Если траектория движения точки известна, то зависимость пути
, пройденного точкой, от истекшего промежутка времени
дает полное описание этого движения. Мы видели, что для равномерного движения такую зависимость можно дать в виде формулы (9.2). Связь между
и
для отдельных моментов времени можно задавать также в виде таблицы, содержащей соответственные значения промежутка времени и пройденного пути. Пусть нам дано, что скорость некоторого равномерного движения равна 2 м/с. Формула (9.2) имеет в этом случае вид
. Составим таблицу пути и времени такого движения:
| t, с | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
| s, м | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | … |
Зависимость одной величины от другой часто бывает удобно изображать не формулами или таблицами, а графиками, которые более наглядно показывают картину изменения переменных величин и могут облегчать расчеты. Построим график зависимости пройденного пути от времени для рассматриваемого движения. Для этого возьмем две взаимно перпендикулярные прямые — оси координат; одну из них (ось абсцисс) назовем осью времени, а другую (ось ординат) — осью пути. Выберем масштабы для изображения промежутков времени и пути и примем точку пересечения осей за начальный момент и за начальную точку на траектории. Нанесем на осях значения времени и пройденного пути для рассматриваемого движения (рис. 18). Для «привязки» значений пройденного пути к моментам времени проведем из соответственных точек на осях (например, точек 3 с и 6 м) перпендикуляры к осям. Точка пересечения перпендикуляров соответствует одновременно обеим величинам: пути
и моменту
, — этим способом и достигается «привязка». Такое же построение можно выполнить и для любых других моментов времени и соответственных путей, получая для каждой такой пары значений время — путь одну точку на графике. На рис. 18 выполнено такое построение, заменяющее обе строки таблицы одним рядом точек. Если бы такое построение было выполнено для всех моментов времени, то вместо отдельных точек получилась бы сплошная линия (также показанная на рисунке). Эта линия и называется графиком зависимости пути от времени или, короче, графиком пути.
Рис. 18. График пути равномерного движения со скоростью 2 м/с
Рис. 19. К упражнению 12.1
В нашем случае график пути оказался прямой линией. Можно показать, что график пути равномерного движения всегда есть прямая линия; и обратно: если график зависимости пути от времени есть прямая линия, то движение равномерно.
Повторяя построение для другой скорости движения, найдем, что точки графика для большей скорости лежат выше, чем соответственные точки графика для меньшей скорости (рис. 20). Таким образом, чем больше скорость равномерного движения, тем круче прямолинейный график пути, т. е. тем больший угол он составляет с осью времени.
Рис. 20. Графики пути равномерных движений со скоростями 2 и 3 м/с
Рис. 21. График того же движения, что на рис. 18, вычерченный в другом масштабе
Наклон графика зависит, конечно, не только от числового значения скорости, но и от выбора масштабов времени и длины. Например, график, изображенный на рис. 21, дает зависимость пути от времени для того же движения, что и график рис. 18, хотя и имеет другой наклон. Отсюда ясно, что сравнивать движения по наклону графиков можно только в том случае, если они вычерчены в одном и том же масштабе.
С помощью графиков пути можно легко решать разные задачи о движении. Для примера на рис. 18 штриховыми линиями показаны построения, необходимые для того, чтобы решить следующие задачи для данного движения: а) найти путь, пройденный за время 3,5 с; б) найти время, за которое пройден путь 9 м. На рисунке графическим путем (штриховые линии) найдены ответы: а) 7 м; б) 4,5 с.
На графиках, описывающих равномерное прямолинейное движение, можно откладывать по оси ординат вместо пути
координату
движущейся точки. Такое описание открывает большие возможности. В частности, оно позволяет различать направление движения по отношению к оси
. Кроме того, приняв начало отсчета времени за нуль, можно показать движение точки в более ранние моменты времени, которые следует считать отрицательными.
Рис. 22. Графики движений с одной и той же скоростью, но при различных начальных положениях движущейся точки
Рис. 23. Графики нескольких движений с отрицательными скоростями
Например, на рис. 22 прямая I есть график движения, происходящего с положительной скоростью 4 м/с (т. е. в направлении оси
), причем в начальный момент движущаяся точка находилась в точке с координатой
м. Для сравнения на том же рисунке дан график движения, которое происходит с той же скоростью, но при котором в начальный момент движущаяся точка находится в точке с координатой
(прямая II). Прямая. III соответствует случаю, когда в момент
движущаяся точка находилась в точке с координатой
м. Наконец, прямая IV описывает движение в случае, когда движущаяся точка имела координату
в момент
с.
