Как найти значение функции от матрицы

Содержание

Сначала оптимизируем вычисление степени матрицы.

П

Пример 1. Вычислить

$$
A^{100} quad npu quad
A=left(
begin{array}{rrrr}
1 &2 &1 &0 \
1 & 1 & 0 &-1 \
-2& 0 & 1 & 2 \
0 & 2 & 1 & 1
end{array}
right)^{100} .
$$

Решение. Можно организовать вычисление $ A^{100} $ по алгоритму квадрирования-умножения, заимствованному из раздела “MОДУЛЯРНАЯ АРИФМЕТИКА”:
$$ A^{100}=left( left( left( left( left( left( A right)^2 A right)^2 right)^2 right)^2 Aright)^2 right)^2 . $$
Имеем: $ underline{100}_{_{10}}=underline{1100100}_{_2} $
$$
begin{array}{|c|c|c|c|c|}
hline
j & 1 & 2 & 3 & 4 \
hline
{mathfrak b}_j & 1 & 1 & 0 & 0 \
hline
& A & A^2 A & left(A^3 right)^2 & left(A^6 right)^2 \
&
left(
begin{array}{rrrr}
1 &2 &1 &0 \
1 & 1 & 0 &-1 \
-2& 0 & 1 & 2 \
0 & 2 & 1 & 1
end{array}
right)
&
left(
begin{array}{rrrr}
1 &6 & 3 &0 \
3& 1 & 0 &-3 \
-6& 0 & 1 & 6 \
0 & 6 & 3 & 1
end{array}
right)
&
left(
begin{array}{rrrr}
1 & 12 & 6 &0 \
6 & 1 & 0 &-6 \
-12& 0 & 1 & 12 \
0 & 12 & 6 & 1
end{array}
right)
&
left(
begin{array}{rrrr}
1 & 24 & 12 &0 \
12 & 1 & 0 &-12 \
-24& 0 & 1 & 24 \
0 & 24 & 12 & 1
end{array}
right)
\
hline
end{array}
$$
$$
begin{array}{|c|c|c|}
hline
5 &6 &7 \
hline
1 &0 & 0 \
hline
left(A^{12} right)^2 A &
left(A^{25} right)^2&
left(A^{50} right)^2 \
left(
begin{array}{rrrr}
1 & 50 & 25 &0 \
25 & 1 & 0 &-25 \
-50& 0 & 1 & 50 \
0 & 50 & 25 & 1
end{array}
right)
&
left(
begin{array}{rrrr}
1 & 100 & 50 &0 \
50 & 1 & 0 &-50 \
-100& 0 & 1 & 100 \
0 & 100 & 50 & 1
end{array}
right)
&
left(
begin{array}{rrrr}
1 & 200 & 100 &0 \
100 & 1 & 0 &-100 \
-200& 0 & 1 & 200 \
0 & 200 & 100 & 1
end{array}
right)
\
hline
end{array}
$$

♦

Рассмотрим далее произвольный полином $ g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+dots+b_m in mathbb C[x] $.
Вычисление его значения от матрицы $ A_{} $, т.е.
$$ g(A)=b_0A^m +b_1A^{m-1}+dots+b_m E , $$
где $ E_{} $ — единичная матрица того же порядка, что и $ A_{} $, может быть произведено с помощью
схемы Хорнера — чтобы сэкономить на операции умножения матриц.

П

Пример 2. Вычислить $ g(A)_{} $ для

$$ g(x)= 3,x^4-x^3+2,x^2-4,x-1 quad u quad
A=left( begin{array}{rrr}
1 & -3 & 4 \
3& 1 &8 \
-4 & -8 & 1
end{array}
right) .
$$
Решение. Схему Хорнера организуем по тому же принципу, что и для вычисления значения полинома в точке:
$$
g(A)=(((3,A-E)A+2,E)A-4,E)A-E .
$$
$$
B_1 = 3A-E =
left( begin{array}{rrr}
2 & -9 & 12 \
9& 2 & 24 \
-12 & -24 & 2
end{array}
right) ;
$$
$$
B_2=B_1A+2E=
left( begin{array}{rrr}
-71 & -111 & -52 \
-81& -215 & 76 \
-92 & -4 & -236
end{array}
right) ;
$$
$$
B_3=B_2A-4E=
left( begin{array}{rrr}
-200 & 518 & -1224 \
-1030& -584 & -1968 \
840 & 2160 & -640
end{array}
right) ;
$$
$$
g(A)=B_4=B_3A-E=
left( begin{array}{rrr}
6249 & 10910 & 2120 \
5090& 18249 & -10760 \
9880 & 4760 & 19999
end{array}
right)
$$

♦

Дальнейшие упрощения возможны в случае, когда $ deg g ge n $, т.е. когда степень полинома становится больше или равной порядка матрицы. Предположим, что мы в состоянии вычислить характеристический полином матрицы $ A_{} $:
$$ f(x)=det (A-x E) , . $$

Т

Теорема 1. Обозначим $ g_1(x) $ остаток от деления $ g_{}(x) $ на характеристический полином $ f(x)=det (A – x E) $. Тогда

$$ g(A)= g_1(A) .$$

Доказательство. Действительно, указанное равенство последует из теоремы Гамильтона-Кэли при подстановке матрицы $ A_{} $ в
формулу
$$
g(x)equiv f(x)q(x)+g_1(x) , deg g_1 < n
$$
здесь $ q_{}(x) $ означает частное от деления $ g(x_{}) $ на $ f(x_{}) $.

♦

Эта теорема позволяет свести вычисление $ g({mathbf A}) $ к случаю полинома степени меньшей порядка матрицы. Это соображение существенно упрощает поставленную задачу, но при этом возникает другая: как вычислить остаток от деления если делимое существенно превосходит делитель по степени? Посмотрим, как этот подход будет выглядеть для примера 1.

П

Пример 3. Вычислить

$$
A^{100} quad npu quad
A=left(
begin{array}{rrrr}
1 &2 &1 &0 \
1 & 1 & 0 &-1 \
-2& 0 & 1 & 2 \
0 & 2 & 1 & 1
end{array}
right)^{100} .
$$

Решение. Здесь
$$det (A- x E) = x^4-4,x^3+6, x^2 – 4, x +1 . $$
Деление полинома $ g(x)equiv x^{100} $ на характеристический полином, организованное традиционным способом (т.е. “в столбик” ) дает в остатке полином
$$ g_1(x)=161700,x^3-480150,x^2+475300,x-156849 ; $$
при этом частное $ q_{}(x) $ является полиномом $ 96 $-й степени. Для вычислений обоих полиномов приходится использовать специализированный пакет компьютерной алгебры. Вычисление $ g_1(A) $ уже может быть произведено «вручную», например, с использованием схемы Хорнера.

♦

Заметим, что собственно частное от деления полинома $ g_{}(x) $ на характеристический полином не участвует в последующих вычислениях полинома от матрицы — для этого нужны только коэффициенты остатка. Можно ли изобрести обходной способ вычисления остатка, который не требует промежуточного вычисления частного? — Оказывается, можно.

Предположим, что мы в состоянии найти корни характеристического полинома $ f(x)=det (A-x E) $, т.е. собственные числа матрицы $ A_{} $. Предположим сначала, что все эти корни $ lambda_1,dots,lambda_n $ различны. Подставим их в тождество для определения частного и остатка:
$$
g(x)equiv f(x)q(x)+g_1(x) , .
$$
Поскольку $ f(lambda_j)=0 $ при $ jin {1,dots,n} $, получаем равенства
$$ {g(lambda_j) = g_1(lambda_j)}_{j=1}^n , . $$
Полином $ g_1(x) $ имеет степень меньшую $ n_{} $, а его значения совпадают со значениями полинома $ g(x) $ в $ n_{} $ точках. Такой полином определяется однозначно — как интерполяционный полином, построенный по таблице значений
$$
begin{array}{c|ccccc}
x & lambda_1 & lambda_2 & dots & lambda_n \ hline
y & g(lambda_1) & g(lambda_2) &dots & g(lambda_n)
end{array}
$$
Для его вычислений можно использовать любой из методов, изложенных в разделе “ИНТЕРПОЛЯЦИЯ”. Предпочтение отдается методу Лагранжа:
$$
g_1(x) equiv
sum_{k=1}^n frac{g(lambda_k)}{f_k(lambda_k)}f_k(x)
= sum_{k=1}^n frac{g(lambda_k)}{f'(lambda_k)}f_k(x)
$$
где $ f_{k}(x) $ означает частное от деления характеристического полинома на его линейный множитель:
$$
f_k(x)equiv frac{f(x)}{x-lambda_k}
equiv (x-lambda_1)times dots times (x-lambda_{k-1})
(x-lambda_{k+1})times dots times (x-lambda_{n})
, .
$$

Т

Теорема 2. Если все собственные числа $ lambda_{1},dots,lambda_n $
матрицы $ A_{} $ различны, то

$$
g(A)= sum_{k=1}^n frac{g(lambda_k)}{f_k(lambda_k)}f_k(A)
= sum_{k=1}^n frac{g(lambda_k)}{f'(lambda_k)}f_k(A)
$$
где $ f_k(x) $ означает частное от деления $ f_{}(x) $ на $ x- lambda_k $.

Каждое из суммируемых выражений в формуле можно представить в виде двух
сомножителей:
один из них зависит от полинома $ g_{}(x) $, а второй — не зависит. Таким образом,
при изменении полинома происходит лишь пересчет значений
$ g(lambda_1),dots, g(lambda_n) $, а их матричные сомножители не меняются.
Структура этих последних уже была нами установлена в пункте

☞

СОБСТВЕННЫЙ ВЕКТОР: каждая
матрица $ f_k(A) $ — ранга $ 1 $, т.е. имеет свои столбцы пропорциональными (и равными собственным векторам, принадлежащим $ lambda_{k} $).

