Как найти зависимость в равенствах

Содержание:

Отношения и пропорции

Отношение. Основное свойство отношения

Пример:

Для класса закупили 90 тетрадей, из них 60 — в клетку, а остальные — в линейку Во сколько раз всех тетрадей больше, чем тетрадей в клетку? Какую часть всех тетрадей составляют тетради в клетку?

Решение:

Чтобы найти, во сколько раз всех тетрадей больше, чем тетрадей в клетку, нужно 90 разделить на 60, го есть найти частное чисел 90 и 60:

Итак, всех тетрадей в 1,5 раза больше, чем тетрадей в клетку. Частное чисел 90 и 60 показывает, но сколько раз число 90 больше числа 60.

Ответим на второй вопрос задачи. Так как всего есть 90 тетрадей, то 1 тетрадь – это часть всех тетрадей, а 60 тетрадей — что или всех тетрадей. Итак, тетради в клетку составляют всех тетрадей. Этот же ответ мы получили бы, сразу разделив 60 на 90. Поэтому частное чисел 60 и 90 показывает, какую часть составляет число 60 от числа 90.

Чтобы ответить на оба вопроса задачи, нам пришлось искать частное двух чисел Такие частные называют отношениями двух чисел: частное 90:60= 1,5 называют отношением числа 90 к числу 60; частное 60:90= — отношением числа 60 к числу 90.

Отношением двух чисел называют частое этих чисел. Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другою или какую часть составляет одно число от другого.

Если имеются две величины, измеренные одной и той же единицей измерения, то отношением этих величин называют отношение их числовых значений.

Например, отношение 6 км к 10 км равно oтношение 10 кг к 2 кг равно 10 : 2 = 5. Найти отношение 600 г к 2 кг можно так: 2 кг = 2000 г, поэтому искомое отношение— 600 : 2000 = 0,3 (или 600 г = 0,6 кг, поэтому искомое отношение — 0,6 : 2 = 0,3).

Так как отношение является частным, а частное не изменяется, если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то отношение не изменится, если каждое из чисел отношения умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля, число. Это свойство называют основным свойством отношения. Например:

На основании этого свойства можно заменить отношение дробных чисел отношением натуральных чисел. Например:

Пример:

Спортсмен пробежал 100 м за 10 с, а ракета пролетела 24 км за 3 с. Во сколько раз скорость ракеты больше скорости спортсмена?

Решение:

1) 100 : 10= 10 (м/с) — скорость спортсмена.

2) 24 : 3 = 8 (км/с) — скорость ракеты.

Найдем скорость ракеты в м/с: 8 км/с = 8000 м/с.

3) 8000 : 10 = 800 (раз).

Ответ. В 800 раз.

Случайные события

Мы часто слышим, а иногда говорим: «это возможно», «это невозможно», «этого никогда не будет», «это обязательно случится», «это маловероятно» и т. д. Наверное, сегодня будет дождь; возможно, завтра я пойду в лес; вероятно, этот мультфильм будет интересным и т. д. Так мы говорим тогда, когда речь идет о наступлении события, которое в одних и тех же условиях может произойти или не произойти. Такое событие называют случайным.

Пример 1. В корзине есть красные и зеленые яблоки. Не заглядывая в корзину, наугад вынимаем одно яблоко. Можно ли заранее сказать, какого цвета будет яблоко?

Конечно, нет. Можетпроизойти одно из двух случайных событий: «взятое яблоко окажется красным», «взятое яблоко окажется зеленым».

Пример 2. В корзине 7 красных и 2 зеленых яблока. Не заглядывая в корзину, наугад берут из нее одно яблоко. Можно ли заранее сказать, какого цвета будет яблоко?

Мы уже знаем, что заранее сказать, какого цвета будет яблоко, невозможно, но, скорее всего, яблоко будет красным, потому что их в корзине больше. Взять красное яблоко из корзины в этом случае более вероятно, чем зеленое.

Пример 3. В корзине есть 3 красных и 3 зеленых яблока. Не заглядывая в корзину, наугад берут из нее одно яблоко. Какое из событий может произойти: А — «взяли красное яблоко»; В — «взяли желтое яблоко»; С — «взяли зеленое яблоко»; D — «взяли яблоко»?

Из корзины можно взять только то, что в ней есть, поэтому вынуть из корзины желтое яблоко невозможно. Поэтому событие В «взяли желтое яблоко» при данных условиях невозможно.

Так как в корзине есть только яблоки, то любой предмет, вынутый из корзины, является яблоком. Итак, при данных условиях событие D «взяли яблоко» произойдет обязательно. Говорят, что это событие является достоверным.

События А и С при данных условиях являются случайными, поскольку взятое яблоко может быть как красным, так и зеленым. Так как красных и зеленых яблок в корзине поровну, то эти случайные события являются равновероятными.

Пример:

Игральным кубиком называют кубик, на грани которого нанесены числа 1, 2, 3,4, 5 и 6, обозначенные соответствующим количеством точек (рис. 4). Какое из событий после подбрасывания игрального кубика является более вероятным:

а) А: «выпадет число 3» или В: «не выпадет число 3»;

б) С: «выпадет четное число» или D: «выпадет нечетное число»?

Решение:

а) Событие А произойдет только в одном случае — если выпадет число 3. Событие В произойдет в пяти случаях если выпадет число 1, 2, 4, 5 или 6. Поэтому событие В является более вероятным.

б) Событие С произойдет в трех случаях — если выпадет число 2, 4 или 6. Событие D произойдет также в трех случаях — если выпадет число 1, 3 или 5. Поэтому события С и D являются равновероятными.

Интересные рассказы

О случайных событиях

На первый взгляд может показаться, что никаких законов для случайных событий быть не может — на то они и случайные. Однако, если подумать как следует, можно придти к выводу, что и случайные события имеют некоторые закономерности.

Рассмотрим пример. Представим себе, что мы подбрасываем монету и фиксируем, что выпадет — «орел» или «решка» Подбросив монету один раз, нельзя предугадать, какой стороной она упадет. Но если подбросить ее тысячу раз подряд, то уже можно сделать некоторые выводы о том, сколько раз выпадет «орел», а сколько — «решка».

В XVIII веке эксперименты с монетой проводил французский естествоиспытатель Жорж Луи де Бюффон (1707 – 1788), у которого во время 4040 подбрасываний «орел» выпал 2048 раз. В начале XX века английский математик Карл Пирсон провел 24 000 подбрасываний, и «орел» выпал 12 012 раз.

Оба эксперимента дают похожие результаты: подбрасывая многократно монету, появление «орла» наблюдали приблизительно в половине всех подбрасываний, то есть частота появления «орла» приблизительно равна 0,5. Итак, хотя каждый результат подбрасывания монеты является случайным событием, многократно повторяя эксперимент, можно наблюдать указанную закономерность.

Рассмотрим еще один пример. Когда в семье должен родиться ребенок, никто не может заранее предугадать, будет это мальчик или девочка. Но во всех странах и у всех народов на 1000 новорожденных в среднем приходится 511 мальчиков и 489 девочек. Эту закономерность отмечали многие ученые, среди них был и создатель теории вероятности — французский математик Пьер Симон Лаплас (1749 – 1827).

Вероятность случайного события

Вы уже знаете, что случайные события могут быть более вероятными, менее вероятными, равновероятными, то есть случайное событие можно охарактеризовать понятием вероятность. Какими числами можно оценивать вероятность? Понять это помогут следующие примеры.

Пример 1. На столе лежит 8 внешне одинаковых тетрадей, из них одна в клетку, а остальные — в линейку. Ученик хочет взять тетрадь в клетку. Имеется 8 равновероятных случаев взять тетрадь, и только в одном из них она будет в клетку. Поэтому считают, что вероятность того, что взятая наугад тетрадь будет тетрадью в клетку, равна

Отношение является вероятностью события: взятая тетрадь будет тетрадью в клетку.

Пример 2. В лотерею разыгрывается 1000 билетов, из них 10 — выигрышные. Какова вероятность того, что купленный лотерейный билет будет выигрышным?

Имеем 1000 равновероятных случаев купить билет лотереи, и только в 10 случаях он будет выигрышным. Отношение является вероятностью события: билет будет выигрышным.

Пример 3. В урне 7 белых и 3 красных шара. Не заглядывая в урну, наугад вынимают 1 шар. Вероятность того, что вынули белый шар, равна так как в урне находится 10 шаров, то есть имеем 10 равновероятных случаев вынуть шар, и среди них только в 7 случаях шар будет белым. Вероятность вынуть красный шар равна —

Отношение является вероятностью события: вынутый шар будет белого

цвета, а отношение является вероятностью события: вынутый шар будет красного цвета.

Вероятность невозможного событии равна 0, а достоверного — 1.

Пример:

Найти вероятность того, что после подбрасывания игрального кубика выпадет число 3; число 10.

Решение:

После подбрасывания игрального кубика может выпасть любое из шести чисел — 1, 2, 3, 4, 5 или 6, то есть возможны 6 разных случаев, и только в одном из них выпадет число 3. Поэтому вероятность того, что после подбрасывания игрального кубика выпадет число 3, равна . Вероятность появления числа 10 равна нулю, так как такое событие невозможно. •

Пример:

На полке стоит 10 учебников, 15 томов художественных произведений и 3 справочника. Наташа наугад берет одну книгу. Какова вероятность того, что эта книга: а) является учебником; б) не является учебником?

Решение:

а) Учебников на полке 10, а всего книг— 10 + 15 + 3 = 28. Поэтому вероятность того, что взятая книга является учебником, равна то есть

б) Не учебников (других книг) 15 + 3=18, всего книг — 28. Поэтому вероятность того, что взятая книга не является учебником, равна то есть

Пропорция

Найдите отношение чисел: 36 к 9; 24 к 6. Сравните эти отношения.

Эти отношения равны, а поэтому можно записать:

Равенство двух отношений называют пропорцией.

С помощью букв пропорцию можно записать так:

Эти записи читают:

«отношение а к b равно отношению с к d»,

«а, деленное на b, равно с, деленному на d»,

«а относится к b, как с относится к d».

В пропорции числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и с — средними членами.

Далее будем считать, что все члены пропорции отличны oт нуля.

Пропорция 36 : 9 = 24 : 6 верная, так как значением ее левой и правой частей является одно и то же число 4.

Найдите произведения крайних и средних членов этой пропорции. Сравните их.

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Это свойство называют основным свойством пропорции.

Итак, если пропорция верная, то

Верно и наоборот: если произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов, то эта пропорция верная.

Для верной пропорции из равенства можно найти любой член пропорции по правилу нахождения неизвестного множителя. Например:

где а и d — крайние члены пропорции, bс — произведение средних членов пропорции.

Получили правило:

Чтобы найти крайний член пропорции, нужно произведение ее средних членов разделить на другой крайний член.

Аналогично

Чтобы найти средний член пропорции, нужно произведение ее крайних членов разделить на другой средний член.

Для тех, кто хочет знать больше

Из основного свойства пропорции следует, что если в верной пропорции поменять, местами средние члены или крайние члены, то получим новые верные пропорции.

Так, если пропорция верная, то Тогда верными будут пропорции:

(поменяли местами средние члены),

(поменяли местами крайние члены), /> а

(поменяли местами крайние и средние члены),

так как в каждой из них произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Если верная пропорция, то верными будут и пропорции

Пример:

Найти неизвестный член пропорции

Решение:

По правилу нахождения среднего члена пропорции имеем:

Пример:

Решить уравнение:

Решение:

Интересные рассказы

Пропорция и музыка

Слово «пропорция» (от латинского proportio) означает «соразмерность», «некоторое отношение частей между собой».

С помощью пропорций решали задачи еще в древние времена. Полная теория пропорций была создана в Древней Греции в IV в. до н. ч., в основном в работах ученых Эвдокса Книдского и Теэтета.

Теория пропорций в совершенстве изложена в «Началах» Эвклида, в частности там дано доказательство основного свойства пропорции

Древние греки называли учение об отношениях и пропорциях музыкой, которую считали областью математики. Они знали, что слабо натянутая струна 122 звучит ниже («толще»), а сильно натянутая струна лает более высокий звук. Но в каждом струнном музыкальном инструменте не одна, а несколько струн. Чтобы все струны во время игры звучали «согласованно», приятно для слуха человека, их длины (а при условии одинаковой длины — толщины) должны находиться в определенном отношении. Поэтому учение об отношениях и пропорциях древние греки называли музыкой.

Пропорциональность использовалась и используется сегодня в искусстве, архитектуре. Использование пропорционапьности в архитектуре, живописи, скульптуре означает соблюдение определенных соотношений между отдельными частями сооружения, картины, скульптуры и т. п.

Современную запись пропорции ввел в начале XVIII в. немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Прямая пропорциональная зависимость

Пример:

Три метра ткани стоят 60 руб. Сколько стоят 6 м этой же ткани?

Решение:

Пойдите два способа решения задачи.

I способ

1) 60 : 3 = 20 (руб.) — стоит 1 м ткани.

2) 20 • 6 – 120 (руб. ) — стоят 6 м ткани

II способ

1) 6 : 3 = 2 — во сколько раз увеличилось количество ткани.

2) 60 • 2 = 120 (фн.) — стоят 6 м ткани (стоимость увеличилась в два раза).

Ответ. 120 руб.

Решая задачу вторым способом, мы рассуждали так:

а) стоимость ткани при постоянной цене зависит от количества метров ткани (то есть между стоимостью ткани и ее количеством существует зависимость);

б) эта зависимость имеет такое свойство: во сколько раз увеличивается количество метров ткани, во столько же раз увеличивается ее стоимость; если количество метров ткани уменьшается, то во столько же раз уменьшается ее стоимость.

Зависимость между величинами, имеющую такое свойство, называют прямой пропорцинальной зависимостью.

Зависимость двух величин называют прямой пропорциональной, если при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз ко столько же раз увеличивается (уменьшается) другая величина.

В решении задачи речь идет о двух величинах, зависимость между которыми является прямой пропорциональной, или о двух прямо пропорциональных величинах: количестве метров ткани и их стоимости

3 м ткани стоят 60 три., или трем метрам ткани соответствует стоимость 60 руб. А 6 м ткани соответствует стоимость 120 руб. Из определения прямой пропорциональной зависимости следует, что отношение количества метров ткани равно отношению соответствующих значении их стоимостей то есть

Итак, если две величины являются прямо пропорциональными, то отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.

Решить задачи с помощью пропорций.

Пример:

Из 10 кг яблок получают 8 кг яблочного пюре. Сколько яблочного пюре получат из 44 кг яблок?

Решение:

Пусть из 44 кг яблок получат кг пюре. Запишем условие задачи в виде такой схемы:

(Эту схему будем понимать так: 10 кг яблок соответствует 8 кг пюре, 44 кг яблок соответствует кг пюре.)

Масса яблок и соответствующая масса яблочного пюре являются прямо пропорциональными, так как во сколько раз больше мы возьмем яблок, во столько же раз больше получим яблочного пюре

По свойству прямо пропорциональных величин запишем пропорцию:

Откуда (кг)—масса пюре.

Ответ. 35.2 кг.

Пример:

Расстояние между Киевом и Тернополем равно 360 км. Каково расстояние между этими городами на карте с масштабом 1 : 5 000 000?

Решение:

Так как масштаб карты 1 :5 000 000, то 1 см на карте соответствует 5 000 000 см = 50 км на местности. Пусть расстояние между Киевом и Тернополем на карте равно см. Тогда:

Расстояние на местности прямо пропорционально расстоянию на карте.

Поэтому откуда (см).

Ответ. 7,2 см.

Пример:

Сплав состоит из меди, цинка и никеля, массы которых относятся как 13:3:4. Найти массу сплава, если для его изготовления использовали 1,8 кг цинка. (Отношение 13:3:4 означает, что в сплаве на медь приходится 13 частей, на цинк — 3 таких же по массе части на никель — 4 части.)

Решение:

Сплав состоит из 13 + 3 + 4 = 20 частей, из которых на цинк приходится 3 части. Пусть масса сплава равна кг. Тогда:

При постоянной массе части количество частей и их масса прямо пропорциональны.

Поэтому откуда: (кг).

Ответ. 12 кг.

Процентное отношение

Отношение чисел или величин можно выражать в процентах, для этого отношение нужно умножить на 100%. Например, 3 : 5 = 0,6 = 0,6 • 100% = 60% Говорят, что число 3 составляет 60% от числа 5, или что процентное отношение чисел 3 и 5 равно 60%.

Решение:

Найдем процентное отношение чисел 15 и 10:

15 : 10= 1,5 = 1,5 • 100%= 150%.

Итак, число 15 составляет 150% от числа 10.

Рассмотрим задачу.

Оператор компьютерного набора в течение рабочего дня планировал набрать на компьютере 30 страниц текста, а набрал только 27. На сколько процентов оператор выполнил задание?

Задание, то есть 30 страниц, является тем числом, с которым нужно сравнить число 27, поэтому нужно найти процентное отношение чисел 27 и 30. Имеем:

27 : 30 = 0,9 • 100% = 90%.

Итак, оператор выполнил задание на 90%.

Пример:

Вместо плановых 80 деталей рабочий изготовил 90 деталей Сколько процентов плана выполнил рабочий?

Решение:

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти, сколько процентов составляет 90 от 80. Для этого нужно найти отношение чисел 90 и 80 и выразить его в процентах:

Итак, рабочий выполнил 112,5% плана.

Ответ. 112,5%.

Пример:

В 10%-й раствор соли массой 450 г досыпали 30 г соли. Найти процентное содержание соли в новом растворе.

Решение:

1. (г) — масса соли в растворе.

2. (г) — масса соли в новом растворе.

3. (г) — масса нового раствора

4. — процентное содержание соли в новом растворе.

Ответ.

Процентные расчеты

Мы решали задачи на проценты путем сведения их к основным задачам на дроби. Эти задачи можно решать и с помощью пропорций. Рассмотрим такой способ решения задач на проценты.

Пусть в школе 50 шестиклассников. Тогда:

Какая существует зависимость между числом процентов и количеством учеников соответствующим этим процентам?

Во сколько раз увеличивается число процентов, во столько же раз увеличивается количество учеников, соответствующее этим процентам.