Мы видим, что наклоны всех четырех графиков одинаковы: наклон зависит только от скорости движущейся точки, а не от ее начального положения. При изменении начального положения весь график просто переносится параллельно самому себе вдоль оси
вверх или вниз на соответственное расстояние.
Графики движений, происходящих с отрицательными скоростями (т. е. в направлении, противоположном направлению оси
), показаны на рис. 23. Они представляют собой прямые, наклоненные вниз. Для таких движений координата
точки с течением времени уменьшается.
12.3.
График пути для точки, движущейся со скоростью
, отсекает на оси ординат отрезок
. Как зависит от времени расстояние
от начальной точки? Напишите формулу этой зависимости.
12.4.
Точка, движущаяся со скоростью
, в момент
находится на расстоянии
от начальной. Как зависит от времени расстояние
?
12.5.
Точка, двигаясь равномерно вдоль оси
, имела координаты
м и
м в моменты времени
с и
с соответственно. Найдите графически, в какой момент точка проходила через начало координат и какова была координата
в начальный момент. Найдите проекцию скорости на ось
.
12.6.
Найдите при помощи графика пути, когда и на каком расстоянии от точки А автомашину, вышедшую из точки А, догонит вторая автомашина, вышедшая из той же точки через 20 мин после первой, если первая машина движется со скоростью 40 км/ч, а вторая — со скоростью 60 км/ч.
12.7.
Найдите при помощи графика пути, где и когда встретятся автомашины, вышедшие одновременно навстречу друг другу со скоростями 40 и 60 км/ч из пунктов А и В, лежащих на расстоянии 100 км друг от друга.
Графики пути можно строить и для случаев, в которых тело движется равномерно в течение определенного промежутка времени, затем движется равномерно, но с другой скоростью в течение другого промежутка времени, затем снова меняет скорость и т. д. Например, на рис. 26 показан график движения, в котором тело двигалось в течение первого часа со скоростью 20 км/ч, в течение второго часа — со скоростью 40 км/ч и в течение третьего часа — со скоростью 15 км/ч.
12.8.
Постройте график пути для движения, в котором за последовательные часовые промежутки тело имело скорости 10, -5, 0, 2, -7 км/ч. Чему равно суммарное перемещение тела?
1. Нахождение пути по графику зависимости скорости от времени
Покажем, как можно найти пройденный телом путь с помощью графика зависимости скорости от времени.
Начнем с самого простого случая – равномерного движения. На рисунке 6.1 изображен график зависимости v(t) – скорости от времени. Он представляет собой отрезок прямой, параллельной осн времени, так как при равномерном движении скорость постоянна.
Фигура, заключенная под этим графиком, – прямоугольник (он закрашен на рисунке). Его площадь численно равна произведению скорости v на время движения t. С другой стороны, произведение vt равно пути l, пройденному телом. Итак, при равномерном движении
путь численно равен площади фигуры, заключенной под графиком зависимости скорости от времени.
Покажем теперь, что этим замечательным свойством обладает и неравномерное движение.
Пусть, например, график зависимости скорости от времени имеет вид кривой, изображенной на рисунке 6.2.
Разобьем мысленно все время движения на столь малые промежутки, чтобы в течение каждого из них движение тела можно было считать практически равномерным (это разбиение показано штриховыми линиями на рисунке 6.2).
Тогда путь, пройденный за каждый такой промежуток, численно равен площади фигуры под соответствующим ком графика. Поэтому и весь путь равен площади фигур заключенной под всем графиком. (Использованный нами прием лежит в основе интегрального исчисления, основы которого вы будете изучать в курсе «Начала математического анализа».)
2. Путь и перемещение при прямолинейном равноускоренном движении
Применим теперь описанный выше способ нахождения пути к прямолинейному равноускоренному движению.
Начальная скорость тела равна нулю
Направим ось x в сторону ускорения тела. Тогда ax = a, vx = v. Следовательно,
v = at. (1)
На рисунке 6.3 изображен график зависимости v(t).
? 1. Используя рисунок 6.3, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости путь l выражается через модуль ускорения a и время движения t формулой
l = at2/2. (2)
Главный вывод:
при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости пройденный телом путь пропорционален квадрату времени движения.
Этим равноускоренное движение существенно отличается от равномерного.
На рисунке 6.4 приведены графики зависимости пути от времени для двух тел, одно из которых движется равномерно, а другое – равноускоренно без начальной скорости.
? 2. Рассмотрите рисунок 6.4 и ответьте на вопросы.
а) Каким цветом изображен график для тела, движущегося равноускоренно?
б) Чему равно ускорение этого тела?
в) Чему равны скорости тел в тот момент, когда они прошли одинаковый путь?
г) В какой момент времени скорости тел равны?