П

Пример 4. Выписать формулу $ g(A)_{} $ для произвольного
$ g(x)in mathbb C[x] $ и

$$
A=left( begin{array}{rrr}
9 & 22 & -6 \ -1 &-4 & 1 \ 8 & 16 & -5
end{array}
right) .
$$

Решение. $ det (A-x E)=-(x-3) (x+2)(x+1) $.
Пренебрегая знаком – , имеем:
$$
begin{matrix}
f_1(x)=x^2+3x+2 & u & f_1(A)=
left( begin{array}{rrr}
40 & 80 & -20 \ 0 &0 & 0 \ 40 & 80 & -20
end{array}
right) , f_1(3)=20 ; \
f_2(x)=x^2-2x-3 & u & f_2(A)=
left( begin{array}{rrr}
-10 & -30 & 10 \ 5 &15 & -5 \ 0 & 0 & 0
end{array}
right) , f_2(-2)=5 ; \
f_3(x)=x^2-x-6 & u & f_3(A)=
left( begin{array}{rrr}
-4 & -8 & 4 \ 4 & 8 & -4 \ 8 & 16 & -8
end{array}
right), f_3(-1)=-4 .
end{matrix}
$$
$$
g(A)=g(3)
left(
begin{array}{rrr}
2 & 4 & -1 \ 0 &0 & 0 \ 2 & 4 & -1
end{array}
right) + g(-2)
left( begin{array}{rrr}
-2 & -6 & 2 \ 1 &3 & -1 \ 0 & 0 & 0
end{array}
right)
+ g(-1)
left( begin{array}{rrr}
1 & 2 & -1 \ -1 & -2 & 1 \ -2 & -4 & 2
end{array}
right) .
$$

♦

В случае, когда характеристический полином матрицы $ A_{} $ имеет кратные корни, для вычисления полинома $ g_1(x) $ из теоремы $ 1 $ приходится привлекать обобщение понятия классического интерполяционного полинома в виде интерполяционного полинома Эрмита. Действительно, полином $ g_1(x) $ определялся в теореме $ 1 $ как остаток от деления $ g_{}(x) $ на характеристический полином $ f(x)=det (A- xE) $:
$$
g(x)equiv f(x)q(x)+g_1(x) ;
$$
При этом $ deg g_1 < n $, и, следовательно, полином $ g_1(x) $ вполне определялся произвольным набором $ n_{} $ своих значений — мы брали их равными $ g(lambda_1),dots,g(lambda_n) $ в случае, когда все корни $ f_{}(x) $ были различными (простыми).
Если же теперь среди корней имеются кратные и разложение характеристического полинома на линейные множители имеет вид
$$
f(x)equiv (-1)^n(x – lambda_1)^{{mathfrak m}_1} times
dots times (x – lambda_{{mathfrak r}})^{ {mathfrak m}_{{mathfrak r}}} quad ; quad
{mathfrak m}_1+dots+{mathfrak m}_{{mathfrak r}}=n, lambda_k ne
lambda_{ell} npu k ne ell, exists {mathfrak m}_j > 1,
$$
то для нахождения полинома $ g_1(x) $ не хватает значений $ g(lambda_1),dots, g(lambda_{{mathfrak r}}) $. Для получения дополнительных условий, можно продифференцировать тождество $ g(x)equiv f(x)q(x)+g_1(x) $ по $ x_{} $ и подставить в получившееся значения всех кратных корней полинома $ f_{}(x) $:
$$ g^{prime}(lambda_j) = f^{prime}(lambda_j) q(lambda_j)+f(lambda_j) q^{prime}(lambda_j)+g_1(lambda_j) . $$
Поскольку для любого кратного корня $ lambda_{j} $ будет выполнено условие
(см.

☞

ЗДЕСЬ ): $ f^{prime}(lambda_j)=0 $, то результатом подстановки будет равенство $ g^{prime}(lambda_j)=g_1^{prime}(lambda_j) $. Получаем дополнительные условия для определения полинома $ g_{1}(x) $. Итак, для нахождения полинома $ g_1(x) $ нам следует дополнительно к значениям $ g_{}(x) $ на всех корнях характеристического полинома (т.е. на собственных числах) матрицы $ A_{} $ вычислить еще и значения производной этой функции на всех кратных корнях. Может, однако, так случиться, что и этих дополнительных условий будет недостаточно для нахождения полинома $ g_1(x) $. Тогда следует продолжить процесс вычисления производных — для тех значений $ lambda_{j} $, кратность которых $ {mathfrak m}_j $ больше $ 2_{} $. Окончательно, для определения полинома $ g_1(x) $ мы имеем значения полинома $ g(x) $
и его производных
$$
begin{matrix}
g(lambda_1),dots, g^{({mathfrak m}_{_1}-1)}(lambda_1), \
g(lambda_2),dots, g^{({mathfrak m}_{_2}-1)}(lambda_1), \
dots, \
g(lambda_{mathfrak r}),dots, g^{({mathfrak m}_{_{mathfrak r}}-1)}(lambda_{mathfrak r}) ;
end{matrix}
$$
при этом количество значений в каждой строке равно (алгебраической) кратности соответствующего собственного числа. По этим значениям полином степени меньшей $ n_{} $ восстанавливается однозначно.

Заметим, что данный метод не чувствителен к геометрической кратности каждого из собственных чисел (т.е. к структуре
жордановой нормальной формы матрицы $ A_{} $ вне ее главной диагонали); для его работы достаточно информации об алгебраической кратности.

П

Пример 5. Вычислить $ A^{100} $ для

$$
A=
left(
begin{array}{rrrr}
1 &2 &1 &0 \
1 & 1 & 0 &-1 \
-2& 0 & 1 & 2 \
0 & 2 & 1 & 1
end{array}
right) ;
A=
left(
begin{array}{rrrr}
1 &0 &0 &0 \
1 & 2 & 0 &1 \
2& 3 & 1 & 2 \
-1 & -1 & 0 & 0
end{array}
right) ;
A=
left(
begin{array}{rrrr}
1 &1 & 2 &-1 \
1 & -1 & -4 &2 \
0& 1 & 3 & -1 \
0 & 0 & 1 & 1
end{array}
right) .
$$

Решение. У всех трех матриц одинаковый характеристический полином: $ det (A- x E) = (x-1)^4 $. Остаток от деления $ x^{100} $ на $ (x-1)^4 $ совпадает с отрезком ряда Тейлора функции $ x^{100} $ при разложении ее по степеням $ x-1 $, т.е. с
$$
begin{matrix}
g_1(x)&=&1+100,(x-1)+frac{100cdot99}{2}(x-1)^2+frac{100cdot 99 cdot 98}{6}(x-1)^3= \
&= & -156849+475300,x-480150,x^2+161700,x^3 .
end{matrix}
$$
Для всех трех матриц формула вычисления $ A^{100} $ одна и та же:
$$
A^{100} =
-156849, E+475300,A-480150,A^2+161700,A^3 .
$$
Несмотря на то обстоятельство, что жордановы нормальные формы у этих матриц различны.

♦

В приведенном способе нахождения остатка от деления полинома $ g(x) $ на характеристический полином матрицы $ A_{} $ имеется один нюанс, требующий пояснений.
Предположим, что элементы матрицы $ A_{} $ целочислены: $ {a_{jk} in mathbb Z}_{j,k=1}^n $. Тогда и характеристический полином $ f(x)=det (A-x E) $ является полиномом
с целочисленными коэффициентами $ f(x) in mathbb Z[x] $. Поскольку старший коэффициент $ f_{}(x) $ равен $ 1_{} $ по абсолютной величине, то и остаток от деления
$ g_{} (x) $ на $ f_{}(x) $ будет иметь только целые коэффициенты (см.

☞

ЗДЕСЬ ): $ g_1(x) in mathbb Z[x] $. Между тем, вычисление этого полинома через посредство корней характеристического полинома, в общем случае, приводит к иррациональным выражениям: корни полинома, как правило, не выражаются в радикалах через его коэффициенты.

П

Пример 6. Вычислить $ g(A) $ для

$$ g(x)= x^{10}-6,x^8+11,x^7-x^3+4,x^2- 1 $$
и
$$
A=
left(
begin{array}{rrrrr}
6 &1 &5 &2 & -1 \
-5 & -1 & -4 & -2 & 1 \
-5 & -1 & -5 & -1 & 1 \
-5 & -1 & -5 & -2 & 2 \
-5 & 0 & -7 & -2 & 2
end{array}
right) , .
$$

Решение. Характеристический полином $ f(x)= det (A-x E)=-(x^5-4,x-2) $ имеет корни, не выражающиеся в радикалах.
Попробуем применить теорему 2 для приближенных значений корней:
$$ lambda_1 approx -1.243596, lambda_2 approx -0.508499, lambda_3 approx 1.518512, lambda_{4,5} approx 0.116792 pm {mathbf i}, 1.438448,, . $$
Для нахождения частных от деления $ f_{}(x) $ на линейные множители $ (x-lambda_j) $ воспользуемся следующим приемом. Частное от деления произвольного полинома
$$ f(x)=a_0x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5 $$
на линейный полином $ x – lambda $ находится по формуле
$$
q(x,lambda)=a_0x^4+(a_0lambda + a_1)x^3+(a_0lambda^2+a_1lambda+a_2)x^2+(a_0lambda^3+a_1lambda^2+a_2lambda+a_3)x+
$$
$$
+(a_0lambda^4+a_1lambda^3+a_2lambda^2+a_3 lambda+a_4) , ,
$$
которая является развернутым вариантом схемы Хорнера. Подставляя сюда значения коэффициентов характеристического полинома $ f_{}(x) $ и приближенные значения его корней, получаем приближения полиномов $ f_j(x) $:
$$
begin{array}{ccl}
f_1(x) &approx & -x^4+1.243596,x^3-1.546532,x^2+1.923266,x+1.608239 , , \
f_2(x) & approx &-x^4+0.508499,x^3-0.258572,x^2+0.131483,x+3.933141, , \
f_3(x) & approx & dots \
f_{4,5}(x) & approx & -x^4+(-0.116792mp 1.438448, mathbf i),x^3+(2.055491mp 0.335998, mathbf i),x^2+ dots
end{array}
$$
Вычисляем значения этих полиномов на матрице $ A_{} $:
$$
f_1(A) approx
left(
begin{array}{rrrrr}
1.844873 & 0.503518 & 3.247794 & -1.280266 & 0.201656 \
0.383692& 0.104720 & 0.675468 & -0.266266 & 0.041940 \
-4.616308& -1.259922 & -8.126748 & 3.203527 &-0.504592 \
1.601674 & 0.437142 & 2.819656 &-1.111496 & 0.175073 \
-6.130986 & -1.673321 & -10.793252 & 4.254651 & -0.670156
end{array}
right)
$$
$$
f_2(A) approx
left(
begin{array}{rrrrr}
-6.028030 & -5.334374 & -3.876435 & 0.470253 & 0.893870 \
9.342582 & 8.267515 & 6.007919& -0.728825 & -1.385371\
4.342582 & 3.842873 & 2.792577 & -0.338769 & -0.643943\
6.885079 & 6.092801 & 4.427577 & -0.537112 & -1.020959\
5.592221 & 4.948714 & 3.596180 &-0.436255 & -0.829246
end{array}
right)
$$
$$
f_3(A) approx dots
$$
$$
f_{4,5}(A) approx
left(
begin{array}{rrr}
-4.833170pm 17.111687 , mathbf i & -10.621186 pm 0.712576 , mathbf i & dots \
6.383099 mp 14.587375 , mathbf i & 9.509036 pm 0.668706 , mathbf i & dots \
1.383099 mp 14.587376 , mathbf i & 8.504395mp 2.151023 , mathbf i & dots \
0.799140 mp 21.779614 , mathbf i & 12.443094mp 3.925469 , mathbf i & dots \
11.076597 mp 23.459604 , mathbf i & 15.455549pm 1.532904 , mathbf i & dots
end{array}
right) , .
$$
Несмотря на кажущуюся хаотичность формирования элементов этих матриц, столбцы каждой из них пропорциональны (впрочем, равно как и строки).
Составляем матрицу из теоремы $ 2 $:
$$
sum_{k=1}^5 frac{g(lambda_k)}{f_k(lambda_k)}f_k(A) =
sum_{k=1}^5 frac{g(lambda_k)}{f_k(lambda_k)} q(A,lambda_k) approx
$$
$$
approx
left(
begin{array}{rrrrr}
-94.999999 & -173.999999 & -237.999999 & 143.999999 & 198.999999 \
159.999999 & 149.999999& 301.999999&-101.999999&-191.999999\
39.999999&156.999999&79.999999&-127.999999&-125.999999\
194.999999 &277.999999&229.999999&-239.999999&-140.999999\
404.999999&273.999999&435.999999&-67.999999&-278.999999
end{array}
right)
$$
(при уменьшении точности вычислений возможно появление ненулевых мнимых частей). Полученный ответ можно интерпретировать как приближение истинного, а именно, целочисленного:
$$
left(
begin{array}{rrrrr}
-95&-174&-238&144&199\
160&150&302&-102&-192\
40&157&80&-128&-126\
195&278&230&-240&-141\
405&274&436&-68&-279
end{array}
right) , .
$$
Возникает вопрос: можно ли было получить этот ответ, не прибегая к численным методам (и использованию мнимых чисел)? Где именно «заложена» принципиальная целочисленность ответа? Для ответа посмотрим на выражение
$$
sum_{k=1}^5 frac{g(lambda_k)}{f_k(lambda_k)}f_k(A) = sum_{k=1}^5 frac{g(lambda_k)}{f_k(lambda_k)}f_k(A) =
$$
$$
sum_{k=1}^5 frac{g(lambda_k)}{f_k(lambda_k)} left(a_0A^4+(a_0lambda_k + a_1)A^3 + (a_0lambda_k^2+a_1lambda_k+a_2)A^2 dots right)=
$$
$$
= left(a_0sum_{k=1}^5 frac{g(lambda_k)}{f_k(lambda_k)} right)A^4 +
left( a_0 sum_{k=1}^5 frac{g(lambda_k)lambda_k}{f_k(lambda_k)}+a_1 sum_{k=1}^5 frac{g(lambda_k)}{f_k(lambda_k)} right) A^3+ dots , ,
$$
здесь $ a_0=(-1)^n,a_1, a_2,dots $ обозначают коэффициенты полинома $ f_{}(x) $. Выражения в круглых скобках представляют собой симметрические рациональные функции от корней этого полинома. Согласно теореме Гаусса, эти функции допускают представление в виде рациональных функций от коэффициентов $ a_0,a_1, a_2,dots $ (а, на самом деле, полиномов от этих коэффициентов). Так что ответ в задаче действительно должен быть целочисленным. Другое дело, что для его практического поиска мы привлекли численные методы поскольку явное представление симметрических рациональных функций через коэффициенты полинома — задача весьма сложная.

