Как найти значащие цифры числа правило

Значащие цифры

Определение 1.6.
Значащими цифрами в записи приближенного
числа называются:

– все ненулевые
цифры;

– нули, содержащиеся
между ненулевыми цифрами;

– нули, являющиеся
представителями сохраненных десятичных
разрядов при округлении.

В следующих примерах
значащие цифры подчеркнуты.

Пример 1.6.
2.305;
0.0357;
0.001123;
0.035299879 = 0.035300.

При округлении
числа 0.035299879 до шести знаков после
запятой получается число 0.035300, в котором
последние два нуля являются значащими.
Если отбросить эти нули, то полученное
число 0.0353 не является равнозначным с
числом 0.035300 приближенным значением
числа 0.035299879, так как погрешности
указанных приближенных чисел отличаются.

Определение 1.7.
Первые n
значащих цифр в записи приближенного
числа называются верными в узком смысле,
если абсолютная погрешность числа не
превосходит половины единицы разряда,
соответствующего n-й
значащей цифре, считая слева направо.

Наряду с данным
определением иногда используется
другое.

Определение 1.8.
Первые n
значащих цифр в записи приближенного
числа называются верными в широком
смысле, если абсолютная погрешность
числа не превосходит единицы разряда,
соответствующего n-й
значащей цифре.

Пример 1.7.
Определить верные цифры приближенного
значения а_p
= 2.721 числа е, если известно, что е = =
2.718281828…

Решение.

Очевидно, что | а_p
– е | = | 2.721 – 2.71828… | < 0.003 < 0.005.
Следовательно, верными являются только
три первые цифры (в узком и широком
смысле), последнюю цифру можно отбросить,
а_р
= 2.72.

Пример 1.8.
Пусть х = 1.10253 ± 0.00009. Верными являются
первые четыре значащие цифры, а цифры
5 и 3 не удовлетворяют определению. В
широком смысле верными являются первые
пять цифр.

Пример 1.9.
При записи следующих физических констант
указаны три верные значащие цифры:

а) гравитационная
постоянная у = 6.67 • 10^-11
Н • м²/кг²;

б) скорость света
в вакууме С = 3.00 • 10⁸
м/с;

в) постоянная
Планка h = 6.63 • 10^-34
Дж • с.

Замечание.
Термин «верные значащие цифры» нельзя
понимать буквально. Например, современное
опытное значение скорости света в
вакууме составляет С = 2.997925 • 10⁸
м/с. Очевидно, что ни одна значащая цифра
в примере 1.9, б не совпадает с соответствующей
точной цифрой, но абсолютная погрешность
меньше половины разряда, соответствующего
последней значащей цифре в записи 3.00 •
10⁸:

|3.00
• 10⁸
– 2.997925
• 10⁸|
< 0.003
• 10⁸
< 0.01
• 10⁸/2
= 0.005
• 10⁸.

Правило округления чисел

Чтобы округлить
число до n
значащих цифр, отбрасывают все цифры,
стоящие справа от n-й
значащей цифры, или, если это нужно для
сохранения разрядов, заменяют их нулями.
При этом:

1) если первая
отброшенная цифра меньше 5, то оставшиеся
десятичные знаки сохраняют без изменения;

2) если первая
отброшенная цифра больше 5, то к последней
оставшейся цифре прибавляют единицу;

3) если первая
отброшенная цифра равна 5 и среди
остальных отброшенных цифр есть
ненулевые, то к последней оставшейся
цифре прибавляют единицу;

4) если первая из
отброшенных цифр равна 5 и все отброшенные
цифры являются нулями, то последняя
оставшаяся цифра оставляется неизменной,
если она четная, и увеличивается на
единицу, если – нечетная (правило четной
цифры).

Это правило
гарантирует, что сохраненные значащие
цифры числа являются верными в узком
смысле, т. е. погрешность округления не
превосходит половины разряда,
соответствующего последней оставленной
значащей цифре. Правило четной цифры
должно обеспечить компенсацию знаков
ошибок.