? 3. Тронувшись с места, автомобиль за первые 4 с проехал расстояние 20 м. Движение автомобиля считайте прямолинейным равноускоренным. Не вычисляя ускорения автомобиля, определите, какое расстояние проедет автомобиль:
а) за 8 с? б) за 16 с? в) за 2 с?
Найдем теперь зависимость проекции перемещения sx от времени. В данном случае проекция ускорения на ось x положительна, поэтому sx = l, ax = a. Таким образом, из формулы (2) следует:
sx = axt2/2. (3)
Формулы (2) и (3) очень похожи, что приводит порой к ошибкам при решении простых задач. Дело в том, что значение проекции перемещения может быть отрицательным. Так будет, если ось x направлена противоположно перемещению: тогда sx < 0. А путь отрицательным быть не может!
? 4. На рисунке 6.5 изображены графики зависимости от времени пути и проекции перемещения для некоторого тела. Какой цвет у графика проекции перемещения?
Начальная скорость тела не равна нулю
Напомним, что в таком случае зависимость проекции скорости от времени выражается формулой
vx = v0x + axt, (4)
где v0x – проекция начальной скорости на ось x.
Мы рассмотрим далее случай, когда v0x > 0, ax > 0. В этом случае снова можно воспользоваться тем, что путь численно равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени. (Другие комбинации знаков проекции начальной скорости и ускорения рассмотрите самостоятельно: в результате получится та же общая формула (5).
На рисунке 6.6 изображен график зависимости vx(t) при v0x > 0, ax > 0.
? 5. Используя рисунок 6.6, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении с начальной скоростью проекция перемещения
sx = v0x + axt2/2. (5)
Эта формула позволяет найти зависимость координаты x тела от времени. Напомним (см. формулу (6), § 2), что координата x тела связана с проекцией его перемещения sx соотношением
sx = x – x0,
где x0 — начальная координата тела. Следовательно,
x = x0 + sx, (6)
Из формул (5), (6) получаем:
x = x0 + v0xt + axt2/2. (7)
6. Зависимость координаты от времени для некоторого тела, движущегося вдоль оси x, выражается в единицах СИ формулой x = 6 – 5t + t2.
а) Чему равна начальная координата тела?
б) Чему равна проекция начальной скорости на ось x?
в) Чему равна проекция ускорения на ось x?
г) Начертите график зависимости координаты x от времени.
д) Начертите график зависимости проекции скорости от времени.
е) В какой момент скорость тела равна нулю?
ж) Вернется ли тело в начальную точку? Если да, то в какой момент (моменты) времени?
з) Пройдет ли тело через начало координат? Если да, то в какой момент (моменты) времени?
и) Начертите график зависимости проекции перемещения от времени.
к) Начертите график зависимости пути от времени.
3. Соотношение между путем и скоростью
При решении задач часто используют соотношения между путем, ускорением и скоростью (начальной v0, конечной v или ими обеими). Выведем эти соотношения. Начнем с движения без начальной скорости. Из формулы (1) получаем для времени движения:
t = v/a. (8)
Подставим это выражение в формулу (2) для пути:
l = at2/2 = a/2(v/a)2 = v2/2a. (9)
Главный вывод:
при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости пройденный телом путь пропорционален квадрату конечной скорости.
? 7. Тронувшись с места, автомобиль набрал скорость 10 м/с на пути 40 м. Движение автомобиля считайте прямолинейным равноускоренным. Не вычисляя ускорения автомобиля, определите, какой путь от начала движения проехал автомобиль, когда его скорость была равна: а) 20 м/с? б) 40 м/с? в) 5 м/с?
Соотношение (9) можно получить также, вспомнив, что путь численно равен площади фигуры, заключенной под графиком зависимости скорости от времени (рис. 6.7).
Это соображение поможет вам легко справиться со следующим заданием.
? 8. Используя рисунок 6.8, докажите, что при торможении с постоянным ускорением тело проходит до полной остановки путь lт = v02/2a, где v0 – начальная скорость тела, a – модуль ускорения.
В случае торможения транспортного средства (автомобиль, поезд) путь, пройденный до полной остановки, называют тормозным путём. Обратите внимание: тормозной путь при начальной скорости v0 и путь, пройденный при разгоне с места до скорости v0 с тем же по модулю ускорением a, одинаковы.
? 9. При экстренном торможении на сухом асфальте ускорение автомобиля равно по модулю 5 м/с2. Чему равен тормозной путь автомобиля при начальной скорости: а) 60 км/ч (максимальная разрешенная скорость в городе); б) 120 км/ч? Найдите тормозной путь при указанных скоростях во время гололеда, когда модуль ускорения равен 2 м/с2. Сравните найденные вами значения тормозного пути с длиной классной комнаты.
