Как найти значение координат на координатной плоскости

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

на главную

Как найти координаты точки

Поддержать сайт

Содержание:

Декартовы координаты на плоскости:

Изучая материал этой лекции, вы расширите свои знания о координатной плоскости.

Вы научитесь находить длину отрезка и координаты его середины, зная координаты его концов.

Сформируете представление об уравнении фигуры, выведете уравнения прямой и окружности.

Ознакомитесь с методом координат, позволяющим решать геометрические задачи средствами алгебры.

Расстояние между двумя точками с заданными координатами. Координаты середины отрезка

В 6 классе вы ознакомились с координатной плоскостью, то есть с плоскостью, на которой изображены две перпендикулярные координатные прямые (ось абсцисс и ось ординат) с общим началом отсчета (рис. 8.1). Вы умеете отмечать на ней точки по их координатам и наоборот, находить координаты точки, отмеченной на координатной плоскости.

Договорились координатную плоскость с осью

Координаты точки на плоскости называют декартовыми координатами в честь французского математика Рене Декарта (см. рассказ на с. 103).

Вы знаете, как находить расстояние в между двумя точками, заданными своими координатами на координатной прямой. Для точек (рис. 8.2) имеем:

Научимся находить расстояние между точками заданными на плоскости

Рассмотрим случай, когда отрезок не перпендикулярен ни одной из координатных осей (рис. 8.3).

Через точки проведем прямые, перпендикулярные координатным осям. Получим прямоугольный треугольник в котором Отсюда

Тогда формулу расстояния между точками можно записать так:

Докажите самостоятельно, что эта формула остается верной и для случая, когда отрезок перпендикулярен одной из осей координат.

Пусть — точки плоскости Найдем координаты точки — середины отрезка

Рассмотрим случай, когда отрезок не перпендикулярен ни одной из координатных осей (рис. 8.4). Будем считать, что (случай, когда рассматривается аналогично). Через точки проведем прямые, перпендикулярные оси абсцисс, которые пересекут эту ось соответственно в точках По теореме Фалеса тогда Поскольку то можем записать: Отсюда Аналогично можно показать что

Формулы для нахождения координат середины отрезка остаются верными и для случая, когда отрезок перпендикулярен одной из осей координат. Докажите это самостоятельно.

Пример №1

Докажите, что треугольник с вершинами в точках является равнобедренным прямоугольным.

Решение:

Используя формулу расстояния между двумя точками, найдем стороны данного треугольника:

Следовательно, то есть треугольник равнобедренный.

Поскольку то треугольник прямоугольный.

Пример №2

Точка — середина отрезка Найдите координаты точки

Решение:

Обозначим — координаты точки — координаты точки — координаты точки

Поскольку то получаем:

Аналогично

Ответ:

Пример №3

Докажите, что четырехугольник с вершинами в точках является прямоугольником.

Решение:

Пусть точка — середина диагонали Тогда

Следовательно,

Пусть точка — середина диагонали Тогда

Следовательно,

Таким образом, точки совпадают, то есть диагонали четырехугольника имеют общую середину. Отсюда следует, что четырехугольник — параллелограмм.

Найдем диагонали параллелограмма:

Следовательно, диагонали параллелограмма равны. Отсюда следует, что этот параллелограмм является прямоугольником.

Уравнение фигуры. Уравнение окружности

Из курса алгебры 7 класса вы знаете, какую фигуру называют графиком уравнения. В этом пункте вы ознакомитесь с понятием уравнения фигуры.

Координаты каждой точки параболы, изображенной на рисунке 9.1, являются решением уравнения И наоборот, каждое решение уравнения с двумя переменными является координатами точки, лежащей на этой параболе. В этом случае говорят, что уравнение параболы, изображенной на рисунке 9.1, имеет вид

Определение. Уравнением фигуры заданной на плоскости называют уравнение с двумя переменными обладающее следующими свойствами:

1. если точка принадлежит фигуре то ее координаты являются решением данного уравнения;
2. любое решение данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре

Например, уравнение прямой, изображенной на рисунке 9.2, имеет вид а уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 9.3, имеет вид Принято говорить, что, например, уравнения задают прямую и гиперболу соответственно.

Если данное уравнение является уравнением фигуры то эту фигуру можно рассматривать как геометрическое место точек (ГМТ), координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Пользуясь этими соображениями, выведем уравнение окружности радиуса с центром в точке

Пусть — произвольная точка данной окружности (рис. 9.4). Тогда Используя формулу расстояния между точками, получим:

Отсюда

Мы показали, что координаты произвольной точки данной окружности являются решением уравнения Теперь покажем, что любое решение уравнения является координатами точки, принадлежащей данной окружности.

Пусть пара чисел — произвольное решение уравнения

Тогда Отсюда

Это равенство показывает, что точка удалена от центра окружности на расстояние, равное радиусу окружности, а следовательно, точка принадлежит данной окружности.

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема 9.1. Уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид

Верно и такое утверждение: любое уравнение вида где некоторые числа, причем является уравнением окружности радиуса с центром в точке с координатами

Если центром окружности является начало координат (рис. 9.5), то В этом случае уравнение окружности имеет вид

Пример №4

Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок если

Решение:

Поскольку центр окружности является серединой диаметра, то можем найти координаты центра окружности:

Следовательно,

Радиус окружности равен отрезку Тогда

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

Ответ:

Пример №5

Докажите, что уравнение задает окружность. Найдите координаты центра и радиус этой окружности.

Решение:

Представим данное уравнение в виде

Следовательно, данное уравнение является уравнением окружности с центром в точке и радиусом

Ответ:

Пример №6

Докажите, что треугольник с вершинами в точках является прямоугольным, и составьте уравнение окружности, описанной около треугольника

Решение:

Найдем квадраты сторон данного треугольника:

Поскольку то данный треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине Центром описанной окружности является середина гипотенузы — точка радиус окружности Следовательно, искомое уравнение имеет вид

Ответ:

Уравнение прямой

В предыдущем пункте, рассматривая окружность как ГМТ, равноудаленных от данной точки, мы вывели ее уравнение. Для того чтобы вывести уравнение прямой, рассмотрим ее как ГМТ, равноудаленных от двух данных точек.

