Как найти жесткость сечения

Расчет на жесткость при изгибе балок
выполняют исходя из условий жесткости[3]:

,

101

,

где [y] – допускаемое
значение прогиба, [y]=(0,001-0,003)ℓ.
(Здесь ℓ – длина балки). [θ] – допускаемое
значение угла поворота сечения
([θ]=(0,001-0,003) рад).

Рис. 1.4

102

1.3. Задача. Расчет на прочность и жесткость
консольной балки

Для заданной стальной консольной балки
переменной жёсткости (рис. 1.5, а) подобрать
из расчёта на прочность диаметры
сплошного круглого сечения.

Рассчитать величину
прогиба для крайнего правого сечения
и проверить жёсткость балки, если
допускаемое значение прогиба этого
сечения

где l – длина
балки. В случае невыполнения условия
жёсткости подобрать размер поперечного
сечения из этого условия.

Числовые данные:

Решение

Брус работает на изгиб. По условию
задачи требуется провести проектный
расчёт на прочность и проверочный расчёт
на жёсткость. Условие прочности

(1.3)

где

– изгибающий момент;

– осевой момент сопротивления.

Условие жёсткости

(1.4)

где


– прогиб крайнего правого сечения
балки.

Чтобы провести расчёт на прочность,
построим эпюры поперечной силы

и изгибающего момента

.

Реакции жёсткого защемления можно не
определять, так как балка закреплена с
одной стороны.

Разобьём балку на три участка (см.
рис.1.5, а), и на каждом участке методом
сечений (отбрасывая левую часть) определим
поперечную силу

и изгибающий момент

.

103

Рис. 1.5

104

Участок 1:

Участок 2:

при

при

Участок 3:

при

при

Поперечная сила

на третьем участке меняет знак. Определим
экстремальное значение изгибающего
момента

:

По полученным данным строим эпюры
поперечной силы

(см. рис. 1.5, б) и изгибающего момента

(см. рис. 1.5, в).

Проведем расчет на прочность. Так как
жесткость балки переменная, запишем
условие прочности для каждого участка

(1.5)

г

105

де

Тогда из условий (1.5) получим

Принимаем d = 11 см = 110 мм.

Проверим условие жесткости (1.4). Определим
прогиб правого крайнего сечения.
Воспользуемся методом Мора. Для этого
наряду с «грузовым» состоянием (см. рис.
1.5, а) рассмотрим «единичное» состояние,
освободив балку от заданных нагрузок
и нагрузив ее вертикальной единичной
силой в правом крайнем сечении (см. рис.
1.5, г).

Разбивая «грузовое» и «единичное»
состояния на три участка, запишем
аналитические выражения для изгибающих
моментов

и

.

Участок 1:

.

Участок 2:

Участок 3:

106

По формуле (1.1) определяем прогиб правого
крайнего сечения

где

Тогда

Как видим, крайнее правое сечение балки
перемещается вверх. Так как длина балки

то

то есть условие жесткости (1.4) не
выполняется.

Чтобы обеспечить жесткость балки,
определим размер d из
условия (1.4), которое принимает вид

Отсюда

107

Принимаем

Тогда диаметры участков балки

1.4. Задача. Расчет на прочность и жесткость
двухопорной балки

Для заданной стальной двухопорной
балки постоянной жесткости (1.6) подобрать
из расчета на прочность поперечное
сечение в форме двутавра.

Определить методом Мора и проверить
способом Верещагина угол поворота Θ
опорного сечения 1 и прогиб у крайнего
сечения 2 на консольном участке балки.

Проверить жесткость балки в указных
сечениях, если допускаемые значения
угла поворота и прогиба соответственно
равны

где l – длина балки.
Если жесткость балки не обеспечена,
подобрать размер прокатного двутавра
из расчета на жесткость.

Используя рассчитанные значения
перемещений и эпюру изгибающих моментов,
изобразить вид изогнутой оси балки.