? 10. Используя рисунок 6.9 и формулу, выражающую площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении:
а) l = (v2 – v02)/2a, если скорость тела увеличивается;
б) l = (v02 – v2)/2a, если скорость тела уменьшается.
? 11. Докажите, что проекции перемещения, начальной и конечной скорости, а также ускорения связаны соотношением
sx = (vx2 – v0x2)/2ax (10)
? 12. Автомобиль на пути 200 м разогнался от скорости 10 м/с до 30 м/с.
а) С каким ускорением двигался автомобиль?
б) За какое время автомобиль проехал указанный путь?
в) Чему равна средняя скорость автомобиля?
Лютый опыт
Дополнительные вопросы и задания
13. От движущегося поезда отцепляют последний вагон, после чего поезд движется равномерно, а вагон – с постоянным ускорением до полной остановки.
а) Изобразите на одном чертеже графики зависимости скорости от времени для поезда и вагона.
б) Во сколько раз путь, пройденный вагоном до остановки, меньше пути, пройденного поездом за то же время?
14. Отойдя от станции, электричка какое-то время ехала равноускоренно, затем в течение 1 мин – равномерно со скоростью 60 км/ч, после чего снова равноускоренно до остановки на следующей станции. Модули ускорений при разгоне и торможении были различны. Расстояние между станциями электричка прошла за 2 мин.
а) Начертите схематически график зависимости проекции скорости электрички от времени.
б) Используя этот график, найдите расстояние между станциями.
в) Какое расстояние проехала бы электричка, если бы на первом участке пути она разгонялась, а на втором – тормозила? Какова была бы при этом ее максимальная скорость?
15. Тело движется равноускоренно вдоль оси x. В начальный момент оно находилось в начале координат, а проекция его скорости была равна 8 м/с. Через 2 с координата тела стала равной 12 м.
а) Чему равна проекция ускорения тела?
б) Постройте график зависимости vx(t).
в) Напишите формулу, выражающую в единицах СИ зависимость x(t).
г) Будет ли скорость тела равна нулю? Если да, то в какой момент времени?
д) Побывает ли тело второй раз в точке с координатой 12 м? Если да, то в какой момент времени?
е) Вернется ли тело в начальную точку? Если да, то в какой момент времени, и чему будет равен пройденный при этом путь?
16. После толчка шарик вкатывается вверх по наклонной плоскости, после чего возвращается в начальную точку. На расстоянии b от начальной точки шарик побывал дважды через промежутки времени t1 и t2 после толчка. Вверх и вниз вдоль наклонной плоскости шарик двигался с одинаковым по модулю ускорением.
а) Направьте ось x вверх вдоль наклонной плоскости, выберите начало координат в точке начального положения шарика и напишите формулу, выражающую зависимость x(t), в которую входят модуль начальной скорости шарика v0 и модуль ускорения шарика a.
б) Используя эту формулу и тот факт, что на расстоянии b от начальной точки шарик побывал в моменты времени t1 и t2 составьте систему двух уравнений с двумя неизвестными v0 и a.
в) Решив эту систему уравнений, выразите v0 и a через b, t1 и t2.
г) Выразите весь пройденный шариком путь l через b, t1 и t2.
д) Найдите числовые значения v0, a и l при b = 30 см, t1 = 1с, t2 = 2 с.
е) Постройте графики зависимости vx(t), sx(t), l(t).
ж) С помощью графика зависимости sx(t) определите момент, когда модуль перемещения шарика был максимальным.
Уравнение зависимости пути от времени
Графическое представление равномерного прямолинейного движения
Механическое движение представляют графическим способом. Зависимость физических величин выражают при помощи функций. Обозначают:
V (t) – изменение скорости со временем
S(t) – изменение перемещения (пути) со временем
a(t) – изменение ускорения со временем
За висимость ускорения от времени. Так как при равномерном движении ускорение равно нулю, то зависимость a(t) – прямая линия, которая лежит на оси времени.
Зависимость скорости от времени. Так как тело движется прямолинейно и равномерно ( v = const ), т.е. скорость со временем не изменяется, то график с зависимостью скорости от времени v(t) – прямая линия, параллельная оси времени.
Проекция перемещения тела численно равна площади прямоугольника АОВС под графиком, так как величина вектора перемещения равна произведению вектора скорости на время, за которое было совершено перемещение.
Правило определения пути по графику v(t): при прямолинейном равномерном движении модуль вектора перемещения равен площади прямоугольника под графиком скорости.
