Как найти значение аргумента логарифма

Объясним проще. Например, (log_{2}{8}) равен степени, в которую надо возвести (2), чтоб получить (8). Отсюда понятно, что (log_{2}{8}=3).

Примеры:		(log_{5}{25}=2)		т.к. (5^{2}=25)
		(log_{3}{81}=4)		т.к. (3^{4}=81)
		(log_{2})(frac{1}{32})(=-5)		т.к. (2^{-5}=)(frac{1}{32})

Аргумент и основание логарифма

Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:

Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание – подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».

Как вычислить логарифм?

Например, вычислите логарифм:  а) (log_{4}{16})     б) (log_{3})(frac{1}{3})     в) (log_{sqrt{5}}{1})     г) (log_{sqrt{7}}{sqrt{7}})      д) (log_{3}{sqrt{3}})

а) В какую степень надо возвести (4), чтобы получить (16)? Очевидно во вторую. Поэтому: 

(log_{4}{16}=2)

б) В какую степень надо возвести (3), чтобы получить (frac{1}{3})? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени).

(log_{3})(frac{1}{3})(=-1)

в) В какую степень надо возвести (sqrt{5}), чтобы получить (1)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

(log_{sqrt{5}}{1}=0)

г) В какую степень надо возвести (sqrt{7}), чтобы получить (sqrt{7})? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.

(log_{sqrt{7}}{sqrt{7}}=1)

д) В какую степень надо возвести (3), чтобы получить (sqrt{3})? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень – это степень (frac{1}{2}).

(log_{3}{sqrt{3}}=)(frac{1}{2})

Пример: Вычислить логарифм (log_{4sqrt{2}}{8})

Решение:

(log_{4sqrt{2}}{8}=x)		Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма: (log_{a}{c}=b)       (Leftrightarrow)       (a^{b}=c)
((4sqrt{2})^{x}=8)		Что связывает (4sqrt{2}) и (8)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить степенью двойки: (4=2^{2})         (sqrt{2}=2^{frac{1}{2}})         (8=2^{3})
({(2^{2}cdot2^{frac{1}{2}})}^{x}=2^{3})		Слева воспользуемся свойствами степени: (a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}) и ((a^{m})^{n}=a^{mcdot n})
(2^{frac{5}{2}x}=2^{3})		Основания равны, переходим к равенству показателей
(frac{5x}{2})(=3)		Умножим обе части уравнения на (frac{2}{5})
(x=1,2)		Получившийся корень и есть значение логарифма

Ответ: (log_{4sqrt{2}}{8}=1,2)

Зачем придумали логарифм?

Чтобы это понять, давайте решим уравнение: (3^{x}=9). Просто подберите (x), чтобы равенство сработало. Конечно, (x=2).

А теперь решите уравнение: (3^{x}=8).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.

Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как (x=log_{3}{8}).

Хочу подчеркнуть, что (log_{3}{8}), как и любой логарифм – это просто число. Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: (1,892789260714…..)

Пример: Решите уравнение (4^{5x-4}=10)

Решение:

(4^{5x-4}=10)		(4^{5x-4}) и (10) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма. Воспользуемся определением логарифма: (a^{b}=c)       (Leftrightarrow)       (log_{a}{c}=b)
(log_{4}{10}=5x-4)		Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева
(5x-4=log_{4}{10})		Перед нами линейное уравнение. Перенесем (4) вправо. И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.
(5x=log_{4}{10}+4)		Поделим уравнение на 5
(x=)(frac{log_{4}{10}+4}{5})		Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

Ответ: (frac{log_{4}{10}+4}{5})

Десятичный и натуральный логарифмы

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы ((a>0, aneq1)). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

То есть, (ln{a}) это то же самое, что и (log_{e}{a}), где (a) – некоторое число.

То есть, (lg{a}) это то же самое, что и (log_{10}{a}), где (a) – некоторое число.

Основное логарифмическое тождество

У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:

Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.

Вспомним краткую запись определения логарифма:

если     (a^{b}=c),    то   (log_{a}{c}=b)

То есть, (b) – это тоже самое, что (log_{a}{c}). Тогда мы можем в формуле (a^{b}=c) написать (log_{a}{c}) вместо (b). Получилось (a^{log_{a}{c}}=c) – основное логарифмическое тождество.

Остальные свойства логарифмов вы можете найти здесь. С их помощью можно упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами, которые «в лоб» посчитать сложно.

Пример: Найдите значение выражения (36^{log_{6}{5}})

Решение:

(36^{log_{6}{5}}=)		Сразу пользоваться свойством (a^{log_{a}{c}}=c) мы не можем, так как в основании степени и в основании логарифма – разные числа. Однако мы знаем, что (36=6^{2})
(=(6^{2})^{log_{6}{5}}=)		Зная формулу ((a^{m})^{n}=a^{mcdot n}), а так же то, что множители можно менять местами, преобразовываем выражение
(=6^{2cdotlog_{6}{5}}=6^{log_{6}{5}cdot2}=(6^{log_{6}{5}})^{2}=)		Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством.
(=5^{2}=25)		Ответ готов.

Ответ: (25)

Как число записать в виде логарифма?

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что (log_{2}{4}) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать (log_{2}{4}). 

Но (log_{3}{9}) тоже равен (2), значит, также можно записать (2=log_{3}{9})  . Аналогично и с (log_{5}{25}), и с (log_{9}{81}), и т.д. То есть, получается  

(2=log_{2}{4}=log_{3}{9}=log_{4}{16}=log_{5}{25}=log_{6}{36}=log_{7}{49}…)

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как (log_{2}{8}), или как (log_{3}{27}), или как (log_{4}{64})… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

(3=log_{2}{8}=log_{3}{27}=log_{4}{64}=log_{5}{125}=log_{6}{216}=log_{7}{343}…)

И с четверкой:

(4=log_{2}{16}=log_{3}{81}=log_{4}{256}=log_{5}{625}=log_{6}{1296}=log_{7}{2401}…)

И с минус единицей:

(-1=) (log_{2})(frac{1}{2})(=) (log_{3})(frac{1}{3})(=) (log_{4})(frac{1}{4})(=) (log_{5})(frac{1}{5})(=) (log_{6})(frac{1}{6})(=) (log_{7})(frac{1}{7})(…)

И с одной третьей:

(frac{1}{3})(=log_{2}{sqrt[3]{2}}=log_{3}{sqrt[3]{3}}=log_{4}{sqrt[3]{4}}=log_{5}{sqrt[3]{5}}=log_{6}{sqrt[3]{6}}=log_{7}{sqrt[3]{7}}…)

И так далее.

Пример: Найдите значение выражения (frac{log_{2}{14}}{1+log_{2}{7}})

Решение:

(frac{log_{2}{14}}{1+log_{2}{7}})(=)		Превращаем единицу в логарифм с основанием (2): (1=log_{2}{2})
(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{2}+log_{2}{7}})(=)		Теперь пользуемся свойством логарифмов: (log_{a}{b}+log_{a}{c}=log_{a}{(bc)})
(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{(2cdot7)}})(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{14}})(=)		В числителе и знаменателе одинаковые числа – их можно сократить.
(=1)		Ответ готов.

Ответ: (1)

Смотрите также:
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства

Логари́фм числа по основанию (от др.-греч. λόγος, «отношение» + ἀριθμός «число»^[1]) определяется^[2] как показатель степени, в которую надо возвести основание , чтобы получить число . Обозначение: , произносится: «логарифм по основанию ».

Из определения следует, что нахождение равносильно решению уравнения . Например, , потому что .

Вычисление логарифма называется логарифми́рованием. Числа и чаще всего вещественные, но существует также теория комплексных логарифмов.

Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определили их широкое использование для существенного упрощения трудоёмких вычислений^[3]. При переходе «в мир логарифмов» умножение заменяется на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня преобразуются соответственно в умножение и деление на показатель степени. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов, «сократив труд астронома, удвоило его жизнь»^[4].

Определение логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые опубликовал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, расширенные и уточнённые другими математиками, повсеместно использовались для научных и инженерных расчётов более трёх веков, пока не появились электронные калькуляторы и компьютеры.

Со временем выяснилось, что логарифмическая функция незаменима и во многих других областях человеческой деятельности: решение дифференциальных уравнений, классификация значений величин (например, частота и интенсивность звука), аппроксимация различных зависимостей, теория информации, теория вероятностей и т. д. Эта функция относится к числу элементарных, она обратна по отношению к показательной функции. Чаще всего используются вещественные логарифмы с основаниями (двоичный), число Эйлера e (натуральный) и (десятичный логарифм).

Вещественный логарифм[править | править код]

Логарифм вещественного числа по определению есть решение уравнения . Случай интереса не представляет, поскольку тогда при это уравнение не имеет решения, а при любое число является решением; в обоих случаях логарифм не определён. Аналогично заключаем, что логарифм не существует при нулевом или отрицательном ; кроме того, значение показательной функции всегда положительно, поэтому следует исключить также случай отрицательного . Окончательно получаем^[5]:

Как известно, показательная функция (при выполнении указанных условий для ) существует, монотонна и каждое значение принимает только один раз, причём диапазон её значений содержит все положительные вещественные числа^[6]. Отсюда следует, что значение вещественного логарифма положительного числа всегда существует и определено однозначно.

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов:

Свойства[править | править код]

Основное логарифмическое тождество[править | править код]

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество^[7]:

Следствие: из равенства двух вещественных логарифмов следует равенство логарифмируемых выражений. В самом деле, если , то , откуда, согласно основному тождеству: .

