Как найти значение двучленов

Как найти корни квадратного уравнения

2 методика:Использование формулыНахождение корней через разложение на множители

Квадратное уравнение – это любое уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a ≠ 0. Нахождение корней квадратного уравнения – это то же самое, что и решение уравнения, то есть нахождение значений «х». Любое квадратное уравнение можно решить с помощью формулы x = (-b +/-√(b2 – 4ac))/2a. Кроме того, в зависимости от данного вам уравнения, вы можете воспользоваться некоторыми приемами, которые упростят нахождение корней.

Шаги

Метод 1 из 2: Использование формулы

1. 
   1
   Запишите данное вам уравнение в форме квадратного уравнения. Квадратное уравнение – это полином второго порядка с одной переменной «х» и а ≠ 0.[1] Другими словами, это уравнение с одной переменной (обычно «х»), самый высокий показатель степени которой равен 2: ax2 + bx + c = 0
2. Чтобы записать данное вам уравнение в форме квадратного уравнения, перенесите все его члены на левую сторону, чтобы на правой стороне остался 0. Например, дано уравнение 2×2 + 8x = -5×2 – 11.
3. 2×2 + 8x = -5×2 + 11
4. 2×2 + 5×2 + 8x = + 11
5. 2×2 + 5×2 + 8x – 11 = 0
6. 7×2 + 8x – 11 = 0. Обратите внимание, что данное уравнение приняло вид ax2+ bx + c = 0.
7. 
   2
   Подставьте значения коэффициентов a, b, c в формулу x = (-b +/-√(b2 – 4ac))/2a, чтобы найти значения «х» (то есть решить уравнение или найти корни). Так как квадратное уравнения имеет вид ax2+ bx + c = 0, то число, стоящее перед x2, равно «а», перед «х» равно «b», а свободный член равен «с».
8. В нашем примере: 7×2 + 8x – 11 = 0, a = 7, b = 8, c = -11.
9. Подставив эти значения в формулу, вы получите x = (-8 +/-√(82 – 4(7)(-11)))/2(7).
10. 
    3
    Найдите значения «х» (с положительным и отрицательным знаком), выполнив основные алгебраические операции.
11. В нашем примере:
12. x = (-8 +/-√(82 – 4(7)(-11)))/2(7)
13. x = (-8 +/-√(64 – (28)(-11)))/(14)
14. x = (-8 +/-√(64 – (-308)))/(14)
15. x = (-8 +/-√(372))/(14)
16. x = (-8 +/- 19,29/(14)
17. 
    4
    Для получения двух значений «х» необходимо прибавить и вычесть некоторое значение. Это обусловлено тем, что при извлечении корня из числа вы получаете два значения, которые равны по модулю, но противоположны по знаку.
18. Прибавьте и получите:
19. x = (-8 + 19,29)/(14)
20. x = 11.29/14
21. x = 0,81
22. Вычтите и получите:
23. x = (-8 – 19.29)/(14)
24. x = (-27.29)/(14)
25. x = -1,95 .
26. Таким образом, х1 = 0,81 и х2 = -1,95.
27. 
    5
    Проверьте найденные корни, так как нахождение корней включает длинный ряд алгебраических операций и поэтому здесь легко допустить ошибку.
28. Быстрый и простой способ проверить корни уравнения – это подставить значения постоянных a, b, с в онлайн калькулятор квадратных уравнений, например, сюда.[2]
29. 
    6
    Также вы можете проверить ответ вручную. Для этого подставьте найденные значения «х» в исходное уравнение. Если соблюдается равенство, то корни верные (из-за округлений чисел равенство может соблюдаться приблизительно).
30. Подставьте найденные значения «х» в исходное уравнение 7×2 + 8x – 11 = 0:
31. 7(-1,95)2 + 8(-1,95) – 11
32. 26,62 – 15,6 – 11
33. 26,62 – 26,5 = 0,02; 0,02 примерно равно 0, то есть равенство соблюдено и х1 – это корень данного уравнения.
34. 7(0,81)2 + 8(0,81) – 11
35. 4,59 + 6,48 – 11 = 0,07; 0,07 примерно равно 0, то есть равенство соблюдено и х2 – это корень данного уравнения.

