Неопределенный интеграл онлайн
В школе говорят, интеграл – это значок ∫, а вычисление интеграла, то есть процесс интегрирования, – это операция обратная дифференцированию. Согласитесь скучно!
Разумеется, у школьников возникает резонный вопрос: а нафиг он нам нужен?
Но если бы учитель уделил несколько минут на вводную про интегралы, такой вопрос всё равно бы возник, но уже не у всех!
Вводная к интегралам
В далеком 17 веке были на тот момент нерешенные насущные проблемы, а именно изучались закономерности движения тел. Много трудов было проделано Ньютоном, чтобы понять, как вычисляется скорость тела в любой момент времени. Но чем дальше, тем оказалось интереснее.
Допустим, мы знаем закон изменения скорости тела – это некая функция. Тогда площадь фигуры, ограниченная этой кривой и осью координат, будет равна пройденному пути. Вычисляя неопределенный интеграл от функции, мы как раз находим общий закон движения.
В этом заключается один из физических смыслов интеграла.
Как вы уже поняли, геометрический смысл интеграла – это площадь криволинейной трапеции. Соответственно с помощью кратного интеграла вычисляется объем тела.
Решение интегралов
Лейбниц и Ньютон заложили основы дифференциального и интегрального исчисления. В последующие десятилетия было много великих открытий, связанных с вычислением интегралов.
Поскольку подынтегральная функция может принимать различные виды, естественно это привело к разделению интегралов на свои типы, а главное были отрыты многочисленные методы решения интегралов.
Но не все так безоблачно. На практике часто происходит так, что в аналитическом виде вычислить интегралы невозможно, то есть используя какой-либо известный метод. Конечно, получить аналитическое решение это здорово, но, с другой стороны, главное ведь вычислить точное значение интеграла. В этом случае интегралы решаются численными методами. Благодаря компьютерным мощностям, такие задачи не представляют особых сложностей для современного человека.
Калькулятор решения интегралов
Теперь самое интересное. Еще каких-то 15 лет назад школьник и помыслить не мог, что под рукой будут такие калькуляторы интегралов, как, например, наш. Это безусловно облегчает процесс обучения. Можно проверять свои решения, находить допущенные ошибки и лучше усваивать образовательный курс.
И тут в который раз повторяем, калькулятор решения интегралов – это только ваш безотказный помощник, к которому можете обратиться в любое время. Но никак не подмена вашей головы. Старайтесь самостоятельно решать задачи, только так можно развивать мышление, а компьютер будет в помощь.
Solve integrals with Wolfram|Alpha
More than just an online integral solver
Wolfram|Alpha is a great tool for calculating antiderivatives and definite integrals, double and triple integrals, and improper integrals. The Wolfram|Alpha Integral Calculator also shows plots, alternate forms and other relevant information to enhance your mathematical intuition.
Learn more about:
- Integrals »
Tips for entering queries
Use Math Input above or enter your integral calculator queries using plain English. To avoid ambiguous queries, make sure to use parentheses where necessary. Here are some examples illustrating how to ask for an integral using plain English.
- integrate x/(x-1)
- integrate x sin(x^2)
- integrate x sqrt(1-sqrt(x))
- integrate x/(x+1)^3 from 0 to infinity
- integrate 1/(cos(x)+2) from 0 to 2pi
- integrate x^2 sin y dx dy, x=0 to 1, y=0 to pi
- View more examples »
Access instant learning tools
Get immediate feedback and guidance with step-by-step solutions for integrals and Wolfram Problem Generator
Learn more about:
- Step-by-step solutions »
- Wolfram Problem Generator »
What are integrals?
Integration is an important tool in calculus that can give an antiderivative or represent area under a curve.
The indefinite integral of , denoted , is defined to be the antiderivative of . In other words, the derivative of is . Since the derivative of a constant is 0, indefinite integrals are defined only up to an arbitrary constant. For example,, since the derivative of is . The definite integral of from to , denoted , is defined to be the signed area between and the axis, from to .