Числовые данные:

Рис. 1.6

108

Решение

Брус работает на изгиб. По условию задачи
требуется провести проектный расчет
на прочность и проверочный расчет на
жесткость. Так как жесткость балки
постоянна, то из условия прочности
проектный расчет ведется по соотношению

(1.6)

Для определения изгибающего момента
в опасном сечении балки построим эпюры
поперечной силы

и изгибающего момента

.

Определим реакции

,

и

шарнирных опор А и В (рис. 1.7, а).
Реакция

,
так как горизонтальные и наклонные силы
отсутствуют. Для определения

и

запишем уравнения равновесия:

Проверка:

Разбиваем балку по длине на три участка
(см. рис.1.7, а) и на каждом участке методом
сечений определяем поперечные силы

и изгибающие моменты

.

Участок 1:

Поперечная сила

меняет знак на участке. Определим
экстремальное значение изгибающего
момента

.

109

Р

110

ис. 1.7

Участок 2:

Участок 3:

Строим эпюры

(рис. 1.7, б) и

(рис. 1.7, в) и устанавливаем значение
изгибающего момента в опасном сечении
балки

Из условия (1.6) определяем необходимое
значение момента сопротивления сечения

По сортаменту выбираем двутавр № 18, у
которого

Поскольку

оцениваем перегрузку

ч

111

то допустимо. Таким образом,
окончательно выбираем двутавр № 18, у
которого

Определим угол поворота

сечения 1 и прогиб у сечения 2.

Воспользуемся методом Мора. Для этого
под заданной балкой, то есть под «грузовым»
состоянием “P” (рис. 1.8,
а) изображаем две вспомогательные
системы или два «единичных» состояния
“1” и “2” (см. рис. 1.8, б, в).

2

Рис. 1.8

112

В состоянии “1” балка нагружена
единичным моментом в опорном сечении
1 (см. рис. 1.8, б), а в состоянии “2” –
единичной силой, приложенной в крайнем
сечении 2 консольного участка (см. рис.
1.8, б).

Для определения угла поворота

сечения 1 используются состояния “P”
и “1” балки, а для определения прогиба
сечения 2 – состояния “P”
и “2”.

Определим реакции опор для «единичных»
состояний.

Состояние “1”

Проверка:

Состояние “2”

Проверка:

Разбиваем «грузовое» и «единичные»
состояния на три участка (участки
«грузового» и соответствующего
«единичного» состояний должны быть
одинаковой длины и рассматриваться с
одной стороны см. рис. 1.8, а, б, в).

Для каждого участка составляем
аналитические выражения изгибающих
моментов

«грузового» и

,

соответствующих «единичных» состояний
(k = 1, 2, 3). Эти выражения
представлены в табл. 1.4.

По формуле (1.1) определяем угол поворота

и прогиб

:

113

Таблица 1.4

Границы участков
			0

114

Проверим результаты расчета
перемещений способом Верещагина. Для
этого необходимо построить эпюры
изгибающих моментов «грузового» “P”
и «единичных» “1”, “2” состояний. Эти
эпюры приведены на рис. 1.9, а, б, в
соответственно. Эпюра

была построена ранее при выполнении
проектного расчета на прочность (см.
рис. 1.7, в). Для построения эпюр

и

использованы соответствующие выражения
из табл. 1.4.

Разбиваем эпюры

,

и

на участки одинаковой длины. На каждом
из этих участков эпюру

разбиваем на простые фигуры (см. рис.
1.9, а), для каждой из которых можно
определить площадь и положение центра
тяжести (см. рис. 1.3).

Р

115

ис. 1.9

На участке АС (см. рис. 1.9, а) эпюра
«грузового» состояния представляет
собой несимметричный параболический
сегмент (рис. 1.10, а). Соединив точки А и
С прямой линией, представим эпюру
сочетанием двух простых фигур –
симметричного параболического сегмента
высотой

(см. рис. 1.10, б), площадь

которого положительна, и прямоугольного
треугольника (см. рис.
1.10, в),
площадь

которого отрицательна.

