Найти угол, зная косинус угла: примеры решения
Евгений Николаевич Беляев
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Имея на руках значение косинуса угла, выяснить угол, которому он принадлежит, совсем не сложно.
Существует специальная тригонометрическая функция, которой можно воспользоваться для этого и называется она арккосинусом (записывается как $arccos$).
Замечание 1
Для того чтобы воспользоваться ей и узнать значение угла, можно применить специальную расширенную таблицу со значениями углов и соответствующих им тригонометрических функций. Эта таблица называется таблицей Брадиса.
Также наиболее часто встречающиеся значения углов и соответствующих им синусов-косинусов собраны в небольшую таблицу внизу:
Рисунок 1. Зная косинус или синус, найти угол. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Но есть и другой, более современный вариант нахождения угла по значению косинуса: достаточно включить режим Scientific (Научный) и найти кнопку переключения функций на калькуляторе.
В Windows 10 она обозначается стрелкой как показано на рисунке. При её нажатии кнопка $sin$ поменяется на $sin^{-1}$, а $cos$ на $cos^{-1}$. Теперь для того чтобы узнать значение угла по косинусу — просто набираете значение функции и жмёте кнопку $cos^{-1}$. Не забудьте выбрать нужную единицу измерения — градусы или радианы.
Рисунок 2. Как узнать угол, зная косинус угла. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Пример 1
Найдите, чему равен $arccos 0,456$.
Решение:
Воспользуемся калькулятором в Научном режиме, на рисунке представлен калькулятор Mac OC, кнопка переключения между $sin$ и $sin^{-1}$ обведена красным:
Рисунок 3. Как по косинусу угла найти угол. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
После нажатия кнопки мы получили значение $α = 27,129°$.
Пример 2
Определите, чему равен угол, если известен его косинус, и он равен $0,95$.
Решение:
Воспользуемся вновь калькулятором и получим, что $α = 18,19°$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата последнего обновления статьи: 07.05.2023
Для того, чтобы определить значение угла α, необходимо воспользоваться подходящей функции из тригонометрии. Во время решения задач постоянно возникает необходимость в том, чтобы узнать значение углов. Для некоторых углов можно найти точные значения, для других сложно определить точную цифру и можно вывести только приблизительное значение.
В этой статье мы подробно поговорим о функциях из тригонометрии. Мы не только расскажем о свойствах синуса, тангенса и других функций, но и узнаем, как правильно вычислять значения для каждого отдельного случая.
Рассмотрим подробно каждый случай.
Приближенное число для каждой из известных функций можно найти по определению. Для одних можно указать точные значения, для других – только приблизительные.
Соотношения сторон и углов фигуры используются для того, чтобы определить значения для 30°, 45°, 60°. Если угол выходит за пределы 90°, то перед вычислением значения следует воспользоваться специальной формулой для того, чтобы привести угол к нужному виду.
Если известно значение синуса для α, можно быстро узнать значение косинуса для этого же угла. Это легко выполнить с помощью основных тождеств, которые представлены в геометрии.
В некоторых случаях для того, чтобы узнать sin или cos угла, можно использовать подходящую тригонометрическую формулу. Например, по известному значению синуса 45°, мы сможем определить значение синуса 30°, воспользовавшись правилом из тригонометрии.
Если для примера не подходит ни одно из приведенных выше решений, можно найти приближенное значение. В этом вам помогут таблицы основных тригонометрических функций, которые легко можно найти.
Если взять за основу определения, возможно определить значения для определенного угла α. Также можно вычислить значения тангенса и котангенса для определенного случая. Можно найти значений основных функций из тригонометрии для частных вариантов. Это углы 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.
Разобьем эти углы на четыре группы: 360·z градусов (2π·z рад), 90+360·z градусов (π2+2π·z рад), 180+360·z градусов (π+2π·z рад) и 270+360·z градусов (3π2+2π·z рад), где z- любое целое число.
Изобразим данные формулы на рисунке:
Для каждой группы соответствуют свои значения.
При повороте из точки A на 360·z°, она переходит в себя. А1(1, 0). Синус 0°, 360°, 720° равен 0, а косинус равен 1. Представим это в виде формулы: sin (360°·z)=0 и cos (360°·z)=1 .
Можно определить, что tg (360°·z)=01=0 , а котангенс не определен.