♦

Все применения ЖНФ основаны на формулах подобия матрицы и ее ЖНФ:
$$C^{-1}{mathbf A}C ={mathbf A}_{_{mathfrak J}} quad iff quad {mathbf A}=
C{mathbf A}_{_{mathfrak J}}C^{-1} . $$

Оказывается, что любая мыслимая операция над
матрицей $ {mathbf A} $ может быть сведена к этой же операции над формой Жордана:
$$g({mathbf A})= Cg({mathbf A}_{_{mathfrak J}})C^{-1} .$$
В самом деле, имеем, например:
$$
{mathbf A}^2 =(C{mathbf A}_{_{mathfrak J}}C^{-1})^2=C{mathbf A}_{_{mathfrak J}}C^{-1}C{mathbf A}_{_{mathfrak J}}C^{-1}=C{mathbf A}_{_{mathfrak J}}^2C^{-1} .
$$
По индукции можно показать справедливость равенства
$$
{mathbf A}^N=C{mathbf A}_{_{mathfrak J}}^NC^{-1} quad npu quad forall N in mathbb N .
$$
Далее, справедливость равенства $ {mathbf A}^0=E=C{mathbf A}_{_{mathfrak J}}^0C^{-1} $
очевидна.
Но тогда можно доказать и справедливость равенства
$$ g({mathbf A}) = Cg({mathbf A}_{_{mathfrak J}})C^{-1} $$
для любого полинома $ g(x)=b_0x^m+dots+b_m in mathbb C[x] $. Отсюда — прямая дорога к аналитическим функциям от матрицы… Этот переход обсудим НИЖЕ,
а пока остановимся и проведем анализ структуры полинома от ЖНФ.

Мы будем рассматривать матрицы и их ЖНФ над полем $ mathbb C_{} $. Пусть характеристический полином матрицы $ mathbf A_{} $
имеет следующее разложение на линейные множители над полем $ mathbb C_{} $:
$$
f(lambda)= det (mathbf A – lambda E) equiv (-1)^n(lambda – lambda_1)^{{mathfrak m}_1} times
dots times (lambda – lambda_{{mathfrak r}})^{ {mathfrak m}_{{mathfrak r}}} quad ; quad
{mathfrak m}_1+dots+{mathfrak m}_{{mathfrak r}}=n, lambda_k ne
lambda_{ell} npu k ne ell.
$$
ЖНФ матрицы $ mathbf A_{} $ имеет вид блочно-диагональной матрицы
$$
{mathbf A}_{_{mathfrak J}}=left(
begin{array}{cccc}
mathbf A_1 & mathbb O & dots & mathbb O \
mathbb O & mathbf A_2 & dots & mathbb O \
vdots & & ddots & vdots\
mathbb O & mathbb O & dots & mathbf A_{{mathfrak r}}
end{array}
right) quad , quad mbox{ здесь } mathbf A_j – mbox{ матрица порядка }
{mathfrak m}_jtimes {mathfrak m}_j .
$$
В свою очередь, каждая из составляющих матриц
$ mathbf A_j $ имеет снова блочно-диагональный вид
$$
mathbf A_j=
left(
begin{array}{cccc}
{mathbf A}_{j1} & mathbb O & dots & mathbb O \
mathbb O & {mathbf A}_{j2} & dots & mathbb O \
vdots & & ddots & vdots\
mathbb O & mathbb O & dots & {mathbf A}_{j ell_j}
end{array}
right)
$$
где на диагонали стоят клетки Жордана, т.е. матрицы вида
$$
{mathfrak J}_k (lambda_j) =
left(
begin{array}{cccccc}
lambda_j & & & & & \
1 & lambda_j & & & & \
0 & 1 & lambda_j & & mathbb O & \
vdots & & ddots & ddots& & \
0 & 0 & 0 & dots & lambda_j & \
0 & 0 & 0 & dots & 1 & lambda_j
end{array}
right)_{k times k} .
$$
Теперь наша задача — свести вычисление произвольного полинома от $ {mathbf A}_{_{mathfrak J}} $ к вычислению этого же полинома от клеток Жордана: $ g({mathbf A}_{_{mathfrak J}}) $ — к $ g({mathfrak J}_k (lambda_j)) $.

Т

Теорема 3. Если матрица $ {mathbf D} $ — блочно-диагональная, то и $ {mathbf D}^N $ —
блочно-диагональная:

$$
left(
begin{array}{cccc}
{mathbf D}_1 & mathbb O & dots & mathbb O \
mathbb O & {mathbf D}_2 & dots & mathbb O \
vdots & & ddots & vdots \
mathbb O & mathbb O & dots & {mathbf D}_r
end{array}
right)^N=
left(
begin{array}{cccc}
{mathbf D}_1^N & mathbb O & dots & mathbb O \
mathbb O & {mathbf D}_2^N & dots & mathbb O \
& & ddots & \
mathbb O & mathbb O & dots & {mathbf D}_r^N
end{array}
right) .
$$
Здесь $ {mathbf D}_1, dots, {mathbf D}_r $ — квадратные матрицы¹⁾.

Т

Теорема 4. Если матрица $ L_{} $ — нижнетреугольная, то и $ L^N $ — нижнетреугольная.

Теоремы $ 3 $ и $ 4 $ сводят вычисление степени матрицы $ {mathbf A} $ к вычислению степени ее клеток Жордана $ {mathfrak J}_k (lambda_j) $.

Т

Теорема 5. Имеет место равенство:

$$
left(
begin{array}{rrrrrr}
lambda & & & & & \
1 & lambda & &mathbb O & & \
0& 1 & lambda & & & \
vdots & & ddots & ddots & & \
0 & 0 & dots & 1 & lambda & \
0 & 0 & dots & 0 & 1 &lambda
end{array}
right)_{ktimes k}^N=
left(
begin{array}{ccrlcc}
lambda^N & & & & & \
C_N^1 lambda^{N-1} & lambda^N & &mathbb O & & \
C_N^2 lambda^{N-2} & C_N^1 lambda^{N-1} & lambda^N & & & \
dots & & ddots & ddots & & \
C_N^{k-2} lambda^{N-k} & dots & & C_N^1 lambda^{N-1} &lambda^N & \
C_N^{k-1} lambda^{N-k+1} & dots & & C_N^2 lambda^{N-2} & C_N^1 lambda^{N-1} &lambda^N
end{array}
right)
$$
(считаем здесь элементы с отрицательными показателями $ lambda $ равными нулю).
Более корректная запись матрицы в правой части возможна с помощью матрицы
$$H_j = begin{array}{rl}
begin{array}{c}
{scriptstyle 0 to} \ {scriptstyle 1 to} \ vdots \ {scriptstyle j to}
\ vdots \ {scriptstyle k-1 to}
end{array}
left(begin{array}{llllll}
0 & & & & &\
0 & & & mathbb O & &\
vdots & & & & &\
1 & & & & \
vdots & ddots & & &\
0 & & 1 & dots & 0 & 0
end{array}
right)
end{array}
=left[
begin{array}{ll}
mathbb O_{jtimes (k-j)} & mathbb O_{jtimes j} \
E_{(k-j) times (k-j)} & mathbb O_{(k-j)times j}
end{array}
right]_{ktimes k}
$$
(единицами заполнена $ j_{} $-я диагональ, считая от нулевой — главной):
$$
left[{mathfrak J}_k (lambda) right]^N =
$$
$$
=lambda^N E +
C_N^1 lambda^{N-1} H_1 + C_N^2 lambda^{N-2} H_2 +
dots +left{ begin{array}{ccc}
C_N^N H_N & npu & N<k, \
C_N^{k-1}lambda^{N-k+1} H_{k-1} & npu & N ge k.
end{array}
right.
$$

