Как найти значение косинуса если известен угол

Найти угол, зная косинус угла: примеры решения

Автор статьи

Евгений Николаевич Беляев

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Имея на руках значение косинуса угла, выяснить угол, которому он принадлежит, совсем не сложно.

Существует специальная тригонометрическая функция, которой можно воспользоваться для этого и называется она арккосинусом (записывается как $arccos$).

Замечание 1

Для того чтобы воспользоваться ей и узнать значение угла, можно применить специальную расширенную таблицу со значениями углов и соответствующих им тригонометрических функций. Эта таблица называется таблицей Брадиса.

Также наиболее часто встречающиеся значения углов и соответствующих им синусов-косинусов собраны в небольшую таблицу внизу:

Зная косинус или синус, найти угол. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Зная косинус или синус, найти угол. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Но есть и другой, более современный вариант нахождения угла по значению косинуса: достаточно включить режим Scientific (Научный) и найти кнопку переключения функций на калькуляторе.

В Windows 10 она обозначается стрелкой как показано на рисунке. При её нажатии кнопка $sin$ поменяется на $sin^{-1}$, а $cos$ на $cos^{-1}$. Теперь для того чтобы узнать значение угла по косинусу — просто набираете значение функции и жмёте кнопку $cos^{-1}$. Не забудьте выбрать нужную единицу измерения — градусы или радианы.

Как узнать угол, зная косинус угла. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Как узнать угол, зная косинус угла. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 1

Найдите, чему равен $arccos 0,456$.

Решение:

Воспользуемся калькулятором в Научном режиме, на рисунке представлен калькулятор Mac OC, кнопка переключения между $sin$ и $sin^{-1}$ обведена красным:

Как по косинусу угла найти угол. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Как по косинусу угла найти угол. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

После нажатия кнопки мы получили значение $α = 27,129°$.

Пример 2

Определите, чему равен угол, если известен его косинус, и он равен $0,95$.

Решение:

Воспользуемся вновь калькулятором и получим, что $α = 18,19°$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 07.05.2023

Для того, чтобы определить значение угла α, необходимо воспользоваться подходящей функции из тригонометрии. Во время решения задач постоянно возникает необходимость в том, чтобы узнать значение углов. Для некоторых углов можно найти точные значения, для других сложно определить точную цифру и можно вывести только приблизительное значение.

В этой статье мы подробно поговорим о функциях из тригонометрии. Мы не только расскажем о свойствах синуса, тангенса и других функций, но и узнаем, как правильно вычислять значения для каждого отдельного случая.

Рассмотрим подробно каждый случай.

Определение 1

Приближенное число для каждой из известных функций можно найти по определению. Для одних можно указать точные значения, для других – только приблизительные.

Соотношения сторон и углов фигуры используются для того, чтобы определить значения для 30°, 45°, 60°. Если угол выходит за пределы 90°, то перед вычислением значения следует воспользоваться специальной формулой для того, чтобы привести угол к нужному виду.

Если известно значение синуса для α, можно быстро узнать значение косинуса для этого же угла. Это легко выполнить с помощью основных тождеств, которые представлены в геометрии.

В некоторых случаях для того, чтобы узнать sin или cos угла, можно использовать подходящую тригонометрическую формулу. Например, по известному значению синуса 45°, мы сможем определить значение синуса 30°, воспользовавшись правилом из тригонометрии.

Если для примера не подходит ни одно из приведенных выше решений, можно найти приближенное значение. В этом вам помогут таблицы основных тригонометрических функций, которые легко можно найти.

Если взять за основу определения, возможно определить значения для определенного угла α. Также можно вычислить значения тангенса и котангенса для определенного случая. Можно найти значений основных функций из тригонометрии для частных вариантов. Это углы 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Разобьем эти углы на четыре группы: 360·z градусов (2π·z рад), 90+360·z градусов (π2+2π·z рад), 180+360·z градусов (π+2π·z рад) и 270+360·z градусов (3π2+2π·z рад), где z- любое целое число.

Изобразим данные формулы на рисунке: 

Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса 

Для каждой группы соответствуют свои значения.