Итак, число процентов некоторой величины прямо пропорционально значению величины, которое соответствует этим процентам.

Помним, что 100% некоторой величины — это сама величина.

Пример:

Из свежих слив получают 21% сушеных. Сколько сушеных слив можно получить из 80 кг свежих?

Решение:

Пусть из 80 кг свежих слив можно получить кг сушеных. Свежие сливы составляют 100%, а сушеные — 21%. Запишем условие задачи в виде схемы:

Какова зависимость между массой сушеных слив и числом процентов, которые составляет эта масса от массы свежих слив?

Масса сушеных слив прямо пропорциональна количеству процентов, которое составляет эта масса от массы свежих слив, поэтому:

кг — искомая масса сушеных слив.

Ответ. 16,8 кг. •

Пример:

Банк дал предпринимателю кредит 10 000 руб. со ставкой 7% годовых. Какую сумму должен вернуть предприниматель банку через пол года?

Решение:

Если процентная ставка за год составляет 7%, то за полгода будет насчитано начальной суммы, то есть (руб.). Предприниматель должен вернуть банку (руб.).

Ответ. 10 350 руб.

Пример:

Фермер в прошлом году собрал в среднем по 30 ц зерновых с 1 га, а в нынешнем году — по 32 ц. На сколько процентов увеличилась урожайность зерновых в нынешнем году по сравнению с прошлым годом?

Решение:

Сначала найдем, на сколько центнеров больше зерновых собрал фермер в нынешнем году: 32-30 = 2 (ц). Теперь вычислим, сколько процентов составляет найденная разность от урожая прошлого года. Поскольку сравниваем с урожайностью прошлого года, то 30 ц составляет 100%, а 2 ц —%

Итак, урожайность возросла на

Ответ.

Чтобы узнать, на сколько процентов увеличилась или уменьшилась данная величина, нужно найти:

1. на сколько единиц увеличилась или уменьшилась данная величина;
2. сколько процентов составляет полученная разность от начального значения величины.

Пример:

В процессе перегонки нефти из нее получают 30% керосина. Сколько нужно нефти, чтобы получить 9 т керосина?

Решение:

Масса нефти составляет 100%, а масса керосина — 30%. Пусть для того, чтобы получить 9 т керосина, нужно переработать т нефти. Запишем условие задачи в виде схемы:

Составляем пропорцию: откуда (т) —масса нефти.

Ответ. 30 т.

Пример:

Сколько процентов составляет число 24 от числа 30?

Решение:

Так как число 24 сравниваем с числом 30, то число 30 составляет 100%. Пусть число 24 составляет % от числа 30. Получим:

(%) — составляет число 24 от числа 30

Ответ. 80%.

Пример:

Цену товара, который стоил 200 руб., снизили на 10%. На сколько процентов нужно повысить новую цену, чтобы получить начальную?

Решение:

Начальная цена (200 руб.) составляет 100%, а сниженная цена составляет 100% – 10% = 90% от начальной. Пусть цена после снижения равна руб. Тогда:

200 руб. — 100%; руб. —90%.

Чтобы найти, на сколько процентов нужно повысить новую цену, чтобы получить начальную, сравним с новой ценой (180 руб.) старую цену. Новая цена составляет 100%. Пусть начальная цена (200 руб.) составляет % новой. Тогда:

Итак, новую цену нужно повысить на

Ответ.

Окружность. Длина окружности

Представление об окружности дают руль автомобиля, обруч, кольцо и т. п. Нарисуем окружность. Для этого обозначим на плоскости некоторую точку О. Возьмем циркуль, поставим его ножку с иглой в точку О и раствором в 3 см другой ножкой циркуля опишем фигуру. Получим окружность с центром в точке О. Все точки окружности расположены на расстоянии 3 см от центра.

Соединим центр окружности с произвольной точкой А этой окружности отрезком (рис. 5). Отрезок OA, а также его длину называют радиусом окружности. Радиус построенной окружности равен 3 см. Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр, а также длину этого отрезка называют диаметром. Диаметр окружности в два раза длиннее радиуса этой окружности.

Две точки А и В, лежащие на окружности (рис. 6), разбивают ее на две части. Каждую из этих частей называют дугой окружности. Точки А и В — концы этих дуг. Если точки А и В являются концами диаметра, то они разбивают окружность на две равных части, каждую из которых называют полуокружностью.

Практическая работа

Тема работы. Длина окружности.

Оборудование. Циркуль, линейка, нитка

Ход работы.

1. Строим окружность, радиус которой равен 2 см

2. Накладываем на окружность нитку (см. рис. 7).

3. Ставим ручкой отметку на нитке в той точке, в которой нитка совпадает со своим началом.

4. Расправляем нитку и измеряем ее длину до отметки. Эта длина равна длине окружности.

5. Диаметр окружности d равен 4 см: d = 4 см; длина окружности С равна:

6. Находим отношение

Оказывается, что для всех окружностей отношение длины окружности к длине ее диаметра является одним и тем же числом. Это число обозначают греческой буквой (читают: «пи»), оно записывается бесконечной десятичной дробью

Итак, откуда

Длина окружности равна произведению числа и диаметра окружности.

Так как диаметр окружности равен двум радиусам, то длина окружности радиуса равна Получили еще одну формулу для длины окружности:

Далее для расчетов мы, как правило, будем округлять число до сотых: , а в отдельных случаях будем использовать

Пример:

Начертить окружность, радиус которой 2 см. Где лежит точка, находящаяся от центра на расстоянии 1 см; 2 см; 3 см? Чему равен диаметр окружности?

Решение:

Точка А, расстояние от которой до центра 2 см (рис. 9). принадлежит окружности.

Точка В, расстояние от которой до центра 1 см (рис. 9), лежит внутри окружности.

Точка С, расстояние от которой до центра 3 см (рис. 9), лежит вне окружности.

Диаметр окружности: 2 • 2 = 4 (см).

Пример:

Найти длину окружности, радиус которой 1,5 см.

Решение:

Круг. Площадь круга

Каждая окружность разбивает плоскость, на которой она начерчена, на две части — внутреннюю и внешнюю. Точки окружности и все внутренние точки образуют круг (рис. 12). Центр, радиус и диаметр окружности называют соответственно центром, радиусом и диаметром этого круга. Два радиуса OA и ОВ разбивают круг на две части, каждую из которых называют сектором. Любой диаметр разбивает круг на две равных части, которые называют полукругами.

Практическая робота

Тема работы. Площадь круга.

Оборудование. Циркуль, линейка, листок бумаги в клетку.

Ход работы

1. На листке бумаги в клетку строим окружность, радиус которой 4 см (8 клеток).

2. Обводим внешний контур тех клеток, которые почти полностью принадлежат кругу (см. рис. 13).

3. Считаем количество клеток внутри контура.

4. Считаем количество клеток вне контура, которые частично принадлежат кругу, и полученное число делим на 2 (в среднем части двух неполных клеток дают одну целую).

5. Прибавляем к числу клеток, полностью принадлежащих кругу, число, полученное в п. 4.

6. Так как площадь 4 клеток равна 1 см², то, чтобы выразить площадь круга в квадратных сантиметрах, делим число, полученное в п. 5, на 4. Получаем приближенное значение площади:

7. Находим квадрат радиуса круга:

8. Находим отношение

В старших классах будет доказано, что откуда

Получена формула для площади круга радиуса

Пример:

Найти площадь круга, радиус которого равен 1,5 см.

Решение:

Столбчатые и круговые диаграммы

Для наглядной иллюстрации числовых значений величин используют диаграммы. Диаграмма — это символический рисунок, который наглядно отражает соотношения между значениями величин. Чаще всего используют столбчатые и круговые диаграммы.

Рассмотрим пример. Ученик шестого класса в октябре записал в дневнике погоды: 17.10 — облачно, 18.10 — облачно, 19.10 — солнечно, 20.10—дождь, 21.10 — дождь, 22.10 — облачно, 23.10 — солнечно, 24.10 — солнечно, 25.10 — облачно, 26.10 — дождь, 27.10 — дождь, 28.10 — дождь, 29.10 — облачно, 30.10 — солнечно, 31.10 — облачно.

Чтобы охарактеризовать погоду во второй половине октября, он подсчитал, сколько было солнечных дней, облачных дней, сколько дней шел дождь и получил такие данные: солнечных дней — 4; облачных дней — 6; дней, когда шел дождь, — 5.

Наглядно охарактеризовать погоду во второй половине октября можно так. Построим прямой угол АОВ, на луче OA будем записывать погоду, а на луче ОВ, выбрав единицу измерения (1 см), будем обозначать количество дней. Построим три столбика (прямоугольника) (рис. 18).

Высота первого столбика, указывающего, сколько было солнечных дней. — 4 см; высота второго, указывающего количество облачных дней. — 6 см, высота третьего, указывающего, сколько дней шел дождь, — 5 см.

Полученный рисунок называют столбчатой диаграммой.

Строя столбчатые диаграммы, можно выбирать произвольную ширину столбца и произвольные расстояния между ними. Но все столбики одной диаграммы должны быть одинаковой ширины и располагаться на одинаковом расстоянии друг от друга.

Следующую диаграмму (рис. 19) называют круговой. На ней показано соотношение между площадями поверхностей суши и Мирового океана на Земле.

Пример:

После сбора урожая зерновых культур выяснилось, что 50% всего урожая составляет пшеница, 15% — рожь, 10% — овес и 25% — ячмень. Построить столбчатую и круговую диаграммы распределения урожая зерновых по вилам культур.

Решение:

Столбчатая диаграмма распределения урожая изображена на рисунке 20, а круговая — на рисунке 21.

Опишем построение круговой диаграммы. Так как на 100% урожая приходится весь круг, то на урожай пшеницы (50%) приходится полукруг, а на урожай ячменя (25%) — четверть круга. Чтобы построить сектор, которому соответствует урожай ржи (15% всего урожая), будем рассуждать так. В секторе АОС, который составляет четверть круга, угол АОС равен 90°. Итак, на четверть, или на 25%, круга приходится сектор с углом 90°. Поэтому па 1% круга приходится сектор с углом 90° : 25 = 3,6°, а на 15% круга — сектор с углом 3,6° -15 = 54°. Построив с помощью транспортира угол АОВ, равный 54°, получили сектор АОВ, соответствующий урожаю ржи. Тогда остальная часть круга сектор ВОС соответствует урожаю овса.

Памятка:

1. — отношение; число 90 в три раза больше от числа 30. — отношение; число 30 составляет от числа 90.
2. — пропорция. — основное свойство пропорции.
3. Из сахарного тростника получают 9% сахара. Сколько сахара получат из 40 т сахарного тростника?
4. — длина окружности, — ее радиус,
5. — площадь круга, — его радиус.

Отношения и пропорции

Отношение и его свойства

Вам, наверное, приходилось слышать фразы: «Шанс победить в игре — 50 на 50», «Для приготовления гречневой каши крупу и воду нужно взять в отношении 1 к 2», «Прибыль разделили, как 3 к 2». Каждая из этих фраз подводит к сравнению двух чисел: 50 и 50, 1 и 2, 3 и 2. Для этого нужно составить выражение, являющееся частным данных чисел, и вычислить его значение». Итак, из первой фразы получим выражение , значение которого равно 1. Это означает, что шанс выиграть — такой же, как и проиграть. Из второй фразы получим выражение , значение которого равно 0,5. Это означает, что крупы нужно взять вдвое меньше, чем воды. Подумайте самостоятельно, как объяснить третью фразу.

Определение:

Выражение, являющееся частным чисел и , отличных от нуля, называется отношением чисел и .

Записывают: или . Читают: « относится к ».

Числа и называют членами отношения. Если выполнить деление первого члена отношения на второй, то получим число, являющееся значением отношения. Например, — отношение чисел 25 и 2, а 12,5 — значение этого отношения.

Отношение показывает, какие числа сравнивают. Значение отношения показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть второго числа составляет первое число. Например, значение отношения показывает, что число 7 больше числа 2 в 3,5 раза.

А значение отношения показывает, какую именно часть числа 7 составляет число 2. Отношения 7 к 2 и 2 к 7, как и дроби и , называют взаимно обратными.

Обратите внимание:

Для вычисления значения отношения используют все свойства деления.

Основное свойство отношения

Значение отношения не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля:

, или ,если ;

, или , если .

Для решения задач составляют отношения и находят их значения как для одноимённых величин, так и для величин с разными наименованиями.

Пример:

Длина самой крупной рыбы — луны-рыбы — составляет около 3 м, а длина самой мелкой рыбы — гоби — около 16 мм. Сравните длины этих рыб.

Решение:

1. Можно найти, во сколько раз длина луны-рыбы больше длины рыбы гоби. Для этого составим отношение длины большей рыбы к длине меньшей, выразим эти величины в одних наименованиях и найдём значение отношения:

2. Можно найти, какую часть длины луны-рыбы составляет длина рыбы гоби. Для этого составим обратное отношение длин и найдём его значение:

Обратите внимание:

значение отношения одноимённых величин является числом без наименования.

Пример:

Найдите скорость гепарда, если за 2 с он преодолевает около 55 м.

Решение:

Для нахождения скорости движения нужно составить отношение расстояния ко времени движения и вычислить его значение:

Обратите внимание:

значение отношения разноимённых величин является новой величиной, наименование которой отличается от наименований данных величин.

Пентаграмма (рис. 11) всегда привлекала внимание совершенством формы. Особенность данной фигуры состоит в том, что отношения отрезков, из которых она состоит, имеют равные значения:

Древнегреческий математик Пифагор (570—490 гг. до н.э.) и его ученики избрали пентаграмму символом своего союза. В наши дни пятиконечная звезда пентаграммы украшает флаги и гербы многих стран.

Пропорция и её свойства

Вы знаете, что два выражения с равными значениями можно приравнять. Например, можно приравнять отношения и , поскольку их значения равны 4. Можем записать равенство: или .Такие равенства имеют специальное название — пропорция.

Определение:

Пропорцией называется равенство двух отношений.

Обратите внимание:

пропорция утверждает, что отношения в левой и правой её частях имеют равные значения.

Записывают: или . Читают: «Отношение к равно отношению к » или « так относится к , как относится к ».

Числа и называют крайними членами пропорции, а числа и — средними членами пропорции (рис. 12).

Обратите внимание:

пропорции составляют только для чисел, отличных от нуля.

Вычислим произведения крайних и средних членов пропорции . Для крайних членов получим , а для средних членов — . Следовательно, эти произведения равны между собой: . В этом состоит основное свойство пропорции.

Основное свойство пропорции

Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов:

если

И наоборот: если и числа , , и не равны нулю, то .

Пример:

Является ли равенство пропорцией?

Решение:

Способ 1. Применим определение пропорции: и . Значения отношений и равны, следовательно, равенство — пропорция.

Способ 2. Проверим, выполняется ли основное свойство пропорции и . Получили, что произведение крайних членов равно произведению средних членов . Следовательно, равенство —пропорция.

В пропорции поменяем местами крайние члены 1,2 и 4, Получим: . Это равенство также является пропорцией. Действительно, от перестановки крайних членов 1,2 и 4 ни их произведение, ни произведение средних членов не изменилось, поэтому новое равенство — пропорция. Так же произведения крайних членов и средних членов не изменятся, если в пропорции поменять местами средние члены: . Но полученные пропорции и отличаются от данной пропорции , поскольку имеют другие значения отношений. В данной пропорции оно равно 4, а в полученных пропорциях — и соответственно. Иначе говорят: пропорциональное соотношение чисел изменилось.

В пропорциях и значения их отношении — это взаимно обратные числа и . Поэтому такие пропорции называют взаимно обратными. Во взаимно обратных пропорциях пропорциональное соотношение чисел является одинаковым с точностью до порядка сравнения. Действительно, в обеих пропорциях сравниваются две какие-то величины — меньшая и большая, например, толщина линейки и толщина учебника. Но в первой пропорции сопоставляют меньшую величину с большей, а во второй, наоборот, — большую с меньшей, причём одни и те же величины. Можно сказать и так: вторая пропорция — это первая пропорция, которую записали справа налево. В ней одновременно поменяли местами и средние, и крайние члены. Будем считать, что при переходе от данной пропорции к обратной и наоборот пропорциональное соотношение чисел не меняется.

Пример:

Изменится ли пропорциональное соотношение чисел, если средние члены пропорции поменять местами с соответствующими крайними членами? Нет. В самом деле, если в каждом отношении пропорции поменять местами его члены — с и с , то получим равенство обратных отношений: . А такое равенство является пропорцией, взаимно обратной с данной.

Опираясь на основное свойство пропорции, можно находить неизвестный член пропорции.

Пример:

Найдите неизвестный член пропорции: 1) ; 2) .

Решение:

1. Неизвестным является крайний член пропорции . По основному свойству пропорции: .

Отсюда.

2. Неизвестным является средний член пропорции . По основному свойству пропорции: . Отсюда .

Правила нахождения неизвестного члена пропорции

Правила нахождения неизвестного члена пропорции

1. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение её средних членов разделить на известный крайний член пропорции.
2. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение её крайних членов разделить на известный средний член пропорции.

Термин «пропорция» происходит от латинского proportio — «соотношение».

Золотым сечением называют деление отрезка с на две неравные части и (рис. 13), при котором меньшая часть так относится к большей, как большая часть относится ко всему отрезку, то есть . Значение этого отношения приблизительно равно 0,618.

Считают, что понятие золотого сечения было известно в Древнем Египте. И в самом деле, пропорции пирамиды Хеопса, храмов. барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют о том. что при их создании египетские мастера пользовались отношением золотого сечения.

Прямая и обратная пропорциональные зависимости

С помощью пропорций можно решать задачи.

Вы знаете, например, что стоимость товара зависит от его количества: чем большее количество товара покупают, тем большей будет его стоимость. Такие величины называют прямо пропорциональными.

Определение:

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз другая величина увеличивается (уменьшается) в такое же количество раз.

Пример:

За 2 кг конфет заплатили 72 грн. Сколько будут стоить 4.5 кг этих конфет?

Решение:

Обратите внимание:

если две величины прямо пропорциональны, то пропорцию образуют отношения соответствующих значений этих величин.