Если А(1, 0) повернуть на 90+360·z°, то она перейдет в А1 (0, 1). По определению: sin (90°+360°·z) =1 и cos (90°+360°·z) =0 . Мы не сможем определить значение тангенса, но котангенс рассчитывается по данной формуле: ctg (90°+360°·z) =01=0 .
Рассмотрим особенности для третьей группы углов. После поворота точки А(1, 0) на любой из углов 180+360·z°, она перейдет в A1(−1, 0). Мы находим значения функций кроме тангенса.
Рассмотрим правила для четвертой группы углов. При повороте точки на 270+360·z° мы попадем в A1(0, −1). Мы находим значения всех функций кроме тангенса.
Для углов, которые не относятся к перечню от 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °…, точных значений нет. Мы можем найти лишь приближенные значения. Рассмотрим пример. Условия – найти основные значения для угла −52 °. Выполним построения.
Согласно рисунку, абсцисса А1 ≈ 0,62, а ордината ≈ −0,78. Соответственно, sin(-52°)≈-0,78 и cos(-52°)≈0,62 . Осталось определиться с тангенсом и котангенсом.
Выполняем вычисления: tg(-52°)≈-0, 780, 62≈-1,26 и ctg(-52°)≈0,62-0,78≈-0,79.
Чем точнее выполняется чертеж, тем более точными будут значения для каждого индивидуального случая. Выполнять вычисления удобно только в теории, так как на практике довольно сложно и долго выполнять рисунки.
Линии тригонометрических функций
Линии тригонометрических функций – это линии, которые изображаются вместе с единичной окружностью. Они имеют точку отсчета и единичный отрезок, которая равна единице в координатной системе. Они используются для наглядного изображения значений.
Рассмотрим их на подробном рисунке
Как найти sin α, cos α, tg α, ctg α
Для тридцати-, сорокопяти-, шестидесятиградусных углов мы имеем определенные значения. Чтобы найти их, можно воспользоваться правилами о прямоугольном треугольнике с острыми углами. Для этого используется теорема Пифагора.
Для того, чтобы узнать значения для углов тридцати- и шестидесятиградусных углов изображаем прямоугольный треугольник с углами данной величины. Длина гипотенузы должна быть равна 1. Согласно теореме Пифагора, катет, лежащий напротив тридцатиградусного угла, равен половине гипотенузы. Воспользуемся теоремой: 12-122=32 . Так как синус угла – это катет, деленный на гипотенузу, вычисляем, что sin 30°=121=12 и sin 60°=321=32 .
Косинус можно найти по формуле, которая предполагает деление прилежащего катета на гипотенузу. Вычисляем: cos 30°=321=32 и cos 60°=121=12 .
Тангенс можно найти по формуле, которая предполагает деление противолежащего катета на прилежащий. Котангенс находим по такой же схеме – делим прилежащий катет на противолежащий.
Вычисляем: tg 30°=1232=13=33 и tg 60°=3212=3 . Находим котангенс по подобной схеме: сtg 30°=3212=3 и сtg 60°=1232=13=33 . После этого приступаем к вычислению значений основных тригонометрических функций для сорока пятиградусного угла. Используем равнобедренный треугольник с углами 45° и гипотенузой, которая равна 1. Используем теорему Пифагора. Согласно формуле, длины катетов равны 22 . Т
Теперь мы сможем найти значения для основных тригонометрических функций. Используем формулу, которая предполагает деление длин соответствующих сторон рассматриваемого треугольника.
Выводим формулу: ctg 45°=2222=1 .
Полученные значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов будут использоваться для решения различных задач. Запишите их – они часто будут использоваться. Для удобства можно использовать таблицу значений.
Проиллюстрируем значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов с использованием окружности и линий.
Значения основных функций тригонометрии
Основные тождества из геометрии связывают с собой sin α, cos α, tg α, ctg α для определенного угла. С помощью одной функции вы легко сможете найти другую.
Для того, чтобы найти синус по известному косинусу, sin2α+cos2α=1 .
Тангенс по известному косинусу tg2α+1=1cos2α .
Котангенс по известному синусу или наоборот 1+ctg2α= 1sin2α .
Тангенс через котангенс или наоборот можно найти благодаря удобной формуле: tg α·ctg α=1 .
Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим их на подробном примере
Необходимо найти значение синуса угла π8, если tg π8=2-1 .
