Как найти значение функции распределения в точке

Функция распределения случайной величины

• Краткая теория
• Примеры решения задач
• Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

---

Пусть

 – действительное число. Вероятность события,
состоящего в том, что

 примет значение, меньшее

, то есть вероятность
события

 обозначим через

. Разумеется, если

 изменяется, то, вообще говоря, изменяется и

, то есть

 – функция от

.

Функцией распределения называют функцию

, определяющую вероятность
того, что случайная величина

 в результате испытания примет значение,
меньшее

, то есть:

Геометрически
это равенство можно истолковать так:

 есть вероятность того, что случайная величина примет
значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки

.

Иногда
вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная
функция».

Функцию
распределения дискретной случайной величины

 можно представить следующим соотношением:

Это
соотношение можно переписать в развернутом виде:

Функция
распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция,
скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям
случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков
функции

 равна 1.

Свойства функции распределения

Свойство 1.

Значения
функции распределения принадлежат отрезку

:

---

Свойство 2.

 – неубывающая функция, то есть:

,
если

---

Свойство 3.

Если возможные значения случайной величины
принадлежат интервалу

,
то:

1)

 при

;

2)

 при

---

Свойство 4.

Справедливо равенство:

---

Свойство 5.

Вероятность того, что непрерывная случайная
величина

 примет одно определенное значение, равна нулю.

Таким образом, не представляет интереса говорить о
вероятности того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное
значение, но имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал,
пусть даже сколь угодно малый.

Заметим, что было бы неправильным думать, что
равенство нулю вероятности

 означает, что событие

 невозможно (если, конечно, не ограничиваться
классическим определением вероятности). Действительно, в результате испытания
случайная величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности,
это значение может оказаться равным

.

---

Свойство 6.

Если возможные значения непрерывной случайной величины
расположены на всей оси

,
то справедливы следующие предельные соотношения:

---

Свойство 7.

Функция распределения непрерывная слева, то есть:

Смежные темы решебника:

• Дискретная случайная величина
• Непрерывная случайная величина
• Математическое ожидание
• Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Примеры решения задач

---

Пример 1

Дан ряд
распределения случайной величины

:

	1	2	6	8
	0,2	0,3	0,1	0,4

Найти и изобразить ее функцию распределения.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Будем задавать различные значения

 и находить для них

1. Если

,
то, очевидно,

в том числе и при

2. Пусть

 (например

)

Очевидно, что и

3. Пусть

 (например

);

Очевидно, что и

4. Пусть

Очевидно, что и

5. Пусть

Итак:

График функции распределения

---

Пример 2

Случайная
величина

 задана функцией распределения:

Найти
вероятность того, что в результате испытания

 примет значение:

а) меньше
0,2;

б) меньше
трех;

в) не
меньше трех;

г) не
меньше пяти.

Решение

а) Так
как при

 функция

, то

то есть
при

б)

в)
События

 и

 противоположны, поэтому

Отсюда:

г) сумма
вероятностей противоположных событий равна единице, поэтому

Отсюда, в
силу того что при

 функция

, получим:

---

Пример 3

Задана
непрерывная случайная величина X своей плотностью
распределения вероятностей f(x). Требуется:

1)
определить коэффициент A;

2) найти
функцию распределения F(x);

3)
схематично построить графики функций f(x) и F(x);

4)
вычислить математическое ожидание и дисперсию X;

5)
определить вероятность того, что X примет значение из
интервала (a,b).

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

1)
Постоянный параметр

 найдем из
свойства плотности вероятности:

В
нашем случае эта формула имеет вид:

Получаем:

2)
Функцию распределения

 найдем из
формулы:

Учитывая
свойства

,  сразу можем отметить,
что:

и

Остается
найти выражение для

, когда х принадлежит интервалу

:

Получаем:  

3) Построим графики функций:

График плотности распределения

График функции распределения

4) Вычислим
математическое ожидание:

В нашем случае:

Вычислим дисперсию:

Искомая дисперсия:

5) Вероятность того, что

 примет значение из интервала

:

Задачи контрольных и самостоятельных работ

---

Задача 1

Закон
распределения случайной величины X задан таблицей.

Найти ее
математическое ожидание, дисперсию и значение функции распределения в заданной
точке.

