Содержание:
Законы распределения:
Распределение случайных переменных: Каждая из случайных переменных имеет ряд возможных значений, могущих возникнуть с определенной вероятностью.
Случайные переменные величины могут носить прерывный (дискретный) и непрерывный характер. Возможные значения прерывной случайной переменной отделены друг от друга конечными интервалами. Возможные значения непрерывной случайной переменной не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток.
Примерами прерывных случайных переменных могут служить:
- число попаданий при п выстрелах, если известна вероятность попадания при 1 выстреле. Число попаданий может быть 0, 1, 2….. n;
- число появлений герба при n бросаниях монеты.
Примеры непрерывных случайных переменных:
- ошибка измерения;
- дальность полета снаряда.
Если перечислить все возможные значения случайной переменной и указать вероятности этих значений, то получится распределение случайной переменной. Распределение случайной переменной указывает на соотношение между отдельными значениями случайной величины и их вероятностями.
Распределение случайной переменной будет задано законом распределения, если точно указать, какой вероятностью обладает каждое значение случайной переменной.
Закон распределения имеет чаще всего табличную -форму изложения. В этом случае перечисляются все возможные значения случайной переменной и соответствующие им вероятности:
Такая таблица называется также рядом распределения случайной переменной.
Для наглядности ряд распределения изображают графически, откладывая на прямоугольной системе координат по оси абсцисс возможные значения случайной переменной, а по оси ординат — их вероятности. В результате графического изображения получается многоугольник или полигон распределения (график 1). Многоугольник распределения является одной из форм закона распределения.
Функция распределения
Ряд распределения является исчерпывающей характеристикой прерывной случайной перемен-
Вероятность того, что Х<х, зависит от текущей переменной х и является функцией от х. Эта функция носит название функции распределения случайной переменной X.
F(x) = P(X
Функция распределения является одной из форм выражения закона распределения. Она является универсальной характеристикой случайной переменной и может существовать для прерывных и непрерывных случайных переменных.
Функция распределения F(x) называется также интегральной функцией распределения, или интегральным законом распределения.
Основные свойства функции распределения могут быть сформулированы так:
- F(x) всегда неотрицательная функция, т. е.
- Так как вероятность не может быть больше единицы, то
- Ввиду того что F(x) является неубывающей функцией, то при
- Предельное значение функции распределения при х= равно нулю, а при х= равно единице.
равно нулю, а при х=
равно единице.Если случайная переменная X дискретна и задана рядом распределения, то для нахождения F(x) для каждого х необходимо найти сумму вероятностей значений X, которые лежат до точки х.
Графическое изображение функции распределения представляет собой некоторую неубывающую кривую, значения которой начинаются с 0 и доходят до 1.
В случае дискретной случайной переменной величины вероятность F(x) увеличивается скачками всякий раз, когда х при своем изменении проходит через одно из возможных значений 
величины X. Между двумя соседними значениями функция F(x) постоянна. Поэтому графически функция F(x) в этом случае будет изображена в виде ступенчатой кривой (см. график 2).
В случае непрерывной случайной переменной величины функция F(x) при графическом изображении дает плавную, монотонно возрастающую кривую следующего вида (см. график 3).
Обычно функция распределения непрерывной случайной переменной представляет собой функцию, непрерывную во всех точках. Эта функция является также дифференцируемой функцией. График функции распределения такой случайной переменной является плавной кривой и имеет касательную в любой ее точке.
Плотность распределения
Если для непрерывной случайной переменной X с функцией распределения F(x) вычислять вероятность попадания ее на участок от х до х+ 
х, т. е. 
то оказывается, что эта вероятность равна приращению функции распределения на этом участке, т. е. 
Если величину 
полагать бесконечно малой величиной и находить отношение вероятности попадания на участок к длине участка, то величину отношения в пределе можно выразить так:
т. е. производной от функции распределения, которая характеризует плотность, с которой распределяются значения случайной переменной в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения и часто обозначается f(x). Ее называют также дифференциальной функцией распределения, или дифференциальным законом распределения.
Таким образом, функция плотности распределения f(x) является производной интегральной функции распределения F(x).
Вероятность того, что случайная переменная X примет значение, лежащее в границах от а до 6, равна определенному интегралу в тех же пределах от плотности вероятности, или:
Кривая, изображающая плотность распределения случайной переменной, называется кривой распределения (дифференциальной).
Построим кривую некоторой заданной функции плотности вероятности и найдем участок, ограниченный абсциссами а и b. Площадь, ограниченная соответствующими ординатами кривой распределения самой кривой и осью абсцисс, и отобразит вероятность того, что случайная переменная будет находиться в данных пределах (см. график 4).
Плотность распределения является одной из форм закона распределения, но существует только для непрерывных случайных величин.
Основные свойства плотности распределения могут быть сформулированы так:
1. Плотность распределения есть функция, не могущая принимать отрицательных значений, т. е. 
Отсюда в геометрическом изображении плотности распределения (в кривой распределения) не может быть точек, лежащих ниже оси абсцисс.
2.
Следовательно, вся площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
Среди законов распределения большое значение имеют биномиальное распределение, распределение Пуассона и нормальное распределение.
Биномиальное распределение
Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления данного события А есть величина постоянная, равная р, и, следовательно, вероятность непоявления события А также постоянна и равна q=1—р, то число появлений события А во всех n испытаниях представляет собой случайную переменную. Вероятность того, что событие А появится в n испытаниях m раз, равна:
т. е. m+1, члену разложения бинома 
Здесь q+p=1 и, следовательно, 
—число сочетаний из n элементов по m. Теорема верна для любых m, в том числе и для m = 0 и m=n. Вероятность 
появления события А образует распределение вероятностей случайной переменной m.
Ввиду того что вероятности 
связаны с разложением бинома 
распределение случайной переменной m называется биномиальным распределением. Биномиальное распределение является распределением дискретной случайной переменной, поскольку величины m могут принимать только вполне определенные целые значения.
График биномиального распределения, на котором по оси абсцисс откладываются числа наступлений события, а по оси ординат — вероятности этих чисел, представляет собой ломаную линию. Форма графика зависит от значений р, q и n.