Сначала найдем котангенс угла: ctgπ8=1tgπ8=12-1=2+1(2-1)·(2+1)= 2+1(2)2-12=2+1 Воспользуемся формулой 1+ctg2α=1sin2α . Благодаря этому мы вычисляем значение синуса. Имеем
sin2π8=11+ctg2π8=11+(2+1)2=14+22=12·(2+2)=2-22·(2+2)·(2-2)==2-22·(22-(2)2)=2-24
Для завершения необходимо определить значение синуса. Угол π8 является углом первой четверти, то синус является положительным. Чтобы точно определить знак, вы можете воспользоваться таблицей, в которой определены знаки по четвертям координатной плоскости. Таким образом, sin π8=sin2π8=2-24=2-22 . sin π8=2-22.
Сведение к углу
Удобнее всего находить значения для угла от 0 до 90 °. Сведение к углу из интервала от 0 до 90 °. Если угол не соответствует заданному интервалу, можно использовать законы и тождества, которые мы учили на уроках геометрии. Тогда мы сможем найти значение, которое будет равно для угла указанных пределах.
Задача заключается в том, чтобы найти синус 210°. Представим 210 как разность или сумму, разложив число на несколько. Воспользуемся соответствующей формулой для приведения. Используем формулу для нахождения значения синуса 30°: sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-12 , или косинуса 60 ° sin 210°=sin(270°-60°)=-cos 60°=-12.
Для того, чтобы решать задачи было намного проще, при нахождении значений переходите к углам из интервала от 0 до 90° с помощью формул приведения, если угол не находится в этих пределах.
Использование формул
Раннее мы рассмотрели подробности, касающиеся нахождению значений основных функций с использованием формул тригонометрии. Для того, чтобы определить значение для определенного угла, используйте формулы и значения основных функций для известных углов.
Для примера вычислим значение тангенса π8, который был использован в предыдущем примере. Возьмем за основу основные формулы тригонометрии.
Найдите значение tgπ8 .
Используя формулу тангенса, преобразуем уравнение до следующего равенства tg2π8=1-cosπ41+cosπ4 . Значения косинуса угла π4 известны из предыдущего примера. Благодаря этому мы быстро найдем значения тангенса.
tg2π8=1-cosπ41+cosπ4=1-221+22=2-22+2==(2-2)2(2+2)·(2-2)=(2-2)222-(2)2=(2-2)22
Угол π8 является углом первой четверти. Согласно таблице основных тригонометрических функций по четвертям координатной плоскости, тангенс этого угла положителен. Продолжаем вычисления для дальнейшего решения: tgπ8=tg2π8=(2-2)22=2-22=2-1
tgπ8=2-1.
Частные случаи
Тригонометрия – довольно сложная наука. Далеко не всегда можно найти формулы, используемые для вычисления. Существует множество уравнений, которые не поддаются стандартным формулам. Некоторые значения очень сложно обозначить точной цифрой. Это не так просто, как может показаться.
Однако точные значения не всегда нужны. Хватает и тех, что не претендуют на высокую точность. Благодаря существующим таблицам, которые можно найти в математических учебниках, можно найти любое приближенное значение основных функций. Благодаря справочным материалам вычислять формулы будет намного проще. В таблицах содержатся значения с высокой точностью.
Косинус угла. Таблица косинусов.
Косинус угла через градусы, минуты и секунды
Косинус угла через десятичную запись угла
Как найти угол зная косинус этого угла
У косинуса есть обратная тригонометрическая функция – arccos(y)=x
cos(arccos(y))=y
Пример cos(60°) = 1/2; arccos(1/2) = 60°
Рассчитать арккосинус
Определение косинуса
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла α называется абсцисса точки B единичной окружности, полученной при повороте точки P(1;0) на угол α.