П

Пример. Вычислить

$$
{mathbf A}=left(
begin{array}{rrrr}
1 &2 &1 &0 \
1 & 1 & 0 &-1 \
-2& 0 & 1 & 2 \
0 & 2 & 1 & 1
end{array}
right)^{100} .
$$

Решение. Найдем ЖНФ для матрицы $ {mathbf A} $ и матрицу $ C_{} $.
$$det ({mathbf A}- lambda E) = (lambda-1)^4 . $$
Ищем корневые векторы, принадлежащие $ lambda_1=1 $:
$$
{mathbf B}={mathbf A}- E=
left(
begin{array}{rrrr}
0 & 2 & 1 & 0 \
1 & 0 & 0 &-1 \
-2 & 0 & 0 & 2 \
0 & 2 & 1 & 0
end{array}
right)
quad
rightarrow
quad
left(
begin{array}{rrrr}
0 &2 &1 &0 \
1 & 0 & 0 &-1 \
0& 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0
end{array}
right)
$$
Имеем: $ mathbb Q_1=mathcal L left(
left[ 0 , -1 , 2 , 0 right]^{^{top}},
left[ 1 , 0 , 0 , 1 right]^{^{top}}
right) $; следовательно геометрическая кратность собственного числа не равна его алгебраической кратности и матрица $ {mathbf A} $ недиагонализуема.
$$
{mathbf B}^2=mathbb O_{4times 4} quad
Longrightarrow quad mathbb Q_2=
mathcal L left(
left[ 0 , -1 , 2 , 0 right]^{^{top}},
left[ 1 , 0 , 0 , 1 right]^{^{top}},left[ 1 , 0 , 0 , 0 right]^{^{top}},
left[ 0 , 1 , 0 , 0 right]^{^{top}}
right) .
$$

В ЖНФ имеются $ 2_{} $ клетки $ 2 times 2 $. Для построения
канонического базиса берем векторы из относительного базиса $ mathbb Q_2 $ над
$ mathbb Q_1 $ и домножаем их на $ {mathbf B} $ (заполняем башни сверху вниз). Получаем
$$
C=
left(
begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & 2 \
0 & 1 & 1 & 0 \
0 & -2 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 2
end{array}
right) quad ,
{mathbf A}_{_mathfrak J}=
left(
begin{array}{rrrr}
1 & & & \
1 & 1 & & \
& & 1 & \
& & 1 & 1
end{array}
right)
$$
Теперь воспользуемся формулой $ {mathbf A}^{100}=C {mathbf A}_{_{mathfrak J}}^{100} C^{-1} $ и теоремами 1-3:
$$
{mathbf A}^{100}=C left(
begin{array}{rrrr}
1 & & & \
1 & 1 & & \
& & 1 & \
& & 1 & 1
end{array}
right)^{100}C^{-1}=
$$
$$=
left(
begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & 2 \
0 & 1 & 1 & 0 \
0 & -2 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 2
end{array}
right)
left(
begin{array}{llll}
1 & & & \
100 & 1 & & \
& & 1 & \
& & 100 & 1
end{array}
right)
left(
begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & -1 \
0 & 0 & -1/2 & 0 \
0 & 1 & 1/2 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1/2
end{array}
right)
=
$$
$$
= left(
{begin{array}{rrrr}
1 & 200 & 100 & 0 \
100 & 1 & 0 & -100 \
-200 & 0 & 1 & 200 \
0 & 200 & 100 & 1
end{array}}
right) .
$$

♦

§

Настоящий пункт тесно связан с разделом ЛИНЕЙНОЕ РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ.

Пусть рекуррентная последовательность задается уравнением
$$
x_{n+K}=a_1 x_{n+K-1}+ dots+ a_n x_K
$$
и начальными данными $ x_0,x_1,dots,x_{n-1} $.

Введем в рассмотрение столбцы, состоящие из $ n_{} $ последовательных элементов этой последовательности, обозначив
$$
X_0=left( begin{array}{l}
x_0 \ x_1 \ vdots \ x_{n-1}
end{array}
right), X_1=left( begin{array}{l}
x_1 \ x_2 \ vdots \ x_{n}
end{array}
right), X_2=left( begin{array}{l}
x_2 \ x_3 \ vdots \ x_{n+1}
end{array}
right), dots,
X_K=left( begin{array}{l}
x_K \ x_{K+1} \ vdots \ x_{K+n-1}
end{array}
right),dots ;
$$
а также следующую матрицу, известную как матрица Фробениуса:
$$
{mathfrak F}=
left( begin{array}{lllllll}
0 & 1 & 0 & 0 & dots & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & dots & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & dots & 0 & 0 \
vdots& &&&ddots & & vdots \
0 & 0 & 0 & 0 & dots & 0 & 1 \
a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & & dots & a_2 & a_1
end{array} right)_{n times n} .
$$
Используя правило умножения матриц, а также соотношение между элементами последовательности, получаем:
$$
X_1={mathfrak F}X_0, X_2={mathfrak F}X_1,dots, X_K={mathfrak F}X_{K-1},dots,
$$
откуда имеем:
$$
X_K={mathfrak F}^KX_0 quad npu quad Kin mathbb N .
$$
Искомое выражение для $ x_{K} $ получится умножением первой строки матрицы
$ {mathfrak F}^K $ на столбец начальных данных $ X_{0} $. Таким образом, задача решения разностного уравнения сводится к задаче возведения в степень матрицы $ {mathfrak F} $.

Для нахождения $ {mathfrak F}^{K} $ воспользуемся результатами предыдущего пункта. Найдя
жорданову нормальную форму (ЖНФ) $ {mathfrak F}_{mathfrak J} $ и соответствующую матрицу
преобразования базиса $ C_{} $, получим
$$
{mathfrak F}_{mathfrak J} =C^{-1} mathfrak F C Longrightarrow
{mathfrak F}^{K}=C {mathfrak F}_{_{mathfrak J}}^{K} C^{-1} , .
$$
Характеристический полином матрицы Фробениуса:
$$det ({mathfrak F}- lambda E)=
(-1)^n(lambda^n-a_1 lambda^{n-1}-dots-a_n) .
$$
с точностью до знака совпадает с характеристическим полиномом последовательности.
Обозначим его корни $ lambda_1,dots,lambda_n $. Если они различны, то жорданова нормальная форма $ {mathfrak F}_{_{mathfrak J}} $ диагональна. Если же среди этих корней имеются кратные, то установление структуры ЖНФ потребует усилий; однако же можно заранее утверждать, что эта форма диагональной не будет.

Т

Теорема 6. Если все корни характеристического полинома различны, то решение разностного уравнения получается в виде

$$ x_{K}= C_1lambda_1^K + dots+ C_n lambda_n^K , $$
числа $ C_{1},dots,C_n $ не зависят от $ K_{} $ и определяются с помощью начальных условий из системы линейных уравнений:
$$
left{begin{array}{rrrrcl}
C_1 &+C_2 &+dots &+ C_n &=& x_0 \
lambda_1 C_1 &+ lambda_2C_2&+dots & + lambda_n C_n & = & x_1 \
lambda_1^2 C_1 &+ lambda_2^2C_2&+dots & + lambda_n^2 C_n & = & x_2 \
dots &&&&& dots \
lambda_1^{n-1}C_1 &+ lambda_2^{n-1}C_2&+dots & + lambda_n^{n-1} C_n & = & x_{n-1}.
end{array}
right.
$$

Доказательство теоремы и ее обобщение на случай наличия кратных корней характеристического полинома

☞

ЗДЕСЬ.

Задача. Выяснить как себя ведет $ mathbf A^N $ при $ Nto +infty $.

Пример предыдущего пункта показывает, что существуют матрицы $ mathbf A_{} $, для которых некоторые элементы $ mathbf A^N $ неограниченно возрастают при $ Nto +infty $.

Т

Теорема 7. Если все собственные числа матрицы $ mathbf A_{} $ меньше $ 1 $ по абсолютной величине, т.е. $ {|lambda_j|<1}_{j=1}^n $, то

$$ lim_{Nto +infty} mathbf A^N = mathbb O_{ntimes n} , . $$
Если существует хотя бы одно собственное число $ lambda_j $ такое, что $ |lambda_j|>1 $, то существует хотя бы один элемент матрицы $ mathbf A^N $ неограниченно возрастающий при
$ Nto +infty $.

Условия теоремы можно переформулировать в виде соответствующих неравенств на спектральный радиус матрицы. Проверка этих условий возможна без непосредственного вычисления собственных чисел матрицы $ mathbf A_{} $. Достаточно построить характеристический полином матрицы и применить к нему критерий Шура-Кона.

Cлучай существования единичного по модулю собственного числа матрицы $ mathbf A $ кажется исключительным, маловероятным. Вероятность попадания случайно брошенной комплексной точки на окружность $ |z|=1 $ равна $ 0 $. И тем не менее,
реальный мир играет вероятностями — см.

☞

ЦЕПИ МАРКОВА.

Теперь проведем анализ структуры матрицы $ g(mathbb A) $ с помощью жордановой нормальной формы.
Способ вычисления матричной степени распространяется и на полином от матрицы:
$$g({mathbf A})= Cg({mathbf A}_{_{mathfrak J}})C^{-1}$$
и аналоги теорем $ 3 $ и $ 4 $ сводят вычисление $ g({mathbf A}) $ к вычислению $ g(x_{}) $ от клеток Жордана.
Поскольку
$$gleft( {mathfrak J}_k (lambda) right)=
b_0left[{mathfrak J}_k (lambda)right]^m+b_1left[{mathfrak J}_k (lambda)right]^{m-1}+dots+b_mE_{mtimes m}
$$
то на основании теоремы $ 5 $ получаем следующий результат

Т

Теорема 8. Имеет место равенство

$$
gleft(left[
begin{array}{rrrrr}
lambda & & & & \
1 & lambda & & mathbb O & \
0& 1 & lambda & & \
vdots & & ddots & ddots & \
0 & 0 & dots & 1 &lambda
end{array}
right]_{ktimes k}right)=
left[
begin{array}{ccccc}
g(lambda) & & & & \
g'(lambda) & g(lambda) & & mathbb O & \
frac{g”(lambda)}{2!}& g'(lambda) & g(lambda) & & \
vdots & & ddots & ddots & \
frac{g^{(k-1)}(lambda)}{(k-1)!} & frac{g^{(k-2)}(lambda)}{(k-2)!} & dots & g'(lambda) & g(lambda)
end{array}
right]=
$$
$$
=g(lambda)E+ g'(lambda) H_1 + frac{g”(lambda)}{2!}H_2+dots+
frac{g^{(k-1)}(lambda)}{(k-1)!} H_{k-1}
$$

?

Можно ли утверждать, что геометрическая кратность собственного числа $ g(lambda_j) $ матрицы $ g({mathbf A}) $ совпадает с геометрической кратностью собственного числа $ lambda_j $ матрицы $ {mathbf A} $ (т.е. что порядки соответствующих клеток Жордана одинаковы)?

