Как найти значение функции когда известен аргумент

Для начала разберемся с тем, как находить значение функции при заданном значении аргумента. Для того чтобы определить значение функции, зная при этом значение аргумента, необходимо подставит известное нам число в уравнение функции и вычислить то, чему равен y.

Но бывает и такое, что заданное значение аргумента недопустимо, т.е. не входит в область допустимых значений функции. В данном случае значение функции считается неопределенным.

Для закрепления полученного материала приведем пример. Допустим у нас есть функция y = 3x^2 — 4x + 1, где нам необходимо найти y(0); y(1); y(-2); y(3).

Для начала найдем y(0). У нас получится y(0) = 3 * 0^2 — 4 * 0 + 1 = 1.

По такому же принцип найдем и все остальные значения:

y(1) = 3 * 1^2 — 4 * 1 + 1 = 3 — 4 + 1 = 0;

y(-2) = 3 * (-2)^2 — 4 * (-2) + 1 = 12 + 8 + 1 = 21;

y(3) = 3 * 3^2 — 4 * 3 + 1 = 27 — 12 + 1 = 16.

Ответ записывается путем перечисления найденных значений при конкретном аргументе. 

Ответ: y(0) = 1; y(1) = 0; y(-2) = 21; y(3) = 16.

Разберем еще один пример, но только теперь с корнем. Например, функция y = √x — 3, для которой необходимо найти y(4); y(7); y(2).

Начнем с условия, при котором аргумент равен 4: y(4) = √4-3 = √1 = 1. При данном решении мы использовали правила, согласно которому корень из 1 равен самой 1. Подобным образом находим значение функции при других аргументах:

y(7) = √7-3 = √4 = 2. Таким образом значение функции при x = 7 равно 2;

y(2) = √2-3 = √-1 — значение не определено, поскольку пользуясь свойствами корней, мы вспоминаем, что отрицательных корней быть не может.

Ответ: y(4) = 1; y(7) = 2; y(2) не существует.

Теперь, разобравшись в том, как найти функцию при известном аргументе, можно перейти к изучению обратного процесса — нахождению значения аргумента при котором функция принимает заданное значение. Данные задачи имеют определенный алгоритм решения, которого стоит придерживаться.

Во-первых, чтобы найти значения x, при которых функция y(x) принимает заданное значение, необходимо правую часть уравнения приравнять к известному по условию числу. Затем мы решаем полученное уравнение и ищем корни переменной x.

А как мы знаем из темы уравнений, то корень может быть как один, так и два, а может быть и не одного верного значения. Последнее происходит в тех случаях, когда функция не принимает указанное значение ни при каком значении аргумента. 

Теперь закрепим теорию практикой и рассмотрим пример: y = -x + 5, где y = 3. Пользуясь вышеописанным алгоритмом решения, составим уравнение: -x + 5 = 3. Теперь решим его относительно x:

-x + 5 = 3 — для удобства перенесем -5 в правую сторону;

Итогом предыдущего действия будет: -x = 3-5 или -x = -2. Умножим левую и правую часть уравнения на -1, чтобы избавиться от “-”;

Получим x = 2. Таким образом, при x = 2 функция y = — x + 5 принимает значение 3. Запишем получившийся ответ.

Ответ: при x = 2.

Рассмотрим еще один более трудный пример, где есть степень: y = (x — 2)^2, где y приравнен 1. Как и в предыдущем примере заменим y заданным условием значением. В итоге у нас получится:

(x — 2)^2 = 1. Данное уравнение необходимо решить;

Чтобы избавиться от степени разности, нам необходимо также представить 1 в квадрате и затем опустить его. Итогом данных действий может стать два варианта:

x — 2 = 1 или x — 2 = -1. Рассмотрим каждый по отдельности.

x — 2 = 1;

x = 1 + 2;

x = 3. 

В случае же с x — 2 = -1 получится:

x — 2 = -1;

x = -1 + 2;

x = 1.

Осталось только записать ответ. 

Ответ: x = 1; x = 3.

Таким образом, данная тема является достаточно простой и доступной, однако, она очень важна в решении многих задач. Самое главное здесь — это знание различных свойств дробей, корней, степеней и т.д. Если вы чувствуете, что не совсем владеете этими темами, то вернитесь к ним и повторите их. 