На практике, кроме прямой пропорциональной зависимости величин, встречается и обратная пропорциональная зависимость. Например, по пути в школу, когда времени маловато, вы увеличиваете скорость своего движения, чтобы не опоздать на урок. Итак, скорость вашего движения зависит от времени движения: чем меньше время движения, тем большей будет ваша скорость. Такие величины называют обратно пропорциональными.

Определение:

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз другая величина уменьшается (увеличивается) в то же количество раз.

Пример:

Автомобиль, двигаясь со скоростью 90 км/ч. проехал расстояние от Черкасс до Киева за 2 ч. С какой скоростью он двигался в обратном направлении, если расстояние от Киева до Черкасс он преодолел за 2.5 ч?

Решение:

Обратите внимание:

если две величины обратно пропорциональны, то пропорцию образуют взаимно обратные отношения соответствующих значений этих величин.

Пример:

Всегда ли две величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными? Порассуждаем. Например, во время болезни температура ребёнка может то возрастать, то понижаться на протяжении нескольких дней. И здесь нет зависимости, следовательно, не может быть и пропорциональности. А вот рост ребёнка постоянно увеличивается с увеличением его возраста. Значит, существует зависимость между величинами и есть основания анализировать, пропорциональны ли данные величины. Понятно, что пропорциональной зависимости здесь нет, поэтому выяснять, как именно пропорциональны эти величины — прямо или обратно, — не надо. Если же две величины пропорциональны, то возможны лишь два варианта, взаимно исключающие друг друга, — или прямая пропорциональность, или обратная пропорциональность.

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика и монаха Леонардо из Пизы (1180-1240 гг.), более известного как Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г. вышла в свет его математическая работа «Книга об абаках» (счётные доски), в которой были собраны все известные к тому времени задачи. Одна из задач была такой: «Сколько пар кроликов за один год от одной пары родится?». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд чисел:

Сегодня эта последовательность чисел известна как ряд Фибоначчи. Особенность данной последовательности чисел заключается в том, что каждый её член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих:

и т.д, а отношение соседних чисел ряда приближается к отношению золотого сечения. Например, .

Деление числа в данном отношении

Пропорциональное деление

На практике часто встречаются задачи с требованием разделить некоторую величину в заданном отношении: распределение прибылей, приготовление разных смесей или блюд и т.п. Чтобы решить такие задачи, нужно выполнить пропорциональное деление данной величины.

На рисунке 16 вы видите отрезок , который точка делит в отношении . Можем составить пропорцию: . Из этой пропорции следует, что . Пусть значение отношений этой пропорции равно , тогда . Отсюда , то есть . Итак, мы осуществили пропорциональное деление отрезка в отношении и выразили длины его частей и через число (рис. 17).

Определение:

Число, равное значению отношений пропорции, называется коэффициентом пропорциональности.

Коэффициент пропорциональности обозначают буквой .

Иногда приходится пропорционально делить величину более чем на две части. И тут снова на помощь приходит коэффициент пропорциональности.

Пример:

Разделите число 60 в отношении .

Решение:

Пусть — коэффициент пропорциональности. Тогда первая часть данного числа равна , вторая — , а третья — . Поскольку число, которое нужно разделить, равно 60, то можем составить уравнение: . Отсюда: . Следовательно, первая часть числа равна , вторая — , а третья — .

Масштаб

Для изображения на бумаге предметов окружающего мира нужно менять их реальные размеры: большие предметы приходится уменьшать, а маленькие — наоборот, увеличивать. Но для того, чтобы чертёж или план давали представление о предметах, необходимо изменять их размеры пропорционально. Для этого используют масштаб изображения.

Чаще всего масштаб применяют для создания географических карт.

Определение:

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называется масштабом карты.

Обозначают: . Эта запись показывает, что 1 см на карте соответствует 1 ООО ООО см на местности.

Пример:

Расстояние между Черкассами и Харьковом на карте равно 4.1 см. Найдите расстояние между этим и городам и на местности, если масштаб карты .

Решение:

На карте: .

На местности: .

Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: . Значение данного отношения равно значению масштаба карты, следовательно, .

Отсюда .

Ответ: расстояние от Черкасс до Харькова — 410 км.

Пример:

Как записать масштаб изображения, если на нём нужно увеличить размеры реального предмета например в 1000 раз. В этом случае масштаб записывают наоборот: . Такой масштаб понадобится для того, чтобы изобразить, например, детали часов.

1. Слово «коэффициент» происходит от латинского Coefficiens, состоящего из двух слов: Со — «вместе» и efficiens — «вырабатывающий». Обозначает множитель, который обычно выражается числом. Термин ввёл Ф. Виет.

2. Слово «масштаб» происходит от немецкого — «линейка», состоящего из двух слов: — «мера» та — «веха».

Окружность и круг. Круговой сектор

Из всех замкнутых кривых линий на плоскости самой совершенной считается окружность. Если закрепить один конец отрезка в какой-либо точке, а затем поворачивать отрезок, то другой его конец будет двигаться именно по окружности. Поэтому окружности изображают с помощью циркуля (рис. 25).

Определение:

Окружность — это фигура, все точки которой находятся на плоскости на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром окружности.

На рисунке 26 вы видите окружность с центром в точке . Если какую-либо точку окружности и её центр соединить отрезком, то получим радиус окружности. На рисунке 26 отрезки и — это радиусы окружности с центром в точке . Следовательно, .

Радиус обозначают буквой . Записывают: .

Обратите внимание:

все радиусы окружности равны между собой.

Проведём радиусы и окружности так, чтобы они лежали на одной прямой (рис. 27). Получили отрезок , который называют диаметром окружности. Диаметр окружности вдвое длиннее радиуса , а радиус является половиной диаметра . Следовательно, . рис. 27

Диаметр обозначают буквой . Записывают: .

Формула диаметра окружности

Диаметр окружности равен удвоенному радиусу:

Пример:

Найдите радиус окружности с диаметром 8 см.

Решение:

Диаметр окружности вдвое длиннее радиуса. Следовательно,

Пример:

Можно ли найти длину окружности? Да, поскольку окружность — это линия. Но линейкой окружность не измерить. Проведём опыт. Возьмём стакан, поставим его на лист бумаги и обведём карандашом (рис. 28). Получили окружность. Если обвязать стакан ниткой, а затем распрямить её, то длина нитки будет равна длине изображённой окружности.

Длину окружности обозначают буквой . Выполнив несколько таких измерений, заметим закономерность: чем больше диаметр окружности, тем больше её длина. То есть длина окружности прямо пропорциональна длине диаметра.

Отношение длины окружности к длине её диаметра равно одному и тому же числу для всех окружностей. Это число обозначают греческой буквой , читают: «пи». Число — бесконечная десятичная дробь. Поэтому при вычислениях его округляют: .

Формула длины окружности

Длина окружности равна удвоенному произведению числах радиуса:

Пример:

Найдите длину окружности с диаметром 10 см.

Решение:

Способ 1. Диаметр окружности вдвое длиннее радиуса. Следовательно, . .

Способ 2. Поскольку , то. Поэтому .

Обратите внимание:

поскольку .

Окружность делит плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю (рис. 29). О внутренней части говорят, что окружность ограничивает эту часть плоскости. Окружность вместе с частью плоскости, которую она ограничивает, образует известную вам фигуру — круг (рис. 30). Центр окружности считают и центром круга, радиус и диаметр окружности — радиусом и диаметром круга. В отличие от окружности, центр круга является точкой круга.

Формула площади круга

Площадь круга равна произведению числа к и квадрата радиуса:

Пример:

Найдите площадь круга с диаметром 8 см.

Решение:

Диаметр круга вдвое длиннее радиуса. Поэтому: : . Следовательно, площадь данного круга равна .

Если в круге провести два радиуса и , то круг будет разделён на две части (рис, 31). Такие части круга называют секторами.

На рисунке 32 показан сектор с углом .

Диаметр круга разделяет круг на два равных сектора (рис. 33). Такие секторы являются половинами круга. Угол каждого из таких секторов равен . Если каждую половину круга разделить пополам, то получим 4 равных сектора (рис. 34). Угол каждого из них равен .

Обратите внимание:

• — у равных секторов — равные углы.
• — сумма углов всех секторов, на которые разделён круг, равна .

Пример:

Круг разделён на 3 равных сектора. Найдите угол сектора.

Решение:

Сумма углов всех данных секторов равна . Круг разделён на 3 равных сектора, поэтому . Итак, угол сектора равен .

Пример:

Круг разделён на 3 сектора з углами , и . Какую часть круга составляет каждый сектор?

Решение:

Каждый из данных секторов составляет такую часть круга, какую его угол составляет от . Отсюда:

1. Самые первые известные записи приближений числа датируют около 1900 г до н.э.: (Египет) и (Вавилон). Считают, что Архимед (287—212 гг. до н.э.) первым предложил математический способ вычисления числа . О сути этого способа вы узнаете в курсе геометрии.

2. Общепринятое обозначение к впервые применил в своих работах Вильям Джонс в 1706 г.. взяв первую букву греческих слов — окружность и — периметр, то есть длина окружности. Это сокращение понравилось Л. Эйлеру, труды которого закрепили обозначение окончательно.

Диаграммы

Для наглядного изображения частей целого или соотношения величин используют диаграммы.

Они могут быть круговыми (рис. 39) или столбчатыми (рис. 40).

Для построения круговой диаграммы целое изображают кругом, а отдельные части целого — секторами круга. Например, на рисунке 39 круговая диаграмма показывает соотношение площадей частей света.

По этой диаграмме можно ответить, например, на такие вопросы.

1. Сколько частей света на нашей планете?
2. Какая часть света самая большая?
3. Какая часть света самая маленькая?
4. Какая из двух частей света больше: Антарктида или Австралия?

Пример:

Среди учеников класса провели опрос, в результате которого оказалось, что 20 шестиклассников больше всего любят мороженое, 6 учеников класса — конфеты, а остальные 4 ученика — предпочитают пирожные. Постройте круговую диаграмму любимых лакомств учеников 6-А класса.

Решение:

Для построения круговой диаграммы нужно круг разделить на три сектора пропорционально количеству лакомок, то есть выполнить пропорциональное деление . Пусть — коэффициент пропорциональности, тогда . Отсюда , a , , . Следовательно, круг нужно разделить на секторы с углам и: , и . По этим данным с помощью транспортира строим круговую диаграмму (рис. 41 —43).

Для построения столбчатой диаграммы сравниваемые величины изображают в виде столбиков, высота которых либо равна данным величинам, либо пропорциональна им. Например, на рисунке 44 столбчатая диаграмма показывает соотношение любимых лакомств учеников 6-А класса. Для её построения изобразили три столбика, высота которых пропорциональна количеству учеников, предпочитающих мороженое, конфеты и пирожные: , и Для удобства слева проводят вертикальную прямую для обозначения количества учеников.

Слово «диаграмма» происходит от греческого diagramma, что означает изображение, чертёж.

Благодаря наглядности диаграммы часто используют в презентациях. Например, на уроках природоведения, пользуясь данными календаря погоды, вы можете строить диаграммы выпадения осадков и анализировать их.

Цилиндр. Конус. Шар

В 5 классе вы уже ознакомились с пространственными фигурами: прямоугольным параллелепипедом и кубом. Посмотрите на рисунок 56. Вы видите разнообразные предметы, используемые в быту. Все они имеют одну и ту же форму — цилиндра (рис. 57).

Цилиндр получим при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон, например, стороны (рис. 58).

Эту сторону прямоугольника считают осью цилиндра, а противоположную ей сторону — образующей цилиндра. Ось и образующая цилиндра имеют равные длины: . У цилиндра есть два основания — равные круги радиуса .

При вращении образующая цилиндра описывает поверхность, которую называют боковой поверхностью цилиндра. Полную поверхность цилиндра составляют его боковая поверхность и два круга оснований.

На рисунке 59 вы видите индейское жилище , имеющее форму конуса (рис. 60).

Конус можно получить, вращая прямоугольный треугольник вокруг одной из сторон, образующей прямой угол , например, вокруг стороны (рис. 61). Эту сторону считают осью конуса, а сторону , лежащую против прямого угла — образующей конуса. Ось конуса всегда меньше его образующей. В отличие от цилиндра, у конуса только одно основание — круг радиуса .

При вращении, образующая конуса описывает поверхность — боковую поверхность конуса. Полную поверхность конуса составляют его боковая поверхность и круг основания.

На рисунке 62 вы видите предметы, имеющие форму шара (рис. 63).

Шар можно получить, вращая круг вокруг его диаметра (рис. 64). Этот диаметр считают осью шара. Радиус шара — . Он равен половине диаметра круга.

Поверхность шара имеет особое название — сфера. Цилиндр, конус и шар называют телами вращения т. к. их можна получить при вращении прямоугольника, прямоугольного треугольника и круга. Больше об этих фигурах вы узнаете в курсе геометрии.

Бумажную модель пространственной фигуры делают из её развёртки. Чтобы получить развёртку цилиндра (рис. 65), отделяют основание, а боковую поверхность разрезают вдоль образующей и разворачивают на плоскости. Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник, одна сторона которого равна образующей, а вторая — имеет длину окружности основания. Развёртка цилиндра состоит из этого прямоугольника и двух кругов оснований. Аналогично получают развёртку конуса (рис. 66). Его боковая поверхность разворачивается в сектор. Развёртка конуса состоит из этого сектора и круга основания конуса.

Для шара изготовить традиционную развёртку невозможно.

Процентные расчёты

В 5 классе вы узнали, что такое процент и как решать задачи на нахождение процента от числа и числа по его проценту. Рассмотрим, как решать такие задачи с помощью пропорций и познакомимся с другими видами задач на процентные расчёты.

Нахождение процента от числа

Пример:

Мама Малыша испекла 25 ватрушек. Карлсон съел 40 % ватрушек. Сколько ватрушек съел Карлсон?

Решение:

Обратите внимание:

чтобы найти число , равное процентам числа , составляют пропорцию:

если то

Нахождение числа по его проценту

Пример:

В 6-А классе высокий уровень учебных достижений имеют 6 учеников, что составляет 20% учеников класса Сколько учеников учится в 6-А классе?

Решение:

По условию задачи, 6 отличников — это 20 % учащихся класса. В задаче нужно узнать, сколько учащихся составляют 100 %. Составим краткую запись данных задачи.

Учащихся в классе:

Отличников:

Пусть — количество учащихся в 6-А классе. Тогда составим пропорцию: . Отсюда: . Значит, в 6-А классе —30 учащихся

Обратите внимание:

чтобы найти число по его части , равной процентам, составляют пропорцию:

если то

Нахождение процентного отношения двух чисел

Пример:

Из 30 учеников 6-Б класса в спортивных соревнованиях приняли участие 18 учеников. Сколько процентов учащихся класса приняли участие в спортивных соревнованиях?

Решение:

По условию задачи, в классе 30 учеников, что составляет 100 %. В задаче нужно узнать, сколько процентов составляют 18 учеников. Составим краткую запись данных задачи.

В классе:

Приняли участие:

Пусть — процент учеников, принявших участие в соревнованиях. Тогда составим пропорцию: . Отсюда: . Значит. 60 % учащихся 6-Б класса приняли участие в спортивных соревнованиях.

Обратите внимание:

чтобы найти процентное отношение двух чисел а и &. составляют пропорцию:

то

Пример:

Верно ли, что процентное отношение чисел и можно найти, умножив на 100 обратное отношение этих чисел? Да. Это следует из основного свойства пропорции.

Рассмотрим более сложные задачи.

Нахождение изменения процента по изменению числа

Пример:

Пчёлы за день принесли в улей 2 кг мёда. На следующий день они работали лучше и собрали 2.5 кг меда. На сколько процентов больше мёда собрали пчёлы во второй день?

Решение:

По условию задачи, за день пчёлы принесли в улей 2 кг меда, что составляет 100 %. В задаче нужно выяснить, на сколько процентов 2,5 кг мёда больше, чем 2 кг. Составим краткую запись данных задачи.

I день:

II день:

Пусть — количество процентов, на которое увеличилась масса меда. Составим пропорцию: . Отсюда, , , . Значит, во второй день пчёлы собрали мёда на 25 % больше.

Обратите внимание:

чтобы найти, на сколько изменится процент при изменении числа до числа , составляют пропорцию:

если , .

Пример:

Можно ли аналогично решать задачи на уменьшение числа? Да. В таком случае нужно составить пропорцию

Нахождение числа по его процентному изменению

Пример:

В 10 лет Ванин рост составлял 130 см. Каким был рост Вани в 9 лет, если за год он подрос на 4 %?

Решение:

По условию задачи, рост Вани в 10 лет составлял 130 см, что на 4 % больше, чем в 9 лет Значит, росту Вани в 9 лет соответствует , а в 10 лет — . Составим краткую запись данных задачи.

Рост в 9 лет: ,

Рост в 10 лет:

Пусть — рост Вани в 9 лет. Тогда составим пропорцию: . Отсюда , . Значит, рост Вани в 9 лет составлял 125 см.

Пример:

Можно ли рост Вани в 10 лет принять за ? Да. Будут ли соответствовать тогда росту Вани в 9 лет? Нет, поскольку от 130 см не равны от 125 см.

Обратите внимание:

чтобы найти число , изменившееся до числа , по его процентному изменению , составляют пропорцию:

если , то

Нахождение процентного отношения двух чисел по изменению числа

Пример:

В первый день Маша прочитала 20 страниц книжки, а во второй — на 5 страниц больше. Сколько в процентах прочитала Маша во второй день по сравнению с первым днём?

Решение:

По условию задачи, в первый день Маша прочитала 20 страниц, что составляет . В задаче нужно узнать, сколько процентов составляют страниц. Составим краткую запись данных задачи:

I день:

II день:

Пусть — количество страниц в процентах, прочитанных Машей во второй день. Тогда составим пропорцию: Отсюда, . Значит, во второй день Маша прочитала прочитанного в первый день.