Пример 1

При повороте из точки A на 360·z°, она переходит в себя. А1(1, 0). Синус 0°, 360°, 720° равен 0, а косинус равен 1.  Представим это в виде формулы: sin (360°·z)=0 и cos (360°·z)=1 .

Можно определить, что tg (360°·z)=01=0 , а котангенс не определен. 

Пример 2

Если А(1, 0) повернуть на 90+360·z°, то она перейдет в А1 (0, 1).  По определению:  sin (90°+360°·z) =1 и cos (90°+360°·z) =0 . Мы не сможем определить значение тангенса, но котангенс рассчитывается по данной формуле: ctg (90°+360°·z) =01=0 . 

Пример 3

Рассмотрим особенности для третьей группы углов. После поворота точки А(1, 0) на любой из углов 180+360·z°, она перейдет в A1(−1, 0). Мы находим значения функций кроме тангенса.

Пример 4

Рассмотрим правила для четвертой группы углов. При повороте точки на 270+360·z° мы попадем в A1(0, −1). Мы находим значения всех функций кроме тангенса.  

Для углов, которые не относятся к перечню от 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °…, точных значений нет. Мы можем найти лишь приближенные значения. Рассмотрим пример. Условия – найти основные значения для угла −52 °.  Выполним построения. 

Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Согласно рисунку, абсцисса А1 ≈ 0,62, а ордината ≈ −0,78. Соответственно, sin(-52°)≈-0,78 и cos(-52°)≈0,62 . Осталось определиться с тангенсом и котангенсом. 

Выполняем вычисления:  tg(-52°)≈-0, 780, 62≈-1,26 и ctg(-52°)≈0,62-0,78≈-0,79. 

Чем точнее выполняется чертеж, тем более точными будут значения для каждого индивидуального случая. Выполнять вычисления удобно только в теории, так как на практике довольно сложно и долго выполнять рисунки.

Линии тригонометрических функций

Определение 2

Линии тригонометрических функций – это линии, которые изображаются вместе с единичной окружностью. Они имеют точку отсчета и единичный отрезок, которая равна единице в координатной системе. Они используются для наглядного изображения значений.

Рассмотрим их на подробном рисунке

Линии тригонометрических функций

Как найти sin α, cos α, tg α, ctg α

Для тридцати-, сорокопяти-, шестидесятиградусных углов мы имеем определенные значения. Чтобы найти их, можно воспользоваться правилами о прямоугольном треугольнике с острыми углами. Для этого используется теорема Пифагора.

Пример 5

Для того, чтобы узнать значения для углов тридцати- и шестидесятиградусных углов изображаем прямоугольный треугольник с углами данной величины. Длина гипотенузы должна быть равна 1. Согласно теореме Пифагора, катет, лежащий напротив тридцатиградусного угла,  равен половине гипотенузы. Воспользуемся теоремой: 12-122=32 .  Так как синус угла – это катет, деленный на гипотенузу, вычисляем, что sin 30°=121=12 и sin 60°=321=32 . 

Косинус можно найти по формуле, которая предполагает деление прилежащего катета на гипотенузу. Вычисляем: cos 30°=321=32 и cos 60°=121=12 .

Тангенс можно найти по формуле, которая предполагает деление противолежащего катета на прилежащий. Котангенс находим по такой же схеме – делим прилежащий катет на противолежащий. 

Вычисляем: tg 30°=1232=13=33 и tg 60°=3212=3 . Находим котангенс по подобной схеме: сtg 30°=3212=3 и сtg 60°=1232=13=33 .  После этого приступаем к вычислению значений основных тригонометрических функций для сорока пятиградусного угла. Используем равнобедренный треугольник с углами 45° и гипотенузой, которая равна 1. Используем теорему Пифагора. Согласно формуле, длины катетов равны 22 . Т

Теперь мы сможем найти значения для основных тригонометрических функций. Используем формулу, которая предполагает деление длин соответствующих сторон рассматриваемого треугольника.

Выводим формулу: ctg 45°=2222=1 . 