cos(α) = AC/AB
cos(-α) = cos(α)
cos(α ± 2π) = cos(α)
Таблица косинусов в радианах
cos(0°) = 1cos(π/12) = cos(15°) = 0.9659258263cos(π/6) = cos(30°) = 0.8660254038cos(π/4) = cos(45°) = 0.7071067812cos(π/3) = cos(60°) = 0.5cos(5π/12) = cos(75°) = 0.2588190451cos(π/2) = cos(90°) = 0cos(7π/12) = cos(105°) = -0.2588190451cos(2π/3) = cos(120°) = -0.5cos(3π/4) = cos(135°) = -0.7071067812cos(5π/6) = cos(150°) = -0.8660254038cos(11π/12) = cos(165°) = -0.9659258263cos(π) = cos(180°) = -1cos(13π/12) = cos(195°) = -0.9659258263cos(7π/6) = cos(210°) = -0.8660254038cos(5π/4) = cos(225°) = -0.7071067812cos(4π/3) = cos(240°) = -0.5cos(17π/12) = cos(255°) = -0.2588190451cos(3π/2) = cos(270°) = 0cos(19π/12) = cos(285°) = 0.2588190451cos(5π/3) = cos(300°) = 0.5cos(7π/4) = cos(315°) = 0.7071067812cos(11π/6) = cos(330°) = 0.8660254038cos(23π/12) = cos(345°) = 0.9659258263
Таблица Брадиса косинусы
cos(0) = 1 | cos(120) = -0.5 | cos(240) = -0.5 |
cos(1) = 0.9998476952 | cos(121) = -0.5150380749 | cos(241) = -0.4848096202 |
cos(2) = 0.999390827 | cos(122) = -0.5299192642 | cos(242) = -0.4694715628 |
cos(3) = 0.9986295348 | cos(123) = -0.544639035 | cos(243) = -0.4539904997 |
cos(4) = 0.9975640503 | cos(124) = -0.5591929035 | cos(244) = -0.4383711468 |
cos(5) = 0.9961946981 | cos(125) = -0.5735764364 | cos(245) = -0.4226182617 |
cos(6) = 0.9945218954 | cos(126) = -0.5877852523 | cos(246) = -0.4067366431 |
cos(7) = 0.9925461516 | cos(127) = -0.6018150232 | cos(247) = -0.3907311285 |
cos(8) = 0.9902680687 | cos(128) = -0.6156614753 | cos(248) = -0.3746065934 |
cos(9) = 0.9876883406 | cos(129) = -0.629320391 | cos(249) = -0.3583679495 |
cos(10) = 0.984807753 | cos(130) = -0.6427876097 | cos(250) = -0.3420201433 |
cos(11) = 0.9816271834 | cos(131) = -0.656059029 | cos(251) = -0.3255681545 |
cos(12) = 0.9781476007 | cos(132) = -0.6691306064 | cos(252) = -0.3090169944 |
cos(13) = 0.9743700648 | cos(133) = -0.6819983601 | cos(253) = -0.2923717047 |
cos(14) = 0.9702957263 | cos(134) = -0.6946583705 | cos(254) = -0.2756373558 |
cos(15) = 0.9659258263 | cos(135) = -0.7071067812 | cos(255) = -0.2588190451 |
cos(16) = 0.9612616959 | cos(136) = -0.7193398003 | cos(256) = -0.2419218956 |
cos(17) = 0.956304756 | cos(137) = -0.7313537016 | cos(257) = -0.2249510543 |
cos(18) = 0.9510565163 | cos(138) = -0.7431448255 | cos(258) = -0.2079116908 |
cos(19) = 0.9455185756 | cos(139) = -0.7547095802 | cos(259) = -0.1908089954 |
cos(20) = 0.9396926208 | cos(140) = -0.7660444431 | cos(260) = -0.1736481777 |
cos(21) = 0.9335804265 | cos(141) = -0.7771459615 | cos(261) = -0.156434465 |
cos(22) = 0.9271838546 | cos(142) = -0.7880107536 | cos(262) = -0.139173101 |
cos(23) = 0.9205048535 | cos(143) = -0.79863551 | cos(263) = -0.1218693434 |
cos(24) = 0.9135454576 | cos(144) = -0.8090169944 | cos(264) = -0.1045284633 |
cos(25) = 0.906307787 | cos(145) = -0.8191520443 | cos(265) = -0.08715574275 |
cos(26) = 0.8987940463 | cos(146) = -0.8290375726 | cos(266) = -0.06975647374 |
cos(27) = 0.8910065242 | cos(147) = -0.8386705679 | cos(267) = -0.05233595624 |
cos(28) = 0.8829475929 | cos(148) = -0.8480480962 | cos(268) = -0.0348994967 |
cos(29) = 0.8746197071 | cos(149) = -0.8571673007 | cos(269) = -0.01745240644 |