Рис. 1.10
Рис. 1.11

116

На участке СВ (см. рис. 1.9, а) эпюра
«грузового» состояния представляет
собой прямую, пересекающую в некоторой
точке нулевую линию (рис. 1.11, а). Чтобы
не определять положения точки пересечения
этой прямой с нулевой линией, поступают
следующим образом. Соединяют прямыми
линиями точки

и В, а также точки С и

(см. рис. 1.11, а), и представляют эпюру

на этом участке совокупностью двух
простых фигур: треугольника

(см. рис. 1.11, б), площадь которого

положительна, и треугольника

(см. рис. 1.11, в), площадь

которого отрицательна. Вычисляем
площади полученных простых фигур.

Под центром тяжести площади

каждой из фигур определяем значения
моментов

и

на соответствующих эпюрах

и

«единичных» состояний (см. рис. 1.9, б, в).

117

По формуле (1.2) определяем угол поворота

и прогиб

.

Относительная погрешность расчета
прогиба

методом Мора и способом Верещагина
составляет

Таким образом, точность расчета
перемещений вполне приемлема. Знаки
полученных перемещений говорят о том,
что сечение 1 поворачивается по ходу
часовой стрелки, а сечение 2 перемещается
вверх.

Проверим жесткость балки в сечениях 1
и 2. Условия жесткости

,
(1.7)

.
(1.8)

118

По результатам расчетов перемещений

(длина балки

).

Таким образом, условия жесткости
выполнены.

119

Используя рассчитанные значения
перемещений (сечение 1 поворачивается
по ходу часовой стрелки, сечение 2
перемещается вверх), а также эпюру
изгибающих моментов (см. рис. 1.7, в),
изобразим вид изогнутой оси балки. При
этом следует иметь в виду, что на тех
участках, где изгибающий момент
положителен, изогнутая ось обращена
выпуклостью вниз. Если же изгибающий
момент отрицателен, изогнутая ось
обращена выпуклостью вверх. В точках,
где эпюра изгибающего момента меняет
знак, на изогнутой оси имеют место точки
перегиба. Вид изогнутой оси балки
изображен на рис. 1.7, г.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #

  01.05.20222.78 Mб2Учебное пособие 700320.doc

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

10. Изгиб. Расчеты на прочность и жесткость при изгибе

10.1 Чистый изгиб

Расчетные формулы для определения нормальных напряжений при изгибе обычно выводят из рассмотрения плоского чистого изгиба, который является наиболее простым случаем изгиба (рис.10.1).

Рис. 10.1 Плоский чистый изгиб

Чистый изгиб – такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только изгибающие моменты М_х, а Q=0.

Чистый изгиб характерен тем, что из шести компонентов внутренних усилий только изгибающий момент не равен 0, а поперечные и нормальные силы отсутствуют. Для тех участков стержня, где соблюдается это условие, изгибающий момент остается постоянным (М = const). Изгибающий момент численно равен сумме моментов всех внешних сил, действующих на отсеченную часть балки относительно оси Ох. Эпюра изгибающих моментов строится на сжатом волокне. При этом изгибающий момент в балках считается положительным, если сжаты верхние волокна, т. е. элемент изгибается выпуклостью вниз.

Рассмотрим три стороны задачи об изгибе:

1. Статическая сторона задачи:

Рекомендуемые материалы

Условия чистого изгиба могут возникать при различных внешних нагрузках. Характерный пример показан на рисунке (простейший двухопорный стержень, нагруженный силами Р) (рис. 10.2).

Рис. 10.2  Напряжения при чистом изгибе

Рассмотрим условие равновесия, связывающее напряжения и внутренние усилия в поперечном сечении балки (рис. 10.3), опуская индекс x y момента, получим

                        (1)

                 (2)

           (3)

             (4)

Рис. 10.3 Поперечное сечение балки

2. Геометрическая сторона задачи:

При изгибе под действием моментов М ось балки искривляется (установлено экспериментально).