Если р и q одинаковы, то график распределения симметричен. Если же р и q неодинаковы, то график распределения будет скошенным.
Одна из частот на графике имеет максимальное значение. Это наиболее вероятная частота. Ее значение можно определить приближенно, аналитически как произведение nр.
Найдем вероятности числа наступления события А при 20 испытаниях при p = 0,1 и р = 0,4 и построим график их распределений (см. график 5). Найдем вероятности частот при n = 20 для p = 0,1 и р=0,4.
График показывает, что приближение р к 0,5 вносит в распределение большую симметрию. Оказывается также, что при увеличении n распределение становится симметричным и для 
Биномиальное распределение имеет широкое распространение в практической деятельности людей. Например, продолжительное наблюдение за качеством выпускаемой заводом продукции показало, что p-я часть ее является браком. Иначе говоря, мы выражаем через р вероятность для любого изделия оказаться бракованным. Биномиальное распределение показывает вероятность того, что в партии, содержащей n изделий, окажется m бракованных, где m = 0, 1, 2, 3 … n.
Предположим, имеется 100 изделий из партии изделий, в ко торой доля брака равна 0,05. Вероятность того, что из этих из делий окажется 10 бракованных, равна:
Закон биномиального распределения называется также схемой Бернулли. .
Нормальное распределение
Расчет вероятностей по формуле биномиального распределения при больших n очень громоздок. При этом значении m прерывны, и нет возможности аналитически отыскать их сумму в некоторых границах. Лаплас нашел закон распределения, являющийся предельным законом при неограниченном возрастании числа испытаний n и называемый законом нормального распределения.
Плотность вероятности нормального распределения выражается при этом формулой:
где t представляет собой нормированное отклонение частоты т от наиболее вероятной частоты nр, т. е. 
— среднее квадратическое отклонение случайной переменной m. Графическое изображение плотности распределения f(t) дает кривую нормального распределения (см. график 6).
Максимальная ордината кривой соответствует точке m=nр, т. е. математическому ожиданию случайной переменной m; величина этой ординаты равна 
.
Для практического нахождения вероятностей используют таблицу значений f(t).
Эмпирические и теоретические распределения
В примерах распределений, приведенных в разделе I, мы пользовались данными, почерпнутыми из наблюдений.
Поэтому всякий наблюденный ряд распределения назовем эмпирическим, а график, изображающий распределение
частот этого ряда, — эмпирической кривой распределения. Эмпирические кривые распределения могут быть представлены полигоном и гистограммой. При этом изображение в виде полигона применяется для рядов с прерывными значениями признака, а гистограмма— для рядов с непрерывными значениями признака.
Наблюдая многочисленные ряды распределения, математики стремятся описать эти распределения путем анализа образования величины признака, пытаются построить теоретическое распределение, исходя из данных об эмпирическом распределении.
Мы уже видели на примере распределения случайной переменной, что распределение ее задается законом распределения. Закон распределения, заданный в виде функции распределения, позволяет математически описать ряды распределения некоторых совокупностей.
Теоретическим законом распределения многих совокупностей, наблюдаемых на практике, является нормальное распределение. Иначе говоря, многие эмпирические подчинены закону нормального распределения, функция плотности вероятности которого приведена в предыдущем параграфе.
Чтобы эту формулу применять для нахождения теоретических данных по некоторому эмпирическому ряду, необходимо вероятностные характеристики заменить данными эмпирического ряда. При этой замене величина стандартизованного отклонения t будет представлять собой 
где х— текущие значения случайной переменной X, а 
и 
— соответствующие характеристики эмпирического распределения, а именно средняя арифметическая и среднее квадратическое отклонение.
Следовательно, нормальное распределение ряда распределения зависит от величин средней арифметической и его среднего квадратического отклонения.
Свойства кривой нормального распределения
Дифференциальный закон нормального распределения, заданный функцией:
имеет ряд свойств. Полагая 
=1, тем самым будем иметь измерение варьирующего признака в единицах среднего квадратического отклонения. Тогда функция нормального распределения упростится и примет вид:
Рассмотрим ее свойства.
- Кривая нормального распределения имеет ветви, удаленные в бесконечность, причем кривая асимптотически приближается к оси Ot.
- Функция является четной: t(—t) = f(t). Следовательно, кривая нормального распределения симметрична относительно оси Оу.
- Функция имеет максимум при t = 0. Величина этого максимума равна
Следовательно, модального значения кривая
достигает при t = 0, а так как 
то при 
Наибольшую частоту кривая будет иметь при значении х, равном среднему арифметическому из отдельных вариантов. Средняя арифметическая является центром группирования частот ряда.
4. При t=±1 функция имеет точки перегиба. Это означает, что кривая имеет точки перегиба при отклонениях от центра
группирования 
равных среднему квадратическому отклонению.
5. Сумма частостей, лежащих в пределах от а до b, равна определенному интегралу в тех же пределах от функции f(t), т. е.
Если учесть действительную величину среднего квадратического отклонения, то окажется, что при больших величинах о значение f(t) мало, при малых, наоборот, велико. Отсюда изменяется и форма кривой распределения. При больших 
кривая нормального распределения становится плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс. При уменьшении 
кривая распределения вытягивается вверх и сжимается с боков.
На графике 7 показаны 3 кривые нормального распределения (I, II, III) при 
из них кривая I соответствует самому большому, а кривая III—самому малому значению 
Зная общие свойства кривой нормального распределения, рассмотрим те условия, которые приводят к образованию кривых данного типа.
Формирование нормального распределения
Закон нормального распределения является наиболее распространенным законом не только потому, что он наиболее часто встречается, но и потому, что он является предельным законом распределения, к которому приближается ряд других законов распределения.
Нормальное распределение образуется в том случае, когда действует большое число независимых (или слабо зависимых), случайных причин. Подчиненность закону нормального распределения проявляется тем точнее, чем больше случайных величин действует вместе. Основное условие формирования нормального распределения состоит в том, чтобы все случайные величины, действующие вместе, играли в общей сумме примерно одинаковую роль. Если одна из случайных ошибок окажется по своему влиянию резко превалирующей над другими, то закон распределения будет обусловлен действием этой величины.