Обратите внимание:

чтобы найти процентное отношение двух чисел и по изменению числа на , составляют пропорцию:

если то

Пример:

Можно ли аналогично решать задачи на уменьшение числа? Да. В таком случае нужно составить пропорцию

В параграфе вы рассмотрели решение задач с помощью алгебраического способа. Но каждую из них можно решить и арифметически, к тому же не одним способом. Обратимся к задаче 1 данного параграфа.

Пример:

Мама Малыша испекла 25 ватрушек. Карлсон съел 40 % всех ватрушек. Сколько ватрушек съел Карлсон?

Решение:

Арифметический способ 1.

1) Сколько ватрушек составляет 1 %?

2) Сколько ватрушек составляют 40%?

Значит, Карлсон съел 10 ватрушек.

Арифметический способ 2.

1) Как выразить 40 % дробью?

2) Сколько ватрушек составляют 40 %?

Значит, Карлсон съел 10 ватрушек.

Вероятность случайного события

В повседневной жизни часто планируются разные события, о которых можно сказать, произойдут они или нет. Примером таких событий могут быть: празднование дня рождения, поход в школу, получение хорошей оценки, поездка с родителями за город и др.

Определение:

Событие, о котором можно сказать, что оно произойдёт или не произойдёт при определённых условиях, называется случайным событием, или (кратко) событием.

События обозначают буквами: , , . Читают: событие , событие , событие .

Математики считают, что любое случайное событие происходит (или не происходит) вследствие проведения некоторого эксперимента. Такой эксперимент называют случайным, или стохастическим. Он является испытанием. Условия проведения испытания являются неизменными. Возможные результаты испытания известны, но нельзя заранее знать, какой именно из них будет иметь место. Например, если мы будем подбрасывать монету один раз, то возможны два следствия: выпадет или «герб», или «цифра» (рис, 76), однако нельзя точно сказать, что именно выпадет. Поэтому подбрасывание монеты является испытанием, а появление «герба» или «цифры» — это события и .

Пример:

Сколько событий могут произойти вследствие подбрасывания игрального кубика (рис. 77)? У кубика шесть граней, поэтому событий может быть шесть — выпадает 1 очко, 2 очка, S очка, 4 очка, 5 очков или 6 очков.

Обратите внимание:

все возможные результаты испытания образуют совокупность событий, однако испытание завершается наступлением лишь одного из этих событий.

Например, в результате одного подбрасывания игрального кубика из шести возможных событий произойдёт лишь одно событие — или выпадет 1 очко, или 2 очка, или S очка, или 4 очка, или 5 очков, или 6 очков. Иначе говорят: «Появлению 1 очка благоприятствует только одно событие».

Событие, которое в результате испытания непременно должно произойти, называют достоверным. Например, событие — «появление от 1 до 6 очков» в результате подбрасывания игрального кубика является достоверным событием.

Событие, которое вследствие данного испытания не может произойти, называют невозможным. Например, событие — «появление на одной из граней игрального кубика 7 очков» является невозможным.

События называют несовместимыми, если наступление одного из них исключает наступление другого. Такие события не могут наступить одновременно. Например, событие — «появление 3 очков» и событие — «появление 5 очков» являются несовместимыми событиями в результате одного подбрасывания игрального кубика.

События называют равновозможными, если в результате испытания появление каждого из них одинаково возможно по сравнению с другими. Например, при подбрасывании игрального кубика все шесть событий (« появление 1 очка» и т.д.) являются равновозможными.

Вероятность события — это количественная характеристика возможности наступления этого события в ходе испытания.

Обозначают: , . Читают: «вероятность события », « вероятность события ».

Для испытания, в котором все возможные события являются несовместными и равновозможными, вероятность события можно вычислить по формуле.

Определение:

Вероятностью события называется отношение количества благоприятных для событий к количеству всех равновозможных в данном испытании событий:

Пример:

Верно ли, что количество испытаний всегда меньше общего количества испытаний ? Нет. Числа и могут быть и равными. Например, вероятность достоверного события «появление от 1 до 6 очков» в результате одного подбрасывания игрального кубика равна 1, поскольку .

Обратите внимание:

вероятность события может принимать значения только от 0 до 1. Вероятность достоверного события равна 1. а вероятность невозможного события — 0.

Пример:

Из коробки, где находятся 3 чёрных и 5 белых шариков, достали наугад один шарик. Какова вероятность того, что шарик:

1) чёрный; 2) белый?

Решение:

1. Событие — «вынули чёрный шарик». Общее количество шариков, которые можно достать из коробки, равно 8, поэтому . Чёрных шариков — 3, поэтому . Вероятность события равна отношению количества возможностей вынуть чёрный шарик к общему количеству возможностей вынуть какой-либо шарик, поэтому: . Значит, вероятность вынуть черный шарик равна .

2.

В рассмотренной задаче возможными были два события: событие — «вынули чёрный шарик» и событие — «вынули белый шарик». Вероятность события равна , а события . Сумма вероятностей этих событий равна .

Определение:

Сумма вероятностей всех возможных событий испытания равна 1.

Пример:

Можно ли определить вероятность одного из двух возможных событий испытания, зная вероятность другого события? Да. Вероятность извлечения белого шарика в рассмотренной задаче можно было найти и по другому: .

Пример:

Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков?

Решение:

Событие — «на двух кубиках в сумме выпало 6 очков». Появление события связано с такими парами чисел на двух игральных кубиках: . Значит, . Общее количество вариантов, когда на первом кубике выпало число от 1 до 6 и для каждого из них на втором кубике выпало одно из шести чисел, равно 36. Итак, . Вероятность события равна отношению чисел и : .

Стохастичность (от греческого — цель, предположение) означает случайность.

Теория вероятностей — это раздел математики, изучающий закономерности случайных событий. Как самостоятельная наука, теория вероятностей возникла в середине XVII века. Тогда были распространены азартные игры, то есть игры, в которых результат зависел от случая (игры с кубиками, игра в «орлянку», некоторые карточные игры). Они и способствовали анализу случайных событий. Считают, что история теории вероятностей начинается с работы Я. Бернулли (1654—1705) «Ars Conjectandi» («Искусство предположений»), опубликованной в 1713 году.

3. Обозначение происходит от первой буквы французского слова probabilite — вероятность.

—–

Отношения и пропорции

В этом разделе речь идет о вещах, уже известных вам. Отношение – это частное, пропорция – равенство двух отношений. Например, – отношение, – пропорция. Но теперь обратим внимание на такие свойства частного и равенства двух частных, какие раньше не рассматривали. А еще введем новые термины: отношение, пропорция, вероятность и другие. Основное содержание раздела такое.

• Основное свойство отношения.
• Вероятность случайного события.
• Пропорции.
• Процентное отношение.
• Пропорциональные величины.
• Окружность, круг, диаграммы.

Эти темы важны не только для математики и других наук, они часто используются в практической деятельности миллионов людей.

Отношения

Частное от деления одного числа на другое называют также отношением этих чисел. Записывают отношение с помощью двоеточия или черты дроби.

Примеры отношений:

– это и дробь «три четвертых », и «частное от деления 3 на 4 », и «отношение чисел 3 и 4». Поскольку отношение – это то же самое, что и дробь а к каждой дроби можно применить основное свойство дроби, поэтому это свойство верно и для каждого частного, и для отношения.

Основное свойство отношения Отношение двух чисел не изменится, если каждое из них умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Используя это свойство, отношения можно упрощать.

Оба члена отношения можно разделить на их общий делитель. Например, отношение 3000 : 5000 можно заменить равным ему отношением 3:5.

Отношение дробных чисел можно заменить отношением натуральных чисел.

Для этого надо данные дроби привести к общему знаменателю и отбросить его. Например,

Одним из примеров использования отношений является масштаб. Если, например, на географической карте указан масштаб 1 : 5 500 000, то это означает, что все расстояния на карте в 5 500 000 раз меньше соответствующих расстояний на земной поверхности. То есть одному сантиметру на карте соответствует 5 500 000 см (или 55 км) на местности.

Можно говорить не только об отношении чисел, а и об отношении значений величин. Если два значения какой-то величины выражены в одинаковых единицах измерения, то отношением этих значений называют отношение соответствующих чисел. Например, 3 м : 5 м = 3 : 5; 18 кг :9 кг =18: 9.

Но 2 м : 37 см = 200 см : 37 см = 200 : 37.

Иногда рассматривают и отношение значений разноименных величин. Например, если высота, площадь основания и объем прямоугольного параллелепипеда равны соответственно , то отношение равно высоте параллелепипеда, а отношение -площади основания данного параллелепипеда.

А если самолет пролетает расстояние 1400 км за 2 ч, то его скорость равна отношению расстояния ко времени: 1400 км : 2 ч = 700 км/ч.

Вообще, если какое-то тело движется равномерно, то его скорость — это отношение пройденного пути ко времени.

Со временем в физике вы будете рассматривать плотность вещества – отношение массы тела к объему, давление — отношение силы к площади и т. п.

• Заказать решение задач по высшей математике

Выполнение заданий:

Пример №43

Упростите отношение 400 : 600.

Решение:

ПОД (400, 600) = 200. Разделим каждый член данного отношения на 200. Имеем 400 : 600 = 2:3.

Пример №44

Замените отношение отношением натуральных чисел.

Решение:

Приведем заданные дроби к общему знаменателю 30.

Пример №45

Упростите отношение

Решение:

Вероятность случайного события

Отношение часто используют для определения вероятностей случайных событий.

Событие — это то, что совершается, происходит, случается. В математике чаще всего рассматривают события, какие еще не совершались, а только возможно произойдут. При этом стараются установить степень уверенности в том, что событие произойдет.

Примеры событий:

1. подброшенная монета упадет гербом вверх (рис. 43);
2. приобретенный лотерейный билет выиграет;
3. после ночи наступит утро;
4. игральная кость упадет кверху семеркой.

Последнее событие невозможно, поскольку на гранях кости семерки нет. Событие 3) достоверное, ведь после ночи всегда наступает утро. События 1) и 2) – случайные. Событие называется случайным, если оно может произойти или не произойти.

Степень уверенности в том, что случайное событие произойдет, можно характеризовать числом. Рассмотрим пример. При падении подброшенной игральной кости (рис. 44) может произойти 6 различных событий:

• событие А: выпадет 1 очко; событие Б: выпадет 2 очка;
• событие В: выпадет 3 очка; событие Г: выпадет 4 очка;
• событие Д: выпадет 5 очков; событие Е: выпадет 6 очков.

Все эти шесть событий имеют одинаковые шансы произойти (если кость правильной формы и изготовлена из одного материала). Такие события называют равновероятными. Дальше речь пойдет только о равновероятных событиях.

Вероятностью события называют отношение количества благоприятных для этого события результатов к количеству всех возможных результатов.

Вероятность события обозначают так: В рассмотренном выше случае 6 равновероятных событий, поэтому вероятность каждого из них равна . Следовательно,

Вероятность достоверного события принимается за 1, а невозможного за 0. Вероятность можно выражать обыкновенной и десятичной дробью или процентами.

Задача 1. Какова вероятность того, что при падении игральной кости выпадет число очков, кратное 3?

Ре ш е н и е. Количество всех возможных событии равно 6. Среди чисел 1, 2, 3, 4, 5 и 6 только два (3 и 6) делятся на 3.

Поэтому вероятность равна , или .

Задача 2. Найдите вероятность того, что ваш товарищ родился в воскресенье.

Решение. Всего в неделе 7 дней. Нас интересует событие: «Мой товарищ родился в воскресенье» (событие ).

Поскольку воскресенье только 1 раз в неделю, то

Наведенная выше трактовка понятия вероятности верна только для равновероятных событий. Такое понимание вероятности называют классическим. Его чаще всего применяют при решении задач на азартные игры.

Намного важнее понятие статистической вероятности.

Для примера рассмотрим два похожих события: подброшенная монета упадет кверху гербом подброшенная пуговица упадет кверху петелькой Монета почти одинаковая с обеих сторон, поэтому оба события (монета упадет гербом кверху или книзу) равновероятные. Вероятность каждого из этих событий равна

Пуговица с одной стороны не такая, как с другой (рис. 45). Поэтому два события (пуговица упадет петель-кой кверху или книзу) не равновероятные. Вероятность каждого из них можно определить только экспериментально. Такие вероятности (статистические) вы будете изучать в старших классах.

Пропорции

Отношения и равны друг другу. Поэтому их можно соединить знаком равенства: , или 1 : 2 = 3 : 6. Такие равенства называют пропорциями.

Пропорция — это равенство двух отношений.

В пропорции числа и называют крайними членами, и – средними членами пропорции.

Произведение крайних членов каждой пропорции равно произведению ее средних членов.

Это – основное свойство пропорции. Его можно проиллюстрировать на примерах. Если 1 : 2 = 3 : 6, то 1 • 6 = 2 • 3; если 0,3 : 1 = 2,1 : 7, то 0,3 • 7 = 1 • 2,1. А можно и доказать.

Пусть дано произвольную пропорцию . Умножив обе части этого равенства на произведение получим . Сократив первую дробь на , а вторую – на получим равенство Таким образом, если Поскольку делить на 0 нельзя, то в пропорции и отличные от 0. В дальнейшем будем считать, что все члены пропорции отличные от нуля.

Любой член пропорции можно определить, если известны три других ее члена. Например, если , то . Отсюда , или

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, достаточно произведение ее средних членов разделить на известный крайний. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, достаточно произведение ее крайних членов разделить на известный средний. Основное свойство пропорции используют при решении уравнений, имеющих вид пропорции.

Приведем примеры решения таких уравнений:

а)

б)

в)

Решение:

а)

б)

в)

Подобным способом можно решать, например, и уравнение , если заменить его (устно) таким:

Отсюда

Если пропорция верна, то верно и равенство Разделив обе его части на получим

Отсюда или

Следовательно, средние члены пропорции можно менять местами. Так же можно показать, что местами можно менять и крайние члены пропорции.

Например, поскольку 0,2 : 0,3 = 2 : 3, то верны также пропорции 0,2 : 2 = 0,3 : 3 и 3 : 0,3 = 2 : 0,2.

Выполнение заданий:

Пример №46

Составьте пропорцию из чисел 3, 4, 8 и 6.

Решение:

Поскольку 3 • 8 = 4 • 6, то числа 3 и 8 могут быть средними членами, а другие – крайними. Или наоборот. Поэтому верны пропорции:

4:3 = 8:6, 4:8 = 3:6, 8:4 = 6:3, 3:4 = 6:8.

Пример №47

Решите уравнение

Решение:

Поскольку произведение средних членов пропорции равно произведению крайних, то Отсюда или

Процентное отношение

Один процент – это одна сотая часть.

1 % =0,01; 50% =0,5;

100 %=1; 200% =2.

Если отношение двух чисел выражают в процентах, то его называют процентным отношением.

Например, отношение 2 к 5 равно , или 0,4, или 40%; отношение 32 к 25 равно , или 1,28, или 128%.

Существуют задачи, в которых требуется найти, сколько процентов составляет одно число относительно другого, или одно значение величины относительно другого. Их называют задачами на нахождение процентного отношения.

Задача. Возле школы растет 20 деревьев, из них 8 – липы. Сколько процентов этих деревьев составляют липы?

Решение. Отношение лип ко всем деревьям возле школы равно , или 0,4, или 40 %. Таким образом, липы составляют 40 % всех деревьев, растущих возле школы.

Учитывая сказанное выше и два известных вам вида задач на проценты с 5-го класса, можно подвести итоги.

Существует три основных вида задач на проценты:

• (1) нахождение процентов от числа;
• (2) нахождение числа по процентам;
• (3) нахождение процентного отношения двух чисел.

Рассмотрим примеры таких задач:

• (1) Надо вспахать поле, площадь которого равна 300 га. В первый день трактористы выполнили 40 % задания. Сколько гектаров они вспахали в первый день?
• (2) В первый день трактористы вспахали 120 га, что составляет 40 % всего поля. Найдите площадь всего поля.
• (3) Надо вспахать поле, площадь которого равна 300 га. В первый день трактористы вспахали 120 га. Сколько процентов всего поля они вспахали в первый день?

Попытайтесь решить каждую из этих задач несколькими способами, заменив 40 % дробью 0,4 или . Сопоставьте эти задачи с основными задачами на дроби.

Такие задачи удобно решать способом пропорции. Оформлять решение приведенных выше задач можно так.

Кроме трех основных видов задач, существуют более сложные задачи на проценты. Прежде всего, это задачи, в которых говорится об увеличении или уменьшении чего-либо на несколько процентов, и обратные им. Решая такие задачи, уточняйте, от чего надо брать проценты. Об этом в задаче прямо не сказано, но существуют договоренности о понимании тех или иных высказываний.

Для примера рассмотрим задачу:

Пример №48

Сначала цену на товар подняли на 10%, а потом снизили на 10%. Как изменилась цена на этот товар в результате двух переоценок?

Обратите внимание, что первый раз речь идет о 10% от начальной цены, а во второй раз – о 10% от повышенной цены. А они не равны.

Решение:

Пусть сначала товар стоил грн.

После повышения цены на 10% он стал стоить грн. + грн. или грн.

10 % от повышенной цены составляют () грн., или грн. После снижения стоимости, цена товара стала () грн., или 0,99а грн.

Таким образом, сначала товар стоил грн., а после двух переоценок он стал стоить 0,99а грн., то есть на 0,01а грн. меньше. Это составляет 0,01а : а = 0,01, или 1 %.

Ответ. После двух переоценок начальная цена товара снизилась на 1 %.

Примечание. Вместо слов «сколько процентов» иногда говорят «какой процент» (см. задачи 700, 701).

Выполнение заданий:

Пример №49

В классе всего 27 учеников, два из них отсутствуют. Сколько процентов составляют отсутствующие? Сколько процентов составляют присутствующие?

Решение:

Ответ.

Примечание. Вторую часть задачи можно решить проще:

Пример №50

Рабочий за смену изготовлял 250 деталей, а теперь изготовляет 270 таких деталей. На сколько процентов повысилась его производительность труда?

Решение:

Первый способ.

270 : 250 = 1,08 = 108 %; 108 % – 100 % = 8 %.

Второй способ.

270 – 250 = 20 (деталей); 20 : 250 = 0,08 = 8 %.

Ответ. На 8 %.

