Для начала разберемся с тем, как находить значение функции при заданном значении аргумента. Для того чтобы определить значение функции, зная при этом значение аргумента, необходимо подставит известное нам число в уравнение функции и вычислить то, чему равен y.
Но бывает и такое, что заданное значение аргумента недопустимо, т.е. не входит в область допустимых значений функции. В данном случае значение функции считается неопределенным.
Для закрепления полученного материала приведем пример. Допустим у нас есть функция y = 3x^2 — 4x + 1, где нам необходимо найти y(0); y(1); y(-2); y(3).
Для начала найдем y(0). У нас получится y(0) = 3 * 0^2 — 4 * 0 + 1 = 1.
По такому же принцип найдем и все остальные значения:
y(1) = 3 * 1^2 — 4 * 1 + 1 = 3 — 4 + 1 = 0;
y(-2) = 3 * (-2)^2 — 4 * (-2) + 1 = 12 + 8 + 1 = 21;
y(3) = 3 * 3^2 — 4 * 3 + 1 = 27 — 12 + 1 = 16.
Ответ записывается путем перечисления найденных значений при конкретном аргументе.
Ответ: y(0) = 1; y(1) = 0; y(-2) = 21; y(3) = 16.
Разберем еще один пример, но только теперь с корнем. Например, функция y = √x — 3, для которой необходимо найти y(4); y(7); y(2).
Начнем с условия, при котором аргумент равен 4: y(4) = √4-3 = √1 = 1. При данном решении мы использовали правила, согласно которому корень из 1 равен самой 1. Подобным образом находим значение функции при других аргументах:
y(7) = √7-3 = √4 = 2. Таким образом значение функции при x = 7 равно 2;
y(2) = √2-3 = √-1 — значение не определено, поскольку пользуясь свойствами корней, мы вспоминаем, что отрицательных корней быть не может.
Ответ: y(4) = 1; y(7) = 2; y(2) не существует.
Теперь, разобравшись в том, как найти функцию при известном аргументе, можно перейти к изучению обратного процесса — нахождению значения аргумента при котором функция принимает заданное значение. Данные задачи имеют определенный алгоритм решения, которого стоит придерживаться.
Во-первых, чтобы найти значения x, при которых функция y(x) принимает заданное значение, необходимо правую часть уравнения приравнять к известному по условию числу. Затем мы решаем полученное уравнение и ищем корни переменной x.
А как мы знаем из темы уравнений, то корень может быть как один, так и два, а может быть и не одного верного значения. Последнее происходит в тех случаях, когда функция не принимает указанное значение ни при каком значении аргумента.
Теперь закрепим теорию практикой и рассмотрим пример: y = -x + 5, где y = 3. Пользуясь вышеописанным алгоритмом решения, составим уравнение: -x + 5 = 3. Теперь решим его относительно x:
-x + 5 = 3 — для удобства перенесем -5 в правую сторону;
Итогом предыдущего действия будет: -x = 3-5 или -x = -2. Умножим левую и правую часть уравнения на -1, чтобы избавиться от “-”;
Получим x = 2. Таким образом, при x = 2 функция y = — x + 5 принимает значение 3. Запишем получившийся ответ.
Ответ: при x = 2.
Рассмотрим еще один более трудный пример, где есть степень: y = (x — 2)^2, где y приравнен 1. Как и в предыдущем примере заменим y заданным условием значением. В итоге у нас получится:
(x — 2)^2 = 1. Данное уравнение необходимо решить;
Чтобы избавиться от степени разности, нам необходимо также представить 1 в квадрате и затем опустить его. Итогом данных действий может стать два варианта:
x — 2 = 1 или x — 2 = -1. Рассмотрим каждый по отдельности.
x — 2 = 1;
x = 1 + 2;
x = 3.
В случае же с x — 2 = -1 получится:
x — 2 = -1;
x = -1 + 2;
x = 1.
Осталось только записать ответ.
Ответ: x = 1; x = 3.
Таким образом, данная тема является достаточно простой и доступной, однако, она очень важна в решении многих задач. Самое главное здесь — это знание различных свойств дробей, корней, степеней и т.д. Если вы чувствуете, что не совсем владеете этими темами, то вернитесь к ним и повторите их.
Как по значению аргумента найти соответствующее значение функции?
Аргумент – х, значение функции – y.