Both types of integrals are tied together by the fundamental theorem of calculus. This states that if is continuous on and is its continuous indefinite integral, then . This means . Sometimes an approximation to a definite integral is desired. A common way to do so is to place thin rectangles under the curve and add the signed areas together. Wolfram|Alpha can solve a broad range of integrals
How Wolfram|Alpha calculates integrals
Wolfram|Alpha computes integrals differently than people. It calls Mathematica’s Integrate function, which represents a huge amount of mathematical and computational research. Integrate does not do integrals the way people do. Instead, it uses powerful, general algorithms that often involve very sophisticated math. There are a couple of approaches that it most commonly takes. One involves working out the general form for an integral, then differentiating this form and solving equations to match undetermined symbolic parameters. Even for quite simple integrands, the equations generated in this way can be highly complex and require Mathematica’s strong algebraic computation capabilities to solve. Another approach that Mathematica uses in working out integrals is to convert them to generalized hypergeometric functions, then use collections of relations about these highly general mathematical functions.
While these powerful algorithms give Wolfram|Alpha the ability to compute integrals very quickly and handle a wide array of special functions, understanding how a human would integrate is important too. As a result, Wolfram|Alpha also has algorithms to perform integrations step by step. These use completely different integration techniques that mimic the way humans would approach an integral. This includes integration by substitution, integration by parts, trigonometric substitution and integration by partial fractions.
Вычисление интегралов
Множество всех первообразных функции f(x) (дифференциала f(x)dx) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается ∫f(x)dx.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
- Также решают
С помощью данного онлайн-калькулятора можно вычислять любые интегралы. Например, найти интеграл x3sin(x2). Запишем как x^3*sin(x^2) и нажимаем кнопку Получить решение.
Если интеграл определенный, например, 
, то записываем 2/x^4+tan(x), в качестве пределов интегрирования указываем 1, 2.
Примечание: число “пи” (π) записывается как pi; знак “бесконечность” (∞) ≡ infinity
Примеры правильной записи некоторых выражений
Таблица интегралов
Приемы нахождения неопределенных интегралов
Способы нахождения неопределенных интегралов:
- Подведение под знак дифференциала:
- Интегрирование по частям: ∫xexdx
- Простейшие преобразования подынтегрального выражения (пример):
- Интегрирование рациональных дробей:
- Интегрирование простейших иррациональностей:
- Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции: ∫cos4(x)sin3(x)dx
Пример 1. Вычислить ∫(3x+15)17dx.
Решение.
Возводить двучлен в 17-ю степень нецелесообразно. Исходя из табличного интеграла 
, получаем
= 
.
Пример 2. Вычислить 
.
Решение.
Аналогично предыдущему,
= 
Пример 3. 
.
Решение. Поскольку
, то 
.
Пример 4. Вычислить 
Решение. Так как
, то 
.
Пример 5. Вычислить 
.
Решение.
Применим подстановку 
. Отсюда x-5=t2, x=t2+5, dx=2tdt.
Подставив в интеграл, получим
= 
Пример 6. Вычислить ∫x2exdx.
Решение.
Положим u=x2, dv=exdx; тогда du=2xdx, v=ex. Применим формулу интегрирования по частям:
∫x2exdx=x2ex-2∫xex.
Мы добились понижения степени x на единицу. Чтобы найти ∫xex, применим еще раз интегрирование по частям. Полагаем u=x, dv=exdx; тогда du=dx, v=ex и
∫xex=x2ex-2xex+2ex+C.
Пример 7. Вычислить 
.
Решение. Выделяя целую часть, получим: 
.
Учитывая, что x4+5x2+4=(x2+1)(x2+4), для второго слагаемого получаем разложение
Приводя к общему знаменателю, получим равенство числителей:
-5x2–4=(Ax+B)(x2+4)+(Cx+D)(x2+1).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем
x3: 0=A+C
x2: -5=B+D
x: 0=4A+C
x0: -4=4B+D
Отсюда находим A=C=0, B=1/3, D=-16/3.
Подставляя найденные коэффициенты в разложение и интегрируя его, получаем:
Пример 8. Вычислить 
.
Решение. Так как
,
то подынтегральное выражение есть рациональная функция от x и 
; поэтому введем подстановку:
; 
,
откуда
; 
; 
;
.
Следовательно,
Пример 9. Вычислить 
.
Решение.
Подынтегральная функция рационально зависит от sinx(x) и cos(x); применим подстановку tgx/2=t, тогда
, 
, 
и
= 
Возвращаясь к старой переменной, получим
= 
.
Пример 10. Вычислить 
.
Решение.
Произведем замену 1+3x8 = z2. Тогда 
, 
;
таким образом,
.
Следует обратить внимание, что при замене переменной в определенном интеграле пределы интегрирования в общем случае изменяются.
Пример 11.Вычислить несобственный интеграл 
или доказать его расходимость.