Пропорциональные величины

Пусть 1 кг яблок стоит 3 грн. Сколько стоят 2 кг, 3 кг, 4 кг, 5 кг, 6 кг таких яблок? Ответ можно записать в виде таблицы.

Масса яблок (кг) 1 2 3 4 5 6 Стоимость (грн.) 3 6 9 12 15 18

Здесь две величины: масса и стоимость. Возьмем какие-либо два значения массы, например 3 кг и 5 кг. Соответствующие им значения стоимости: 9 грн. и 15 грн. Из этих четырех чисел можно составить пропорцию 3:5 = 9: 15 или 3:9 = 5: 15. Такие величины называют пропорциональными. Стоимость яблок пропорциональна их массе. Чем больше покупают яблок, тем больше за них платят. Во столько же раз!

Две величины называют пропорциональными, если с увеличением значений одной из них в несколько раз значения второй увеличиваются во столько же раз.

Другие примеры пропорциональных величин: объем бензина и его масса, время полета самолета и пройденное им расстояние, длина стороны квадрата и его периметр. А вот площадь квадрата не пропорциональна длине его стороны. Почему? Если каждую сторону квадрата увеличить, например, в 3 раза, то его площадь увеличится не в 3 раза, а в 9 раз.

Если величины и пропорциональные, то их соответствующие значения удовлетворяют равенству

где – некоторое чисто (коэффициент пропорциональности).

Много задач на пропорциональные величины можно решать с помощью пропорций.

Пример №51

Масса 5 л растительного масла равна 4 кг. Какова масса 12 л этого масла?

Решение:

Первый способ (приведение к единице). Если масса 5 л масла равна 4 кг, то масса 1 л – в 5 раз меньше, то есть 0,8 кг. Масса 12 л масла в 12 раз больше: 0,8 кг – 12 = 9,6 кг.

Второй способ (способ пропорции).

5 л – 4 кг,

12 л – кг.

Имеем пропорцию .Отсюда (кг).

Кроме пропорциональных величин, часто рассматривают обратно пропорциональные величины. Две величины называют обратно пропорциональными, если с увеличением в несколько раз значений одной величины значения другой уменьшаются во столько же раз. Такими, например, являются скорость и время (при постоянном расстоянии). Поскольку, если скорость движения увеличить в несколько раз, то это же расстояние можно пройти во столько же раз быстрее. Если величины и обратно пропорциональны, то их соответствующие значения удовлетворяют равенству

где – некоторое число ( и – отличные от нуля).

Обратно пропорциональные величины изучают в курсе алгебры. Чтобы различать пропорциональные величины и обратно пропорциональные, первые также называют прямо пропорциональными величинами. Таким образом, пропорциональные величины и прямо пропорциональные величины – одно и то же понятие.

Выполнение заданий:

Пример №52

Насос за 8 ч откачивает воды. Сколько воды он сможет откачать за 10 ч?

Решение:

Первый способ. За 1 ч насос откачивает . За 10 ч – в 10 раз больше:

Второй способ.

Имеем пропорцию .Отсюда .

Задачи на пропорциональное деление

Существует много задач, в которых требуется разделить какое-то число или значение величины на части, пропорциональные нескольким данным числам. Рассмотрим одну из таких задач.

Пример №53

Проволоку длиной 60 м разрезали на три части, длины которых пропорциональны числам 2, 3 и 5. Найдите длины этих частей проволоки.

Решение:

Если искомые длины пропорциональны числам 2, 3 и 5, то они равны , где -некоторое число (рис. 53). Следовательно, . Длины частей проволоки равны 12 м, 18 м и 30 м.

Чтобы понять общее правило решения задач на пропорциональное деление, уравнение преобразуем так:

Тогда искомые значения и соответственно равны:

.

Чтобы разделить число на части, пропорциональные данным числам, надо разделить его на сумму данных чисел и найденное частное умножить на каждое из них.

Отдельным видом задач на пропорциональное деление являются задачи на нахождение двух чисел по их сумме и отношению. Сравните две такие задачи.

Задача 1. Поле площадью 100 га разделили на две части, площади которых пропорциональны числам 2 и 3. Найдите площади этих частей поля.

Задача 2. Поле площадью 100 га разделили на две части, площади которых относятся как 2 : 3. Найдите площади этих частей поля.

Решать такие задачи можно двумя способами.

Решение:

Первый способ. Если площади частей ноля пропорциональны числам 2 и 3 (или относятся как 2 : 3), то они равны и , где – некоторое число. Общая площадь поля равна 100 га, поэтому

.

Отсюда . Следовательно,

.

Ответ. 40 га и 60 га.

Второй способ. По правилу деления числа на части, пропорциональные данным числам, сразу определяем площади частей поля:

Ответ. 40 га и 60 га.

Иногда говорят о делении числа на части, обратно пропорциональные данным числам. Поделить число на части, обратно пропорциональные данным числам, – это значит разделить данное число на части пропорционально числам, обратным данным. Например, разделим число 190 на три части, обратно пропорциональные числам 2, 4 и 5. Обратные им числа – . Если привести эти дроби к общему знаменателю и отбросить его, то получим 10, 5 и 4. Теперь надо число 190 разделить на части, пропорциональные числам 10, 5 и 4. Имеем:

Ответ: 100, 50 и 40.

Выполнение заданий:

Пример №54

Разность двух чисел равна 13, а относятся они как 7 : 5 (рис. 54). Найдите эти числа.

Решение:

По условию задачи искомые числа равны и , где – некоторое число. Кроме того, . Отсюда . Поэтому .

Ответ. 45,5 и 32,5.

Окружность и круг

Окружность можно начертить циркулем (рис. 57). Если острие циркуля, каким начерчена окружность, находится в точке О, то эта точка – центр данной окружности. Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, называется радиусом окружности. А отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через ее центр, – диаметром. На рисунке 58 точка О -центр окружности, – диаметр, и – радиусы. В окружности можно провести бесконечно много радиусов и диаметров. Каждый диаметр в 2 раза длиннее радиуса, то есть .

Форму окружности имеет обруч, обод стакана, экватор и параллели на глобусе и т. п. Чтобы измерить длину окружности, можно вдоль нее положить нить, а йотом измерить ее длину. А можно длину окружности не измерять, а вычислять. Ученые еще в древние времена установили, что отношение длины каждой окружности к длине ее диаметра равно одному и тому же числу, приближенное значение которого равно 3,14. Это число во всем мире обозначают буквой (пи) (см. с. 168).

Следовательно, если длина окружности , а ее диаметр , то . Отсюда . Поскольку , то

Это – формула длины окружности.

Например, если радиус окружности равен 5 см, то ее длина

(см).

Ответ приближенный, поскольку 3,14.

Окружность на плоскости разбивает ее на две области: внутреннюю и внешнюю. Объединение окружности и ее внутренней области называют кругом (рис. 59). Центр, радиус, диаметр круга – это соответственно центр, радиус, диаметр окружности, которая ограничивает данный круг. Площадь круга, как и длина окружности, зависит от длины его радиуса. Доказано, что площадь каждого круга радиуса в раз больше площади квадрата со стороной (рис. 60). То есть, если радиус круга равен , то его площадь

Это – формула площади круга.

Например, если радиус круга равен 10 см, то площадь этого круга

Часть круга, ограниченная его двумя радиусами, называется круговым сектором. На рисунке 61 изображен круг, разделенный на 3 равные сектора. Подумайте, как можно найти площадь каждого из них, если радиус круга равен

Если крут вращать вокруг его диаметра, то образуется шар.

Все точки поверхности шара одинаково удалены от центра шара. Отрезок, соединяющий центр шара с любой точкой его поверхности, называется радиусом шара. Отрезок, который соединяет две точки поверхности шара и проходит через его центр, – диаметром шара. Диаметр шара равен двум его радиусам. Па рисунке 62 изображен шар с центром О и радиусом OA.

Если через центр шара провести плоскость, то она пересечет шар по кругу, а поверхность шара – по окружности. На географическом глобусе такими окружностями являются экватор и линии меридианов. Поскольку длина окружности радиуса равна , то длина экватора шара радиуса равна .

Кругами являются также основания цилиндра (рис. 63, а).

Разрезав поверхность цилиндра вдоль некоторых линий (каких?), ее можно развернуть. В результате образуется развертка поверхности цилиндра (рис. 63, б). Боковая поверхность цилиндра развертывается в прямоугольник. Основание этого прямоугольника равно длине окружности основания цилиндра. Если радиус основания цилиндра равен , то длина окружности основания цилиндра . Поэтому основание прямоугольника, в который развертывается боковая поверхность цилиндра, тоже равно . Высота этот прямоугольника — это высота данною цилиндра. Площадь развертки боковой поверхности цилиндра равна . Такая же площадь боковой поверхности цилиндра: .

Чтобы найти площадь всей поверхности цилиндра, надо к площади em боковой поверхности прибавить площади двух его оснований. Поскольку площадь круга радиуса равна , то площадь поверхности цилиндра .

Выполнение заданий:

Пример №55

Какой путь проходит за 1 ч конец часовой стрелки, длина которой равна 30 см (рис. 64)?

Решение:

Длина окружности, описанной концом стрелки, равна

2л • 30 см~ 188,4 см.

За час стрелка опишет часть окружности. Поэтому — .

Ответ. 15,7 см.

Диаграммы

Рисунки воспринимаются и запоминаются лучше, чем слова и цифры. Для наглядного изображения числовых значений различных величин используют диаграммы. Это слово греческого происхождения, оно обозначает «рисунок». Диаграмма – это символический рисунок, который наглядно иллюстрирует соотношение между значениями величин. Чаще всего используют линейные, столбчатые и круговые диаграммы.

Линейная диаграмма, как правило, состоит из нескольких отрезков. Например, изображенная на рисунке 70 диаграмма позволяет наглядно сравнить длины наибольших рек Европы. Большему значению длины реки соответствует

более длинный отрезок. На этой диаграмме отрезки расположены горизонтально. На других диаграммах их изображают вертикально. Линейная диаграмма на рисунке 71 иллюстрирует, как с годами увеличивалось население Земли (в миллионах). В 1750 г. людей было примерно 730 миллионов, в 1800 г. – 950 миллионов и т. д. В 2000 г. было примерно 6 миллиардов человек.

Столбчатая диаграмма отличается от линейной тем, что в ней отрезки заменены прямоугольниками. Такой является диаграмма, изображенная на рисунке 72. На ней

сравнивается численность населения наибольших городов (в миллионах; по данным переписи 2001 г.).

Круговая диаграмма имеет вид круга, разделенного радиусами на части (секторы). Поэтому такие диаграммы называют также секторными. На рисунке 73 изображена диаграмма, которая показывает, сколько процентов живет, русских и людей других национальностей (данные за 2001 г.). Весь круг соответствует 100 процентам.

Иногда диаграмма помогает решить задачу. Пусть, например, надо найти два числа, сумма которых равна 27, а разность – 7. Этой задаче соответствует диаграмма, изображенная на рисунке 74. Первое число больше второго на 7. Если из первого вычесть 7, получим 20 – удвоенное второе число. Таким образом, второе число равно 10, а первое – 17. Так, пользуясь диаграммой, задачу можно решить устно.

Иногда на диаграммах вместо столбиков изображают прямоугольные параллелепипеды или цилиндры (рис. 75). При этом придерживаются таких требований: основания таких фигур должны быть равны, а высоты – пропорциональны соответствующим значениям величин.

Когда хотят изобразить наглядно соотношения между сродными объектами, пользуются кругами, овалами и т. п. Например, соотношения между четырехугольниками, прямоугольниками и квадратами можно изобразить так, как показано на рисунке 76. Такие схематические изображения называют диаграммами Эйлера – в честь известного швейцарского математика Леонарда Эйлера (1707-1783)

Выполнение заданий:

Пример №56

Постройте столбчатую диаграмму, отображающую площади океанов по данным таблицы.

Решение:

Построим на одной прямой равные основания четырех прямоугольников. Пусть площади 10 млн кв. км соответствует прямоугольник, высота которого равна одной клеточке тетради (0,5 см). Высоту столбика, который соответствует площади Тихого океана, найдем из пропорции . Отсюда см. Высоты других столбиков: 4,5 см, 3,8 см и 0,8 см. Строим диаграмму (рис. 77).

Пример №57

Постройте при помощи компьютера секторную диаграмму, которая отображает состав винегрета (картофель – 40 г, свекла – 40 г, морковь – 24 г, лук – 10 г, огурец квашеный – 20 г, растительное масло – 4 г).

Решение:

1. Включите компьютер, при помощи кнопки «Пуск» создайте новый документ (рис. 78, а).

2. В открытом окне последовательно нажмите кнопки «Вставка» «Рисунок» «Диаграмма» (рис. 78, б).

3. В новом окне нажмите последовательно кнопки «Диаграмма» «Тип диаграммы» и выберите в меню «Круговая».

4. Введите в таблицу заданные значения (рис. 79).

5. Сохраните и распечатайте полученное изображение. Оно может быть таким, как на рисунке 79.

Исторические сведения:

Отношения чисел интересовали ученых Египта и Вавилона еще 4000 лет назад. Математики Древней Греции исследовали в основном отношения отрезков. А поскольку длины отрезков выражаются числами, то все их знания об отношении отрезков верны и для отношения чисел.

Пропорции также были хорошо известны египтянам, вавилонянам и грекам. В знаменитом труде «Начала» Евклида (IV в. до н. э.) им посвящена вся пятая книга. В частности, в ней обосновано и много «производных пропорций», которые вытекают из какой-то данной.

Самой прекрасной пропорцией древние греки считали «золотую пропорцию», когда отрезок длиной делят на две части и так, что (рис. 83). При этом . Такую пропорцию называли также «божественной пропорцией»; считали, что ей соответствуют наиболее совершенные творения природы и шедевры художников.

Окружность и круг людям были известны еще в древние времена. Раньше люди не различали окружность и круг.

В наших краях еще несколько тысячелетий назад женщины носили украшения, которые имели детали в виде окружностей (рис. 84). И колеса колесниц мастеровые люди умели изготовлять еще несколько тысячелетий до новой эры.

Изобретение колеса – большое открытие. Сначала люди пользовались катками, потом, чтобы катки не переносить, додумались вставлять их в прорезы, словно в подшипники. Со временем колеса начали изготовлять отдельно от оси, но из сплошного дерева. Только позже научились изготовлять колеса со спицами, которые были больше, легче и крепче. Схематически историю изобретения колеса показано на рисунке 85.

Интересная история числа – отношения длины окружности к ее диаметру. Ученые Вавилона считали, что = 3. Древние египтяне знали более точное значение этого числа: 3,16. 22

Древнегреческий ученый Архимед нашел, что , поэтому это число называют архимедовым. Приближенно оно равно 3,14. Для решения большинства практических задач такой точности достаточно. Но со временем китайские, европейские и другие математики находили все больше и больше десятичных знаков числа . Сейчас доказано, что оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Главное в разделе:

Частное от деления двух чисел называют также их отношением. Отношение чисел и – это , или • Каждая обыкновенная дробь является отношением ее числителя к знаменателю.

Основное свойство отношения. Значение отношения не изменится, если оба члена умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Например, 300 : 500 = 3:5.

Отношение дробных чисел всегда можно заменить отношением натуральных чисел. Например,

Процентным отношением называют отношение, выраженное в процентах. Например, 3:15 = 0,2 = 20 %.

Вероятностью события называют отношение количества благоприятных для него результатов к количеству всех возможных результатов. Например, вероятность того, что подброшенная монета упадет кверху гербом, равна 0,5.

Отношение длины каждой окружности к ее диаметру равно числу , которое приближенно равно 3,14. Длину окружности и площадь круга находят по формулам , где -радиус.

Равенство двух oiношений называют пропорцией.

Примеры:

пропорций:

Основное свойство пропорции. Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних. То есть, если

Две величины называют пропорциональными (прямо пропорциональными), если с увеличением значений одной из них в несколько раз значения другой увеличиваются во столько же раз. Например, стоимость товара пропорциональна его количеству, пройденный автомобилем путь (при равномерном движении) пропорциональный времени движения. Если величины и пропорциональные, то .

Чтобы разделить число на части, пропорциональные данным числам, надо разделить его на сумму данных чисел и умножить на каждое из них. Разделим, например, число 540 на три части, пропорциональные числам 2, 3 и 5.

Умножив 54 на 2, на 3 и на 5, имеем: 108, 162 и 270.

Раздел 4

Понятие «зависимость»
случайных величин в теории вероятностей
отличается от понятия функциональной
зависимости. Если случайная величина
X
находится
в вероятностной зависимости от случайной
величины Y,
то это означает, что с изменением величины
Y
случайная величина X
имеет
тенденцию к изменению. В ряде случаев
вероятностная зависимость бывает
настолько слаба, что ею пренебрегают,
в других же случаях, наоборот, зависимость
между величинами настолько тесная, что,
зная значения одной из них, можно указать
значения другой.

Случайная величина
X,
входящая в систему (X,
Y)
является независимой от случайной
величины Y,
если ее закон распределения не зависит
от того, какое частное значение приняла
случайная величина
Y.

Для случайных
непрерывных величин условие независимости
случайной величины X
от Y
записывается в виде

при
любом y.
Это означает, что у этих распределений
одинаковая форма кривых и одинаковые
параметры.

Случайная величина
X,
входящая в систему (X,
Y)
является зависимой от случайной величины
Y,
если ее закон распределения зависит от
того, какое частное значение приняла
случайная величина
Y.

Условие же
зависимости случайной величины X
от Y
записывается в виде

,

что означает или
несоответствие форм кривых распределения
или неравенство параметров.

Теорема.
Зависимость
и независимость случайных величин,
входящих в систему, всегда взаимна,
т.е., если величина X
не зависит от Y,
то и величина Y
не зависит от X.

Рекомендуется
доказать теорему о взаимности
зависимости
и независимости случайных величин X
и Y
самостоятельно
ввиду простоты.

Для случайных
дискретных величин условие независимости
случайной величины X
от Y
определяется
равенством безусловной и условной
вероятностей друг другу

,

а условие зависимости
– неравенством их, т.е.

.

Пример 4.
В условиях примера 3 определить зависимость
или независимость случайных величин
X
и Y.