Пусть — данная прямая. Выберем две точки и так, чтобы прямая была серединным перпендикуляром отрезка (рис. 10.1).

Пусть — произвольная точка прямой Тогда по свойству серединного перпендикуляра отрезка выполняется равенство то есть

Мы показали, что координаты произвольной точки прямой являются решением уравнения

Теперь покажем, что любое решение уравнения является координатами точки, принадлежащей данной прямой

Пусть — произвольное решение уравнения Тогда Это равенство означает, что точка равноудалена от точек следовательно, точка принадлежит серединному перпендикуляру отрезка то есть прямой

Итак, мы доказали, что уравнение является уравнением данной прямой

Однако из курса алгебры 7 класса вы знаете, что уравнение прямой выглядит гораздо проще, а именно: где и — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно. Покажем, что уравнение можно преобразовать к такому виду. Возведем обе части уравнения в квадрат. Имеем:

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Получим:

Обозначив получим уравнение

Поскольку точки различны, то хотя бы одна из разностей не равна нулю. Следовательно, числа и не равны нулю одновременно.

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема 10.1. Уравнение прямой имеет вид?

где — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно.

Верно и такое утверждение: любое уравнение вида где — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно, является уравнением прямой.

Если то графиком уравнения является вся плоскость Если то уравнение не имеет решений.

Из курса алгебры 7 класса вы знаете, что уравнение вида называют линейным уравнением с двумя переменными. Уравнение прямой является частным видом линейного уравнения. Схема, изображенная на рисунке 10.2, иллюстрирует сказанное.

на уроках алгебры в 7 классе мы приняли без доказательства тот факт, что графиком линейной функции является прямая. Сейчас мы можем это доказать.

Перепишем уравнение Мы получили уравнение вида для случая, когда Поскольку в этом уравнении то мы получили уравнение прямой.

А любую ли прямую на плоскости можно задать уравнением вида Ответ на этот вопрос отрицательный.

Дело в том, что прямая, перпендикулярная оси абсцисс, не может являться графиком функции, а следовательно, не может быть задана уравнением вида

Вместе с тем, если в уравнении прямой принять то его можно переписать так: Мы получили частный вид уравнения прямой, все точки которой имеют одинаковые абсциссы. Следовательно, эта прямая перпендикулярна оси абсцисс. Ее называют вертикальной.

Если то уравнение прямой можно записать так:

Обозначив получим уравнение

Следовательно, если то уравнение прямой задает вертикальную прямую; если то это уравнение задает невертикальную прямую.

Уравнение невертикальной прямой удобно записывать в виде

Данная таблица подытоживает материал, рассмотренный в этом пункте.

Пример №7

Составьте уравнение прямой, проходящей через точки:

Решение:

1) Поскольку данные точки имеют равные абсциссы, то прямая является вертикальной. Ее уравнение имеет вид

2) Поскольку данные точки имеют разные абсциссы, то прямая не является вертикальной. Тогда можно воспользоваться уравнением прямой в виде

Подставив координаты точек в уравнение получаем систему уравнений:

Решив эту систему уравнений, находим, что

Ответ:

Пример №8

Найдите периметр и площадь треугольника, ограниченного прямой и осями координат.

Решение:

Найдем точки пересечения данной прямой с осями координат.

С осью абсцисс: при получаем

С осью ординат: при получаем

Следовательно, данная прямая и оси координат ограничивают прямоугольный треугольник (рис. 10.3) с вершинами Найдем стороны треугольника:

Тогда искомые периметр и площадь соответственно равны

Ответ:

Угловой коэффициент прямой

Рассмотрим уравнение Оно задает невертикальную прямую, проходящую через начало координат.

Покажем, что прямые где параллельны.

Точки принадлежат прямой а точки и принадлежат прямой (рис. 11.1). Легко убедиться (сделайте это самостоятельно), что середины диагоналей четырехугольника совпадают. Следовательно, четырехугольник — параллелограмм. Отсюда

Теперь мы можем сделать такой вывод: если то прямые параллельны (1).

Пусть прямая пересекает единичную полуокружность в точке (рис. 11.2). Угол называют углом между данной прямой и положительным направлением оси абсцисс.

Если прямая совпадает с осью абсцисс, то угол между этой прямой и положительным направлением оси абсцисс считают равным

Если прямая образует с положительным направлением оси абсцисс угол то считают, что и прямая параллельная прямой также образует угол с положительным направлением оси абсцисс (рис. 11.3).

Рассмотрим прямую уравнение которой имеет вид (рис. 11.2). Если Поскольку точка принадлежит прямой Отсюда Таким образом, для прямой получаем, что

где — угол, который образует эта прямая с положительным направлением оси абсцисс. Поэтому коэффициент называют угловым коэффициентом этой прямой.

Если невертикальные прямые параллельны, то они образуют равные углы с положительным направлением оси абсцисс. Тогда тангенсы этих углов равны, следовательно, равны и их угловые коэффициенты. Таким образом,

если прямые параллельны, то (2).

Выводы (1) и (2) объединим в одну теорему.

Теорема 11.1. Прямые параллельны тогда и только тогда, когда

Пример №9

Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку и параллельна прямой

Решение:

Пусть уравнение искомой прямой Поскольку эта прямая и прямая параллельны, то их угловые коэффициенты равны, то есть

Следовательно, искомое уравнение имеет вид Учитывая, что данная прямая проходит через точку получаем: Отсюда

Искомое уравнение имеет вид

Ответ:

Метод координат

Мы часто говорим: прямая парабола окружность тем самым отождествляя фигуру с ее уравнением. Такой подход позволяет сводить задачу о поиске свойств фигуры к задаче об исследовании ее уравнения. В этом и состоит суть метода координат.