Если есть основания рассматривать изучаемую величину как сумму многих независимых слагаемых, то при соблюдении указанного выше условия ее распределение будет нормальным, независимо от характера распределения слагаемых.
Нормальное распределение встречается часто в биологических явлениях, отклонениях размеров изделий от их среднего размера, погрешностях измерения и т. д.
Если взять распределение людей по номеру носимой ими обуви, то это распределение будет нормальным. Но это правило применимо только в том случае, когда численность совокупности велика и сама совокупность однородна.
Из того факта, что нормальное распределение встречается нередко в разных областях, не следует, что всякий признак распределяется нормально. Наряду с нормальным распределением существуют другие различные распределения.
Но все же умение выявить нормальное распределение в некоторой эмпирической совокупности является важным условием для ряда практических расчетов и действий. Зная, что эмпирическое распределение является нормальным, можно определить оптимальные размеры предприятий, размеры резервов и т. д.
Важным условием определения характера данной эмпирической кривой является построение на основе эмпирических данных теоретического нормального распределения.
Построение кривой нормального распределения
Первый способ. Для того чтобы построить кривую нормального распределения, пользуются следующей егo формулой:
где N — число проведенных испытаний, равное сумме частот эмпирического распределения 
k — величина интервала дробления эмпирического ряда распределения;
— среднее квадратическое отклонение ряда;
t—нормированное отклонение, т. е. 
Величина 
табулирована и может быть найдена по таблице (см. приложение II).
Для нахождения значений теоретических частот (см. пример 1) сначала необходимо найти среднюю арифметическую эмпирического ряда распределения, т. е. 
для чего находим произведения хm. Затем находим дисперсию ряда, вос-пользовавшись формулой 
Поскольку средняя уже найдена, остается найти 
для чего по каждой строке находим 
(графы 4 и 5). Затем определяем величину t, последовательно записывая для каждой строки 
и 
(графы 6 и 7). Графа 7 дает величину t по строкам. Из таблицы значений f(t) (см. приложение II) для данных в графе 7 найдем соответствующие величины (графа 8). Осталось найденные величины умножить на общий для всех строк множитель 
Найденная при умножении величина и составляет теоретическую частоту каждого варианта, записанного в строке (графа 9). Ввиду того что частоты могут быть только целыми числами, округляем их до целых и получим теоретические частоты, которые будем обозначать 
(графа 10).
Пример 1.
В таблице 3 приведено эмпирическое распределение веса 500 спиралей и расчет частот нормального распределения. (Вес спиралей х дан в миллиграммах.)
Из таблицы находим: 
Строим график эмпирических и теоретических данных. На графике 8 сплошной линией дано изображение эмпирического распределения, а пунктирной — построенного на его основе теоретического распределения.
Пример 2.
В таблице 4 дается эмпирическое распределение ПО замеров межцентрового расстояния при шевинговании зубцов динамомашины 110412 и расчет теоретических частот.
Исчислим:
Построим графики эмпирического и теоретического распределений (см. график 9).
Оба эмпирических распределения хорошо воспроизводятся теоретическим нормальным распределением.
Второй способ построения кривой нормального распределения основан на применении функции стандартизованного нормального распределения, в котором 
= 1, т. е. величина наибольшей ординаты принимается за единицу.
За начало отсчета признака при этом способе построения берется его средняя арифметическая. Ей соответствует наибольшая ордината.
Вычисление ординат производится по формуле:
где N — число наблюдений;
k — величина интервала эмпирического распределения.
Так как значение наибольшей ординаты получается при
t = 0, когда 
то величина наибольшей ординаты будет:
Придавая t последовательно значения 0,5; 1,0; 1,5; 2,0, т. е. сначала меньшие, а потом увеличивающиеся, находим в таблице стандартизованного нормального распределения для данных t соответствующие 
и, умножив полученную величину на значение наибольшей ординаты, будем иметь ординаты для этих значений t.
Например, при t = 0,5 величина стандартизованного нормального распределения
= 0,8825. Так как величина наибольшей ординаты 
то величина ординаты в точке t = 0,5 будет равна:
Пример 3.
Взяты результаты измерения 100 отклонений шага резьбы х от всей длины резьбы. Получен следующий ряд распределения, для которого по общим правилам производится расчет средней и дисперсии.
Отсюда;
Рассчитаем наибольшую ординату:
так как величина 
то:
Взяв значение t = 0,5 по таблице стандартизованного нормального распределения, находим 
При t = 0,5 оно равно 0,88251. Это и есть коэффициент, который при умножении на значение наибольшей ординаты дает величину ординаты в этой точке. Потом аналогично находим ординаты для t = ± 1 и т. д.
Для данного примера будем иметь:
Полученный результат наносим на график, а для сравнения наносим на график и результаты непосредственных измерений отклонений (см. график 10).
Как видно из графика, теоретическая кривая довольно близко воспроизводит полигон эмпирического распределения.
Пример 4.
Даны результаты измерений отклонений шага резьбы (х) в микронах на 1 витке от среднего значения. Приводятся эти данные с соответствующими расчетами:
Теоретические частоты (ординаты) рассчитываются так же, как и в предыдущем примере. Сначала находится величина наибольшей частоты:
затем другие частоты:
Эмпирические и теоретические частоты наносим на график (см. график 11) и убеждаемся, что эмпирическое распределение довольно близко воспроизводится теоретическим распределением.
Третий способ построения кривой нормального распределения (или вычисления теоретических частот) по имеющимся эмпирическим данным основан на применении функции:
которая дает площадь нормальной кривой, заключенной между —t и +t.
Вообще говоря, можно находить площадь нормальной кривой, заключенную между любыми точками 
как
применяя функцию F(t). Искомая площадь будет представлять собой 
причем для отрицательных t надо брать F(t) со знаком минус.
Пример 5.