Зависимость перемещения от времени. График s(t) – наклонная линия :
Из графика видно, что проекция скорости равна:
Рассмотрев эту формулу, мы можем сказать, чем больше угол, тем быстрей движется тело и оно проходит больший путь за меньшее время.
Правило определения скорости по графику s(t): Тангенс угла наклона графика к оси времени равен скорости движения.
Неравномерное прямолинейное движение.
Равномерное движение это движение с постоянной скоростью. Если скорость тела меняется, говорят, что оно движется неравномерно.
Движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения, называют неравномерным или переменным движением.
Для характеристики неравномерного движения вводится понятие средней скорости.
Средняя скорость движения равна отношению всего пути, пройденного материальной точкой к промежутку времени, за который этот путь пройден.
В физике наибольший интерес представляет не средняя, а мгновенная скорость, которая определяется как предел, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени Δt:
Мгновенной скоростью переменного движения называют скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории.
Мгновенная скорость тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке.
Различие между средней и мгновенной скоростями показано на рисунке.
Движение тела, при котором его скорость за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, называют равноускоренным или равнопеременным движением.
Ускорение — это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости, численно равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло.
Если скорость изменяется одинаково в течение всего времени движения, то ускорение можно рассчитать по формуле:
Vx — Скорость тела при равноускоренном движении по прямой
Vx o — Начальная скорость тела
ax — Ускорение тела
t — Время движения тела
Ускорение показывает, как быстро изменяетcя скорость тела. Если ускорение положительно, значит скорость тела увеличивается, движение ускоренное. Если ускорение отрицательно, значит скорость уменьшается, движение замедленное.
Единица измерения ускорения в СИ [м/с 2 ].
Ускорение измеряют акселерометром
Уравнение скорости для равноускоренного движения: vx = vxo + axt
Уравнение равноускоренного прямолинейного движения (перемещение при равноускоренном движении):
Sx — Перемещение тела при равноускоренном движении по прямой
Vx o — Начальная скорость тела
Vx — Скорость тела при равноускоренном движении по прямой
ax — Ускорение тела
t — Время движения тела
Еще формулы, для нахождения перемещения при равноускоренном прямолинейном движении, которые можно использовать при решении задач:
– если известны начальная, конечная скорости движения и ускорение.
– если известны начальная, конечная скорости движения и время всего движения
Графическое представление неравномерного прямолинейного движения
Механическое движение представляют графическим способом. Зависимость физических величин выражают при помощи функций. Обозначают:
V(t) – изменение скорости со временем
S(t) – изменение перемещения (пути) со временем
a(t) – изменение ускорения со временем
Зависимость ускорения от времени. Ускорение со временем не изменяется, имеет постоянное значение, график a(t) – прямая линия, параллельная оси времени.
Зависимость скорости от времени. При равномерном движении скорость изменяется, согласно линейной зависимости vx = vxo + axt . Графиком является наклонная линия.
Правило определения пути по графику v(t): Путь тела – это площадь треугольника (или трапеции) под графиком скорости.
Правило определения ускорения по графику v(t): Ускорение тела – это тангенс угла наклона графика к оси времени. Если тело замедляет движение, ускорение отрицательное, угол графика тупой, поэтому находим тангенс смежного угла.
Зависимость пути от времени. При равноускоренном движении путь изменяется, согласно квадратной зависимости:
В координатах зависимость имеет вид:
Дистанционное обучение. Урок № 3-4. Класс 8. Тема урока: Решение задач по теме: «Равномерное прямолинейное движение»
Дистанционное обучение.
Класс 8
Тема урока: Решение задач по теме:
«Равномерное прямолинейное движение»
- Записать формулы, кратко теорию по теме в тетрадь.
- Разобрать алгоритм решения задач письменно в тетради и записать на рассмотренных примерах (1-3)
- Решить задачи №1 и №2 в тетради для самостоятельного решения
- Выслать сообщением в Вк «Мир физики» фото или скан записей в тетради.
1. ТЕОРИЯ
Прямолинейное равномерное движение − движение по прямой, при котором за любые равные промежутки времени тело совершает равные перемещения.
Величины, описывающие это движение: скорость V→, перемещение S→, время t.
При таком движении скорость V→ тела не изменяется.
Расстояние S, которое за время t проходит тело, связано с величиной скорости V формулой: S=Vt.
в проекции на ось x: Vx=V0x=const.
Уравнение перемещения: в проекции на ось x: Sx=V0x t.
При таком движении перемещение S→ точки изменяется линейно со временем.
Координатное уравнение: x=x0+V0х t.
Для координат вдоль других осей формула выглядит аналогично.
