Как найти значение функции по известному аргументу

Как по значению аргумента найти соответствующее значение функции?
Аргумент – х, значение функции – y.
Нам известно некоторое значение аргумента, например, х = 2. Чтобы найти соответствующее ему значение функции нужно в формулу у = 6х + 12 вместо х подставить его значение, в нашем примере это число 2. Получаем:

у = 6*2 + 12 = 12 + 12 = 24

Итак, значению аргумента х = 2 соответствует значение функции у = 24.

Правило: чтобы по значению аргумента найти значение функции надо в формулу данной функции вместо х подставить его числовое значение.

б) Как найти значение аргумента, которому соответствует указанное значение функции?
Нам задано значение функции – y, например y = 6.

Чтобы найти значение аргумента, которому соответствует указанное значение функции нужно в формулу у = 6х + 12 вместо y подставить его значение, в нашем примере это число 6. Получаем уравнение:

6 = 6х + 12

6х = -6

х = -1

Итак, значению функции y = 6 соответствует значение аргумента х = -1.
Правило: чтобы по значению функции найти значение аргумента надо в формулу данной функции вместо y подставить его числовое значение.

Прежде чем перейти к разбору решения задач с функциями обязательно прочитайте урок
«Что такое функция в математике».

После того, как вы действительно поймете, что такое функция
(возможно, придется прочитать урок не один раз) вы с бóльшей уверенностью сможете решать задания с функциями.

В этом уроке мы разберем, как решать основные типы задач на функцию и графики функций.

Как получить значение функции

Рассмотрим задание.
Функция задана формулой «y = 2x − 1»

1. Вычислить «y» при «x = 15»
2. Найти значение «x», при котором
   значение «y» равно «−19».

---

Для того, чтобы вычислить «y» при
«x = 15» достаточно подставить в функцию вместо «x»
необходимое числовое значение.

Запись решения выглядит следующим образом.

y(15) = 2 · 15 − 1 = 30 − 1 = 29

Для того, чтобы найти «x»
по известному «y», необходимо подставить вместо
«y» в формулу функции числовое значение.

То есть теперь наоборот, для поиска «x»
мы подставляем в функцию «y = 2x − 1» вместо
«y» число «−19» .

−19 = 2x − 1

Мы получили линейное уравнение с неизвестным «x»,
которое решается по правилам решения линейных уравнений.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
−2x = −1 + 19
−2x = 18

Как и при решении линейного уравнения, чтобы найти неизвестное, сейчас
требуется умножить и левую, и правую часть на «−1» для смены знака.

−2x = 18       | · (−1)
2x = −18                

Теперь разделим и левую, и правую часть на «2», чтобы найти «x» .

2x = −18     | (: 2)
x = −9                

Как проверить верно ли равенство для функции

Рассмотрим задание.
Функция задана формулой «f(x) = 2 − 5x».

Верно ли равенство
«f(−2) = −18»?

---

Чтобы проверить верно ли равенство, нужно подставить в функцию «f(x) = 2 − 5x»
числовое значение «x = −2» и сопоставить с тем, что получится при расчетах.

Неправильно

Правильно

С помощью расчетов мы получили
«f(−2) = 12».

Это означает, что «f(−2) = −18»
для функции «f(x) = 2 − 5x» не является верным равенством.

Как проверить, что точка принадлежит графику функции

Рассмотрим функцию «y = x² −5x + 6»

Требуется выяснить, принадлежит ли графику этой функции точка с координатами
(1; 2).

---

Для этой задачи нет необходимости, строить график заданной функции.

Вернемся к нашему заданию. Подставим в функцию «y = x² − 5x + 6»
координаты точки (1; 2).

Вместо «x» подставим «1».
Вместо «y» подставим «2».

2 = 1² − 5 · 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (верно)

У нас получилось верное равенство, значит, точка с координатами
(1; 2) принадлежит заданной функции.

Теперь проверим точку с координатами (0; 1).
Принадлежит ли она
функции «y = x² − 5x + 6»?

Вместо «x» подставим «0».
Вместо «y» подставим «1».

1 = 0² − 5 · 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (неверно)

В этом случае мы не получили верное равенство.
Это означает, что точка с координатами (0; 1) не принадлежит функции
«y = x² − 5x + 6»

Как получить координаты точки функции

С любого графика функции можно снять координаты точки. Затем необходимо убедиться, что при подстановке координат
в формулу функции получается верное равенство.

Рассмотрим функцию «y(x) = −2x + 1». Её график
мы уже
строили
в предыдущем уроке.

Найдем на графике функции «y(x) = −2x + 1», чему равен «y»
при x = 2.

Для этого из значения «2» на оси «Ox» проведем перпендикуляр к графику функции.
Из точки пересечения перпендикуляра и графика функции проведем еще один перпендикуляр к оси «Oy».