F(1)=

M[X]=

D[X]=

---

Задача 2

Случайная
величины X задана функцией распределения

Найти
плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию
случайной величины. Построить графики дифференциальной и интегральной функций.
Найти вероятность попадания случайной величины X в интервалы (1,2; 1,8),
(1,8; 2,3)

---

Задача 3

Дискретная
случайная величина X задана рядом распределения. Найти:

1)
функцию распределения F(x) и ее график;

2)
математическое ожидание M(X);

3)
дисперсию D(X).

	-5	5	25	45	65
	0.2	0.15	0.3	0.25	0.1

---

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 4

В задаче
дискретная случайная величина задана рядом распределения.

Найти

; M(X), D(X), P(0≤X≤2); F(x).
Начертить график F(x)

---

Задача 5

В задаче
непрерывная случайная величина X задана функцией
распределения F(x).

Найти  a; f(x); M(X); D(X); P(X<0.2)

Начертить
графики функций f(x);F(x).

---

Задача 6

Функция
распределения непрерывной случайной величины X (времени безотказной работы
некоторого устройства) равна

 (

). Найти вероятность безотказной
работы устройства за время x больше либо равно T.

---

Задача 7

Функция
распределения непрерывной случайной величины задана выражением:

Найдите:

1)
параметр a;

2)
плотность вероятностей;

4) P(0<x<1)

Постройте
графики интегральной и дифференциальной функции распределения.

---

Задача 8

Дана
интегральная функция распределения. Найти: дифференциальную функцию f(x),M(X),σ(X),D(X).

---

Задача 9

Дана
функция распределения F(х) случайной величины Х.

Найти плотность
распределения вероятностей f(x), математическое ожидание M(X),
дисперсию D(X) и вероятность попадания X на
отрезок [a,b]. Построить графики
функций F(x) и f(x).

---

Задача 10

НСВ X имеет
плотность вероятности (закон Коши)

Найти:

а)
постоянную C=const;

б)
функцию распределения F(x);

в)
вероятность попадания в интервал -1<x<1

г)
построить графики f(x), F(x).

• Краткая теория
• Примеры решения задач
• Задачи контрольных и самостоятельных работ

§4.
Функция
распределения

Ф
ункция
распределения (интегральная)

Х

Х

Функцией
распределения F(X)
называется функция, которая для каждого
значения аргумента равна вероятности
того, с.в. Х примет значение меньшее, чем
аргумент (попадает в область, лежащую
слева от аргумента).

F(x)=P(X<x) (3)

Например:
Дискретная с.в. задана рядом распределения

ХI	2	4	7	9
PI	0.2	0.4	0.3	0.1

-3
0 2 П
4 6 7 9 12 X

F(-3)=P(X<-3)=0

F(П)=P(X<П)=P(X=2)=0,2

F(12)=P(X<12)=P(V)=1

F(6)=P(X<6)=0,2+0,4=0,6

Свойства
функции распределения:

1
область определения: Х Є
R

2
область значений: 0<=F(x)<=1

3
F(-∞)=0 [P(X<= -∞)=0]

4
F(+∞)=1 [P(X<=+∞)=P(V)=1]

F(x)
неубывающая функция:

X
₁<X₂
F(X₁)<=F(X₂)

X₁ X₂ X

(X<x₂)=(X<x₁)+(x₁
<X<x₂)

несовместные

P

(X<x₂)=P(X<x₁)+P(x₁<X<x₂)

F(x₂)
>= F(x₁)
>0

Неубывание
доказано.

Следствие:
Р(Х₁<=X<Х₂)
= F(X₂)
– F(X₁)
(4)

Замечание:
функция распределения F(x)
– универсальный способ задания закона
распределения. Он пригоден и для
дискретных и для непрерывных с.в.. С
ростом аргумента Х идет накопление
вероятности, т.е. функция F(X)
увеличивается. Для дискретных с.в. рост
происходит скачком при переходе через
очередное возможное значение X_IДля
непрерывной с.в. F(X)
накапливается непрерывно.

Качественный
график функции распределения:

Непрерывная
с.в.
дискретная с.в.

Замечание
к формуле (4)

Пусть
с.в. непрерывна и функция F(X)
непрерывна.