Метод 2 из 2: Нахождение корней через разложение на множители

Разложение на множители при а = 1

1. 
   1
   Запишите данное вам уравнение в форме квадратного уравнения. Вы можете найти корни уравнения и без использования формулы, например, некоторые квадратные уравнения можно переписать так, что найти корни будет очень легко. Но сначала запишите данное вам уравнение в форме квадратного уравнения: ax2 + bx + c = 0.
2. В этом разделе мы будем рассматривать только те квадратные уравнения, у которых а = 1 (уравнения с а ≠ 1 рассмотрены в следующем разделе). Например: x2 + 7x + 12 = 0.
3. 
   2
   Запишите уравнение в виде (х + _)(х + _) = 0. Разложение квадратного уравнения на множители – это нахождение двух двучленов, при перемножении которых получается исходное уравнение. Так как x2 = х * х, то каждый двучлен начинается с «х»: (х + _) (х + _) = 0.
4. Обратите внимание на пробелы (обозначены символом подчеркивания; далее мы объясним, как найти числа, которые подставляются в эти пробелы).
5. 
   3
   Разложите на множители коэффициент «с». То есть надо найти пары чисел, при перемножении которых получится значение «с».
6. В нашем уравнении с = 12. Множителями 12 являются пары чисел 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4.
7. 
   4
   Найдите такую пару множителей «с», которая при суммировании дает значение коэффициента «b» (не перепутайте – искать множители «b» не нужно).
8. В нашем уравнении b = 7. Множителями «с» являются пары чисел 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Выбираем пару чисел 3 и 4, так как 3 + 4 = 7 (и b = 7).
9. Если нет такой пары множителей «с», которая при суммировании дает значение коэффициента «b», то уравнение разложить на множители описанным способом нельзя.[3] В этом случае воспользуйтесь другим методом нахождения корней квадратного уравнения.
10. 
    5
    Теперь вместо пробелов в двух двучленах (см. выше) подставьте найденные числа (то есть подходящую пару множителей коэффициента «с»). Таким образом, вы разложите исходное уравнение на множители.
11. В нашем примере: (х + 3)(х + 4) = 0.
12. 
    6
    Найдите два значения «х». Для этого приравняйте каждый из двучленов к 0 и решите их (это верно, так как даже если один из двучленов равен 0, то произведение двух двучленов равно 0).
13. В нашем примере: (х + 3) = 0 и (х + 4) = 0.
14. x + 3 = 0: x = -3
15. x + 4 = 0: x = -4
16. Обратите внимание, что эти ответы могут быть проверены теми же способами, которые описаны в предыдущем разделе.