Как по значению аргумента найти соответствующее значение функции?
Аргумент – х, значение функции – y.
Нам известно некоторое значение аргумента, например, х = 2. Чтобы найти соответствующее ему значение функции нужно в формулу у = 6х + 12 вместо х подставить его значение, в нашем примере это число 2. Получаем:

у = 6*2 + 12 = 12 + 12 = 24

Итак, значению аргумента х = 2 соответствует значение функции у = 24.

Правило: чтобы по значению аргумента найти значение функции надо в формулу данной функции вместо х подставить его числовое значение.

б) Как найти значение аргумента, которому соответствует указанное значение функции?
Нам задано значение функции – y, например y = 6.

Чтобы найти значение аргумента, которому соответствует указанное значение функции нужно в формулу у = 6х + 12 вместо y подставить его значение, в нашем примере это число 6. Получаем уравнение:

6 = 6х + 12

6х = -6

х = -1

Итак, значению функции y = 6 соответствует значение аргумента х = -1.
Правило: чтобы по значению функции найти значение аргумента надо в формулу данной функции вместо y подставить его числовое значение.

На чтение 4 мин Просмотров 5.4к.

Как найти значение аргумента по значению функции? Это можно сделать с помощью формулы функции.

Если формула задана формулой вида y=f(x), чтобы найти значение аргумента по значению функции, надо в формулу вместо y подставить заданное значение функции и решить получившееся уравнение относительно икса.

1) Линейная функция задана формулой y=5x-8. Найти значение аргумента, при котором значение функции равно 7; -38;0.

Поменяем местами левую и правую часть, чтобы запись выглядела в привычном виде (знаки при этом менять не надо):

Это — линейное уравнение. Неизвестное — в одну сторону, известные — в другую (при переносе слагаемых из одной части в другую знаки меняются на противоположные):

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

2) При каком значении аргумента значение функции

Решаем квадратное уравнение.

При y=0 x=3 и x=0,5.

Это — неполное квадратное уравнение. Общий множитель x выносим за скобки

При y=3 x=0 и x=3,5.

Значение аргумента по заданному значению функции можно также найти с помощью графика. О том, как это сделать, мы будем говорить в следующий раз.

В прошлый раз мы находили значение функции по значению аргумента с помощью формулы.

Рассмотрим, как по данному графику функции найти y по x.

1) Пользуясь графиком линейной функции, изображенной на рисунке 1, найдите значение функции,если значение аргумента равно 1; 3; -3, -1; 0.

Аргумент — это x, функция — y.

Найти значение функции по значению аргумента — значит, по данному значению x найти, чему равен y.

Начнём с x=1. На оси абсцисс Ox находим x=1. Чтобы найти соответствующее значение y, надо из точки на Ox идти либо вверх, либо вниз, чтобы попасть на график.

От x=1 идём вверх. От полученной точки на графике надо двигаться либо влево, либо вправо, чтобы попасть на ось Oy. В данном случае идем влево и попадаем с ординатой y=2 (стрелочки помогают увидеть направление движения).

Следовательно, при x=1 y=2.

Аналогично, если x=3, идем вверх до пересечения с графиком, затем влево до пересечения с осью ординат Oy.

Получаем, что при x=3 y=4.

Если x=-3, чтобы попасть на график функции, нужно идти вниз, затем — вправо, до пересечения с осью Oy.

При x=-1 ни вверх, ни вниз двигаться не надо — эта точка уже на графике функции. Следовательно, y=0.

Записываем: при x=-1 y=0.

При x=0 идем до графика вверх и попадаем в точку с ординатой y=2.

2) На рисунке 2 изображен график функции y=f(x).

Пользуясь графиком, найдите значение функции, если значение аргумента равно 1; 3; 5; 7; -1; -5.

Чтобы по графику функции найти y по x, сначала надо от точки с данной абсциссой попасть на график, двигаясь вверх либо вниз, а затем от точки на графике идти к оси Oy, двигаясь влево или вправо.

При x=1 идем до графика функции вверх, затем влево — на ось Oy. Попадаем в точку с ординатой y=2.

Пишем: при x=1 y=2.

При x равном -1 и -5 идем сначала вверх, затем — вправо.

При иксах равных 3; 5 и 7 идём вниз и влево.