cos(30) = 0.8660254038 | cos(150) = -0.8660254038 | cos(270) = 0 |
cos(31) = 0.8571673007 | cos(151) = -0.8746197071 | cos(271) = 0.01745240644 |
cos(32) = 0.8480480962 | cos(152) = -0.8829475929 | cos(272) = 0.0348994967 |
cos(33) = 0.8386705679 | cos(153) = -0.8910065242 | cos(273) = 0.05233595624 |
cos(34) = 0.8290375726 | cos(154) = -0.8987940463 | cos(274) = 0.06975647374 |
cos(35) = 0.8191520443 | cos(155) = -0.906307787 | cos(275) = 0.08715574275 |
cos(36) = 0.8090169944 | cos(156) = -0.9135454576 | cos(276) = 0.1045284633 |
cos(37) = 0.79863551 | cos(157) = -0.9205048535 | cos(277) = 0.1218693434 |
cos(38) = 0.7880107536 | cos(158) = -0.9271838546 | cos(278) = 0.139173101 |
cos(39) = 0.7771459615 | cos(159) = -0.9335804265 | cos(279) = 0.156434465 |
cos(40) = 0.7660444431 | cos(160) = -0.9396926208 | cos(280) = 0.1736481777 |
cos(41) = 0.7547095802 | cos(161) = -0.9455185756 | cos(281) = 0.1908089954 |
cos(42) = 0.7431448255 | cos(162) = -0.9510565163 | cos(282) = 0.2079116908 |
cos(43) = 0.7313537016 | cos(163) = -0.956304756 | cos(283) = 0.2249510543 |
cos(44) = 0.7193398003 | cos(164) = -0.9612616959 | cos(284) = 0.2419218956 |
cos(45) = 0.7071067812 | cos(165) = -0.9659258263 | cos(285) = 0.2588190451 |
cos(46) = 0.6946583705 | cos(166) = -0.9702957263 | cos(286) = 0.2756373558 |
cos(47) = 0.6819983601 | cos(167) = -0.9743700648 | cos(287) = 0.2923717047 |
cos(48) = 0.6691306064 | cos(168) = -0.9781476007 | cos(288) = 0.3090169944 |
cos(49) = 0.656059029 | cos(169) = -0.9816271834 | cos(289) = 0.3255681545 |
cos(50) = 0.6427876097 | cos(170) = -0.984807753 | cos(290) = 0.3420201433 |
cos(51) = 0.629320391 | cos(171) = -0.9876883406 | cos(291) = 0.3583679495 |
cos(52) = 0.6156614753 | cos(172) = -0.9902680687 | cos(292) = 0.3746065934 |
cos(53) = 0.6018150232 | cos(173) = -0.9925461516 | cos(293) = 0.3907311285 |
cos(54) = 0.5877852523 | cos(174) = -0.9945218954 | cos(294) = 0.4067366431 |
cos(55) = 0.5735764364 | cos(175) = -0.9961946981 | cos(295) = 0.4226182617 |
cos(56) = 0.5591929035 | cos(176) = -0.9975640503 | cos(296) = 0.4383711468 |
cos(57) = 0.544639035 | cos(177) = -0.9986295348 | cos(297) = 0.4539904997 |
cos(58) = 0.5299192642 | cos(178) = -0.999390827 | cos(298) = 0.4694715628 |
cos(59) = 0.5150380749 | cos(179) = -0.9998476952 | cos(299) = 0.4848096202 |
cos(60) = 0.5 | cos(180) = -1 | cos(300) = 0.5 |
cos(61) = 0.4848096202 | cos(181) = -0.9998476952 | cos(301) = 0.5150380749 |
cos(62) = 0.4694715628 | cos(182) = -0.999390827 | cos(302) = 0.5299192642 |
cos(63) = 0.4539904997 | cos(183) = -0.9986295348 | cos(303) = 0.544639035 |
cos(64) = 0.4383711468 | cos(184) = -0.9975640503 | cos(304) = 0.5591929035 |
cos(65) = 0.4226182617 | cos(185) = -0.9961946981 | cos(305) = 0.5735764364 |
cos(66) = 0.4067366431 | cos(186) = -0.9945218954 | cos(306) = 0.5877852523 |
cos(67) = 0.3907311285 | cos(187) = -0.9925461516 | cos(307) = 0.6018150232 |
cos(68) = 0.3746065934 | cos(188) = -0.9902680687 | cos(308) = 0.6156614753 |
cos(69) = 0.3583679495 | cos(189) = -0.9876883406 | cos(309) = 0.629320391 |
cos(70) = 0.3420201433 | cos(190) = -0.984807753 | cos(310) = 0.6427876097 |
cos(71) = 0.3255681545 | cos(191) = -0.9816271834 | cos(311) = 0.656059029 |