Полученные значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов будут использоваться для решения различных задач. Запишите их – они часто будут использоваться. Для удобства можно использовать таблицу значений.

Проиллюстрируем значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов с использованием окружности и линий.

Линии тригонометрических функций

Значения основных функций тригонометрии

Основные тождества из геометрии связывают с собой sin α, cos α, tg α, ctg α для определенного угла. С помощью одной функции вы легко сможете найти другую.

Определение 3

Для того, чтобы найти синус по известному косинусу, sin2α+cos2α=1 . 

Определение 4

Тангенс по известному косинусу tg2α+1=1cos2α . 

Определение 5

Котангенс по известному синусу или наоборот 1+ctg2α= 1sin2α . 

Определение 6

Тангенс через котангенс или наоборот можно найти благодаря удобной формуле: tg α·ctg α=1 . 

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим их на подробном примере

Пример 6

Необходимо найти значение синуса угла π8, если tg π8=2-1 . 

Сначала найдем котангенс угла: ctgπ8=1tgπ8=12-1=2+1(2-1)·(2+1)= 2+1(2)2-12=2+1  Воспользуемся формулой 1+ctg2α=1sin2α . Благодаря этому мы вычисляем значение синуса. Имеем
sin2π8=11+ctg2π8=11+(2+1)2=14+22=12·(2+2)=2-22·(2+2)·(2-2)==2-22·(22-(2)2)=2-24

Для завершения необходимо определить значение синуса. Угол π8 является углом первой четверти, то синус является положительным. Чтобы точно определить знак, вы можете воспользоваться таблицей, в которой определены знаки по четвертям координатной плоскости. Таким образом, sin π8=sin2π8=2-24=2-22 .  sin π8=2-22.

Сведение к углу 

Удобнее всего находить значения для угла от 0 до 90 °. Сведение к углу из интервала от 0 до 90 °. Если угол не соответствует заданному интервалу, можно использовать законы и тождества, которые мы учили на уроках геометрии. Тогда мы сможем найти значение, которое будет равно для угла указанных пределах.

Пример 7

Задача заключается в том, чтобы найти синус 210°. Представим 210 как разность или сумму, разложив число на несколько. Воспользуемся соответствующей формулой для приведения.  Используем формулу для нахождения значения синуса 30°: sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-12 , или косинуса 60 ° sin 210°=sin(270°-60°)=-cos 60°=-12.

Для того, чтобы решать задачи было намного проще, при нахождении значений переходите к углам из интервала от 0 до 90° с помощью формул приведения, если угол не находится в этих пределах.

Использование формул

Раннее мы рассмотрели подробности, касающиеся нахождению значений основных функций с использованием формул тригонометрии. Для того, чтобы определить значение для определенного угла, используйте формулы и значения основных функций для известных углов.

Для примера вычислим значение тангенса π8, который был использован в предыдущем примере. Возьмем за основу основные формулы тригонометрии.

Пример 8

Найдите значение tgπ8 . 

Используя формулу тангенса, преобразуем уравнение до следующего равенства tg2π8=1-cosπ41+cosπ4 . Значения косинуса угла π4 известны из предыдущего примера. Благодаря этому мы быстро найдем значения тангенса.
tg2π8=1-cosπ41+cosπ4=1-221+22=2-22+2==(2-2)2(2+2)·(2-2)=(2-2)222-(2)2=(2-2)22 

Угол π8 является углом первой четверти. Согласно таблице основных тригонометрических функций по четвертям координатной плоскости, тангенс этого угла положителен. Продолжаем вычисления для дальнейшего решения: tgπ8=tg2π8=(2-2)22=2-22=2-1

tgπ8=2-1.

Частные случаи

Тригонометрия – довольно сложная наука. Далеко не всегда можно найти формулы, используемые для вычисления. Существует множество уравнений, которые не поддаются стандартным формулам. Некоторые значения очень сложно обозначить точной цифрой. Это не так просто, как может показаться.

