Как найти значение корня объяснение

Что такое арифметический квадратный корень

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа (a) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен (a). (  (sqrt{a}=x, {{x}^{2}}=a; x, age 0)).

А почему же число  ( a) (число под корнем) должно быть обязательно неотрицательным?

Например, чему равен ( sqrt{-9})?

Так-так, попробуем подобрать. Может, три?

Проверим: ( {{3}^{2}}=9), а не ( -9).

Может, ( left( -3 right))? 

Опять же, проверяем: ( {{left( -3 right)}^{2}}=9).

Ну что же, не подбирается?

Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число! Это надо запомнить!

Число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Однако ты наверняка уже заметил, что не только число под корнем должно быть неотрицательным, но и само значение тоже должно быть неотрицательным!

 Ведь в определении сказано, что «квадратным корнем из числа( a)называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен( a)».

Но подождите!  В самом начале мы разбирали пример ( {{x}^{2}}=4) и один из ответов был отрицательным числом! 

 Мы подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом ( displaystyle 4). Ответом были ( displaystyle 2) и ( displaystyle -2)

А тут говорится, что квадратным корнем должно быть «неотрицательное число»! Почему?

Такой вопрос вполне уместен. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратного уравнения и арифметического квадратного корня.

К примеру, ( displaystyle {{x}^{2}}=4) (квадратное уравнение) не равносильно выражению ( x=sqrt{4}) (арифмитический квадратный корень).

Из ( {{x}^{2}}=4) следует, что

( left| x right|=sqrt{4}), то есть ( x=pm sqrt{4}=pm 2) или ( {{x}_{1}}=2); ( {{x}_{2}}=-2)

(не помнишь почему так? Почитай тему «Модуль числа»!)

А из ( x=sqrt{4}) следует, что ( x=2).

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки «плюс-минус» являются результатом решения квадратного уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.

В наше квадратное уравнение подходит как ( 2), так и ( x=-2).

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

А теперь попробуй решить такое уравнение ( {{x}^{2}}=3).

Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля: ( {{0}^{2}}=0) – не подходит.

Двигаемся дальше ( displaystyle x=1); ( displaystyle {{1}^{2}}=1) – меньше трех, тоже отметаем.

А что если ( displaystyle x=2)? 

Проверим: ( displaystyle {{2}^{2}}=4) – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

С отрицательными числами получится такая же история.

И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между ( displaystyle 1) и ( displaystyle 2), а также между ( displaystyle -2) и ( displaystyle -1).

Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными.

И что дальше?

Давай построим график функции ( displaystyle y={{x}^{2}}) и отметим на нем решения.

Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора (как мы это делали в начале)!

Извлечем корень из ( displaystyle 3), делов-то!

Ой-ой-ой, выходит, что ( sqrt{3}=1,732050807568ldots ) Такое число никогда не кончается.

Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!?

Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. ( sqrt{3}) и ( -sqrt{3}) уже сами по себе ответы.

Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Деление корней

С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.

Напомню, что формула в общем виде выглядит так:

( displaystyle sqrt[{}]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[{}]{a}}{sqrt[{}]{b}}), если ( displaystyle age 0 , b>0).

А значит это, что корень из частного равен частному корней.

Ну что, давай разбираться на примерах:

( displaystyle   frac{sqrt{12}}{sqrt{3}}=sqrt{frac{12}{3}}=sqrt{4}=2)

Вот и вся наука. А вот такой пример:

( displaystyle   frac{sqrt{12}}{3}=frac{sqrt{12}}{sqrt{9}}=sqrt{frac{12}{9}}=sqrt{frac{4}{3}}=frac{2}{sqrt{3}})

Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.

А что, если попадется такое выражение:

( displaystyle   sqrt{frac{144}{225}}=?)

Надо просто применить формулу в обратном направлении:

( displaystyle   sqrt{frac{144}{225}}=frac{sqrt{144}}{sqrt{225}}=frac{12}{15}=frac{4}{5}=0,8)

А вот такой примерчик:

( displaystyle   sqrt{0,16}=sqrt{frac{16}{100}}=frac{4}{10}=0,4)

Еще ты можешь встретить такое выражение:

( displaystyle   sqrt{5frac{19}{25}}=?)

Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему дроби и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!

( displaystyle   sqrt{5frac{19}{25}}=sqrt{frac{144}{25}}=frac{12}{5}=2,4)

Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.

Возведение в степень

А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа ( displaystyle a) – это число, квадратный корень которого равен ( displaystyle a).

Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен ( displaystyle a), в квадрат, то что получаем?

Ну, конечно, ( displaystyle a)!

Рассмотрим на примерах:

Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!

Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.

Забыл?

Почитай теорию по теме «Степень и ее свойства» и тебе все станет предельно ясно.

Вот, к примеру, такое выражение:

( displaystyle   {{left( sqrt{5} right)}^{6}}={{left( {{left( sqrt{5} right)}^{2}} right)}^{3}}={{5}^{3}}=125)

В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:

( displaystyle   {{left( sqrt{5} right)}^{7}}={{left( sqrt{5} right)}^{6}}cdot sqrt{5}=125sqrt{5})

С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:

( displaystyle   sqrt{{{3}^{2}}}=sqrt{9}=3)

Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:

Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:

• ( displaystyle   sqrt{{{left( -3 right)}^{2}}})
• ( displaystyle   sqrt{{{6}^{6}}})
• ( displaystyle   {{left( sqrt{8} right)}^{7}})

А вот и ответы:

Извлечение корней из больших чисел

До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!

( displaystyle   sqrt{98}=sqrt{49cdot 2}=sqrt{49}cdot sqrt{2}=7sqrt{2})

Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:

( displaystyle   sqrt{98}=sqrt{7cdot 14})

Что дальше? А дальше раскладываем на множители до самого конца:

( displaystyle   sqrt{98}=sqrt{7cdot 14}=sqrt{7cdot 7cdot 2}=sqrt{{{7}^{2}}cdot 2}=7sqrt{2})

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:

( displaystyle   sqrt{15}cdot sqrt{180}cdot sqrt{12})

Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:

А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):

( displaystyle   sqrt{15}cdot sqrt{180}cdot sqrt{12}=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{36cdot 5}cdot sqrt{2cdot 6})

Разве это конец? Не останавливаемся на полпути!

( displaystyle   begin{array}{l}sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{36cdot 5}cdot sqrt{2cdot 6}=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{3cdot 12cdot 5}cdot sqrt{2cdot 3cdot 2}=\=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{3cdot 2cdot 2cdot 3cdot 5}cdot sqrt{2cdot 3cdot 2}end{array})

На простые множители разложили. Что дальше? А дальше пользуемся свойством умножение корней и записываем все под одним знаком корня:

( displaystyle   begin{array}{l}sqrt{5cdot 3cdot 3cdot 2cdot 2cdot 3cdot 5cdot 2cdot 3cdot 2}=sqrt{5cdot 5cdot 3cdot 3cdot 3cdot 3cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2}=\=sqrt{25}cdot sqrt{81}cdot sqrt{16}=5cdot 9cdot 4=180end{array})

Вот и все, не так все и страшно, правда?

( displaystyle   sqrt{15}cdot sqrt{54}cdot sqrt{10}=?)

Получилось ( displaystyle   90)? Молодец, все верно!

А теперь попробуй вот такой пример решить:

( displaystyle   sqrt{4225}=?)

А пример-то – крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.

Читается: квадратный корень из (a).

Число (a) называется подкоренным числом.

Часто используемые квадраты целых чисел:

Благодаря прочтению этой статьи вы научитесь:

1. Извлекать корни из разных чисел;
2. Решать разнообразные задания по этой тематике;
3. Применять удобные таблицы на практике.

А также пополните свой мозг новыми знаниями, что всегда хорошо и полезно! Приятным бонусом для вас будут задания для отработки материала с ответами, которые вы сможете найти в конце этой статьи. Что значит понятие: «Извлечение корня из числа»?

Числа b и a равны, ведь при извлечении корня n-ной степени одного из чисел, мы, соответственно, находим и второе.

• n — натуральное число, являющиеся степенью корня.
• a — подкоренное значение.

Когда следует извлекать корень? Если вы видите, что a можно представить в виде n-ной степени какого-либо числа b, то корень a можно извлечь.