Рис. 10.4 Сетка, предварительно нанесенная на балку

Наблюдая за деформацией сетки, предварительно нанесенной на балку (рис. 10.4), можно заметить, что продольные линии при чистом изгибе искривляются по дуге окружности, контуры поперечных сечений остаются плоскими кривыми, пересекая продольные линии под прямыми углами (рис. 10.5). Это говорит о том, что при чистом изгибе поперечные сечения остаются плоскими и, поворачиваясь, становятся нормальными к изогнутой оси балки.

Фактически это есть доказательство того, что все сечения однородной балки при чистом изгибе не искривляются, а лишь поворачиваются. Это утверждение, будучи точным, для чистого изгиба, в общем случае является приближенным и именуется гипотезой плоских сечений (Бернулли).

Рис. 10.5 Деформация участка балки при чистом изгибе

Поворот плоских поперечных сечений одного относительно другого является результатом образования деформаций при чистом изгибе.

В сжатой области (сверху) волокна укорачиваются, а в зоне растяжения удлиняются. Зона растяжения в сечении балки разделяются нейтральным слоем с радиусом кривизны ρ. Длина нейтрального слоя при изгибе остается неизменной.

Рассмотрим два смежных сечения a и b, расположенных между собой на расстоянии dz (рис. 10.6).

Предположим, что левая часть неподвижна, а правая поворачивается относительно левого участка.

Рис. 10.6 Поворот правого участка относительно левого

При чистом изгибе найдем из рассмотрения деформации участка балки длиной dz относительное удлинение некоторого волокна, находящегося на расстоянии у от нейтрального слоя

                (5)  –относительное удлинение участка

3. Физическая сторона задачи:

При чистом изгибе вводится предположение о ненадавливаемости продольных слоев (рис.10.7).

Рис. 10.7 Деформация участка балки длиной dz

t = 0 – касательное напряжение

s¹0 – нормальное напряжение

Так как t = 0, то это значит, что волокна балки находятся в линейно напряженном состоянии

    (6)   – применяем закон Гука

4. Объединяем три стороны задачи:

(5)®(6) Þ   (7)

  

(7)®(2)Þ 

  – осевой момент инерции, зависит от формы, размеров.

   (8), где Е∙I_x – жесткость сечения при изгибе

Изменяется s по высоте сечения по линейному закону:

Напряжения при изгибе:

    (9) – нормальные напряжения при изгибе.

Рис. 10.8 Сечение не имеющее горизонтальной оси симметрии

Максимальное напряжение при изгибе возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии.

    – осевой момент сопротивления сечения

(9)®(4)Þ  

 – статический момент инерции

Значит, ось х – центральная. Таким образом, центр инерции проходит через центр тяжести сечения.

 – центробежный момент инерции

Через ось у проходит силовая плоскость, значит, оси x и у – главные центральные оси.

Мы получили условия существования прямого изгиба (когда деформирование бруса происходит в силовой плоскости).

Для сечений с двойной симметрией у_нижн=у_верхн=у_max

,  где

 – условие прочности при изгибе.

Рис. 10.9 Эпюра нормальных напряжений и сечение с горизонтальной осью симметрии

Пример (Рис. 10.10)

Подобрать номер двутавра

Рис. 10.10 Расчетная схема

Дано:

P=40 кН

A=1 м

[s]=160 МПа

Решение:

Растяжение – сжатие:

Кручение:

Изгиб:

 – условие «экономичности»

,

Строим эпюры Q и M (рис. 10.11)(эпюра М строится на сжатых волокнах)

Рис. 10.11 Построение эпюр Q и M

Для этого определяем реакции R_A,R_B, используя уравнения равновесия

,

,

 ,

 

, 

Опасное сечение над опорой В

Двутавр №22,

Для №22 перегрузка  

 

Пример (И-1)

Для балки (Рис. 10.12)  из расчета на прочность по нормальным напряжениям подобрать сечение в двух вариантах а) двутавровое б) полый прямоугольник. Проверить прочность балки по касательным напряжениям для двух вариантов. Построить эпюру касательных напряжений для прямоугольного сечения. Определить вертикальное перемещение сечения С. сравнить вес балок с прямоугольным и двутавровым сечением.