Решение.

Так как

,
а

,
то

,
что указывает на зависимость случайных
величин X
и Y.

В связи с тем, что
из равенства

следует равенство

,
поскольку

,
то выражение

называют условием
независимости случайных величин.

3.8 Числовые характеристики системы двух случайных величин

В качестве числовых
характеристик системы случайных величин
принимают начальные и центральные
моменты системы.

Начальные моменты
системы.

Начальным моментом

порядка k,
s
системы (X,
Y)
называют математическое ожидание
произведения

.

.

Для системы
случайных дискретных величин

,

где

– вероятность того, что система (X,
Y)
примет
значение

,
а суммирование распространяется по
всем возможным значениям случайных
величин X
и Y.

Для системы
случайных непрерывных величин

,

где f(x,
y)
– плотность распределения системы (X,
Y).

На практике чаще
всего применяются начальные моменты
первого порядка:

.

Они являются
математическими ожиданиями случайных
величин X
и Y,
входящих в систему и характеризуют
положение системы, представляя собой
координаты средней точки (центра
рассеивания) системы на плоскости.

На основе определения
начальных моментов можно записать
формулы для математических ожиданий
M(X)
и M(Y)
случайных величин X
и Y,
входящих в систему, в случае:

а) дискретных
величин

,

б) непрерывных
величин

.

Пример 5.
Система двух случайных дискретных
величин задана таблицей распределения:

	X1=3	X2=6	X3=9
Y1=4	0,1	0,2	0,3
Y2=8	0,2	0,1	0,1

Найти математическое
ожидание случайных величин X
и Y,
входящих в систему.

Решение.

;

.

Вывод: центр
группирования этой системы случайных
величин находится в точке с координатами

.

Центральные
моменты системы.

Центральным
моментом системы
(X,
Y)
порядка k,
s
называют математическое ожидание
произведения

:

для дискретных
величин и

для непрерывных
величин.

Среди центральных
моментов большое практическое значение
имеют вторые центральные моменты
системы:

и

.

Эти моменты являются
дисперсиями случайных величин X
и Y,
входящих в систему, и характеризуют
рассеивание случайных точек в направлении
осей 0x
и
0y.

Формулы дисперсий
случайных величин X
и Y,
входящих в систему,

а) для дискретных
величин:

;


,

б) для непрерывных
величин:

;

.

Для характеристики
системы случайных величин важную роль
играет второй
смешанный центральный момент

,

т.е. математическое
ожидание произведения центрированных
величин.

Эта характеристика
называется корреляционным
моментом или
ковариацией:

.

Корреляционный
момент кроме рассеяния случайных величин
X
и Y
характеризует еще и связь их между
собой.

Корреляционный
момент вычисляется по формуле:

а) для системы
дискретных величин

;

б) для системы
непрерывных величин

.

При решении многих
задач, в которых требуется определить
корреляционный момент, удобнее
пользоваться следующей формулой:

Она вытекает из
определения корреляционного момента.

Определение.
Случайные
величины являются связанными между
собой, если при изменении одной из них
другая реагирует изменением своего
условного математического ожидания.

Условное
математическое ожидание случайной
непрерывной величины можно определить
по формуле

,

где M(X/Y)
– условное математическое ожидание
случайной величины X
при условии, что случайная величина Y
приняла
частное значение y.

Рисунок 3.9 Графическая
интерпретация условного математического
ожидания M(X/Y)

Условное
математическое ожидание M(X/Y)
является функцией случайной величины
Y
(рис. 3.9). Если

,
то случайные величины X
и
Y
считаются
связанными. Связанность случайных
величин является частным случаем их
зависимости.

На практике чаще
всего M(X/Y)
имеет вид
прямой линии, которую называют линией
регрессии,
описываемой уравнением

.

Положение линии
регрессии зависит от величины и знака
корреляционного момента (рис. 3.10). Если
значение корреляционного момента
случайных величин X
и
Y
меньше нуля,
то регрессия отрицательная, а если
значение корреляционного момента больше
нуля, то регрессия положительная. Если
значение корреляционного момента равно
нулю, то случайные величины X
и
Y
между собой не связаны.

Рисунок 3.10 Положение
линии регрессии в зависимости от величины
и знака корреляционного момента

Свойства
корреляционного момента:

а)

;

б)

;

в)

– корреляционная матрица.

Для системы двух
случайных величин числовыми характеристиками
являются:

.

Из определения
корреляционного момента следует, что
размерность его равна размерности
произведения случайных величин X
и
Y.
Поэтому для одних и тех же величин
значения его будут зависеть от единиц
измерения случайных величин.

Эта особенность
корреляционного момента является его
недостатком, так как вызывает затруднения
при сравнении корреляционных моментов
различных пар случайных величин. Для
устранения этого недостатка вводят
новую числовую характеристику –
коэффициент
корреляции
или нормированный корреляционный
момент.

Коэффициентом
корреляции

случайных величин
X
и Y
называют
отношение корреляционного момента


к произведению средне – квадратичных
отклонений этих величин:

.

Для независимых
величин

;
для величин, связанных между собой
линейной зависимостью,

или

.
Равенство нулю коэффициента корреляции
еще не свидетельствует о том, что
случайные величины являются независимыми.

Система
произвольного числа случайных величин.
В тех случаях, когда изучаются процессы
с относительно большим числом n
случайных переменных

целесообразно пользоваться корреляционной
матрицей:

,

где

представляет собой корреляцию (смешанный
момент второго порядка) между величинами

.

К числовым
характеристикам системы n
случайных переменных относят их
математические ожидания и корреляционную
матрицу. Математические ожидания
определяют положение центра группирования
системы, а корреляционная матрица
характеризует разброс или рассеяние
случайных точек около центра группирования
и попарную связанность случайных
величин. Если случайные величины будут
не коррелированны между собой, то эта
матрица будет иметь нули везде кроме
диагонали.

Вопросы для
повторения

1 Что называется
системой двух случайных величин?
Приведите примеры.

2 Что понимают под
функцией распределения системы двух
случайных величин? Какими свойствами
она обладает?

3 Как определяется
вероятность попадания случайной точки
заданную область, если известна функция
распределения системы двух случайных
величин?

4 Что называется
плотностью распределения системы двух
непрерывных случайных величин? Каковы
ее свойства?

5 По каким формулам
определяются плотности распределений
составляющих системы?

6 Что понимают под
условным законом распределения случайной
величины?

7 Какая связь между
плотностью распределения системы,
условной плотностью и плотностью
составляющей системы?

8 Сформулируйте
теоремы, устанавливающие необходимые
и достаточные условия независимости
случайных величин.

9 Что собой
представляют начальные моменты первого
порядка и как они рассчитываются?

10 Что собой
представляют вторые центральные моменты
и как они рассчитываются?

11 Корреляционный
момент системы двух случайных величин
и его свойства.

12 Что понимают под
условным математическим ожиданием?

13 Чем отличается
коэффициент корреляции от корреляционного
момента?

14 Как по коэффициенту
корреляции установить степень связанности
случайных величин, входящих в систему?

15 Какими числовыми
характеристиками характеризуется
система n
случайных величин?

Упражнения

3.1 Система
случайных величин (x,y)
задана рядом распределения. Определите
вероятность того, что случайная величина
x
примет значение равное двум, т.е. P(x=2).

	1	2	3
2	0,1	0,2	0,1
4	0,2	0,3	0,1

3.2 Значения
числовых характеристик системы случайных
величин X
и Y

;

.
Требуется рассчитать корреляционный
момент.

3.3 Система случайных
величин (X,Y)
задана рядом распределения. Определите
М (X) и М(y):

yi xi	2	3	5
2	0.1	0.2	0.1
4	0.2	0.3	0.1

3.4 Плотность
совместного распределения системы двух
случайных величин (X,Y)

.

Найти: а) постоянный
множитель C;
б) плотности распределения составляющих;
в) условные плотности распределения
составляющих.

3.5 При
каком значении коэффициента корреляции
функция условного математического
ожидания M(X/Y)
отображается прямой, параллельной оси
абсцисс?

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Метод статистических уравнений зависимостей

Назначение сервиса . С помощью сервиса можно найти следующие показатели:

• уравнение однофакторной линейной связи, уравнение многофакторной линейной связи;
• коэффициент корреляции однофакторный, индекс корреляции (однофакторный и многофакторный), коэффициент устойчивости связи;

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция

Пример . Известны следующие данные об удельном весе пашни, лугов и пастбищ в сельскохозяйственных угодьях и уровне рентабельности производства сельскохозяйственной продукции по КСП административных районов области за год.
Определите:
Параметры и критерии метода статистических уравнений зависимостей:
а) параметры уравнений зависимости для каждого фактора; отразите их на графиках;
б) коэффициент и индекс корреляции;
в) сумму минимальных отклонений между теоретическими и эмпирическими значениями результативного признака;
г) коэффициент устойчивости связи для каждого фактора;
д) параметры уравнения множественной зависимости и удельный вес влияния каждого из факторов на результативный признак.
Нормативные уровни факторов и результативного показателя:
а) нормативный уровень результативного показателя (уровня рентабельности) при изменении уровня каждого из факторов на единицу.
б) нормативные уровни факторов для обеспечения изменения результативного показателя (уровня рентабельности) на единицу.

Уравнение движения, графики равномерного прямолинейного движения

п.1. Прямолинейное равномерное движение на координатной прямой

Система отсчета, с помощью которой можно описать прямолинейное движение состоит из:
1) тела отсчета; 2) координатной прямой; 3) часов для отсчета времени.
Пусть телом отсчета будет дом.
В начальный момент времени машина стоит в 20 м справа от дома.

Рассмотрим движение машины со скоростью 10 м/с вправо.
Направим координатную прямую параллельно вектору скорости, вправо.

Составим таблицу перемещений за первые 4 секунды:

t, c	0	1	2	3	4
x, м	20	30	40	50	60

Стартуя с точки x₀=20, машина каждую секунду удаляется от дома еще на 10 м.
Пройденный путь за 2 секунды – 10·2=20 м, за 3 секунды – 10·3=30 м, за t секунд s=vt метров. Значит, для произвольного времени t можем записать координату x в виде: begin x=x_0+s=x_0+vt\ x=20+10t end

Если при тех же начальных условиях и направлении координатной прямой машина будет двигаться влево, получим таблицу:

t, c	0	1	2	3	4
x, м	20	10	0	-10	-20

В этом случае координата x в любой момент времени t имеет вид: begin x=x_0-st=x_0-vt\ x=20-10t end Если же машина никуда не едет, её скорость v=0, и координата x=x₀ в любой момент времени t.

п.2. Уравнение прямолинейного равномерного движения

Зависимость координаты тела от времени в механике называют уравнением движения.
Если уравнение движения известно, то мы можем решить основную задачу механики.

п.3. Удобная система отсчета для решения задачи о прямолинейном движении

При решении задачи можно выбрать различные тела отсчета и связать с ними различные системы координат. Как правило, некоторая система отсчета является наиболее удобной для решения данной задачи в том смысле, что в ней уравнение движения выглядит и решается проще, чем в других системах.

При решении задач на прямолинейное движение телом отсчета может быть неподвижная поверхность (земля, пол, стол и т.п.), само движущееся тело или другое тело.
При этом системой координат является координатная прямая, параллельная направлению движения (вектору перемещения) тела, уравнение движения которого мы хотим получить.

Проекции скорости и перемещения на координатную прямую могут быть положительными, равными нулю или отрицательными. Величины скорости и перемещения будут равны длинам соответствующих проекций.

п.4. График движения x=x(t)

Сравним полученное уравнение движения (x(t)=x_0+v_x t) с уравнением прямой (y(x)=kx+b) (см. §38 справочника по алгебре для 7 класса).

В уравнении движения роль углового коэффициента (k) играет проекция скорости (v_x), а роль свободного члена (b) – начальная координата (x_0).

Построим графики зависимости координаты от времени для нашего примера:

x=20+10t – машина движется вправо (в направлении оси OX)
x=20-10t – машина движется влево (в направлении, противоположном оси OX)
x=20 – машина стоит

п.5. Как найти уравнение движения по графику движения?

п.6. График скорости v_x=v_x(t)

Для рассмотренного примера:

п.7. Как найти путь и перемещение по графику скорости?

Пусть тело движется прямолинейно равномерно, зависимость его координаты от времени описывается уравнением: $$ x(t)=x_0+v_x t $$ Тогда в некоторый момент времени (t_1) координата равна (x_1=x_0+v_x t_1).
Несколько позже, в момент времени (t_2gt t_1) координата равна (x_2=x_0+v_x t_2).
Если (v_xgt 0), то пройденный за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1) путь равен разности координат: $$ s=x_2-x_1=(x_0+v_x t_2)-(x_0+v_x t_1)=x_0-x_0+v_x (t_2-t_1)=v_x triangle t $$ В общем случае, т.к. (v_x) может быть и отрицательным, а путь всегда положительный, в формуле нужно поставить модуль: $$ s=|v_x|triangle t $$
Изобразим полученное соотношение на графике скорости:

Проекция скорости (v_x) может быть не только положительной, но и отрицательной.
Если учитывать знак, то произведение: $$ triangle x=v_x triangle t $$ дает проекцию перемещения на ось OX. Знак этого произведения указывает на направление перемещения.

Проекция перемещения может быть как положительной, так и отрицательной или равной 0.

п.8. Задачи

Задача 1. Спортсмен бежит по прямолинейному участку дистанции с постоянной скоростью 8 м/с. Примите (x_0=0) и запишите уравнение движения.
а) Постройте график движения (x=x(t)) и найдите с его помощью, сколько пробежит спортсмен за (t_1=5 с), за (t_2=10 с);
б) постройте график скорости (v=v(t)) и найдите с его помощью, какой путь преодолеет спортсмен за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1)?

По условию (x_0=0, v_x=8).
Уравнение движения: (x=x_0+v_x t=0+8t=8t)
а) Строим график прямой (x=8t) по двум точкам:

По графику находим: begin x_1=x(5)=8cdot 5=40 text<(м)>\ x_2=x(10)=8cdot 10=80 text <(м)>end
б) Скорость (v_x=8) м/с – постоянная величина, её график:

$$ t_1=5 с, t_2=10 с $$ Пройденный путь за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1) равен площади заштрихованного прямоугольника: $$ s=v_x triangle t=8cdot (10-5)=40 text <(м)>$$ Ответ: а) 40 м и 80 м; б) 40 м

Задача 2. Космический корабль движется прямолинейно с постоянной скоростью.
Известно, что через 1 час после старта корабль находился на расстоянии 38 тыс.км от астероида Веста, а через 2 часа после старта – на расстоянии 56 тыс.км.
а) постройте график движения корабля, найдите по графику уравнение движения.
б) на каком расстоянии от астероида находился корабль в начальный момент времени?
в) на каком расстоянии от астероида будет находиться корабль через 4 часа после старта?
г) чему равна скорость корабля в километрах в секунду?

а) Будем откладывать время в часах, а расстояние в тыс.км
Отмечаем точки A(1;38) и B(2;56), проводим через них прямую.
Полученная прямая и есть график движения (x=x(t)).

Найдем скорость корабля (v_x): $$ v_x=frac=frac<56-38><2-1>=18 (text<тыс.км/ч>) $$ Найдем начальную координату (x_0): $$ x_0=x_1-v_x t_1=38-18cdot v_1=20 (text<тыс.км/ч>) $$ Получаем уравнение движения: $$ x(t)=x_0+v_x t, x(t)=20+18t $$ где (x) – в тыс.км, а (t) – в часах.

б) В начальный момент времени корабль находился на расстоянии (x_0=20) тыс.км от астероида.

в) Через 4 часа после старта корабль будет находиться на расстоянии $$ x(4)=20+18cdot 4=92 (text<тыс.км>) $$
г) Переведем скорость в км/с: $$ 18000frac<text<км>><text<ч>>=frac<18000 text<км>><1 text<ч>>=frac<18000 text<км>><3600 text>=5 text <км/c>$$ Ответ:
а) (x(t)=20+18t) ((x) в тыс.км, (t) в часах); б) 20 тыс.км; в) 92 тыс.км; г) 5 км/с

Общие сведения об уравнениях

Уравнения — одна из сложных тем для усвоения, но при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач.

С помощью уравнений описываются различные процессы, протекающие в природе. Уравнения широко применяются в других науках: в экономике, физике, биологии и химии.

В данном уроке мы попробуем понять суть простейших уравнений, научимся выражать неизвестные и решим несколько уравнений. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.

Что такое уравнение?

Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.

Например выражение 3 + 2 = 5 является равенством. При вычислении левой части получается верное числовое равенство 5 = 5 .

А вот равенство 3 + x = 5 является уравнением, поскольку содержит в себе переменную x , значение которой можно найти. Значение должно быть таким, чтобы при подстановке этого значения в исходное уравнение, получилось верное числовое равенство.

Другими словами, мы должны найти такое значение, при котором знак равенства оправдал бы свое местоположение — левая часть должна быть равна правой части.

Уравнение 3 + x = 5 является элементарным. Значение переменной x равно числу 2. При любом другом значении равенство соблюдáться не будет

Говорят, что число 2 является корнем или решением уравнения 3 + x = 5

Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.

Переменную, входящую в уравнение, иначе называют неизвестным. Вы вправе называть как вам удобнее. Это синонимы.

Примечание. Словосочетание «решить уравнение» говорит самó за себя. Решить уравнение означает «уравнять» равенство — сделать его сбалансированным, чтобы левая часть равнялась правой части.

Выразить одно через другое

Изучение уравнений по традиции начинается с того, чтобы научиться выражать одно число, входящее в равенство, через ряд других. Давайте не будем нарушать эту традицию и поступим также.

Рассмотрим следующее выражение:

Данное выражение является суммой чисел 8 и 2. Значение данного выражения равно 10

Получили равенство. Теперь можно выразить любое число из этого равенства через другие числа, входящие в это же равенство. К примеру, выразим число 2.

Чтобы выразить число 2, нужно задать вопрос: «что нужно сделать с числами 10 и 8, чтобы получить число 2». Понятно, что для получения числа 2, нужно из числа 10 вычесть число 8.