Пример извлечения корня:

√25=5×5 — из этого становится ясно, что квадратный корень числа равен 5.

В обратной ситуации, когда нельзя представить корень n-ной степени из числа a, в виде n-ной степени числа b, корень не извлекается или находится лишь приближенное значение этого корня.

Пример:

√6≈√2,44949

Для этого используют различные виды решений, начиная с калькулятора, заканчивая формулами. Калькулятор хоть и посчитает все вместо нас, но не всегда мы можем его применить. Поэтому важно знать другие варианты нахождения приближенного значения корня.

Способы извлечения корня

Для того, чтобы найти значение корня, существуют такие способы извлечения корня, как:

1. Применение различных таблиц.
2. Разложение чисел или выражений на простые множители.
3. Извлечение корней из дробных чисел.
4. Извлечение отрицательного корня.
5. Поразрядное нахождение значения корня.

Они основываются на свойствах корней. Далее рассмотрим таблицы, которые могут помочь в процессе извлечения корней.

Квадраты натуральных чисел

Основной является таблица квадратов натуральных чисел:

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Она, пожалуй, самая распространенная среди школьников. Если в какой-то важный момент она вам необходима, но у вас отсутствует к ней доступ, можно воспользоваться несколькими хитростями:

1. Чтобы быстро возвести в квадрат число, на конце которого 0, можно добавить к нему парочку нулей: 80×80=6400; 30×30=900. Т.е., первые цифры умножаем и дописываем два 0 к этому числу.
2. Теперь возьмём какое-нибудь число так, чтобы вторая его цифра оканчивалась на 5. Так, например, число 75. Чтобы быстро возвести его в квадрат, прибавьте к первой цифре единицу, из чего получаются цифры 7 и 8.
3. Умножаем их и приписываем в конец число 25 и получаем конечный результат в виде числа 5625.

Квадратные корни

Вторая таблица — это таблица квадратных корней:

√x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	1,41421	1,73205	2	2,23607	2,44949	2,64575	2,82843	3
1	3,16228	3,31662	3,4641	3,60555	3,74166	3,87298	4	4,12311	4,24264	4,3589
2	4,47214	4,58258	4,69042	4,79583	4,89898	5	5,09902	5,19615	5,2915	5,38516
3	5,47723	5,56776	5,65685	5,74456	5,83095	5,91608	6	6,08276	6,16441	6,245
4	6,32456	6,40312	6,48074	6,55744	6,63325	6,7082	6,78233	6,85565	6,9282	7
5	7,07107	7,14143	7,2111	7,28011	7,34847	7,4162	7,48331	7,54983	7,61577	7,68115
6	7,74597	7,81025	7,87401	7,93725	8	8,06226	8,12404	8,18535	8,24621	8,30662
7	8,3666	8,42615	8,48528	8,544	8,60233	8,66025	8,7178	8,77496	8,83176	8,88819
8	8,94427	9	9,05539	9,11043	9,16515	9,21954	9,27362	9,32738	9,38083	9,43398
9	9,48683	9,53939	9,59166	9,64365	9,69536	9,74679	9,79796	9,84886	9,89949	9,94987

Числа в кубе

И, конечно же, третья — таблица кубов, при помощи которой осуществляется извлечение кубического корня.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	8	27	64	125	216	343	512	729
1	1000	1331	1728	2197	2744	3375	4096	4913	5832	6859
2	8000	9261	10648	12167	13824	15625	17576	19683	21952	24389
3	27000	29791	32768	35937	39304	42875	46656	50653	54872	59319
4	64000	68921	74088	79507	85184	91125	97336	103823	110592	117649
5	125000	132651	140608	148877	157464	166375	175716	185193	195112	205379
6	216000	226981	238328	250047	262144	274625	287496	300763	314432	328509
7	343000	357911	373248	389017	405224	421875	438976	456533	474552	493039
8	512000	531441	551368	571787	592704	614125	636056	658503	681472	704969
9	729000	753571	778688	804357	830584	857375	884736	912673	941192	970299

Такие таблицы достаточно просты в использовании. Слева — десятки, а справа —  единицы. С их помощью можно быстро и легко извлечь корень числа от 0 до 99. Это был один из методов извлечения корней, как мне кажется, самый простой после вычислительного средства — калькулятора, но, зачастую, мы не всегда можем им воспользоваться, как говорилось ранее. Так давайте же перейдем к другим интересным и сложным на первый взгляд вариантам решения.