Полученное значение «−3» на оси «Oy» и будет искомым значением «y».

Убедимся, что мы правильно сняли координаты точки для x = 2
в функции «y(x) = −2x + 1».

Для этого мы подставим x = 2 в формулу функции
«y(x) = −2x + 1». Если мы правильно
провели перпендикуляр, мы также должны получить в итоге y = −3.

y(2) = −2 · 2 + 1 = −4 + 1 = −3

При расчетах мы также получили y = −3.

Значит, мы правильно получили координаты с графика функции.

При получении координат точек с графика функции высока вероятность, что вы ошибетесь, т.к. проведение перпендикуляра к осям выполняется «на глазок».

Только подстановка значений в формулу функции дает точные результаты.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Для начала разберемся с тем, как находить значение функции при заданном значении аргумента. Для того чтобы определить значение функции, зная при этом значение аргумента, необходимо подставит известное нам число в уравнение функции и вычислить то, чему равен y.

Но бывает и такое, что заданное значение аргумента недопустимо, т.е. не входит в область допустимых значений функции. В данном случае значение функции считается неопределенным.

Для закрепления полученного материала приведем пример. Допустим у нас есть функция y = 3x^2 — 4x + 1, где нам необходимо найти y(0); y(1); y(-2); y(3).

Для начала найдем y(0). У нас получится y(0) = 3 * 0^2 — 4 * 0 + 1 = 1.

По такому же принцип найдем и все остальные значения:

y(1) = 3 * 1^2 — 4 * 1 + 1 = 3 — 4 + 1 = 0;

y(-2) = 3 * (-2)^2 — 4 * (-2) + 1 = 12 + 8 + 1 = 21;

y(3) = 3 * 3^2 — 4 * 3 + 1 = 27 — 12 + 1 = 16.

Ответ записывается путем перечисления найденных значений при конкретном аргументе. 

Ответ: y(0) = 1; y(1) = 0; y(-2) = 21; y(3) = 16.

Разберем еще один пример, но только теперь с корнем. Например, функция y = √x — 3, для которой необходимо найти y(4); y(7); y(2).

Начнем с условия, при котором аргумент равен 4: y(4) = √4-3 = √1 = 1. При данном решении мы использовали правила, согласно которому корень из 1 равен самой 1. Подобным образом находим значение функции при других аргументах:

y(7) = √7-3 = √4 = 2. Таким образом значение функции при x = 7 равно 2;

y(2) = √2-3 = √-1 — значение не определено, поскольку пользуясь свойствами корней, мы вспоминаем, что отрицательных корней быть не может.

Ответ: y(4) = 1; y(7) = 2; y(2) не существует.

Теперь, разобравшись в том, как найти функцию при известном аргументе, можно перейти к изучению обратного процесса — нахождению значения аргумента при котором функция принимает заданное значение. Данные задачи имеют определенный алгоритм решения, которого стоит придерживаться.

Во-первых, чтобы найти значения x, при которых функция y(x) принимает заданное значение, необходимо правую часть уравнения приравнять к известному по условию числу. Затем мы решаем полученное уравнение и ищем корни переменной x.

А как мы знаем из темы уравнений, то корень может быть как один, так и два, а может быть и не одного верного значения. Последнее происходит в тех случаях, когда функция не принимает указанное значение ни при каком значении аргумента. 

Теперь закрепим теорию практикой и рассмотрим пример: y = -x + 5, где y = 3. Пользуясь вышеописанным алгоритмом решения, составим уравнение: -x + 5 = 3. Теперь решим его относительно x:

-x + 5 = 3 — для удобства перенесем -5 в правую сторону;

Итогом предыдущего действия будет: -x = 3-5 или -x = -2. Умножим левую и правую часть уравнения на -1, чтобы избавиться от “-”;

Получим x = 2. Таким образом, при x = 2 функция y = — x + 5 принимает значение 3. Запишем получившийся ответ.

Ответ: при x = 2.

Рассмотрим еще один более трудный пример, где есть степень: y = (x — 2)^2, где y приравнен 1. Как и в предыдущем примере заменим y заданным условием значением. В итоге у нас получится:

(x — 2)^2 = 1. Данное уравнение необходимо решить;

Чтобы избавиться от степени разности, нам необходимо также представить 1 в квадрате и затем опустить его. Итогом данных действий может стать два варианта:

x — 2 = 1 или x — 2 = -1. Рассмотрим каждый по отдельности.

x — 2 = 1;

x = 1 + 2;

x = 3. 

В случае же с x — 2 = -1 получится:

x — 2 = -1;

x = -1 + 2;

x = 1.

Осталось только записать ответ. 

Ответ: x = 1; x = 3.