Так и делаем. Записываем число 2 и через знак равенства говорим, что для получения этого числа 2 мы из числа 10 вычли число 8:

Мы выразили число 2 из равенства 8 + 2 = 10 . Как видно из примера, ничего сложного в этом нет.

При решении уравнений, в частности при выражении одного числа через другие, знак равенства удобно заменять на слово «есть». Делать это нужно мысленно, а не в самом выражении.

Так, выражая число 2 из равенства 8 + 2 = 10 мы получили равенство 2 = 10 − 8 . Данное равенство можно прочесть так:

2 есть 10 − 8

То есть знак = заменен на слово «есть». Более того, равенство 2 = 10 − 8 можно перевести с математического языка на полноценный человеческий язык. Тогда его можно будет прочитать следующим образом:

Число 2 есть разность числа 10 и числа 8

Число 2 есть разница между числом 10 и числом 8.

Но мы ограничимся лишь заменой знака равенства на слово «есть», и то будем делать это не всегда. Элементарные выражения можно понимать и без перевода математического языка на язык человеческий.

Вернём получившееся равенство 2 = 10 − 8 в первоначальное состояние:

Выразим в этот раз число 8. Что нужно сделать с остальными числами, чтобы получить число 8? Верно, нужно из числа 10 вычесть число 2

Вернем получившееся равенство 8 = 10 − 2 в первоначальное состояние:

В этот раз выразим число 10. Но оказывается, что десятку выражать не нужно, поскольку она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть, тогда получится то, что нам нужно:

Пример 2. Рассмотрим равенство 8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 8. Чтобы выразить число 8 остальные два числа нужно сложить:

Вернем получившееся равенство 8 = 6 + 2 в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно из 8 вычесть 6

Пример 3. Рассмотрим равенство 3 × 2 = 6

Выразим число 3. Чтобы выразить число 3, нужно 6 разделить 2

Вернем получившееся равенство в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно 6 разделить 3

Пример 4. Рассмотрим равенство

Выразим из этого равенства число 15. Чтобы выразить число 15, нужно перемножить числа 3 и 5

Вернем получившееся равенство 15 = 3 × 5 в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 5. Чтобы выразить число 5, нужно 15 разделить 3

Правила нахождения неизвестных

Рассмотрим несколько правил нахождения неизвестных. Возможно, они вам знакомы, но не мешает повторить их ещё раз. В дальнейшем их можно будет забыть, поскольку мы научимся решать уравнения, не применяя эти правила.

Вернемся к первому примеру, который мы рассматривали в предыдущей теме, где в равенстве 8 + 2 = 10 требовалось выразить число 2.

В равенстве 8 + 2 = 10 числа 8 и 2 являются слагаемыми, а число 10 — суммой.

Чтобы выразить число 2, мы поступили следующим образом:

То есть из суммы 10 вычли слагаемое 8.

Теперь представим, что в равенстве 8 + 2 = 10 вместо числа 2 располагается переменная x

В этом случае равенство 8 + 2 = 10 превращается в уравнение 8 + x = 10 , а переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного слагаемого

Наша задача найти это неизвестное слагаемое, то есть решить уравнение 8 + x = 10 . Для нахождения неизвестного слагаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Что мы в принципе и сделали, когда выражали двойку в равенстве 8 + 2 = 10 . Чтобы выразить слагаемое 2, мы из суммы 10 вычли другое слагаемое 8

А сейчас, чтобы найти неизвестное слагаемое x , мы должны из суммы 10 вычесть известное слагаемое 8:

Если вычислить правую часть получившегося равенства, то можно узнать чему равна переменная x

Мы решили уравнение. Значение переменной x равно 2 . Для проверки значение переменной x отправляют в исходное уравнение 8 + x = 10 и подставляют вместо x. Так желательно поступать с любым решённым уравнением, поскольку нельзя быть точно уверенным, что уравнение решено правильно:

В результате получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Это же правило действовало бы в случае, если неизвестным слагаемым было бы первое число 8.

В этом уравнении x — это неизвестное слагаемое, 2 — известное слагаемое, 10 — сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое x , нужно из суммы 10 вычесть известное слагаемое 2

Вернемся ко второму примеру из предыдущей темы, где в равенстве 8 − 2 = 6 требовалось выразить число 8.

В равенстве 8 − 2 = 6 число 8 это уменьшаемое, число 2 — вычитаемое, число 6 — разность

Чтобы выразить число 8, мы поступили следующим образом:

То есть сложили разность 6 и вычитаемое 2.

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 8 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного уменьшаемого

Для нахождения неизвестного уменьшаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Что мы и сделали, когда выражали число 8 в равенстве 8 − 2 = 6 . Чтобы выразить уменьшаемое 8, мы к разности 6 прибавили вычитаемое 2.

А сейчас, чтобы найти неизвестное уменьшаемое x , мы должны к разности 6 прибавить вычитаемое 2

Если вычислить правую часть, то можно узнать чему равна переменная x

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного вычитаемого

Для нахождения неизвестного вычитаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить число 2, мы из уменьшаемого 8 вычли разность 6.

А сейчас, чтобы найти неизвестное вычитаемое x, нужно опять же из уменьшаемого 8 вычесть разность 6

Вычисляем правую часть и находим значение x

Вернемся к третьему примеру из предыдущей темы, где в равенстве 3 × 2 = 6 мы пробовали выразить число 3.

В равенстве 3 × 2 = 6 число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение

Чтобы выразить число 3 мы поступили следующим образом:

То есть разделили произведение 6 на множитель 2.

Теперь представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 3 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множимого.

Для нахождения неизвестного множимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 3 из равенства 3 × 2 = 6 . Произведение 6 мы разделили на множитель 2.

А сейчас для нахождения неизвестного множимого x , нужно произведение 6 разделить на множитель 2.

Вычисление правой части позволяет нам найти значение переменной x

Это же правило применимо в случае, если переменная x располагается вместо множителя, а не множимого. Представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x .

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множителя. Для нахождения неизвестного множителя предусмотрено такое же, что и для нахождения неизвестного множимого, а именно деление произведения на известный множитель:

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 из равенства 3 × 2 = 6 . Тогда для получения числа 2 мы разделили произведение 6 на множимое 3.

А сейчас для нахождения неизвестного множителя x мы разделили произведение 6 на множимое 3.

Вычисление правой части равенства позволяет узнать чему равно x

Множимое и множитель вместе называют сомножителями. Поскольку правила нахождения множимого и множителя совпадают, мы можем сформулировать общее правило нахождения неизвестного сомножителя:

Чтобы найти неизвестный сомножитель, нужно произведение разделить на известный сомножитель.

Например, решим уравнение 9 × x = 18 . Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 18 разделить на известный сомножитель 9

Отсюда .

Решим уравнение x × 3 = 27 . Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 27 разделить на известный сомножитель 3

Отсюда .

Вернемся к четвертому примеру из предыдущей темы, где в равенстве требовалось выразить число 15. В этом равенстве число 15 — это делимое, число 5 — делитель, число 3 — частное.

Чтобы выразить число 15 мы поступили следующим образом:

То есть умножили частное 3 на делитель 5.

Теперь представим, что в равенстве вместо числа 15 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делимого.

Для нахождения неизвестного делимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 15 из равенства . Чтобы выразить число 15, мы умножили частное 3 на делитель 5.

А сейчас, чтобы найти неизвестное делимое x , нужно частное 3 умножить на делитель 5

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x .

Теперь представим, что в равенстве вместо числа 5 располагается переменная x .

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делителя.

Для нахождения неизвестного делителя предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Что мы и сделали, когда выражали число 5 из равенства . Чтобы выразить число 5, мы разделили делимое 15 на частное 3.

А сейчас, чтобы найти неизвестный делитель x , нужно делимое 15 разделить на частное 3

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x .

Итак, для нахождения неизвестных мы изучили следующие правила:

• Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое;
• Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое;
• Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность;
• Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель;
• Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое;
• Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
• Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Компоненты

Компонентами мы будем называть числа и переменные, входящие в равенство

Так, компонентами сложения являются слагаемые и сумма

Компонентами вычитания являются уменьшаемое, вычитаемое и разность

Компонентами умножения являются множимое, множитель и произведение

Компонентами деления являются делимое, делитель и частное

В зависимости от того, с какими компонентами мы будем иметь дело, будут применяться соответствующие правила нахождения неизвестных. Эти правила мы изучили в предыдущей теме. При решении уравнений желательно знать эти правило наизусть.

Пример 1. Найти корень уравнения 45 + x = 60

45 — слагаемое, x — неизвестное слагаемое, 60 — сумма. Имеем дело с компонентами сложения. Вспоминаем, что для нахождения неизвестного слагаемого, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

Вычислим правую часть, получим значение x равное 15

Значит корень уравнения 45 + x = 60 равен 15.

Чаще всего неизвестное слагаемое необходимо привести к виду при котором его можно было бы выразить.

Пример 2. Решить уравнение

Здесь в отличие от предыдущего примера, неизвестное слагаемое нельзя выразить сразу, поскольку оно содержит коэффициент 2. Наша задача привести это уравнение к виду при котором можно было бы выразить x

В данном примере мы имеем дело с компонентами сложения — слагаемыми и суммой. 2x — это первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.

При этом слагаемое 2x содержит переменную x . После нахождения значения переменной x слагаемое 2x примет другой вид. Поэтому слагаемое 2x можно полностью принять за неизвестное слагаемое:

Теперь применяем правило нахождения неизвестного слагаемого. Вычитаем из суммы известное слагаемое:

Вычислим правую часть получившегося уравнения:

Мы получили новое уравнение . Теперь мы имеем дело с компонентами умножения: множимым, множителем и произведением. 2 — множимое, x — множитель, 4 — произведение

При этом переменная x является не просто множителем, а неизвестным множителем

Чтобы найти этот неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Вычислим правую часть, получим значение переменной x

Для проверки найденный корень отправим в исходное уравнение и подставим вместо x

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 3. Решить уравнение 3x + 9x + 16x = 56

Cразу выразить неизвестное x нельзя. Сначала нужно привести данное уравнение к виду при котором его можно было бы выразить.

Приведем подобные слагаемые в левой части данного уравнения:

Имеем дело с компонентами умножения. 28 — множимое, x — множитель, 56 — произведение. При этом x является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Отсюда x равен 2

Равносильные уравнения

В предыдущем примере при решении уравнения 3x + 9x + 16x = 56 , мы привели подобные слагаемые в левой части уравнения. В результате получили новое уравнение 28x = 56 . Старое уравнение 3x + 9x + 16x = 56 и получившееся новое уравнение 28x = 56 называют равносильными уравнениями, поскольку их корни совпадают.

Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.

Проверим это. Для уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы нашли корень равный 2 . Подставим этот корень сначала в уравнение 3x + 9x + 16x = 56 , а затем в уравнение 28x = 56 , которое получилось в результате приведения подобных слагаемых в левой части предыдущего уравнения. Мы должны получить верные числовые равенства

Согласно порядку действий, в первую очередь выполняется умножение:

Подставим корень 2 во второе уравнение 28x = 56

Видим, что у обоих уравнений корни совпадают. Значит уравнения 3x + 9x + 16x = 56 и 28x = 56 действительно являются равносильными.

Для решения уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы воспользовались одним из тождественных преобразований — приведением подобных слагаемых. Правильное тождественное преобразование уравнения позволило нам получить равносильное уравнение 28x = 56 , которое проще решать.

Из тождественных преобразований на данный момент мы умеем только сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, выносить общий множитель за скобки, а также раскрывать скобки. Существуют и другие преобразования, которые следует знать. Но для общего представления о тождественных преобразованиях уравнений, изученных нами тем вполне хватает.

Рассмотрим некоторые преобразования, которые позволяют получить равносильное уравнение

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корень уравнения не изменится, если к обеим частям данного уравнения прибавить (или вычесть из обеих частей) одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение

Вычтем из обеих частей уравнения число 10

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Получили уравнение 5x = 10 . Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x , нужно произведение 10 разделить на известный сомножитель 5.

Отсюда .

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 2

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение мы вычли из обеих частей уравнения число 10 . В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения так же равен 2

Пример 2. Решить уравнение 4(x + 3) = 16

Раскроем скобки в левой части равенства:

Вычтем из обеих частей уравнения число 12

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

В левой части останется 4x , а в правой части число 4

Получили уравнение 4x = 4 . Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x , нужно произведение 4 разделить на известный сомножитель 4

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению 4(x + 3) = 16 и подставим вместо x найденное значение 1

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение 4(x + 3) = 16 мы вычли из обеих частей уравнения число 12 . В результате получили равносильное уравнение 4x = 4 . Корень этого уравнения, как и уравнения 4(x + 3) = 16 так же равен 1

Пример 3. Решить уравнение

Раскроем скобки в левой части равенства:

Прибавим к обеим частям уравнения число 8

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

В левой части останется 2x , а в правой части число 9

В получившемся уравнении 2x = 9 выразим неизвестное слагаемое x

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4,5

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение мы прибавили к обеим частям уравнения число 8. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения так же равен 4,5

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

То есть корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.

Рассмотрим следующее уравнение:

Корень данного уравнения равен 2. Подставим вместо x этот корень и проверим получается ли верное числовое равенство

Получается верное равенство. Значит число 2 действительно является корнем уравнения .

Теперь попробуем поэкспериментировать со слагаемыми этого уравнения, перенося их из одной части в другую, изменяя знаки.

Например, слагаемое 3x располагается в левой части равенства. Перенесём его в правую часть, изменив знак на противоположный:

Получилось уравнение 12 = 9x − 3x . Приведем подобные слагаемые в правой части данного уравнения:

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда x = 2 . Как видим, корень уравнения не изменился. Значит уравнения 12 + 3x = 9x и 12 = 9x − 3x являются равносильными.

На самом деле данное преобразование является упрощенным методом предыдущего преобразования, где к обеим частям уравнения прибавлялось (или вычиталось) одно и то же число.

Мы сказали, что в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 3x было перенесено в правую часть, изменив знак. В реальности же происходило следующее: из обеих частей уравнения вычли слагаемое 3x

Затем в левой части были приведены подобные слагаемые и получено уравнение 12 = 9x − 3x. Затем опять были приведены подобные слагаемые, но уже в правой части, и получено уравнение 12 = 6x.

Но так называемый «перенос» более удобен для подобных уравнений, поэтому он и получил такое широкое распространение. Решая уравнения, мы часто будем пользоваться именно этим преобразованием.

Равносильными также являются уравнения 12 + 3x = 9x и 3x − 9x = −12 . В этот раз в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 12 было перенесено в правую часть, а слагаемое 9x в левую. Не следует забывать, что знаки этих слагаемых были изменены во время переноса

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные выражения.

Сначала рассмотрим примеры, в которых обе части уравнения будут умножаться на одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение

При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала принято упростить это уравнение.

В данном случае мы имеем дело именно с таким уравнением. В целях упрощения данного уравнения обе его части можно умножить на 8:

Мы помним, что для умножения дроби на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число. У нас имеются две дроби и каждая из них умножается на число 8. Наша задача умножить числители дробей на это число 8

Теперь происходит самое интересное. В числителях и знаменателях обеих дробей содержится множитель 8, который можно сократить на 8. Это позволит нам избавиться от дробного выражения:

В результате останется простейшее уравнение

Ну и нетрудно догадаться, что корень этого уравнения равен 4

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

При решении данного уравнения мы умножили обе его части на 8. В результате получили уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения равен 4. Значит эти уравнения равносильны.

Множитель на который умножаются обе части уравнения принято записывать перед частью уравнения, а не после неё. Так, решая уравнение , мы умножили обе части на множитель 8 и получили следующую запись:

От этого корень уравнения не изменился, но если бы мы сделали это находясь в школе, то нам сделали бы замечание, поскольку в алгебре множитель принято записывать перед тем выражением, с которым он перемножается. Поэтому умножение обеих частей уравнения на множитель 8 желательно переписать следующим образом:

Пример 2. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на 15

В левой части множители 15 можно сократить на 15, а в правой части множители 15 и 5 можно сократить на 5

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки в правой части уравнения:

Перенесем слагаемое x из левой части уравнения в правую часть, изменив знак. А слагаемое 15 из правой части уравнения перенесем в левую часть, опять же изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях, получим

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 5

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно. При решении данного уравнения мы умножили обе го части на 15 . Далее выполняя тождественные преобразования, мы получили уравнение 10 = 2x . Корень этого уравнения, как и уравнения равен 5 . Значит эти уравнения равносильны.

Пример 3. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на 3

В левой части можно сократить две тройки, а правая часть будет равна 18

Останется простейшее уравнение . Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 9

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 4. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на 6

В левой части уравнения раскроем скобки. В правой части множитель 6 можно поднять в числитель:

Сократим в обеих частях уравнениях то, что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное x , сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Теперь найдем значение переменной x . Для этого разделим произведение 28 на известный сомножитель 7

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 5. Решить уравнение

Раскроем скобки в обеих частях уравнения там, где это можно:

Умнóжим обе части уравнения на 15

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Сократим в обеих частях уравнения, то что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки там, где это можно:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Не забываем, что во время переноса, слагаемые меняют свои знаки на противоположные:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

Найдём значение x

В получившемся ответе можно выделить целую часть:

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение

Получается довольно громоздкое выражение. Воспользуемся переменными. Левую часть равенства занесем в переменную A , а правую часть равенства в переменную B

Наша задача состоит в том, чтобы убедиться равна ли левая часть правой. Другими словами, доказать равенство A = B

Найдем значение выражения, находящегося в переменной А.

Значение переменной А равно . Теперь найдем значение переменной B . То есть значение правой части нашего равенства. Если и оно равно , то уравнение будет решено верно

Видим, что значение переменной B , как и значение переменной A равно . Это значит, что левая часть равна правой части. Отсюда делаем вывод, что уравнение решено правильно.

Теперь попробуем не умножать обе части уравнения на одно и то же число, а делить.