cos(72) = 0.3090169944 | cos(192) = -0.9781476007 | cos(312) = 0.6691306064 |
cos(73) = 0.2923717047 | cos(193) = -0.9743700648 | cos(313) = 0.6819983601 |
cos(74) = 0.2756373558 | cos(194) = -0.9702957263 | cos(314) = 0.6946583705 |
cos(75) = 0.2588190451 | cos(195) = -0.9659258263 | cos(315) = 0.7071067812 |
cos(76) = 0.2419218956 | cos(196) = -0.9612616959 | cos(316) = 0.7193398003 |
cos(77) = 0.2249510543 | cos(197) = -0.956304756 | cos(317) = 0.7313537016 |
cos(78) = 0.2079116908 | cos(198) = -0.9510565163 | cos(318) = 0.7431448255 |
cos(79) = 0.1908089954 | cos(199) = -0.9455185756 | cos(319) = 0.7547095802 |
cos(80) = 0.1736481777 | cos(200) = -0.9396926208 | cos(320) = 0.7660444431 |
cos(81) = 0.156434465 | cos(201) = -0.9335804265 | cos(321) = 0.7771459615 |
cos(82) = 0.139173101 | cos(202) = -0.9271838546 | cos(322) = 0.7880107536 |
cos(83) = 0.1218693434 | cos(203) = -0.9205048535 | cos(323) = 0.79863551 |
cos(84) = 0.1045284633 | cos(204) = -0.9135454576 | cos(324) = 0.8090169944 |
cos(85) = 0.08715574275 | cos(205) = -0.906307787 | cos(325) = 0.8191520443 |
cos(86) = 0.06975647374 | cos(206) = -0.8987940463 | cos(326) = 0.8290375726 |
cos(87) = 0.05233595624 | cos(207) = -0.8910065242 | cos(327) = 0.8386705679 |
cos(88) = 0.0348994967 | cos(208) = -0.8829475929 | cos(328) = 0.8480480962 |
cos(89) = 0.01745240644 | cos(209) = -0.8746197071 | cos(329) = 0.8571673007 |
cos(90) = 0 | cos(210) = -0.8660254038 | cos(330) = 0.8660254038 |
cos(91) = -0.01745240644 | cos(211) = -0.8571673007 | cos(331) = 0.8746197071 |
cos(92) = -0.0348994967 | cos(212) = -0.8480480962 | cos(332) = 0.8829475929 |
cos(93) = -0.05233595624 | cos(213) = -0.8386705679 | cos(333) = 0.8910065242 |
cos(94) = -0.06975647374 | cos(214) = -0.8290375726 | cos(334) = 0.8987940463 |
cos(95) = -0.08715574275 | cos(215) = -0.8191520443 | cos(335) = 0.906307787 |
cos(96) = -0.1045284633 | cos(216) = -0.8090169944 | cos(336) = 0.9135454576 |
cos(97) = -0.1218693434 | cos(217) = -0.79863551 | cos(337) = 0.9205048535 |
cos(98) = -0.139173101 | cos(218) = -0.7880107536 | cos(338) = 0.9271838546 |
cos(99) = -0.156434465 | cos(219) = -0.7771459615 | cos(339) = 0.9335804265 |
cos(100) = -0.1736481777 | cos(220) = -0.7660444431 | cos(340) = 0.9396926208 |
cos(101) = -0.1908089954 | cos(221) = -0.7547095802 | cos(341) = 0.9455185756 |
cos(102) = -0.2079116908 | cos(222) = -0.7431448255 | cos(342) = 0.9510565163 |
cos(103) = -0.2249510543 | cos(223) = -0.7313537016 | cos(343) = 0.956304756 |
cos(104) = -0.2419218956 | cos(224) = -0.7193398003 | cos(344) = 0.9612616959 |
cos(105) = -0.2588190451 | cos(225) = -0.7071067812 | cos(345) = 0.9659258263 |
cos(106) = -0.2756373558 | cos(226) = -0.6946583705 | cos(346) = 0.9702957263 |
cos(107) = -0.2923717047 | cos(227) = -0.6819983601 | cos(347) = 0.9743700648 |
cos(108) = -0.3090169944 | cos(228) = -0.6691306064 | cos(348) = 0.9781476007 |
cos(109) = -0.3255681545 | cos(229) = -0.656059029 | cos(349) = 0.9816271834 |
cos(110) = -0.3420201433 | cos(230) = -0.6427876097 | cos(350) = 0.984807753 |
cos(111) = -0.3583679495 | cos(231) = -0.629320391 | cos(351) = 0.9876883406 |
cos(112) = -0.3746065934 | cos(232) = -0.6156614753 | cos(352) = 0.9902680687 |