Нормой произвольной (не обязательно квадратной) матрицы $ A in mathbb C^{mtimes n} $ называется неотрицательное число $ | A | $, удовлетворяющее условиям (аксиомам):

1.

$ | A |=0 $ тогда и только тогда, когда $ A=mathbb O_{mtimes n} $;

2.

для $ forall alphain mathbb C $ справедливо $ | alpha A |=|alpha |cdot | A | $;

3.

для любых матриц $ A, B $ из $ mathbb C^{mtimes n} $ справедливо $ | A + B | le | A |+| B | $;

Три эти аксиомы являются универсальными аксиомами нормы в произвольном линейном векторном пространстве. Для матриц можно ввести дополнительную операцию — операцию умножения. В этом случае норму подчиняют еще одной аксиоме.

4.

для любых матриц $ A_{} $ и $ B_{} $, допускающих умножение $ A cdot B $,
справедливо $ | A cdot B | le | A | cdot | B | $.

Здесь следует отметить, что матрицы $ A, B $ и $ Acdot B $ принадлежат, вообще говоря, разным линейным пространствам. В каждом из этих пространств норма может быть задана по различным формулам. Более подробное изложение материала с особенностями введения нормы в произвольном линейном векторном пространстве

☞

ЗДЕСЬ. В настоящем и последующем пунктах мы ограничимся только рассмотрением норм векторов и норм квадратных матриц.

Норму можно вводить разными способами.

П

Пример.
Для матриц с комплексными элементами евклидова норма (или норма Фробениуса) вводится формулой:

$$| A | = sqrt{sum_{j,k} |a_{jk}|^2} ;$$
эту формулу для матриц с вещественными элементами можно переписать в виде
$$
| A | = sqrt{ operatorname{Sp}_{}, (A cdot A^{^{top}})} , .
$$
Выполнение для нее аксиом

1

и

2

очевидно. Справедливость

3

следует из неравенства треугольника: $ |a_{jk}+b_{jk}|^2le |a_{jk}|^2 +|b_{jk}|^2 $, а

4

следует из неравенства Коши-Буняковского:
$$|a_{j1}b_{1k}+dots+ a_{jn}b_{nk}|^2 le
left(|a_{j1}|^2+dots+|a_{jn}|^2 right)
left(|a_{1k}|^2+dots+|a_{nk}|^2 right) , .$$
Эту норму можно рассматривать как обобщение понятия длины вектора в $ mathbb R^{n} $:
$ | X_{ntimes 1} | = sqrt{ x_1^2+dots+x_n^2}=|X| $.
Вообще, любая формула, задающая скалярное произведение в евклидовом пространстве матриц, порождает и норму матрицы:
$ | A |= sqrt{langle A,A rangle} $. Только что введенная норма соответствует стандартному скалярному произведению.

Т

Теорема 9. Евклидова норма вещественной матрицы не меняется при умножении этой матрицы на произвольную ортогональную.

Доказательство

☞

ЗДЕСЬ.

П

Пример.
$ displaystyle | A | = max_j sum_k |a_{jk}| $. Тогда
$ | X_{ntimes 1} | =displaystyle{ max_{j=1,dots,n} |x_j|} $.

П

Пример. $ displaystyle | A | = max_k sum_j |a_{jk}| $. Тогда
$ | X_{ntimes 1} | =displaystyle{ sum_{j=1}^n |x_j|} $.

Введение понятия нормы позволяет упростить рассуждения о сходимости матричной последовательности $ { A_N }_{N=1}^{infty} $. В предыдущих пунктах эта сходимость понималась в смысле существования пределов у
последовательностей элементов $ a_{jk}^{(N)} $ одновременно для всех индексов $ j_{} $ и $ k_{} $.
Норма позволяет объединить исследование этих последовательностей на сходимость в изучение одной.

Т

Теорема 10. Последовательность $ { A_N }_{N=1}^{infty} $ сходится при $ N to infty $ к матрице $ A_{} $ тогда и только тогда, когда
$$lim_{Nto infty} | A_N – A |=0 , .$$

Матричный ряд
$$
sum_{j=1}^{infty} A_j = A_1 + dots + A_N+ dots
$$
называется сходящимся если существует конечный предел последовательности
$$left{ S_N = sum_{j=1}^{N} A_j= A_1 + dots + A_N right}_{N=1}^{infty}$$
его частичных сумм. Тогда величина этого предела называется суммой матричного ряда:
$$ S= sum_{j=1}^{infty} A_j = lim_{Nto infty} S_N , .$$
Матричный ряд называется расходящимся если хотя бы для
одной пары индексов $ j_{} $ и $ k_{} $ последовательность $ s_{jk}^{(N)} $ расходится.
Матричный ряд называется абсолютно сходящимся если сходится числовой ряд его норм:
$ displaystyle sum_{j=1}^{infty} | A_j | $.

Т

Теорема 11. Если матричный ряд сходится абсолютно, то он сходится и в обычном смысле.

Т

Теорема 12 [признак сравнения]. Если ряд $ displaystyle sum_{j=1}^{infty} A_j $
абсолютно сходится и $ | A_j |ge | B_j | $ для
$ forall jin mathbb N $, то и ряд
$ displaystyle sum_{j=1}^{infty} B_j $ сходится абсолютно.

Рассмотрим теперь степенной ряд
$$
sum_{j=0}^{infty}b_j z^j=b_0+b_1z+b_2z^2+dots
$$
переменную в котором предполагаем комплексной: $ z in mathbb C $.
Пусть $ R $ — радиус сходимости этого ряда, т.е. ряд сходится
при $ |z|<R $ и расходится при $ |z|>R $. Известно, что
$$R=overline{lim_{nto infty}}left| frac{b_n}{b_{n+1}} right|=
overline{lim_{nto infty}} frac{1}{sqrt[n]{|b_{n}|}} , .$$

Рассмотрим теперь соответствующий матричный степенной ряд
$$
sum_{j=0}^{infty} b_j Z^j =b_0E+b_1 Z +b_2 Z^2+dots
$$
при $ Z in mathbb C^{ntimes n} $.

Т

Теорема 13. Матричный степенной ряд сходится абсолютно
для любой матрицы $ Z $ такой, что $ | Z|<R $.

Доказательство. Имеем
$$ sum_{j=0}^{infty}| b_j Z^j | le sum_{j=0}^{infty}| b_j|, | Z |^j , .$$
Числовой ряд в правой части сходится при $ | Z|<R $. На основании теорем $ 11 $ и $ 12 $
сходится и ряд $ sum_{j=0}^{infty} b_j Z^j $.

П

Пример. Ряд

$$sum_{j=0}^{infty}z^j=1+z+z^2+dots+z^j+dots $$
сходится при $ |z|<1 $ к функции $ 1/(1-z) $. На основании теоремы $ 13 $
можно утверждать, что матричный ряд
$$
sum_{j=0}^{infty}Z^j=E+Z+Z^2+dots+Z^j+dots
$$
сходится абсолютно для любой матрицы $ Z $ такой, что $ | Z|<1 $.

=>

Если ряд $ sum_{j=0}^{infty}b_j z^j $ сходится при $ forall z in mathbb C $,
то и ряд $ sum_{j=0}^{infty}b_j Z^j $ сходится при любой матрице $ Zin mathbb C^{n times n} $.

Сумма сходящегося степенного ряда $ sum_{j=0}^{infty}b_j Z^j $ будет
функцией переменной матрицы $ Z $. Такая функция называется аналитической функцией матрицы.

Если обозначить сумму ряда $ sum_{j=0}^{infty}Z^j $ через $ F(Z) $, то
легко проверяется
свойство: $ F(Z)(E-Z)=E $. Таким образом, ряд сходится к матрице $ (E-Z)^{-1} $ при $ |Z |<1 $.

Т

Теорема 14. Если матрицы $ A $ и $ B $ подобны, а $ F $ — аналитическая функция, определенная для $ A $, то тогда она будет
определена и для $ B $, и матрицы $ F(A) $ и $ F(B) $ также подобны:

$$ A doteq B quad Rightarrow quad F(A) doteq F(B) , . $$

Доказательство. По условию $ B=C^{-1} AC $ при некоторой неособенной матрице
$ Cin mathbb C^{ntimes n} $. Рассмотрим $ N $-ю частичную сумму ряда:
$$ F_N(Z)= sum_{j=0}^{N} a_j Z^j, . $$
В

☝

ПУНКТЕ было доказано, что
$$F_N(B)=C^{-1}F_N(A) C , .$$
Переходя к пределу, получаем
$$lim_{N rightarrow infty} F_N(B)=
C^{-1}left( lim_{N rightarrow infty} F_N(A) right) C =C^{-1}F(A)C , .$$
Таким образом, функция $ F $ определена и для $ B $ и $ F(B)=C^{-1}F(A)C $.

♦

Т

Теорема 15. Ряд $ sum_{j=0}^{infty} b_j Z^j $ сходится для любой матрицы $ A $ чей спектр лежит внутри круга сходимости:
$$ {|lambda_j|<R}_{j=1}^n $$
и расходится если хотя бы одно число оказывается за пределами этого круга:
$$ exists j in {1,dots,n} quad mbox{ такое, что } quad |lambda_j|>R , . $$

Доказательство

☞

ЗДЕСЬ.

=>

Если $ {|lambda_j|<R}_{j=1}^n $, то спектр матрицы $ F(A) $ равен $ { F(lambda_j) }_{j=1}^n $.