График движения — это линейная зависимость ( прямая), строится по двум точкам. Выбираем два любых удобных для простоты расчета значения t1 и t2. Для этих значений t подсчитываем соответствующие значения координат X1 и X2. Откладываем 2 точки с координатами (t1, X1) и (t2, X2) и соединяем их прямой — график готов!
2. ЗАДАЧИ
Задача № 1.
Поезд 2 ч двигался со скоростью 108 км/ч. Определите путь, пройденный поездом. Ответ представьте в СИ.
| Вспомним:
В ч измеряется время. Обозначается время буквой t В км/ч измеряется скорость. Обозначается скорость буквой V Путь обозначается буквой s На основании анализа текста задачи записываем краткое условие |
| вспомним:
Переводим значения времени и скорости в СИ |
|
||
| записываем формулу скорости равномерного движения. |
|
| из формулы скорости равномерного движения выражаем путь |
|
| Подставляем в формулу значения.
Вычисляем путь. |
|
Записать уравнение зависимости пройденного пути от времени. Построить график зависимости пройденного пути от времени : X = 7 +2t
- Определите Х0 и Vx
- Вспомните формулу . Запишем уравнение координаты при равномерном прямолинейном движении в виде: Х=Х0 + Vt
- Запишите уравнение l(t) для данного случая.
- Какая это функция?
- Какая линия является графиком?
- Что надо знать, чтобы построить эту линию.
- Выберете оси (горизонтальная – аргумент, вертикальная – функция)
- Постройте график.
Решение: X = 7 +2t
S = 2 t- уравнение, найдем точки:
1) t=1 с S=2 м 2) t=2 с S=4 м
3 задача. (График координаты Х(t)).
Внимательно посмотрите на графики и назовите вид движения. Чем отличаются движения тел? Определите по графику, какое из тел имеет наибольшую скорость. Какое тело движется с самой маленькой скоростью? Запишите уравнение движения тел
Алгоритм решения графических задач по теме «Равномерное прямолинейное движение» (График координаты Х(t)).
1. Посмотрите на оси и определите зависимость физических величин.
2. Рассмотрим график зависимости Х(t) – координаты тела от времени. Определим направление движения тела:
а) если с течением времени координата увеличивается, то тело движется по направлению оси ОХ;
б) если с течением времени координата уменьшается, то тело движется против направления оси ОХ.
3. Сравним по графику Х(t) модули скоростей:
а) зависимость Х(t) – график прямая линия, наклоненная к оси времени. Чем больше тангенс угла наклона графика к оси времени, тем больше модуль скорости;
б) если график Х(t) прямая линия, параллельная оси времени, то тело находится в покое. Скорость равна 0.
4. Запишем уравнение координаты при равномерном прямолинейном движении в виде: Х=Х0 + Vt
5. По графику Х(t) определим величины:
Обратите внимание на величину единичного отрезка на осях времени и координат. Помните о единицах измерения, если необходимо, то переведите в СИ.
6. Вычислим скорость по формуле: V=Х-Х0/t (1)
7. Подставим в общую формулу Х=Х0 + V t значения Х, Х0 и V.
8. Подсказка: если вы хотите определить время и место встречи двух тел, то из точки пересечения графиков следует опустить перпендикуляр на ось времени и ось координат.
Ответ:
1. равномерное прямолинейное движение тел; найдем начальную координату
1) график: х0= 5 м; через t=6 с х= 15 м
2) график-х0= — 5 м; через t=4 с х=25 м
3) график х0= 0 м через t= 11 с х= 20 м
4) график х0= 20 м через t= 12 с х= — 10 м
2. графики отличаются различным направлением движения и начальной координатой тел;
3. скорость 1 тела — 1,7 м/с и 3 тела — 1,8 м/с; 2 тела — 7,5м/с; 4 тела- -2,5м/с;
1 тело: V=(15 м- 5 м): 6 с= 1,7м/с
2 тело: V=(25 м – ( -5 м)) / 4 с= 7,5 м/с
3 тело: V=(20 м – 0 м) / 11 с= 1,8 м/с
4 тело V=(- 10 м – 20 м) / 12 с =-2,5 м/с
Итак: Х=5 + 1,7 t; Х=-5+7,5 t; Х=0+1,25 t; Х=20 — 2,5 t
3. Задания для самостоятельной работы
- В начальный момент времени тело находилось в точке с координатой 5 м, а через 2 мин от начала движения — в точке с координатой 95 м. Определите скорость тела и его перемещение.
- На рисунке изображены графики движения трех тел. Изучив рисунок, для каждого тела определите: а) начальную координату; б) скорость; в) направление движения; г) запишите уравнение координаты.