Разложение на множители при а ≠ 1

1. 
   1
   Разложите коэффициент «а» на множители. Так как «а» стоит перед x2, то каждый множитель будет включать переменную «х».
2. Например: 2×2 + 14x + 12 = 0. Здесь а = 2 и раскладывается на одну пару множителей 2 и 1. То есть первый член уравнения 2×2 = 2х * х.
3. Обратите внимание, что бывают случаи, когда у коэффициента «а» несколько пар множителей. Например, член 8×2 можно разложить на следующие множители: 8x * х и 2x * 4x. В этом случае необходимо проверить, какая пара множителей подходит для разложения данного уравнения.
4. 
   2
   Запишите уравнение в виде ((множитель1) + _) ((множитель2) + _). Мы не начинаем двучлены с «х», как в предыдущем разделе, так как здесь перед «х» могут стоять некоторые коэффициенты.[4]
5. В нашем примере запишите уравнение в виде (2x + _)(х + _).
6. 
   3
   Разложите на множители коэффициент «с». То есть надо найти пары чисел, при перемножении которых получится значение «с».
7. В нашем примере с = 12; множителями 12 являются пары чисел 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4.
8. 
   4
   Вместо пробелов в произведении двух двучленов (см. выше) подставьте пары множителей «с» и найдите такую пару, которая при перемножении и суммировании членов двучленов даст значение «b». Помните, что здесь двучлены начинаются не с «х», а с некоторых членов, содержащих коэффициент и переменную «х».
9. В нашем примере b = 14, а второй член уравнения равен 14х. Это означает, что мы хотим найти два числа (пару множителей «с»), одно из которых умножим на 2х, другое на х, а затем сложим результаты произведения; полученная сумма должна равняться 14x.
10. Рассмотрим пару множителей 3 и 4: 3 * 2x = 6х; 4 * х = 4x; 4x + 6x = 10x. Не подходит. Поменяем местами числа: 4 * 2x = 8х; 3 * х = 3x; 8x + 3x = 11x. Не подходит.
11. Рассмотрим пару множителей 6 и 2: 6 * 2x = 12х; 2 * х = 2x; 12x + 2x = 14x. Подходит! Вместо пробелов подставьте числа 6 и 2.
12. 
    5
    Теперь вместо пробелов в двух двучленах (см. выше) подставьте найденные числа (то есть подходящую пару множителей коэффициента «с»). Таким образом, вы разложите исходное уравнение на множители. Имейте в виду, что каждое число нужно ставить на свое место (не перепутайте!), чтобы в итоге получить правильный коэффициент «b». После этого приравняйте каждый из двучленов к 0 и решите их.
13. В нашем примере: (2x + 2)(х + 6) = 0.
14. 2x + 2 = 0
15. 2x = -2: x = -1
16. x + 6 = 0: x = -6

Советы

• Помните, что квадратный корень может быть как положительным, так и отрицательным. Поэтому у квадратного уравнения всегда два корня.
• Обратите внимание, что корни некоторых квадратных уравнений можно найти, дополнив уравнение до полного квадрата.
• Разложение на множители и дополнение до полного квадрата – это два обходных пути решения квадратного уравнения при помощи формулы. Если вам интересно, прочитайте статью о том, как вывести формулу для корней квадратного уравнения.

Как выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена

Метод выделения полного квадрата двучлена из квадратного трехчлена является основой алгоритма решения уравнений второй степени, а также применяется при упрощении громоздких алгебраических выражений.

Инструкция

Метод выделения полного квадрата применяется как для упрощения выражений, так и при решении квадратного уравнения, которое, по сути, является трехчленом второй степени от одной переменной. В основе метода лежат некоторые формулы сокращенного умножения многочленов, а именно частные случаи Бинома Ньютона – квадрат суммы и квадрат разности:(а ∓ b)² = а² ∓ 2•а•b + b².

Рассмотрим применение метода для решения квадратного уравнения вида а•х² + b•х + с = 0. Чтобы выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена, разделите обе части уравнения на коэффициент при наибольшей степени, т.е. при х²:а•х² + b•х + с = 0 /а → х² + (b/а)•х + с/а = 0.

Представьте полученное выражение в виде:(х² + 2•(b/2а)•х + (b/2а)²) – (b/2а)² + с/а = 0, где одночлен (b/а)•х преобразован в удвоенное произведение элементов b/2а и х.

Сверните первую скобку в квадрат суммы:(х + b/2а)² – ((b/2а)² – с/а) = 0.

Теперь возможны две ситуации нахождения решения: если (b/2а)² = с/а, то уравнение имеет единственный корень, а именно х = -b/2а. Во втором случае, когда (b/2а)² = с/а, решений будет следующим:(х + b/2а)² = ((b/2а)² – с/а) → х = -b/2а + √((b/2а)² – с/а) = (-b + √(b² – 4•а•с))/(2•а).

Двойственность решения вытекает из свойства квадратного корня, результат вычисления которого может быть как положительным, так и отрицательным, в то время как модуль остается неизменным. Таким образом, получается два значения переменной:х1,2 = (-b ± √(b² – 4•а•с))/(2•а).

Так, используя метод выделения полного квадрата, мы пришли к понятию дискриминанта. Очевидно, что он может быть либо нулем, либо положительным числом. При отрицательном дискриминанте уравнение не имеет решений.

Пример: выделить квадрат двучлена в выражении х² – 16•х + 72.

РешениеПерепишите трехчлен в виде х² – 2•8•х + 72, откуда следует, что составляющими полного квадрата двучлена являются 8 и х. Следовательно, для его завершения нужно еще число 8² = 64, которое можно вычесть из третьего члена 72: 72 – 64 = 8. Тогда исходное выражение преобразуется в:х² – 16•х + 72 → (х – 8)² + 8.

Попробуйте решить это уравнение:(х-8)² = -8

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Содержание:

Разложение многочленов на множители

Разложение многочленов на множители — операция, об-I ратная умножению многочленов. Как вы уже знаете, решая разные задачи, иногда умножают два или более чисел, а иногда — раскладывают данное число на множители. Подобные задачи возникают и при преобразовании целых алгебраических выражений. В этой главе вы узнаете о:

• вынесении общего множителя за скобки;
• способе группировки;
• формулах сокращённого умножения;
• применении разных способов разложения многочленов на множители.

Вынесение общего множителя за скобки

Вы уже умеете раскладывать на множители натуральные числа. Например,

На множители раскладывают и многочлены. Разложить многочлен на множители — это означает заменить его произведением нескольких многочленов, тождественным данному многочлену. Например, многочлен

Один из способов разложения многочленов на множители — вынесение общего множителя за скобки. Рассмотрим его.

Каждый член многочлена ах + ау имеет общий множитель а. На основании распределительного закона умножения Это означает, что данный многочлен ах + ау разложен на два множителя:

Другие примеры:

Чтобы убедиться, правильно ли разложен многочлен на множители, нужно выполнить умножение полученных множителей. Если всё верно, то в результате должен получиться данный многочлен.

Иногда приходится раскладывать на множители и выражения, имеющие общий многочленный множитель. Например, в выражении общий множитель b – с. Его также можно выносить за скобки:

Один и тот же многочлен можно разложить на множители по-разному. Например,

Как правило, стараются вынести за скобки такой общий множитель, чтобы в скобках осталось простейшее выражение. Поэтому чаще всего в качестве коэффициента общего множителя берут наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов всех членов данного многочлена или их модулей. Но не всегда. Все зависит от того, с какой целью раскладывают на множители многочлен.

Пусть, например, надо найти значение выражения при условии, когда

Чтобы использовать условие, это упражнение можно решить так:

Здесь вынесено за скобки не , а тогда в скобках имеем выражение, значение которого известно из условия.

Пример:

Разложите на множители многочлен

Решение:

или

Пример:

Разложите на множители многочлен

Решение:

Пример:

Докажите, что число делится на 20.

Доказательство:

Последнее произведение делится на 20, поэтому делится на 20 и данная сумма.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

поэтому данное уравнение равносильно уравнению Произведение двух чисел равно нулю тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю.

Значит, отсюда х = 0, или 5х – 1 = 0, отсюда х = 0,2.

Ответ. Уравнение имеет два корня: 0 и 0,2.

Способ группировки

Разложим на множители многочлен Сгруппируем его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель Вынесем из первой группы за скобки общий множитель а, из второй — общий множитель х, получим выражение Слагаемые этого выражения имеют общий множитель b + с, вынесем его за скобки, получим выражение

Указанные преобразования можно записать цепочкой:

Такой способ разложения многочленов на множители называют способом группировки.

Замечание. Раскладывая на множители представленный выше многочлен, можно сгруппировать его члены иначе:

Получили такой же результат.

Разложим на множители многочлен

Записывать сумму а + с в виде 1 (а + с) необязательно, но сначала, чтобы не допускать ошибок, можно писать и так.

Чтобы воспользоваться способом группировки, иногда приходится один член данного многочлена представлять в виде суммы или разности одночленов. Чтобы разложить на множители трёхчлен • запишем одночлен

Подобные преобразования также можно выполнять, используя тождества.

Пример:

Разложите на множители многочлен:

Решение:

Ответ.

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители:

Корнем первого уравнения является у = 1,5, а второе уравнение корней не имеет, так как

Ответ. у = 1,5.

Квадрат двучлена

Решая различные задачи, часто приходится умножать двучлены вида Чтобы в таких случаях можно было сразу написать ответ, полезно запомнить тождества, которые называют формулами сокращённого умножения. Рассмотрим некоторые из них.

Умножим двучлен

Следовательно,

Квадрат двучлена равен квадрату первого его члена плюс удвоенное произведение первого на второй плюс квадрат второго члена.

Доказанное равенство — тождество, его называют формулой квадрата двучлена. Пользуясь ею, можно сразу записать:

Промежуточные преобразования желательно выполнять устно, тем самым сокращается запись:

По формуле квадрата двучлена можно возводить в квадрат любые двучлены, в том числе

Запомните формулу

Формулы квадрата двучлена используют и в «обратном направлении»:

Формулу часто называют формулой квадрата суммы двух выражений, — квадрата разности двух выражений.

Для положительных чисел а и b формулу

можно доказать геометрически, как показано на рисунке 44. Так её доказывали ещё древние греки. Ведь площадь квадрата со стороной а + b равна сумме площадей квадратов а также прямоугольников ab и ab.

Существуют и другие формулы сокращённого умножения:

Пример:

Возведите в квадрат двучлен

Решение:

Пример:

Упростите выражение

Решение:

Пример:

Представьте в виде многочлена выражение:

Решение:

Пример:

Представьте выражение в виде степени двучлена:

Решение:

• Заказать решение задач по высшей математике

Разность квадратов

Умножим сумму переменных а и b на их разность.

Значит,

Это равенство — тождество. Словами его читают так:

Произведение суммы двух выражений и их разности равно разности квадратов этих выражений.

Пользуясь доказанной формулой, можно сразу записать:

Левую и правую части доказанной формулы можно поменять местами. Получим формулу разности квадратов двух выражений:

Разность квадратов двух выражений равна произведению их суммы и разности.

Пример:

Формула разности квадратов очень удобна для разложения многочленов на множители.

Для положительных чисел а и b формулу можно проиллюстрировать геометрически (рис. 46). Но это тождество верно не только для положительных чисел, но и для любых других чисел и выражений.

Истинность формулы разности квадратов следует из правила умножения многочленов, а это правило — из законов действий сложения и умножения. Законы сложения и умножения чисел — это своеобразные аксиомы, следствиями которых являются алгебраические тождества.

Пример:

Напишите разность квадратов и квадрат разности выражений

Решение:

— разность квадратов; — квадрат разности данных выражений.

Пример:

Запишите в виде произведения двух двучленов выражение:

Решение:

Пример:

Представьте в виде двучлена выражение:

Решение:

.

Используя формулу разности квадратов, промежуточные вычисления и преобразования можно выполнять устно, а записывать лишь конечный результат.

Использование формул сокращённого умножения

С помощью формул сокращённого умножения некоторые многочлены можно разложить на множители. Например, двучлен можно представить в виде произведения по формуле разности квадратов:

Примеры:

Трёхчлены раскладывают на множители по формуле квадрата двучлена:

Примеры:

Полученные, выражения можно разложить на множители и записать так:

Многочлен можно разложить на множители по формуле куба двучлена:

Раскладывать на множители можно не только многочлены, но и некоторые другие целые выражения.

Например, — не многочлены, но и их можно представить в виде произведений многочленов:

Пример:

Разложите на множители многочлен:

Решение:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Значит, данное уравнение равносильно такому:

Квадрат числа равен нулю только тогда, когда это число равно 0. А х – 2 = 0, когда х = 2.

Ответ. х = 2.