Разложение подкоренного числа на простые множители

Двигаясь от наиболее удобного и быстрого способа к более сложному, давайте разберемся во втором из них — разложение подкоренного числа на простые множители.

Этот метод состоит в том, чтобы представить какое-либо число в виде степени с нужным нам показателем, из чего мы можем получить значение этого корня.

Пример 1:

Возьмём число 196. Для извлечения его квадратного корня, разложим это число на простые множители: √196=2×2×7×7=2²×7²

Теперь делаем следующие действия: 2×7=14.

Ответ: √196=14.

Объяснение:

Множители находятся так: 196 делим на 2, а полученное число 98 мы тоже делим на 2. Делим до тех пор, пока деление станет невозможным. Так, число 49 нельзя поделить пополам, поэтому мы действуем методом подбора. Находим такое число, которое делится. В данном случае — это 7. Два числа, что у нас получились (2 и 7), мы умножаем друг на друга, но уже без степени и получаем число 14, что есть извлечённый корень из числа 196.

Пример 2:

Для того, чтобы лучше понять, как раскладывать на множители, приведем ещё одно число и перейдем к действиям. Деление 441 на 2 невозможно, поэтому подбираем число. Оно делится на 3 два раза. Опять выходит число 49, которое мы делим 2 раза на 7. Из этого следует: √441=3×3×7×7=3²×7²

3×7=21. Значит, ответ: √441=21.

Объяснение:

3 мы умножили на 7, так как это два числа, имеющих 2 степень. Будь у одного из них 4 степень, например: 3⁴×7² — нужно было бы сделать так: 3×3×7. Проще сказать, что мы сокращаем степени ⁴ и ².

Извлечение корней из дробных чисел

Перед тем, как начать вычисления, убедитесь, что дробное число представлено в виде обыкновенной дроби.

Перейдем к свойству корня из частного:

[sqrt[n]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[n]{a}}{sqrt[n]{b}}]

Далее нужно воспользоваться правилом извлечения корня из дроби, которое гласит: корень из дроби равен от деления корня числителя на корень знаменателя.

Пример 1:

Давайте возьмем любую десятичную дробь и на её примере посмотрим, как нужно извлекать корень.

Так, например, найдем кубический корень из 373,248.

Первый ход — это представление десятичной дроби в виде обыкновенной:

³√373248/³√1000. После этого найдем кубический корень в числе и знаменателе:

³√373248=2×2×2×2×2×2×2×2×2×3×3×3×3×3×3=2⁹×3⁶=72³

Эти действия происходят как с квадратными корнями, но здесь уже мы считаем числа 2 и 3 не по двойке, а тройке, т.е. 2⁹=2×2×2, а 3⁶=3×3. Или же сокращаем ⁹ и ⁶.

Проверим таким образом: из 9 вычитаем тройки до тех пор, пока не придем к 0: 9-3-3-3 – это значит, что двоек у нас будет именно 3. Так и с 3⁶. Если от 6 отнять 3 два раза, то будет 0. Выходит, что троек у нас именно две.

А 1000=10³.

Получается, ³√373248/³√1000=72/10=7,2.

Извлечение отрицательного корня

Существуют вещественные числа, из которых невозможно извлечь корень, т.е. решения нет. А вот из комплексных чисел можно извлекать корень. Для начала узнаем, что это за числа.

Комплексные числа — это выражение, в котором есть:

• вещественные числа a и b;
• i — мнимая единица.

Итак, чтобы извлечь корень из отрицательного числа, нужно помнить, что если знаменатель является нечётным, то число под знаком корня может оказаться отрицательным.

Далее, чтобы провести эту операцию с отрицательным числом, перейдем к следующим действиям:

1. Извлекаем корень из противоположного ему положительного числа.
2. Ставим перед полученным числом знак минус.