П

Пример. Вычислить сумму ряда

$$sum_{j=1}^{infty}frac{1}{j} A^j quad npu quad
A=left( begin{array}{rrr}
-3/2& 0& -4 \
-7& 1/2 & -14\
1 & 0 & 5/2
end{array}
right)
,
.$$

Решение. Соответствующий степенной ряд сходится при $ |z|<1 $ и
имеет суммой $ (- ln (1-z)) $.
$$ det (A-lambda E)=-(lambda-1/2)^3 , . $$
По теореме $ 15 $ матричный ряд сходится. Для применения
формулы ?? нам потребуется ЖНФ матрицы $ A $. Опуская промежуточные вычисления, получим
$$
A=
underbrace{
left( begin{array}{rrr}
-2& -1& -2 \
0& 0 & -7\
1 & 1 & 1
end{array}
right)}_{C}
underbrace{
left( begin{array}{rrr}
1/2& 0& 0 \
0& 1/2 & 0\
0 & 1 & 1/2
end{array}
right)
}_{A_{_{mathfrak J}}}
underbrace{
left( begin{array}{rrr}
-1& 1/7& -1 \
1 & 0 & 2 \
0 & -1/7 & 0
end{array}
right)
}_{C^{-1}}
$$
$$
– ln (E-A)=
left( begin{array}{rrr}
-2& -1& -2 \
0& 0 & -7\
1 & 1 & 1
end{array}
right)
left( begin{array}{rrr}
ln 2& 0& 0 \
0 & ln 2 & 0\
0 & 2 & ln 2
end{array}
right)
left( begin{array}{rrr}
-1& 1/7& -1 \
1 & 0 & 2 \
0 & -1/7 & 0
end{array}
right)
$$

Ответ.
$$
left( begin{array}{ccc}
ln 2-4 & 0 & -8 \
-14 & ln 2 & -28 \
2 & 0 & ln 2+4
end{array}
right) , .
$$

Формула
$$
F(Z)=CF(Z_{_{mathfrak J}})C^{-1} quad npu quad
Fleft( {mathfrak J}_k (lambda) right)=left[
begin{array}{ccccc}
F(lambda) & & & & \
F'(lambda) & F(lambda) & & mathbb O & \
frac{F”(lambda)}{2!}& F'(lambda) & F(lambda) & & \
vdots & & ddots & ddots & \
frac{F^{(k-1)}(lambda)}{(k-1)!} & frac{F^{(k-2)}(lambda)}{(k-2)!} &
dots & F'(lambda) & F(lambda)
end{array}
right]
$$
может быть использована и для доопределения функции от матрицы для случая тех
матриц, которые не удовлетворяют условиям теорем $ 13 $ или $ 15 $. Действительно, если ряд
$ sum_{j=1}^{infty} z^j/j $ представляет функцию
$ (-ln (1-z)) $ только при $ |z|<1 $, то сама функция существует и для $ z le -1 $.
Если договориться положить последнюю формулу в качестве определения функции
от матрицы $ Z $, то эта формула будет вычислять $ F(Z) $ для
всех тех матриц, на спектрах которых определены значения функции $ F(z) $
и ее производных до порядков, соответствующих порядкам клеток Жордана.

С использованием этой договоренности возможно и дальнейшее упрощение вычислений $ F(A) $, основанное на теореме Гамильтона-Кэли. В самом деле,
поскольку степени матрицы $ A^{n}, A^{n+1},dots $ линейно
выражаются через степени
$$ E=A^0, A, A^{2},dots, A^{n-1} , $$
то бесконечный ряд $ sum_{j=0}^{infty} b_j A^j $ может быть свернут в матричный полином
степени не выше $ n-1 $. Нахождение этого полинома производится обобщением
теоремы $ 2 $.

Т

Теорема 16. Если $ {lambda_1,dots,lambda_n} subset mathbb C $ — различные
корни аналитической функции $ Phi(z) $, лежащие внутри ее круга сходимости, то
существует единственное представление функции в виде:
$$
Phi(z) equiv (z-lambda_1)times dots times (z-lambda_n)Q(z) ,
$$
где $ Q(z) $ — аналитическая функция с тем же радиусом сходимости.

Т

Теорема 17. Если все собственные числа
$ lambda_1,dots,lambda_n $ матрицы $ A $ различны, то

$$F(A)=g(A) , ,$$
где $ g(x) $ — интерполяционный полином, построенный по таблице
$$
begin{array}{c|ccc}
x & lambda_1 & dots & lambda_n \ hline
y & F(lambda_1) & dots & F(lambda_n)
end{array}
, .
$$

Доказательство. Рассмотрим функцию $ Phi(z)= F(z)-g(z) $.
Поскольку $ g(lambda_j)=F(lambda_j) $, то $ Phi(lambda_j)=0 $ для всех
$ jin {1,dots,n} $. Тогда для $ Phi(z) $ будет выполнено тождество из теоремы $ 16 $.
Подставим матрицу $ A $ в это тождество:
$$Phi(A) equiv underbrace{(A-lambda_1E)times dots
times (A-lambda_nE)}_{=mathbb O}Q(A)
$$
Отсюда и следует равенство $ F(A)=g(A) $.

Рассмотрим (не обязательно квадратную) матрицу, элементами которой являются
функции, зависящие от переменной $ tin ]a,b[ subset mathbb R $:
$ A(t)=left[a_{jk}(t) right]_{j,k} $.

Производной матрицы $ A(t) $ по $ t $ будем называть матрицу
$$frac{ d, A(t)}{ d, t}= A^{prime} (t)=
left[frac{ d, a_{jk}(t)}{ d, t} right]_{j,k} $$
в предположении, что все производные в правой части существуют.
Таким образом, дифференцирование матрицы определается как ее поэлементное
дифференцирование. Поэтому свойства дифференцирования матриц легко выводятся
из соответствующих свойств производных скалярных функций.

Т

Теорема 18. Если соответствующие матричные действия имеют смысл, то
справедливы следующие соотношения

$$frac{ d, C}{ d, t}=mathbb O $$
при постоянной матрице $ C $ (элементы которой не зависят от $ t $);
$$frac{ d,left( A(t)+B(t) right)}{ d, t}=
frac{ d, A(t)}{ d, t}+frac{ d, B(t)}{ d, t} , ;$$
$$frac{ d, C A(t)}{ d, t}=
Cfrac{ d, A(t)}{ d, t} , quad
frac{ d, A(t)C}{ d, t}=frac{ d, A(t)}{ d, t} {bf C}
, ;$$
$$frac{ d, left(A(t)B(t) right)}{ d, t}=
frac{ d, A(t)}{ d, t}
B (t)+A (t)frac{ d, B(t)}{ d, t}
, .
$$
Для квадратной матрицы $ A(t) $ и $ Kin mathbb N $:
$$frac{ d, A^K(t)}{ d, t}
=A^{prime} (t)A^{K-1}(t)+A(t)A^{prime} (t)A^{K-2}(t)
+dots+A^{K-1}(t)A^{prime} (t) , ,$$
а если она коммутирует со своей производной, т.е. $ A(t)A^{prime} (t)=
A^{prime}(t)A(t) $, то
$$frac{ d, A^K(t)}{ d, t}=K A^{prime} (t)A^{K-1}(t)
, . $$
Для матрицы $ A(t) $, неособенной при любых рассматриваемых значениях $ t $, справедливо:
$$frac{ d, A^{-1} (t)}{ d, t} =-A^{-1} (t)
frac{ d,A(t)}{ d, t} A^{-1} (t) , . $$

Матричной экспонентой или экспоненциалом называется матричный ряд
$$
exp ( Z )=e^{ Z } = sum_{j=0}^{infty} frac{Z^j}{j!}=E+Z+frac{1}{2}Z^2+frac{1}{3!}Z^3+dots
, .
$$
На основании следствия к теореме $ 13 $ этот ряд сходится и притом абсолютно для любой матрицы $ Z in mathbb C^{ntimes n} $ .
В настоящем пункте мы ограничимся рассмотрением вещественной матрицы $ Z $.

Т

Теорема 19. Если матрицы $ A $ и $ B $ коммутируют, то коммутируют и $ e^{A} $ и $ e^{ B} $:
$$
e^{A} e^{B} =e^{B} e^{A}= e^{A+B} , .
$$

Доказательство

☞

ЗДЕСЬ.

=>

Для любой матрицы $ A $ матрица $ e^{A} $ обратима и $ left( e^{A} right)^{-1}=e^{-A} $ .

Особое прикладное значение имеет матрица
$$
e^{tA}= sum_{j=0}^{infty} frac{t^j}{j!} A^j , ,
$$
зависящая от параметра $ tin mathbb C $. Если продифференцировать ряд по этому параметру, то на основании теоремы ?? получим:
$$
frac{ d, e^{t A}}{ d, t}=sum_{j=1}^{infty}
frac{jt^{j-1}}{j!}A^j=A
sum_{j=1}^{infty} frac{t^{j-1}}{(j-1)!}A^{j-1}=Ae^{tA} , .
$$
Таким образом, $ e^{t A} $ является решением матричного дифференциального уравнения²⁾
$$
frac{ d, X}{ d, t}= A X , .
$$
Обычно это уравнение рассматривают не относительно квадратной матрицы $ X $,
а относительно вектора-столбца $ X_{ntimes 1} $, т.е. последнее уравнение представляет матричную запись системы обыкновенных
дифференциальных уравнений:
$$
left{
begin{array}{cccccc}
d, x_1/d, t &=&a_{11}x_1+&a_{12}x_2+&dots+&a_{1n}x_n , , \
d, x_2/d, t &=&a_{21}x_1+&a_{22}x_2+&dots+&a_{2n}x_n , ,\
dots & & & &dots & \
d, x_n/d, t &=&a_{n1}x_1+&a_{n2}x_2+&dots+&a_{nn}x_n , .
end{array}
right.
$$
При задании начальных условий
$$
x_1(t_0)=x_{10},x_2(t_0)=x_{20},dots , x_n(t_0)=x_{n0} quad iff
quad X(t_0)=X_0
$$
решение уравнения $ d, X big/ d, t= A X $
представляет естественное обобщение одномерного (скалярного) случая:
$$
X(t)=e^{(t-t_0)A}X_0 , .
$$

В пункте ?? указаны два способа вычисления аналитической функции матрицы. Применим их для нахождения $ e^{t A} $.
$$
e^{t A}=Ce^{t A_{mathfrak J}}C^{-1}
$$
и вычисление $ e^{t, x} $ от клетки Жордана производится по формуле
$$
exp left( t cdot left[
begin{array}{rrrrr}
lambda & & & & \
1 & lambda & &mathbb O & \
0& 1 & lambda & & \
vdots & & ddots & ddots & \
0 & 0 & dots & 1 &lambda
end{array}
right]_{ktimes k}right)=
left[
begin{array}{ccccc}
e^{lambda t} & & & & \
te^{lambda t} & e^{lambda t} & &mathbb O & \
frac{t^2}{2!}e^{lambda t}& te^{lambda t} & e^{lambda t} & & \
vdots & & ddots & ddots & \
frac{t^{k-1}}{(k-1)!}e^{lambda t} & frac{t^{k-2}}{(k-2)!}e^{lambda t}
& dots & te^{lambda t} &
e^{lambda t}
end{array}
right]=
$$
$$
=e^{lambda t} left( E+ t H_1 + frac{t^2}{2!}H_2+dots+
frac{t^{k-1}}{(k-1)!} H_{k-1} right) , .
$$
Матрицы $ {H_j} $ определяются в

☝

ПУНКТЕ.

?

Доказать справедливость равенства: $ det( e^A ) = e^{operatorname{Sp} (A )} $.

П

Пример. Для системы дифференциальных уравнений

$$
left{
begin{array}{ccccc}
d, x_1 / d, t &=&&x_2&+x_3, \
d, x_2 / d, t &=&x_1&+x_2&-x_3, \
d, x_3 / d, t &=&&x_2&+x_3
end{array}
right.
$$

а) найти решение при $ x_1(0)=1,x_2(0)=1,x_3(0)=1 $;

б) найти все начальные условия
$$ x_1(0)=x_{10},x_2(0)=x_{20},x_3(0)=x_{30}, , $$
для которых решения будут ограниченными при $ tto +infty $.