Найдем
вероятность попадания в точку:

P(X=x₁)=

Для
непрерывной с.в. вероятность попадания
в точку равна нулю P(X=a)=0

Для
непрерывной с.в.
Р(α<X<β)=F(β)-F(α)

(5)

Например:
Дискретная с.в. задана рядом распределения

ХI	2	4	5	7
PI	0,1	0,3	0,2	0,4

Найти
значения функции распределения в
указанных точках. Построить функцию
распределения для всех значений
аргумента.

F(-3)=P(X<-3)=0

F(П)=Р(Х<П)=0,1

F(2L)=P(X<2L)=0.1+0.3+0.2=0.6

F(8)=P(X<8)=P(U)=1

F(50)=P(X<50)=P(U)=1

-∞<x<+∞

2<x<=2
F(x)=0 F(2)=P(X<2)=0

2<x<=4
F(x)=P(X<x)=P(x=2)=0,1

4<x<=5
F(x)=P(4<X<2)=0,4

5<x<=7
F(x)=0,6

7<x<
+∞ F(x)=1

0
при -∞<x<=2

0,1
2<=x<=4

F(X)
0,4 4<x<=5 В
точках разрыва

0,6
5<x<=7
значение
функции равно

1
7<x<+∞
пределу слева

С.в. задана функцией
распределения. Составить ряд распределения.

ХI	1	2	4	6	7	10
PI	0,1	0,2	0,2	0,2	0.1	0.2

Непрерывная с.в. задана функцией
распределения

0 -∞<X
<=0

F(X)
CX²

0< X<=3

1
3< X
< + ∞

1
С-?

Найти
С из условия непрерывности функции
F(X).

2
Найти вероятности попадания в указанные
интервалы.

3

Найти плотность распределения f(X).

1
Проверяя непрерывность в т. Х=0 и в т.
Х=3:

(Х=0)

F(0)=0

В т. Х=0 функция непрерывна
при любом С.

(
Х=3)

9c=1

c=1/9

F(3)=c*9

2

Р(-2<X<1)=F(1)
– F(2) = (CX²)_X=1
– 0_X=-2

= C = 1/9

Р(0<X<2)=F(2)
– F(0) = (CX²)_X=1
– 0

= 4C = 4/9

Р(1<X<5)=F(5)
– F(1) =1- (CX²)_X=1
= 1-1/9= 8/9

Р(0.5<X<2.5)=F(2.5)
– F(0.5) = (CX²)_X=5/2
–
(CX²)_X=1/2
= C(25/4 – 1/4) = 6C =

=
6/9=2/3

Р(2<X<9)=F(9)
– F(2) = 1 –
(CX²)_X=2
= 1- 4C = 1 – 4/9 = 5/9

Р(X>2.5)=P(2,5<X<+∞)
= F(+∞) – F(2.5) = 1 – (CX²)_X=5/2=
1 – 25/4 * 1/9 = 1 – 25/36 = 11/36

3

f(X) – ? f(X) = F¹(X)
= 0 -∞<X<=0

2CX = 2X/9
0<X<3

0
3<X<+∞

Для
непрерывной случайной величины
X
задана
функция распределения F(x).

Необходимо:

1. Найти
   значение параметра С из условия
   непрерывности F(x),
   

Построить
график F(x).

1. Подсчитать
   вероятности попаданий в указанные
   интервалы.

2. Найти
   плотность распределения F(x)
   и
   построить ее график.

Рассматриваемая
случайная величина непрерывна. При
такой функции распределения все ее
возможные значения находятся только
на интервале (1<x4).
Вне
этого интервала возможных значений
нет.

1. Находим значение
   параметра С. Используем условие
   непрерывности

функции
распределения F(x).

Чтобы
функция была непрерывна, нужно, чтобы
предел слева, предел справа и значение
функции в точке совпадали.

В
точке
x=1
: F(1-0)= 0; F(1+0)= 0; F(1)=
0; 
функция
непрерывна.

В
точке
x=4
: F(4-0)=
С(4-1)³
=27С;
F(4+0)=
1; F(4)=
27С;

функция
непрерывна,
если
27С
=1,
откуда получаем С=1/27.

График
F(x):

1. Находим
   вероятности попаданий в указанные
   интервалы
   :

Если задана
функция распределения, то вероятность
попадания случайной величины в
заданный интервал подсчитывается по
известной формуле:

P(-7<X<2)
= F(2) – F(-7) = C(2-1)³
– 0 = 1/27.