Обратите внимание: различным значениям икса может соответствовать одно значение y:

Дана следующая функция y=f(x) :
y = 2x – 10, если x > 0
y = 0, если x = 0
y = 2 * |x| – 1, если x

Требуется найти значение функции по переданному x .

  1. Получить с клавиатуры значение x .
  2. Если x больше 0, то вычислить выражение 2*x-10 , результат присвоить переменной y .
  1. Иначе если x равен 0, то присвоить y значение 0.
  1. Иначе присвоить y результат выражения 2*|x|-1 .
  • Вывести значение y на экран.
  • var x , y : integer ;
    begin
    readln ( x ) ;
    if x > 0 then y : = 2 * x – 10
    else
    if x = 0 then y : = 0
    else y : = 2 * abs ( x ) – 1 ;

    writeln ( y ) ;
    end .

    main ( ) <
    int x , y ;
    scanf ( “%d” , & x ) ;
    if ( x > 0 ) y = 2 * x – 10 ;
    else
    if ( x == 0 ) y = 0 ;
    else
    y = 2 * abs ( x ) – 1 ;

    printf ( “%d
    ” , y ) ;
    >

    x = input ( )
    x = int ( x )

    if x > 0 :
    y = 2 *x – 10
    elif x == 0 :
    y = 0
    else :
    y = 2 * abs ( x ) – 1

    В КуМир функция взятия модуля от числа возвращает вещественное значение. Поэтому используется функция int(), чтобы привести к целому, иначе присвоение невозможно.

    Прежде чем перейти к разбору решения задач с функциями обязательно прочитайте урок
    «Что такое функция в математике».

    После того, как вы действительно поймете, что такое функция
    (возможно, придется прочитать урок не один раз) вы с бóльшей уверенностью сможете решать задания с функциями.

    В этом уроке мы разберем, как решать основные типы задач на функцию и графики функций.

    Как получить значение функции

    Рассмотрим задание.
    Функция задана формулой «y = 2x − 1»

    1. Вычислить «y» при «x = 15»
    2. Найти значение «x», при котором
      значение «y» равно «−19».

    Для того, чтобы вычислить «y» при
    «x = 15» достаточно подставить в функцию вместо «x»
    необходимое числовое значение.

    Запись решения выглядит следующим образом.

    y(15) = 2 · 15 − 1 = 30 − 1 = 29

    Для того, чтобы найти «x»
    по известному «y», необходимо подставить вместо
    «y» в формулу функции числовое значение.

    То есть теперь наоборот, для поиска «x»
    мы подставляем в функцию «y = 2x − 1» вместо
    «y» число «−19» .

    −19 = 2x − 1

    Мы получили линейное уравнение с неизвестным «x»,
    которое решается по правилам решения линейных уравнений.

    Запомните!
    !

    Не забывайте про правило переноса в уравнениях.

    При переносе из левой части уравнения в правую (и наоборот) буква или число меняет знак на
    противоположный.

    −19 = 2x − 1
    0 = 2x − 1 + 19
    −2x = −1 + 19
    −2x = 18

    Как и при решении линейного уравнения, чтобы найти неизвестное, сейчас
    требуется умножить и левую, и правую часть на «−1» для смены знака.

    −2x = 18       | · (−1)
    2x = −18                

    Теперь разделим и левую, и правую часть на «2», чтобы найти «x» .

    2x = −18     | (: 2)
    x = −9                

    Как проверить верно ли равенство для функции

    Рассмотрим задание.
    Функция задана формулой «f(x) = 2 − 5x».

    Верно ли равенство
    «f(−2) = −18»?


    Чтобы проверить верно ли равенство, нужно подставить в функцию «f(x) = 2 − 5x»
    числовое значение «x = −2» и сопоставить с тем, что получится при расчетах.

    Важно!
    Галка

    Когда подставляете отрицательное число вместо «x», обязательно заключайте его в скобки.

    Не забывайте использовать
    правило знаков.

    Неправильно

    неверная подставновка отрицательного числа в функцию

    Правильно

    верная подставновка отрицательного числа в функцию

    С помощью расчетов мы получили
    «f(−2) = 12».

    Это означает, что «f(−2) = −18»
    для функции «f(x) = 2 − 5x» не является верным равенством.