Пример:

Разложите на множители многочлен:

Решение:

Разность и сумма кубов

Выполним умножение многочленов

Следовательно, при любых значениях а и b

Трёхчлен называют неполным квадратом суммы выражений а и b (от он отличается только коэффициентом среднего члена). Поэтому доказанную формулу словами читают так:

разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Выполним умножение многочленов

Следовательно,

Трёхчлен называют неполным квадратом разности выражений а и b. Поэтому полученную формулу читаю так:

сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

С помощью доказанных формул можно раскладывать на множители многочлены, являющиеся разностями или суммами кубов.

Примеры:

Формулу «разность кубов» для положительных значений а и b можно проиллюстрировать геометрически, как показано на рисунке 49.

Если умножить на а – b выражения то получим формулы:

Можно доказать, что для каждого натурального значения n истинна формула:

Формулы «разность квадратов» и «разность кубов» — простейшие случаи этой общей формулы.

Пример:

Разложите на множители двучлен:

Решение:

Пример:

Найдите произведение многочленов: •

Решение:

Первый способ. По формуле суммы кубов:

Второй способ. По правилу умножения многочленов:

Применение разных способов разложения многочленов на множители

Чтобы разложить многочлен на множители, иногда приходится применять несколько способов.

Пример:

Разложите на множители многочлен

Решение:

Сначала за скобки вынесен общий множитель а, потом выражение в скобках разложено на множители по формуле разности квадратов.

Пример:

Разложите на множители выражение

Решение:

Здесь применены способ группировки, вынесение общего множителя за скобки и формула суммы кубов.

Чтобы разложить на множители более сложные многочлены, приходится применять несколько известных способов или искусственные приёмы.

В этом случае можно использовать такое правило-ориентир:

1. Вынести общий множитель (если он есть) за скобки.
2. Проверить, не является ли выражение в скобках разностью квадратов, разностью или суммой кубов.
3. Если это трёхчлен, то проверить, не является ли он квадратом двучлена.
4. Если многочлен содержит больше трёх членов, то надо попробовать группировать их и к каждой группе применить п. 1—3.

Иногда удаётся разложить многочлен на множители, прибавляя и вычитая из него одно и то же выражение.

Пример:

Разложите на множители двучлен

Решение:

Прибавим к данному двучлену выражение

Пример:

Разложите на множители выражение

Решение:

Пример:

Представьте многочлен в виде разности квадратов двух многочленов.

Решение:

Пример:

Докажите, что число делится на 31.

Доказательство:

Последнее произведение делится на 31, поэтому делится на 31 и равное ему данное числовое выражение.

Исторические сведения:

Наибольший вклад в развитие алгебраической символики внёс известный французский математик Ф. Виет, которого называли «отцом алгебры ». Он часто использовал буквенные обозначения. Вместо писал соответственно N,Q,C — первые буквы латинских слов Numerus (число), Quadratus (квадрат), Cubus (куб). Уравнение Ф. Виет записывал так:

Степени чисел продолжительное время не имели специальных обозначений, четвёртую степень числа а записывали в виде произведения аааа. Позднее такое произведение начали записывать . Записи предложил Р. Декарт.

Формулы сокращённого умножения древним китайским и греческим математикам были известны за много веков до начала нашей эры. Записывали их тогда не с помощью букв, а словами и доказывали геометрически (только для положительных чисел). Пользуясь рисунком, объясняли, что для любых чисел а и b площадь квадрата со стороной а + b равна сумме площадей двух квадратов со сторонами а и b к двух прямоугольников со сторонами а, b. Итак, Подобным способом обосновали и другие равенства, которые. мы теперь называем формулами сокращённого умножения.

В учебнике рассмотрены простейшие формулы сокращённого умножения.

Формулы квадрата и куба двучлена — простейшие случаи общей формулы бинома Ньютона:

Напомню:

Разложить многочлен на множители — это означает заменить его произведением нескольких многочленов, тождественным данному многочлену.

Простейшие способы разложения многочленов на множители:

• вынесение общего множителя за скобки;
• способ группировки;
• использование формул сокращённого умножения.

Примеры:

Формулы сокращённого умножения

Разложение многочленов на множители — это преобразование, обратное умножению многочленов. Схематично эти две операции можно изобразить, например, так.