Пример 1.10.
Приведем примеры округления до четырех
значащих цифр:

а) 3.1415926 = 3.142;

Δ_p
= |3.142 – 3.1415926| < 0.00041 < 0.0005;

б) 1 256 410 = 1 256 000;

Δ_p
= |1 256 000 – 1 256 410| < 500;

в) 2.997925 • 10⁸
=
2.998 • 10⁸;

Δ_p
= |2.998 • 10⁸
– 2.997925 • 10⁸|
= 0.000075 • 10⁸
< 0.0005 • 10⁸.

Следующая теорема
выявляет связь относительной погрешности
числа с числом верных десятичных знаков.

Теорема 1.1.
Если положительное приближенное число
имеет n
верных значащих цифр, то его относительная
погрешность δ не превосходит величины
10^1-n
деленной на первую значащую цифру α_n,:

δ
<10^1-n
/ α_n
(1.11)

Формула (1.11)
позволяет вычислить предельную
относительную погрешность

δ
=10^1-n
/ α_n

(1.12)

Пример 1.11.
Найти относительную и абсолютную
погрешности приближенных чисел: а)
3.142, б) 2.997925 • 10⁸.

Решение.

а) Здесь n
= 4, α_n
= 3. Используем формулу (1.12) для оценки
относительной погрешности: δ =10^1-n
/ α_n
= 0.001/3 ≈
0.00033.

Для определения
абсолютной погрешности применим формулу
(1.10):

Δ_a
= |а_р|
δ_а
= 3.142 * 0.00033 = 0.001.

б) Аналогично
вычислим: n
= 7, α_n
= 2, δ_а
= 10^1-n
/ α_n
= 0.000001/2 = 0.0000005;

Δ_a
= |а_р|
δ_а
= 2.997925
10⁸
• 0.0000005
≈ 150.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Для представления чисел, как правило нет необходимости указывать максимально возможное количество цифр. Например, запись 1999,999 г все-таки правильнее записать 2,0 кг. Т.е. в виде значащих цифр.

Значащие цифры числа — это все цифры от первой слева, не равной нулю, до последней записанной цифры справа. При этом нули, следующие из множителя 10 в степени (n), не учитываются.

1. Число 14,0 имеет три значащие цифры;

2. Число 20 имеет две значащие цифры;

3. Число 140-10E3 имеет три значащие цифры;

4. Число 0,0065 имеет две значащие цифры.

Следует различать записи приближенных чисел по количеству значащих цифр.

Следует различать числа 1,5 и 1,50. Запись 1,5 означает, что верны только цифры целых и десятых; истинное значение числа может быть например 1,52 и 1,47. Запись 1,50 означает, что верны и сотые доли числа; истинное число может быть 1,502 и 1,498, но не 1,518 и не 1,583.

Число, для которого указывается допускаемое откло­нение, должно иметь последнюю значащую цифру того же разряда как и последняя значащая цифра отклонения.

Правильно: 15,0 ±0,2

Неправильно: 15 ± 0,2 или 15.00 ±0,2

Числовые значения величины и ее погрешности (отклонения) целесообразно записывать с указанием одной и той же единицы физических величин.

Числовые значения величин должны указываться в стандартах с одинаковым числом разрядов, которое необходимо для обеспечения требуемых эксплуатационных свойств и качества продукции. Запись числовых значений величин до первого, второго, третьего и т. д. десятичного знака для различных типоразмеров, видов марок продукции одного названия, как правило, должна быть одинаковой.

Данная статья имеет ознакомительный характер.

Литературный источник

1. СТ СЭВ 543-77 “Числа. Правила записи и округления” (настоящий стандарт является обязательным в рамках Конвенции о применении стандартов СЭВ)