Проиллюстрируем сказанное на таком примере.

Из наглядных соображений очевидно, что прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Однако это утверждение не является аксиомой, поэтому его надо доказывать.

Эта задача сводится к исследованию количества решений системы уравнений

где числа одновременно не равны нулю и

Решая эту систему методом подстановки, мы получим квадратное уравнение, которое может иметь два решения, одно решение или вообще не иметь решений. Следовательно, для данной системы существует три возможных случая:

1. система имеет два решения — прямая и окружность пересекаются в двух точках;
2. система имеет одно решение — прямая касается окружности;
3. система не имеет решений — прямая и окружность не имеют общих точек.

С каждым из этих случаев вы встречались, решая задачи 10.17-10.19.

Метод координат особенно эффективен в тех случаях, когда требуется найти фигуру, все точки которой обладают некоторым свойством, то есть найти геометрическое место точек.

Отметим на плоскости две точки Вы хорошо знаете, какой фигурой является геометрическое место точек таких, что

Это серединный перпендикуляр отрезка Интересно выяснить, какую фигуру образуют все точки для которых Решим эту задачу для

Плоскость, на которой отмечены точки «превратим» в координатную. Сделаем это так: в качестве начала координат выберем точку в качестве единичного отрезка — отрезок ось абсцисс проведем так, чтобы точка имела координаты (рис. 11.6).

Пусть — произвольная точка искомой фигуры Тогда Отсюда

Следовательно, если точка принадлежит фигуре то ее координаты являются решением уравнения

Пусть — некоторое решение уравнения Тогда легко показать, что А это означает, что точка такова, что Тогда Следовательно, точка принадлежит фигуре

Таким образом, уравнением фигуры является уравнение то есть фигура — это окружность с центром в точке и радиусом

Мы решили задачу для частного случая, когда Можно показать, что искомой фигурой для любого положительного будет окружность. Эту окружность называют окружностью Аполлония

Как строили мост между геометрией и алгеброй

Идея координат зародилась очень давно. Ведь еще в старину люди изучали Землю, наблюдали звезды, а по результатам своих исследований составляли карты, схемы.

Во II в. до н. э. древнегреческий ученый Гиппарх впервые использовал идею координат для определения места расположения объектов на поверхности Земли.

Только в XIV в. французский ученый Николя Орем (ок. 1323-1382) впервые применил в математике идею Гиппарха: он разбил плоскость на клетки (как разбита страница вашей тетради) и стал задавать положение точек широтой и долготой.

Однако огромные возможности применения этой идеи были раскрыты лишь в XVII в. в работах выдающихся французских математиков Пьера Ферма и Рене Декарта. В своих трудах эти ученые показали, как благодаря системе координат можно переходить от точек к числам, от линий к уравнениям, от геометрии к алгебре.

Несмотря на то что П. Ферма опубликовал свою роботу на год раньше Р. Декарта, систему координат, которой мы сегодня пользуемся, называют декартовой. Р. Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» предложил новую удобную буквенную символику, которой с незначительными изменениями мы пользуемся и сегодня. Вслед за Декартом мы обозначаем переменные последними буквами латинского алфавита а коэффициенты — первыми: Привычные нам обозначения степеней и т. д. также ввел Р. Декарт.

Справочный материал

Расстояние между двумя точками

Расстояние между точками можно найти по формуле

Координаты середины отрезка

Координаты середины отрезка с концами можно найти по формулам:

Уравнение фигуры

Уравнением фигуры заданной на плоскости называют уравнение с двумя переменными обладающее следующими свойствами:

1) если точка принадлежит фигуре то ее координаты являются решением данного уравнения;

2) любое решение данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре

Уравнение окружности

Уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид

Любое уравнение вида где — некоторые числа, причем является уравнением окружности радиуса с центром в точке с координатами

Уравнение прямой

Уравнение прямой имеет вид — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно. Любое уравнение вида — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно, является уравнением прямой.

Если то уравнение прямой задает вертикальную прямую; если то это уравнение задает невертикальную прямую.

Угловой коэффициент прямой

Коэффициент в уравнении прямой называют угловым коэффициентом прямой, и он равен тангенсу угла, который образует эта прямая с положительным направлением оси абсцисс.

Необходимое и достаточное условие параллельности невертикальных прямых

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. В математике координаты — совокупность чисел, сопоставленных точкам многообразия в некоторой карте определённого атласа.

Координаты на прямой

Если на прямой задано направление, то такую прямую называют направленной, а выбранное направление — положительным. Например, на горизонтальной прямой можно отметить направление вправо, тогда будем говорить, что направленная прямая имеет положительное направление вправо. Можно с таким же правом считать положительным и направление влево. Направление прямой будем указывать стрелкой (рис. 1).

Выберем на направленной прямой точку, которую назовем началом отсчета или началом координат, и будем обозначать ее буквой О.

Кроме того, выберем отрезок, длину которого будем считать единицей длины. Этот отрезок назовем единицей масштаба.

Определение:

Прямая линия, на которой указаны: начало отсчета, единица масштаба и направление отсчета, называется осью координат.

Рассмотрим отрезок, расположенный на оси координат. Если одну из точек, ограничивающих отрезок, назовем началом отрезка, а другую—его концом, то отрезок будем называть направленным отрезком. Направленный отрезок обозначают двумя буквами, например: АВ, СМ, КР, причем на первом месте ставят букву, обозначающую начало, на втором—букву, обозначающую конец. Таким образом, запись АВ показывает, что начало отрезка есть точка А, а конец — точка В. Направление отрезка считается от начала к концу.