Однако точные значения не всегда нужны. Хватает и тех, что не претендуют на высокую точность. Благодаря существующим таблицам, которые можно найти в математических учебниках, можно найти любое приближенное значение основных функций. Благодаря справочным материалам вычислять формулы будет намного проще. В таблицах содержатся значения с высокой точностью.

Косинус угла. Таблица косинусов.

Косинус угла через градусы, минуты и секунды

Косинус угла через десятичную запись угла

Как найти угол зная косинус этого угла

У косинуса есть обратная тригонометрическая функция – arccos(y)=x

cos(arccos(y))=y

Пример cos(60°) = 1/2; arccos(1/2) = 60°

Рассчитать арккосинус

Определение косинуса

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинусом угла α называется абсцисса точки B единичной окружности, полученной при повороте точки P(1;0) на угол α.

Косинус острого угла

cos(α) = AC/AB

cos(-α) = cos(α)

cos(α ± 2π) = cos(α)

Таблица косинусов в радианах

cos(0°) = 1cos(π/12) = cos(15°) = 0.9659258263cos(π/6) = cos(30°) = 0.8660254038cos(π/4) = cos(45°) = 0.7071067812cos(π/3) = cos(60°) = 0.5cos(5π/12) = cos(75°) = 0.2588190451cos(π/2) = cos(90°) = 0cos(7π/12) = cos(105°) = -0.2588190451cos(2π/3) = cos(120°) = -0.5cos(3π/4) = cos(135°) = -0.7071067812cos(5π/6) = cos(150°) = -0.8660254038cos(11π/12) = cos(165°) = -0.9659258263cos(π) = cos(180°) = -1cos(13π/12) = cos(195°) = -0.9659258263cos(7π/6) = cos(210°) = -0.8660254038cos(5π/4) = cos(225°) = -0.7071067812cos(4π/3) = cos(240°) = -0.5cos(17π/12) = cos(255°) = -0.2588190451cos(3π/2) = cos(270°) = 0cos(19π/12) = cos(285°) = 0.2588190451cos(5π/3) = cos(300°) = 0.5cos(7π/4) = cos(315°) = 0.7071067812cos(11π/6) = cos(330°) = 0.8660254038cos(23π/12) = cos(345°) = 0.9659258263