Рис. 10.12 Прямоугольное полое сечение и расчетная схема

Рис.10.13 Построение эпюр Q и M

Дано:

Решение:

Y: 

(у правой) 

(M_D правой)

На третьем участке определяем максимум для момента:

Находим величину момента сопротивления:

1)для двутавра

 

подбираем номер двутавра  №22   W_x.22=232·10^-6

Проверка: % (недонапряжение)

Подбираем номер двутавра №20а    W_x.20а=203·10^-6

Проверка: % (перенапряжение)

Т.к. на практике допускаются перенапряжения до 5 %,

 то выбираем № 22

2)для специального сечения

 м

Определим площадь этого сечения:

 м²

Проверим прочность балки по касательным напряжениям для двух вариантов сечений:

1)для двутавра

 м

 м

 Па (меньше τ_доп)

Двутавр удовлетворяет требованиям прочности

2)для прямоугольника

τ₁=0

 Па

 Па

 Па

 Па

Определим вертикальное перемещение в сечении с:

  Па

 Па

1-й участок

2-й участок

3-й участок

4-й участок

5-й участок

Определяем металлоемкость:

Таким образом, балка двутаврового сечения обладает меньшей металлоемкостью, чем балка в виде прямоугольника(рис.10.14 и рис.10.15).

Рис. 10.14 Эпюра касательных напряжений для прямоугольного сечения

Рис. 10.15 Двутаврное сечение балки

10.2 Поперечный изгиб

Поперечный изгиб – это такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают не только изгибающие моменты М_х, но и поперечные силы Q_у. Эта сила представляет собой равнодействующую элементарных распределенных сил, лежащих в плоскости сечения. В этом случае в поперечных сечениях возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Возникновение касательных напряжений τ сопровождается появлением угловых деформаций. Поэтому, кроме основных смещений, свойственных чистому изгибу, каждая элементарная площадка сечения dF получает еще некоторые дополнительные угловые смещения, обусловленные сдвигом (рис. 10.16).

Рис. 10.16 Искривление поперечных сечений

Касательные напряжения распределены по сечению неравномерно, поэтому неравномерно будут распределены и угловые смещения. Это значит, что при поперечном изгибе в отличие от чистого изгиба поперечные сечения не остаются плоскими.

Найдем закон изменения касательных напряжений t_zy=t при поперечном изгибе.

Для этого сначала рассмотрим случаи поперечного изгиба

(рис. 10.17):

Рис. 10.17 Эпюры Q и M при поперечном изгибе

Вычислить касательные напряжения проще всего через парные им напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня. Выделим из бруска элемент длиной dz (рис. 10.18).

Рис. 10.18 Распределение касательных напряжений элемента бруска

При поперечном изгибе моменты, возникающие в левом и правом сечениях элемента, не одинаковы и отличаются на dM. Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии у от нейтрального слоя, разделим элемент на две части и рассмотрим условия равновесия верхней части. Равнодействующая нормальных сил  в левом сечении в пределах заштрихованной площади (отсеченной части) равна

  

Полагая, что справедливо распределение в виде:

, получим

 

,

где через у обозначена текущая ордината площадки dF. Разность нормальных сил в правом и левом сечении должна уравновешиваться касательными силами, возникающими в продольном сечении элемента (рис. 10.19)

Рис. 10.19 Распределение касательных напряжений τ(у) на участке dz

Полученный интеграл представляет собой статистический момент относительно оси х части площади, расположенной выше продольного сечения. Обозначим этот статистический момент через  , тогда

Учитывая, что  

 

Полученная формула носит название формулы Журавского. Она позволяет вычислить касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня.

Полный расчет балки на прочность при поперечном изгибе:

и   ,

где I_х – осевой момент инерции сечения относительно центральной оси х;

      b(y) – ширина живого сечения на уровне у;

      S_х^отсеч – статический момент площади, отсеченной уровнем у.