Получены результаты 208 измерений межцентровых расстояний при шевинговании зубцов шестерни динамо-машины (см. табл. 7). Вычислим нужные параметры и теоретические частоты и построим графики эмпирического и теоретического распределений.
Колонки 1, 2, 3, 4 и 5 необходимы для расчетов 
и 
в колонке 6 рассчитаны отклонения концов интервалов от средней, в колонке 7 — величина стандартизованного отклонения 
Колонка 8 содержит значения F(t), взятые из приложения III, умноженные на 
т. е. на 104. В верхней строке приведено и значение t для конца интервала, предшествующего первому, т. е. 
Чтобы получить теоретическую частоту для каждого интервала, достаточно из верхней строки (в 8-й колонке) вычесть число той же колонки, стоящее строкой ниже.
На графике 12 показано, что теоретическое распределение достаточно точно отражает эмпирически полученный материал, только наблюдается некоторое смещение теоретической кривой вправо, что, очевидно, вызвано большим удельным весом правого конца эмпирического распределения.
Пример 6.
Дается ряд распределения ударной вязкости в 240 испытаниях. Приведем этот ряд распределения и построим для него теоретическое распределение (см. график 13).
Критерии согласия
Определение близости эмпирических распределений к теоретическому нормальному распределению по графику может быть недостаточно точным, субъективным и по-разному оценивать расхождения между ними. Поэтому математики выработали ряд объективных оценок для того, чтобы определить, является ли данное эмпирическое распределение нормальным. Такие оценки называются критериями согласия. Критерии согласия были предложены разными учеными, занимавшимися этим вопросом. Рассмотрим критерии согласия Пирсона, Романовского, Колмогорова и Ястремского.
Критерий согласия Пирсона основан на определении величины 
которая вычисляется как сумма квадратов разностей эмпирических и теоретических частот, отнесенных к теоретическим частотам, т. е.
где m — эмпирические частоты;
m’ — теоретические частоты.
Для оценки того, насколько данное эмпирическое распределение воспроизводится нормальным распределением, исчисляют по распределению Пирсона вероятности достижения 
данного значения 
Значения 
вычислены для разных 
табулированы и приводятся в приложении VI, в котором дается комбинационная таблица, где одним из аргументов (данные по строкам) являются значения 
а по другим (по столбцам) —значения k — число степеней свободы варьирования эмпирического распределения. Число степеней свободы вариации определяется для данного ряда распределения и равно числу групп в нем минус число исчисленных статистических характеристик (средняя, дисперсия, моменты распределения и т. д.), использованных при вычислении теоретического распределения.
Пересечение данного столбца с соответствующей строкой дает искомую вероятность 
При вероятностях, значительно отличающихся от нуля, расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами можно считать случайным.
Проф. В. И. Романовский предложил более простой метод оценки близости эмпирического распределения к нормальному, используя величину 
Он предложил вычислять отношение:
где k — число степеней свободы.
Если указанное отношение имеет абсолютное значение, меньшее трех, то предлагается расхождение между теоретическим и эмпирическим распределениями считать несущественным; если же это отношение больше трех, то расхождение существенно. Несущественность расхождения (когда величина отношения Романовского меньше трех) говорит о возможности принять за закон данного эмпирического распределения нормальное распределение.
По данным примера 2 рассчитаем величину 
Пример 7.
Вычисление 
Для распределения межцентрового расстояния в НО наблюдениях:
Из таблицы 
(приложение VI) для 
= 12 и k = 12 находим вероятность =0,4457; она достаточно велика, значит расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами можно считать случайными, а распределение — подчиняющимся закону нормального распределения.
Находим отношение Романовского:
Это отношение значительно меньше трех, поэтому расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами можно считать несущественными, и, таким образом, теоретическое распределение достаточно хорошо воспроизводит эмпирическое.
Пример 8.
Вычислим критерий 
Для распределения веса 500 спиралей.
По таблице находим вероятность 
= 0,9834, которая близка к достоверности, и поэтому расхождение между теоретическим и эмпирическим распределением может быть случайным.
Отношение Романовского
также значительно меньше трех, поэтому теоретическое воспро* изведение эмпирического ряда достаточно удовлетворительное.
Критерий 
Колмогорова. Критерий 
, предложенный А. Н. Колмогоровым, устанавливает близость теоретических и эмпирических распределений путем сравнения их интегральных распределений. 
исчисляется исходя из D — максимального верхнего предела абсолютного значения разности их накопленных частот, отнесенного к квадратному корню из числа наблюдений N:
где D — максимальная граница разности: 
— накопленных теоретических частот и М— накопленных эмпирических частот.
Приведем таблицу значений 
—вероятности того, что 
достигнет данной величины.
Если найденному значению 
соответствует очень малая вероятность 
то расхождение между эмпирическим и теоретическим распределением нельзя считать случайным и, таким образом, первое мало отражает второе. Наоборот, если 
— величина значительная (больше 0,05), то расхождение между частотами может быть случайным и распределения хорошо соответствуют одно другому.
Рассмотрим применение этого критерия на двух примерах.
Пример 9.
В таблице вероятностей 
находим для 
Эта большая вероятность указывает на то, что расхождение между наблюдением и теоретическим распределением вполне могло быть случайным.
Пример 10.
Величина вероятности 
показывает несущественность расхождений между теоретическим и эмпирическим распределением.
Критерий Б. С. Ястремского. В общем виде критерий Ястремского можно записать следующим неравенством:
где 
- — эмпирические частоты;
- — теоретические частоты;
- — число групп.
— эмпирические частоты;
— теоретические частоты;
— число групп.Для числа групп, меньших 20, 
= 0,6; q = 1 — р.
Значение I, меньшее 
в критерии Ястремского показывает несущественность расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами в данном распределении.
При значениях I, больших 
расхождение между теоретическим и эмпирическим распределением существенно.
Пример 11.
Определим величину I и оценим эмпирическое распределение 500 спиралей (m) по сравнению с соответствующим нормальным (m’).
что говорит о нормальном распределении исследуемой совокупности.