Таблица Брадиса косинусы

cos(0) = 1 cos(120) = -0.5 cos(240) = -0.5
cos(1) = 0.9998476952 cos(121) = -0.5150380749 cos(241) = -0.4848096202
cos(2) = 0.999390827 cos(122) = -0.5299192642 cos(242) = -0.4694715628
cos(3) = 0.9986295348 cos(123) = -0.544639035 cos(243) = -0.4539904997
cos(4) = 0.9975640503 cos(124) = -0.5591929035 cos(244) = -0.4383711468
cos(5) = 0.9961946981 cos(125) = -0.5735764364 cos(245) = -0.4226182617
cos(6) = 0.9945218954 cos(126) = -0.5877852523 cos(246) = -0.4067366431
cos(7) = 0.9925461516 cos(127) = -0.6018150232 cos(247) = -0.3907311285
cos(8) = 0.9902680687 cos(128) = -0.6156614753 cos(248) = -0.3746065934
cos(9) = 0.9876883406 cos(129) = -0.629320391 cos(249) = -0.3583679495
cos(10) = 0.984807753 cos(130) = -0.6427876097 cos(250) = -0.3420201433
cos(11) = 0.9816271834 cos(131) = -0.656059029 cos(251) = -0.3255681545
cos(12) = 0.9781476007 cos(132) = -0.6691306064 cos(252) = -0.3090169944
cos(13) = 0.9743700648 cos(133) = -0.6819983601 cos(253) = -0.2923717047
cos(14) = 0.9702957263 cos(134) = -0.6946583705 cos(254) = -0.2756373558
cos(15) = 0.9659258263 cos(135) = -0.7071067812 cos(255) = -0.2588190451
cos(16) = 0.9612616959 cos(136) = -0.7193398003 cos(256) = -0.2419218956
cos(17) = 0.956304756 cos(137) = -0.7313537016 cos(257) = -0.2249510543
cos(18) = 0.9510565163 cos(138) = -0.7431448255 cos(258) = -0.2079116908
cos(19) = 0.9455185756 cos(139) = -0.7547095802 cos(259) = -0.1908089954
cos(20) = 0.9396926208 cos(140) = -0.7660444431 cos(260) = -0.1736481777
cos(21) = 0.9335804265 cos(141) = -0.7771459615 cos(261) = -0.156434465
cos(22) = 0.9271838546 cos(142) = -0.7880107536 cos(262) = -0.139173101
cos(23) = 0.9205048535 cos(143) = -0.79863551 cos(263) = -0.1218693434
cos(24) = 0.9135454576 cos(144) = -0.8090169944 cos(264) = -0.1045284633
cos(25) = 0.906307787 cos(145) = -0.8191520443 cos(265) = -0.08715574275
cos(26) = 0.8987940463 cos(146) = -0.8290375726 cos(266) = -0.06975647374
cos(27) = 0.8910065242 cos(147) = -0.8386705679 cos(267) = -0.05233595624
cos(28) = 0.8829475929 cos(148) = -0.8480480962 cos(268) = -0.0348994967
cos(29) = 0.8746197071 cos(149) = -0.8571673007 cos(269) = -0.01745240644
cos(30) = 0.8660254038 cos(150) = -0.8660254038 cos(270) = 0
cos(31) = 0.8571673007 cos(151) = -0.8746197071 cos(271) = 0.01745240644
cos(32) = 0.8480480962 cos(152) = -0.8829475929 cos(272) = 0.0348994967
cos(33) = 0.8386705679 cos(153) = -0.8910065242 cos(273) = 0.05233595624
cos(34) = 0.8290375726 cos(154) = -0.8987940463 cos(274) = 0.06975647374
cos(35) = 0.8191520443 cos(155) = -0.906307787 cos(275) = 0.08715574275
cos(36) = 0.8090169944 cos(156) = -0.9135454576 cos(276) = 0.1045284633
cos(37) = 0.79863551 cos(157) = -0.9205048535 cos(277) = 0.1218693434
cos(38) = 0.7880107536 cos(158) = -0.9271838546 cos(278) = 0.139173101
cos(39) = 0.7771459615 cos(159) = -0.9335804265 cos(279) = 0.156434465