Например, число 0.003 – сколько в нем значащих цифр? Или число 0.0000000000000000015 – сколько в нем значащих цифр? бонус за лучший ответ (выдан): 5 кредитов Количество значащих цифр (или же “значащие разряды”) в числе неразрывно связано с понятием требуемая точность, то есть той величины, больше которой она не требуется. Так, если требуемая точность для обоих примеров составляла 0.01, то результат выглядел бы одинаково 0.00 и, значит, числа не содержали значащих цифр. Если бы требуемая точность равнялась 0.0000000000000000001, то ответ был представлен в виде: 0.0030000000000000000 и 0.0000000000000000015. Но в первом случае число будет представлено 17-ю значащими цифрами, а во втором – двумя. Точность можно задавать и количеством значащий цифр. При точности, заданной двумя значащими цифрами, записи имели бы вид 0.0030 и 0.0000000000000000015, а при одной – 0.003 и 0.000000000000000002 (после округления). автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Значащими цифрами в записи приближенного числа являются: все ненулевые цифры; нули между ненулевыми цифрами; нули сохраненных десятичных разрядов при округлении. Примеры: значащие выделены жирным шрифтом 3.207; 0.0523; 0.002311; 0.035299879 ≈ 0.035300. Никит­а1505 [59] 5 лет назад  Значащие цифры это число округленное до нужного вам значения,т.е. допустим 2,567853389 округленное до значения 3 будет 2,56,в цифре 0,003 количество значащих чисел 4. Красн­ое облак­о [248K] более года назад  Все нуди до и после цифр отбрасываем, вот пример число 0,05, значащим будет цифра 5, если ноль между цифрами, то вся цифра будет значащей, например 0,0109, значащая цифра 109. Вот таким образом и узнаем количество значащих цифр. Серге­й 5 [52K] более года назад  Абсолютно все нули, которые находятся спереди (слева), необходимо отбрасывать. Поэтому в числе 0.003 например будет только одна значащая цифра – это три (3). Если же взять длинное число 0.000000000000000001­­5, то принцип таков же. Число нолей не важно, а значащих будут две цифры – это 15. Если бы нуль находился между другими цифрами, то он тоже относился бы к значащим. Чосик [208K] более года назад  Все нули, что идут спереди (слева), следует отбросить. Потому в числе 0.003 будет лишь одна значащая цифра – 3. Если же брать 0.000000000000000001­5, то методика аналогична. Число нулей роли не играют, будут два значащих цифры – 15. Если бы 0 находился между иными числами, то он тоже бы попал к значащим. Но в примерах такого нет, потому все нули отброшены. владс­андро­вич [766K] более года назад  Тут надо знать правило, по которому нули с права и слева отбрасываются, так как они в число значимых цифр не входят, а ноль является значимым если только он располагается между иными цифрами нежели сам ноль. Например в числе: 0.000012, значимым будет только число 12, а в числе 0.0000102, уже значимыми будут числа 102. Знаете ответ?

Содержание

• Правила определения значащих цифр числа
• Правило 1
• Правило 2
• Правило 3
• Правило 4
• Правило 5
• Примеры
• Пример 1
• Ответы
• Пример 2
• Ответить
• Пример 3
• Ответить
• Правила округления чисел
• Упражнение решено
• Решение
• Ссылки

Называется Значимые числа к количеству цифр, содержащихся в мантисса числа. Чем больше у вас цифр, тем точнее известно их количество. Напоминаем, что мантисса – это число, которое сопровождает степень 10, когда число записано в экспоненциальной записи.

Например, возьмем число 0,00376, которое записывается как 3,76 x 10 ^-3. Мантисса равна 3,76, а число состоит из 3 значащих цифр. Число 0,129 также имеет 3 значащих цифры, а число 4,5 – только 2.

А что происходит, когда число целое? Это означает, что он известен с максимально возможной точностью, другими словами, он имеет бесконечную точность. Например, при подсчете людей, животных или таких предметов, как книги и телефоны, результатом будет точное целое число.

Если мы скажем, что в кинотеатре 110 человек смотрят фильм, это точное число, ни много, ни мало, и оно состоит из трех значащих цифр.

Значительные числа обрабатываются по некоторым простым правилам, которые запоминаются после небольшой практики, как мы увидим дальше.

Правила определения значащих цифр числа

Правило 1

Начальные нули не считаются значащими цифрами, поэтому 0,045 и 4,5 имеют две значащие цифры, поскольку они начинают отсчет слева и начиная с первой ненулевой цифры.

Правило 2

Нули после (справа) первой значащей цифры действительно считаются значащей цифрой (если это оправдано точностью измерительного прибора).

Наконец, нули в середине также считаются значащей цифрой.

Правило 3

Для чисел, записанных в экспоненциальном представлении, все цифры в мантиссе значимы, а показатель степени не влияет на точность.

