Как найти замечательную точку треугольника

Замечательные точки треугольника — точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.

Обычно они расположены внутри треугольника, но и это не обязательно. В частности, точка пересечения высот может находиться вне треугольника.
Другие замечательные точки треугольника см. в энциклопедии центров треугольника.

Примеры[править | править код]

Замечательными точками треугольника являются

• Точки пересечения:
  • медиан — центроид, центр тяжести (масс);
  • биссектрис — инцентр или центр вписанной окружности;
  • антибиссектрис — центр антибиссектрис;
  • биссектрис внешних углов — центр вневписанной окружности;
  • высот — ортоцентр;
  • серединных перпендикуляров — центр описанной окружности;
  • симедиан — точка Лемуана;
  • биссектрис серединного треугольника (его инцентра) — Центр Шпикера;
  • кливеров треугольника — также Центр Шпикера;
  • трёх (или даже двух) окружностей, построенных, как на диаметре, на отрезке, соединяющем основания внутренней и внешней биссектрисы, выпущенных из одного угла, — две точки Аполлония;
  • отрезков, соединяющих вершины треугольника:
    • c точками касания противоположных сторон и вписанной окружности — точка Жергонна;
    • c точками касания противоположных сторон и вневписанных окружностей — точка Нагеля;
    • c соответствующими свободными вершинами равносторонних треугольников, построенных на сторонах треугольника (наружу) — первая точка Торричелли;
    • с соответствующими свободными вершинами правильных треугольников, построенных внутрь треугольника — вторая точка Торричелли;
    • c соответствующими свободными вершинами треугольников, подобных исходному треугольнику и построенных на его сторонах — точки Брокара;

Минимаксные точки треугольника[править | править код]

Минимаксными (экстремальными) точками треугольника называются точки, в которых достигается минимум некоторой функции, например, суммы степеней расстояний до сторон или вершин треугольника^[1].

Минимаксными точками треугольника являются:

• Точка пересечения трёх медиан, имеющая наименьшую сумму квадратов расстояний до вершин треугольника (теорема Лейбница).
• Точка пересечения трёх медиан треугольника является единственной точкой треугольника такой, что проведённые через неё три чевианы разделяют своими концами стороны треугольника на шесть отрезков. При этом произведение длин трёх из этих шести отрезков, не имеющих общих концов, максимально^[2]
• Точка Торричелли (первая), имеющая наименьшую сумму расстояний до вершин треугольника с углами не более .
• точка Лемуана, имеющая наименьшую сумму квадратов расстояний до сторон треугольника.
• Основания высот остроугольного треугольника образуют ортотреугольник, имеющий наименьший периметр из всех треугольников, вписанных в данный треугольник.

Изо-точки и изо-прямые треугольника[править | править код]

Изо-точками являются точки треугольника, дающие какие-либо равные параметры трёх треугольников, которые образуются при соединении изо-точки отрезками с тремя вершинами треугольника^[3]. В результате образуется фигура типа «глаз дракона» (см. рис.)

Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «глаз дракона»[править | править код]

Изо-точками треугольника такого типа являются:

Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «Трилистник (узел)»[править | править код]

Изо-точками треугольника такого типа являются (см. рис.):

• Центр Шпикера является точкой пересечений прямых , и , где , и подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника снаружи, имеющие один и тот же угол у основания ^[6].
• Первая точка Наполеона , как и центр Шпикера, является точкой пересечений прямых , и , где , и подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника снаружи, имеющие один и тот же угол у основания .
• Здесь надо бы перечислить все точки, лежащие на гиперболе Киперта.

Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «Цветок традесканции»[править | править код]

Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «Цветок традесканции» (см. рис.) следующие:

• точка пересечения медиан образует тремя малыми отрезками чевиан три четырёхугольника с равными площадями.
• точка пересечения биссектрис образует тремя перпендикулярами к трём сторонам треугольника три четырёхугольника-дельтоида с двумя одинаковыми у всех смежными сторонами. Другая пара равных смежных сторон в общем случае у всех разная. У всех трёх дельтоидов есть пара равных противоположных углов в . Они — вписанно-описанные четырёхугольники.
• Три окружности, проведённые внутри треугольника через точку Микеля, пересекают стороны треугольника в трёх точках. Три хорды, проведённые через точку Микеля и три точки пересечения трёх окружностей с тремя разными сторонами треугольника, образуют равные углы со сторонами.

Изо-точки треугольника, образующие знак типа «Модель поверхности криволинейного треугольника» (см. рис.)[править | править код]

К числу таких точек относятся:

• Точки окружности Эйлера
• Точки в теореме Томсена
• Точки в теореме Тукера. Если на рис. к теореме Томсена справа ниже проводить аналогичную 6-звенную ломаную, последовательно чередуя отрезки параллельные, антипараллельные, параллельные, снова антипараллельные, снова параллельные противоположной текущей стороне и т. д., тогда последний 6-ой отрезок вернется в исходную точку, как и в теореме Томсена, и ломаная замкнется. Теорема Тукера утверждает, что в этом случае 6 точек ломаной, лежащих на сторонах треугольника, будут лежать на окружности Тукера^{[7] [8]}

Изо-точки треугольника, образующие знак типа «Опасно. Радиоактивные вещества или ионизирующее излучение» (см. рис.)[править | править код]

Изо-точками треугольника такого типа являются:

• точка Лемуана (точка равных антипараллелей) — точка обладающая свойством: проведённые через неё три антипараллели (линии, антипараллельные трём сторонам треугольника) дают внутри треугольника три отрезка равной длины.
• точка равных параллелей (Equal Parallelians Point)^[9]. В некотором смысле аналогична точке Лемуана. Точка обладает свойством: проведённые через неё три параллели (линии, параллельные трём сторонам треугольника) дают внутри треугольника три отрезка равной длины.
• Точка конгруэнтности Иффа (англ. Yff Center of Congruence)
• точка пересечения 3 антибиссектрис треугольника. Если через эту точку провести 3 прямые, параллельные сторонам треугольника, то они отсекут на сторонах треугольника 3 равных внутренних (серединных) отрезка.
• Другая формулировка последнего утверждения: Отрезки сторон треугольника, заключенные между прямыми, проведёнными через центр антибиссектрис параллельно трем сторонам, равны между собой.

Другие изо-точки треугольника, образующие чевианы общего вида[править | править код]

• точки Скутина — точки равных чевиан треугольника. Теорема Скутина утверждает, что три отрезка прямых или чевианы, проведённые внутри треугольника через три его вершины и через любой фокус описанного эллипса Штейнера, равны между собой. Эти фокусы часто называют точками Скутина.

Изо-прямые[править | править код]

Изо-прямыми (изо-линиями) треугольника являются прямые, которые разрезают данный треугольник на два треугольника, имеющие какие-либо равные параметры^[3]. Изо-прямыми треугольника являются:

• Медиана треугольника делит противоположную сторону пополам и разрезает треугольник на два треугольника с равными площадями.
• Биссектриса (Биссектор) треугольника делит пополам угол, из вершины которого она выходит.
• Высота треугольника пересекает противоположную сторону (или её продолжение) под прямым углом (то есть образует два равных угла со стороной по обе стороны от неё) и разрезает треугольник на два треугольника с равными (прямыми) углами.
• Симедиана — геометрическое место точек внутри треугольника, выходящее из одной вершины, дающее два равных отрезка, антипараллельных двум сторонам, пересекающимся в этой вершине, и ограниченных тремя сторонами.
• Кливер треугольника разбивает периметр пополам. Кливер треугольника — это отрезок, один конец которого находится в середине одной из сторон треугольника, второй конец находится на одной из двух оставшихся сторон. Кроме того, кливер параллелен одной из биссектрис угла. Каждый из кливеров проходит через центр масс периметра треугольника ABC, так что все три кливера пересекаются в центре Шпикера.
• Также разбивает периметр пополам отрезок, соединяющий точку касания стороны треугольника и вневписанной окружности с вершиной, противоположной данной стороне. Три таких отрезка треугольника, проведённые из трёх его вершин, пересекаются в точке Нагеля. Иными словами, этот отрезок есть чевиана точки Нагеля. (Чевиану точки Нагеля в английской литературе иногда называют сплиттером (splitter) или делителем пополам периметра. К сплиттеру они относят и кливер).
• Эквалайзер (equalizer) или уравниватель (выравниватель) — отрезок прямой, разрезающий треугольник на две фигуры одновременно равных площадей и периметров^[10]
• Немного об эквалайзере (equalizer). Любая прямая (эквалайзер), проходящая через треугольник и делящая площадь треугольника и периметр пополам, проходит через центр вписанной окружности. Таких прямых может существовать три, две или одна.^[11]

Замечание об изо-прямых треугольника[править | править код]

В английской литературе вводится понятие бисекции (Bisection), как разделение чего-либо на две равные части. Например равнобедренного треугольника на два равных, отрезка прямой на два равных, плоского угла на два равных. Соответствующие линии будут являться частным случаем изо-прямых (изо-линий) треугольника.

Прямые [править | править код]

Важным частным случаем изо-прямых являются так называемые прямые треугольника. Прямая треугольника, исходящая из его вершины, делит противоположную сторону в отношении -х степеней прилежащих к ней двух сторон^[12]. Важными частными случаями прямых являются:

Для прямых треугольника очень просто найти в общем виде некоторые свойства. Например, для прямой изогонально сопряжённой будет прямая , а изотомически сопряжённой будет прямая .

Замечание[править | править код]

Барицентрические координаты центра, записанные через стороны (или тригонометрические функции углов) треугольника, дают возможность перевести многие задачи о центрах треугольника на алгебраический язык. Например, выяснить, задают ли два определения один и тот же центр или лежат ли три данных центра на одной прямой.

Можно использовать и трилинейные координаты центра, очень просто связанные с барицентрическими координатами. Однако, например, изогонально сопряжённые точки в трилинейных координатах выражаются проще.

Вариации и обобщения[править | править код]

• Рассматривают пары центров. Например,

Недавно открытые точки (центры) треугольника[править | править код]

• Точка конгруэнтности Иффа (англ. Yff Center of Congruence)^[13]
• Перспектор Госсарда (англ. Gossard Perspector)^[14]
• Средняя точка (англ. Mittenpunkt)^[15]
• 1-я и 2-я точки Аджима-Мальфатти (англ. 1ST AND 2ND Ajima-Malfatti Points)^[16]
• Точка Аполлония — не путать с точками Аполлония^[17]
• Точки Бейли (англ. Bailey Point)^[18]
• Точки Гофштадтера (англ. Hofstadter Points)^[19]
• Изо-скелизерно-конгруэнтная точка (англ. Congruent Isoscelizers Point)^[20]
• 1-я и 2-я точки Морлея, связанные с треугольником Морлея (англ. 1ST AND 2ND Morley Centers)^[21]
• Точка Пэрри (англ. Parry Point)^[22]
• Точка равного периметра и равного обхода (англ. Isoperimetric Point and Equal Detour Point)^[23]
• Точки равных параллелей (англ. Equal Parallelians Point)^[24]
• Точка Шиффлера (англ. Schiffler Point)^[25]
• Эксетерская точка^[26]
• Точка разбиения треугольника на три треугольника с тремя одинаковыми радиусами трех вписанных окружностей^[27]

См. также[править | править код]

• Глоссарий планиметрии
• Энциклопедия центров треугольника

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Глав. ред. М. Д. Аксёнова. — М.: Аванта+, 2001. — 688 c.
• А. Г. Мякишев. Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.
• Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10.

Ссылки[править | править код]

• Замечательные точки треугольника
• Энциклопедия центров треугольника Архивная копия от 19 апреля 2012 на Wayback Machine (англ.)

В треугольнике есть так называемые четыре замечательные точки: точка пересечения медиан. Точка пересечения биссектрис, точка пересечения высот и точка пересечения серединных перпендикуляров. Рассмотрим каждую из них.

Точка пересечения медиан треугольника

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где ${AA}_1, {BB}_1, {CC}_1$ его медианы. Так как медианы делят стороны пополам. Рассмотрим среднюю линию $A_1B_1$ (Рис. 1).

По теореме 1, $AB||A_1B_1$ и $AB=2A_1B_1$, следовательно, $angle ABB_1=angle BB_1A_1, angle BAA_1=angle AA_1B_1$. Значит треугольники $ABM$ и $A_1B_1M$ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда

Аналогично доказывается, что

Теорема доказана.

Точка пересечения биссектрис треугольника

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где $AM, BP, CK$ его биссектрисы. Пусть точка $O$ – точка пересечения биссектрис $AM и BP$. Проведем из этой точки перпендикуляры к сторонам треугольника (рис. 2).

Для доказательства нам потребуется следующая теорема.

По теореме 3, имеем: $OX=OZ, OX=OY$. Следовательно, $OY=OZ$. Значит точка $O$ равноудалена от сторон угла $ACB$ и, значит, лежит на его биссектрисе $CK$.

Теорема доказана.

Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника

Доказательство.

Пусть дан треугольник $ABC$, $n, m, p$ его серединные перпендикуляры. Пусть точка $O$ – точка пересечения серединных перпендикуляров $n и m$ (рис. 3).

Для доказательства нам потребуется следующая теорема.

По теореме 3, имеем: $OB=OC, OB=OA$. Следовательно, $OA=OC$. Значит точка $O$ равноудалена от концов отрезка $AC$ и, значит, лежит на его серединном перпендикуляре $p$.

Теорема доказана.

Точка пересечения высот треугольника

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где ${AA}_1, {BB}_1, {CC}_1$ его высоты. Проведем через каждую вершину треугольника прямую, параллельную противоположной вершине стороне. Получаем новый треугольник $A_2B_2C_2$ (рис. 4).

Так как $AC_2BC$ и $B_2ABC$ параллелограммы с общей стороной, то $AC_2=AB_2$, то есть точка $A$ — середина стороны $C_2B_2$. Аналогично, получаем, что точка $B$ — середина стороны $C_2A_2$, а точка $C$ — середина стороны $A_2B_2$. Из построения мы имеем, что ${CC}_1bot A_2B_2, {BB}_1bot A_2C_2, {AA}_1bot C_2B_2$. Следовательно, ${AA}_1, {BB}_1, {CC}_1$ — серединные перпендикуляры треугольника $A_2B_2C_2$. Тогда, по теореме 4, имеем, что высоты ${AA}_1, {BB}_1, {CC}_1$ пересекаются в одной точке.

Теорема доказана.

Пример задачи на использование 4 замечательных точек треугольника

Четыре замечательные точки треугольника

Замечательная точка треугольника – это точка пересечения всех биссектрис, медиан, высот или серединных перпендикуляров треугольника.

ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ БИССЕКТРИС:

1. Свойство биссектрисы:

Каждая точка неразвернутого угла равноудалена от его сторон (или прямых, содержащие эти стороны).

Обратное свойство:

Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от его сторон, лежит на биссектрисе.

1. Следствие:

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

1. Доказательство существования замечательной точки:

1) Рассмотрим треугольника с биссектрисами АА₁ и ВВ₁. Пусть они пересекаются в точке О.

2) Проведем из точки О перпендикуляры ОМ, ОК и ОН к сторонам треугольника:

3) По свойству биссектрисы:

ОМ = ОН, т.к. АО – биссектриса угла А;

ОН = ОК, т.к. ВО – биссектриса угла В;

Следовательно, ОК = ОМ, тогда точка О лежит на биссектрисе и по обратному свойству (СС_{1}) является биссектрисой на которое лежит точка О.

4) Значит точка О принадлежит трём биссектрисам, а значит является их точкой пересечения, так же она равноудалена от сторон треугольника.

Точка пересечения биссектрис треугольника – это центр вписанной в треугольник окружности.

ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ СЕРЕДИННЫХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРОВ:

1. Свойство серединного перпендикуляра:

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.

Обратное свойство:

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре, к нему.

1. Следствие:

Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.

1. Доказательство существования замечательной точки:

1) Рассмотрим серединные перпендикуляры m и n. Эти прямые пересекаются в точке О, т.к. они не могут быть параллельны.

2) По свойству серединного перпендикуляра:

ОВ = ОА и ОВ = ОС, следовательно ОА = ОС

3) По обратному свойству, если ОА = ОС, то p содержит в себе серединный перпендикуляр.

4) Таким образом существует точка О, которая является пересечением трёх серединных перпендикуляров.

ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ВЫСОТ:

Доказательство существования замечательной точки:

1) Рассмотрим треугольник АВС, в котором проведены три высоты – АА₁, ВВ₁, СС₁.

2) Через каждую вершину этого треугольника проведем прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник А₂В₂С₂.

3) Точки А, В и С делят стороны треугольника А₂В₂С₂ пополам, т.к. АСВС₂ – параллелограмм, а значит СВ = АС₂, при этом В₂СВА – тоже параллелограмм и СВ = В₂А, следовательно АС₂ = АВ₂. Аналогично и с другими сторонами треугольника А₂В₂С₂.

4) При этом высоты треугольника АВС перпендикулярны к сторонам треугольника А₂В₂С₂, т.к. они соответственно перпендикулярны прямым АВ, ВС и АС – которые в свою очередь параллельны А₂В₂, В₂С₂ и А₂С₂.

5) Таким образом АА₁, ВВ₁, СС₁ являются серединными перпендикулярами для треугольника А₂В₂С₂, следовательно можно доказать, то они пересекаются в одной точке по доказательству пересечения серединных перпендикуляров.

ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МЕДИАН:

Медианы треугольник пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольник АВС с медианами АА₁ и ВВ₁, которые пересекаются в точке О

2) Отрезок А₁В₁ – средняя линия треугольника, тогда она параллельна АВ. Следовательно

(angle)ВВ₁А₁ = (angle)В₁ВА, (angle)В₁А₁А = (angle)А₁АВ как накрест лежащие:

3) Тогда треугольники ОВ₁А₁ и ОВА подобны по двум углам. А₁В₁ относится к АВ как (frac{1}{2}), следовательно:

(frac{АО}{ОА_{1}} = frac{ВО}{ОВ_{1}} = frac{1}{2})

4) Аналогично медиана СС₁ пересекается с данными медианами в точке О, при этом точка О делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от вершины.