Логарифмы единицы и числа, равного основанию[править | править код]

Два равенства, очевидных из определения логарифма:

Логарифм произведения, частного от деления, степени и корня[править | править код]

Приведём сводку формул в предположении, что все значения положительны^[8]:

	Формула	Пример	Доказательство
Произведение
Частное от деления
Степень			Доказательство
Степень в основании			Доказательство
Корень			Доказательство
Корень в основании			Доказательство

Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные значения переменных, например:

Формулы для логарифма произведения без труда обобщаются на произвольное количество сомножителей:

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел с помощью логарифмических таблиц^[⇨] производилось по следующему алгоритму:

1. найти в таблицах логарифмы чисел ;
2. сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения ;
3. по логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня.

Замена основания логарифма[править | править код]

Логарифм по основанию можно преобразовать^[5] в логарифм по другому основанию :

Следствие (при ) — перестановка основания и логарифмируемого выражения:

См. пример такой перестановки в разделе десятичный логарифм.

Коэффициент в формуле замены основания называется модулем перехода от одного основания к другому^[9].

Неравенства[править | править код]

Значение логарифма положительно тогда и только тогда, когда числа лежат по одну сторону от единицы (то есть либо оба больше единицы, либо оба меньше). Если же лежат по разные стороны от единицы, то логарифм отрицателен^[10].

Любое неравенство для положительных чисел можно логарифмировать. При этом, если основание логарифма больше единицы, то знак неравенства сохраняется, а если основание меньше единицы, знак неравенства меняется на противоположный^[10].

Другие тождества и свойства[править | править код]

Если выражения для основания логарифма и для логарифмируемого выражения содержат возведение в степень, для упрощения можно применить следующее тождество:

где — вещественные числа,

Это тождество сразу получается, если в логарифме слева заменить основание на по вышеприведённой формуле замены основания. Следствия:

Ещё одно полезное тождество:

Для его доказательства заметим, что логарифмы левой и правой частей по основанию совпадают (равны ), а тогда, согласно следствию из основного логарифмического тождества, левая и правая части тождественно равны. Прологарифмировав предыдущее тождество по произвольному основанию , получаем ещё одно тождество «обмена основаниями»:

Логарифмическая функция[править | править код]

Основные характеристики[править | править код]

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию . Она определена при . Область значений: . Эта кривая часто называется логарифмикой^[11]. Из формулы замены основания логарифма видно, что графики логарифмических функций с разными основаниями, бо́льшими единицы, отличаются один от другого только масштабом по оси ; графики для оснований, меньших единицы, являются их зеркальным отражением относительно горизонтальной оси.

Из определения следует, что логарифмическая зависимость есть обратная функция для показательной функции , поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (см. рисунок). Как и показательная, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций.

Функция является строго возрастающей при (см. далее графики) и строго убывающей при . График любой логарифмической функции проходит через точку . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Ось ординат () является вертикальной асимптотой, поскольку:

при ;

при .

Производная логарифмической функции равна:

С точки зрения алгебры, логарифмическая функция осуществляет (единственно возможный) изоморфизм мультипликативной группы положительных вещественных чисел и аддитивной группы всех вещественных чисел. Другими словами, логарифмическая функция есть единственное (определённое для всех положительных значений аргумента) непрерывное решение функционального уравнения^[12]:

Натуральный логарифм[править | править код]

Из приведённой выше общей формулы производной для натурального логарифма получаем особенно простой результат:

По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Они нередко появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических зависимостей (например, распределения простых чисел) и т. п.

Проинтегрировав формулу для производной в интервале от до , мы получаем:

Другими словами, натуральный логарифм равен площади под гиперболой для указанного интервала x.

Неопределённый интеграл от натурального логарифма легко найти интегрированием по частям:

В математическом анализе и теории дифференциальных уравнений большую роль играет понятие логарифмической производной функции :

Разложение в ряд и вычисление натурального логарифма[править | править код]

Разложим натуральный логарифм в ряд Тейлора вблизи единицы:

(Ряд 1)

Этот ряд, называемый «рядом Меркатора», сходится при . В частности:

Формула ряда 1 непригодна для практического расчёта логарифмов из-за того, что ряд сходится очень медленно и только в узком интервале. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:

(Ряд 2)

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа , ибо тогда по абсолютной величине меньше единицы. Данный алгоритм уже пригоден для реальных численных расчётов значений логарифмов, однако не является наилучшим с точки зрения трудоёмкости. Существуют более эффективные алгоритмы^[13].

Десятичный логарифм[править | править код]

Логарифмы по основанию 10 (обозначение: ) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Они обладают преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа легко определить^[14]:

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на . Например, . Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от до ^[14].

Связь с натуральным логарифмом^[15]:

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным^[16]. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

Предельные соотношения[править | править код]

Приведём несколько полезных пределов, связанных с логарифмами^[17]:

Другие свойства[править | править код]

Комплексный логарифм[править | править код]

Определение и свойства[править | править код]

Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный. На практике используется почти исключительно натуральный комплексный логарифм, который обозначается и определяется как решение уравнения (другие, эквивалентные данному, варианты определения приведены ниже).

В поле комплексных чисел решение этого уравнения, в отличие от вещественного случая, не определено однозначно. Например, согласно тождеству Эйлера, ; однако также . Это связано с тем, что показательная функция вдоль мнимой оси является периодической (с периодом )^[19], и одно и то же значение функция принимает бесконечно много раз. Таким образом, комплексная логарифмическая функция является многозначной.

Комплексный нуль не имеет логарифма, поскольку комплексная экспонента не принимает нулевого значения. Ненулевое можно представить в показательной форме:

Тогда находится по формуле^[20]:

Здесь  — вещественный логарифм,  — произвольное целое число. Отсюда вытекает:

Из формулы видно, что у одного и только одного из значений мнимая часть находится в интервале . Это значение называется главным значением комплексного натурального логарифма^[11]. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается . Иногда через также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви. Если  — вещественное число, то главное значение его логарифма совпадает с обычным вещественным логарифмом.

Из приведённой формулы также следует, что вещественная часть логарифма определяется следующим образом через компоненты аргумента:

На рисунке показано, что вещественная часть как функция компонентов центрально-симметрична и зависит только от расстояния до начала координат. Она получается вращением графика вещественного логарифма вокруг вертикальной оси. С приближением к нулю функция стремится к .

Логарифм отрицательного числа находится по формуле^[20]:

Примеры значений комплексного логарифма[править | править код]

Приведём главное значение логарифма () и общее его выражение () для некоторых аргументов:

Следует быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

— ошибка, которая, однако, косвенно указывает на то, что значения, отличающиеся на , являются логарифмами одного и того же числа.
Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа — значение из нижележащей ветви (). Причина ошибки — неосторожное использование свойства , которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

Комплексная логарифмическая функция и риманова поверхность[править | править код]

В комплексном анализе вместо рассмотрения многозначных функций на комплексной плоскости принято иное решение: рассматривать функцию как однозначную, но определённую не на плоскости, а на более сложном многообразии, которое называется римановой поверхностью^[21]. Комплексная логарифмическая функция также относится к этой категории: её образ (см. рисунок) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных в виде спирали. Эта поверхность непрерывна и односвязна. Единственный нуль у функции (первого порядка) получается при . Особые точки: и (точки разветвления бесконечного порядка)^[22].

В силу односвязности риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей^[23] для комплексной плоскости без точки .

Аналитическое продолжение[править | править код]

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. Пусть кривая начинается в единице, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке кривой можно определить по формуле^[22]:

Если  — простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например:

Главная ветвь логарифмической функции непрерывна и дифференцируема на всей комплексной плоскости, кроме отрицательной части вещественной оси, на которой мнимая часть скачком меняется на . Но этот факт есть следствие искусственного ограничения мнимой части главного значения интервалом . Если рассмотреть все ветви функции, то непрерывность имеет место во всех точках, кроме нуля, где функция не определена. Если разрешить кривой пересекать отрицательную часть вещественной оси, то первое такое пересечение переносит результат с ветви главного значения на соседнюю ветвь, а каждое следующее пересечение вызывает аналогичное смещение по ветвям логарифмической функции^[22] (см. рисунок).

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма^[19]:

Для любой окружности , охватывающей точку :

Интеграл берётся в положительном направлении (против часовой стрелки). Это тождество лежит в основе теории вычетов.

Можно также определить аналитическое продолжение комплексного логарифма с помощью вышеприведённых рядов: ряда 1 или ряда 2, — обобщённых на случай комплексного аргумента. Однако из вида этих рядов следует, что в единице сумма ряда равна нулю, то есть ряд относится только к главной ветви многозначной функции комплексного логарифма. Радиус сходимости обоих рядов равен 1.

Связь с обратными тригонометрическими и гиперболическими функциями[править | править код]

Поскольку комплексные тригонометрические функции связаны с экспонентой (формула Эйлера), то комплексный логарифм как обратная к экспоненте функция связан с обратными тригонометрическими функциями^[24][25]:

Гиперболические функции на комплексной плоскости можно рассматривать как тригонометрические функции мнимого аргумента, поэтому и здесь имеет место связь с логарифмом^[25]:

 — обратный гиперболический синус

 — обратный гиперболический косинус

 — обратный гиперболический тангенс

 — обратный гиперболический котангенс

Исторический очерк[править | править код]

Предшественники[править | править код]

Идейным источником и стимулом применения логарифмов послужил тот факт (известный ещё Архимеду^[26]), что при перемножении степеней их показатели складываются^[27]: . Индийский математик VIII века Вирасена, исследуя степенные зависимости, опубликовал таблицу целочисленных показателей (то есть, фактически, логарифмов) для оснований 2, 3, 4^[28].

Решающий шаг был сделан в средневековой Европе. Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел, а также извлечением корней. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной^[26]. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, упростятся также возведение в степень и извлечение корня.

Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» (1544) Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для практической реализации своей идеи^[29][30]. Главной заслугой Штифеля является переход от целых показателей степени к произвольным рациональным^[31] (первые шаги в этом направлении сделали Николай Орем в XIV веке и Никола Шюке в XV веке).