Рассмотрим уравнение 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 . Решим его обычным методом: слагаемые, содержащие неизвестные, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение x

Подставим найденное значение 2 вместо x в исходное уравнение:

Теперь попробуем разделить все слагаемые уравнения 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 на какое-нибудь число. Замечаем, что все слагаемые этого уравнения имеют общий множитель 2. На него и разделим каждое слагаемое:

Выполним сокращение в каждом слагаемом:

Перепишем то, что у нас осталось:

Решим это уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:

Получили корень 2 . Значит уравнения 15x + 7x + 7 = 35x − 20x + 21 и 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 равносильны.

Деление обеих частей уравнения на одно и то же число позволяет освобождать неизвестное от коэффициента. В предыдущем примере когда мы получили уравнение 7x = 14 , нам потребовалось разделить произведение 14 на известный сомножитель 7. Но если бы мы в левой части освободили неизвестное от коэффициента 7, корень нашелся бы сразу. Для этого достаточно было разделить обе части на 7

Этим методом мы тоже будем пользоваться часто.

Умножение на минус единицу

Если обе части уравнения умножить на минус единицу, то получится уравнение равносильное данному.

Это правило следует из того, что от умножения (или деления) обеих частей уравнения на одно и то же число, корень данного уравнения не меняется. А значит корень не поменяется если обе его части умножить на −1 .

Данное правило позволяет поменять знаки всех компонентов, входящих в уравнение. Для чего это нужно? Опять же, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.

Рассмотрим уравнение . Чему равен корень этого уравнения?

Прибавим к обеим частям уравнения число 5

Приведем подобные слагаемые:

А теперь вспомним про коэффициент буквенного выражения. Что же представляет собой левая часть уравнения . Это есть произведение минус единицы и переменной x

То есть минус, стоящий перед переменной x, относится не к самой переменной x , а к единице, которую мы не видим, поскольку коэффициент 1 принято не записывать. Это означает, что уравнение на самом деле выглядит следующим образом:

Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти х , нужно произведение −5 разделить на известный сомножитель −1 .

или разделить обе части уравнения на −1 , что еще проще

Итак, корень уравнения равен 5 . Для проверки подставим его в исходное уравнение. Не забываем, что в исходном уравнении минус стоящий перед переменной x относится к невидимой единице

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено верно.

Теперь попробуем умножить обе части уравнения на минус единицу:

После раскрытия скобок в левой части образуется выражение , а правая часть будет равна 10

Корень этого уравнения, как и уравнения равен 5

Значит уравнения и равносильны.

Пример 2. Решить уравнение

В данном уравнении все компоненты являются отрицательными. С положительными компонентами работать удобнее, чем с отрицательными, поэтому поменяем знаки всех компонентов, входящих в уравнение . Для этого умнóжим обе части данного уравнения на −1 .

Понятно, что от умножения на −1 любое число поменяет свой знак на противоположный. Поэтому саму процедуру умножения на −1 и раскрытие скобок подробно не расписывают, а сразу записывают компоненты уравнения с противоположными знаками.

Так, умножение уравнения на −1 можно записать подробно следующим образом:

либо можно просто поменять знаки всех компонентов:

Получится то же самое, но разница будет в том, что мы сэкономим себе время.

Итак, умножив обе части уравнения на −1 , мы получили уравнение . Решим данное уравнение. Из обеих частей вычтем число 4 и разделим обе части на 3

Когда корень найден, переменную обычно записывают в левой части, а её значение в правой, что мы и сделали.

Пример 3. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на −1 . Тогда все компоненты поменяют свои знаки на противоположные:

Из обеих частей получившегося уравнения вычтем 2x и приведем подобные слагаемые:

Прибавим к обеим частям уравнения единицу и приведем подобные слагаемые:

Приравнивание к нулю

Недавно мы узнали, что если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

А что будет если перенести из одной части в другую не одно слагаемое, а все слагаемые? Верно, в той части откуда забрали все слагаемые останется ноль. Иными словами, не останется ничего.

В качестве примера рассмотрим уравнение . Решим данное уравнение, как обычно — слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в одной части, а числовые слагаемые, свободные от неизвестных оставим в другой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение переменной x

Теперь попробуем решить это же уравнение, приравняв все его компоненты к нулю. Для этого перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив знаки:

Приведем подобные слагаемые в левой части:

Прибавим к обеим частям 77 , и разделим обе части на 7

Альтернатива правилам нахождения неизвестных

Очевидно, что зная о тождественных преобразованиях уравнений, можно не заучивать наизусть правила нахождения неизвестных.

К примеру, для нахождения неизвестного в уравнении мы произведение 10 делили на известный сомножитель 2

Но если в уравнении обе части разделить на 2 корень найдется сразу. В левой части уравнения в числителе множитель 2 и в знаменателе множитель 2 сократятся на 2. А правая часть будет равна 5

Уравнения вида мы решали выражая неизвестное слагаемое:

Но можно воспользоваться тождественными преобразованиями, которые мы сегодня изучили. В уравнении слагаемое 4 можно перенести в правую часть, изменив знак:

Далее разделить обе части на 2

В левой части уравнения сократятся две двойки. Правая часть будет равна 2. Отсюда .

Либо можно было из обеих частей уравнения вычесть 4. Тогда получилось бы следующее:

В случае с уравнениями вида удобнее делить произведение на известный сомножитель. Сравним оба решения:

Первое решение намного короче и аккуратнее. Второе решение можно значительно укоротить, если выполнить деление в уме.

Тем не менее, необходимо знать оба метода, и только затем использовать тот, который больше нравится.

Когда корней несколько

Уравнение может иметь несколько корней. Например уравнение x(x + 9) = 0 имеет два корня: 0 и −9 .

В уравнении x(x + 9) = 0 нужно было найти такое значение x при котором левая часть была бы равна нулю. В левой части этого уравнения содержатся выражения x и (x + 9) , которые являются сомножителями. Из законов умножения мы знаем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

То есть в уравнении x(x + 9) = 0 равенство будет достигаться, если x будет равен нулю или (x + 9) будет равно нулю.

Приравняв к нулю оба этих выражения, мы сможем найти корни уравнения x(x + 9) = 0 . Первый корень, как видно из примера, нашелся сразу. Для нахождения второго корня нужно решить элементарное уравнение x + 9 = 0 . Несложно догадаться, что корень этого уравнения равен −9 . Проверка показывает, что корень верный:

Пример 2. Решить уравнение

Данное уравнение имеет два корня: 1 и 2. Левая часть уравнения является произведение выражений (x − 1) и (x − 2) . А произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или сомножитель (x − 1) или сомножитель (x − 2) ).

Найдем такое x при котором выражения (x − 1) или (x − 2) обращаются в нули:

Подставляем по-очереди найденные значения в исходное уравнение и убеждаемся, что при этих значениях левая часть равняется нулю:

Когда корней бесконечно много

Уравнение может иметь бесконечно много корней. То есть подставив в такое уравнение любое число, мы получим верное числовое равенство.

Пример 1. Решить уравнение

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения и привести подобные слагаемые, то получится равенство 14 = 14 . Это равенство будет получаться при любом x

Пример 2. Решить уравнение

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения, то получится равенство 10x + 12 = 10x + 12. Это равенство будет получаться при любом x

Когда корней нет

Случается и так, что уравнение вовсе не имеет решений, то есть не имеет корней. Например уравнение не имеет корней, поскольку при любом значении x , левая часть уравнения не будет равна правой части. Например, пусть . Тогда уравнение примет следующий вид

Пусть

Пример 2. Решить уравнение

Раскроем скобки в левой части равенства:

Приведем подобные слагаемые:

Видим, что левая часть не равна правой части. И так будет при любом значении y . Например, пусть y = 3 .

Буквенные уравнения

Уравнение может содержать не только числа с переменными, но и буквы.

Например, формула нахождения скорости является буквенным уравнением:

Данное уравнение описывает скорость движения тела при равноускоренном движении.

Полезным навыком является умение выразить любой компонент, входящий в буквенное уравнение. Например, чтобы из уравнения определить расстояние, нужно выразить переменную s .

Умнóжим обе части уравнения на t

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

В получившемся уравнении левую и правую часть поменяем местами:

У нас получилась формула нахождения расстояния, которую мы изучали ранее.

Попробуем из уравнения определить время. Для этого нужно выразить переменную t .

Умнóжим обе части уравнения на t

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

В получившемся уравнении v × t = s обе части разделим на v

В левой части переменные v сократим на v и перепишем то, что у нас осталось:

У нас получилась формула определения времени, которую мы изучали ранее.

Предположим, что скорость поезда равна 50 км/ч

А расстояние равно 100 км

Тогда буквенное уравнение примет следующий вид

Из этого уравнения можно найти время. Для этого нужно суметь выразить переменную t . Можно воспользоваться правилом нахождения неизвестного делителя, разделив делимое на частное и таким образом определить значение переменной t

либо можно воспользоваться тождественными преобразованиями. Сначала умножить обе части уравнения на t

Затем разделить обе части на 50

Пример 2. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Вычтем из обеих частей уравнения a

Разделим обе части уравнения на b

Теперь, если нам попадется уравнение вида a + bx = c , то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения. Те значения, которые будут подставляться вместо букв a, b, c принято называть параметрами. А уравнения вида a + bx = c называют уравнением с параметрами. В зависимости от параметров, корень будет меняться.

Решим уравнение 2 + 4x = 10 . Оно похоже на буквенное уравнение a + bx = c . Вместо того, чтобы выполнять тождественные преобразования, мы можем воспользоваться готовым решением. Сравним оба решения:

Видим, что второе решение намного проще и короче.

Для готового решения необходимо сделать небольшое замечание. Параметр b не должен быть равным нулю (b ≠ 0) , поскольку деление на ноль на допускается.

Пример 3. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Раскроем скобки в обеих частях уравнения

Воспользуемся переносом слагаемых. Параметры, содержащие переменную x , сгруппируем в левой части уравнения, а параметры свободные от этой переменной — в правой.

В левой части вынесем за скобки множитель x

Разделим обе части на выражение a − b

В левой части числитель и знаменатель можно сократить на a − b . Так окончательно выразится переменная x

Теперь, если нам попадется уравнение вида a(x − c) = b(x + d) , то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения.

Допустим нам дано уравнение 4(x − 3) = 2(x + 4) . Оно похоже на уравнение a(x − c) = b(x + d) . Решим его двумя способами: при помощи тождественных преобразований и при помощи готового решения:

Для удобства вытащим из уравнения 4(x − 3) = 2(x + 4) значения параметров a, b, c, d . Это позволит нам не ошибиться при подстановке:

Как и в прошлом примере знаменатель здесь не должен быть равным нулю (a − b ≠ 0) . Если нам встретится уравнение вида a(x − c) = b(x + d) в котором параметры a и b будут одинаковыми, мы сможем не решая его сказать, что у данного уравнения корней нет, поскольку разность одинаковых чисел равна нулю.

Например, уравнение 2(x − 3) = 2(x + 4) является уравнением вида a(x − c) = b(x + d) . В уравнении 2(x − 3) = 2(x + 4) параметры a и b одинаковые. Если мы начнём его решать, то придем к тому, что левая часть не будет равна правой части:

Пример 4. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Умнóжим обе части на a

В левой части x вынесем за скобки

Разделим обе части на выражение (1 − a)

Линейные уравнения с одним неизвестным

Рассмотренные в данном уроке уравнения называют линейными уравнениями первой степени с одним неизвестным.

Если уравнение дано в первой степени, не содержит деления на неизвестное, а также не содержит корней из неизвестного, то его можно назвать линейным. Мы еще не изучали степени и корни, поэтому чтобы не усложнять себе жизнь, слово «линейный» будем понимать как «простой».

Большинство уравнений, решенных в данном уроке, в конечном итоге сводились к простейшему уравнению, в котором нужно было произведение разделить на известный сомножитель. Таковым к примеру является уравнение 2 (x + 3) = 16 . Давайте решим его.

Раскроем скобки в левой части уравнения, получим 2 x + 6 = 16. Перенесем слагаемое 6 в правую часть, изменив знак. Тогда получим 2 x = 16 − 6. Вычислим правую часть, получим 2x = 10. Чтобы найти x , разделим произведение 10 на известный сомножитель 2. Отсюда x = 5.

Уравнение 2 (x + 3) = 16 является линейным. Оно свелось к уравнению 2x = 10 , для нахождения корня которого потребовалось разделить произведение на известный сомножитель. Такое простейшее уравнение называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. Слово «канонический» является синонимом слов «простейший» или «нормальный».

Линейное уравнение первой степени с одним неизвестным в каноническом виде называют уравнение вида ax = b.

Полученное нами уравнение 2x = 10 является линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. У этого уравнения первая степень, одно неизвестное, оно не содержит деления на неизвестное и не содержит корней из неизвестного, и представлено оно в каноническом виде, то есть в простейшем виде при котором легко можно определить значение x . Вместо параметров a и b в нашем уравнении содержатся числа 2 и 10. Но подобное уравнение может содержать и другие числа: положительные, отрицательные или равные нулю.

Если в линейном уравнении a = 0 и b = 0 , то уравнение имеет бесконечно много корней. Действительно, если a равно нулю и b равно нулю, то линейное уравнение ax = b примет вид 0x = 0 . При любом значении x левая часть будет равна правой части.

Если в линейном уравнении a = 0 и b ≠ 0 , то уравнение корней не имеет. Действительно, если a равно нулю и b равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 5, то уравнение ax = b примет вид 0x = 5 . Левая часть будет равна нулю, а правая часть пяти. А ноль не равен пяти.

Если в линейном уравнении a ≠ 0 , и b равно любому числу, то уравнение имеет один корень. Он определяется делением параметра b на параметр a

Действительно, если a равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 3 , и b равно какому-нибудь числу, скажем числу 6 , то уравнение примет вид .
Отсюда .

Существует и другая форма записи линейного уравнения первой степени с одним неизвестным. Выглядит она следующим образом: ax − b = 0 . Это то же самое уравнение, что и ax = b , но параметр b перенесен в левую часть с противоположным знаком. Такие уравнение мы тоже решали в данном уроке. Например, уравнение 7x − 77 = 0 . Уравнение вида ax − b = 0 называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в общем виде.

В будущем после изучения рациональных выражений, мы рассмотрим такие понятия, как посторонние корни и потеря корней. А пока рассмотренного в данном уроке будет достаточным.

[spoiler title=”источники:”]

http://reshator.com/sprav/fizika/7-klass/uravnenie-dvizheniya-grafiki-ravnomernogo-pryamolinejnogo-dvizheniya/

[/spoiler]

Алгебра и математического начала анализа, 10 класс

Урок №32. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла;
• доказательство тригонометрических тождеств на основе зависимости между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла;
• решение несложных уравнений с использованием зависимости между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.
• Упрощение тригонометрических выражений на основе зависимости между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.

Глоссарий по теме

Тождество – это равенство, верное для всех допустимых значений входящих в него букв (таких, при которых его левая и правая части имеют смысл, а задачи на доказательство таких равенств называют задачами на доказательство тождеств.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим точку В(х;у), лежащую на тригонометрической окружности . Она получена поворотом точки А(1;0) вокруг начала координат на угол .

Синусом угла является ордината точки В(х;у). Косинусом угла является её абсцисса.

Рисунок 1 – точка В на тригонометрической окружности

Образовался прямоугольный треугольник ОВС. По теореме Пифагора

Катет ОС – это абсцисса точки В или , катет ВС- её ордината, или а гипотенуза ОВ – радиус единичной окружности, ОВ=1.Получаем формулу:

(1)

В тригонометрии её называют основным тригонометрическим тождеством. Она связывает синус с косинусом. А это значит, чо зная значения синуса, можно найти значения косинуса и наоборот.

(2)

(3)

В этих равенствах знаки перед корнем определяются по знакам синуса и косинуса.

Пример. Найти , если , .

Выясним знак косинуса. Из условия опрелеляем, что угол в 4 четверти,

Подставим значение в формулу (3), получаем:

Ответ: .

Пример. Могут ли одновременно выполняться равенства и

Чтобы одновременно выполнялись эти равенства, необходимо выполнение условия

. Подставим данные значения в формулу и проверим верно ли равенство: .

;

;

1=1, верно.

Ответ: данные равенства могут выполняться одновременно.

Пример. Известно, что , найти .

Возведём в квадрат левую и правую части равенста:

; учтём, что ,

;

;

.

А какая же зависимость между тангенсом и котангенсом одного угла?

По определению : , .

Перемножим эти равенства и получим формулу, которая связывает тангенс и котангенс:

.

, (4)

и ,

причём угол и

Из этих формул видно, что тангенс и котангенс являются взаимнообратными числами.

Если , то .

Пример. Могут ли одновременно выполняться равенства и ? Подставляем данные значения в формулу (4) и получаем верное равенство.

.

Ответ: данные равенства могут выполняться одновременно.

А есть ли связь между тангенсом и косинусом? Рассмотрим равенство

и обе части возведём в квадрат:. Используя формулы (2) и (3), получаем:

,

, (5)

где

По этой формуле можно находить значение тангенса по заданному значению косинуса и наоборот находить косинус, если известен тангенс.

Пример . Известно, что ; . Найти , и .

Угол в первой четверти, значит все значения положительны. Найдём их по тригонометрическим формулам.

1. ;
2. ;
3. .

Применяя тригонометрические формулы, можно зная одно из чисел , , и , найти остальные три. Эти формулы являются тождествами.

Определение

Равенство, верное для всех допустимых значений входящих в него букв (таких, при которых его левая и правая части имеют смысл), называется тождеством, а задачи на доказательство таких равенств называют задачами на доказательство тождеств.

Рассмотрим некоторые приемы

1. Левую часть приводят к правой, или наоборот правую к левой.
2. Устанавливают то, что разность левой и правой частей равна нулю.

Пример. Доказать тождество:

Преобразуем левую часть:

Левая часть тождества равна правой. Доказано.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найти , если , .

Из условия видим, что угол в 3 четверти, значит . Используем формулу (2):

Ответ: .

Пример 2.

Найти , если , .

Угол находится в 4 четверти, тангенс отрицательный. Подставим данное значение косинуса в формулу (5) и вычислим значение тангенса.

.

Ответ: .

Пример 3.

Доказать тождество:

Преобразуем правую часть:

Правая часть тождества равна левой. Доказано.