Пример

Найти закон изменения касательного напряжения t(у)  на уровне у (рис. 10.20).

Рис. 10.20 Расчетная схема

Ещё посмотрите лекцию “Информационные технологии в туризме” по этой теме.

                           

Закон изменения t представляет собой параболу.

2.5. РАСЧЕТЫ НА ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ Иногда наряду с условиями прочности добавляют ограничения на перемещение некоторых элементов конструкции, то есть вводят условие жесткости δmax ≤ [δ], где [δ] – величина допускаемого перемещения (изменение положения в пространстве) некоторого контролируемого сечения. Деформацию растягиваемого или сжимаемого элемента вычисляют по формуле (2. 4) закона Гука. Пример 2.1. Выполнить поверочный и проектный расчеты ступенчатого бруса. По результатам проектного расчета построить эпюру перемещения сечений. Исходные данные представлены в таблице: Решение Разбиваем брус на участки. Границей участка считают: а) точку приложения силового фактора; б) изменение размеров или формы поперечного сечения; в) изменение материала бруса. Брус одним концом защемлен, и в опоре возникает реакция R (рис. 2.5, а). Для нахождения внутренних усилий при подходе слева направо, придется определять опорную реакцию R. Указанную процедуру можно избежать при подходе справа налево, то есть со свободного конца. 1. Поверочный расчет А. Определение внутренних усилий. Применяем метод сечений. Рассекаем брус на две части в произвольном сечении участка I. Отбрасываем одну из частей (левую). Заменяем действие отброшенной части внутренним усилием NI. Внутреннее усилие всегда принимаем положительным, растягивающим; его вектор направлен от сечения (рис. 2.5, б). Уравнение равновесия составляем проецируя все силы на продольную ось x бруса Знак минус указывает на то, что усилие является сжимающим. Аналогично находим внутренние усилия на втором и третьем участках (рис. 2.5, в и г): Строим эпюру внутренних усилий – график, изображающий закон изменения внутренних усилий по длине бруса. Параллельно оси бруса проводим базисную линию (абсциссу графика) и по нормали к ней откладываем найденные выше значения внутренних усилий (ординаты графика) в выбранном масштабе с учетом знака. Положительные значения откладываем выше базисной линии, отрицательные – ниже (рис. 2.5, д). Поскольку в пределах каждого из участков внутренние усилия неизменны, высоты ординат графика – постоянны и огибающие линии (жирные) – горизонтальны. Б. Определение напряжений на каждом из участков: Строим эпюру напряжений. В. Коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу текучести: Вывод: недогружен участок I, перегружен участок III. Для этих участков выполняем проектный расчет. 2. Проектный расчет Из условия прочности при растяжении σ = ≤ [σ] выполняем подбор размеров поперечных сечений I и III участков, предварительно назначив допускаемое напряжение Нормативный коэффициент запаса прочности выбрали из рекомендуемого диапазона значений [nт] = 1,3–2,2. 3. Определение перемещений сечений А. Удлинения каждого из участков Б. Перемещения сечений. За начало отсчета принимаем сечение d. Оно защемлено, его перемещение равно нулю δd = 0. Строим эпюру перемещений. Выводы 1. Выполнен поверочный расчет ступенчатого бруса. Прочность одного из элементов обеспечена; другого – избыточна; третьего – не- достаточна. 2. Из условия прочности при растяжении подобраны площади попе- речных сечений двух элементов конструкции. 