просмотров всего 3,995 , просмотров сегодня 6
График зависимости пути от времени
Во многих случаях движение тел удобно описывать с помощью графиков. Такой способ описания движения достаточно нагляден. В курсе математики уже изучались графики некоторых функций. Проанализируем графики движения и скорости: l = f (t) и v = f (t). Вспомним, как на уроках математики графически выражали зависимость одной величины от изменения другой. Для расчета пройденного с постоянной скоростью пути мы используем формулу l = vt. На уроках математики мы использовали уравнения y = kx.
График движения дает такое же полное описание движения, как и формула l = vt.
Например, пусть нам известен график равномерного движения тела.
С помощью этого графика мы можем получить определенные сведения о движении тела. За 1 час тело проехало 20 км, затем 2 часа тело стояло, а потом за 4 часа тело проехало еще 20 км. При этом по графику мы можем определить и скорость движения:
v 1 =20 км/час, v 2 =0, v 3 = 5 км/час.
Рассмотрим теперь, чем отличаются графики зависимости пути от времени для тел, движущихся с различной скоростью.
Стоит обратить внимание учащихся на такой очень важный факт: чем больше скорость тела, тем больше угол между графиком зависимости пути от времени и осью времени. 2. Графики зависимости скорости от времени Наряду с графиками движения часто пользуются графиками скорости. Для построения графика скорости применяют прямоугольную систему координат, по горизонтальной оси которой откладывают в определенном масштабе времени, а по вертикальной — модуль скорости.
С этого графика можно определить, что скорость первого тела 25 м/с, а второго — 10 м/с.
Проверьте себя
1. Какой вид имеет график зависимости пути от времени при прямолинейном равномерном движении?
2. Чем отличаются графики зависимости пути от времени для двух тел, движущихся с различной скоростью?
3. Как по графику пути для двух тел сравнить скорости их движения?
4. Как по графику скорости определить пройденный телом путь?
Закрепление изученного материала
Из поселка выехал велосипедист со скоростью 20 км / ч, а через 4 часа после него — автомобиль со скоростью 60 км / ч. Через сколько часов после своего выезда автомобиль догонит велосипедиста? Решите задачу графически. 
Решение. Графики пересекаются при t = 6 ч, считая с момента выезда велосипедиста, то есть через 2 часа после выезда автомобиля.
2. По графику определите скорость движения каждого тела. Какой путь прошли оба тела с 3 с? Постройте графики пути.
3. На рисунке приведены графики зависимости пути от времени для двух автомобилей. Скорость которого из автомобилей больше? Почему вы так считаете?
[spoiler title=”источники:”]
http://repetitor.org.ua/graphik-puti-ot-vremeni
[/spoiler]
I. Механика
Тестирование онлайн
Механическое движение представляют графическим способом. Зависимость физических величин выражают при помощи функций. Обозначают 
Графики равномерного движения
Зависимость ускорения от времени. Так как при равномерном движении ускорение равно нулю, то зависимость a(t) – прямая линия, которая лежит на оси времени.
Зависимость скорости от времени. Скорость со временем не изменяется, график v(t) – прямая линия, параллельная оси времени.
Правило определения пути по графику v(t): Численное значение перемещения (пути) – это площадь прямоугольника под графиком скорости.
Зависимость пути от времени. График s(t) – наклонная линия.
Правило определения скорости по графику s(t): Тангенс угла наклона графика к оси времени равен скорости движения.
Графики равноускоренного движения
Зависимость ускорения от времени. Ускорение со временем не изменяется, имеет постоянное значение, график a(t) – прямая линия, параллельная оси времени.
Зависимость скорости от времени. При равномерном движении путь изменяется, согласно линейной зависимости 
. В координатах 
. Графиком является наклонная линия.
Правило определения пути по графику v(t): Путь тела – это площадь треугольника (или трапеции) под графиком скорости.
Правило определения ускорения по графику v(t): Ускорение тела – это тангенс угла наклона графика к оси времени. Если тело замедляет движение, ускорение отрицательное, угол графика тупой, поэтому находим тангенс смежного угла.
Зависимость пути от времени. При равноускоренном движении путь изменяется, согласно квадратной зависимости 
. В координатах зависимость имеет вид 
. Графиком является ветка параболы.
График движения при 
. График движения при 
График движения при 
. График движения при 
Сравнительная таблица графиков
Вычисление пройденного пути
Если
известен график зависимости проекции
скорости от времени, то можно найти
путь, пройденный точкой за время движения.
Выделим на графике (рис. 1.6) бесконечно
малый интервал времени
,
такой, чтобы проекцию скорости
на этом интервале можно было считать
постоянной.
Рис.