Нам известно некоторое значение аргумента, например, х = 2. Чтобы найти соответствующее ему значение функции нужно в формулу у = 6х + 12 вместо х подставить его значение, в нашем примере это число 2. Получаем:
у = 6*2 + 12 = 12 + 12 = 24
Итак, значению аргумента х = 2 соответствует значение функции у = 24.
Правило: чтобы по значению аргумента найти значение функции надо в формулу данной функции вместо х подставить его числовое значение.
б) Как найти значение аргумента, которому соответствует указанное значение функции?
Нам задано значение функции – y, например y = 6.
Чтобы найти значение аргумента, которому соответствует указанное значение функции нужно в формулу у = 6х + 12 вместо y подставить его значение, в нашем примере это число 6. Получаем уравнение:
6 = 6х + 12
6х = -6
х = -1
Итак, значению функции y = 6 соответствует значение аргумента х = -1.
Правило: чтобы по значению функции найти значение аргумента надо в формулу данной функции вместо y подставить его числовое значение.
На чтение 4 мин Просмотров 5.4к.
Как найти значение аргумента по значению функции? Это можно сделать с помощью формулы функции.
Если формула задана формулой вида y=f(x), чтобы найти значение аргумента по значению функции, надо в формулу вместо y подставить заданное значение функции и решить получившееся уравнение относительно икса.
1) Линейная функция задана формулой y=5x-8. Найти значение аргумента, при котором значение функции равно 7; -38;0.
Поменяем местами левую и правую часть, чтобы запись выглядела в привычном виде (знаки при этом менять не надо):
Это — линейное уравнение. Неизвестное — в одну сторону, известные — в другую (при переносе слагаемых из одной части в другую знаки меняются на противоположные):
Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:
2) При каком значении аргумента значение функции
Решаем квадратное уравнение.
При y=0 x=3 и x=0,5.
Это — неполное квадратное уравнение. Общий множитель x выносим за скобки
При y=3 x=0 и x=3,5.
Значение аргумента по заданному значению функции можно также найти с помощью графика. О том, как это сделать, мы будем говорить в следующий раз.
В прошлый раз мы находили значение функции по значению аргумента с помощью формулы.
Рассмотрим, как по данному графику функции найти y по x.
1) Пользуясь графиком линейной функции, изображенной на рисунке 1, найдите значение функции,если значение аргумента равно 1; 3; -3, -1; 0.
Аргумент — это x, функция — y.
Найти значение функции по значению аргумента — значит, по данному значению x найти, чему равен y.
Начнём с x=1. На оси абсцисс Ox находим x=1. Чтобы найти соответствующее значение y, надо из точки на Ox идти либо вверх, либо вниз, чтобы попасть на график.
От x=1 идём вверх. От полученной точки на графике надо двигаться либо влево, либо вправо, чтобы попасть на ось Oy. В данном случае идем влево и попадаем с ординатой y=2 (стрелочки помогают увидеть направление движения).
Следовательно, при x=1 y=2.
Аналогично, если x=3, идем вверх до пересечения с графиком, затем влево до пересечения с осью ординат Oy.
Получаем, что при x=3 y=4.
Если x=-3, чтобы попасть на график функции, нужно идти вниз, затем — вправо, до пересечения с осью Oy.
При x=-1 ни вверх, ни вниз двигаться не надо — эта точка уже на графике функции. Следовательно, y=0.
Записываем: при x=-1 y=0.
При x=0 идем до графика вверх и попадаем в точку с ординатой y=2.
2) На рисунке 2 изображен график функции y=f(x).
Пользуясь графиком, найдите значение функции, если значение аргумента равно 1; 3; 5; 7; -1; -5.
Чтобы по графику функции найти y по x, сначала надо от точки с данной абсциссой попасть на график, двигаясь вверх либо вниз, а затем от точки на графике идти к оси Oy, двигаясь влево или вправо.
При x=1 идем до графика функции вверх, затем влево — на ось Oy. Попадаем в точку с ординатой y=2.
Пишем: при x=1 y=2.
При x равном -1 и -5 идем сначала вверх, затем — вправо.
При иксах равных 3; 5 и 7 идём вниз и влево.
Обратите внимание: различным значениям икса может соответствовать одно значение y:
Дана следующая функция y=f(x) :
y = 2x – 10, если x > 0
y = 0, если x = 0
y = 2 * |x| – 1, если x
Требуется найти значение функции по переданному x .