Решение. Здесь $ t_0=0 $, $ det (A – lambda E) = – lambda (lambda -1)^2 $.
$$
A=
underbrace{
left( begin{array}{rrr}
2& -1& 1 \
-1& 1 & 0\
1 & -1 & 1
end{array}
right)}_{C}
underbrace{
left( begin{array}{rrr}
0& 0& 0 \
0& 1 & 0\
0 & 1 & 1
end{array}
right)
}_{{bf A}_{mathfrak J}}
underbrace{
left( begin{array}{rrr}
1& 0& -1 \
1 & 1 & -1 \
0 & 1 & 1
end{array}
right)
}_{C^{-1}}
$$
$$
e^{t A}=
left( begin{array}{rrr}
2& -1& 1 \
-1& 1 & 0\
1 & -1 & 1
end{array}
right)
left( begin{array}{rrr}
1& 0& 0 \
0& e^{t} & 0\
0 & te^{t} & e^{t}
end{array}
right)
left( begin{array}{rrr}
1& 0& -1 \
1 & 1 & -1 \
0 & 1 & 1
end{array}
right)=
$$
$$
=left( begin{array}{rrr}
2-e^{t}+te^t & t, e^t & -2+ 2, e^t-t, e^t \
-1 +e^t & e^t & 1-e^t \
1 -e^t+t, e^t& t, e^t & -1+2, e^t-t, e^t
end{array}
right) , .
$$
Домножая эту матрицу справа на столбец $ [1,1,1]^{^{top}} $, получаем
$$x_1(t)=e^t(1+t),, x_2(t)=e^t,, x_3(t)=e^t(1+t) , . $$

Для решения б) домножим последнюю матрицу справа на столбец
$ [x_{10},x_{20},x_{30}]^{^{top}} $. Получившийся столбец можно представить в виде
линейной комбинации трех:
$$
left( begin{array}{c}
2x_{10}-2x_{30} \ -x_{10}+x_{30} \ x_{10} – x_{30}
end{array}
right)
+e^t
left( begin{array}{c}
-x_{10}+2,x_{30} \ x_{10}+x_{20}-x_{30} \ -x_{10} +2, x_{30}
end{array}
right)
+t, e^t
left( begin{array}{c}
x_{10}+x_{20}-x_{30} \ 0 \ x_{10}+x_{20}-x_{30}
end{array}
right)
$$
Решение может быть ограниченным лишь при условии, когда столбцы при $ e^t $
и $ t, e^t $ будут нулевыми. Решаем получившуюся систему линейных
однородных уравнений относительно $ x_{10},x_{20} $ и $ x_{30} $, получаем, что
при любом $ x_{30} $ решение, проходящее через точку $ [2, x_{30},-x_{30},x_{30}]^{^{top}} $
будет ограниченным; более того, оно будет стационарным, т.е. не покинет
этой точки при изменении $ t $.

♦

П

Пример. Найти решение системы дифференциальных уравнений

$$
left{
begin{array}{ccrrrr}
d, x_1 / d, t &=&-9,x_1&+12,x_2&-7,x_3 &-7, x_4, \
d, x_2 / d, t &=&-25,x_1&+35,x_2&-20,x_3&-22, x_4 , \
d, x_3 / d, t &=&-16,x_1&+24,x_2&-14,x_3&-15, x_4, \
d, x_4 / d, t &=&-17,x_1&+22,x_2&-12,x_3&-14, x_4,
end{array}
right.
$$
при $ x_1(0)=1,x_2(0)=0,x_3(0)=1,x_4(0)=0 $.

Решение. Имеем:
$$ f(lambda)=det (A-lambda E) = lambda^4+2lambda^3+6lambda^2+2lambda+5 , .$$
Спектр матрицы $ { -1 pm 2 mathbf i, pm mathbf i } $ состоит из мнимых чисел. Для вычисления $ e^{At} $ можно воспользоваться интерполяционной формулой из пункта ??. Вычисления частных при делении $ f(lambda) $ на линейные полиномы $ lambda- lambda_{ast} $ и
$ lambda- overline{lambda_{ast}} $ упрощаются соображениями комплексной сопряженности:
$$
f_1(lambda)equiv frac{f(lambda)}{lambda-(-1+2 mathbf i))}equiv lambda^3+(1+2 mathbf i)lambda^2+lambda+(1+2 mathbf i),
$$
$$
f_2(lambda)equiv frac{f(lambda)}{lambda-(-1-2 mathbf i))}equiv overline{f_1(lambda)} equiv lambda^3+(1-2 mathbf i)lambda^2+lambda+(1-2 mathbf i),
$$
$$
f_3(lambda)equiv frac{f(lambda)}{lambda-mathbf i}equiv
lambda^3+(2+mathbf i)lambda^2+(5+2mathbf i)lambda+5 mathbf i , ,
$$
$$
f_4(lambda)equiv frac{f(lambda)}{lambda+mathbf i}equiv overline{f_3(lambda)} equiv
lambda^3+(2-mathbf i)lambda^2+(5-2mathbf i)lambda-5 mathbf i , .
$$
Аналогичное упрощение возникает и при вычислениях полиномов от матрицы, т.е. $ {f_j(A)} $:
$$
f_1(A)=
left(
begin{array}{rrrr}
32+26 mathbf i & -40-20 mathbf i & 20+10 mathbf i & 28+4 mathbf i \
73+88 mathbf i & -98-76 mathbf i & 49+38 mathbf i & 74+26 mathbf i\
54+46 mathbf i & -68-36 mathbf i & 34+18 mathbf i & 48+8 mathbf i\
42+66 mathbf i & -60-60 mathbf i & 30+30 mathbf i & 48+24 mathbf i
end{array}
right), , f_2(A)=overline{f_1(A)} ,
$$
$$
f_3(A)=
left(
begin{array}{rrrr}
7-mathbf i & -2+14 mathbf i & -3-9 mathbf i & 2-12 mathbf i\
17-6 mathbf i &2+36 mathbf i &-12-21 mathbf i & -1-31 mathbf i \
13-9 mathbf i & 10+30 mathbf i & -15-15 mathbf i & -8-26 mathbf i \
7-mathbf i &-2+14 mathbf i & -3-9 mathbf i & 2-12 mathbf i
end{array}
right), , f_4(A)=overline{f_3(A)} .
$$
Формулы решения системы дифференциальных уравнений по формуле
$$
left(sum_{j=1}^4 e^{lambda_j t} frac{f_j(A)}{f_j(lambda_j)}right) left( begin{array}{c} 1 \ 0 \ 1 \ 0 end{array} right) , .
$$
приводим к вещественному виду с использованием
формулы Эйлера
представления экспонент от мнимых чисел:
$$ e^{lambda_j t} = e^{t mathfrak{R}mathbf{e} (lambda_j) } left{cos ( t mathfrak{I}mathbf{m}(lambda_j)) + mathbf i sin ( t mathfrak{I}mathbf{m}(lambda_j)) right} , .
$$

Ответ.
$$
x_1(t)=frac{1}{5}( 17 e^{-t} cos (2t)-31 e^{-t} sin (2t) -2 cos t – sin t ), ,
$$
$$
x_2(t)=frac{1}{10}( 59 e^{-t} cos (2t)-187 e^{-t} sin (2t) -59 cos t – 17sin t ), ,
$$
$$
x_3(t)=frac{1}{5}( 28 e^{-t} cos (2t)-54 e^{-t} sin (2t) -23 cos t – 14sin t ), ,
$$
$$
x_4(t)=frac{1}{10}( 12 e^{-t} cos (2t)-66 e^{-t} sin (2t) -12 cos t – sin t ), .
$$

Если при любых начальных условиях решение уравнения
$$
frac{ d, X}{ d, t}= A X , .
$$
ограничено при $ t to +infty $, то будем называть это уравнение устойчивым по Ляпунову.
Устойчивое уравнение называется асимптотически устойчивым по Ляпунову если
все решения стремятся к $ mathbb O_{ntimes 1} $ при $ t to +infty $.
Уравнение называется неустойчивым по Ляпунову, если существует хотя бы один набор начальных условий, для которого соответствующее решение $ X(t) $ неограничено при $ t to +infty $.

В дальнейшем будем говорить просто об устойчивости, имея в виду устойчивость по Ляпунову.

Представление решения уравнения формулой
$$
X(t)=e^{(t-t_0)A}X_0
$$
позволяет свести исследование устойчивость этого уравнения к анализу спектра матрицы $ A $, либо же — в случае наличия кратных собственных чисел матрицы — к анализу ее жордановой нормальной формы $ A_{mathfrak J} $.

Т

Теорема 20. Уравнение $ d, X big/ d, t= A X $

а) устойчиво тогда и только тогда, когда
$$ mathfrak{R}mathbf{e} (lambda_j) le 0 quad npu j in {1,dots,n} , ,$$
и клетки Жордана в ЖНФ $ A_{mathfrak J} $, соответствующие собственным числам с $ mathfrak{R}mathbf{e} (lambda_j) = 0 $, имеют порядок $ 1 $;

б) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда
$$ mathfrak{R}mathbf{e} (lambda_j) < 0 quad npu j in {1,dots,n} $$
(т.е. спектр матрицы $ A $ лежит в левой полуплоскости комплексной плоскости).

Конструктивная проверка последнего условия возможна чисто алгебраическими методами. Действительно, это условие
означает устойчивость характеристического полинома $ f(lambda)=det (A-lambda E) $
и может быть проверено с помощью критериев Рауса или Льенара-Шипара за конечное
число элементарных операций над коэффициентами.

=>

Уравнение $ d, X big/ d, t= A X $ с симметричной матрицей $ A $

а) устойчиво тогда и только тогда, когда матрица отрицательно полуопределена;

б) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда матрица отрицательно определена.

Возникает сильное желание обобщить предлагаемый подход на систему уравнений
$$
frac{ d, X}{ d, t}= A(t) X
$$
с матрицей, зависящей от $ t $. Например, в случае, когда $ A(t) $ является матричным полиномом
$$
A(t)=A_0t^K+A_1t^{K-1} + dots + A_K quad npu {A_0,A_1,dots,A_K} subset mathbb R^{ntimes n}
$$
соблазнительно записать решение в виде
$$ X(t)=e^{int_{t_0}^t A(tau) d tau} X_0 $$
при
$$
int_{t_0}^t A(tau) d tau= A_0 frac{(t^{K+1}-t_0^{K+1})}{(K+1)!}+A_1 frac{(t^{K}-t_0^{K})}{K!} + dots + A_K (t-t_0) , .
$$
К сожалению, в общем случае, этот подход не сработает. Причины этого объясняются

☞

ЗДЕСЬ.