1.6
–мгновенная
скорость.
Тогда
путь, пройденный точкой за время
,
равен
.
Путь,
пройденный точкой за время движения
,
равен сумме
,
или путь
равен интегралу от скорости по времени
.
Физический
смысл интеграла– бесконечно большая
сумма бесконечно малых слагаемых.
Геометрический
смысл интеграла– площадь под кривой,
ограниченная двумя перпендикулярами
и осью абсцисс.
1.5. Ускорение
В
случае неравномерного движения для
описания изменения скорости с течением
времени вводят физическую величину –
ускорение.
Ускорение
характеризует быстроту изменения
скорости по величине и направлению.
Рассмотрим
общий случай, когда скорость меняется
по величине и направлению.
Пусть
материальная точка в положении Аимела скорость
(рис. 1.7). Через промежуток
времени
точка перешла в положениеВ, где ее
скорость оказалась равной
:
или
.
Рис. 1.7
Средним
ускорением в интервале от
до
называется векторная величина, равная
отношению вектора изменения скорости
к интервалу времени
:
. (1.15)
Мгновенным
ускорением называется величина
. (1.16)
Таким
образом, ускорение
есть векторная величина, равная первой
производной скорости по времени.
Ускорениематериальной точки – это первая
производная от вектора скорости по
времени или вторая производная от
радиус-вектора по времени.
(1.17)
где
– проекции вектора ускорения на
координатные оси.
(1.18)
1.6. Понятие о кривизне траектории
Если
материальная точка движется по
криволинейной траектории, то отличие
этой траектории от прямолинейной
траектории характеризуется радиусом
кривизны или кривизной траектории.
|
Рис. 1.8 |
Δφ– угол между касательными в точках, Кривизна
|
(1.19)Кривизна
траектории характеризует скорость
поворота касательной при движении или
степень искривленности кривой.
Радиус
кривизны траектории в данной точке есть
величина обратная кривизне:
(1.20)
Радиус
кривизны траектории в данной точке –
это радиус окружности, которая сливается
на бесконечно малом участке в данном
месте с кривой (рис. 1.8).
1.7. Нормальное и тангенциальное ускорение при криволинейном движении
Пусть
материальная точка движется по
криволинейной траектории. Рассмотрим
общий случай, когда скорость движения
меняется по величине и направлению.
Пусть
материальная точка в положении А
имела скорость
(рис. 1.9).Через промежуток времени
точка перешла в положениеВ, где ее
скорость оказалась равной
.
П
Рис. 1.9
еренесем вектор
параллельно самому себе в точкуА(вектор
)
и найдем
равный
.
Так
как в общем случае скорость может
меняться по величине и направлению,
то удобно разложить ускорение на две
составляющие. Для этого разложим на две
составляющие вектор
.
Из
точки Апо направлению скорости
отложим вектор
,
по модулю равный вектору
.
Очевидно, что вектор
,
равный
,
характеризует изменение скорости по
величине. Вектор
характеризует изменение скорости по
направлению
. (1.19)
Полное
ускорение
(1.21)
Составляющая
ускорение
называетсятангенциальным ускорением.Оно характеризует быстроту изменения
скорости по величине.Его численное
значение равно первой производной по
времени от модуля скорости:
. (1.22)
Определим
направление вектора
.
При
направление вектора
стремится к направлению вектора
в точкеА траектории. Значит, вектор
направлен по касательной к траектории
(рис. 1.10).
|
Рис. |
|
;
;
↑↑
;
↑↑
.Составляющая
ускорения
называетсянормальным ускорением.Оно характеризует быстроту изменения
скорости по направлению. Нормальное
ускорение направлено по радиусу к центру
кривизны траектории.
Найдем
выражение для
.
Восстановим в точкахАиВперпендикуляры к касательным. Они
пересекутся в точкеО. При
дугуАВ можно рассматривать как
дугу окружности радиусаR.
Из подобия треугольниковCAEиAOB
; (1.24)
. (1.25)
Итак,
нормальное ускорение
, (1.26)
где
R
– радиус кривизны траектории.
Радиус
кривизныпредставляет собой радиус
окружности, которая сливается в данном
месте с кривой на бесконечно малом ее
участке. Если траектория – окружность,
тоR– радиус этой
окружности.
Определим
направление вектора
.
При
,
угол
и
в пределе перпендикулярен
,
следовательно,
.
Полное ускорение равно по модулю:
Рис.
1.11
. (1.27)
Пусть
и
– векторы единичной длины, один направлен
вдоль скорости, а другой – перпендикулярно
ему (рис. 1.11), при этом
.
Тогда
в векторном виде
;
;
. (1.28)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