cos(40) = 0.7660444431 cos(160) = -0.9396926208 cos(280) = 0.1736481777
cos(41) = 0.7547095802 cos(161) = -0.9455185756 cos(281) = 0.1908089954
cos(42) = 0.7431448255 cos(162) = -0.9510565163 cos(282) = 0.2079116908
cos(43) = 0.7313537016 cos(163) = -0.956304756 cos(283) = 0.2249510543
cos(44) = 0.7193398003 cos(164) = -0.9612616959 cos(284) = 0.2419218956
cos(45) = 0.7071067812 cos(165) = -0.9659258263 cos(285) = 0.2588190451
cos(46) = 0.6946583705 cos(166) = -0.9702957263 cos(286) = 0.2756373558
cos(47) = 0.6819983601 cos(167) = -0.9743700648 cos(287) = 0.2923717047
cos(48) = 0.6691306064 cos(168) = -0.9781476007 cos(288) = 0.3090169944
cos(49) = 0.656059029 cos(169) = -0.9816271834 cos(289) = 0.3255681545
cos(50) = 0.6427876097 cos(170) = -0.984807753 cos(290) = 0.3420201433
cos(51) = 0.629320391 cos(171) = -0.9876883406 cos(291) = 0.3583679495
cos(52) = 0.6156614753 cos(172) = -0.9902680687 cos(292) = 0.3746065934
cos(53) = 0.6018150232 cos(173) = -0.9925461516 cos(293) = 0.3907311285
cos(54) = 0.5877852523 cos(174) = -0.9945218954 cos(294) = 0.4067366431
cos(55) = 0.5735764364 cos(175) = -0.9961946981 cos(295) = 0.4226182617
cos(56) = 0.5591929035 cos(176) = -0.9975640503 cos(296) = 0.4383711468
cos(57) = 0.544639035 cos(177) = -0.9986295348 cos(297) = 0.4539904997
cos(58) = 0.5299192642 cos(178) = -0.999390827 cos(298) = 0.4694715628
cos(59) = 0.5150380749 cos(179) = -0.9998476952 cos(299) = 0.4848096202
cos(60) = 0.5 cos(180) = -1 cos(300) = 0.5
cos(61) = 0.4848096202 cos(181) = -0.9998476952 cos(301) = 0.5150380749
cos(62) = 0.4694715628 cos(182) = -0.999390827 cos(302) = 0.5299192642
cos(63) = 0.4539904997 cos(183) = -0.9986295348 cos(303) = 0.544639035
cos(64) = 0.4383711468 cos(184) = -0.9975640503 cos(304) = 0.5591929035
cos(65) = 0.4226182617 cos(185) = -0.9961946981 cos(305) = 0.5735764364
cos(66) = 0.4067366431 cos(186) = -0.9945218954 cos(306) = 0.5877852523
cos(67) = 0.3907311285 cos(187) = -0.9925461516 cos(307) = 0.6018150232
cos(68) = 0.3746065934 cos(188) = -0.9902680687 cos(308) = 0.6156614753
cos(69) = 0.3583679495 cos(189) = -0.9876883406 cos(309) = 0.629320391
cos(70) = 0.3420201433 cos(190) = -0.984807753 cos(310) = 0.6427876097
cos(71) = 0.3255681545 cos(191) = -0.9816271834 cos(311) = 0.656059029
cos(72) = 0.3090169944 cos(192) = -0.9781476007 cos(312) = 0.6691306064
cos(73) = 0.2923717047 cos(193) = -0.9743700648 cos(313) = 0.6819983601
cos(74) = 0.2756373558 cos(194) = -0.9702957263 cos(314) = 0.6946583705
cos(75) = 0.2588190451 cos(195) = -0.9659258263 cos(315) = 0.7071067812
cos(76) = 0.2419218956 cos(196) = -0.9612616959 cos(316) = 0.7193398003
cos(77) = 0.2249510543 cos(197) = -0.956304756 cos(317) = 0.7313537016
cos(78) = 0.2079116908 cos(198) = -0.9510565163 cos(318) = 0.7431448255
cos(79) = 0.1908089954 cos(199) = -0.9455185756 cos(319) = 0.7547095802