P(1<X<3)
= F(3) – F(1) = C(3-1)³
– 0 = 8/27.

P(2<X<7)
= F(7) – F(2) = 1 – C(2-1)³
= 1 – 1/27 = 26/27.

P(X<2,5)
= P(-<X<2,5)
= F(2,5) – F(-)
= C(2,5-1)³
– 0 = 0,125.

P(X>1,5)
= P(1,5<X<+)
= F(+)
– F(1,5) = 1 – C(1,5-1)³
= 0,9954.

P(-4<X<40) = F(40) –
F(-4) = 1 – 0 = 1.

В
последнем случае
все
возможные значения случайной величины
лежат внутри интересующего нас
интервала, поэтому попадание в этот
интервал – достоверное
событие
и вероятность его равна 1.

1. Находим
   плотность
   распределения
   случайной величины X
   . По
   определению, это первая производная
   функции распределения.

f(x)
= F^(x).

На разных
участках функция распределения задана
различными выражениями. Поэтому и
производная будет на разных участках
различной:

при

x

1 f(x)
= (0)^
= 0.

при

1<x
<4
f(x)
= [C(x-1)³]^
= 3C(x-1)²

= (x-1)²
/9.

при

4<x

f(x)
= (1)^
= 0.

График
плотности распределения:

Когда мы проводим
наблюдения над случайной величиной, мы
можем обнаружить, что одни возможные
значения появляются чаще, другие реже.
Т.е., у одних значений вероятность
появления больше, у других меньше.

Примеры:

1. Опыт
   – бросание кубика.

Случайная
величина
Х
– выпавшее число очков.

Возможные
значения {1,
2, 3, 4, 5, 6 }.

1. Опыт
   – трехкратное бросание монеты.

Случайная
величина
Х
–число выпавших гербов .

Возможные
значения { 0, 1, 2, 3 }.

1. Опыт
   – лекция по теории вероятностей.

Случайная
величина
Х
– число присутствующих студентов.

Возможные
значения { 0, 1, 2, …, N }.

1. Опыт
   – работа банковского служащего в
   течение часа.

Случайная
величина
Х
– число обслуженных клиентов.

Возможные
значения { 0, 1, 2, …, N }.

О3
:Законом
распределения вероятностей случайной
величины Х
(дальше
везде
будем
говорить кратко
– Законом
распределения)
называется
всякое правило, устанавливающее
соответствие между
возможными значениями
случайной величины и
вероятностями
того, что она примет эти значения.

Это соответствие можно устанавливать
по-разному, в зависимости от того, с
какой случайной величиной мы работаем,
с дискретной
или с непрерывной.
Существуют три способа задания закона
распределения, которые мы далее по
очереди подробно рассмотрим.

Сейчас мы только перечислим их и отметим
главное: если закон распределения задан
(любым из этих способов) то мы можем
прогнозировать поведение случайной
величины. Точно предсказать
до опыта, какое именно значение примет
случайная величина, мы не можем в
принципе, но зато мы сможем подсчитывать
вероятность того, что она
примет то или иное значение, попадет в
интересующий нас интервал.

Способы
задания закона распределения:

1. Ряд
   распределения;

2. Функция
   распределения
   F(x)

(
иногда
ее еще называют
интегральная
Функция распределения)

1. Плотность
   распределения
   f(x)

(ее
еще называют также
дифференциальная
Функция распределения )

Следующая
схема показывает, когда применяется
каждый из этих способов:

Изменить примеры



2.2.7. Функция распределения случайной величины

Стандартное обозначение:

И для дискретной, и для непрерывной случайной величины она определяется одинаково:

, где – вероятность того, что случайная величина

 примет значение,

МЕНЬШЕЕ, чем переменная , которая«пробегает» все действительные значения от «минус» до

«плюс» бесконечности.

Построим функцию распределения для нашей подопытной игры:

Начинаем разбираться. Чему, например, равно значение ? Это вероятность того, что выигрыш будет меньше, чем –20. И это невозможное событие: . Совершенно понятно, что   и для всех «икс» из интервала , а также для . Почему? По определению функции распределения:
 – вы согласны?  Функция

 возвращает вероятность того,

что в точке  выигрыш

будет СТРОГО МЕНЬШЕ «минус» пяти.