Решение. Подынтегральная функция 
не ограничена в окрестности точки x=1. На любом же отрезке [1+ε;e] она интегрируема, так как является непрерывной функцией. Поэтому
.
Пример 12. Вычислить несобственный интеграл 
или доказать его расходимость.
Решение.
Подынтегральная функция непрерывна и интегрируема на R. По определению
= 
= 
Интеграл сходится.
Пример 13. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=x2 и прямой x+y=2.
Решение.
Найдем абсциссы точек пересечения параболы y=x2 и прямой y=2-x. Решая уравнение x2=2-x, находим x1=-2, x2=1. Так как фигура ограничена сверху прямой, а снизу параболой, по известной формуле находим
.
Калькулятор онлайн.
Вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции).
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции).
Программа для вычисления определенного интеграла (площади криволинейной трапеции) не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное
решение с пояснениями, т.е. отображает процесс интегрирования функции.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.
Вы можете посмотреть теорию о определенном интеграле.
Примеры подробного решения >>
Введите подинтегральную функцию и пределы интегрирования
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Определенный интеграл.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).
В декартовой прямоугольной системе координат xOy дана фигура (см. рисунок), ограниченная осью х, прямыми х = a, х = b (a < b)
и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b] функции y = f(x); назовем эту фигуру криволинейной трапецией. Требуется
вычислить площадь криволинейной трапеции.
Решение. Геометрия дает нам рецепты для вычисления площадей многоугольников и некоторых частей круга (сектора, сегмента). Используя
геометрические соображения, мы сумеем найти лишь приближенное значение искомой площади, рассуждая следующим образом.
Разобьем отрезок [а; b] (основание криволинейной трапеции) на n равных частей; это разбиение осуществим с помощью точек x1,
x2, … xk, … xn-1. Проведем через эти точки прямые, параллельные оси у. Тогда заданная
криволинейная трапеция разобьется на n частей, на n узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков.
Рассмотрим отдельно k-ый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок [xk; xk+1].
Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(xk) (см. рисунок). Площадь прямоугольника равна
( f(x_k) cdot Delta x_k ), где ( Delta x_k ) — длина отрезка [xk; xk+1]; естественно
считать составленное произведение приближенным значением площади k-го столбика.
Если теперь сделать то же самое со всеми остальными столбиками, то придем к следующему результату: площадь S заданной криволинейной
трапеции приближенно равна площади Sn ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников (см. рисунок):
( S_n = f(x_0)Delta x_0 + dots + f(x_k)Delta x_k + dots + f(x_{n-1})Delta x_{n-1} )
Здесь ради единообразия обозначений мы считаем, что a = х0, b = xn;
( Delta x_0 ) — длина отрезка [x0; x1],
( Delta x_1 ) — длина отрезка [x1; x2], и т.д;
при этом, как мы условились выше, ( Delta x_0 = dots = Delta x_{n-1} )
Итак, ( S approx S_n ), причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.
По определению полагают, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности (Sn):
$$ S = lim_{n to infty} S_n $$
Задача 2 (о перемещении точки)
По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v(t). Найти перемещение точки
за промежуток времени [а; b].
Решение. Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s = vt, т.е. s = v(b-а). Для неравномерного движения
приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение предыдущей задачи.
1) Разделим промежуток времени [а; b] на n равных частей.
2) Рассмотрим промежуток времени [tk; tk+1] и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была
постоянной, такой, как в момент времени tk. Итак, мы считаем, что v = v(tk).
3) Найдем приближенное значение перемещения точки за промежуток времени [tk; tk+1], это приближенное
значение обозначим sk
( s_k = v(t_k) Delta t_k )
4) Найдем приближенное значение перемещения s:
( s approx S_n ) где
( S_n = s_0 + dots + s_{n-1} = v(t_0)Delta t_0 + dots + v(t_{n-1}) Delta t_{n-1} )
5) Искомое перемещение равно пределу последовательности (Sn):
$$ s = lim_{n to infty} S_n $$
Подведем итоги. Решения различных задач свелись к одной и той же математической модели. Многие задачи из различных областей
науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить.
Понятие определенного интеграла
Дадим математическое описание той модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для функции y = f(x),
непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а; b]:
1) разбиваем отрезок [а; b] на n равных частей;
2) составляем сумму $$ S_n = f(x_0)Delta x_0 + f(x_1)Delta x_1 + dots + f(x_{n-1})Delta x_{n-1} $$
3) вычисляем $$ lim_{n to infty} S_n $$
В курсе математического анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной (или кусочно-непрерывной) функции существует.
Его называют определенным интегралом от функции y = f(x) по отрезку [а; b] и обозначают так:
( intlimits_a^b f(x) dx )
Числа a и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним).
Вернемся к рассмотренным выше задачам. Определение площади, данное в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом:
( S = intlimits_a^b f(x) dx )
здесь S — площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке выше. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.
Определение перемещения s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = a до t = b, данное
в задаче 2, можно переписать так:
( S = intlimits_a^b v(t) dt )
Формула Ньютона — Лейбница
Для начала ответим на вопрос: какая связь между определенным интегралом и первообразной?
Ответ можно найти в задаче 2. С одной стороны, перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток
времени от t = а до t = b и вычисляется по формуле
( S = intlimits_a^b v(t) dt )
С другой стороны, координата движущейся точки есть первообразная для скорости — обозначим ее s(t); значит, перемещение s
выражается формулой s = s(b) – s(a). В итоге получаем:
( S = intlimits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) )
где s(t) — первообразная для v(t).
В курсе математического анализа доказана следующая теорема.
Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула
( S = intlimits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) )
где F(x) — первообразная для f(x).
Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона — Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643—1727)
и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646— 1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.
На практике вместо записи F(b) – F(a) используют запись ( left. F(x)right|_a^b )
(ее называют иногда двойной подстановкой) и, соответственно, переписывают формулу Ньютона — Лейбница в таком виде:
( S = intlimits_a^b f(x) dx = left. F(x)right|_a^b )
Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку.
Опираясь на формулу Ньютона — Лейбница, можно получить два свойства определенного интеграла.
Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
( intlimits_a^b (f(x) + g(x))dx = intlimits_a^b f(x)dx + intlimits_a^b g(x)dx )
Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
( intlimits_a^b kf(x)dx = k intlimits_a^b f(x)dx )
Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских
фигур более сложного вида, например такого, который представлен на рисунке. Фигура Р ограничена прямыми х = а, х = b и графиками
непрерывных функций y = f(x), y = g(x), причем на отрезке [а; b] выполняется неравенство ( g(x) leqslant f(x) ). Чтобы вычислить
площадь S такой фигуры, будем действовать следующим образом:
( S = S_{ABCD} = S_{aDCb} – S_{aABb} = intlimits_a^b f(x) dx – intlimits_a^b g(x) dx = )
( = intlimits_a^b (f(x)-g(x))dx )
Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на отрезке [a; b]
и таких, что для любого x из отрезка [а; b] выполняется неравенство ( g(x) leqslant f(x) ), вычисляется по формуле
( S = intlimits_a^b (f(x)-g(x))dx )
Таблица неопределённых интегралов (первообразных) некоторых функций
$$ int 0 cdot dx = C $$
$$ int 1 cdot dx = x+C $$
$$ int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1} +C ;; (n neq -1) $$
$$ int frac{1}{x} dx = ln |x| +C $$
$$ int e^x dx = e^x +C $$
$$ int a^x dx = frac{a^x}{ln a} +C ;; (a>0, ;; a neq 1) $$
$$ int cos x dx = sin x +C $$
$$ int sin x dx = -cos x +C $$
$$ int frac{dx}{cos^2 x} = text{tg} x +C $$
$$ int frac{dx}{sin^2 x} = -text{ctg} x +C $$
$$ int frac{dx}{sqrt{1-x^2}} = text{arcsin} x +C $$
$$ int frac{dx}{1+x^2} = text{arctg} x +C $$
$$ int text{ch} x dx = text{sh} x +C $$
$$ int text{sh} x dx = text{ch} x +C $$
Определенным интегралом
от заданной функции
называется
предел
интегральных сумм, т.е.:
Определенный интеграл
численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми
,
и графиком функции
.
Для того чтобы
вычислить определенный интеграл,
сначала нужно вычислить
неопределенный интеграл,
а затем воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:
Эта формула применима при условии, что подинтегральная функция является непрерывной на отрезке интегрирования. Поэтому, прежде чем приступить к
вычислению определенного интеграла,
необходимо найти
область определения подинтегральной функции. Если выяснится, что подинтегральная функция имеет
точки разрыва
на отрезке интегрирования, необходимо разбить отрезок на несколько частей в каждой из которых подинтегральная функция непрерывна. Далее, следует вычислить соответствующие неопределенные интегралы на каждом из отрезков, и воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница, взяв пределы в точках, где функция терпит разрыв.