Джон Непер и его «удивительная таблица логарифмов»[править | править код]

В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1′. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. Теорию логарифмов Непер изложил в другой своей книге «Построение удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), изданной посмертно в 1619 году его сыном Робертом.

Судя по документам, техникой логарифмирования Непер владел уже к 1594 году^[32]. Непосредственной целью её разработки было облегчить Неперу сложные астрологические расчёты^[33]; именно поэтому в таблицы были включены только логарифмы тригонометрических функций.

Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение; например, логарифм синуса он определил следующим образом^[34]:

Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать.

В современных обозначениях кинематическую модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением^[35]:

,

где M — масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10 000 000.
То есть логарифм есть такая функция , скорость роста которой обратно пропорциональна .

Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию , то она связана с натуральным логарифмом следующим образом^[35]:

Очевидно, , то есть логарифм «полного синуса» (соответствующего 90°) есть нуль — этого и добивался Непер своим определением. Также он хотел, чтобы все логарифмы были положительны; нетрудно убедиться, что это условие для выполняется. .

Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма, например:

Дальнейшее развитие[править | править код]

Как вскоре обнаружилось, из-за ошибки в алгоритме все значения таблицы Непера содержали неверные цифры после шестого знака^[36]. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики. Кеплер в изданный им астрономический справочник 1620 года вставил восторженное посвящение Неперу (не зная, что изобретатель логарифмов уже скончался). В 1624 году Кеплер опубликовал свой собственный вариант логарифмических таблиц (лат. Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos)^[37]. Использование логарифмов позволило Кеплеру относительно быстро завершить многолетний труд по составлению Рудольфинских таблиц, которые закрепили успех гелиоцентрической астрономии.

Спустя несколько лет после книги Непера появились логарифмические таблицы, использующие более близкое к современному понимание логарифма. Лондонский профессор Генри Бригс издал 14-значные таблицы десятичных логарифмов (1617), причём не для тригонометрических функций, а для произвольных целых чисел до 1000 (7 лет спустя Бригс увеличил количество чисел до 20000). В 1619 году лондонский учитель математики Джон Спайделл (англ. John Speidell) переиздал логарифмические таблицы Непера, исправленные и дополненные так, что они фактически стали таблицами натуральных логарифмов. У Спайделла тоже были и логарифмы самих чисел до 1000 (причём логарифм единицы, как и у Бригса, был равен нулю) — хотя масштабирование до целых чисел Спайделл сохранил^[38][39].

Вскоре выяснилось, что место логарифмов в математике не ограничивается расчётными удобствами. В 1629 году бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан показал, что площадь под гиперболой меняется по логарифмическому закону^[40]. В 1668 году немецкий математик Николас Меркатор (Кауфман) открыл и опубликовал в своей книге Logarithmotechnia разложение логарифма в бесконечный ряд^[41]. По мнению многих историков, появление логарифмов оказало сильное влияние на многие математические концепции, в том числе:

1. Формирование и признание общего понятия иррациональных и трансцендентных чисел^[42].
2. Появление показательной функции и общего понятия числовой функции, числа Эйлера, развитие теории разностных уравнений^[43].
3. Начало работы с бесконечными рядами^[41].
4. Общие методы решения дифференциальных уравнений различных типов.
5. Существенное развитие теории численных методов, требуемых для вычисления точных логарифмических таблиц.

До конца XIX века общепринятого обозначения логарифма не было, основание a указывалось то левее и выше символа log, то над ним. В конечном счёте математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания — ниже строки, после символа log: . Краткие обозначения наиболее употребительных видов логарифма — для десятичного и натурального — появились намного раньше сразу у нескольких авторов и закрепились окончательно также к концу XIX века^[44].

Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса (1685) и Иоганна Бернулли (1694), а окончательно было узаконено Эйлером^[36]. В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма^[45]. Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

Расширение логарифма на комплексную область[править | править код]

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма^[46]. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между Д’Аламбером и Эйлером. Бернулли и Д’Аламбер считали, что следует определить , в то время как Лейбниц доказывал, что логарифм отрицательного числа есть мнимое число^[46]. Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной^[47]. Хотя спор продолжался (Д’Аламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), подход Эйлера к концу XVIII века получил всеобщее признание.

В XIX веке, с развитием комплексного анализа, исследование комплексного логарифма стимулировало новые открытия. Гаусс в 1811 году разработал полную теорию многозначности логарифмической функции^[48], определяемой как интеграл от . Риман, опираясь на уже известные факты об этой и аналогичных функциях, построил общую теорию римановых поверхностей.

Разработка теории конформных отображений показала, что меркаторская проекция в картографии, возникшая ещё до открытия логарифмов (1550), может быть описана как комплексный логарифм^[49].

Некоторые практические применения[править | править код]

Логарифмические зависимости в науке и природе[править | править код]

Логарифмические функции распространены чрезвычайно широко как в математике, так и в естественных науках. Часто логарифмы появляются там, где проявляется самоподобие, то есть некоторый объект последовательно воспроизводится в уменьшенном или увеличенном масштабе; см. ниже такие примеры, как рекурсивные алгоритмы, фракталы или раковины моллюсков. Приведём несколько примеров использования логарифмов в разнообразных науках.

Теория чисел[править | править код]

Распределение простых чисел асимптотически подчиняется простым законам^[50]:

1. Число простых чисел в интервале от 1 до приблизительно равно .
2. k-е простое число приблизительно равно .

Ещё более точные оценки используют интегральный логарифм.

Нередко возникает задача грубо оценить очень большое число — например, факториал или число Мерсенна с большим номером. Для этого было бы удобно приближённо записать число в экспоненциальном формате, то есть в виде мантиссы и десятичного порядка.

Задача легко решается с применением логарифмов. Рассмотрим для примера 44-е число Мерсенна .

Следовательно, мантисса результата равна Окончательно получим:

Математический анализ[править | править код]

Логарифмы нередко возникают при нахождении интегралов и при решении дифференциальных уравнений. Примеры:

Теория вероятностей и статистика[править | править код]

В статистике и теории вероятностей логарифм входит в ряд практически важных вероятностных распределений. Например, логарифмическое распределение^[51] используется в генетике и физике. Логнормальное распределение часто встречается в ситуациях, когда исследуемая величина есть произведение нескольких независимых положительных случайных переменных^[52].

Закон Бенфорда («закон первой цифры») описывает вероятность появления определённой первой значащей цифры при измерении реальных величин.

Для оценки неизвестного параметра широко применяются метод максимального правдоподобия и связанная с ним логарифмическая функция правдоподобия^[53].

Флуктуации при случайном блуждании описывает закон Хинчина-Колмогорова.

Информатика и вычислительная математика[править | править код]

В информатике: единица измерения информации (бит). Например, для хранения в компьютере натурального числа (в обычном для компьютера двоичном формате) понадобится битов.

Информационная энтропия — мера количества информации.

Оценка асимптотической сложности рекурсивных алгоритмов, основанных на принципе «разделяй и властвуй»^[54] — таких как быстрая сортировка, быстрое преобразование Фурье и т. п.

Обычно числовые значения хранятся в памяти компьютера или специализированного процессора в формате с плавающей запятой. Если, однако, сложение и вычитание для группы данных выполняются редко, а умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня — гораздо чаще, тогда имеет смысл рассмотреть возможность хранения таких данных в логарифмическом формате. В этом случае вместо числа хранится логарифм его модуля и знак, и скорость вычислений благодаря свойствам логарифма значительно повышается^[55]. Логарифмический формат хранения был использован в нескольких системах, где доказал свою эффективность^[56][57].

Фракталы и размерность[править | править код]

Логарифмы помогают выразить размерность Хаусдорфа для фрактала^[58]. Например, рассмотрим треугольник Серпинского, который получается из равностороннего треугольника последовательным удалением аналогичных треугольников, линейный размер каждого из которых на каждом этапе уменьшается вдвое (см. рисунок). Размерность результата определяется по формуле:

Механика и физика[править | править код]

Принцип Больцмана в статистической термодинамике — одна из важнейших функций состояния термодинамической системы, характеризующая степень её хаотичности.

Формула Циолковского применяется для расчёта скорости ракеты.

Химия и физическая химия[править | править код]

Уравнение Нернста связывает окислительно-восстановительный потенциал системы с активностями веществ, входящих в электрохимическое уравнение, а также со стандартными электродными потенциалами окислительно-восстановительных пар.

Логарифм используется в определениях таких величин, как показатель константы автопротолиза (самоионизации молекулы) и водородный показатель (кислотности раствора).

Теория музыки[править | править код]

Чтобы решить вопрос о том, на сколько частей делить октаву, требуется отыскать рациональное приближение для . Если разложить это число в непрерывную дробь, то третья подходящая дробь (7/12) позволяет обосновать классическое деление октавы на 12 полутонов^[59].

Психология и физиология[править | править код]

Человеческое восприятие многих явлений хорошо описывается логарифмическим законом.

Закон Вебера — Фехнера — эмпирический психофизиологический закон, заключающийся в том, что интенсивность ощущения пропорциональна логарифму интенсивности стимула^[60] — громкости звука^[61], яркости света.

Закон Фиттса: чем дальше или точнее выполняется движение организма, тем больше коррекции необходимо для его выполнения и тем дольше эта коррекция исполняется^[62].

Время на принятие решения при наличии выбора можно оценить по закону Хика^[en][63].

Биология[править | править код]

Ряд биологических форм хорошо соответствует логарифмической спирали^[64] — кривой, у которой касательная в каждой точке образует с радиус-вектором в этой точке один и тот же угол, то есть прирост радиуса на единицу длины окружности постоянен:

Разное[править | править код]

Число кругов игры по олимпийской системе равно двоичному логарифму от числа участников соревнований, округлённому до ближайшего большего целого^[65].