Таким образом, данная тема является достаточно простой и доступной, однако, она очень важна в решении многих задач. Самое главное здесь — это знание различных свойств дробей, корней, степеней и т.д. Если вы чувствуете, что не совсем владеете этими темами, то вернитесь к ним и повторите их. 

Как найти значение аргумента по значению функции? Это можно сделать с помощью формулы функции.

Если формула задана формулой вида y=f(x), чтобы найти значение аргумента по значению функции, надо в формулу вместо y подставить заданное значение функции и решить получившееся уравнение относительно икса.

1) Линейная функция задана формулой y=5x-8. Найти значение аргумента, при котором значение функции равно 7; -38;0.

Поменяем местами левую и правую часть, чтобы запись выглядела в привычном виде (знаки при этом менять не надо):

Это — линейное уравнение. Неизвестное — в одну сторону, известные — в другую (при переносе слагаемых из одной части в другую знаки меняются на противоположные):

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

2) При каком значении аргумента значение функции

Решаем квадратное уравнение.

При y=0 x=3 и x=0,5.

Это — неполное квадратное уравнение. Общий множитель x выносим за скобки

При y=3 x=0 и x=3,5.

Значение аргумента по заданному значению функции можно также найти с помощью графика. О том, как это сделать, мы будем говорить в следующий раз.

В прошлый раз мы находили значение функции по значению аргумента с помощью формулы.

Рассмотрим, как по данному графику функции найти y по x.

1) Пользуясь графиком линейной функции, изображенной на рисунке 1, найдите значение функции,если значение аргумента равно 1; 3; -3, -1; 0.

Аргумент — это x, функция — y.

Найти значение функции по значению аргумента — значит, по данному значению x найти, чему равен y.

Начнём с x=1. На оси абсцисс Ox находим x=1. Чтобы найти соответствующее значение y, надо из точки на Ox идти либо вверх, либо вниз, чтобы попасть на график.

От x=1 идём вверх. От полученной точки на графике надо двигаться либо влево, либо вправо, чтобы попасть на ось Oy. В данном случае идем влево и попадаем с ординатой y=2 (стрелочки помогают увидеть направление движения).

Следовательно, при x=1 y=2.

Аналогично, если x=3, идем вверх до пересечения с графиком, затем влево до пересечения с осью ординат Oy.

Получаем, что при x=3 y=4.

Если x=-3, чтобы попасть на график функции, нужно идти вниз, затем — вправо, до пересечения с осью Oy.

При x=-1 ни вверх, ни вниз двигаться не надо — эта точка уже на графике функции. Следовательно, y=0.

Записываем: при x=-1 y=0.

При x=0 идем до графика вверх и попадаем в точку с ординатой y=2.

2) На рисунке 2 изображен график функции y=f(x).

Пользуясь графиком, найдите значение функции, если значение аргумента равно 1; 3; 5; 7; -1; -5.

Чтобы по графику функции найти y по x, сначала надо от точки с данной абсциссой попасть на график, двигаясь вверх либо вниз, а затем от точки на графике идти к оси Oy, двигаясь влево или вправо.

При x=1 идем до графика функции вверх, затем влево — на ось Oy. Попадаем в точку с ординатой y=2.

Пишем: при x=1 y=2.

При x равном -1 и -5 идем сначала вверх, затем — вправо.

При иксах равных 3; 5 и 7 идём вниз и влево.

Обратите внимание: различным значениям икса может соответствовать одно значение y:

Дана следующая функция y=f(x) :
y = 2x – 10, если x > 0
y = 0, если x = 0
y = 2 * |x| – 1, если x

Требуется найти значение функции по переданному x .

1. Получить с клавиатуры значение x .
2. Если x больше 0, то вычислить выражение 2*x-10 , результат присвоить переменной y .

1. Иначе если x равен 0, то присвоить y значение 0.

1. Иначе присвоить y результат выражения 2*|x|-1 .

Вывести значение y на экран.

var x , y : integer ;
begin
readln ( x ) ;
if x > 0 then y : = 2 * x – 10
else
if x = 0 then y : = 0
else y : = 2 * abs ( x ) – 1 ;

writeln ( y ) ;
end .

main ( ) <
int x , y ;
scanf ( “%d” , & x ) ;
if ( x > 0 ) y = 2 * x – 10 ;
else
if ( x == 0 ) y = 0 ;
else
y = 2 * abs ( x ) – 1 ;

printf ( “%d
” , y ) ;
>

x = input ( )
x = int ( x )

if x > 0 :
y = 2 *x – 10
elif x == 0 :
y = 0
else :
y = 2 * abs ( x ) – 1

В КуМир функция взятия модуля от числа возвращает вещественное значение. Поэтому используется функция int(), чтобы привести к целому, иначе присвоение невозможно.