Правило 4

При выполнении операций с десятичными знаками, например при вычислении площадей или других подобных операций, результат должен иметь такое же количество значащих цифр, что и количество с наименьшим количеством значащих цифр, участвовавших в операции. Это правило действует для любых арифметических операций.

Правило 5

Знак числа не влияет на количество его значащих цифр.

Мы сразу же увидим некоторые примеры этого и всех других правил.

Примеры

Пример 1

Найдите, сколько значащих цифр в каждом из этих чисел.

а) 876

б) 1000,68

в) 0,00005026

г) 4.8

д) -6,99

Ответы

а) 876 имеет 3 значащих цифры.

б) 1000,68 имеет 6 значащих цифр, поскольку нули в середине считаются как таковые.

c) Вместо 0,00005026 имеется 4 значащих цифры. Обратите внимание, что 5 нулей слева от 5 не считаются значащими цифрами, тогда как 0 между 5 и 2 считается.

г) 4.8 имеет 2 значащих цифры.

д) -6,99 состоит из 3 значащих цифр.

Пример 2

Обычно измерения проводят с помощью измерительных инструментов, таких как рулетки, часы, термометры, весы и т. Д. Со сколькими значащими цифрами мы должны указывать количества, которые мы измеряем таким образом?

Ответить

Это зависит от оценки инструмента, которым он измеряется. Возьмем пример: измерьте внешний диаметр трубы с помощью градуированной линейки и штангенциркуля.

Нониус – это инструмент, который очень точно измеряет длину, потому что у него очень маленькая шкала, называемая верньер, Это позволяет, так сказать, добиться большей точности при измерении.

Он более точен, чем градуированная линейка, потому что с его помощью мы можем узнать более значащие числа определенной длины.

Вот почему нет смысла сообщать периметр, скажем, 35,88 см, если мы измеряем его рулеткой, поскольку этот инструмент недостаточно точен, чтобы указать такое количество значащих цифр.

Оценка рулетки A определяется по:

Пример 3

Сколько значащих цифр в показании цифрового термометра?

Ответить

Термометр на рисунке показывает трехзначные показания температуры. Однако в показанном измерении 36,6 ºC только первые две цифры слева направо являются точными, поскольку на десятичную дробь влияет погрешность оценки прибора, которая обычно указывается на задней стороне прибора или на ваше руководство по эксплуатации.

Обычно для представленного типа цифрового прибора погрешность оценки составляет 0,1 ºC. Этого достаточно, чтобы быть уверенным, что у вас нет температуры.

Правила округления чисел

При использовании калькулятора для выполнения расчетов с полученными измерениями некорректно давать результат, используя все цифры, которые появляются на экране.

Сохраняются только те, которые точно известны, поскольку только они имеют истинное значение. Затем необходимо округлить результаты, чтобы они соответствовали количеству точно известных цифр. Вот эти правила:

-Если число, следующее за цифрой, которую необходимо скрыть, является равно или больше 5, к этой цифре добавляется 1.

Например, при округлении 3,786 до двух десятичных знаков мы хотим сохранить числа до 8. Поскольку число, следующее за (6), больше 5, 8 становится 8 + 1 = 9, и число остается как 3.79.

-Когда число, следующее за цифрой, которую необходимо сохранить, менее 5, цифра останется прежней.

Если мы хотим округлить 1,27924, чтобы у него было только 3 десятичных разряда, это достигается путем достижения 9, за которым следует 2. Поскольку 2 меньше 5, эти десятичные дроби исчезают, а округленное число остается 1,279.

Упражнение решено

Обеденный стол имеет форму и размеры, указанные на прилагаемом рисунке. Вам предлагается рассчитать его площадь по правилам работы со значащими цифрами.

Решение

Зона стола может быть разделена на центральную прямоугольную зону и два полукруга, по одному с каждой стороны, которые вместе составляют один полный круг.