Логарифмическая шкала[править | править код]

Неравномерная шкала десятичных логарифмов используется во многих областях науки. Для обеспечения вычислений она наносится на логарифмические линейки. Другие примеры:

• Акустика — уровень звукового давления и интенсивность звука (децибелы)^[66].
• Отношение сигнал/шум в радиотехнике и электросвязи^[67].
• Астрономия — шкала яркости звёзд^[68].
• Химия — активность водородных ионов (pH)^[69].
• Сейсмология — шкала Рихтера^[70].
• Оптическая плотность — мера поглощения света прозрачными объектами или отражения света непрозрачными объектами^[71].
• Фотографическая широта — характеристика светочувствительного материала^[72].
• Шкала выдержек и диафрагм в фотографии^[73].
• Теория музыки — нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков^[59].
• Сельское хозяйство — основная гидрофизическая характеристика почвы^[74].
• Теория управления — логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика^[75].

Логарифмическая шкала особенно удобна в тех случаях, когда уровни измеряемой величины образуют геометрическую прогрессию, поскольку тогда их логарифмы распределены с постоянным шагом. Например, 12 полутонов классической октавы образуют (приближённо) такую прогрессию^[59] со знаменателем . Аналогично, каждый уровень шкалы Рихтера соответствует в 10 раз большей энергии, чем предыдущий уровень. Даже при отсутствии геометрической прогрессии логарифмическая шкала может пригодиться для компактного представления широкого диапазона значений измеряемой величины.

Логарифмическая шкала также широко применяется для оценки показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.

Логарифмические таблицы[править | править код]

Из свойств логарифма следует, что вместо трудоёмкого умножения многозначных чисел достаточно найти (по таблицам) и сложить их логарифмы, а потом по тем же таблицам (раздел «Антилогарифмы») выполнить потенцирование, то есть найти значение результата по его логарифму. Выполнение деления отличается только тем, что логарифмы вычитаются.

Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (1614), и они содержали только логарифмы тригонометрических функций, причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Йост Бюрги, друг Кеплера (1620). В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже — с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремикера)^[76].

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого^[77]. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов^[78]:

1. Брадис В. М. Четырёхзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.
3. Бремикер К. Логарифмо-тригонометрические таблицы. М.: Наука, 1962. 664 с. Классические шестизначные таблицы, удобные для расчётов с тригонометрическими функциями.
4. Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6-е издание, М.: Наука, 1972.
5. Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.
6. Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел. М., 1952.

Логарифмическая линейка[править | править код]

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов служившую незаменимым расчётным орудием инженера^[79]. С помощью этого компактного инструмента можно быстро производить все алгебраические операции, в том числе с участием тригонометрических функций^[80]. Точность расчётов — около 3 значащих цифр.

Вариации и обобщения[править | править код]

Логарифм как решение уравнения можно определить не только для вещественных и комплексных чисел.

• Можно ввести логарифмическую функцию для кватернионов (см. функции кватернионного переменного). Однако большинство алгебраических свойств логарифма при этом теряется^[81] — например, логарифм произведения не равен сумме логарифмов, и это снижает практическую ценность такого обобщения.
• Если  — элементы конечной абелевой мультипликативной группы, то логарифм в указанном смысле (если он существует) называется дискретным. Чаще всего он рассматривается для конечной группы кольца вычетов по некоторому модулю, где называется индексом по этому модулю^[82] и играет важную роль в криптографии. В циклических группах логарифм существует, если его основание является первообразным корнем этой группы.
• Матричный логарифм: можно определить логарифмы также для матриц^[83].
• Можно определить p-адический логарифм^[en] для некоторых p-адических чисел^[84].
• Для работы с очень большими числами вводится понятие суперлогарифма, связанное не с возведением в степень, а с операцией более высокого порядка: тетрацией.

См. также[править | править код]

• Антилогарифм
• Логарифмический вычет
• Логарифмический признак сходимости
• Логарифмическая бумага
• Полилогарифм
• Порядок величины
• Список интегралов от логарифмических функций

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Теория логарифмов

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
  • Переиздание: АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.
• Шахмейстер А. Х. Логарифмы. Пособие для школьников, абитуриентов и преподавателей. — изд. 5-е. — СПб.: МЦНМО, 2016. — 288 с. — ISBN 978-5-4439-0648-5.

История логарифмов

• Абельсон И. Б. Рождение логарифмов. — М.—Л.: Гостехиздат, 1948. — 231 с.
• Гиршвальд Л. Я. История открытия логарифмов. — Харьков: Изд-во Харьковского университета, 1952. — 33 с.
• Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. — М.: Наука, 1987. — Т. I. Арифметика. Алгебра. Анализ. — 432 с.
• Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
• Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. — М.: Наука, 1981. — Т. II.
• Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов. — Петроград: Научное книгоиздательство, 1923. — 78 с.

Содержание:

Множеством (областью) значений показательной функции

Такое значение аргумента единственное, так как если и то по следствию из п. 2.3 верно равенство c = d. Это единственное значение аргумента с называют логарифмом числа b по основанию a и обозначают т. е.

Таким образом, равенство означает, что Сформулируем определение логарифма еще раз.

Определение:

Пусть Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Приведем несколько примеров:

Нахождение логарифма числа называется логарифмированием.

Обозначим Тогда, согласно определению логарифма, верно равенство т. е.

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством.

Согласно этому тождеству, например, имеем: Основное логарифмическое тождество позволяет данное число b представить в виде степени с любым положительным основанием.

Например:

История логарифма

Логарифмы были изобретены в 1614 г. шотландским математиком Д. Непером (1550—1617) и независимо от него на 6 лет позднее швейцарским механиком и математиком И. Бюрги (1552—1632).

Оба исследователя хотели найти новое удобное средство арифметических вычислений, но их определения логарифма различны и у обоих не похожи на современные. Понимание логарифма как показателя степени с данным основанием впервые появилось в XVIII в. в работах английского математика В. Гардинера (1742). Широкому распространению этого определения логарифма более других содействовал Jl. Эйлер, который впервые применил в этой связи и термин «основание».

Термин «логарифм» принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов логос — отношение и аритмос — число. Слово «логарифм», таким образом, означало «число отношения».

Пример:

а) Записать число в виде логарифмов по основанию

б) Записать число -5 в виде логарифмов по основанию и х

Решение:

а) По определению логарифма имеем:

б) По определению логарифма имеем:

Пример:

Между какими целыми числами находится число

Решение:

Пусть тогда верно равенство Поскольку По свойствам показательной функции с основанием 2 имеем Значит,находится между числами 4 и 5.

Ответ:

Пример:

Решить уравнение:

Решение:

а) Поскольку то по определению логарифма имеем

б)

Ответ:

Логарифмы по основанию 10 имеют особое название — десятичные логарифмы. Десятичный логарифм числа b обозначается . Таким образом,

▲ Особое обозначение и название имеют не только десятичные логарифмы, но и логарифмы, основанием которых является число е:

Такие логарифмы называются натуральными.

Логарифмы по основанию е позволяют выражать математическую зависимость, которая характеризует многие биологические, химические, физические, социальные и другие процессы. По-видимому, этим объясняется и название «натуральные логарифмы», т. е. естественные (этот термин ввел в 1659 г. итальянский математик П. Менголи). Натуральные и десятичные логарифмы имели большое значение для облегчения вычислений в XVII—XX вв. до создания мощных современных вычислительных средств. Натуральные логарифмы имеют и большое теоретическое значение.▲

Основные свойства логарифмов

Теорема:

При любых положительных значениях b и с верно равенство:

Доказательство:

Докажем утверждение (1).

По основному логарифмическому тождеству

по свойствам степени

Таким образом, имеем:

Отсюда по следствию из п. 2.3 получаем равенство (1).

Докажем утверждение (2). Преобразуем левую часть равенства (2):

I используя равенство (1), получим

Заметим, что равенство (2) можно доказать тем же способом, что и равенство (1), — сделайте это самостоятельно.

Равенство (1) означает, что логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.

Равенство (2) означает, что логарифм дроби с положительными. числителем и знаменателем равен разности логарифмов числителя и знаменателя.

Замечание. Равенства, доказанные в теореме 1 (как и другие равенства этого пункта), являются тождествами. Действительно, каждое из них превращается в верное числовое равенство при любых значениях a, b и с, для которых входящие в равенство выражения имеют смысл.

Теорема:

При любых значениях s и положительных значениях b верно равенство

Доказательство:

По основному логарифмическому тождеству

по свойствам степени

Таким образом, имеем

Отсюда по следствию из п. 2.3 получаем равенство (3).

Следствие 1. Если числа одного знака, то имеет место равенство

Следствие 2. При любом целом имеет место равенство

Пример №1

Найти значение выражения:

Решение:

Ответ:

Теорема:

При любых значениях и верно равенство

Доказательство:

Способ 1. По основному логарифмическому тождеству имеем

Прологарифмировав левую и правую части этого тождества по основанию а, получим

Применив тождество (3), имеем

Так как Поэтому левую и правую части этого равенства можно разделить на В результате получим тождество (6).

Способ 2. Пусть тогда Логарифмируя обе части этого равенства по основанию а, получаем

Откуда имеем

Итак,

Тождество (6) называется формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Обычно в таблицах, калькуляторах даются значения логарифмов по основанию 10, а когда нужно найти значение логарифма по другому основанию, пользуются формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Следствием из тождества (6) при основании а = с является формула

(убедитесь в этом самостоятельно).

Пример №2

Найти значение выражения, если

Решение:

согласно тождеству (6) имеем

используя тождество (3), получим

используя тождество (1), имеем

с учетом условия получим

6)

на основании тождеств (6) и (7) получим

по тождеству (3) и с учетом условия имеем

Ответ:

Следствие 3. Имеют место тождества:

Тождества (8) и (9) можно доказать, используя уже доказанные тождества из этого пункта.