Если направление отрезка совпадает с направлением оси, то отрезок называют положительно направленным; если же его направление противоположно направлению оси, то — отрицательно направленным. Таким образом, отрезки АВ и ВА имеют противоположные направления. Это записывают так:

Отметим, что положительный отрезок может находиться в любом месте координатной оси, только его направление должно совпадать с направлением оси.

Сложение направленных отрезков производится по следующему правилу:

Для того чтобы сложить два направленных отрезка, нужно к концу первого приложить начало второго; тогда отрезок, имеющий началом начало первого отрезка и концом конец второго, называют суммой двух направленных отрезков.

Из этого определения вытекает, что сумма отрезков АВ и ВС равна отрезку АС при любом расположении точек А, В, С, т. е. всегда:

(рис. 2 и 3).

Координатным отрезком точки А называется направленный отрезок, имеющий начало в точке О (т. е. в начале координат), а концом — рассматриваемую точку А.

Всякий направленный отрезок, лежащий на оси, можно выразить через координатные отрезки его начала и конца. В самом деле, рассмотрим направленный отрезок АВ. На основании равенства (2) можно написать

(здесь вместо точки В поставлена точка О, а вместо точки С точка В) или

Отрезок ОВ есть координатный отрезок (его начало есть точка О), но отрезок АО не является координатным, поскольку его начало не является началом координат. Но в силу равенства (1)

поэтому можно написать

Получен следующий результат:

Направленный отрезок равен разности координатного отрезка его конца и координатного отрезка его начала.

Это верно для любого отрезка, лежащего на координатной оси.

Теперь дадим одно из самых важных определений: Координатой точки на координатной оси называется число, равное по абсолютной величине длине координатного отрезка этой точки и по знаку совпадающее со знаком координатного отрезка.

Точку А, имеющую координатной число х, будем обозначать А (х).

Указанные на рис. 4 точки имеют следующие координаты:

Будем также писать

Если даны точки А(х1) и В(х2), то на основании формул (3) и (4) получим

т. е. направленный отрезок равен разности координат его конца и начала.

Отсюда сразу получаем, что длина отрезка равна абсолютной величине разности координат его конца и начала.

Длину отрезка будем обозначать, пользуясь знаком | |, т. е. знаком абсолютной величины. Таким образом, длина отрезка АВ будет записываться так:

Пример:

Если даны точки А (+4), В (+8), то отрезок АВ = (+8) — (+4), а его длина |АВ|= |+ 4 | = 4.

Если даны точки М (+5) и Р (+3), то отрезок МР = (+3)—(+5) = —2, а его длина |МР| = | —2| = 2. Даны две точки: Q (+ 3) и S (—4). Длина отрезка

Даны две точки R (— 6) и Т (—2); отрезок RТ = ( — 2) — (—6) = +4, а его длина | RТ | = 4.

Пример:

Начало отрезка АВ находится в точке А (—950), а конец—в точке В ( —1200); найти его направление и длину.

Отрезок АВ = ( — 1200)—( — 950) = —250. Так как он

получился отрицательным, то его направление противоположно направлению оси. Его длина равна | АВ | = | —250 | = 250.

Задача:

На координатной оси даны две точки: A (x1) и В (x2) Найти точку С, лежащую между ними и делящую отрезок АВ в отношении т : п.

Чтобы найти точку, надо найти ее координату. По условию задачи должно быть

Обозначая координату искомой точки С через х и выражая отрезки через координаты, т. е. применяя формулу (5), получим, что АС = х—х1, СВ = х2 — х. Подставляя эти выражения в равенство (6), будем иметь

Решая последнее уравнение относительно х, найдем:

Это и есть координата искомой точки.

Пример:

Найти точку С, делящую отрезок АВ в отношении 1:2, если даны начало отрезка А (+ 3) и конец В ( + 5) (рис. 5).

Здесь т = 1, п = 2, х1=-3, х2 = 5. Применяя формулу (7), получим

Пример:

Найти точку М, делящую расстояние между точками Р ( — 2) и Q (—9) в отношении 3:4 (рис. 5). Здесь т = 3, п = 4, х1 = —2, х2 = —9. По формуле (7) находим

Если т = n т. е. точка С делит отрезок АВ пополам, тогда формула (7) перепишется так:

Таким образом, координата точки, делящей отрезок пополам, равна средней арифметической координат его начала и конца.

Пример:

Найдем середину отрезка, заключенного между точками А (—6) и B (4) (рис. 6).

Применяя формулу (8), получим, что

Координаты на плоскости

Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке О. На каждой из этих прямых зададим направление, указав его стрелкой (рис. 7).

Установим масштаб, общий для обеих прямых, а за начало отсчета выберем точку О.

Определение:

Координатными осями на плоскости называются две взаимно перпендикулярные прямые, на которых установлены: 1) на-правления, 2) масштаб и 3) общая точка отсчета.

Назовем одну из осей осью Ох или осью абсцисс, другую — осью Оу или осью ординат. Точку их пересечения назовем началом координат.

Возьмем произвольную точку M, лежащую на плоскости, и опустим из нее перпендикуляры на оси координат, т. е. найдем ее проекции на оси. Обозначим проекцию на ось Ох через А, а проекцию на ось Оу через В. Обозначим координату точки А (по оси Ох) через х, а координату точки В (по оси Оу) через у. Введем определение:

Определение:

Абсциссой точки называется координата ее проекции на ось Ох. Ординатой точки называется координата ее проекции на ось Оу.

Абсциссу точки обычно обозначают буквой х, ординату— буквой у. Точку М, имеющую абсциссу х и ординату у, обозначают следующим образом: пишут скобку и в ней на первом месте ставят абсциссу, на втором ординату и разделяют эти два числа запятой или точкой с запятой. Таким образом, запись точки выглядит так: М(х, у).

Координатные оси разделяют плоскость на четыре части, которые называют четвертями.

Первой четвертью называется та часть плоскости, в которой абсцисса и ордината положительны.