cos(80) = 0.1736481777 cos(200) = -0.9396926208 cos(320) = 0.7660444431
cos(81) = 0.156434465 cos(201) = -0.9335804265 cos(321) = 0.7771459615
cos(82) = 0.139173101 cos(202) = -0.9271838546 cos(322) = 0.7880107536
cos(83) = 0.1218693434 cos(203) = -0.9205048535 cos(323) = 0.79863551
cos(84) = 0.1045284633 cos(204) = -0.9135454576 cos(324) = 0.8090169944
cos(85) = 0.08715574275 cos(205) = -0.906307787 cos(325) = 0.8191520443
cos(86) = 0.06975647374 cos(206) = -0.8987940463 cos(326) = 0.8290375726
cos(87) = 0.05233595624 cos(207) = -0.8910065242 cos(327) = 0.8386705679
cos(88) = 0.0348994967 cos(208) = -0.8829475929 cos(328) = 0.8480480962
cos(89) = 0.01745240644 cos(209) = -0.8746197071 cos(329) = 0.8571673007
cos(90) = 0 cos(210) = -0.8660254038 cos(330) = 0.8660254038
cos(91) = -0.01745240644 cos(211) = -0.8571673007 cos(331) = 0.8746197071
cos(92) = -0.0348994967 cos(212) = -0.8480480962 cos(332) = 0.8829475929
cos(93) = -0.05233595624 cos(213) = -0.8386705679 cos(333) = 0.8910065242
cos(94) = -0.06975647374 cos(214) = -0.8290375726 cos(334) = 0.8987940463
cos(95) = -0.08715574275 cos(215) = -0.8191520443 cos(335) = 0.906307787
cos(96) = -0.1045284633 cos(216) = -0.8090169944 cos(336) = 0.9135454576
cos(97) = -0.1218693434 cos(217) = -0.79863551 cos(337) = 0.9205048535
cos(98) = -0.139173101 cos(218) = -0.7880107536 cos(338) = 0.9271838546
cos(99) = -0.156434465 cos(219) = -0.7771459615 cos(339) = 0.9335804265
cos(100) = -0.1736481777 cos(220) = -0.7660444431 cos(340) = 0.9396926208
cos(101) = -0.1908089954 cos(221) = -0.7547095802 cos(341) = 0.9455185756
cos(102) = -0.2079116908 cos(222) = -0.7431448255 cos(342) = 0.9510565163
cos(103) = -0.2249510543 cos(223) = -0.7313537016 cos(343) = 0.956304756
cos(104) = -0.2419218956 cos(224) = -0.7193398003 cos(344) = 0.9612616959
cos(105) = -0.2588190451 cos(225) = -0.7071067812 cos(345) = 0.9659258263
cos(106) = -0.2756373558 cos(226) = -0.6946583705 cos(346) = 0.9702957263
cos(107) = -0.2923717047 cos(227) = -0.6819983601 cos(347) = 0.9743700648
cos(108) = -0.3090169944 cos(228) = -0.6691306064 cos(348) = 0.9781476007
cos(109) = -0.3255681545 cos(229) = -0.656059029 cos(349) = 0.9816271834
cos(110) = -0.3420201433 cos(230) = -0.6427876097 cos(350) = 0.984807753
cos(111) = -0.3583679495 cos(231) = -0.629320391 cos(351) = 0.9876883406
cos(112) = -0.3746065934 cos(232) = -0.6156614753 cos(352) = 0.9902680687
cos(113) = -0.3907311285 cos(233) = -0.6018150232 cos(353) = 0.9925461516
cos(114) = -0.4067366431 cos(234) = -0.5877852523 cos(354) = 0.9945218954
cos(115) = -0.4226182617 cos(235) = -0.5735764364 cos(355) = 0.9961946981
cos(116) = -0.4383711468 cos(236) = -0.5591929035 cos(356) = 0.9975640503
cos(117) = -0.4539904997 cos(237) = -0.544639035 cos(357) = 0.9986295348
cos(118) = -0.4694715628 cos(238) = -0.5299192642 cos(358) = 0.999390827
cos(119) = -0.4848096202 cos(239) = -0.5150380749 cos(359) = 0.9998476952