- Получить с клавиатуры значение x .
- Если x больше 0, то вычислить выражение 2*x-10 , результат присвоить переменной y .
- Иначе если x равен 0, то присвоить y значение 0.
- Иначе присвоить y результат выражения 2*|x|-1 .
var x , y : integer ;
begin
readln ( x ) ;
if x > 0 then y : = 2 * x – 10
else
if x = 0 then y : = 0
else y : = 2 * abs ( x ) – 1 ;
writeln ( y ) ;
end .
main ( ) <
int x , y ;
scanf ( “%d” , & x ) ;
if ( x > 0 ) y = 2 * x – 10 ;
else
if ( x == 0 ) y = 0 ;
else
y = 2 * abs ( x ) – 1 ;
printf ( “%d
” , y ) ;
>
x = input ( )
x = int ( x )
if x > 0 :
y = 2 *x – 10
elif x == 0 :
y = 0
else :
y = 2 * abs ( x ) – 1
В КуМир функция взятия модуля от числа возвращает вещественное значение. Поэтому используется функция int(), чтобы привести к целому, иначе присвоение невозможно.
Прежде чем перейти к разбору решения задач с функциями обязательно прочитайте урок
«Что такое функция в математике».
После того, как вы действительно поймете, что такое функция
(возможно, придется прочитать урок не один раз) вы с бóльшей уверенностью сможете решать задания с функциями.
В этом уроке мы разберем, как решать основные типы задач на функцию и графики функций.
Как получить значение функции
Рассмотрим задание.
Функция задана формулой «y = 2x − 1»
- Вычислить «y» при «x = 15»
- Найти значение «x», при котором
значение «y» равно «−19».
Для того, чтобы вычислить «y» при
«x = 15» достаточно подставить в функцию вместо «x»
необходимое числовое значение.
Запись решения выглядит следующим образом.
y(15) = 2 · 15 − 1 = 30 − 1 = 29
Для того, чтобы найти «x»
по известному «y», необходимо подставить вместо
«y» в формулу функции числовое значение.
То есть теперь наоборот, для поиска «x»
мы подставляем в функцию «y = 2x − 1» вместо
«y» число «−19» .
−19 = 2x − 1
Мы получили линейное уравнение с неизвестным «x»,
которое решается по правилам решения линейных уравнений.
Запомните!
Не забывайте про правило переноса в уравнениях.
При переносе из левой части уравнения в правую (и наоборот) буква или число меняет знак на
противоположный.
−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
−2x = −1 + 19
−2x = 18
Как и при решении линейного уравнения, чтобы найти неизвестное, сейчас
требуется умножить и левую, и правую часть на «−1» для смены знака.
−2x = 18 | · (−1)
2x = −18
Теперь разделим и левую, и правую часть на «2», чтобы найти «x» .
2x = −18 | (: 2)
x = −9
Как проверить верно ли равенство для функции
Рассмотрим задание.
Функция задана формулой «f(x) = 2 − 5x».
Верно ли равенство
«f(−2) = −18»?
Чтобы проверить верно ли равенство, нужно подставить в функцию «f(x) = 2 − 5x»
числовое значение «x = −2» и сопоставить с тем, что получится при расчетах.
Важно!
Когда подставляете отрицательное число вместо «x», обязательно заключайте его в скобки.
Не забывайте использовать
правило знаков.
Неправильно
Правильно
С помощью расчетов мы получили
«f(−2) = 12».
Это означает, что «f(−2) = −18»
для функции «f(x) = 2 − 5x» не является верным равенством.
Как проверить, что точка принадлежит графику функции
Рассмотрим функцию «y = x2 −5x + 6»
Требуется выяснить, принадлежит ли графику этой функции точка с координатами
(1; 2).
Для этой задачи нет необходимости, строить график заданной функции.
Запомните!
Чтобы определить, принадлежит ли точка функции,
достаточно подставить её координаты в функцию (координату по оси
«Ox» вместо
«x» и координату по оси «Oy»
вместо «y»).
Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит функции.
Вернемся к нашему заданию. Подставим в функцию «y = x2 − 5x + 6»
координаты точки (1; 2).
Вместо «x» подставим «1».
Вместо «y» подставим «2».
2 = 12 − 5 · 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (верно)
У нас получилось верное равенство, значит, точка с координатами
(1; 2) принадлежит заданной функции.