Второй четвертью — та часть, в которой абсцисса отрицательна, а ордината положительна.

Третьей четвертью — та часть, в которой абсцисса и ордината отрицательны, и, наконец, четвертой, — та часть, в которой абсцисса положительна, а ордината отрицательна (рис. 7), На рис. 8 указаны точки M1 (5, 2), М2 ( — 1, 1), М3 (-1, -3), М4 (2, -3). Заметим, что абсцисса х = ОА по абсолютной величине равна расстоянию точки от оси ординат, так как ОА = ВМ (см. рис. 7), а ордината — расстоянию точки М от оси абсцисс, так как ОВ = АМ.

Пример:

Найти точку Р( — 4, 2) (рис. 9), Возьмем на оси Ох точку А с координатой —4, ее координатный отрезок ОА = —4. На оси Оу возьмем точку В с координатным отрезком ОВ= 2. Восставим перпендикуляры к осям из точек А и В, точка их пересечения и даст искомую точку Р.

Задача:

Найти расстояние между точками Р (х1, у1) и Q( х1, у1 ). Иначе говоря, нужно найти длину отрезка РQ(рис. 10).

Обозначим проекцию точки Р на ось Ох через А1, а ее проекцию на ось Оу — через В1. Проекцию точки Q на ось Ох обозначим через А2 и через В2— ее проекцию на ось Oy. Тогда ОА1 = х1, ОВ1 = y1, ОА2 = х2, ОВ2 = у2. Из точки Р проведем прямую, параллельную оси Ох, до пересечения с прямой A2Q в точке К. Рассмотрим треугольник PKQ. По теореме Пифагора имеем

Но РК = А1А2, KQ = B1B2, как противоположные стороны прямоугольников; кроме того, на основании формулы (3 из § 1) направленные отрезки А1А2 и В1В2 будут равны

Подставляя полученные выражения в (*), получим

откуда

т. е. расстояние между двумя точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей координат.

Примечание:

Расстояние между двумя точками, так же как длина отрезка, всегда положительно, поэтому в формуле (1) перед квадратным корнем берут только знак плюс.

Пример:

Найти расстояние между точками Р (— 2, — 1) и Q (2, 2). Применяя формулу (1), получим

Пример:

Найти длину отрезка MN, если даны М (8, 2) и N(2, 10). Применяя формулу (1), получим

Задача:

Найти точку С, делящую отрезок PQ в отношении т : п, если известны координаты точек Р (х1, у1) и Q (х2, у2). По условию задачи надо найти такую точку С, чтобы было выполнено равенство

Решение:

Обозначим, как и выше, проекции точки Р на оси через А1 и В1, а проекции точки Q—через А2 и В2; тогда ОА1 = х1 , OB1 = y1, ОА2 =х2, ОВ2=у2 (рис. 11). Кроме того, обозначим координаты искомой точки С через х и у, а ее проекции на оси — через А и В, т. е. ОА = х, ОВ = у.

Так как прямые А1Р, АС и А2Q параллельны между собой, то на основании теоремы о пропорциональных отрезках можно записать, что

Но А1А = ОА — ОА1 = х—х1, АА2 = ОА2 — ОА = х2—х; поэтому, подставляя в равенство (*), будем иметь уравнение

решая которое найдем абсциссу точки С:

Рассуждая аналогично о проекциях на ось Оу, т. е. о точках В1, В и В2, получим ординату точки С, делящей отрезок в отношении т : п,

Итак, искомая точка С имеет координаты, определяемые равенствами (2) и (3).

Пример:

Найти точку, делящую в отношении 1:2 отрезок PQ, где Р (4, —3) и Q (8, 0). Здесь х1 = 4, у1 = — 3, х2 = 8, у2 = 0, т = 1, п = 2. Применяя формулы (2) и (3), получим:

Пример:

Найти точку, делящую расстояние между точками А (4, 2) и B (8, 10) в отношении 3 : 1. Здесь х1=-4, у1 = 2, х2 = 8, у2= 10, т = 3, п = 1. По формулам (2) и (3) находим:

Следствие (из формул (2) и (3)). Если точка С делит отрезок РQ пополам, то т = n, поэтому

т. е. абсцисса середины отрезка равна средней арифметической абсцисс его начала и конца; ордината середины отрезка равна средней арифметической ординат его начала и конца.

Задача:

Даны три вершины треугольника: А (7, 0), В (4, 4) и С (7, 10). Найти длину биссектрисы угла A (рис. 12).

Найдем длины сторон АВ и АС. Для этого применим формулу (1):

Обозначим точку пересечения биссектрисы угла А с противоположной стороной ВС через М, а ее координаты—через х и у. Помня, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, можно утверждать, что точка М делит отрезок ВС в отношении 5 : 10 = ; поэтому, применяя формулы (2) и (3), получим:

т. е. М (5, 6).

Теперь вычисляем длину биссектрисы между точками А(7, 0) и М(5, 6):

Задача:

Найти точку пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются точки А(4, 6), В(—8, 10), С( —2, —6) (рис. 13).

Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Обозначим через М середину стороны АС; по формулам (4) и (5) можно найти ее координаты:

т. е. М(19 0). Точка Р пересечения медиан делит отрезок ВМ в отношении 2:1, поэтому ее координаты найдутся по формулам (2)

и (3):

Итак, искомая точка

Задача:

Записать условие того, что точка М (х, у) находится на расстоянии По формуле (1) имеем

или, возводя обе части равенства в квадрат, получим

Это равенство есть уравнение с двумя неизвестными х и у. Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на расстоянии 5 от точки С. Иначе говоря, ему удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей геометрическому месту точек, расстояние которых от точки С равно 5. Это геометрическое место есть окружность.

Следовательно, можно сказать, что уравнение (*) есть уравнение окружности с центром в точке С и радиуса 5.

В следующих главах будут рассмотрены уравнения с двумя неизвестными х и у и те линии (геометрические места), точки которых имеют координаты, удовлетворяющие этим уравнениям.

Числовая ось

Числовой осью называют направленную прямую, на которой указывается начальная точка О и задается некоторый «эталон» длины Е. Каждой точке этой прямой отвечает вещественное число, равное длине отрезка если расположено правее точки О, и равное этой

длине со знаком минус — в противном случае (см. рис. 1 а). Числовую ось будем обозначать (смысл этого обозначения прояснится ниже).

Указанное соответствие между точками числовой оси и множеством вещественных чисел является взаимно однозначным, т. е. каждой точке соответствует единственное число , обратно, каждому числу соответствует единственная точка Таким образом, множество . вещественных чисел можно отождествлять с числовой осью , чем мы будем впредь постоянно пользоваться.

Декартова система координат

Декартовой (прямоугольной) системой координат на плоскости называют две взаимно перпендикулярные числовые оси и , имеющие общее начало О и одинаковые единицы масштаба (см. рис. 1 б). Ось называют осью абсцисс, а ось — осью ординат. Плоскость называют координатной плоскостью и обозначают

Пусть М — произвольная точка координатной плоскости. Опустим из нее перпендикуляры МА и МВ на оси и соответственно. Декартовыми координатами точки М называют числа, которым соответствуют точки А к В. Например, точка имеет декартовы координаты что записывается в виде Точка О имеет координаты (0,0).

Полярная система координат

В плоскости зададим луч — полярную ось, выходящий из точки О — полюса полярной системы координат (см. рис. 2 а). Произвольная точка М плоскости определяется парой чисел называемой ее полярными координатами, где р — длина отрезка ОМ, а — выраженный в радианах угол между ОМ и осью . Угол в считается положительным, если откладывается против часовой стрелки, и отрицательным в противоположном случае. Точка О имеет полярные координаты где — любой угол.

Полярные и декартовы координаты, заданные на одной плоскости (см. рис. 2 6), связаны очевидными равенствами:

Полярные координаты удобны для задания многих кривых. Например, уравнение р=2 описывает окружность, изображенную на рис. За. Уравнение описывает спираль Архимеда (рис . Уравнение описывает окружность с диаметром 1 и с центром в точке (рис. Зв).

Системы координат в пространстве

Декартова система координат в пространстве определяется тремя взаимно перпендикулярными осями , и , называемыми соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат (см. рис. 4 а). Проcтранство обозначают . Положение точки М в определяется тройкой чисел

Аналогами полярной системы координат в пространстве служат цилиндрическая и сферическая системы координат.

Цилиндрическая система координат (рис. 4 б) представляет собой объединение полярной системы координат в плоскости с аппликатой z:

где

Сферическая система координат (рис. 4 в) связана с декартовой системой равенствами

где

Пространство

Пространство

На плоскости и в пространстве положение точки в декартовых координатах полностью определяется соответственно, парой и тройкой чисел вида [) и (x,y,z). Желая обобщить эти геометрические подходы, в анализе вводят понятие пространства

Упорядоченную систему из вещественных чисел называют -мерной точкой, а множество всех -мерных точек называют —мерным пространством или короче — пространством .

Понятие пространства естественно дополнить понятиями основных операций над его элементами. По определению полагают

Наконец, обобщая известную из аналитической геометрии формулу, определяют расстояние между двумя точками и

Прямую, плоскость и пространство можно рассматривать как пространства , и соответственно. Ниже это будет практиковаться постоянно.

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Множество действительных чисел
92. Числовые множества
93. Преобразование рациональных выражений
94. Преобразование иррациональных выражений
95. Геометрия
96. Действительные числа
97. Степени и корни
98. Степень с рациональным показателем
99. Тригонометрические функции угла
100. Тригонометрические функции числового аргумента
101. Тригонометрические выражения и их преобразования
102. Преобразование тригонометрических выражений
103. Комбинаторика
104. Вычислительная математика
105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
106. Прямая и плоскость
107. Линии и уравнения
108. Прямая линия
109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
110. Кривые второго порядка
111. Кривые и поверхности второго порядка
112. Числовые ряды
113. Степенные ряды
114. Ряды Фурье
115. Преобразование Фурье
116. Функциональные ряды
117. Функции многих переменных
118. Метод координат
119. Гармонический анализ
120. Вещественные числа
121. Предел последовательности
122. Аналитическая геометрия
123. Аналитическая геометрия на плоскости
124. Аналитическая геометрия в пространстве
125. Функции одной переменной
126. Высшая алгебра
127. Векторная алгебра
128. Векторный анализ
129. Векторы
130. Скалярное произведение векторов
131. Векторное произведение векторов
132. Смешанное произведение векторов
133. Операции над векторами
134. Непрерывность функций
135. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
136. Предел и непрерывность функции одной переменной
137. Производные и дифференциалы функции одной переменной
138. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
139. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
140. Матрицы
141. Линейные и евклидовы пространства
142. Линейные отображения
143. Дифференциальные теоремы о среднем
144. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
145. Функции комплексного переменного
146. Преобразование Лапласа
147. Теории поля
148. Операционное исчисление
149. Системы координат
150. Рациональная функция
151. Интегральное исчисление
152. Интегральное исчисление функций одной переменной
153. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
154. Отношение в математике
155. Математическая логика
156. Графы в математике
157. Линейные пространства
158. Первообразная и неопределенный интеграл
159. Линейная функция
160. Выпуклые множества точек

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике 5-9 класс
4. Координаты на плоскости
5. Координатная плоскость

Советуем посмотреть:

Перпендикулярные прямые

Осевая и центральная симметрии

Параллельные прямые

Координаты на плоскости

Правило встречается в следующих упражнениях:

6 класс

Номер 1301,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1302,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1311,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 6,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 1397,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1402,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1441,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1456,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1532,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1547,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 779,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 783,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 818,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 823,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 834,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 893,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 895,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1009,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1042,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1218,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

8 класс

Номер 12,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 323,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 326,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 334,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 335,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 10,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 11,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 362,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 363,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 366,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

---

Системы координат на плоскости

Соотношения между декартовыми и полярными координатами
Расстояние между точками и
Деление отрезка в данном отношении
Площадь треугольника с вершинами , ,
Параллельный перенос системы координат
Поворот системы координат
Параллельный перенос и поворот осей на угол

2. Прямая на плоскости

2.1. Линии на плоскости. Основные понятия

Линия
на плоскости
рассматривается как множество точек,
обладающих некоторыми геометрическими
свойствами, только им присущими. Так,
например, окружность радиуса R
есть множество всех точек плоскости,
удаленных на расстояние R
от фиксированной точки О (центра
окружности).

Введение
на плоскости системы координат позволяет
определить положение точки плоскости
заданием двух чисел – ее координат, а
положение линии на плоскости определять
с помощью уравнения (т.е. равенства,
связывающего координаты точек линии).

Уравнение
линии в декартовой системе координат.
Уравнением
линии (кривой)
на плоскости

называется уравнение, которому
удовлетворяют координаты х
и у
каждой точки данной линии и не удовлетворяют
координаты любой точки, не
лежащей на этой линии.

Уравнение
линии можно записать в виде F(x,
y)
= 0, или, если это возможно, в виде y
= f
(x),
где F(x,
y),
f
(x)
– некоторые функции.

Переменные

и

в уравнении линии называются текущими
координатами
точек линии.

Таким
образом, вместо изучения геометрических
свойств линии, мы можем исследовать ее
уравнение.

Для
того чтобы установить лежит ли точка

на заданной кривой, достаточно проверить,
удовлетворяют ли координаты точки М
уравнению этой кривой в выбранной
системе координат.

Пример
5. Принадлежат
ли точки

и

линии
?

Решение.
Подставим
в заданное уравнение вместо

и

координаты точки А,
получим
.

Следовательно,
точка А
не принадлежит данной линии.

Точка
В
принадлежит заданной линии, т.к.
,
т.е. координаты точки

удовлетворяют данному уравнению.

Задача
нахождения точек пересечения двух
линий, заданных уравнениями F₁
(x,
y)
= 0 и F₂
(x,
y)
= 0, сводится к отысканию точек, координаты
которых удовлетворяют уравнениям обеих
линий, т.е. сводится к решению системы
двух уравнений с двумя неизвестными:

Если
эта система не имеет действительных
решений, то линии не пересекаются.

2.2. Уравнения прямой на плоскости

Простейшей
линией на плоскости является прямая.
Различным способам задания прямой
соответствуют в прямоугольной системе
координат разные виды ее уравнений.

Уравнение
прямой с угловым коэффициентом. Пусть
на плоскости

задана произвольная прямая, не параллельная
оси
.

Пусть
эта прямая пересекает ось

в точке

и образует с осью

угол
,

(см. рис. 20).

у

М
(х;
у)

B
(0;
b)

α

N
(х;
b)

α

A
(х;
0)

O

х

Рис.
20

Возьмем
на прямой произвольную точку
.
Тангенс угла

наклона прямой найдем из прямоугольного
треугольника MNB:

,
или
.

Введем
обозначение
,
получим уравнение:

,
(3.10)

которому
удовлетворяют координаты любой точки

прямой.

Число

называется угловым
коэффициентом
прямой, а уравнение (3.10) – уравнением
прямой с угловым коэффициентом.

Рассмотрим
частные
случаи
уравнения (3.10).

1. Если
   прямая
   проходит через начало координат,
   то
   ,
   и, следовательно, уравнение этой прямой
   имеет вид:

.

Если
,
то прямая образует с осью

острый угол
,
а при

– тупой угол (рис. 21а).

2)
Если прямая
параллельна оси
(рис.
21б),то
,
следовательно,
,
и уравнение (3.10) примет вид:

1. Если
   прямая
   параллельна оси
   
   (рис. 21в),
   то
   ,
   и, следовательно,
   
   не существует. В этом случае уравнение
   прямой будет иметь вид:
   .

у

у

у

у
= kx,

k
> 0

у
= kx,

k
< 0

х
= а

у
= b

х

х

x

O

O

O

а)
б)
в)

Рис.
21

Общее
уравнение прямой. Уравнение
первой степени относительно

и

вида

,
(3.11)

где
А,
В,
С – произвольные
числа, причем А
и В –
не равны нулю одновременно, называется
общим
уравнением прямой.

Покажем,
что уравнение (3.11) – уравнение прямой
линии.

Возможны два
случая:

1)
Если
,
то уравнение (3.11) имеет вид
,
причем
,
т.е.
.
Это есть уравнение прямой, параллельной
оси

и проходящей через точку
.

2)
Если
,
то уравнение (3.11) можно представить в
виде

, а это есть уравнение
прямой с угловым коэффициентом
.

Рассмотрим
некоторые частные случаи уравнения
(3.11).

1)
Если
,
то уравнение (3.11) примет вид
.
Это уравнение прямой, параллельной
оси
.

2)
Если
,
то уравнение (3.11) примет вид
.
Это уравнение прямой, параллельной
оси
.

3)
Если
,
то уравнение (3.11) примет вид
.
Это
уравнение прямой, проходящей через
начало координат (0; 0).

Уравнение
прямой, проходящей через данную точкус
данным угловым коэффициентом. Пусть
прямая проходит через точку
,
и ее направление характеризуется угловым
коэффициентом

причем
.
Уравнение этой прямой можно записать
в виде (3.10):
,
где
–
заданная величина, а

– неизвестная величина, которую
необходимо найти. Так как точка

принадлежит прямой, то ее координаты
удовлетворяют этому уравнению, т.е.
.

Подставим

в уравнение (3.10),
получим искомое уравнение прямой:

(3.12)

Уравнение
(3.12) с различными значениями k
называют также уравнениями
пучка прямых с
центром в точке
.
Из этого пучка нельзя определить
лишь прямую, параллельную оси
.

Пример
6. Составить
уравнение прямой, проходящей через
точку

и образующей с осью

угол
.

Решение.
Найдем
угловой коэффициент:
.
Подставляя координаты точки

,
и значение

в
уравнение
(3.12), получим искомое уравнение прямой:

или

.

Уравнение
прямой, проходящей через две данные
точки.

Пусть
прямая проходит через точки

и
.
Требуется составить уравнение этой
прямой. Возьмем на прямой произвольную
точку

с текущими
координатам
.

Рассмотрим
векторы

и
.
Так как векторы

(коллинеарные), то их координаты
пропорциональны, т.е.

.
(3.13)

Уравнение
(3.13) –
это уравнение прямой, проходящей через
две данные точки


и
.

Предполагается,
что в уравнении (3.13)


и
.

Если

,
то прямая,
проходящая через точки


и
,
параллельна оси ординат. Ее уравнение:

.

Если

,
то прямая,
проходящая через точки

и
,
параллельна оси абсцисс. Ее уравнение:

.

Пример
7. Составить
уравнение прямой, проходящей через две
точки

и
.

Решение.
В уравнение
(3.13) подставим координаты точек

и



получим:

или
,

откуда
после преобразований получим уравнение
с угловым коэффициентом
,
или общее уравнение прямой
.

Уравнение
прямой «в отрезках». Пусть
прямая пересекает ось

в точке
,
а ось
в точке

(см. рис. 20).
В этом случае уравнение (3.13) примет
вид
,
или

.
(3.14)

Уравнение
(3.14) называется уравнением
прямой «в отрезках».

у

b

(а;
0)

х

а

O

Рис.
22

Числа
а
и b
указывают, какие отрезки отсекает прямая
на осях координат (рис. 22).

Пример
8. Прямая
задана общим уравнением
.
Составить для этой прямой уравнение
«в отрезках».

Решение.
Преобразуем
уравнение

,

получим

.

Таким
образом, прямая отсекает на оси

отрезок

и на оси

отрезок
.

Уравнение
прямой, проходящей через данную точку
параллельно данному вектору.
Составим
уравнение прямой, проходящей через
данную точку

параллельно данному вектору

(рис. 23).

у

М₀
(х₀;
у₀)

М
(х;
у)

х

O

Рис.
23

Возьмем
на прямой произвольную точку

и рассмотрим векторы

и
.

Так
как
,
то получим уравнение:

.
(3.15)

Вектор

,
параллельный прямой, называется
направляющим
вектором
прямой.

Пример
9. Составить
уравнение прямой, проходящей через
точку

параллельно
вектору
.

Решение.
В уравнение
(3.15) подставим координаты точки

и координаты направляющего
вектора
,

,
получим
искомое
уравнение:

или

.

Параметрические
уравнения прямой. Рассмотрим
уравнение прямой вида (3.15). Обозначим
равные отношения величиной t,
получим:

.

Откуда:

,
.
(3.16)

Уравнения
(3.16) называются параметрическими
уравнениями прямой.

Уравнение
прямой, проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору. Пусть
прямая проходит (рис. 24) через точку

перпендикулярно ненулевому вектору
.

у

М₀
(х₀;
у₀)

М
(х;
у)

х

O

Рис.
24

Возьмем
на прямой произвольную точку

и рассмотрим
вектор
.
Поскольку векторы

и

перпендикулярны, то их скалярное
произведение равно нулю:

,

или

(3.17)

Уравнение
(3.17) называется уравнением
прямой,
проходящей через данную точку
перпендикулярно заданному вектору.

Вектор
,
перпендикулярный прямой, называется
нормальным
вектором
этой прямой.

Из
уравнения (3.17), раскрыв скобки, можно
получить общее уравнение прямой (3.11).

Пример
10. Составить
уравнение прямой, проходящей через
точку

перпендикулярно вектору
.

Решение.
Подставим
в уравнение (3.17) значения
,
получим:

.

После
преобразований, получим общее уравнение
прямой:

.

Полярное
уравнение прямой. Найдем
уравнение прямой в полярных
координатах. Ее положение можно
определить, указав расстояние

от полюса

до данной прямой и угол

между полярной осью

и осью l,
проходящей через полюс O
перпендикулярно данной прямой (рис.
25).

l

A

p

М
(r;
φ)

r

α

φ

Р

O

Рис.
25

Рассмотрим
уравнение прямой в полярных координатах
(3.18). Совместим полярную и прямоугольную
системы координат, взяв за
полярный полюс


и ось

за полярную ось (рис. 26).

Пусть

– точка на
данной прямой. Из прямоугольного
треугольника ОАМ:

.

Следовательно,

.
(3.18)

Уравнение
(3.18) называется уравнением
прямой в полярных координатах.

Нормальное
уравнение прямой.
Запишем
уравнение (3.18) в виде
,
или
.

Но,
в силу формул перехода от полярных
координат к декартовым,
имеем:

.

у

p

α

О

х

Рис.
26

Следовательно,
уравнение (3.18) в прямоугольной системе
координат примет вид:

.
(3.19)

Уравнение
(3.19) называется нормальным
уравнением
прямой.

Чтобы
общее уравнение прямой (3.11)

привести к нормальному уравнению прямой
(3.19), нужно обе части уравнения (3.11)
умножить на число

.
(3.20)

Множитель

называется нормирующим
множителем.
Знак

противоположен знаку коэффициента
.

Действительно,
если (3.11) умножить на величину
,
получим
.
Это уравнение
должно обратиться в уравнение (3.19), т.е.
должны выполняться равенства:

,

,

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

  04.03.201610.23 Mб734ФИЗИКА .rtf

• #
• #
• #
• #