получаем формулы для проекций ускорения на цилиндрические оси координат

Составляющие ускорения взаимно перпендикулярны, поэтому для модуля ускорения имеем

Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах

Положение точки в пространстве в декартовой системе координат определяется тремя координатами: . Можно выбрать другие три параметра  и назвать их криволинейными или обобщенными координатами точки. Декартовы координаты будут зависеть от криволинейных:

Движение точки в криволинейных координатах задается уравнениями

Радиус-вектор движущейся точки, начало которого находится в неподвижной точке выбранной системы отсчета для рассматриваемого движения, является функцией как декартовых, так и криволинейных координат, т. е.

Выберем точку , в которой криволинейные координаты равны нулю, и рассмотрим зависимость . Получим уравнение в векторной форме координатной линии для , проходящей через точку . Аналогично  получаются уравнения координатных линий и , проходящих через точку  для координат и .

Через каждую точку пространства можно провести три координатные линии, пересекающиеся в этой точке. Вдоль каждой из координатных линий изменяется только одна криволинейная координата, а две другие сохраняют постоянные значения, соответствующие рассматриваемой точке.

Рассмотрим частные производные . Они как производные от вектора по скалярному аргументу направлены по касательным к координатным линиям, являющимся годографами радиуса-вектора. Введем единичные векторы, направленные по векторам . Эти три единичных вектора называются базисными векторами. Базисные векторы, как и , направлены в каждой точке по касательным к координатным линиям в сторону возрастания криволинейных координат. Направления возрастания и начало отсчета криволинейных координат выбираются при задании движения.

В общем случае базисные векторы могут быть неортогональными. Используя базисные векторы, получаем

или

Скалярные величины  называются коэффициентами Ламэ.

Для вычисления учтем, что радиус-вектор через декартовы координаты можно выразить в форме

где — единичные векторы, направленные по осям декартовой системы координат. Из (37) имеем

и, следовательно

Скорость точки в криволинейных координатах

При движении точки ее радиус-вектор через обобщенные координаты зависит от времени, т. е.

По определению скорости и правилу дифференцирования сложных функций имеем

где называется обобщенной скоростью точки.

Используя (36), из (39) получаем

Получено разложение скорости по осям, направление которых совпадает с направлением базисных векторов.

Для величин составляющих скорости по базисным векторам из (40) имеем

В случае ортогональности базисных векторов по формуле (40′) вычисляются проекции вектора скорости на оси, направленные по базисным векторам. В этом случае для квадрата скорости получаем

Ускорение в ортогональных криволинейных координатах

Криволинейные координаты считаются ортогональными, если ортогональны их базисные векторы. В приложениях обычно встречается этот случай. Для ортогональных базисных векторов проекции ускорения точки на их направления вычисляем по формулам

Выражая базисные векторы по (36), из (41) получим

Для дальнейших преобразований (42) следует воспользоваться тождествами

Тождество (43) представляет собой известное правило дифференцирования скалярного произведения двух векторов. Докажем справедливость тождеств Лагранжа (44) и (45). Тождество (44) получим из (39) дифференцированием , например, по . Учитывая,    что производные    не могут зависеть от имеем

Аналогично, 

т.е.

Справедливость тождества (44) установлена.

Для доказательства тождества (45) продифференцируем из (39) по . Получим

Учитывая, что не может зависеть от обобщенных скоростей, и дифференцируя ее по времени как сложную функцию времени, имеем

Правые части (46) и (47) совпадают, так как они отличаются только порядком частного дифференцирования, от которого частные производные не зависят. Следовательно, тождество (45) доказано. Используя тождества, преобразуем выражение в скобках из (42). Получим

Учитывая, что , и вводя функцию , из (42) с учетом (48) имеем

По формулам (49) можно вычислить проекции ускорения точки на оси, направленные по базисным ортогональным векторам.

Скорость и ускорение в сферических координатах

В качестве примера использования полученных формул вычислим скорость и ускорение точки в сферических координатах. Сферическими координатами точки являются величины (рис. 27). Координатной линией для является прямая с базисным вектором . Координатной линией для служит параллель сферы с базисным вектором  и координатной линией — меридиан сферы с базисным вектором .

Базисные векторы оказались ортогональными. Декартовы координаты точки через сферические выражаются следующими зависимостями:

По формулам (38) вычисляем коэффициенты Ламэ. Имеем:

Проекции скорости на оси, направленные по базисным векторам, определяем согласно (40′). Получаем

После этого

Рис. 27

Для квадрата скорости и функции имеем

Проекции ускорения на оси, направленные по базисным векторам, вычисляем по формулам (49). Имеем

Для вектора ускорения получаем

Модуль ускорения будет иметь следующее выражение:

Аналогично можно вычислить ранее полученные скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах.

Справочный материал по кинематике точки

Кинематика изучает механическое движение тел без учета факторов, обусловливающих это движение.

Основными понятиями в кинематике являются движение, ‘пространство и время.

Движение, как было отмечено раньше, обнимает собой все происходящие во вселенной изменения.

Пространство и время представляют собой формы существования материи, без которых немыслимы ни существование, ни движение материи.

Отделить движение от материи нельзя, так же как нельзя себе представить движение материи, происходящее вне времени и пространства.

В кинематике, так же как и вообще в теоретической механике, мы будем рассматривать простейшую форму движения материи — механическую, т. е. перемещение тел в пространстве и во времени. Движение тела будет кинематически определено, если в каждый данный момент времени будет известно положение тела относительно выбранной системы отсчета. Положение тела при его движении определяется по отношению к какой-либо системе координат, связанной с другим телом, например с Землей.

Однако при изучении движения некоторых механических систем эта система отсчета может оказаться недостаточно точной. Так, при опыте с маятником Фуко, где заметно сказывается вращение Земли, за «неподвижную» систему следует принять Солнце. В других вопросах и этого оказывается недостаточно. Тогда неподвижную систему придется перенести на «неподвижную» звездную систему.

В том случае, когда положение рассматриваемого тела остается с течением времени неизменным по отношению к выбранной системе отсчета, про такое тело говорят, что оно находится в покое по отношению к данной системе отсчета.

По отношению к различным системам отсчета тело может совершать различные движения или находиться в покое. Так, например, если тело находится в относительном покое по отношению к Земле, оно уже не будет находиться в покое по отношению к Солнцу, так как это тело будет двигаться вместе с Землей вокруг Солнца. В этом смысле покой и движение тела относительны и зависят от выбранной системы отсчета.

В последующем изложении, если об этом не будет сделано специальной оговорки, мы будем рассматривать движение материальной точки или абсолютно твердого тела, происходящее по отношению к координатным осям, связанным с Землей, которую условно будем считать неподвижной.

При вычислениях все линейные величины мы обычно будем выражать в метрах или сантиметрах, а время в секундах.

При измерении времени следует различать понятия: начальный момент времени, момент времени и промежуток времени.

Начальным моментом времени называется произвольный момент.времени, принятый условно за начало отсчета времени .

Под моментом времени понимается число секунд, прошедшее от начального момента времени, соответствующего началу движения тела (или когда мы начали наблюдать за этим движением), до данного момента.

Промежуток времени определяет число секунд, отделяющих два каких-либо последовательных Момента времени

Способы задания движения точки

Первый способ задания движения точки

Изучение кинематики начнем с рассмотрения движения точки.

Пусть точка М (рис. 139) совершает движение, описывая в пространстве кривую АВ. Эта непрерывная кривая, которую описывает точка М при своем движении, называется ее траекторией. Если траектория прямая, то движение точки называется прямолинейным, если же кривая, то — криволилейным.

Очевидно, что траектория точки есть годограф радиуса-вектора , определяющего положение точки М на ее траектории. При движении точки М радиус-вектор , определяющий ее положение, изменяется по величине и направлению с течением времени. Функциональная зависимость радиуса-вектора от времени может быть выражена равенством:

Если зависимость (66) задана, то тем самым можно определить и положение точки М в пространстве в любой момент времени. Это есть первый способ задания движения точки.

Рис. 139.

Второй способ задания движения точки

Однако движение точки может быть задано иначе. В самом деле, положение движущейся точки в пространстве в данный момент определяется тремя координатами . Эти координаты при движении являются функциями времени (рис. 139):

Если известна зависимость координат от времени, то .можно в любой момент указать положение, движущейся точки в пространстве.

Поэтому второй способ задания движения точки заключается в том,что нам даны уравнения движения (67). Если точка движется в плоскости, то ее положение будет определяться двумя уравнениями:

Исключая, например, из уравнений (67а) время t, получим уравнение траектории точки, движущейся в плоскости:

Уравнения (67) и (67а) могут рассматриваться так же, как параметрические уравнения траектории, причем роль параметра играет время t.

Координаты точки М можно рассматривать как проекции радиуса вектора на координатные оси. Поэтому, обозначив единичные векторы координатных осей через на основании равенства (4) будем иметь:

Если движение точки происходит в плоскости, например, хОу (рис. 140), то уравнение (66) может быть сведено к заданию модуля  и полярного угла , как функций времени:

Уравнения (69) называются уравнениями движения точки в полярных координатах.

Между уравнениями движения (67а) и (69) имеется такая же зависимость, как между прямоугольными и полярными координатами. Из треугольника ОАВ (рис. 140) имеем: и обратно:  и 

Рис. 140.

Третий способ задания движения точки

Наконец, движение точки М может быть задано по третьему способу. Пусть точка М движется по заданной траектории (рис. 139).

Для определения положения точки М в данный момент времени выберем на ее траекторий неподвижную точку О, которую назовем началом отсчета. Тогда положение точки в данный момент будет определяться расстоянием ее от начала отсчета. Условимся пройденные расстояния считать положительными, если точка находится по одну сторону от начала отсчета, и отрицательными — если по другую. Следует заметить, что при точка М не обязательно будет находиться в начале отсчета О, а может занимать некоторое положение определяемое расстоянием от начала отсчета. Это расстояние, соответствующее начальному моменту, называется начальным расстоянием. Так как пройденный путь  изменяется с течением времени, то, следовательно, является некоторой функцией от t:

Уравнение (70) называется уравнением движения, или законом движения точки.

Заданием траектории и уравнения движения (70) вполне определяется положение движущейся точки в пространстве в любой момент времени. В этом заключается третий способ задания движения точки.    ‘

Задача №1

Для следующих случаев задания движения точки требуется:

a)    найти уравнение траектории и вычертить ее;

b)    указать начальное положение точки на ее траектории;

c)    найти закон расстояний, приняв за начало отсчета путей начальное положение точки;

d)    показать направление движения точки по ее траектории.

Решение. Для вычерчивания траектории мы могли бы дать времени ряд значений, например, и т. д. (см. табл. 5), для которых получили бы ряд точек с известными координатами. Соединив полученные точки плавной кривой, получим траекторию движущейся точки. Однако в большинстве случаев важно получить уравнение траектории, которое выражает аналитически зависимость между х и у. Для этого, как мы знаем, следует из уравнений движения исключать время .

Таблица 5                                      Таблица 6

Решая первое из уравнений движения относительно и подставляя найденное значение  во второе уравнение, имеем:

Полученное уравнение является уравнение параболы. Посторим ее (рис. 141) по точкам (талб. 6).

Рис. 141.

Для нахождения начального положения точки на ее траектории подставим в заданные уравнения движения значение . Тогда получим: и ; поэтому в начальный момент точка находится в начале координат.

Закон пройденных расстояний (70) найдется, если воспользоваться известной из дифференциальной геометрии зависимостью между дифференциалом дуги и дифференциалом координат и (рис. 141):

 

но так как , то

Отсюда находим:

Так как по условию начало отсчета следует взять в начальном положении точки, то, полагая в последнем выражении , получим ; тогда:

Направление движения точки по траектории найдем, если в уравнения движения точки (67а) или (70) вместо t подставим ряд положительных возрастающих значений, например t = 0, t = 1, t = 2 (табл. 5). Мы видим, что при возрастании t возрастают также и координаты движущейся точки, а поэтому движение точки будет происходить в направлении, показанном стрелкой (рис. 141).

Ответ: прямая линия

Решение. Для исключения времени t возведем обе части равенства каждого из уравнений в квадрат и сложим; тогда имеем:

Отсюда заключаем, что траектория точки — окружность радиусом 3 единицы и с центром в начале координат (рис. 142).

Рис. 142.

При , а поэтому в начальный момент точка находится на оси  в положении . Беря производную от координат по времени, получим:

далее:    

откуда

Из уравнений движения видно, что при возрастании t абсцисса х уменьшается, ордината .у увеличивается, а поэтому точка будет двигаться против часовой стрелки в направлении, указанном стрелкой.

Указание: для нахождения уравнения движения берем производную по времени t от координат х и у, после чего получаем . Интегрируя полученное равенство, находим Постоянная интегрирования определяется из условия, что при

Ответ: прямая

Задача №2

С дирижабля, летящего на высоте 600 м, сбросили груз, движение которого в недрах и секундах выражается уравнениями: Найти уравнение траектории груза, дальность его полета в горизонтальном направлении и время падения.

Решение. Исключая из уравнений движения время t, найдем, что траекторией груза будет парабола:  . Подставляя в уравнение траектории вместо у значение , получим дальность полета груза в горизонтальном направлении: . Время падения груза найдем, если, например, в первое из уравнений движения груза вместо х подставим и решим уравнение относительно t; имеем:

Задача №3

Движение точки в сантиметрах и секундах выражается уравнением:

Построить график расстояний.

Решение. Графиком расстояний называется кривая зависимости пройденного расстояния В нашем случае кривая расстояний представляет собой синусоиду. Построим ее по точкам (табл. 7).

Таблица 7

Имея график расстояний (рис. 142а), можно для любого момента времени найти величину пути,  пройденного движущейся точкой от начала отсчета, а следовательно, и указать положение точки на ее траектории, которая должна быть дана. 

Рис. 142а.

Скорость точки

Бели точка движется по траектории так, что в любые два равных промежутка времени она проходит равные пути, то такое движение точки называется равномерным.

Скоростью равномерного движения называется путь, пройденный точкой в единицу времени, например в секунду, минуту, час и т. п. Пусть в начальный момент точка находилась на расстоянии от начала отсчета, а в момент t — на расстоянии s; тогда, согласно определению, величина скорости этого движения будет постоянна и определится по формуле:

откуда расстояние точки s от начала отсчета в любой момент времени t будет:

Уравнение (71) называется уравнением равномерного движения.   

Найдем теперь скорость любого движения точки. В этом случае она определяется в зависимости от того, как задано движение точки.

Пусть движение точки задано по первому способу, т. е. по уравнению (66); допустим, что в момент t движущаяся точка находилась в положении М, определяемом радиусом-вектором (рис. 15).

За малый промежуток времени точка перейдет в положение , определяемое уже другим радиусом-вектором , при этом вектор перемещения точки М за время равен

Если бы точка М двигалась не по дуге кривой а по хорде то, предположив, что эту хорду точка проходит движением равномерным, найдем среднюю скорость ее, как отношение вектора перемещения к сбответствующему промежутку времени , т. е.   Направление же вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения .

Истинную скорость движущейся точки в рассматриваемом положении мы должны принять, как векторную величину, равную пределу отношения вектора перемещения к соответствующему промежутку времени  стремящемуся к нулю:

Что касается направления истинной скорости, то она, следуя направлению хорды, будет в пределе направлена по касательной к траектории в данной точке.

Следовательно, вектор скорости равен векторной производной радиуса-вектора по времени и направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.

Для нахождения скорости точки, если задано ее движение по второму способу, т. е. по уравнениям (67), выразим сначала радиус-вектор точки через его компоненты по формуле (68):

Тогда на основании уравнения (72) имеем:

С другой стороны, обозначая проекции скорости на координатные оси через , напишем:

Сравнивая коэффициенты при одинаковых единичных векторах, найдем проекции скорости на координатные оси:

В дальнейшем первые производные по времени будем обозначать , а вторые производные —

Итак, проекция скорости на неподвижную ось равна первой производной от соответствующей координаты по времени. Модуль скорости находим по выражению:    

Направление же вектора скорости к координатным осям определится через косинусы углов, которые составляет вектор скорости с осями координат.

Пусть теперь движение точки задано траекторией и законом движения, выраженным формулой (70).

Допустим, что за промежуток времени точка перешла из положения М в положение (рис. 143), пройдя путь, равный длине дуги

Заменим движение точки М по дуге кривой движением по хорде  ; тогда, рассматривая это движение, как равномерное, найдем, что вектор средней скорости точки за промежуток времени равен

Направление же средней скорости воображаемого движения будет совпадать с направлением вектора перемещения направленного по хорде. Заменив криволинейную траекторию точки ломаной линией мы тем самым криволинейное движение заменяем рядом прямолинейных и равномерных движений, причем переход от одного прямолинейного движения к другому происходит скачками.

Рис. 143.

Увеличивая число хорд и тем самым уменьшая их длины, мы будем точнее приближаться к действительному криволинейному движению, так как разности между дугами и хордами будут уменьшаться. Вместе с этим переход от одной хорды к другой будет постепенно сглаживаться. Когда число хорд будет стремиться к бесконечности, а длина каждой хорды — к нулю, средние скорости будут стремиться также к некоторому пределу, который представит собой истинную скорость в данной точке траектории:

Что касается направления истинной скорости, то она, следуя направлению хорды, будет в пределе направлена по касательной к траектории в данной точке.

Умножив числитель и знаменатель последнего равенства на , получим:

Но так как предел отношения длины хорды к длине дуги равен единице, а направление в пределе совпадает с касательной, то является единичным вектором касательной в точке М.

Отсюда находим:

где 

                           

Задача №4

Движение точки в метрах и секундах выражается уравнениями:

Найти уравнение траектории, величину и направление скорости.

Решение. Уравнение траектории прямая По формулам (73) найдем проекции скорости на координатные оси:

Величина скбрости найдется по формуле (74):

Направление же скорости определяется косинусами углов, которые составляет вектор скорости с координатными осями:

откуда

Задача №5

Движение снаряда в метрах и секундах выражается уравнениями:

Требуется найти: уравнение траектории; высоту и дальность полета; скорости в наивысшей точке и в момент, когда снаряд пересечет ось Ох (рис. 144).

Рис. 144.

Решение. Траекторией снаряда является равнобочная парабола:

Дальность полета снаряда определится, если принять в уравнении траектории   откуда и ; ясно, что  

Для нахождения высоты полета снаряда следует в уравнении траектории принять: тогда получим:

Найдем теперь проекции скорости снаряда на координатные оси:

В наивысшей точке вектор скорости горизонтален, а потому:

Для определения скорости снаряда в момент, когда он пересекает ось Ох, вычислим время полета снаряда, взяв хотя бы первое из уравнений движения и приняв

откуда находим:

Направление скорости определится косинусами углов:

откуда 

Задача №6

Определить траекторию точки, если проекции ее скорости на координатные оси в сантиметрах и секундах выражаются уравнениями:  в момент ордината точки равнялась 2 см, а абсцисса — нулю.

Решение. Найдем сначала уравнения движения точки, для чего проинтегрируем заданные уравнения проекций скорости:

Постоянные интегрирования и найдутся из начальных условий; при и ; далее, при и

Подставляя вместо и их значения, найдем:  и

Исключая из полученных уравнений движения время t, найдем, что траекторией точки является окружность с центром С(0; 4).

Задача №7

Даны графики скоростей двух точек, движущихся по одной прямой от одного начального положения (рис. 145). По истечении какого времени точки встретятся?

Решение. Вообще графиком скорости называется кривая зависимости скорости от времени:

Между пройденным расстоянием и величиной скорости точки имеется зависимость (75), из которой найдем элементарное перемещение точки

Рис. 145.

Расстояние же s, пройденное точкой между моментами и , найдется как сумма ее элементарных перемещений и выразится определенным интегралом:

 Отсюда заключаем, что путь, пройденный точкой за время численно равен площади, заключенной между осью Ох, ординатами и кривой

В нашей задаче точки встретятся, когда расстояния, пройденные ими от начала движения, будут одинаковы, а для этого необходимо, чтобы соответствующие площади треугольников, взятых с графиков скоростей, были равны. Обозначая неизвестное время встречи точек через t, скорость первой точки в момент встречи через  , а скорость второй — через  , имеем:

так как:

окончательно получим

Ускорение точки

Остановимся на некоторых вопросах геометрии. Пусть имеется некоторая неплоская кривая (рис. 146). Возьмем на ней две весьма близко расположенные точки и проведем в них касательные к кривой. Обозначим единичные векторы касательных через, а дугу — через . Проведем через касательную Т плоскость, параллельную , для чего достаточно перенести , в точку М и тогда плоскость Н, проходящая через  , будет искомой. При приближении точки  к точке М плоскость Н приближается к некоторому предельному положению, которое называется соприкасающейся плоскостью в точке М. В случае плоской кривой сама кривая расположена в соприкасающейся плоскости. Плоскость, проведенная в точке М перпендикулярно к касательной Т, называется нормальной плоскостью. Все прямые, проходящие через точку М и лежащие в нормальной плоскости, называются нормалями, а линия пересечения плоскостей нормальной и соприкасающейся называется главной нормалью и обозначается буквой N.

Для окружности направление главной нормали совпадает с направлением ее радиуса. Прямая, перпендикулярная к касательной Т и к главной нормали N, называется бинормалью и обозначается буквой В. Таким образом, три взаимно-перпендикулярных направления N, В и Т могут быть приняты за координатные оси, скрепленные с некоторой точкой М, выбранной на кривой (рис. 147).

Рис. 146                                                                       Рис. 147

Такие оси, перемещающиеся вместе с движущейся точкой М, называются естественными осями. Эти оси являются ребрами естественного триэдра, или естественного трехгранника, образованного тремя плоскостями, проходящими через каждые две естественные оси. На рисунке 147 соприкасающаяся плоскость проходит через оси Т и N, нормальная — через N и В и третья плоскость триэдра проходит через В и Т.

Единичные векторы естественных осей обозначены через , и .

Угол между касательными (рис. 146) называется углом смежности, а отношение называется средней кривизной кривой. Кривизной кривой К в данной точке называется предел отношения  при , т. е.:

Величина , обратная кривизне, называется радиусом кривизны и равна:

Если от точки М (рис. 146) в сторону вогнутости кривой отложить в соприкасающейся плоскости отрезок, равный , то конец его С определит центр кривизны кривой в данной ее точке.

Для прямой , поэтому ее кривизна , а радиус кривизны равен бесконечности:

Для окружности:

На этом мы заканчиваем изучение вопросов геометрии и рассмотрим далее изменение вектора скорости движущейся точки. Пусть в моменты движущаяся точка будет находиться в положениях и будет иметь соответствующие скорости (рис. 148,а). Если векторы всех скоростей перенести в общее произвольное начало О (рис. 148,0), то геометрическим местом концов векторов всех скоростей, перенесенных в точку О, будет кривая, которая называется годографом скоростей.

Рис. 148.                                                         Рис. 149.

Вообще говоря, с течением времени скорость будет изменяться и по величине и по направлению. Взяв изменение скорости за какой-либо промежуток времени , назовем средним ускорением отношение  (рис. 149). На рисунке 149 изменение скорости представлено для наглядности в виде двух компонентов из которых первый характеризует изменение скорости только но направлению, а второй — только по величине. Предел же этого отношения при   называется истинным ускорением в данной точке траектории. Обозначив вектор ускорения точки через , получим:

на основании равенства (72). Следовательно, вектор ускорения равен первой векторной производной вектора скорости по времени или второй векторной производной радиуса вектора по времени. Подставляя в последнее равенство вместо вектора его значение  , определяемое равенством (75а), имеем:

Ha основании равенства (22) находим:

но так как согласно формулам (75), (77) и (78)

то окончательно имеем:

Таким образом, полное ускорение точки состоит из двух компонентов и , из которых первый называется касательным или тангенциальным ускорением, направлен по касательной к траектории и характеризует изменение скорости вдоль ее направления, второй же называется нормальным ускорением, направлен по главной нормали к центру кривизны и характеризует изменение скорости перпендикулярно к ее направлению.

Обозначая соответственно касательное ускорение через , а нормальное — через , имеем (рис. 150):

 

Рис. 150.

Модули касательного и нормального ускорений можно рассматривать так же, как проекции полного ускорения на касательную и главную нормаль; проекция же полного ускорения на бинормаль равна нулю, так как полное ускорение расположено в соприкасающейся плоскости. Итак, имеем:

При вектор имеет направление , при  — направление, противоположное .

Если точка движется прямолинейно, то , так как , а если при этом и равномерно, то и , так как

Движение точки с постоянным касательным ускорением называется равнопеременным. Рассмотрим равнопеременное и прямолинейное движение точки. В этом случае  , а потому Интегрируя полученное выражение два раза, имеем:

откуда  и, следовательно,

Далее:

при  , а поэтому:

Уравнения (82) и (83) называются уравнениями равнопеременного движения. Здесь — начальное расстояние, a — начальная скорость. Если , то движение называется равноускоренным, если — равнозамедленным.

Уравнения (82) и (83) применимы также и для случая криволинейного движения точки, положив

Посмотрим теперь, как находится ускорение точки в том случае, когда движение ее задано по второму способу, т. е. по уравнениям (67). Так как ускорение точки  а по уравнению (72)  то, следовательно,

Выражая вектор через компоненты, имеем:

с другой стороны, обозначив проекции ускорения на координатные оси через  , имеем:

Сравнивая коэффициенты при одинаковых единичных векторах, получим:

 

Следовательно, проекция ускорения на неподвижную ось равна второй производной от соответствующей координаты по времени. Модуль ускорения будет: 

Направление же вектора ускорения к координатным осям определится через косинусы углов.

Задача №8

Найти нормальное и касательное ускорения точки, движение которой в метрах и секундах выражается уравнениями:

Решение. Найдем сначала по формулам (73) и (84) проекции скорости и ускорения на координатные оси:

Далее находим, что и

С другой стороны, по формуле (80): ; но так как по равенству (81): , то 

Нормальное ускорение можно было бы найти иначе. Исключая из уравнения движения время t, найдем, что уравнение траектории — окружность радиус которой  По формуле (81):

• Заказать решение задач по теоретической механике

Задача №9

Движение точки выражается в метрах и секундах уравнениями:

Найти скорость точки, ускорение, траекторию и радиус кривизны в наивысшей точке.

Указание: в наивысшей точке параболы (рис. 144) вектор скорости, направленный по касательной, горизонтален, поэтому и Зная , по формуле (81) находим

Траектория точки — парабола радиус кривизны в наивысшей точке

Ответ:

Задача. Точка движется по некоторой кривой так, что в момент / = 4 сек, вектор ее полного ускорения составляет угол 30° с направлением нормали к траектории. Определить радиус кривизны
 

Задача №10

Движение автомобиля по дороге, имеющей форму двух четвертей окружности радиуса и прямой вставки между ними, выражается в метрах и секундах уравнением . Построить графики пути, скорости, касательного и нормального ускорений автомобиля, приняв за начало отсчета пройденных путей точку О (рис. 151, а).

Решение. По формулам (75) и (81) находим выражение скорости, касательного и нормального ускорений автомобиля:

Графики пути, скорости нормального и касательного ускорений легко строятся по точкам (рис. 151, б, в, г, д). Следует обратить внимание на то, что на прямолинейном участке пути , так как . Для того чтобы узнать граничные промежутки времени, когда , надо в заданное уравнение движения вместо подставить сначала длину первого закругления, равную 15,7 м, а затем длину первого закругления, сложенную с длиной прямой вставки, равную 25,7 м.

Рис. 151.

Отсюда получаем два граничных момента времени:  и , соответствующих равенству нулю нормального ускорения.

Задача №11

Для точки, движущейся по прямой, диаграмма расстояний представляет собой четверть эллипса (рис. 152). Выразить расстояние, скорость и ускорение движущейся точки, как функции времени. Построить диаграммы (графики) скоростей и ускорений.

Рис. 152.

Решение. Выразим сначала аналитически зависимости:  и

Зависимость между расстоянием s и временем t по заданному графику пути может быть выражена в форме уравнения эллипса (рис. 152):

откуда: 

При а при  т.е. составленное уравнение движения иточки удовлетворяет заданному графику пути.

Выразим теперь , как функцию времени. По формуле (75) находим:

При  а при 

Величина ускорения найдется по первой из формул (81):

При  а при

На рисунке 152 изображены графики: скорости и ускорения

Последние два графика можно построить по точкам, зная и , как функции времени, или же получить графически, путем графического дифференцирования графика пути Следует отметить, что графиком ускорений вообще называется кривая:

Задача №12

Найти величину и направление ускорения и радиус кривизны траектории точки М колеса радиуса R = 1 м, катящегося без скольжения по горизонтальной оси Ох (рис. 153). Известно, что скорость центра колеса

Рис. 153.

Решение. Если в начальный момент точка М колеса находилась в начале координат О, то в момент координаты этой точки определятся:

Так как дуга AM равна отрезку ОА, то  и, следовательно:

Поэтому уравнения движения точки М будут:

Проекции ускорения точки М на координатные оси найдутся по формулам:

Величина полного ускорения точки М равна:

Направление вектора полного ускорения определяется по направляющим косинусам:

Из последних равенств следует, что вектор ускорения направлен по МС к центру катящегося колеса.

Скорость точки М найдется на основании равенств:

Касательное и нормальное, ускорения точки М соответственно определятся:

Радиус кривизны траектории точки М найдется из выражения для нормального ускорения:

Так как , то и, следовательно, длина хорды: 

поэтому

Перейдем теперь к изучению движения точки по окружности. Пусть точка движется по окружности радиуса а (рис. 154) и занимает в начальный момент положение Определим начальное положение точки постоянным углом который составляет радиус с осью Ох. По прошествии времени точка перейдет в положение М и радиус а, определяющий положение точки, будет составлять с осью Ох уже иной угол, равный Из рассмотрения треугольника ОМВ составляем уравнения движения точки М:

Рис.154. 

Ясно, что угол — переменный и является функцией времени , т. е.

Согласно равенствам (73) найдем проекции скорости точки М на координатные оси:

Величина , характеризующая быстроту изменения угла , называется угловой скоростью. Обозначая угловую скорость буквой можем написать:    

тогда

Модуль линейной скорости точки определится по формуле (74):

Но, так как

то

т. е. линейная скорость точки, движущейся по окружности, равна произведению угловой скорости на радиус.

Величины нормального и касательного ускорений точки, движущейся по окружности, найдутся по формулам (81):

‘

Величина  характеризующая быстроту изменения угловой скорости называется угловым ускорением.

Обозначим угловое ускорение буквой и принимая во внимание равенство (87), получим:

Если , то , и точка согласно равенству (89) движется равномерно по окружности. Пользуясь равенством. (90), получим:

Полное ускорение точки (рис. 155):

Если то имеет то же направление, что и если то имеет направление, противоположное Из рисунка 155 видно, что угол, который образует вектор полного ускорения точки с радиусом ОМ, или, что то же, с нормальным ускорением  составляет:

или

Обычно угловая скорость измеряется в но на практике часто угловую скорость измеряют в в этом случае угловую скорость обозначают буквой

Рис. 155.

Найдем зависимость между угловой скоростью и числом оборотов в минуту  

Пусть радиус ОМ (рис. 155) вместе с точкой М совершит в минуту оборотов. За один оборот радиус повернется на угол  радиан, а за оборотов — на угол радиан в минуту; в секунду же он повернется на:

Таким образом:    

где выражено в об/мин, а в 1/сек.

Задача №13

Кривошипно-шатунный механизм состоит из кривошипа , шатуна и ползуна В, могущего перемещаться по неподвижной прямой ОВ (рис. 156).

Рис. 156.

Кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью . Требуется:

1)    найти закон движения ползуна В, величину его скорости и ускорения в момент t.

2)    на ординатах , соответствующих крайним и среднему положениям ползуна В, построить графики скоростей и ускорений. 

Решение. Примем за начало отсчета расстояний ползуна В точку О и обозначим отрезок ОВ  через х. Из чертежа видно:

где — угол поворота кривошипа ОА изменяется пропорционально времени, так как по условию вращение кривошипа равномерное.

Зависимость между углами выразим из по теореме синусов:

откуда

Далее:

Раскладывая полученное выражение по формуле бинома Ньютона, найдем:

Ограничившись первыми двумя членами разложения, получим приближенное уравнение движения ползуна:

при

при

что соответствует чертежу.

Выражения скорости и ускорения ползуна найдутся путем дифференцирования по времени t его уравнения движения:

Графики скорости и ускорения ползуна можно построить по точкам, давая углу ;

при  

       

при 

         

при

         

        

Рис. 157.

Отсюда видно, что в крайних положениях ползуна скорость его равна нулю, а ускорения не равны нулю, но при этом получаются неравными между собой.

Графики  и построены на чертеже.

Рассмотрим, наконец, гармоническое колебательное движение точки. Пусть по окружности радиуса а равномерно движется точка М с угловой скоростью (рис. 157).

При этом закон движения проекции равномерно движущейся точки на одну из координатных осей, например ось Ох, выразится уравнением:

где   так как точка М движется равномерно.

Прямолинейное движение точки, совершающееся по закону синуса или косинуса, называется гармоническим колебательным движением.

В уравнении (95) гармонического колебательного движения величина а наибольшего удаления точки  от точки О (центра колебаний) называется амплитудой колебания,угол  — фазой колебания, а угол , определяющий начальное положение точки, — начальной фазой колебания.

При из уравнения (95) находим:

Но это выражение (рис. 157) дает закон движения другой проекции точки М, а именно проекции ее на ось . Таким образом, если точка М равномерно движется по окружности, то обе проекции ее на координатные оси совершают гармоническое колебательное движение, причем, как видно из чертежа:

т. е. движение точки по оси Оу — тоже гармоническое с начальной фазой .

Промежуток времени Т, в течение которого вспомогательная точка М опишет полную окружность, а ее проекция или совершит одно полное колебание (пройдет путь, равный четырем амплитудам, или двум размахам), называется периодом колебания и по определению найдется: , откуда: 

Величина , определяющая число колебаний в секунду, называется частотой колебаний. Но этим термином часто называют величину (угловая или циклическая частота); в дальнейшем мы будем величину называть также циклической частотой колебаний. Из уравнения (96) находим:

Если точка совершает в минуту колебаний, то период колебаний:

а поэтому частота:

Отсюда число колебаний в минуту, выраженное через циклическую частоту колебаний, будет:

Задача №14

Движения трех точек в сантиметрах и секундах выражаются соответственно уравнениями:

и

Построить графики расстояний этих точек.

Рис. 158.

Решение. Каждая из трех точек совершает гармоническое колебательное движение. Для построения графиков расстояний проводам вспомогательную окружность радиуса а см, равного амплитуде колебания, и наносим на окружности последовательно ряд положений I, II, III и т. д. вспомогательной точки М, например через каждые секунд, или, что то же, — через угол  (рис. 158).

Выбираем, далее, на продолжении горизонтального диаметра произвольную точку , откладываем от нее в произвольном масштабе равные промежутки времени секунд каждый, проводим через точки деления вертикальные прямые и нумеруем их цифрами I, II, III и т. д., соответствующими положениям вспомогательной точки М. Проводам затем через точки I, II, III и т. д. окружности горизонтальные прямые до пересечения с вертикальными прямыми соответственной нумерации и, соединяя точки пересечения непрерывными кривыми, получим графики расстояний точек b, с и d. Как видно из чертежа, формы графиков расстояний трех точек одинаковы, только положение их различно; это объясняется тем, что колеблющиеся точки имеют различные начальные фазы  , вследствие чего происходит сдвиг фаз. Так, кривая d сдвинута вперед относительно кривой b на 180°, а кривая с —.на 45°.    ‘

Задача №15

Выразить через переменное расстояние х ускорение точки представляющей проекцию точки А конца стержня  на горизонтальную прямую (рис. 159). Стержень ОА вращается в плоскости чертежа с постоянной угловой скоростью

Рис. 159.

Решение. Из имеем: Скорость и ускорение точки найдутся но уравнениям:

т. е. точка , совершающая гармоническое колебание, обладает ускорением, пропорциональным отклонению точки от центра колебаний и направленным к этому центру.

Всё о кинематике

Кинематика — наука о движении геометрических тел. В ней рассматривается само движение без изучения причин, вызывающих это движение. Впервые термин “кинематика” ввел А.Ампер (1775-1836), взяв за основу греческое слово означающее движение.

Простейшим объектом в кинематике является точка. В кинематике точки рассматриваются следующие функции времени t: радиус-вектор скорость и ускорение

Движение тела в кинематике начинают изучать с поступательного и вращательного движения. Во вращательном движении вводятся понятия угла поворота тела угловой скорости и углового ускорения. Последние две величины векторные, но для вращательного движения их направление всегда постоянно — по оси вращения. Поэтому в решении часто используются скалярные величины имеющие смысл проекций этих векторов на ось вращения Точкой будем обозначать производную по времени.

В плоском движении тела каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой фиксированной плоскости. Само тело вовсе не обязательно должно быть плоским. Говорить о скорости тела или его ускорении в общем случае не имеет смысла: тело состоит из множества точек, каждая из которых может иметь свою скорость и ускорение. Исключение составляет поступательное движение тела, при котором равны скорости и ускорения всех точек. Кроме того, в некоторых задачах иногда говорят, например, о скорости катящегося цилиндра или о скорости автомобиля, подразумевая при этом скорость точек центральной оси цилиндра или скорость кузова автомобиля. принимая его за точку.

Угловая скорость и ускорение для плоского движения — векторные величины, но их направления всегда перпендикулярны плоскости движения. Введем декартову систему координат, в которой плоскость ху совпадает с плоскостью движения. Тогда угловая скорость и ускорение направлены вдоль оси В решении задач удобно использовать скалярные величины — проекции этих векторов на ось

Скорость точки А тела при плоском движении вычисляют через известную скорость какой-либо точки В того же тела, принимаемой за полюс (рис. 81):

Для расчета скоростей точек многозвенного механизма, каждое звено которого совершает плоское движение, формулу (1) применяют последовательно для всех точек, переходя от одной точки, принимаемой за полюс, к другой.

Схему вычислений в этом случае удобно записывать в виде структурных формул (графов [15])

где над стрелкой указан номер тела или наименование стержня, которому принадлежат точки, а снизу — угол между осью х и вектором В проекциях на оси х, у граф (2) дает уравнения

где — проекция угловой скорости тела 1 на ось z, перпендикулярную плоскости движения . Если вращение происходит против часовой стрелки, то а если — по часовой стрелке, то 

Ускорения точек тела при плоском движении связаны формулой

Правило “трех С” для запоминания формулы (3): в первом уравнении (проекции на ось х) “икС”, “минуС”, “синуС”.

Изучаем тему: кинематика точки

При изучении темы КИНЕМАТИКА ТОЧКИ вы познакомитесь с простейшими понятиями кинематики. Этот раздел теоретической механики наиболее близко примыкает к математике. Умение дифференцировать и понимать смысл найденных производных — необходимые условия для освоения этой темы.

Проверить и “оживить” решение задачи можно с помощью программы, написанной для математической системы Maple V.

Движение точки в плоскости

Постановка задачи. Точка движется по закону

Для заданного момента времени найти скорость, ускорение точки и радиус кривизны траектории.

План решения:

1. Определяем траекторию движения точки, исключая t из закона движения (1).

2. Дифференцируя (1) по времени t, находим проекции скорости точки на оси х, у:

3. Модуль скорости вычисляем по формуле

4.Дифференцируя (2), находим компоненты вектора ускорения

5. Определяем модуль ускорения

6. Вычисляем тангенциальное (касательное) ускорение. Дифференцируя скорость как сложную функцию времени,

7.Вычисляем нормальное ускорение

8. Нормальное ускорение зависит от скорости точки и радиуса кривизны траектории:

Отсюда находим радиус кривизны

Задача №16

Точка движется по закону

Для момента времени найти скорость, ускорение точки и радиус кривизны траектории. Координаты х, у даны в см, время — вс.

Решение

1. Определяем траекторию движения точки, исключая t из закона движения (3). Параметрическим представлением траектории является сам закон движения (3). Координатную форму .уравнения движения точки получаем, исключая из закона движения (3) время:

Для того, чтобы окончательно получить ответ на вопрос о траектории, необходимо еще выделить область определения функции (4). Не все точки кривой, определяемой этой функцией, являются точками траектории. При имеем

Эту же формулу можно вывести иначе, исходя из того, что величина равна проекции ускорения на касательную к траектории:

6.1.Движение точки в плоскости 

т.о. траекторией является правая ветвь параболы (4) (рис. 82). График строим по точкам (отмечены звездочками), через равные промежутки времени 0.1 с.

2. Дифференцируя (3) по времени t, находим проекции скорости точки на оси х, у:

При имеем следующие численные значения компонентов скорости:

3. Модуль скорости вычисляем по формуле

Вектор скорости строим на рисунке в масштабе по известным компонентам Если в вычислениях нет ошибок, то вектор скорости будет направлен по касательной к траектории (рис. 82).

4. Дифференцируя (6), находим компоненты вектора ускорения:

При

5. Определяем модуль ускорения

Вектор ускорения строим на чертеже в масштабе ускорений (не обязательно совпадающем с масштабом скоростей). Вектор ускорения направлен внутрь вогнутости кривой.

6.Вычисляем тангенциальное ускорение  :

Наличие тангенциального ускорения точки видно уже из рис. 82. Расстояние между первыми двумя точками меньше, чем между двумя последними, хотя интервал времени одинаков. Характеристикой такого изменения является величина

7. Вычисляем нормальное ускорение:

8. Находим радиус кривизны траектории в указанном положении точки:

Центр кривизны траектории лежит на нормали к кривой на расстоянии R = 5.208 см внутри вогнутости кривой. Окружность радиусом R с центром в этой точке максимально близко совпадет с кривой в малой окрестности от нее.

6.2. Путь, пройденный точкой

Постановка задачи. Точка движется по закону

Определить длину пути, пройденного точкой за время 

 План решения

1. Дифференцируя (1) по времени t, находим проекции скорости точки на оси

2. Считая, что время отсчитывается от нуля, находим длину пути :

Задача №17

Точка движется по закону

где Определить длину пути, пройденного точкой за время

Решение

1. Дифференцируя (2) по времени t, находим проекции скорости точки на оси х, у:

2. Считая, что время отсчитывается от нуля, находим длину пути:

Подставляя числовые значения получаем

Движение точки в пространстве

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Точка движется по закону

Определить скорость, ускорение точки и радиус кривизны траектории в заданный момент времени.

План решения

1. Дифференцируя (1) по времени t, находим проекции скорости точки на оси х,у и z:

Гл.6.Кинематика  точки

2. Вычисляем модуль скорости

3.Дифференцируя (2), находим компоненты вектора ускорения:

4. Определяем модуль ускорения

5. Вычисляем модуль тангенциального ускорения:

6. Вычисляем нормальное ускорение

7.Находим радиус кривизны траектории в указанном положении точки:

Задача №18

Точка движется по закону

где с найти скорость, ускорение точки и радиус кривизны ее траектории.

Решение

1. Дифференцируя (3) по времени t, находим проекции скорости точки на оси х, у и z:

2.Вычисляем модуль скорости

3.Дифференцируя (4), находим компоненты вектора ускорения:

4. Определяем модуль ускорения:

5. Вычисляем модуль тангенциального ускорения:

6.3.Движение точки в пространстве

6. Вычисляем нормальное ускорение:

7. Находим радиус кривизны траектории в указанном положении точки:

Радиус кривизны в данной задаче не зависит от времени. Кривая представляет собой винтовую линию постоянной кривизны. Получаем значения искомых величин при

Ответы занесем в таблицу (скорости — в см/с, ускорения — в радиус кривизны — в см):

Естественный способ задания движения точки

Постановка задачи. Точка движется по плоской кривой

с постоянной скоростью Определить ускорение точки, радиус кривизны траектории и косинус угла наклона касательной к траектории с осью ох, при заданном значении х.

План решения:

1. Находим зависимость между компонентами скорости. Дифференцируя (1) по t, используя правило дифференцирования сложной функции получаем

6.4.Естественный способ задания движения точки

где штрихом обозначена производная по координате, а точкой, как всегда, — по времени,

2.  Дополняя (2) уравнением получаем систему уравнений, из которой находим компоненты скорости

3. Находим косинус угла наклона касательной к траектории с осью ox:

4. Находим зависимость между компонентами ускорения. Дифференцируя (2) по t, получаем

где

5. Так как по условию то тангенциальное ускорение равно нулю. Отсюда получаем уравнение

которое совместно с (3) дает систему для определения проекций ускорения. Решаем систему и находим

6. Вычисляем модуль ускорения

7. Согласно п.5, тангенциальное ускорение равно нулю и нормаль-нос ускорение совпадает с полным: Так как находим отсюда радиус кривизны траектории:

Задача №19

Точка движется по плоской кривой

с постоянной скоростью Определить ускорение точки, радиус кривизны траектории и косинус угла касательной к траектории с осью ох при х= 1м.

Решение

1. Находим зависимость между компонентами скорости. Дифференцируем (4) по t. Используя правило дифференцирования сложной функции,получаем

где

При x = 1 имеем и 

2. Дополняя (5) уравнением получаем систему уравнений, из которой находим компоненты скорости

3. Находим косинус угла касательной к траектории с осью ох:

4.Находим зависимость между компонентами ускорения. Дифференцируя (5) по t, получаем

где

При х = 1 м вычисляем С учетом ранее найденной величины х =3.002, получаем

5. Из условия следует, что

Решая это уравнение совместно с (6), находим проекции вектора ускорения:

6. Вычисляем модуль ускорения:

7. Находим радиус кривизны траектории:

Ответы заносим в таблицу:

Замечание. В механике гибких стержней и сопротивлении материалов для нахождения радиуса кривизны кривой, заданной в форме у = у(х), существует формула

Решенная задача представляет собой кинематический вывод этой формулы. Проверку решения можно выполнить, подставив в (7) найденные значения

Как и следовало ожидать, радиус кривизны траектории R от скорости движения точки не зависит, как не зависит, например, форма рельсового пути от скорости движения трамвая (если, конечно, не учитывать деформации).

Движение точки в полярных координатах

Постановка задачи. Задан закон движения точки в полярных координатах:

Найти скорость и ускорение точки в полярных, декартовых и естественных координатах в заданный момент времени.

План решения:

1. Вычисляем полярные координаты точки в заданный момент времени:

2. Дифференцируя (1) по времени t, находим производные полярного радиуса р и полярного угла:

3. Вычисляем компоненты скорости в полярных координатах:

6.5. Движение точки в полярных координатах

4.Находим модуль скорости

5.Декартовы х, у и полярные координаты связаны соотношениями

Дифференцируя (3), вычисляем компоненты скорости точки в декартовых координатах:

6. Делаем проверку, вычисляя модуль скорости по декартовым компонентам:

7. Дифференцируя (2), находим вторые производные полярного радиуса р и полярного угла:

8.Вычисляем компоненты ускорения точки в полярных координатах:

9. Модуль ускорения вычисляем по формуле

10. Вычисляем компоненты ускорения точки в декартовых координатах, дважды дифференцируя (3):

11. Делаем проверку, вычисляя модуль ускорения по декартовым компонентам:

12. Находим модуль тангенциального ускорения,:

и проверяем его по формуле

13. Вычисляем нормальное ускорение

Задача №20

Задан закон движения точки в полярных координатах:

Найти скорость и ускорение точки в полярных, декартовых и естественных координатах при t = 1 с. Радиус дан в метрах.

Решение

1.Вычисляем полярные координаты точки в заданный момент времени

2. Дифференцируя (4) по времени it, находим производные полярного радиуса р и полярного угла:

При t = 1 имеем

3. Вычисляем компоненты скорости в полярных координатах:

4.Вычисляем модуль скорости:

5.Вычисляем компоненты скорости в декартовых координатах:

6. Делаем проверку, вычисляя модуль скорости по декартовым компонентам:

7. Дифференцируя (5), находим вторые производные полярного радиуса р и полярного угла:

При t = 1 получаем

8. Вычисляем компоненты ускорения в полярных координатах:

9. Определяем модуль ускорения:
*) Аргументы тригонометрических функций измеряются в радианах.

10. Находим компоненты ускорения в декартовых координатах:

11. Делаем проверку, вычисляя модуль ускорения по декартовым компонентам:

12. Находим модуль касательного ускорения,

и проверяем его по формуле

13. Вычисляем нормальное ускорение

Ответы заносим в таблицу (скорости — в м/с, ускорения — в

Траектория движения в физике, теория и онлайн калькуляторы

Траектория движения

Определение и основные понятия траектории движения

Во многих задачах интерес представлю не только перемещения материальных точек в пространстве, но и траектории их движения.

В зависимости от формы траектории механическое движение можно разделить на:

• прямолинейное движение, траекторией движения точки в этом случае является прямая линия;
• и криволинейное перемещение (траектория – кривая линия).

Форма траектории зависит от выбора системы отсчета. В разных системах отсчета траектории могут быть представлены разными линиями, могут быть прямыми и кривыми.

При движении точки с постоянным ускорением, которое описывает уравнение:

[overline{r}left(tright)={overline{r}}_0+{overline{v}}_0t+frac{overline{a}t^2}{2}left(1right),]

(где $overline{r}left(tright)$ – радиус-вектор точки в момент времени $t$; ${overline{v}}_0$ – начальная скорость движения точки; $overline{a}$ – ускорение точки,) траектория движения представляет собой плоскую кривую, что означает все точки этой кривой находятся в одной плоскости. Положение этой плоскости в пространстве задают векторы ускорения и начальной скорости. Ориентацию координатных осей чаще всего выбирают так, чтобы плоскость движения совпадала с одной из координатных плоскостей. В этом случае векторное уравнение (1) можно свести к двум скалярным уравнениям.

Уравнение траектории движения

Рассмотрим свободное движение тела около поверхности Земли. Начало координат разместим в точке бросания тела (рис.1). Оси координат направим так, как изображено на рис.1.

Тогда уравнение движения тела (1) в проекциях на координатные оси декартовой системы координат принимает вид системы из двух уравнений:

[left{ begin{array}{c}
x=v_0t{cos alpha left(2right), } \
y=v_0t{sin alpha }-frac{gt^2}{2}left(3right). end{array}
right.]

Для того чтобы получить уравнение траектории движения тела ($y=y(x)$) следует исключить время движения тела из уравнений (2) и (3). Выразим из уравнения (2) $t$ и подставим его в выражение (3), получим:

[t=frac{x}{v_0{cos alpha }}; y=v_0frac{x}{v_0{cos alpha }}{sin alpha }-frac{g}{2}{left(frac{x}{v_0{cos alpha }}right)}^2to y=x tg alpha -frac{gx^2}{2v^2_0{cos}^2alpha }left(4right).]

Выражение (4) это уравнение параболы, проходящей через начало координат. Ее верви направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ меньше нуля.

Вершина этой параболы находится в точке с координатами:

[left{ begin{array}{c}
x=frac{v^2_0{sin alpha {cos alpha } }}{g} \
y=frac{v^2_0{sin}^2alpha }{2g} end{array}
right.left(5right).]

Найти координаты вершины траектории можно при помощи известных правил исследования функций на экстремум. Так, положение максимума функции $y(x)$ определяют, приравнивая к нулю первую производную ($frac{dy}{dx}$) от нее по $x$.

Обратимость движения

Из представления о траектории можно конкретизировать смысл обратимости механического движения.

Пусть частица движется в силовом поле таком, что ее ускорение в любой точке обладает определенной величиной, не зависящей от скорости. Как будет двигаться эта частица, если, в какой то точке ее траектории направление скорости заменить противоположным? С точки зрения математики это эквивалентно замене $t $ на $-t$ для всех уравнений. Уравнение траектории время не содержит, получается, что частица будет перемещаться «вспять» по той же самой траектории. При этом отрезки времени между любыми точками траектории будут одинаковы при прямом и обратном движении. Всякой точке траектории ставится в соответствие определенное значение величины скорости независимо от направления движения по данной траектории. Данные свойства наглядны в колебательных движениях маятника.

Все сказанное выше справедливо тогда, когда можно пренебречь любым сопротивлением движению. Обратимость движения существует, когда выполняется закон сохранения механической энергии.

Параметры траектории движения

Положение точек системы отсчета можно определять при помощи разных способов. В соответствии с этими способами описывают и движение точки или тела:

• Координатная форма описания движения. Выбирается система координат, в ней положение точки характеризуют тремя координатами (в трехмерном пространстве). Это могут быть координаты $x_1=x,x_2=y,x_3=z$, в декартовой системе координат. $x_1=rho ,x_2=varphi ,x_3= z$ в цилиндрической системе и т.д. При перемещении точки координаты являются функциями времени. Описать движение точки – это значит указать эти функции:

[x_1=x_1left(tright);; x_2=x_2left(tright);; x_3=x_3left(tright)left(6right).]

• При описании движения в векторной форме положение материальной точки задает радиус-вектор ($overline{r}$) по отношению к точке, которую принимают начальной. В этом случае вводят точку (тело) отсчета. При перемещении точки вектор $overline{r}$ постоянно изменяется. Конец этого вектора описывает траекторию. Движение задает выражение:

[overline{r}=overline{r}left(tright)left(7right).]

• Третьим способом описания движения является описание с помощью параметров траектории.

Путь – это скалярная величина, равная длине траектории.

Если траектория задана, то задачу описания движения сводят к определению закона движения вдоль нее. При этом выбирается начальная точка траектории. Любая другая точка характеризуется расстоянием $s$ по траектории от начальной точки. В таком случае движение описывают выражением:

[s=sleft(tright)left(8right).]

Пусть по окружности радиуса R равномерно перемещается точка. Закон движения точки по окружности в рассматриваемом методе запишем как:

[s=Atleft(9right),]

где $s$ – путь точки по траектории; $t$ – время движения; $A$ – коэффициент пропорциональности. Известными являются окружность и точка начала движения. Отсчет положительных величин $s$ совпадает с направлением перемещения точки по траектории.

Знание траектории движения тела во многих случаях существенно упрощает процесс описания движения тела.

Примеры задач с решением

Читать дальше: ускорение тела.

Движение материальной точки в пространстве – это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.

Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.

Система отсчета. Системы координат

Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.

В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора r и трех проекций x, y, z – ее координат. Могут быть применены другие:

• сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами r, υ, φ;
• цилиндрическая система с координатами p, z, α;
• на полярной плоскости с параметрами r, φ.

В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.

Кинематическое уравнение движения материальной точки

Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.

Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.

Ее перемещение по уравнению (1) определено, если имеется указанное положение в любой момент времени t. Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:

x(t)=x, y(t)=y, z(t)=z (2).

Прямоугольные декартовы координаты x, y, z – это проекции радиус-вектора r¯, проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление r¯ можно найти из соотношений, где a, β, γ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.

Равенства (2) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.

Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости Оху, тогда применимы полярные координаты r, φ, относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:

r=r(t), φ=φ(t) (3).

Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах q1, q2, q3, связанных с декартовыми преобразованиями вида x=x(q1, q2, q3), y=y(q1, q2, q3), z=z(q1, q2, q3) (4), записывается как

q1=q1(t), q2=q2(t), q3=q3(t) (5).

Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора r при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с t представлено кинематическими уравнениями (2), (5). Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.

Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.

Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.