    Как проверить, что точка принадлежит графику функции

    Рассмотрим функцию «y = x2 −5x + 6»

    Требуется выяснить, принадлежит ли графику этой функции точка с координатами
    (1; 2).


    Для этой задачи нет необходимости, строить график заданной функции.

    Запомните!
    !

    Чтобы определить, принадлежит ли точка функции,
    достаточно подставить её координаты в функцию (координату по оси
    «Ox» вместо
    «x» и координату по оси «Oy»
    вместо «y»).

    Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит функции.

    Вернемся к нашему заданию. Подставим в функцию «y = x2 − 5x + 6»
    координаты точки (1; 2).

    Вместо «x» подставим «1».
    Вместо «y» подставим «2».

    2 = 12 − 5 · 1 + 6
    2 = 1 − 5 + 6
    2 = −4 + 6
    2 = 2 (верно)

    У нас получилось верное равенство, значит, точка с координатами
    (1; 2) принадлежит заданной функции.

    Теперь проверим точку с координатами (0; 1).
    Принадлежит ли она
    функции «y = x2 − 5x + 6»?

    Вместо «x» подставим «0».
    Вместо «y» подставим «1».

    1 = 02 − 5 · 0 + 6
    1 = 0 − 0 + 6
    1 = 6 (неверно)

    В этом случае мы не получили верное равенство.
    Это означает, что точка с координатами (0; 1) не принадлежит функции
    «y = x2 − 5x + 6»

    Как получить координаты точки функции

    С любого графика функции можно снять координаты точки. Затем необходимо убедиться, что при подстановке координат
    в формулу функции получается верное равенство.

    Рассмотрим функцию «y(x) = −2x + 1». Её график
    мы уже
    строили
    в предыдущем уроке.

    график функции y = 2x + 1

    Найдем на графике функции «y(x) = −2x + 1», чему равен «y»
    при x = 2.

    Для этого из значения «2» на оси «Ox» проведем перпендикуляр к графику функции.
    Из точки пересечения перпендикуляра и графика функции проведем еще один перпендикуляр к оси «Oy».

    получение координаты y с графика функции

    Полученное значение «−3» на оси «Oy» и будет искомым значением «y».

    Убедимся, что мы правильно сняли координаты точки для x = 2
    в функции «y(x) = −2x + 1».

    Для этого мы подставим x = 2 в формулу функции
    «y(x) = −2x + 1». Если мы правильно
    провели перпендикуляр, мы также должны получить в итоге y = −3.

    y(2) = −2 · 2 + 1 = −4 + 1 = −3

    При расчетах мы также получили y = −3.

    Значит, мы правильно получили координаты с графика функции.

    Важно!
    Галка

    Все полученные координаты точки с графика функции обязательно проверяйте
    подстановкой значений «x» в функцию.

    При подстановке числового значения «x» в функцию в результате должно получиться
    то же значение «y», которое вы получили на графике.

    При получении координат точек с графика функции высока вероятность, что вы ошибетесь, т.к. проведение перпендикуляра к осям выполняется «на глазок».

    Только подстановка значений в формулу функции дает точные результаты.


    Ваши комментарии

    Важно!
    Галка

    Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

    «ВКонтакте».

    Пришелец пожимает плечами

    Оставить комментарий:

    11 ноября 2018 в 15:46

    Веточка Сакуры
    (^-^)
    Профиль
    Благодарили: 0

    Сообщений: 1

    (^-^)
    Веточка Сакуры
    Профиль
    Благодарили: 0

    Сообщений: 1

    Функция y=f(x) является нечётной и при x ⩽0 задаётся формулой y= –  x² — 8x.Найдите значение фун. в т. минимума (y min).

    0
    Спасибоthanks
    Ответить

    12 ноября 2018 в 3:25
    Ответ для Веточка Сакуры

    Евгений Фёдоров
    (^-^)
    Профиль
    Благодарили: 0

    Сообщений: 60

    (^-^)
    Евгений Фёдоров
    Профиль
    Благодарили: 0

    Сообщений: 60


    ymin = y(4) = -16.

    0
    Спасибоthanks
    Ответить

    17 сентября 2018 в 13:28

    Alesger Mammedov
    (^-^)
    Профиль
    Благодарили: 0

    Сообщений: 1

    (^-^)
    Alesger Mammedov
    Профиль
    Благодарили: 0

    Сообщений: 1

    Добрый день помогите пожалуйста с задачкой
    f(x2-3x)=3x2+5x-4
    f(3)=?