Элементарные приемы определения «нормальности» распределения. Для определения элементарными способами близости данного опытного распределения к нормальному прибегают к числам Вестергарда и к сравнению средней арифметической, моды и медианы.
Числами Вестергарда являются: 0,3; 0,7; 1,1; 3. Для пользования ими определяют сначала основные характеристики — среднюю арифметическую 
и среднее квадратическое отклонение 
Для того чтобы данное эмпирическое распределение было подчинено закону нормального распределения, необходимо, чтобы распределение удовлетворяло следующим условиям:
- в промежутке от была расположена часть всей совокупности;
- в промежутке от была расположена часть всей совокупности;
- в промежутке от было расположено всей совокупности;
- в промежутках от —3 до +3 было расположено 0,998 всей совокупности.
была расположена 
часть всей совокупности;
была расположена 
часть всей совокупности;
было расположено 
всей совокупности;Для приводимого распределения 500 спиралей по весу (пример 1) все эти условия соблюдаются, что говорит о подчинении данного распределения закону нормального распределения.
К элементарным приемам определения «нормальности» следует отнести применение графического метода, особенно удобное с помощью полулогарифмической сетки Турбина. На сетке накопленные эмпирические частоты при нормальном их распределении дают прямую линию. Всякое отклонение от прямой свидетельствует об отклонении эмпирического распределения от «нормального».
Распределение Пуассона
Вероятности частот событий, редко встречающихся при некотором числе испытаний, находят по формуле:
где m — частота данного события;
n — число испытаний;
р — вероятность события при одном испытании;
е= 2,71828.
Это выражение носит название закона распределения Пуассона.
Подставим вместо nр среднее число фактически наблюдавшихся случаев в эмпирическом материале. Теоретические ординаты кривой распределения по закону Пуассона m’ найдем по формуле:
где х — переменное значение числа раз;
— среднее число раз в эмпирическом распределении;
n — число наблюдений.
При
Пример 12.
Наблюдалось следующее распределение растений сорняков в 1000 выборках посевов гороха. Результаты эксперимента записаны в следующей таблице:
Определим по закону Пуассона теоретические частоты разного числа растений сорняков. Для этого предварительно исчислим среднее число растений сорняков в одной выборке:
Из таблицы находим 
Определим теоретическое число выборок, в которых число растений сорняков будет равно 0:
то же:
для числа растений сорняков, равного 1:
для числа растений сорняков, равного 2:
для числа растений сорняков, равного 3:
для числа растений сорняков более 3:
Графическое сопоставление обоих распределений говорит о соответствии между эмпирическим и теоретическим распределениями.
Распределение Максвелла
В технике часто встречается распределение по закону Максвелла. Это — распределение существенно положительных величин. Например, эмпирическое распределение эксцентриситетов биений теоретически воспроизводится распределением Максвелла.
Дифференциальный закон распределения Максвелла выражается следующей формулой:
где 
— параметр распределения, равный 
Интегральный закон распределения выразится тогда:
Пример 13.
Заимствуем из книги А. М. Длина таблицу распределения симметричности гнезд относительно торцов в круглых плашках (в 0,01 мм) и проведем дополнительные расчеты.
Из этой таблицы легко определим среднюю симметричность:
и параметр рассеяния:
Формула интегрального распределения по закону Максвелла позволяет найти накопленные, а затем теоретические частости и частоты.
Изобразим на графике 15 данные эмпирического и теоретического рядов распределения.
Определим близость их по критерию согласия Ястремского. Для этого приведем в табл. 18 расчет величины С:
По критерию Ястремского находим
Величина I значительно меньше 3. Следовательно, данное эм лирическое распределение хорошо согласуется с законом распределения Максвелла.
- Дисперсионный анализ
- Математическая обработка динамических рядов
- Корреляция – определение и вычисление
- Элементы теории ошибок
- Статистические оценки
- Теория статистической проверки гипотез
- Линейный регрессионный анализ
- Вариационный ряд
Дискретные распределения вероятностей и их параметры
- Общие свойства дискретного распределения
- Функция распределения дискретной случайной величины
- Числовые характеристики дискретного распределения
- Таблица дискретных распределений, их параметров и числовых характеристик
- Примеры
п.1. Общие свойства дискретного распределения
Величина, которая в результате испытания может принимать то или иное числовое значение, называется случайной величиной.
Случайная величина называется дискретной, если она принимает не более чем счетное количество значений.
Дискретная случайная величина называется конечной, если она принимает конечное число значений.
Согласно данному определению дискретная величина может быть определена либо на бесконечном счетном множестве, либо на конечном множестве (которое всегда счетное).
Напомним, что счетным называется множество, которое эквивалентно множеству натуральных чисел, т.е. элементы которого можно пронумеровать (см. §11 справочника для 8 класса).
Например:
1) При подбрасывании игрального кубика мы получаем всего 6 исходов. Случайная величина X – выпавшее число очков – принимает конечное число значений (Omega=left{1;2;3;4;5;6right}), т.е. является дискретной конечной случайной величиной.
2) Случайная величина X – количество поступивших вызовов на сервер за сутки – не ограничена сверху и может принимать значения (Omega=left{1;2;3;…right})
Правило, устанавливающее связь между значениями случайной величины и вероятностью получения каждого из этих значений в испытании, называется законом распределения.
Случайная величина полностью описывается своим законом распределения.
Закон распределения может быть задан аналитически (формулой), таблично или графически.
Закон распределения конечной дискретной случайной величины, заданный в виде таблицы, называют рядом распределения.
Например:
В результате измерения температуры учеников школы получен следующий ряд распределения:
| t, °C | 36,3 | 36,4 | 36,5 | 36,6 | 36,7 | 36,8 | 36,9 | 37,0 | 37,1 |
| p(t) | 0,05 | 0,07 | 0,15 | 0,33 | 0,31 | 0,11 | 0,04 | 0,01 | 0,01 |
Значения (left{x_1,x_2,…,x_kright}), которые может принимать конечная случайная величина X, являются несовместными и образуют полную группу событий. Сумма их вероятностей: $$ sum_{i=1}^k p_i=1, p_igeq 0 $$
Чтобы вспомнить о несовместных событиях и полной группе событий – см. §39 справочника для 9 класса.