Таким образом: , если .
На интервале  функция , поскольку левее

любой точки этого интервала есть только одно значение  случайной величины, которое появляется с вероятностью 0,5. Кроме того,

сюда же следует отнести точку ,

так как:
 – очень хорошо осознайте этот

момент!

Таким образом, если , то

Далее рассматриваем  промежуток . СТРОГО ЛЕВЕЕ любой точки этого промежутка находятся два выигрыша , поэтому:

И, наконец, если , то , ибо все значения

 случайной величины  лежат СТРОГО левее

любой точки интервала

Заметим, кстати, важную особенность: коль скоро функция  характеризует вероятность, то

она может принимать значения лишь из промежутка  – и никакие другие!

Итак, функция распределения вероятностей ДСВ является кусочной и, как многие знают, в таких случаях принято использовать

фигурные скобки:

График данной функции имеет разрывный «ступенчатый» вид:

Причём, функция  или её

график однозначно определяют сам закон распределения: в точке  высота «ступеньки» (разрыв) составляет  (следим по графику), в точке  «скачок» разрыва равен  и, наконец, в точке  он равен в точности .
Таким образом, функция распределения вероятностей – это ещё один способ ЗАДАТЬ случайную величину. И этот способ

особо важен для непрерывной случайной величины – по той причине, что её невозможно описать таблицей (ввиду бесконечного и

несчётного количества принимаемых значений). Однако, всему своё время, и НСВ – тоже.

Освоим технические моменты решения типовой задачи:

Задача 93
Построить функцию распределения случайной величины

Найти вероятности того, что случайная величина примет значение из следующих промежутков:

…, пожалуй, достаточно.

Решение: На практике удобно использовать формальный алгоритм построения функции распределения:

Сначала берём первое значение   и составляем нестрогое неравенство . На этом промежутке .

На промежутке  (между

 и ):

На промежутке  (между

 и ):

На промежутке  (между

 и ):

И, наконец, если  строго

больше самого последнего значения , то:

Легко заметить, что с увеличением «икс» идёт накопление (суммирование) вероятностей, и поэтому функцию  иногда называют интегральной функцией распределения. В

практических задачах проведённые выше действия обычно выполняют устно, а результат сразу записывают под единую скобку:

Выполним чертёж:

и проконтролируем правильность решения с помощью «скачков» графика: в точке  «скачок» равен , в точке составляет , в точке  равен , и, наконец, в точке  – .

При выполнении чертежа от руки оптимален следующий масштаб:
горизонтальная ось:  1 ед. = 2 или 1 тетрадная клетка;
вертикальная ось: 0,1 = 1 тетрадная клетка.

На левых концах ступенек (кроме нижнего луча) можно ставить выколотые точки – дело вкуса. Левый нижний луч следует прочертить жирно

(чтобы он не сливался с координатной осью) и до конца оси! Правая верхняя линия не должна заканчиваться раньше

острия оси! Такие оплошности могут говорить о непонимании функции распределения, а это, как вы понимаете, скверно. То было ручное

построение. Ну а о том, как строить такие красивые графики в Экселе можно узнать в этом ролике на Ютубе, к слову, полигон (многоугольник) распределения строится ещё проще.

Переходим ко второй части задания, её коротко можно сформулировать так:

2.2.8. Вероятность попадания в промежуток

2.2.6. Многоугольник распределения



Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

По пункту а): вероятность того, что $%0 < Xle3$% равна $%0,1+0,2+0,3=0,6$%, так как это событие в точности означает, что $%X$% равно 1, 2 или 3.

В пункте б) надо рассмотреть значения, принимаемые случайной величиной $%Y=3-2X$%. Это будут числа $%5, 1, -1, -3$%, принимаемые с вероятностями, перечисленными в прежнем порядке. Тогда MY равно сумме произведений этих значений на их вероятности. Можно было сосчитать и по-другому: сначала $%MX$%, а потом $%MY=3-2MX$%.

Для подсчёта дисперсии можно воспользоваться любым из описанных способов. Проще всего заметить, что $%D(3-X)=DX$% по свойствам дисперсии, а потом найти $%MX^2$% тем же способом и вычесть $%(MX)^2$%. Можно, зная $%MX$%, вычесть это значение из $%X$% и найти $%M(X-MX)^2$%. Получится то же самое.