Пример 1:

1. Преобразуем выражение ⁵√-12 640/32 так, чтобы вместо отрицательного числа под корнем оказалось положительное:

⁵√-12 640/32 = -⁵√12 640/32

2. Избавимся от смешанного числа, заменив его обыкновенной дробью:

 -⁵√12 640/32= -⁵√1024/32

3. С помощью правила извлечения корней из обыкновенной дроби, начнем извлекать:

-⁵√1024/32 = — ⁵√1024/⁵√32.

4. Теперь нужно вычислить корни в числителе и знаменателе:

— ⁵√1024/⁵√32 = — ⁵√4⁵/⁵√2⁵ = — 4/2 = -2.

Поразрядное нахождение значения корня

Мы разобрали несколько методов, которые вы можете выбрать на своё усмотрение. Однако, есть еще один, который может понадобиться в таких ситуациях, когда нужно знать полное значение корня, а число, находящееся под корнем нельзя представить в виде n-ной степени определенного числа.

Для таких случаев существует алгоритм поразрядного нахождения значения корня, который нужно использовать, чтобы получить нужное количество значений определяемого числа.

Пример 1:

Итак, чтобы в этом разобраться, найдем значение квадратного корня из 7:

1. Находим значение разряда единиц, перебирая значения 0, 1, 2, …, 9, в это же время вычисляя их во 2 степени до нужного значения, которое больше подкоренного числа 7. Значение ряда единиц равняется 2 (потому как 2² < 7, а 2³ > 7).

2. Следующий на очереди — разряд десятых. Здесь мы будем возводить в квадрат числа: 2.0, 2.1, 2.2, …, 2.9, сравнивая результат с нужным нам числом 7. Так как 2.6² < 7, а 2.7² > 7, то значение десятых равняется 6.

3. Значение сотых. По аналогии находим приближенное значение к 7.

2.64² = 6,9696 подходит нам, так как 2.65²=7.0225, а это больше 7. Действуя таким же образом, можно и дальше находить значение √7 ≈ 2.64.

Теперь, когда мы разобрались с извлечением корней, перейдем к практике. Специально для вас составлены задания с ответами, чтобы вы попробовали воспользоваться приобретенными знаниями. Решайте без таблиц и калькулятора.

Задания для отработки материала

1 задание

а)√324

б)√900

в)√1369

2 задание

а)³√531,441

б)³√166,375

3 задание

а) ⁵√-14 2471/1024

б) ⁵√-5 1182/3125

4 задание

а)Найдите квадратный корень из 3.

б)Найдите квадратный корень из 5.

в)Найдите квадратный корень из 9.

Ответы с решением

1 задание

а)√324

1)2×2×3×3×3×3=2²×3⁴=√324, а чтобы извлечь, мы умножаем:

2)2×3×3=18. Получается, √324=18.

б)√900

1)2×2×3×3×5×5=2²×3²×5²=√900.

Извлекаем:

2)2×3×5=30. Мы получили √900=30.

в)√1369

1)37×37=37²=√1369.

А здесь мы оставляем 37, так как это единственное число в квадрате. Конечным ответом будет: √1369=37.

2 задание

а)³√531441.

1)3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3=3¹²=³√531441.

Разложили на простые множители, а теперь найдем квадратный корень.

2)3¹² это 3×3×3×3, т.к. 3 у нас в 12 степени. Это можно проверить, отняв из 12 столько троек, чтобы вышел 0: 12-3-3-3-3. Так что, 3⁴=81; ³√531441=81.

3)1000=10³.  

4)³√531441/³√1000=81/10=8,1.

б)³√166,375.

1) 5×5×5×11×11×11=5³×11³=³√166375.

2)5³×11³=55. Так как числа в кубе – они в степени 1.

3) 1000=10³.  

4)³√166375/³√1000=55/10=5,5.

3 задание

а)

1) ⁵√-14 2471/1024 = -⁵√14 2471/1024.

2) -⁵√14 2471/1024= -⁵√16801/1024.

3) -⁵√16801/1024 = — ⁵√16801/⁵√1024.

4) ⁵√16801/⁵√1024 = — ⁵√6⁵/⁵√4⁵ = — 6/4 = — 1,5.

б)

1) ⁵√-5 1182/3125 = -⁵√5 1182/3125.

2) -⁵√5 1182/3125= -⁵√16807/3125.

3) -⁵√16807/3125 = — ⁵√16807/⁵√3125.