    0
    Спасибоthanks
    Ответить

    17 сентября 2018 в 23:01
    Ответ для Alesger Mammedov

    Евгений Фёдоров
    (^-^)
    Профиль
    Благодарили: 0

    Сообщений: 60

    (^-^)
    Евгений Фёдоров
    Профиль
    Благодарили: 0

    Сообщений: 60


    f(3) = 26 ± 7√21 

    0
    Спасибоthanks
    Ответить

    13 ноября 2016 в 6:43

    Роман Безбородов
    (^-^)
    Профиль
    Благодарили: 0

    Сообщений: 1

    (^-^)
    Роман Безбородов
    Профиль
    Благодарили: 0

    Сообщений: 1

    определите вид графика

    0
    Спасибоthanks
    Ответить

    14 ноября 2016 в 17:30
    Ответ для Роман Безбородов

    Евгений Фёдоров
    (^-^)
    Профиль
    Благодарили: 0

    Сообщений: 60

    (^-^)
    Евгений Фёдоров
    Профиль
    Благодарили: 0

    Сообщений: 60


    y =  ax; a > 1. 

    0
    Спасибоthanks
    Ответить

    7 сентября 2016 в 22:08

    Иван Баранов
    (^-^)
    Профиль
    Благодарили: 0

    Сообщений: 3

    (^-^)
    Иван Баранов
    Профиль
    Благодарили: 0

    Сообщений: 3

    у=Х2+2Х-3 найдите значение функции, если значение аргумента равно -2
    у=3х-5 при каком значении аргумента значение функции раво 10

    0
    Спасибоthanks
    Ответить

    8 сентября 2016 в 15:26
    Ответ для Иван Баранов

    Юлия Анарметова
    (^-^)
    Профиль
    Благодарили: 0

    Сообщений: 11

    (^-^)
    Юлия Анарметова
    Профиль
    Благодарили: 0

    Сообщений: 11


    аргумент это х значит у=(-2)2+2 · (-2)-3=4-4-3=-3
    у=3х-5 значит 10=3х-5
                              10+5=3х
                               15=3х
                               х=15:3=5

    0
    Спасибоthanks
    Ответить


    Как найти значение функции по значению аргумента




    Как найти значение функции по значению аргумента? Это можно сделать с помощью формулы, задающей функцию.

    Если функция задана формулой y=f(x), чтобы найти значение функции по данному значению аргумента, надо в формулу функции вместо каждого икса подставить это значение и вычислить значение y.

    Пример.

    1) Линейная функция задана формулой y=10x-7.

    Найти значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 3; -2,5; 1,4; 0.

    Решение:

    При x=3 

        [y = 2 cdot {10^3} + 5 cdot {10^2} - 1 = ]

    при x=-2,5 

        [y = 10 cdot ( - 2,5) - 7 = - 25 - 7 = - 32;]

    при x=1,4 

        [y = 10 cdot 1,4 - 7 = 14 - 7 = 7;]

    при x=0 

        [y = 10 cdot 0 - 7 = 0 - 7 = - 7.]

    2) Функция задана формулой

        [y = 2{x^3} + 5{x^2} - 1.]

    Найти значение функции при x, равном 10; -2; 1; 0.

    Решение:

    При x=10 

        [y = 2 cdot {10^3} + 5 cdot {10^2} - 1 = ]

        [ = 2 cdot 1000 + 5 cdot 100 - 1 = 2499;]

    при x=-2 

        [y = 2 cdot {( - 2)^3} + 5 cdot {( - 2)^2} - 1 = ]

        [ = 2 cdot ( - 8) + 5 cdot 4 - 1 = 3;]

    при x=1

        [y = 2 cdot {1^3} + 5 cdot {1^2} - 1 = 2 cdot 1 + 5 cdot 1 - 1 = 6;]

    при x=0 

        [y = 2 cdot {0^3} + 5 cdot {0^2} - 1 = ]

        [ = 2 cdot 0 + 5 cdot 0 - 1 = - 1.]

    Значение функции по данному значению аргумента можно найти также по графику. Как это сделать, мы рассмотрим в следующий раз.

    Добавить комментарий