Мы будем называть A₁ к площади прямоугольника, задаваемой:

К₁ = основание × высота = 2,5 м x 1,0 м = 2,5 м²

Со своей стороны, площадь круга, равная площади 1 полукруга, умноженной на 2, равна:

К₂ = π × радиус²

Диаметр любого из полукругов составляет 1,0 м, поэтому радиус равен 0,50 м. Диаметр также можно использовать напрямую для расчета площади, в этом случае:

К₂ = (π × диаметр²) / 4

В любом слючае:

К₂ = [π x (1,0 м)²] / 4 = 0,785398163 м²

Были использованы все цифры, предоставленные калькулятором. Теперь добавляем A₁ уже₂ для общей площади стола A:

A = (2,5 + 0,785398163) м² = 3,285398163 м²

Поскольку размеры таблицы известны до двух значащих цифр, не имеет смысла выражать результат со всеми десятичными знаками, указанными калькулятором, который никогда не дает количество значащих цифр в результате.

Что вам нужно сделать, так это округлить область так, чтобы в ней было такое же количество значащих цифр, что и размеры таблицы, то есть 2. Таким образом, окончательный результат будет представлен следующим образом:

A = 3,3 м²

Ссылки

1. Бауэр, В. 2011. Физика для инженерии и науки. Том 1. Мак Гроу Хилл.
2. Фигероа, Д. (2005). Серия: Физика для науки и техники. Том 1. Кинематика. Отредактировал Дуглас Фигероа (USB).
3. Fisicalab. Значимые цифры и округление. Получено с: fisicalab.com.
4. Джанколи, Д. 2006. Физика: принципы с приложениями. 6-е. Эд Прентис Холл.
5. Сирс, Земанский. 2016. Университетская физика с современной физикой. 14-го. Ред. Том 1.

Значащие цифры  десятичного числа – это все его цифры, начиная с первой ненулевой слева.

Пример 1

x = 0.002036,    цифры 2036 являются значащими;

x = 2.27×10⁶,     значащими цифрами являются цифры 2, 2, 7;

x = 2270000,     все цифры этого числа являются значащими.

Значащая цифра в записи числа верна, если абсолютная погрешность числа меньше или равна пяти единицам разряда, следующего за этой цифрой.

Пример 2

Определить, сколько верных значащих цифр содержит число:

x = 0.002306 ± 0.00001.

Для определения числа верных значащих цифр запишем x и Dx таким образом, чтобы легко было сравнить разряды этих чисел:

x     = 0.002306, абсолютная погрешность Dx = 0.00001.

x     = 0.002306,

Dx  = 0.00001.

Третья значащая цифра (0) не может быть верной, так как она одного порядка с погрешностью. Верными могут быть цифры, которые стоят перед ней (2, 3). Цифра 3 будет верной, если Dx £ 0.00005. В нашем случае это условие выполнено, следовательно, 2, 3 – верные значащие цифры.

Цифры в записи числа, следующие за верными, называются сомнительными.

Пример 3

x     = 1.121 ± 0.003;

x     = 1.121;

Dx  = 0.003.

В числе x = 1.121 три верные значащие цифры (1, 1, 2) и одна сомнительная (1).

Пример 4

x     = 0.002306 ± 0.00007;

x     = 0.002306;

Dx  = 0.00007.

В числе x = 0.002306 одна верная значащая цифра (2), три сомнительные (3, 0, 6).

Пример 5

x     = 12.3 ± 0.5;

x     = 12.3;

Dx  =   0.5.

В числе x = 12.3 три значащие цифры, две верные значащие цифры (1, 2), одна сомнительная (3).

Пример 6

x     = 12.3 ± 0.8;

x     = 12.3;

Dx  =   0.8.

В числе x = 12.3 одна верная значащая цифра (1), две сомнительные (2, 3).

При записи абсолютной и относительной погрешностей используют, как правило, одну-две значащие цифры. Приближенные числа принято записывать следующим образом: сначала записывают все верные значащие цифры, затем одну-две сомнительные. То есть в записи приближенного числа, как правило, число значащих цифр на одну-две больше, чем число верных значащих цифр.

Практическое правило. Одна верная значащая цифра в записи числа соответствует приблизительно относительной погрешности 10 %. И наоборот, относительная погрешность 10 % соответствует приблизительно одной верной значащей цифре. Две верные значащие цифры соответствуют относительной погрешности 1 %, три верные значащие цифры – относительной погрешности 0.1 %.