4) ⁵√16807/⁵√3125 = — ⁵√7⁵/⁵√5⁵ = — 7/5 = — 1,4.

4 задание

а)√3≈1,73.

б√5≈2,23.

в)√8≈2,82.

Из этой статьи вы узнаете:

• что такое «извлечение корня»;
• в каких случаях он извлекается;
• принципы нахождения значения корня;
• основные способы извлечения корня из натуральных и дробных чисел.

Что такое «извлечение корня»

Для начала введем определение «извлечение корня».

Извлечение корня — процесс нахождения значения корня.

При извлечении корня n-ной степени из числа a, мы находим число b, n-ная степень которого равняется a. Если мы нашли такое число b, можно утверждать, что корень извлечен.

Выражения «извлечение корня» и «нахождение значения корня» равнозначны.

В каких случаях извлекается корень?

Корень n-ной степени можно извлечь из числа a точно в случае, если a можно представить в виде n-ной степени некоторого числа b. 

4=2×2, следовательно, из числа 4 можно точно извлечь квадратный корень, который равен 2

Когда корень n-ной степени из числа a невозможно представить в виде n-ной степени числа b, то такой корень не извлекается, либо извлекается только приближенное значение корня с точностью до любого десятичного разряда. 

2≈1,4142.

Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения

• Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.
• Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители
• Извлечение корней из дробных чисел
• Извлечение корня из отрицательного числа
• Поразрядное нахождение значения корня

Необходимо понять, по каким принципам находится значение корней, и каким образом они извлекаются.

Главный принцип нахождения значения корней — основываться на свойствах корней, в том числе на равенстве: bnn=b, которое является справедливым для любого неотрицательного числа b.

Начать следует с наиболее простого и очевидного способа: таблицы квадратов, кубов и т.д.

Когда таблицы под руками нет, вам поможет способ разложения подкоренного числа на простые множители (способ незатейливый).

Стоит уделить внимание извлечению корня из отрицательного числа, что является возможным для корней с нечетными показателями.

Изучим, как извлекать корни из дробных чисел, в том числе из смешанных чисел, обыкновенных и десятичных дробей.

И потихоньку рассмотрим способ поразрядного нахождения значения корня — наиболее сложного и многоступенчатого.

Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.

Таблица квадратов включает в себя все числа от 0 до 99 и состоит из 2 зон: в первой зоне можно составить любое число до 99 с помощью вертикального столбца с десятками и горизонтальной строки с единицами, во второй зоне содержатся все квадраты образуемых чисел.

Таблица квадратов

Существуют также таблицы кубов, четвертой степени и т.д., которые созданы по принципу, аналогичному таблице квадратов.

Таблица кубов

Принцип функционирования таких таблиц прост, однако их часто нет под рукой, что значительно усложняет процесс извлечение корня, поэтому необходимо владеть минимум несколькими способами извлечения корней.

Разложение подкоренного числа на простые множители 

Наиболее удобный способ нахождения значения корня после таблицы квадратов и кубов.

Способ разложения подкоренного числа на простые множители подразумевает под собой представление числа в виде степени с необходимым показателем, что дает нам возможность получить значение корня.

Также при использовании свойств степени и корней можно записать преобразование немного по-другому:

144=2×2×2×2×3×3=24×32=24×32=22×3=12

144=12 – окончательный ответ.

Извлечение корней из дробных чисел

Запоминаем: любое дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби. 

Извлечение корня из отрицательных чисел

Если знаменатель является нечетным числом, то число под знаком корня может оказаться отрицательным. Из этого следует: для отрицательного числа -a и нечетного показателя корня 2n-1 справедливо равенство:

-a2×n-1=-a2×n-1

Правило извлечения нечетной степени из отрицательных чисел: чтобы извлечь корень из отрицательного числа необходимо извлечь корень из противоположного ему положительного числа и поставить перед ним знак минус.

Поразрядное нахождение значения корня

Бывают случаи, когда под корнем находится число, которое не получается представить в виде n-ной степени некоторого числа. Но необходимо знать значение корня с точностью до некоторого знака. 

В таком случае необходимо воспользоваться алгоритмом поразрядного нахождения значения корня, с помощью которого можно получить достаточное количество значений искомого числа.