Пример №3

Упростить выражение

Решение:

Используя определение логарифма, представим числа 1 и 3 в виде логарифмов по основанию 2:

по свойству (2) логарифмов имеем

воспользовавшись формулой (7), получим

Ответ:

Развитие науки, прежде всего астрономии, уже в XVI в. привело к необходимости громоздких вычислений при умножении и делении многозначных чисел. Эти вычислительные проблемы были в некоторой степени решены с открытием логарифмов и созданием таблиц логарифмов.

Логарифмическая функция

Рассмотрим выражение где х — переменная, а — постоянная, Это выражение имеет смысл при любом значении х > 0 и не имеет смысла при любом значении Таким образом, естественной областью определения выражения является множество всех положительных действительных чисел, т. е. промежуток

Определение:

Логарифмической функцией называется функция вида где а — постоянная,

Область определения логарифмической функции — это естественная область определения выражения т.е. множество

Графики некоторых логарифмических функций изображены на рисунке 34. Эти изображения (как и для графиков других функций) можно было получить, строя их по точкам. Отметим некоторые особенности изображенных графиков.

График функции расположен справа от оси Оу и пересекает ось Ох в точке (1; 0).

Когда значения аргумента х уменьшаются, т. е. приближаются к нулю, то график этой функции «приближается» к оси Оу и при этом «круто» опускается вниз. А когда значения аргумента х увеличиваются, то график «медленно» поднимается вверх (ем. рис. 34). Аналогично для любой функции при а > 1 (рис. 35). График функции расположен справа от оси Оу и пересекает ось Ох в точке (1; 0) (см. рис. 34).

Заметим, что когда значения аргумента х уменьшаются, т. е. приближаются к нулю, то график этой функции «приближается» к оси Оу и при этом «круто» поднимается вверх. А когда значения аргумента х увеличиваются, то график «медленно» опускается вниз. Аналогично для любой функции при 0 < а < 1 (рис. 36).

Теорема (о свойствах логарифмической функции )

1. Областью определения логарифмической функции является интервал
2. Множеством (областью) значений логарифмической функции является множество R всех действительных чисел.
3. Логарифмическая функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.
4. График логарифмической функции пересекается с осью абсцисс в точке (1; 0) и не пересекается с осью ординат.
5. Значение аргумента х = 1 является нулем логарифмической функции.
6. 6. При а > 1 логарифмическая функция принимает отрицательные значения на интервале (0; 1) и принимает положительные значения на интервале И при 0 < а < 1 логарифмическая функция принимает отрицательные значения на интервале и принимает положительные значения на интервале (0; 1).
7. Логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной.
8. При а > 1 логарифмическая функция возрастает на всей области определения. При 0 < а < 1 логарифмическая функция убывает на всей области определения.
9. Логарифмическая функция не является периодической.

Изображение графика логарифмической функции позволяет наглядно представить эти свойства.

Множество (область) значений логарифмической функции — проекция ее графика на ось Оу, а на рисунках 35 и 36 видно, что эта проекция есть ось Оу. Это значит, что для любой точки лежащей на оси Оу, найдется такая точка принадлежащая интервалу (свойство 2).

Множество (область) значений логарифмической функции — это множество всех действительных чисел, а в нем нет ни наименьшего числа, ни наибольшего (свойство 3).

График логарифмической функции проходит через точку (1; 0) и лежит в правой полуплоскости (свойства 4, 5).

При а > 1 график логарифмической функции лежит в IV координатном угле, когда и лежит в I координатном угле, когда При 0 < а < 1 график логарифмической функции лежит в I координатном угле, когда и лежит в IV координатном угле, когда (свойство 6).

Область определения логарифмической функции — интервал поэтому логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической (свойства 7, 9).

На рисунке 35 видно, что при а > 1 логарифмическая функция возрастает на области определения, а на рисунке 36 видно, что при 0 < а < 1 логарифмическая функция убывает на области определения (свойство 8).

Пусть точка лежит на графике функции Это значит, что верно числовое равенство следовательно, согласно определению логарифма верно числовое равенство В свою очередь, последнее равенство означает, что точка лежит на графике функции

Заметим, что точки симметричны относительно прямой Таким образом, каждой точке М на графике функции соответствует симметричная ей относительно этой прямой точка N на графике функции и наоборот. Следовательно, графики функций симметричны относительно прямой у = х (рис. 37).

Последнее утверждение дает возможность, зная график функции изобразить график функции (не используя построение по точкам).

▲ Симметричность графиков функций относительно прямой у=х означает, что эти функции взаимно обратны.

Функции называются взаимно обратными, если для любого верно равенство и для любого верно равенство

Покажем, что показательная и логарифмическая функции с одним, и тем же основанием а взаимно обратны.

Пусть Тогда

Для любого

Для любого

Покажем, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х.

Пусть точка лежит на графике функции Это означает, что верно числовое равенство Тогда по определению взаимно обратных функций А равенство означает, что точка лежит на графике функции

Таким образом, каждой точке М на графике функции соответствует симметричная относительно прямой у = х точка N на графике функции и наоборот. Следовательно, графики функций симметричны относительно прямой

• Заказать решение задач по высшей математике

Логарифмы и их свойства

В предыдущем параграфе вы находили корни уравнения вида  Например:  А какой корень имеет уравнение  Графическим методом можно убедиться, что оно имеет единственное решение (рис. 28). Это число больше 2 и меньше 3, но как его записать?

Для записи корней показательного уравнения используют понятие «логарифм» и соответствующий символ. Корнем уравнения  является число, которое записывают в виде  и читают «логарифм числа 5 по основанию 2».

Рассмотрим общий случай-.

Пусть  — действительные числа;  Если  то число называют логарифмом числа  по основанию 

Логарифмом числа  по основанию  называют показатель степени, в которую нужно возвести число  чтобы получить 

Логарифм числа  по основанию  обозначают символом 

Примеры:

 так как 

  так как  так как 

Основанием логарифма может быть произвольное положительное число, кроме единицы. Как известно, если  то область определения показательной функции  — множество всех действительных чисел  а область значений — множество всех положительных действительных чисел. Поэтому при таких значениях  для любого положительного числа  найдётся такое  что  Другими словами: при любом основании  где  существует логарифм каждого положительного числа. Логарифм отрицательного числа и нуля не существует.

Полезно помнить, что для каждого 

  (почему?).

Нахождение логарифма числа называют логарифмированием. Эта операция обратная к операции возведения в степень с соответствующим основанием.

Согласно определению логарифма, если  Это разные записи одной зависимости. Из них следует равенство

которое называют основным логарифмическим тождеством. Оно правильное для любых положительных 

Например: 

С помощью основного логарифмического тождества любое положительное число можно представить в виде степени, имеющей заданное основание.

Например: 

Докажем ещё несколько важных свойств логарифмов (для положительных 

1) По основному логарифмическому тождеству и основному свойству степени

Итак,  — показатель, в который нужно возвести число  чтобы получить  то есть

Эту формулу можно обобщить на три и более множителя:

Кратко говорят: логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей.

2)    Доказательство аналогичное предыдущему:

отсюда

Кратко говорят: логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

3)    Возведём обе части тождества  в степень 

Итак,

Доказанные формулы можно использовать и справа налево, например:

В логарифмах переходить от одного основания к другому можно при помощи формулы перехода

где 

Докажем эту формулу. Поскольку положительные числа  и  равны, то равны и их логарифмы по основанию  Поэтому

 откуда и следует доказываемая формула.

Обратите внимание! Как следствия из формулы перехода можно получить следующие формулы:

Докажите их самостоятельно.

Пример №4

Упростите выражение  

Решение:

Сведём все логарифмы к основанию 5. Имеем:

Особенно часто используют логарифмы по основаниям 10 и  их называют десятичными и натуральными логарифмами. Вместо  пишут соответственно 

 Рассмотренные в параграфе свойства логарифмов правиль-1 ные при условии, что переменные принимают положительные значения. С помощью модуля можно расширить использование некоторых формул. Например:

 Для преобразования выражений, решения уравнений и неравенств используют и другие формулы, содержащие логарифмы:

Докажите их самостоятельно.

Пример №5

Вычислите: 

Решение:

Пример №6

Решите уравнение: 

Решение:

Пусть  тогда  Подставим  в данное уравнение.

Получим:  отсюда 

Поскольку  или 

Ответ. 

Пример №7

Найдите  из равенства:

Решение:

Поскольку 

Ответ. 

Пример №8

Вычислите  если

Решение:

Ответ. 

Все знакомы, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 – это 2 в пятой степени, то есть двойка, умноженная на саму себя пять раз.

Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.

Логарифм от числа 32 по основанию 2 ((log_{2}(32))) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32. Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:

$$ log_{2}(32)=5;$$

Аналогично, глядя в таблицу получим, что:

$$log_{2}(4)=2;$$
$$log_{2}(8)=3;$$
$$log_{2}(16)=4;$$
$$log_{2}(64)=6;$$
$$log_{2}(128)=7.$$

Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям больших 0 и неравных 1. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.

Теперь дадим определение логарифма в общем виде:

Логарифмом положительного числа (b) по основанию положительно числа (a) называется степень (c), в которую нужно возвести число (a), чтобы получить (b)

$$log_{a}(b)=c;$$
$$a^{c}=b.$$

Будьте внимательны! В первое время обычно путают, что такое основание и то, что стоит под логарифмом (аргумент). Логарифм – это всегда функция, зависящая от двух переменных. Чтобы их не путать, помните определение логарифма – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.

Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто будет, что логарифм нельзя в уме посчитать. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:

$$log_{2}(5)=???$$

Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:

$$log_{2}(5)=2,32192809…$$

Или логарифм шести по основанию 4:

$$log_{4}(6)= 1.2924812…$$

На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!

Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто! Давайте для примера оценим логарифм (log_{4}(6)). Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать, другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6-ке:

$$ log_{4}(4) lt log_{4}(6) lt log_{4}(16);$$
$$ 1 lt log_{4}(6) lt 2. $$

Значит (log_{4}(6)) принадлежите промежутку от 1 до 2:

$$ log_{4}(6) in (1;2). $$

Как посчитать логарифм

Перед тем, как научиться считать логарифмы, нужно ввести несколько ограничений. Дело в том, что функция логарифма (log_{a}(b)) существует только при положительных значениях основания (a) и аргумента (b). И кроме этого на основание накладывается условие, что оно не должно быть равно (1).

$$ log_{a}(b) quad существует,;при quad a gt 0; ;b gt 0 ;a neq 1.$$

Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть (0). А основание не равно (1), потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь (1) в любой степени это будет (1).

При этих ограничениях логарифм существует.

В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.

Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.

$$log_{3}(frac{1}{3})=-1;$$

Так как (вспоминайте определение отрицательной степени)

$$3^{-1}=frac{1}{3};$$

Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:

• Во-первых, постарайтесь представить основание и аргумент (то, что стоит под логарифмом) в виде степеней с одинаковым основанием. Параллельно с этим избавляемся от всех десятичных дробей – переводим их в обыкновенные.
• Разобраться в какую степень (x) нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Когда у вас там и там степени с одинаковым основанием, это сделать довольно просто.
• (x) и будет искомым значением логарифма.

Давайте разберем на примерах.

Пример 1. Посчитать логарифм (9) по основанию (3): (log_{3}(9))

• Сначала представим аргумент и основание в виде степени тройки:
  $$ 3=3^1, qquad 9=3^2;$$
• Теперь надо разобраться в какую степень (x) нужно возвести (3^1), чтобы получить (3^2)
  $$ (3^1)^x=3^2, $$
  $$ 3^{1*x}=3^2, $$
  $$ 1*x=2,$$
  $$ x=2.$$
• Вот мы и решили:
  $$log_{3}(9)=2.$$

Пример 2. Вычислить логарифм (frac{1}{125}) по основанию (5): (log_{5}(frac{1}{125}))

• Представим аргумент и основание в виде степени пятерки:
  $$ 5=5^1, qquad frac{1}{125}=frac{1}{5^3}=5^{-3};$$
• В какую степень (x) надо возвести (5^1), чтобы получить (5^{-3}):
  $$ (5^1)^x=5^{-3}, $$
  $$ 5^{1*x}=5^{-3},$$
  $$1*x=-3,$$
  $$x=-3.$$
• Получили ответ:
  $$ log_{5}(frac{1}{125})=-3.$$

Пример 3. Вычислить логарифм (4) по основанию (64): (log_{64}(4))

• Представим аргумент и основание в виде степени двойки:
  $$ 64=2^6, qquad 4=2^2;$$
• В какую степень (x) надо возвести (2^6), чтобы получить (2^{2}):
  $$ (2^6)^x=2^{2}, $$
  $$ 2^{6*x}=2^{2},$$
  $$6*x=2,$$
  $$x=frac{2}{6}=frac{1}{3}.$$
• Получили ответ:
  $$ log_{64}(4)=frac{1}{3}.$$

Пример 4. Вычислить логарифм (1) по основанию (8): (log_{8}(1))

• Представим аргумент и основание в виде степени двойки:
  $$ 8=2^3 qquad 1=2^0;$$
• В какую степень (x) надо возвести (2^3), чтобы получить (2^{0}):
  $$ (2^3)^x=2^{0}, $$
  $$ 2^{3*x}=2^{0},$$
  $$3*x=0,$$
  $$x=frac{0}{3}=0.$$
• Получили ответ:
  $$ log_{8}(1)=0.$$

Пример 5. Вычислить логарифм (15) по основанию (5): (log_{5}(15))

• Представим аргумент и основание в виде степени пятерки:
  $$ 5=5^1 qquad 15= ???;$$
  (15) в виде степени пятерки не представляется, поэтому этот логарифм мы не можем посчитать. У него значение будет иррациональное. Оставляем так, как есть:
  $$ log_{5}(15).$$

Внимание!

Как понять, что некоторое число (a) не будет являться степенью другого числа (b). Это довольно просто – нужно разложить (a) на простые множители.

$$16=2*2*2*2=2^4,$$

(16) разложили, как произведение четырех двоек, значит (16) будет степенью двойки.

$$ 48=6*8=3*2*2*2*2,$$

Разложив (48) на простые множители, видно, что у нас есть два множителя (2) и (3), значит (48) не будет степенью.

Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.

Десятичный логарифм

На самом деле, все просто. Десятичный логарифм – это любой обыкновенный логарифм, но с основанием 10. Обозначается – (lg(a)).

Пример 6

$$ log_{10}(100)= lg(100)=2;$$
$$log_{10}(1000)=lg(1000)=3;$$
$$log_{10}(10)=lg(10)=1.$$

Натуральный логарифм

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию (e). Обозначение – (ln(x)). Что такое (e)? Так обозначают экспоненту, число-константу, равную, примерно, (2,718281828459…). Это число известно тем, что используется в многих математических законах. Просто запомните, что логарифмы с основанием (e) часто встречаются, и поэтому им придумали специальное название – натуральный логарифм.

Пример 7

$$ log_{e}(e^2)=ln(e^2)=2;$$
$$ log_{e}(e)=ln(e)=1;$$
$$ log_{e}(e^5)=ln(e^5)=5.$$

Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.

У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.

Свойства логарифмов

$$1. ; log_{a}(1)=0;$$
$$2. ; log_{a}(a)=1;$$
$$3. ; log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+ log_{a}(c);$$
$$4. ; log_{a}(frac{b}{c})= log_{a}(b)- log_{a}(c);$$
$$5. ; log_{a}(b^m)= m*log_{a}(b);$$
$$6. ; log_{a^m}(b)=frac{1}{m}* log_{a}(b);$$
$$ 7. ; log_{a}(b)=frac{ log_{c}(b)}{ log_{c}(a)}, ; b gt 0; ; c gt 0; ; c neq 1; $$
$$ 8. ; log_{a}(b)=frac{1}{log_{b}(a)};$$
$$ 9. ; a^{ log_{a}(b)}=b.$$

Давайте разберем несколько примеров на свойства логарифмов.

Пример 8. Воспользоваться формулой (3). Логарифм от произведения – это сумма логарифмов.

$$log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+ log_{a}(c);$$
$$ log_{3}(12)=log_{3}(3*4)=log_{3}(3)+log_{3}(4)=1+log_{3}(4);$$
$$ log_{3}(2.7)+log_{3}(10)=log_{3}(2.7*10)=log_{3}(27)=3;$$

Пример 9. Воспользоваться формулой (4). Логарифм от частного – это разность логарифмов.

$$ log_{a}(frac{b}{c})= log_{a}(b)- log_{a}(c);$$
$$ log_{7}(98)-log_{7}(2)=log_{7}(frac{98}{2})=log_{7}(49)=2;$$

Пример 10. Формула (5,6). Свойства степени.

$$log_{a}(b^m)= m*log_{a}(b);$$
$$log_{a^m}(b)=frac{1}{m}* log_{a}(b);$$

Логично, что будет выполняться и такое соотношение:

$$log_{a^m}(b^n)=frac{n}{m}* log_{a}(b);$$

И если (m=n), то:

$$log_{a^m}(b^m)=frac{m}{m}* log_{a}(b);=log_{a}(b)$$
$$log_{4}(9)=log_{2^2}(3^2)=log_{2}(3);$$

Пример 11. Формулы (7,8). Переход к другому основанию.

$$ log_{a}(b)=frac{ log_{c}(b)}{ log_{c}(a)}, ; b gt 0;c gt 0;c neq 1; $$
$$ log_{a}(b)=frac{1}{log_{b}(a)};$$
$$log_{4}(5)=frac{1}{log_{5}(4)};$$
$$log_{4}(5)=frac{log_{7}(5)}{log_{7}(4)};$$

На этой странице вы узнаете

• Что значит расти по экспоненте? 
• Как быстро избавиться от логарифмов с одинаковым основанием?
• Как не попасть в аварию в погоне за результатом?

Математики иногда скучают. Иначе как объяснить то, что для понимания этой пугающей многих учеников темы, нужно запомнить единственный факт: «Степень числа и логарифм — разная запись одного и того же математического события». В этой статье мы ближе познакомимся с логарифмами и увидим, что ничего экстремально сложного в них на самом деле нет.

Понятие логарифма

Математика очень интересная наука, действия в которой можно повернуть в обе стороны. Например, возведение в степень и извлечение корня — одно и то же действие, но совершаемое «в разные направления». Это как шарик-маятник, который качается туда-сюда. 

Однако помимо извлечения корня степень числа имеет еще одно противодействие: это логарифм. Разберемся, чем же они отличаются.

Итак, извлекая корень, мы находим первоначальное число, которое возвели в степень. Например, если мы вычислим, чему равно (4^3), то получим 64. А если извлечем (sqrt[3]{64}), то получим число, которое возводили в степень. Иными словами, извлекая корень, мы находим основание степени. 

Но что, если мы знаем основание степени и число, полученное при возведении, но при этом не знаем показатель степени? Можем ли мы как-нибудь найти, в какую именно степень возвели то или иное число? 

Ответ: да! Для этого и существуют логарифмы. Логарифм отвечает на вопрос: «В какую степень возвести число a, чтобы получилось число b?»