cos(113) = -0.3907311285 | cos(233) = -0.6018150232 | cos(353) = 0.9925461516 |
cos(114) = -0.4067366431 | cos(234) = -0.5877852523 | cos(354) = 0.9945218954 |
cos(115) = -0.4226182617 | cos(235) = -0.5735764364 | cos(355) = 0.9961946981 |
cos(116) = -0.4383711468 | cos(236) = -0.5591929035 | cos(356) = 0.9975640503 |
cos(117) = -0.4539904997 | cos(237) = -0.544639035 | cos(357) = 0.9986295348 |
cos(118) = -0.4694715628 | cos(238) = -0.5299192642 | cos(358) = 0.999390827 |
cos(119) = -0.4848096202 | cos(239) = -0.5150380749 | cos(359) = 0.9998476952 |
Похожие калькуляторы
Таблица косинусов, найти значения угла косинусов
Косинус угла представляет собой одну из тригонометрических функций. Является соотношением ближнего к углу прямоугольного треугольника катета к гипотенузе. Записывается следующим образом: cos (А) = АС/АВ, где АС – ближний катет угла (А), АВ – гипотенуза.
Зачем необходимо производить такие сложные на первый взгляд вычисления? Еще с древних времен известна аксиома: знаю угол – знаю его тригонометрическую функцию. Соответственно, если известен cos любого угла, в таблице Брадиса можно найти этот угол. И наоборот – зная угол, не сложно вычислить косинус. Отсюда можно найти следующие данные: длина катетов и гипотенузы.
Эти данные используются не только в голых математических вычислениях. Невозможно составить даже элементарный план местности, не зная тригонометрических функций. Посредством онлайн калькулятора можно облегчить задачу и получать требуемые данные за доли секунды.
Таблица косинусов от 0° – 360°
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
×
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
×
Для установки калькулятора на iPhone – просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android – просто добавьте страницу
«На главный экран»
В статье мы расскажем, как находить значения:
(cos300^°), (sin(-540^°)), (cos 510^°), (sin(-135^°))
и других тригонометрических выражений без тригонометрической таблицы.
Как вычисляются синусы и косинусы углов?
Чтобы вычислить косинус и синус некоторого угла нужно:
1. Отложить этот угол на тригонометрическом круге и определить какая точка соответствует этому углу;
2. Найти абсциссу и ординату этой точки. Косинус угла равен – абсциссе, а синус угла – ординате.
Предположим, стоит задача найти косинус и синус угла (30^°). Отложим на круге угол в (30^°) и найдем какая точка соответствует этому углу.
Если построить все точно, то видно, что абсцисса точки равна (0,866)… , что равно числу (frac{sqrt{3}}{2}) , а ордината равна (0,5), то есть (frac{1}{2}).
Получается, (cos 30^° = frac{sqrt{3}}{2}), а (sin30^° =frac{1}{2}).
Аналогично и для любой другой точки на круге: значение абсциссы равно косинусу угла, а ординаты – синусу угла. Поэтому:
В тригонометрии ось абсцисс (ось x) часто называют «ось косинусов», а ординат (ось y) – «ось синусов».
Обычно на осях не отмечают (0,1); (0,2); (0,3) и т.д., а сразу наносят стандартные значения для синуса и косинуса: (±frac{1}{2}=±0,5); (±frac{sqrt{2}}{2} ≈±0,707); (±frac{sqrt{3}}{2} ≈±0,866).
Первый шаг к тому, чтобы находить синусы и косинусы стандартных углов – научится отмечать эти углы на тригонометрическом круге.
Как отметить любой угол на тригонометрическом круге?