В пункте в) получается $%F(4)=1$% (все значения меньше 4), а $%F(2)=0,5$%, так как $%X < 2$% означает, что $%X$% равно $%-1$% или $%1$%.

Содержание:

Непрерывные случайные величины: функция распределения случайной величины:

Если вычислить вероятность появления непрерывной случайной величины не составляет особого труда, то решение основной задачи теории вероятностей для непрерывной случайной величины несёт большие трудности. Поэтому в материалах сегодняшней лекции мы рассмотрим методы определения вероятности попадания непрерывной случайной величины на интервал с помощью функции распределения.

Функция распределения непрерывной случайной величины

Зная функцию распределения непрерывной случайной величины, задача определения вероятности её попадания на интервал (а; b) может быть решена следующим образом.

По известной функции распределения вероятность попадания непрерывной случайной величины на интервал (а; b) равна приращению функции распределения на этом участке (рис. 1).

Во всех рассмотренных выше случаях случайная величина определялась путём задания значений самой величины и вероятностей этих значений.

Однако такой метод применим далеко не всегда. Например, в случае непрерывной случайной величины, её значения могут заполнять некоторый произвольный интервал. Очевидно, что в этом случае задать все значения случайной величины просто нереально.

Даже в случае, когда это сделать можно, зачастую задача решается чрезвычайно сложно. Рассмотренный только что пример даже при относительно простом условии (приборов только четыре) приводит к достаточно неудобным вычислениям, а если в задаче будет несколько сотен приборов?

Поэтому встает задача по возможности отказаться от индивидуального подхода к каждой задаче и найти по возможности наиболее общий способ задания любых типов случайных величин.

Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение, меньшее х, т.е. X

Определение. Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее х.

F(x) = Р(Х < х)

Функцию распределения также называют интегральной функцией. Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения.

Для дискретной случайной величины функция распределения имеет

Знак неравенства под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется на те возможные значения случайной величины, которые меньше аргумента х.

Функция распределения дискретной случайной величины X разрывна и возрастает скачками при переходе через каждое значение

Так для примера, который мы будем рассматривать на следующем

Свойства функции распределения

1)    значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1].

2)    F(x) – неубывающая функция.

3)    Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а, b) , равна приращению функции распределения на этом интервале.

4)    На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности функция распределения равна единице.

5)    Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

Таким образом, не имеет смысла говорить о каком – либо конкретном значении случайной величины. Интерес представляет только вероятность попадания случайной величины в какой – либо интервал, что соответствует большинству практических задач.

Заключение по лекции:

В лекции мы рассмотрели методы решения основной задачи теории вероятностей – определения вероятности попадания непрерывной случайной величины на интервал с помощью функции распределения.

Плотность вероятности. Числовые характеристики. Моменты случайных величин

Если вычислить вероятность появления непрерывной случайной величины не составляет особого труда, то решение основной задачи теории вероятностей для непрерывной случайной величины несёт большие трудности. Поэтому в материалах сегодняшней лекции мы рассмотрим методы определения вероятности попадания непрерывной случайной величины на интервал с помощью плотности
распределения.

Плотность распределения

Функция распределения полностью характеризует случайную величину, однако, имеет один недостаток. По функции распределения трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или иной точки числовой оси.

Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).

Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.

Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина X в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной величины.

Определение. Случайная величина X называется непрерывной, если её функция распределения F(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за исключением (может быть, конечного числа точек).

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что некоторая случайная величина X примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b.

Доказательство этой теоремы основано на определении плотности распределения и третьем свойстве функции распределения (см. лекцию тема № 10).

Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения f(x) и прямыми х=а и х=b.

Геометрически вероятность Р(а < X < b) представляется в виде заштрихованной области, ограниченной кривой распределения и осью Ох на интервале(а; b) (рис 1).

Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле:

Свойства плотности распределения

1) Плотность распределения – неотрицательная функция.

2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от –
равен единице.

Плотность распределения
можно представить как:

тогда
Поэтому иногда функцию плотности распределения f(x) называют также дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения величины X, а функцию распределения F(x) -интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Следует заметить, что интеграл возможно трактовать как сумму бесконечно большого числа несовместных элементарных событий, каждое из которых заключается в попадании случайной величины в бесконечно малый участок (х, х + dx) и имеет вероятность:

Р(х < X < х + dx) = dF(x) = f(x)dx

Величину f(x)dx называют элементом вероятности.