Например, мы возвели двойку в неизвестную степень и получили 4:

(2^x=4)

Зададим вопрос: в какую степень нужно возвести 2, чтобы получился такой результат? Ответ приходит сразу — это 2:

(2^2=4)

Эту же операцию можно записать значительно короче, если использовать логарифм. Запись будет выглядеть так: 

 (log_24=2)

Вот и всё!

Если понятие «степень» все еще звучит устрашающе, мы написали для вас статью «Действия с натуральными числами».

А теперь внедрим в нашу статью немного научности. Что такое логарифм во вселенной математики?

Логарифм — это число, в которое нужно возвести основание a, чтобы получить число b.

У каждого элемента любой математической функции есть название. Как называются элементы логарифма? 

Снова вспомним корни. Корень степени 2 мы записываем без показателя степени, например, (sqrt{25}). Это связано с его распространенностью и «особенностью». Так и в логарифмах существуют свои «краткие записи», применяемые для «особенных» логарифмов. Такими логарифмами являются десятичный и натуральный. Рассмотрим их чуть подробнее. 

Десятичный логарифм — это логарифм числа по основанию 10. 

Например, нам нужно узнать, в какую степень нужно возвести 10, чтобы получить 100. То есть мы находим (log_{10}100=2). Аналогично (log_{10}1000=3) или (log_{10}100000=5).

Для сокращения записи мы не пишем основание, а само название логарифма немного меняем. Выглядит запись десятичного логарифма следующим образом:

Запись такого логарифма нужно просто запомнить. Но не будет и ошибкой, если записать обычным способом. 

Что же с натуральным логарифмом? Аналогично десятичному, в его основании стоит особое число — экспонента. 

Экспонента — это такая математическая константа, постоянная (как, например, ускорение свободного падения в физике), которая примерно равна 2,72. 

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию е (e ≈ 2,72). 

Такой логарифм тоже имеет «свою» запись, которую нужно запомнить: 

У натурального логарифма в основании стоит число e, которое называется числом Эйлера. На самом деле, это иррациональное число, которое имеет бесконечное количество знаков после запятой, но мы ограничиваемся краткой записью 2,72. Число e играет важную роль во многих разделах математики.

Может возникнуть вопрос: неужели при решении каждого логарифмического уравнения или неравенства придется прибегать к «переформулировке»? На самом деле, нет, ведь для упрощения решений существуют свои правила, а главное, свойства логарифмов. Рассмотрим их чуть подробнее. 

Основное логарифмическое тождество

Итак, какими свойствами обладает логарифм? Начнем с одного из самых важных, а именно — основного логарифмического тождества.

Возможно, вас смутило, что логарифм стоит в степени числа. На самом деле, логарифм — это тоже какое-то число, просто в другой записи. Так, (3^2) и (3^{log_24}=32) — одно и то же число, но в разных записях. 

Разберемся чуть подробнее, как работает тождество. Путь (a=2, b=4). Тогда получаем запись:

(2^{log_24}=4)

Решим отдельно левую часть: 

(2^{log_24}=2^2=4)

Получаем, что тождество верно. Но почему это так работает? 

Заметим, что при вычислении логарифма мы получаем значение степени x, в которую должны возвести основание а, чтобы получить аргумент b.

(log_ab=x), тогда (a^x=b)

После этого мы снова возводим то же основание а в ту же степень, и снова получаем аргумент b. То есть делаем одно и то же действие дважды. 

(a^{log_ab}=a^x=b)

Следовательно, это тождество позволяет сократить вычисление на несколько шагов. Важно: оно будет работать только в случае, когда основания степени и логарифма будут совпадать. Тогда совпадут и аргумент с ответом. 

Рассмотрим, почему это не работает при несовпадающих основаниях. Для этого найдем значение выражения (3^{log_24}). Итак, (log_24=2), значит, мы получаем выражение (3^2=9). Очевидно, что (9neq4), соответственно, применить основное тождество логарифмов мы здесь не можем (поскольку (3neq2)). 

Данное тождество часто используется для преобразований. 

Свойства логарифмов

Логарифмы, как и числа, можно складывать, умножать и делать множество действий с ними. Как не запутаться в них, не производить лишних вычислений и не ошибиться? Для этого нужно хорошо знать все свойства, которые представлены в таблице ниже. Каждое из рассмотренных в таблице свойств можно использовать для преобразований.

Рассмотрим каждое свойство чуть подробнее. 

Свойство 1. (log_ab^m=m*log_ab). 

Попробуем найти значение выражения (log_28^2) без применения свойства. Тогда возведем аргумент в степень и получим:

(log_28^2=log_264)

Воспользовавшись определение логарифма, заметим, что (log_264=6).
Но что делать, если числа окажутся большими, или, более того, у логарифма не будет точного значения — примером такого логарифма может служить (log_57). Да и вычисление в несколько действий с большими числами может занять много времени. 

Именно поэтому мы применяем это свойство! 

(log_28^2=2*log_28=2*3=6)

Свойство 2. (log_{a^n}b=frac{1}{n}*log_ab)

Рассмотрим на примере логарифма (log_{2^2}4). Посчитаем без свойства:

(log_{2^2}4=log_44=1)

Заметим, что:

• в первом свойстве мы увеличивали аргумент логарифма (то есть конечный результат, который получается при возведении числа в степень);
• в этот раз мы увеличиваем уже число, которое возводим в степень. 

Сравните:

(2^2=4) или (3^2=9)

Следовательно, когда мы будем производить «обратные» действия, то есть считать логарифм, то при увеличении основания степени (и сохранении результата возведения в степень), у нас должна уменьшиться сама степень, в которую мы возводим. 

Например:

(2^4=16) и (4^2=16)

Именно поэтому у нас появляется дробь: она уменьшает степень во столько раз, во сколько мы увеличили первоначальное число:

(log_{2^2}4=frac{1}{2}log_24=frac{1}{2}*2=1)

Свойство 3. (log_{a^n}b^m=frac{m}{n}*log_ab)

Это свойство вытекает из двух предыдущих, просто их соединили вместе. Иначе пришлось бы отдельно выносить степень из аргумента и отдельно из основания логарифма. Сравните:

(log_{2^3}5^7=7*log_{2^3}5=7*frac{1}{3}*log_25=frac{7}{3}log_25)
или
(log_{2^3}5^7=frac{7}{3}log_25)

Свойство 4. (log_ab+log_ac=log_a(b*c))

Найдем значение выражения (log_24+log_28):

(log_24+log_28=2+3=5)

Но в случае, когда числа не будут так легко считаться (или вовсе не будут считаться), на помощь придет это свойство:

(log_512,5+log_52=log_525=2)

Свойство 5. (log_ab-log_ac=log_afrac{b}{c})

Аналогично с предыдущим свойством это нужно для упрощения вычислений. 

Например:

(log_318-log_32=log_3frac{18}{2}=log_39=2)

Свойства 6 и 7. (log_aa=1) и (log_a1=0)

Эти свойства напрямую связаны с возведением числа в степень. Достаточно лишь ответить на два вопроса:

• В какую степень нужно возвести число, чтобы получилось такое же число?
• В какую степень нужно возвести любое число, чтобы получить 1?

Ответы на эти вопросы будут 1 и 0. Отсюда и эти свойства:

• Число в степени 1 будет равно само себе: (log_aa=1).
• Число в степени 0 будет равно 1: (log_a1=0).

Свойство 8. (log_ab=frac{log_cb}{log_ca})

Это свойство используется в случаях, когда нам нужно представить логарифм с любым другим основанием. 

Например:

(log_25=frac{log_35}{log_25})

Это свойство может пригодиться в решении уравнений и неравенств для упрощения выражений. 

Свойство 9. (log_ab=frac{1}{log_ba})

Что делать, если нам нужно представить логарифм с определенным основанием, которое равно аргументу этого логарифма? Все просто: мы можем поменять основание и аргумент местами, если воспользуемся свойством (log_ab=frac{1}{log_ba}).

Например:

(log_{27}3=frac{1}{log_327}=frac{1}{3})

Заметим, что это же выражение можно было решить немного по-другому:

(log_{27}3=log_{3^3}3=frac{1}{3}*log_33=frac{1}{3}).

В этом случае мы воспользовались свойствами 2 и 6.

Свойство 10. (a^{log_cb}=b^{log_ca})

Еще одно свойство, которое позволяет изменить аргумент логарифма, и при этом не менять значение выражения. 

Рассмотрим на примере (2^{log_24}):

 (2^{log_24}=2^2=4)
(2^{log_24}=4^{log_22}=4^1=4)

Для более простого запоминания свойств логарифмов предлагаем вам воспользоваться нашими забавными ассоциациями.  

Теперь, когда мы знаем свойства логарифмов, мы можем перейти к более сложным преобразованиям — к решениям уравнений и неравенств.

Простейшие логарифмические уравнения

В других статьях мы уже рассматривали разные виды уравнений: линейные, квадратные, показательные и т.п. Настало время узнать про логарифмические уравнения. 

Логарифмическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестная стоит в аргументе или основании логарифмов. 

Иными словами, если в уравнении мы видим логарифм с неизвестной — это логарифмическое уравнение. 

Например, (log_2x=4) — логарифмическое уравнение. 

А вот (log_25+x=x^2) не будет логарифмическим уравнением, поскольку неизвестная не стоит ни в аргументе, ни в основании логарифма. 

Как решать логарифмические уравнения?
Логарифмическое уравнение нужно привести к такому виду:

(log_af(x)=log_ag(x)).

При решении таких уравнений нужно обязательно учитывать, что по определению аргумент логарифма всегда должен быть больше нуля, а основание больше нуля и не должно равняться единице. Эти ограничения называются областью допустимых значений или ОДЗ логарифма. 

Область допустимых значений — это те значения, которые может принимать переменная x (или другая буква латинского алфавита) в выражении.