3. По результатам проектного расчета вычислены деформации каждого элемента конструкции. Крайнее сечение переместится относительно защемления на 217 мкм в сторону от защемления. Пример 2.2. К стальному брусу постоянного сечения вдоль его оси приложены две силы. По условиям эксплуатации введено ограничение на величину перемещения [δ] концевого сечения С. Из условий прочности и жесткости подобрать размер поперечного сечения. Решение 1. Определение внутренних усилий Покажем возникающую в опоре реакцию R; определение внутренних усилий методом сечений начнем вести со свободного конца. Ось х – про- дольная ось бруса (на рисунке не показана). I участок: ∑ x = 0; − NI + F1 = 0; ⇒ NI = F1 = 40кН. II участок: ∑ x = 0; − NII + F1 − F2 = 0; ⇒ NII = F1 − F2 = 40 − 60 = −20кН . F1 = 40 кН; F2 = 60 кН; a = 0,5 м; [σ] = 180 МПа; [δ] = 1 мм. Строим эпюру внутренних усилий. Опасным является участок I, на котором действует Nmax = – 40 кН (пластичные материалы одинаково сопротивляются деформации растяжения и сжатия). 2. Проектный расчет из условия прочности Из условия прочности при растяжении находим требуемую площадь поперечного сечения стержня 3. Проектный расчет из условия жесткости Перемещение сечения С является суммой двух слагаемых: откуда требуемая площадь поперечного сечения стержня Сравнивая результаты проектных расчетов из условия прочности и жесткости, назначаем большее из двух значений площади поперечного сечения: 2,22 и 1,5 см2, удовлетворяющее обоим условиям: А ≥ 2,22 см2. Пример 2.3. Жесткая балка (ее деформацией пренебречь) подперта стальным стержнем (подкосом). Проверить прочность стержня. Определить допускаемую нагрузку F для заданного размера поперечного сечения стержня. Выполнить проектный расчет из условия прочности и жесткости ([δF] – допускаемая величина перемещения балки в точке приложения силы). Решение 1. Поверочный расчет А. Определение внутреннего усилия в стержне Рассекаем стержень на две части (рис. а). Отбрасываем одну из частей и показываем внешнюю нагрузку F, внутреннее усилие N и две составляющих опорной реакции R (рис. б). Составляем такое уравнение равновесия, в которое не вошли бы опорные реакции. Усилие в стержне сжимающее. Б. Определение напряжения В. Коэффициент запаса прочности Фактический коэффициент запаса 1,06 не входит в рекомендуемый (нормативный) диапазон значений [nт]=1,3−2,3. Вывод: прочность недостаточна. 2. Определение допускаемой нагрузки на конструкцию для заданного размера поперечного сечения стержня Из условия прочности при растяжении σ = ≤ [σ] находим допускаемую нагрузку на стержень [N]≤ A⋅[σ]= 15⋅10−4 ⋅170⋅106 = 255 кН. Здесь допускаемое Нормативный коэффициент запаса по текучести назначили из рекомендуемого диапазона n[ т]=1,3−2,3. Из условия равновесия (см. этап 1) находим связь между допускаемой внешней нагрузкой [F] на конструкцию и внутренним усилием [N] в стержне: 3. Проектный расчет из условия прочности Требуемое значение площади поперечного сечения из условия прочности при растяжении: 4. Проектный расчет из условия жесткости Под действием внешней нагрузки стержень деформируется; сечения балки изменяют свое положение в пространстве. Установим связь между внутренним усилием, деформацией стержня и перемещением заданного сечения конструкции. Покажем схему в исходном и деформированном (пунктирные линии) состояниях (рис. в). Контролируемое перемещение сечения балки в точке D приложения силы δF связано с перемещением узла С точки прикрепления стержня к балке соотношением: Вследствие перемещения узла С стержень укорачивается на Δ￿ = CC′⋅sinα. Деформацию стержня определяем по закону Гука: Здесь ℓ – длина стержня, определяется из схемы нагружения (рис. а). Тогда из условия жесткости конструкции: Сравнивая результаты проектных расчетов из условия прочности и жесткости, назначаем большее из двух значений: 28,2 и 33,3 см2, удовлетворяющее обоим условиям, то есть А ≥ 33,3 см2. Выводы 1. Выполнен поверочный расчет стержня. Прочность элемента конструкции недостаточна. 2. Для заданного размера поперечного сечения нагрузка F, приложенная к конструкции, не должна превышать 42,5 кН. 3. Из условий прочности и жесткости при растяжении найдено значение площади поперечного сечения элемента конструкции, удовлетворяющее обоим условиям: 33,3 см2.