По своему содержанию элемент вероятности есть вероятность попадания случайной величины X на элементарный участок dx, прилежащий к точке X.

Функция распределения случайной величины X по известной плотности распределения может быть найдена, как интеграл от плотности распределения в интервале от

В схеме непрерывных случайных величин можно вывести аналогии формулы полной вероятности и формулы Бейеса, рассмотренные при изучении темы 4.

Обозначим Р(А /х) условную вероятность события А при условии Х= х. Заменяя в формуле полной вероятности вероятность гипотезы элементом вероятности f(x)dx, а сумму – интегралом, получим полную вероятность события А.

Данная формула называется интегральной формулой полной вероятности.

Соответствующий аналог в схеме непрерывных случайных величин имеет и формула Бейеса. Обозначив условную плотность распределения случайной величины X при условии, что в результате опыта появилось событие A через , получим:

Данная формула называется интегральной формулой Бейеса.

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Пусть непрерывная случайная величина X задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [а,b].

Математическое ожидание

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [а,b], называется определенный интеграл

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:

При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится.

Дисперсия

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата её отклонения.

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:

 

Среднеквадратичное отклонение

Определение. Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.

Мода

Определение. Модой дискретной случайной величины называется её наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум.

Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным или многомодальным.

Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно
называется антимодальным.

Медиана

Определение. Медианой случайной величины X называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.

Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.

Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

Начальный момент

Определение. Начальным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины

Для дискретной случайной величины:
Для непрерывной случайной величины:

Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию.

Центральный момент

Определение. Центральным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины

Для дискретной случайной величины:

Для непрерывной случайной величины:
Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии. Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения.
 

Коэффициент асимметрии

Определение. Отношение центрального момента третьего порядка к среднеквадратическому отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии.

 

Эксцесс

Определение. Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом.

Кроме рассмотренных величин используются также так называемые абсолютные моменты:

Абсолютный начальный момент: 

Абсолютный центральный момент:

Абсолютный центральный момент первого порядка называется средним арифметическим отклонением.

Заключение по лекции:

В лекции мы рассмотрели методы решения основной задачи теории вероятностей – определения вероятности попадания непрерывной случайной величины на интервал с помощью плотности распределения.

Законы распределения непрерывных величин: нормальное, равномерное, показательное

В материалах сегодняшней лекции мы рассмотрим законы распределения непрерывных величин.

Равномерное распределение

Определение. Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [а,b], если на этом отрезке плотность

распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю.

Постоянная величина С может быть определена из условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения, представленной на рис. 1
        

Получаем        .

Найдём функцию распределения F(x) на отрезке [а,b] (рис. 2).

Для того, чтобы случайная величина подчинялась закону равномерного распределения необходимо, чтобы её значения лежали внутри некоторого определенного интервала, и внутри этого интервала значения этой случайной величины были бы равновероятны.

Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиненной равномерному закону распределения.

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:

 

Показательное распределение

Определение. Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью    

где – положительное число.

Найдём закон распределения.

Графики функции распределения и плотности распределения представлены на рис. 3, 4.

Найдём математическое ожидание случайной величины, подчинённой показательному распределению.

Результат получен с использованием того факта, что

Для нахождения дисперсии найдём величину

Дважды интегрируя по частям, аналогично рассмотренному случаю, получим:

Тогда
Итого:

Видно, что в случае показательного распределения математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение равны.

Также легко определить и вероятность попадания случайной величины, подчиненной показательному закону распределения, в заданный интервал.

Показательное распределение широко используется в теории надёжности.

Допустим, некоторое устройство начинает работать в момент времени to=0, а через какое- то время t происходит отказ устройства.

Обозначим Т непрерывную случайную величину – длительность безотказной работы устройства.

Таким образом, функция распределения F(t) = P(T

Вероятность противоположного события (безотказная работа в течение времени t) равна R(t) = P(T>t) – l – F(t).

Функция надежности

Определение. Функцией надёжности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы устройства в течение времени t.

Часто на практике длительность безотказной работы подчиняется показательному закону распределению.