(log_ab)
ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 0, b> 0.

Рассмотрим на примере:

(log_2(5x-4)=log_2(x+8))

1. В первую очередь найдем ОДЗ. Для этого вспомним, что аргумент логарифма всегда строго положителен:

(5x-4>0) и (x+8>0)

Найдем возможные значения х:

(5x>4) и (x>-8)
(x>frac{4}{5}) и (x>-8)

Нанесем найденные промежутки на числовую прямую и определим, какие значения может принимать х. Для этого нам нужно будет найти промежутки, которые удовлетворяют обоим неравенствам: 

Теперь мы можем определить ОДЗ: (x in(frac{4}{5};+{infty}))

1. Если в обеих частях уравнения находится логарифм по одинаковому основанию, то можно «скинуть» логарифмы и записать равенство аргументов. Поскольку и у первого, и у второго логарифма основания равны 2, то мы можем приравнять их аргументы: 

(5x-4=x+8)

1. Решим полученное уравнение:

(5x-x=8+4)
(4x=12)
(x=3)

1. Подставим в ОДЗ и проверим, подходит ли корень. Поскольку (3>frac{4}{5}), то корень нам подходит. 

Ответ: 3.

А теперь немного усложним задачу. Допустим, переменная будет стоять и в основании, и в аргументе логарифма. 

Рассмотрим еще одно уравнение: 

(log_2(x-4)=log_{4x}4+log_{4x}x)

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма всегда строго больше 0, а основание больше 0 и не равно 1. Тогда получаем следующие неравенства для аргументов логарифмов:

(x>0)
(x-4>0)

И для оснований логарифмов:

(4x>0)
(4xneq1)

Решим неравенства:

(x>0)
(x>4)
(x>0)
(xneqfrac{1}{4})

Теперь отметим все ограничения на числовой прямой и найдем, чему равна ОДЗ:

Поскольку нам нужно, чтобы ограничение удовлетворяло всем полученным неравенствам и уравнениям, то (xin(4;+{infty})).

1. Теперь перейдем к решению самого уравнения. По свойствам логарифма (свойства 4 и 6) преобразуем правую часть уравнения:

(log_2(x-4)=log_{4x}4x)
(log_2(x-4)=1)

1. Чтобы отбросить логарифмы и перейти к уравнению с аргументами, необходимо, чтобы их основания были равны. Поскольку основание левого логарифма равно 2, то представим правую часть в виде логарифма с таким же основанием 2:

(log_2(x-4)=log_22)

1. Отбросим логарифмы и перейдем к уравнению с ними:

(x-4=2)
(x=6)

Поскольку (6>4), то корень принадлежит ОДЗ, а значит, его можно записать в ответ. 

Ответ: 6.

Мы разобрали уравнения с логарифмами. Остался вопрос: а как решать неравенства с ними? 

Простейшие логарифмические неравенства

Логарифмическое неравенство — это неравенство, в котором переменная стоит в аргументе или основании логарифма. 

Для решения логарифмических неравенств тоже можно избавляться от логарифмов.

Делается это уже известным способом — если основания равны, то можно перейти к неравенству с аргументами. При этом нужно обращать внимание на основание логарифма.

Важно!
Если (0<a<1), тогда знак неравенства меняется на противоположный.
Если (a>1), тогда знак неравенства не меняется.

Разберемся, почему это так работает. Рассмотрим два примера:

(log_24=2)
(log_{frac{1}{2}}4=log_{2^{-1}}4=-1*log_24=-2)

Как можно увидеть, если основание логарифма меньше 1, то результат вычислений отрицательный (в случае, если аргумент больше 1). Это связано с тем, что при возведении дробного числа в степень, большую 1, это число только уменьшается, например:

((frac{1}{3})^2=frac{1}{9})

Но если мы возведем такое число в отрицательную степень, то получим больший результат:

((frac{1}{3})^{-2}=3^2=9)

Именно поэтому ради избежания путаницы со знаками, при отбрасывании логарифмов с основанием (0<a<1) мы меняем знак на противоположный: тем самым мы сразу избавляемся от минуса. 

Например:

(log_{frac{1}{3}}9>0)
(log_{3^{-1}}9>0)
(-log_39>0 |*(-1))
(log_39<0)

А теперь чуть подробнее рассмотрим, как действовать с логарифмическими неравенствами:

Получаем промежутки:

Сделаем обратную замену:

Представим правые части неравенства в виде логарифмов с основанием 3:

Теперь у нас справа и слева логарифмы с одинаковым основанием, соответственно, мы можем отбросить логарифмы и перейти к неравенствам с аргументами. Поскольку 3>1, то знаки неравенства менять не нужно:

Отметим на числовой прямой полученные промежутки, а также нанесем ОДЗ:

Теперь давайте рассмотрим решение неравенства с основанием, которое меньше 1.

(log_{frac{1}{5}}x^2geq log_{frac{1}{5}}x+2)

Шаг 1. Напишем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше 0, поэтому получаем два неравенства:

Шаг 2. Преобразуем правую часть. Для этого воспользуемся свойством логарифмов и вынесем степень аргумента перед логарифмом. 

Поскольку степень положительная, то мы должны поставить аргумент в модуль, чтобы не потерять отрицательные значения:

(2*log_{frac{1}{5}}|x|geq log_{frac{1}{5}}x+2)

Шаг 3. Раскроем модуль. По ОДЗ мы получили, что x>0, а значит, мы можем убрать модуль, поскольку под ним всегда будет стоять положительное число:

(2*log_{frac{1}{5}}xgeq log_{frac{1}{5}}x+2)

Шаг 4. Перенесем одно слагаемое влево и упростим: 

(2*log_{frac{1}{5}}x-log_{frac{1}{5}}xgeq 2)
(log_{frac{1}{5}}xgeq 2)

Представим правую часть в виде логарифма с основанием (frac{1}{5}):

(log_{frac{1}{5}}xgeq log_{frac{1}{5}}frac{1}{25})

Шаг 5. Отбросим логарифмы. Поскольку (frac{1}{5}<1), то знак неравенства меняется на противоположный:

(xgeq 125)

Шаг 6. Отметим полученный промежуток на числовой прямой и нанесем ОДЗ:

С учетом ОДЗ получаем промежуток ((0;frac{1}{25}]). 

Ответ: ((0;frac{1}{25}])

Мы рассмотрели логарифмы, уравнения и неравенства с ними. Научиться решать их не так сложно. Практикуйтесь побольше, тогда все обязательно получится. А чтобы продолжить освоение математической науки, рекомендуем вам познакомиться со статьей «Тригонометрическая окружность и графики функций». 

Термины

Дискриминант в квадратном уравнении — это выражение, которое ищется по формуле (D=b^2-4⋅a⋅c), где а, b и с берутся из уравнения. Подробнее о нем рассказано в статье «Линейные, квадратные и кубические уравнения».

Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби, то есть они не имеют точного значения. 

Квадратное неравенство — это такое неравенство, которое можно привести к виду (ax^2+bx+c ⋁ 0), где a, b и с — любые числа (причем a ≠ 0), x — неизвестная переменная, а ⋁ — любой из знаков сравнения (> , < , ≤ , ≥ ). Решение таких неравенств мы обсуждаем в статье «Метод интервалов».

Модуль числа — это его абсолютная величина. При взятии модуля мы не учитываем знак этого числа — положительное оно или отрицательное. Модуль числа всегда неотрицателен и обозначается с помощью модульных скобок: |a| ≥ 0. Этому математическому понятию посвящена отдельная статья Учебника.  

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Показательная функция — это функция, у которой неизвестная находится в показателе степени. Например, (y = 2^x). Подробнее о ней мы рассказываем в одноименной статье.

Производная функции — это математическое понятие, показывающее скорость изменения функции в определенной точке. Подробнее про производные можно прочесть в статье «Исследование функции с помощью производной».

Фактчек

• Логарифм — это степень, в которую возводится основание логарифма, чтобы получить аргумент.

• Десятичный логарифм — это логарифм числа по основанию 10. Записывается так: lg a.
• Натуральный логарифм — это логарифм по основанию е (e ≈ 2,72). Записывается как ln a.
• Основное логарифмическое тождество: (a^{log_ab}=b), при (a >0, a ≠ 1, b>0).
• Существуют специальные свойства логарифмов, благодаря которым можно совершать преобразования.
• При решении уравнений и неравенств нельзя забывать про ОДЗ на аргумент и основание логарифма: основание больше нуля и не равно единице, аргумент больше нуля.
• В логарифмических неравенствах при переходе к неравенству аргументов логарифмов знак меняется на противоположный, если значение основания логарифма находится на промежутке от 0 до 1.

Проверь себя

Задание 1.
Решите уравнение (log_3(x^2+4)=log_3(4x)).

1. 1 и -1
2. 2 и -2
3. 2
4. -1

Задание 2.
Решите уравнение (log_28=log_{16}(x)+2).

1. 16
2. 12
3. 1
4. 8

Задание 3.
Решите уравнение (log_2(2x^2)-5=log_2(x) +log_2(x-5)).

1. 0 и (frac{16}{3})
2. 0 и (frac{32}{3})
3. 32
4. (frac{16}{3})

Задание 4.
Решите неравенство (log_9(x+4)geq log_9(2x)^2).  

1. ([-frac{4}{3};0)bigcup(0;4])
2. ((0;4])
3. ([-frac{4}{3};0))
4. ([-frac{4}{3};4])

Задание 5.
Решите неравенство (log_{500}500geq log_2(1+3x)). 

1. ((0;frac{1}{3}])
2. ((-frac{1}{3};frac{1}{3}])
3. ([-frac{1}{3};frac{1}{3}])
4. ((-frac{1}{3};0)

Ответы:1. — 3; 2. — 1; 3. — 4; 4. — 1; 5. — 2.