Теперь проверим точку с координатами (0; 1).
Принадлежит ли она
функции «y = x2 − 5x + 6»?
Вместо «x» подставим «0».
Вместо «y» подставим «1».
1 = 02 − 5 · 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (неверно)
В этом случае мы не получили верное равенство.
Это означает, что точка с координатами (0; 1) не принадлежит функции
«y = x2 − 5x + 6»
Как получить координаты точки функции
С любого графика функции можно снять координаты точки. Затем необходимо убедиться, что при подстановке координат
в формулу функции получается верное равенство.
Рассмотрим функцию «y(x) = −2x + 1». Её график
мы уже
строили
в предыдущем уроке.
Найдем на графике функции «y(x) = −2x + 1», чему равен «y»
при x = 2.
Для этого из значения «2» на оси «Ox» проведем перпендикуляр к графику функции.
Из точки пересечения перпендикуляра и графика функции проведем еще один перпендикуляр к оси «Oy».
Полученное значение «−3» на оси «Oy» и будет искомым значением «y».
Убедимся, что мы правильно сняли координаты точки для x = 2
в функции «y(x) = −2x + 1».
Для этого мы подставим x = 2 в формулу функции
«y(x) = −2x + 1». Если мы правильно
провели перпендикуляр, мы также должны получить в итоге y = −3.
y(2) = −2 · 2 + 1 = −4 + 1 = −3
При расчетах мы также получили y = −3.
Значит, мы правильно получили координаты с графика функции.
Важно!
Все полученные координаты точки с графика функции обязательно проверяйте
подстановкой значений «x» в функцию.
При подстановке числового значения «x» в функцию в результате должно получиться
то же значение «y», которое вы получили на графике.
При получении координат точек с графика функции высока вероятность, что вы ошибетесь, т.к. проведение перпендикуляра к осям выполняется «на глазок».
Только подстановка значений в формулу функции дает точные результаты.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
11 ноября 2018 в 15:46
Веточка Сакуры
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Веточка Сакуры
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Функция y=f(x) является нечётной и при x ⩽0 задаётся формулой y= – x² — 8x.Найдите значение фун. в т. минимума (y min).
0
Спасибо
Ответить
12 ноября 2018 в 3:25
Ответ для Веточка Сакуры
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
ymin = y(4) = -16.
0
Спасибо
Ответить
17 сентября 2018 в 13:28
Alesger Mammedov
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Alesger Mammedov
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Добрый день помогите пожалуйста с задачкой
f(x2-3x)=3x2+5x-4
f(3)=?
0
Спасибо
Ответить
17 сентября 2018 в 23:01
Ответ для Alesger Mammedov
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
f(3) = 26 ± 7√21
0
Спасибо
Ответить
13 ноября 2016 в 6:43
Роман Безбородов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Роман Безбородов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
определите вид графика
0
Спасибо
Ответить
14 ноября 2016 в 17:30
Ответ для Роман Безбородов
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
y = ax; a > 1.
0
Спасибо
Ответить
7 сентября 2016 в 22:08
Иван Баранов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 3
Иван Баранов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 3
у=Х2+2Х-3 найдите значение функции, если значение аргумента равно -2
у=3х-5 при каком значении аргумента значение функции раво 10
0
Спасибо
Ответить
8 сентября 2016 в 15:26
Ответ для Иван Баранов
Юлия Анарметова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 11
Юлия Анарметова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 11
аргумент это х значит у=(-2)2+2 · (-2)-3=4-4-3=-3
у=3х-5 значит 10=3х-5
10+5=3х
15=3х
х=15:3=5
0
Спасибо
Ответить
Как найти значение функции по значению аргумента
Как найти значение функции по значению аргумента? Это можно сделать с помощью формулы, задающей функцию.
Если функция задана формулой y=f(x), чтобы найти значение функции по данному значению аргумента, надо в формулу функции вместо каждого икса подставить это значение и вычислить значение y.
Пример.
1) Линейная функция задана формулой y=10x-7.
Найти значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 3; -2,5; 1,4; 0.
Решение:
При x=3
при x=-2,5
при x=1,4
при x=0
2) Функция задана формулой
Найти значение функции при x, равном 10; -2; 1; 0.
Решение:
При x=10
при x=-2
при x=1
при x=0
Значение функции по данному значению аргумента можно найти также по графику. Как это сделать, мы рассмотрим в следующий раз.