Решение дифференциального уравнения второго порядка, описывающего, например, закон Гука
$$frac{ d,^2 x}{ d, t^2}= a, x , { x,a,t} subset mathbb R, x(t_0)=x_0,
frac{ d, x(t)}{ d, t}Bigg|_{t=t_0}= x_0^{prime}
$$
представимо в виде
$$
x(t)=left{ begin{array}{ccc}
displaystyle
frac{sqrt{a}x_0+x_0^{prime}}{2sqrt{a}} e^{sqrt{a}(t-t_0)} +
frac{x_0-x_0^{prime}}{2sqrt{a}} e^{-sqrt{a}(t-t_0)}
& npu & a>0, \
displaystyle
x_0 cos left( sqrt{|a|}(t-t_0) right) +
frac{x_0^{prime}}{sqrt{|a|}}
sin left( sqrt{|a|}(t-t_0) right)
& npu & a<0, \
x_0+x_0^{prime}(t-t_0) & npu & a=0 , .
end{array}
right.
$$
По аналогии поставим задачу поиска решения для системы уравнений
$$
frac{ d^2 X}{ d, t^2}=AX
$$
при матрице $ A in mathbb R^{ntimes n} $. Желательно найти такие матричные
аналоги для используемых операций, чтобы формулы для решения сохранили тот же вид.
Аналогами тригонометрических функций являются матричные синус и косинус:
$$
sin Z = sum_{j=1}^{infty} (-1)^{j-1}frac{Z^{2j-1}}{(2j-1)!}=
Z- frac{Z^3}{3!}+frac{Z^5}{5!}-dots
$$
$$
cos Z = sum_{j=0}^{infty} (-1)^{j}frac{Z^{2j}}{(2j)!}=
E- frac{Z^2}{2!}+frac{Z^4}{4!}-dots
$$
На основании следствия к теореме $ 13 $ оба ряда сходятся при
любой матрице $ Z in mathbb C^{ntimes n} $.

П

Пример. Вычислить $ cos $ и $ sin $ от матрицы
$$
A=left(
begin{array}{rr}
0 & 1 \
-1 & 0
end{array}
right) , .
$$

Решение проведем двумя способами. Сначала следуем формальному определению.
$$
A^2=
left(
begin{array}{rr}
-1 & 0 \
0 & -1
end{array}
right),
A^3=
left(
begin{array}{rr}
0 & -1 \
1 & 0
end{array}
right),
A^4=
left(
begin{array}{rr}
1 & 0 \
0 & 1
end{array}
right),
A^5=
left(
begin{array}{rr}
0 & 1 \
-1 & 0
end{array}
right) = A,
A^6=
left(
begin{array}{rr}
-1 & 0 \
0 & -1
end{array}
right)=A^2,dots
$$
Очевидна цикличность получающейся матричной последовательности.
$$
cos A=
left(
begin{array}{rr}
1 & 0 \
0 & 1
end{array}
right)-frac{1}{2}
left(
begin{array}{rr}
-1 & 0 \
0 & -1
end{array}
right) + frac{1}{4!} left(
begin{array}{rr}
1 & 0 \
0 & 1
end{array}
right) – dots =
$$
$$
=
left(
begin{array}{cc}
1+1/2+1/4!+dots & 0 \
0 & 1+1/2+1/4!+dots
end{array}
right) =
left(
begin{array}{cc}
(e+e^{-1})/2 & 0 \
0 & (e+e^{-1})/2
end{array}
right) , .
$$
Аналогично:
$$
sin A=
left(
begin{array}{cc}
0 & (e-e^{-1})/2 \
-(e-e^{-1})/2 & 0
end{array}
right) , .
$$
А теперь проверим с помощью интерполяционного представления. Вычислим характеристический полином:
$$ det (A-lambda E) = lambda^2 +1 equiv (lambda- mathbf i)(lambda+ mathbf i) , . $$
Тогда
$$
cos A = frac{cos mathbf i}{2mathbf i} (A+mathbf i E) + frac{cos (-mathbf i)}{-2mathbf i} (A-mathbf i E)=E cos mathbf i , .
$$
Хотя и трудно поверить, но можно формально проверить справедливость равенства
$$ cos mathbf i = frac{e+e^{-1}}{2} , . $$
То есть косинус чисто мнимого числа равен числу вещественному (да еще и большему $ 1 $)! Но это действительно следует из формального определения косинуса как суммы степенного ряда.

♦

Т

Теорема 21. Справедливо основное тригонометрическое тождество

$$ cos^2 Z + sin^2 Z equiv E_{ntimes n} , . $$

Сложности возникают при определении $ sqrt{ A} $. Формально, корнем
квадратным из матрицы $ {mathbf A} $ называется решение матричного уравнения
$$
X^2=A
$$
Уже для матриц второго порядка это уравнение не всегда разрешимо:
например, не существует решения при
$$A = left(
begin{array}{cc}
0 & 0 \
1 & 0
end{array}
right) .
$$
С другой стороны, при
$$A = left(
begin{array}{rr}
-1 & 0 \
0 & -1
end{array}
right)
$$
существует бесконечное множество решений
$$
X=
left(
begin{array}{cc}
alpha & -(alpha^2+1)/beta \
beta & -alpha
end{array}
right) ,
$$
задаваемое двумя параметрами $ alpha $ и $ beta ne 0 $.

Т

Теорема 22. Решение уравнения

$$
X^2=A
$$

а) всегда существует при $ det A ne 0 $;

б) всегда существует среди вещественных симметричных матриц,
если $ A $ — симметричная и положительно полуопределенная.

Доказательство проведем только для б). Симметричная матрица $ A $
приводится к диагональному виду с помощью ортогональной матрицы:
$$
P^{^{top}}{mathbf A}P=
left( begin{array}{cccc}
lambda_1 & & & mathbb O \
& lambda_2 & & \
&& ddots & \
mathbb O && & lambda_n
end{array}
right) quad npu quad P^{^{top}}=P^{-1} .
$$
Легко видеть, что матрица
$$
X= P left( begin{array}{cccc}
sqrt{lambda_1} & & & mathbb O \
& sqrt{lambda_2} & & \
&& ddots & \
mathbb O&& & sqrt{lambda_n}
end{array}
right)P^{^{top}}
$$
является решением уравнения $ X^2=A $. Здесь под $ sqrt {.} $
понимается произвольное значение квадратного корня. Это значение будет
вещественным при $ lambda_jge 0 $. Если матрица $ A $ положительно
полуопределена, то все $ lambda_j $ неотрицательны.
Таким образом, последняя формула определяет вещественное решение; матрица $ X $
будет симметричной и может быть выбрана положительно полуопределенной.

♦

П

Пример. Вычислить

$$sqrt{
left( begin{array}{rrr}
24 & 6 & -12 \
6 &33 & 6\
-12 & 6 & 24
end{array}
right)
}
.
$$

Решение. $ det (A – lambda E) = – (lambda-9) (lambda -36)^2 $.
Поскольку матрица $ A $ симметрична, то привести ее к диагональному
виду можно с помощью ортогональной матрицы $ C $. Мы, однако же, используем
общий алгоритм диагонализации чтобы получить возможно
большее число ответов:
$$
{mathbf A}=
underbrace{
left( begin{array}{rrr}
1& 0& 2 \
2& 2 & -1\
0 & 1 & 2
end{array}
right)}_{C}
underbrace{
left( begin{array}{rrr}
36& 0& 0 \
0& 36 & 0\
0 & 0 & 9
end{array}
right)
}_{{mathbf A}_{mathfrak J}}
underbrace{
left( begin{array}{rrr}
5/9& 2/9& -4/9 \
-4/9 & 2/9 & 5/9 \
2/9 & -1/9 & 2/9
end{array}
right)}_{C^{-1}}
$$
$$
sqrt{{mathbf A}}=
underbrace{
left( begin{array}{rrr}
1& 0& 2 \
2& 2 & -1\
0 & 1 & 2
end{array}
right)}_{C}
underbrace{
left( begin{array}{rrr}
pm 6& 0& 0 \
0& pm 6 & 0\
0 & 0 & pm 3
end{array}
right)
}_{sqrt{{mathbf A}_{mathfrak J}}}
underbrace{
left( begin{array}{rrr}
5/9& 2/9& -4/9 \
-4/9 & 2/9 & 5/9 \
2/9 & -1/9 & 2/9
end{array}
right)
}_{C^{-1}}
$$

Ответ. $ sqrt{A}= $
$$
pmunderbrace{ frac{1}{3}left( begin{array}{rrr}
14& 2& -4 \
2 & 17 & 2 \
-4 & 2 & 14
end{array}
right)}_{+++ sqrt{A_{mathfrak J}}} ;
pmunderbrace{ frac{1}{3}left( begin{array}{rrr}
14& 2& -4 \
34 & 1 & -38 \
12 & -6 & -6
end{array}
right)}_{+-+ sqrt{A_{mathfrak J}}} ;
pmunderbrace{ left( begin{array}{rrr}
-2& -2& 4 \
-2 & -5 & -2 \
4 & -2 & -2
end{array}
right)}_{–+ sqrt{A_{mathfrak J}}} ;
$$
$$
pmunderbrace{ frac{1}{3}left( begin{array}{rrr}
6& 6& -12 \
38 & -1 & -34 \
4 & -2 & -14
end{array}
right)}_{+– sqrt{A_{mathfrak J}}} .
$$

Т

Теорема 23. Если $ A $ —симметричная матрица такая, что

• она положительно определена;

• матрица $ E-A $ положительно определена;

то рекуррентная матричная последовательность
$$ X_0=mathbb O, left{ X_{j}=X_{j-1}+frac{1}{2}(A-X_{j-1}^2) right}_{j=1}^{infty} $$
сходится к положительно определенному квадратному корню из $ A $.

Условия на матрицу $ A $ эквивалентны тому, что ее спектр целиком лежит в интервале $ [0,1] $ (следствие

☞

теоремы Коши ).

П

Пример. Для

$$
A=left(begin{array}{rrr}
0.541667 & 0.205342 & -0.372008 \
0.205342 & 0.811004 & 0.166667 \
-0.372008 & 0.166667 & 0.522329
end{array}
right)
$$
имеем (все матрицы — симметричные)
$$
X_0=mathbb O_{3times 3}, X_1=left(begin{array}{rrr}
0.2708335 & 0.102671 & -0.186004\
ast & 0.405502 & 0.083333\
ast & ast & 0.261164
end{array}
right), dots,
$$
$$
X_{12}=left(begin{array}{rrr}
0.640657 & 0.167720& -0.315098\
ast & 0.871895 & 0.147379\
ast & ast & 0.630487
end{array}
right)
$$
и
$$
X_{12}^2-A approx
left(begin{array}{rrr}
-0.004 & 0.0019 & -0.0038\
ast & -0.0009& 0.0019\
ast & ast & -0.0038
end{array}
right) , .
$$