Например:
Пусть в урне находится 2 белых и 3 черных шара. Мы достаем шар, смотрим на его цвет, возвращаем его обратно и все шары перемешиваем. Таким образом, событие A=«достали белый шар» каждый раз является независимым от предыдущих и имеет вероятность (p=frac25).
Пусть мы провели n=3 испытания. В 3 испытаниях можно получить от 0 до 3 белых шаров. Вероятность событий (kinleft{0;1;2;3right}) описывается биномиальным законом распределения (см. §40 справочника для 9 класса): $$ P_3(k)=C_3^k p^k q^{3-q}, k=overline{0;3} $$ Получаем закон распределения: begin{gather*} P_3(0)=C_3^0 p^0 q^{3-0}=q^3=left(frac35right)^3=frac{27}{125}\ P_3(1)=C_3^1 p^1 q^{3-1}=3pq^2=3cdot frac25cdot left(frac35right)^2=frac{54}{125}\ P_3(2)=C_3^2 p^2 q^{3-2}=3p^2q=3cdot left(frac25right)^2cdot frac35=frac{36}{125}\ P_3(3)=C_3^3 p^3 q^{3-3}=p^3=left(frac25right)^3=frac{8}{125} end{gather*}
| k | 0 | 1 | 2 | 3 |
| (P_3(k)) | (frac{27}{125}) | (frac{54}{125}) | (frac{36}{125}) | (frac{8}{125}) |
Сумма вероятностей: $$ sum_{k=0}^3 P(k)=frac{27+54+36+8}{125}=1 $$
п.2. Функция распределения дискретной случайной величины
Функцией распределения дискретной случайной величины называют функцию, которая определяет вероятность, что значение случайной величины X не превышает граничное значение x: $$ F(x)=P(Xleq x) $$
Для дискретной случайной величины функция распределения будет ступенчатой кусочно-непрерывной функцией, область значений которой: (F(x)in[0;1]).
Слева на графике функции распределения будет нулевая «ступенька», а справа – единичная «ступенька».
Например:
Найдем из закона распределения случайной величины k, полученного в предыдущем примере для урны с шарами, функцию распределения.
| k | 0 | 1 | 2 | 3 |
| (P_3(k)) | (frac{27}{125}) | (frac{54}{125}) | (frac{36}{125}) | (frac{8}{125}) |
| (F(k)) | (frac{27}{125}) | (frac{27+54}{125}=frac{81}{125}) | (frac{81+36}{125}=frac{117}{125}) | (frac{117+8}{125}=1) |
Изобразим графически закон распределения в виде гистограммы:
Построим график для функции распределения: begin{gather*} F(k)= begin{cases} 0, kleq 0\ frac{27}{125}, 0lt kleq 1\ frac{81}{125}, 1lt klt 2\ frac{117}{125}, 2lt kleq 3\ 1, kgt 3 end{cases} end{gather*} 
п.3. Числовые характеристики дискретного распределения
Числовыми характеристиками дискретного распределения являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение (СКО).
Подробно о свойствах этих характеристик – см. §41 справочника для 9 класса.
Здесь мы приведем только основные определения.
Математическое ожидание дискретной случайной величины X = {xi} равно сумме произведений всех возможных значений xi на соответствующие вероятности pi: $$ M(X)=x_1p_1+x_2p_2+…+x_{n}p_{n}=sum_{i=1}^n x_{i}p_{i} $$ Математическое ожидание является средним значением величины X.
Дисперсия дискретной случайной величины X = {xi} – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: $$ D(X)=M(X-M(X))^2 $$ На практике дисперсия рассчитывается по формуле: $$ D(X)=M(X)^2-M^2(X)=sum_{i=1}^n x_i^2p_i-M^2(X) $$
Среднее квадратичное отклонение (СКО) дискретной случайной величины X = {xi} – это корень квадратный от дисперсии: $$ sigma(X)=sqrt{D(X)} $$ СКО характеризует степень отклонения случайной величины от среднего значения.
Например:
Рассчитаем числовые характеристики для урны с шарами из предыдущего примера.
Составим расчетную таблицу:
| (x_i) | 0 | 1 | 2 | 3 | ∑ |
| (p_i) | (frac{27}{125}) | (frac{54}{125}) | (frac{36}{125}) | (frac{8}{125}) | (1) |
| (x_i p_i) | (0) | (frac{54}{125}) | (frac{72}{125}) | (frac{24}{125}) | (1,2) |
| (x_i^2) | 0 | 1 | 4 | 9 | – |
| (x_i^2 p_i) | (0) | (frac{54}{125}) | (frac{144}{125}) | (frac{72}{125}) | (2,16) |
Получаем begin{gather*} M(X)=sum_{i=0}^3 x_i p_i=1,2=frac65\ D(X)=sum_{i=0}^3 x_i^2 p_i-M^2(X)=2,16-1,2^2=0,72=frac{18}{25}\ sigma(X)=sqrt{D(X)}=sqrt{frac{18}{25}}=frac{3sqrt{2}}{5} end{gather*} В научных статьях и технической документации принято записывать случайные величины в виде (x=M(X)pmsigma (X)).