Для этого нужно знать несколько фактов:
- Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;
-
Чтоб отложить положительный угол нужно двигаться против часовой стрелки от начала отсчета, чтобы отметить отрицательный – по часовой стрелке;
-
Градусная мера окружности равна (360^°), полуокружности (180^°), а четверти (90^°);
-
Углы в (0^°), (30^°), (45^°) и (60^°) выглядят так:
- Одна точка может соответствовать разным углам;
- Угол может быть больше (360^°). В этом случае он просто сделает полный оборот и пойдет дальше. Фактически, можно (360^°) просто отбросить и откладывать тот угол, который останется – в итоге вы всё равно окажетесь в той же точке.
Пример. Отметьте угол в (90^° ) и (-90^°).
Решение:
Пример. Отметьте угол в (225^° ) и (-135^°).
Решение: (225^°=180^°+45^°)
(-135^°=-90^°-45^°)
Пример. Отметьте угол в (420^° ) и (-390^°).
Решение: (420^°=360^°+60^°)
(-390^°=-360^°-30^°)
Задание 1. Отметьте на окружности точки соответствующие углам: (720^°), (225^°), (300^°), (870^°), (900^°), (-330^°), (-630^°), (-210^°).
Как находить синус и косинус любого угла?
Простой алгоритм:
- Начертите тригонометрический круг и оси косинусов и синусов (не обязательно рисовать прям аккуратно, как на картинке ниже, можно и некрасиво – главное не запутаться какая точка к какому значению относится).
- Отложите на круге угол, синус и косинус которого надо найти, и определите точку на круге, соответствующую этому углу.
- Найдите координаты точки, используя картинку ниже.
Пример. Вычислите (sin300^°) и (cos300^°) .
Решение: (300^°=360^°-60^°)
(cos 300^°=frac{1}{2}), (sin{300^°}=-frac{sqrt{3}}{2}).
Пример . Вычислите (sin(-540^°)) и (cos(-540^°)) .
Решение. (-540^°=-360^°-180^°).
(-540^°) на тригонометрическом круге совпадает с (-1) на оси косинусов. То есть, координаты этой точки: ((-1;0)). Значит, (cos(-540^°)=-1), а (sin(-540^° )=0).
Да, имея перед глазами тригонометрический круг, вычислять синусы и косинусы любых углов легко. Возможно, у вас возник вопрос: «а что делать, если круга нет? Как делать такие вычисления на ЕГЭ?». Ответ очевиден – нарисовать круг самому! Для этого надо понять, как располагаются значения на нем. Подробную методику того, как это делается я рассказывала в этой статье.
Есть и другой способ запомнить тригонометрический круг – внимательно посмотреть на картинку ниже и запомнить максимальное количество элементов. После прикройте страницу и по памяти нарисуйте круг и отметьте всё, что смогли запомнить. Сверьте, что у вас получилось с тем, что было на картинке. Повторяйте эту последовательность действий пока по памяти не получится нарисовать тригонометрический круг со всеми значениями. Это займет 15 минут вашего времени, но сильно поможет в 13 задаче ЕГЭ (и не только в ней).
Примеры вычисления синуса и косинуса из ЕГЭ
В двух следующих примерах я специально рисовала круг от руки, чтобы вы увидели, как выглядят реальные решения.
Пример . Найдите значение выражения (-18sqrt{2}sin(-135^°)).
Решение. (-135^°=-90^°-45^°)
Получается (-18sqrt{2} sin(-135^° )=-18sqrt{2}cdot-frac{sqrt{2}}{2}=frac{18cdotsqrt{2}cdotsqrt{2}}{2}=9cdot 2=18.)
Ответ: (18).
Пример . Найдите значение выражения (54sqrt{3}cos(510^°)).
Решение. (510^°=360^°+150^°=360^°+180^°-30^°.)
(54sqrt{3}cos(510^°)=54sqrt{3}cdot(-frac{sqrt{3}}{2})=-frac{54cdot sqrt{3}cdot sqrt{3}}{2}=-27cdot 3=-81.)
Ответ: (-81).
Смотрите также:
Как найти тангенс и котангенс без тригонометрической таблицы? Из градусов в радианы и наборот
Тригонометрическая таблица с кругом
Почему в тригонометрической таблице такие числа?
Для тех кто хочет закрепить знания:
Задание на вычисление синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов