Как найти заряд конденсатора через эдс

Для учащихся (для лучшего понимания физики).

Вспомним основное из предыдущей статьи.

Плоский конденсатор представляет собой устройство, состоящее из двух металлических пластин (обкладок), между которыми находится диэлектрик.

На практике конденсаторы нашли очень широкое применение благодаря их способности накапливать на обкладках значительные электрические заряды. При этом между обкладками возникает разность потенциалов (напряжение).

Конденсаторы характеризуются электрической ёмкостью С:

Ёмкость конденсатора численно равна отношению заряда на одной из обкладок к напряжению между обкладками

или

ёмкость конденсатора численно равна заряду, который надо сообщить обкладке конденсатора, чтобы повысить напряжение между обкладками на единицу напряжения.

Надо помнить, что заряд конденсатора и его напряжение зависят друг от друга, а ёмкость конденсатора не зависит ни от заряда, ни от напряжения, она только численно равна их отношению.

Ёмкость плоского конденсатора зависит лишь от его размеров (от площади пластин, расстояния между ними) и от диэлектрической проницаемости среды между обкладками:

Заряжаются конденсаторы от источников постоянного тока (см. статью “Зарядка конденсатора. Зарядный и разрядный ток проводимости”

На рисунке ниже показана электрическая цепь, состоящая из источника постоянного напряжения, конденсатора и сопротивления:

В момент замыкания ключа К возникший в цепи ток (рисунок справа) имеет максимальное значение, так как разность потенциалов между полюсом источника и обкладкой конденсатора (она не была заряжена) максимальна.

По мере роста заряда на обкладке ток в цепи уменьшается, обращаясь в нуль в момент, когда напряжение на конденсаторе станет равным напряжению на клеммах источника:

Если заряженный конденсатор отключить от источника (следующий рисунок) и замкнуть его обкладки через сопротивление, то по цепи пойдёт разрядный ток, направленный в сторону обратную зарядному току.

Ниже на одном рисунке показаны кривые зависимости зарядного и разрядного тока от времени, из которого видно, что и зарядный, и разрядный токи имеют максимальные значения в моменты замыкания цепей.

При разрядке конденсатор является источником электрической энергии, отдаваемой во внешнюю цепь.

Чтобы энергия конденсаторов постоянно пополнялась, их включают в электрические цепи, содержащие источники постоянного тока. Такие цепи называют ещё конденсаторными цепями.

Дальше рассмотрим некоторые задачи на расчёт таких цепей. Расчёт сводится, как правило, к нахождению заряда конденсаторов или напряжения на конденсаторах.

Задача.

При решении задач на конденсаторные цепи можно кроме способов, применённых при решении рассмотренных выше задач, пользоваться первым, вторым, третьим и четвёртым правилами.

Сейчас на примере качественного решения следующей задачи рассмотрим перечисленные правила.

Задача

Найти заряд каждого конденсатора в изображённой на рисунке цепи, если известны ЭДС источников постоянного тока и ёмкости конденсаторов.

Сначала подумаем, какие обкладки конденсаторов заряжены положительно, а какие – отрицательно.

Левая обкладка первого конденсатора и правая обкладка третьего конденсатора заряжены отрицательно, так как они соединены с отрицательными полюсами источников. По этой же причине верхняя обкладка второго конденсатора заряжена положительно. Другие обкладки конденсаторов имеют противоположные знаки.

Первое правило

Если в цепи есть точки, в которых сходятся провода обкладок конденсаторов, не соединённых с источником, то их общий заряд равен нулю.

В нашей задаче такой точкой является точка В.

Второе правило

В цепи находим точки равного потенциала и соединяем их в узлы. Потенциал одного из узлов принимаем за нуль. Заряд каждого конденсатора выражаем через его ёмкость и разность потенциалов (напряжение).

Наша цепь содержит два узла А и В. Примем потенциал узла В за нуль.

Третье правило

Для любого замкнутого контура в конденсаторной цепи алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур, равна алгебраической сумме напряжений на конденсаторах в контурах.

В статье “Как найти заряды конденсаторов в цепи …” всё это проделано для нашей задачи и получен ответ.

Все четыре правила расчёта конденсаторных цепей подробно с примерами рассмотрены в статье Занятии 54 и следующих за ней четырёх статьях.

Итак, пользуясь изложенными здесь методами и правилами можно решать сложные задачи на расчёт цепей постоянного тока, содержащих конденсаторы.

К.В. Рулёва, к. ф.-м. н., доцент. Подписывайтесь на канал. Ставьте лайки. Спасибо.

Для школьников предлагаются подборки материала по темам:

!. Механика. Кинематика. Равномерное прямолинейное движение.

2. Равнопеременное прямолинейное движение.

Предыдущая запись: Ёмкость уединённого проводника. Ёмкость конденсатора. Почему диэлектрик повышает ёмкость конденсатора?

Следующая запись: Явление электростатической индукции в задачах.

Ссылки на занятия до электростатики даны в Занятии 1 .

Ссылки на занятия (статьи), начиная с электростатики, даны в конце Занятия 45 .

Ссылки на занятия (статьи), начиная с теплового действия тока, даны в конце Занятия 58.

Ссылки на занятия, начиная с переменного тока, даны в конце Занятия 70 .

Конденсаторы часто применяются в электрических схемах, помогая трансформировать электросигнал под определенные характеристики. Используя их основное свойство — накапливать электрический заряд, можно регулировать прохождение тока по цепи, убирать нежелательные пульсации напряжения или повысить энергоэффективность сети. При решении подобных задач в расчет берутся конкретные параметры того или иного электронакопителя, а также общие процессы, связанные с зарядом и разрядом конденсаторов.

• Заряд конденсатора
• Процессы зарядки и разрядки конденсаторов
• Емкость и энергия конденсатора
• Как зарядить конденсатор
• Время, необходимое для зарядки конденсатора
• Заряд конденсатора: формула
• Время разряда конденсатора

Заряд конденсатора

Устройство обычного конденсатора состоит из двух пластин (обкладок), подключаемых к выходам цепи, и диэлектрика между ними. При этом величина заряда, накаливаемого конденсатором, зависит от его емкостной характеристики основных параметров: площади обкладок, толщины и диэлектрических свойств прокладочного материала.

Емкость конденсатора определяется по формуле:

C = S • ε • ε0 / d,

где S – площадь обкладок, ε — диэлектрическая проницаемость прокладки, ε0 — диэлектрическая постоянная (8,85•10-12 Ф/м), d – расстояние между пластинами.

Конденсируемый же заряд равняется произведению емкости конденсатора на напряжение в цепи: q = С × U.

Процессы зарядки и разрядки конденсаторов

При включении конденсатора в цепь через него начинает проходить ток. С движением электронов по проводнику на одной обкладке устройства скапливается отрицательный заряд, а на другой (при недостатке электронов) — положительный. Между пластинами образуется индуктивное поле, создающее разность потенциалов определенного значения. В проводниках постоянного тока накопление заряда идет до тех пор, пока уровень напряжения на обкладках не сравняется с номинальным напряжением элемента питания, после чего течение электротока останавливается.

Когда цепь размыкается и на конденсатор не подается напряжение, он может сохранять заряд на протяжение определенного времени, а затем с исчезновением электрического поля между пластинами заряд начнет перетекать в проводник. Процесс разряда конденсатора характеризуется переходом электронов с одной обкладки на другую. Конденсатор разряжается полностью, когда количество свободных электронов на обеих пластинах сравнивается. При этом все электродинамические процессы в цепи прекращаются.

Емкость и энергия конденсатора

Конденсатор, как и всякий объект, получающий электрический заряд, обладает энергией. Для его зарядки требуется определенная работа, которая идет на разделение заряженных частиц — именно она считается энергией конденсаторного устройства. Ее можно увидеть, если заряженный конденсатор присоединить, например, к светодиоду. Накопитель отдаст заряд лампочке, и она на некоторое время загорится, тем самым энергия перейдет в свет и тепло.

Для определения энергии конденсатора в расчет берут количество заряда, толщину диэлектрика и напряженность электрического поля. Последняя является векторной величиной и представляет собой силу, действующую на точечный заряд.

Поскольку заряды на обкладках равны между собой по модулю, во внимание принимается только значение напряженности одной из них, а значит, эта величина делится пополам — Е/2. Общая же энергия определяется по формуле:

Wp = qEd/2.

Произведение напряженности на расстояние между пластинами само себе представляет разность потенциалов или напряжение — U = E × d. Таким образом, энергию можно выразить через заряд и напряжение на конденсаторе. Формула будет иметь следующий вид:

Wp = qU/2.

Учитывая, что заряд и напряжение находятся в зависимости от емкости конденсатора, можно вывести еще пару формул энергии:

 Wp = q2/2C

 Wp = CU2/2

Как зарядить конденсатор

Для зарядки конденсатора требуется генератор электротока. Возникающие при этом процессы удобнее разобрать на примере простой цепи, включающей в себя конденсатор (С) и резистор (R).

Зарядка конденсатора от источника постоянной ЭДС

В соответствии с законом Ома разность потенциалов, возникающая на резисторе и конденсаторе, суммарно равна электродвижущей силе генератора тока. Математически это можно представить следующими формулами:

UC = q/C – напряжение конденсатора;

UR = IR – напряжение резистора;

ε = UC + UR – ЭДС источника.

Для пояснения зарядного процесса определим равенство

IR = ε – q / C.

Эта формула представляет динамические изменения заряда силы тока. Более конкретно это может быть выражено уравнением:

I = dq / dt.

Изменение заряда во времени можно подставить к сопротивлению. Соответственно, получаем

R • dq / dt = ε – q / C.

В строгом смысле это уравнение предписывает бесконечное время зарядки конденсаторного устройства. Однако этим можно пренебречь, если учесть, что заряд фактически дискретен и может быть подвержен случайным изменением и флуктуациям. Таким образом, в данном выражении имеются в виду усредненная динамика зарядного процесса. На его основании можно записать изменение ЭДС и составляющих напряжений обоих элементов цепи:

dε = d(IR) + d(q/C).

Фактически ЭДС генератора не меняется во времени, а значит, dε = 0, а емкость конденсатора и сопротивление обладают постоянными значениями, поэтому их можно обозначить без d:

R • dI = — 1/C • dq.

Поделив данное уравнение на временной период, за который заряжается конденсатор, можно вывести выражение, учитывающее корреляцию между динамикой заряда и силой тока:

dI / dt = –I/RC.

Это уравнение означает отношение скорости, с которой уменьшается сила тока к ее фактическому значению.

В начале процесса заряда конденсатора значение q равняется нулю. В этот момент при наибольшей разнице напряжений источника питания и электронакопителя сила тока имеет максимальное значение. По мере увеличения заряда значение I постепенно падает. Когда конденсатор заряжается полностью, его напряжение сравнивается с ЭДС генератора, а сила тока принимает значение 0. Соответственно, электродинамический процесс прекращается.

Дополнительно можно рассмотреть, как в процессе зарядки трансформируется энергия. Вполне очевидно, что генератор тока является причиной возникновения электротока в цепи и, следовательно, заряда электронакопителя.

В этом усматривается некое противоречие: когда конденсатор получает от генератора тока заряд q, это значит, что ЭДС выполнила работу равную заряду (А = qe), однако энергия самого накопителя определяется по формуле W = q2 / 2C = qε / 2, что составляет только половину от работы, произведенной источником питания. Этот парадокс объясняется самим фактом прохождения тока по электроцепи, которое сопровождается выделением тепловой энергии на резисторе, то есть определенное количество энергопотери приходится на тепло.

Дифференциальные расчеты для малых отрезков времени процесса зарядки показывают, что энергия от генератора, действительно, разделяется на электрическую, идущую на заряд конденсаторного устройства, и тепловую. При этом сопротивление цепи само по себе никак не влияет на количество выделяемой теплоты, которое равняется энергии конденсатора.

Заряд конденсатора, ток

При подключении конденсатора к источнику тока в начале зарядки заряд на пластинах практически отсутствует. Максимальное значение I в этой ситуации объясняется минимальным сопротивлением. С увеличением заряженных частиц, возрастает сопротивление индуктивного поля, которое препятствует прохождению тока по проводнику.

Период времени, за начальную точку которого берут момент наибольшей силы тока, а за конечную полное прекращение движения заряженных частиц, носит название переходного периода зарядки конденсатора.

Начальный момент зарядки конденсатора характеризуется нулевым напряжением между его пластинами. Показатель U начинает возрастать с появлением на обкладках разноименно заряженных частиц. Большая сила тока в начале процесса обусловливает большую скорость увеличения напряжения. По мере ее падения рост напряжения замедляется, достигнув максимального значения при полной зарядке электронакопителя.

График увеличения напряжения имеет вид параболы, будучи противоположным графику снижения силы тока.

Математически динамическую взаимозависимость тока, напряжения и емкости конденсатора можно выразить следующим образом:

I = С • dV / dt.

Время, необходимое для зарядки конденсатора

Время зарядки конденсатора определяется его емкостью, электродвижущей силой генератора тока, напряжением и сопротивлением в цепи.

Заряд конденсатора описывается как экспоненциальный процесс. Чтобы оценить его время, принимается, что значение заряда увеличивается равномерно, при этом скорость заряда приравнивается к силе тока в начале процесса. Отсюда следует уравнение постоянной времени:

τ = q / I0 = RC.

Зависимость динамики напряжения от длительности зарядки определяется по следующей формуле:

U(t) = UC • (1 – e-t/τ).

Значение высчитывается с привлечением основания натурального логарифма (е), которое относится к функции экспоненты и равняется приблизительно 2,718. При этом UC обозначает напряжение ЭДС источника.

Процент заряда по постоянной времени τ определяется в соответствии с формулой:

(1 — 1/еτ) • 100%.

Таким образом, конденсатор достигает почти полной зарядки за 5 τ.

• 1 τ — 63,2%;

• 2 τ — 86,5%

• 3 τ — 95,1%

• 4 τ — 98,2%

• 5 τ — 99,3%

Учитывая экспоненциальный характер увеличения напряжения конденсатора, можно сказать, что время его зарядки до уровня ЭДС генератора длится бесконечно долго.

Заряд конденсатора: формула

Конденсатор заряжается довольно быстро. Обычно для этого достаточно нескольких миллисекунд. Равенство напряжения электродвижущей силы источника питания и электронакопителя определяет максимальный заряд конденсатора. Формула заряда может быть определена с учетом общих параметров конденсатора:

q = Uεε0S/d.

Также можно принять во внимание конструкционные особенности конденсатора. Так, для цилиндрического накопителя заряд равняется:

q = U2πεε0l/ln(r2/r1),

где l – высота цилиндров, r2 – радиус наружной пластины, r1 — радиус внутренней пластины.

Время разряда конденсатора

Если конденсатор переключить на нагрузку резистора, он сам станет источником питания и будет отдавать заряд в цепь. Движение тока при этом начинается от пластины с отрицательным зарядом на положительно заряженную пластину и далее по контуру. Напряжение в начальный момент будет такое же как и после полной зарядки накопителя. В соответствии с законом Ома можно определить и первоначальную силу тока:

IC = UC / R.

Отдавая заряд, конденсатор будет терять напряжение. Соответственно будет уменьшаться и сила тока. Снижение обоих показателей идет по экспоненциальной кривой с замедлением скорости падения. Это значит, что динамику разрядки конденсатора можно описать, как и в случае зарядки, при помощи постоянной времени τ.

Изменение основных электрических показателей при заряде и разряде конденсатора играют ключевую роль в электротехнике и радиоэлектронике. Эта функциональность в полной мере проявляется в цепях переменного тока, где оба процесса сменяют друг друга с определенной периодичностью. На частотно-зависимых качествах электронакопителей основан принцип действия таких электроустановок, как колебательные контуры, реле времени, цепи обратной связи, частотные фильтры и другие.

Как найти заряд конденсатора, имеющего емкость, если известны ЭДС каждого из двух источников тока?

Условие задачи:

Определите заряд на обкладках конденсатора (C=1) мкФ. ЭДС источника 4 В, внутреннее сопротивление равно 2 Ом, (R=14) Ом.

Задача №7.2.40 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(C=1) мкФ, (rm E=4) В, (r=2) Ом, (R=14) Ом, (q-?)

Решение задачи:

Когда конденсатор будет заряжен полностью, через ветвь, содержащую конденсатор и резистор, не будет течь ток, поэтому можно исключить из схемы последовательно подключенный к конденсатору резистор (смотрите схему к решению справа).

Тогда, искомую величину заряда (q) на обкладках конденсатора можно определить по формуле:

[q = CU;;;;(1)]

Здесь (U) – напряжение на зажимах батареи (такое же напряжение будет между обкладками конденсатора и на нижнем резисторе (R)), которое можно определить по формуле:

[U = IR;;;;(2)]

При установившемся режиме ток через конденсатор не течет, силу тока в цепи (I) найдем, применив закон Ома для полной цепи:

[I = frac{{rm E}}{{R + r}};;;;(3)]

Подставим (3) в (2), а полученное – в (1):

[q = frac{{C{rm E}R}}{{R + r}}]

Мы решили задачу в общем виде, теперь подставим данные задачи в эту формулу и посчитаем ответ:

[q = frac{{{{10}^{ – 6}} cdot 4 cdot 14}}{{14 + 2}} = 3,5 cdot {10^{ – 6}};Кл = 3,5;мкКл]

Ответ: 3,5 мкКл.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

7.2.39 Конденсатор и проводник соединены параллельно и подключены к источнику с ЭДС 12 В
7.2.41 Проволока из нихрома изогнута в виде кольца радиусом 1 м. В центре кольца помещен
7.2.42 Указать направление вектора сторонней силы, действующей на положительный заряд q

Заряд конденсатора от источника постоянной ЭДС

Расчет параметров зарядки конденсатора от источника постоянной ЭДС.

Статьи, описывающие этот калькулятор

• Конденсатор в цепи постоянного тока