Вообще говоря, если рассматривать новое устройство, то вероятность отказа в начале его функционирования будет больше, затем количество отказов снизится и будет некоторое время иметь практически одно и то же значение. Затем (когда устройство выработает свой ресурс) количество отказов будет возрастать.

Другими словами, можно сказать, что функционирование устройства на протяжении всего существования (в смысле количества отказов) можно описать комбинацией двух показательных законов (в начале и конце функционирования) и равномерного закона распределения.

Функция надёжности для какого- либо устройства при показательном законе распределения равна:

Данное соотношение называют показательным законом надежности.

Важным свойством, позволяющим значительно упростить решение задач теории надежности, является то, что вероятность безотказной работы устройства на интервале времени t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t.

Таким образом, безотказная работа устройства зависит только от интенсивности отказов и не зависит от безотказной работы устройства в
прошлом.

Так как подобным свойством обладает только показательный закон распределения, то этот факт позволяет определить, является ли закон распределения случайной величины показательным или нет.

Нормальный закон распределения

Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности

Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.

Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

Можно легко показать, что параметры входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением случайной величины X.

Найдём функцию распределения F(x).

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1)    Функция определена на всей числовой оси.

2)    При всех х функция распределения принимает только положительные значения.

3)    Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента л значение функции стремится к нулю.

4)    Найдём экстремум функции.

Т.к. при , то в точке х = m функция имеет максимум, равный

5)    Функция является симметричной относительно прямой x = а, т.к. разность

(х – а) входит в функцию плотности распределения в квадрате.

6)    Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.

При вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб.

В этих точках значение функции равно     
Построим график функции плотности распределения (рис. 5).

Построены графики при м =0 и трёх возможных значениях среднеквадратичного отклонения. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается.

Если а > 0, то график сместится в положительном направлении, если а < 0 – в отрицательном.

При а = 0 и кривая называется нормированной. Уравнение нормированной кривой:

Функция Лапласа

Найдём вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.

Обозначим

Тогда
Т.к. интеграл не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция

которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей.

Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.

На рис. 6 показан график функции Лапласа.

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

• 1)    Ф(0) = 0;
• 2)    Ф(-х) = – Ф(х);
• 3)  

Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают
erf х.

Ещё используется нормированная функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:

На рис. 7 показан график нормированной функции Лапласа.

Правило трёх сигм

При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм.

Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины

Если принять , то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую, чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

Это правило называется правилом трех сигм.

Не практике считается, что если для какой-либо случайной величины выполняется правило трёх сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

Пример:

Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:

Найти: а) значение с; б) функцию распределения F(х) и построить ее график; в)
 

Решение:

а) Значение с найдем из условия нормировки:
Следовательно,

б) Известно, что 

Поэтому, если 

если 

если 

Таким образом,

График функции F(х) изображен на рис. 5. 3.

в) 

Пример:

Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти дифференциальную функцию распределения  
 

Решение:  

Так как  то

Пример:

Случайная величина Х задана дифференциальной функцией

Найти  а также 

Решение:

Некоторые законы распределения непрерывной случайной величины 

Пример:

Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [3;7]. Найти:

а) плотность распределения вероятностей  и построить ее график;

б) функцию распределения  и построить ее график;

в)
Решение: Воспользовавшись формулами, рассмотренными выше, при а = 3, b = 7, находим:

Построим ее график (рис. 6.3):

Построим ее график (рис. 6.4):

Пример:

Среднее время безотказной работы прибора равно 100 ч.
Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:

а) плотность распределения вероятностей;

б) функцию распределения;

в) вероятность того, что время безотказной работы прибора превысит 120 ч.
 

Решение.

По условию математическое ожидание
откуда  = 1/100 = 0,01.
Следовательно,

в) Искомую вероятность найдем, используя функцию распределения: 

Пример:

Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием 32 и дисперсией 16. Найти: а) плотность распределения вероятностей  б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (28;38).
 

Решение:

По условию m = 32, σ2 = 16, следовательно, σ = 4, тогда

а) 

б) Воспользуемся формулой:

Подставив a = 28, b = 38, m = 32, σ = 4, получим

По   таблице   значений   функции   Ф(х)   находим   Ф(1,5) = 0,4332, Ф(1) = 0,3413.
Итак, искомая вероятность:

Заключение по лекции:

В лекции мы рассмотрели законы распределения непрерывных величин.