В данном случае для числа вынутых белых шаров в 3 испытаниях можем записать: $$ k=frac{6pm 3sqrt{2}}{5} $$
п.4. Таблица дискретных распределений и их параметров
| Название | Принятое обозначение |
Плотность распределения |
Мат. ожидание |
Дисперсия |
| Дискретное равномерное | (U(N)) | begin{gather*} P(left{kright})=frac1N\ Ninmathbb{N}, kinleft{1,…,Nright} end{gather*} | (frac{N+1}{2}) | (frac{N^2-1}{12}) |
| Бернулли | (B(1,p)) | begin{gather*} P(0)=1-p=q\ P(1)=p\ kinleft{0;1right} end{gather*} | (p) | (pq) |
| Биномиальное | (B(n,p)) | begin{gather*} P(left{kright})=C_n^k p^k q^{n-k}\ ninmathbb{N}, k=inleft{0,1,…,nright} end{gather*} | (np) | (npq) |
| Пуассона | (Pois(lambda)) | begin{gather*} P(left{kright})=frac{lambda^k}{k!}e^{-lambda}\ lambdagt 0, k=inleft{0,1,…,nright} end{gather*} | (lambda) | (lambda) |
| Геометрическое | (Geopm(p)) | begin{gather*} P(left{kright})=pq^{k-1}\ k=inleft{0,1,2,…right} end{gather*} | (frac1p) | (frac{q}{p^2}) |
| Гипер-геометрическое | (HG(D,N,n)) | begin{gather*} P(left{kright})=frac{C_D^k C_{N_D}^{n-k}}{C_N^n} end{gather*} | (frac{nD}{N}) | $$frac{frac{nD}{N}left(1-frac DNright)(N-n)}{N-1}$$ |
п.5. Примеры
Пример 1. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии дискретного равномерного распределения
Случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, если она принимает конечное число N значений с равными вероятностями. Значения исходов (k_iinleft{1,…,Nright}). Вероятность каждого из исходов (p_i=frac1N, i=overline{1,N}).
Предварительно заметим, что по формуле суммы арифметической прогрессии: $$ sum_{i=1}^N k_i=1+2+…+N=frac{N(N+1)}{2} $$ А сумму квадратов можно найти по формуле Архимеда (доказательство – см. пример 2 в §25 справочника для 9 класса): $$ sum_{i=1}^N k_i^2=1^2+2^2+…+N^2=frac{N(N+1)(2N+1)}{6} $$ Найдем математическое ожидание: $$ M(X)=sum_{i=1}^N k_ip_i=sum_{i=1}^N k_icdot frac1N=frac1N(1+2+…+N)=frac1Ncdotfrac{N(N+1)}{2}=frac{N+1}{2} $$ Найдем дисперсию: begin{gather*} D(X)=sum_{i=1}^N k_i^2 p_i-M^2(X)=sum_{i=1}^N k_i^2cdotfrac1N-M^2(X)=\ =frac1Ncdotfrac{N(N+1)(2N_1)}{6}-left(frac{N+1}{2}right)^2=frac{(N+1)(2N+1)}{6}-frac{(N+1)^2}{4}=\ =frac{N+1}{2}left(frac{2N+1}{3}-frac{N+1}{2}right)=frac{N+1}{2}cdotfrac{4N+2-3N-3}{6}=frac{N+1}{2}cdotfrac{N-1}{6}=frac{N^2-1}{12} end{gather*} В частности, для игрального кубика: $$ N=6; p_i=frac16; M(X)=frac{6+1}{2}=3,5; D(X)=frac{6^2-1}{12}=2frac{11}{12} $$
Ответ: (M(X)=frac{N+1}{2}; D(X)=frac{N^2-1}{12})
Пример 2. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии распределения Бернулли.
Случайная величина k имеет распределение Бернулли, если k принимает значения 1 или 0 с вероятностями p и 1-p соответственно. $$ P(0)=1-p=1, P(1)=p, kinleft{0;1right} $$
Закон распределения:
| (k_i) | 0 | 1 |
| (p_i) | 1-p | p |
Найдем математическое ожидание: $$ M(X)=0cdot (1-p)+1cdot p=p $$ Найдем дисперсию: begin{gather*} D(X)=(0^2cdot(1-p)+1^2cdot p)-M^2(X)=p-p^2=p(1-p)=pq end{gather*}
Типичным примером является бросание монеты, где (M(X)=p=0,5) и (D(X)=0,5cdot 0,5=0,25). Дисперсия максимальна для нефальшивой монеты.
Рассмотрим другой пример – бросание фальшивой монеты, для которой вероятность выпадения орла (k=1) равна p=0,7. Тогда (M(k)=p=0,7), дисперсия (D(k)=0,7cdot 0,3=0,21). Как и ожидалось, для фальшивой монеты средняя величина возрастает (70% бросков заканчивается выпадением орла). При этом дисперсия уменьшается.
Ответ: (M(X)=p, D(X)=pq)
Пример 3. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии биномиального распределения.
Схема Бернулли – это последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны только два исхода – «успех» и «неудача».
При этом вероятность успеха в каждом испытании постоянна и равна (pin(0;1)).
Вероятность неудачи в каждом испытании (q=1-p).
Вероятность того, что событие A появится в n испытаниях Бернулли ровно k раз, выражается биномиальным распределением: $$ P_n(k)=C_n^k p^k q^{n-k} $$
Математическое ожидание и дисперсию для одного опыта Бернулли мы получили в примере 2: (M(X)=p, D(X)=pq).
Общее число успехов при n опытах складывается из числа успехов при каждом опыте, т.е. (X=X_1+X_2+…+X_n). Все опыты между собой независимы.
По свойству мат.ожидания суммы независимых событий (см. §41 справочника для 9 класса): begin{gather*} M(X)=M(X_1+X_2+…+X_n)=M(X_1)+M(X_2)+…+M(X_n)=\ =underbrace{p+p+…+p}_{n раз}=np end{gather*} По свойству дисперсии суммы независимых событий (см. §41 справочника для 9 класса): begin{gather*} D(X)=D(X_1+X_2+…+X_n)=D(X_1)+D(X_2)+…+D(X_n)=\ =underbrace{pq+pq+…+pq}_{n раз}=npq end{gather*} Например, пусть событие A=«уронить молоток на ногу» имеет вероятность p=0,1.
Тогда для n=100 забиваний гвоздей вы в среднем уроните молоток на ногу
(M(X)=np=100cdot 0,1=10) раз
Дисперсия этого события (D(X)=npq=100cdot 0,1cdot 0,9=9)
СКО (sigma(X)=sqrt{D(X)}=3)
По правилу «трех сигм» интервал оценки: begin{gather*} 10-3cdot 3lt Xlt 10+3cdot 3\ -17lt Xlt 37\ 0leq Xleq 36 end{gather*} Скорее всего (вероятность 99,72%), вы уроните молоток от 0 до 36 раз.
Ответ: (M(X)=np, D(X)=npq)
Пример 4. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии распределения Пуассона.
Если проводится очень много испытаний Бернулли, для каждого из которых вероятность появления события A мала: (nrightarrowinfty, prightarrow 0, nprightarrowlambda), вероятность того, что событие A появится ровно k раз выражается распределением Пуассона: $$ p_k(lambda)=frac{lambda^k}{k!}e^{-lambda}, k=inleft{0,1,2,…right} $$
Распределение Пуассона получается из биномиального распределения предельным переходом (nrightarrowinfty, prightarrow 0, nprightarrowlambda).
Найдем математическое ожидание как предел мат. ожидания биномиального распределения: $$ M(X)=lim_{nprightarrowlambda}M_B(X)=lim_{nprightarrowlambda}(np)=lambda $$ Т.е. параметр (lambda) является средним числом удачных исходов.
Дисперсия, если учесть что (prightarrow 0), а значит (q=1-prightarrow 1) $$ D(X)=underset{qrightarrow 1}{lim_{nprightarrowlambda}} D_B(X)=underset{qrightarrow 1}{lim_{nprightarrowlambda}}(npq)=lambdacdot 1=lambda $$
Например, в городе размерами 10х10 км болеет гриппом 1000 человек.
С какой вероятностью в комнате размерами 10х10 м:
а) не окажется больных;
б) окажется 1 больной?
Площадь города в метрах (S=(10^4)^2=10^8) м2
Площадь комнаты в метрах (s_0=10^2) м2
Среднее количество больных в комнате: (lambda=Nfrac{s_0}{S}=10^3cdotfrac{10^2}{10^3}=10^{-3}=0,001)
а) вероятность того, что в комнате не окажется больных: $$ p_0=frac{0,001^0}{0!}e^{-0,001}=e^{-0,001}approx 1-0,001=0,999 $$ Здесь мы использовали формулу приближенных вычислений (e^xapprox 1+x, xrightarrow 0) (см. §52 данного справочника).
б) вероятность того, что в комнате окажется один больной: $$ p_1=frac{0,001^1}{1!}e^{-0,001}=0,000999approx 0,001 $$ Вероятность всех остальных случаев пренебрежимо мала.
Таким образом, при малых (lambda) вероятности (p_0approx 1-lambda, p_1approxlambda), т.е. фактически мы получаем распределение Бернулли.
Ответ: (M(X)=lambda , D(X)=lambda)
Закон распределения дискретной случайной величины (ДСВ) представляет собой соответствие между значениями х1, х2,…,хn этой величины и их вероятностями p1, p2,…,pn
Может быть задан аналитически, графически или таблично.
Самый простой способ представления закона распределения дискретной случайной величины — в виде таблицы ряда распределения, то есть
| X | x1 | x2 | …… | xn |
| P | p1 | p2 | …… | pn |
х1, х2,…,хn — значения дискретной случайной величины;
p1, p2,…,pn — вероятности значений X дискретной случайной величина.
Также должно выполняться условия, что сумма вероятностей равна 1, то есть
∑p=p1+p2+ … +pn=1
Графически закон распределения ДСВ задается в виде многоугольника распределения см. здесь., а аналитически, например, с применением формулы Бернулли.Рассмотрим примеры
Пример 1
Монета подбрасывается 10 раз, герб выпал 6 раз, а орел — 4 раза. Составить закон распределения дискретной случайной величины.
Решение
Вероятности равны:
p1(6)=6/10=0,6;
p2(4)=4/10=0,4
Пример 2
Из корзины извлечено 4 белых шара, 6 черных, 8 синих и 2 красных шара. Найти закон распределения случайной величины X возможного выигрыша на один билет.
Решение
Объем выборки равен
n=4+6+8+2=20
X принимает следующие значения:
x1=4; x2=6; x3=8; x1=2
Найдем их вероятности:
p1(4)=4/20=0,2;
p2(6)=6/20=0,3;
p3(8)=8/20=0,4;
p4(2)=2/20=0,1
Получаем таблицу закона распределения дискретной случайной величины
| X | 4 | 6 | 8 | 2 |
| P | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.1 |
Пример 3
По контрольной работе по математике школьники получили оценки:
удовлетворительно — 5 человек;
хорошо — 13 человек;
отлично — 7 человек.
Составьте таблицу закона распределения ДСВ
Решение
n=5+13+7=26
Вычислим вероятности:
p1(5)=5/25=0,2;
p2(13)=13/25=0,52;
p3(7)=7/25=0,28
Таблица имеет вид:
| X | 5 | 13 | 8 | 2 |
| P | 0.2 | 0.52 | 0.28 | 0.1 |
Пример 4
Партия из 8 изделий содержит 5 стандартных. Наудачу отбираются 3 изделия. Составить таблицу закона распределения числа стандартных изделий среди отобранных.
Решение
Для составления закона распределения воспользуемся формулой комбинаторики сочетание без повторений, то есть всего 8 изделия, а отобрать необходимо 3 изделия получаем:
при P(X=0) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий не окажется ни одного стандартного;
при P(X=1) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий окажется одно стандартное и два нестандартных изделия;
при P(X=2) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий окажется два стандартных и одно нестандартное изделие;
при P(X=3) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий все три изделия стандартные.
Составим таблицу распределения
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0.018 | 0.268 | 0.536 | 0.178 |
Пример 5
В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X — числа стандартных деталей среди отобранных.
Решение
Возможные варианты значений СВ X: 1, 2, 3
$n=C_6^3$ — числу способов, которыми можно выбрать три детали из шести;
$C_4^x$ — число способов, которыми из четырех деталей выбирают х деталей.
$C_2^{3 — x}$ — общее число способов отбора нестандартных деталей
Тогда вероятности события A вычисляются по формуле
Закон распределения дискретной случайной величины X для составления ряда распределения:
Получаем таблицу ряда распределения ДСВ
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0 | 0.2 | 0.6 | 0.2 |
17090