Похожие калькуляторы

Таблица косинусов, найти значения угла косинусов

Косинус угла представляет собой одну из тригонометрических функций. Является соотношением ближнего к углу прямоугольного треугольника катета к гипотенузе. Записывается следующим образом: cos (А) = АС/АВ, где АС – ближний катет угла (А), АВ – гипотенуза.

Зачем необходимо производить такие сложные на первый взгляд вычисления? Еще с древних времен известна аксиома: знаю угол – знаю его тригонометрическую функцию. Соответственно, если известен cos любого угла, в таблице Брадиса можно найти этот угол. И наоборот – зная угол, не сложно вычислить косинус. Отсюда можно найти следующие данные: длина катетов и гипотенузы.

Эти данные используются не только в голых математических вычислениях. Невозможно составить даже элементарный план местности, не зная тригонометрических функций. Посредством онлайн калькулятора можно облегчить задачу и получать требуемые данные за доли секунды.

Таблица косинусов от 0° – 360°

Cos(1°) 0.9998
Cos(2°) 0.9994
Cos(3°) 0.9986
Cos(4°) 0.9976
Cos(5°) 0.9962
Cos(6°) 0.9945
Cos(7°) 0.9925
Cos(8°) 0.9903
Cos(9°) 0.9877
Cos(10°) 0.9848
Cos(11°) 0.9816
Cos(12°) 0.9781
Cos(13°) 0.9744
Cos(14°) 0.9703
Cos(15°) 0.9659
Cos(16°) 0.9613
Cos(17°) 0.9563
Cos(18°) 0.9511
Cos(19°) 0.9455
Cos(20°) 0.9397
Cos(21°) 0.9336
Cos(22°) 0.9272
Cos(23°) 0.9205
Cos(24°) 0.9135
Cos(25°) 0.9063
Cos(26°) 0.8988
Cos(27°) 0.891
Cos(28°) 0.8829
Cos(29°) 0.8746
Cos(30°) 0.866
Cos(31°) 0.8572
Cos(32°) 0.848
Cos(33°) 0.8387
Cos(34°) 0.829
Cos(35°) 0.8192
Cos(36°) 0.809
Cos(37°) 0.7986
Cos(38°) 0.788
Cos(39°) 0.7771
Cos(40°) 0.766
Cos(41°) 0.7547
Cos(42°) 0.7431
Cos(43°) 0.7314
Cos(44°) 0.7193
Cos(45°) 0.7071
Cos(46°) 0.6947
Cos(47°) 0.682
Cos(48°) 0.6691
Cos(49°) 0.6561
Cos(50°) 0.6428
Cos(51°) 0.6293
Cos(52°) 0.6157
Cos(53°) 0.6018
Cos(54°) 0.5878
Cos(55°) 0.5736
Cos(56°) 0.5592
Cos(57°) 0.5446
Cos(58°) 0.5299
Cos(59°) 0.515
Cos(60°) 0.5
Cos(61°) 0.4848
Cos(62°) 0.4695
Cos(63°) 0.454
Cos(64°) 0.4384
Cos(65°) 0.4226
Cos(66°) 0.4067
Cos(67°) 0.3907
Cos(68°) 0.3746
Cos(69°) 0.3584
Cos(70°) 0.342
Cos(71°) 0.3256
Cos(72°) 0.309
Cos(73°) 0.2924
Cos(74°) 0.2756
Cos(75°) 0.2588
Cos(76°) 0.2419
Cos(77°) 0.225
Cos(78°) 0.2079
Cos(79°) 0.1908
Cos(80°) 0.1736
Cos(81°) 0.1564
Cos(82°) 0.1392
Cos(83°) 0.1219
Cos(84°) 0.1045
Cos(85°) 0.0872
Cos(86°) 0.0698
Cos(87°) 0.0523
Cos(88°) 0.0349
Cos(89°) 0.0175
Cos(90°) 0
Cos(91°) -0.0175
Cos(92°) -0.0349
Cos(93°) -0.0523
Cos(94°) -0.0698
Cos(95°) -0.0872
Cos(96°) -0.1045
Cos(97°) -0.1219
Cos(98°) -0.1392
Cos(99°) -0.1564
Cos(100°) -0.1736
Cos(101°) -0.1908
Cos(102°) -0.2079
Cos(103°) -0.225
Cos(104°) -0.2419
Cos(105°) -0.2588
Cos(106°) -0.2756
Cos(107°) -0.2924
Cos(108°) -0.309
Cos(109°) -0.3256
Cos(110°) -0.342
Cos(111°) -0.3584
Cos(112°) -0.3746
Cos(113°) -0.3907
Cos(114°) -0.4067
Cos(115°) -0.4226
Cos(116°) -0.4384
Cos(117°) -0.454
Cos(118°) -0.4695
Cos(119°) -0.4848
Cos(120°) -0.5
Cos(121°) -0.515
Cos(122°) -0.5299
Cos(123°) -0.5446
Cos(124°) -0.5592
Cos(125°) -0.5736
Cos(126°) -0.5878
Cos(127°) -0.6018
Cos(128°) -0.6157
Cos(129°) -0.6293
Cos(130°) -0.6428
Cos(131°) -0.6561
Cos(132°) -0.6691
Cos(133°) -0.682
Cos(134°) -0.6947
Cos(135°) -0.7071
Cos(136°) -0.7193
Cos(137°) -0.7314
Cos(138°) -0.7431
Cos(139°) -0.7547
Cos(140°) -0.766
Cos(141°) -0.7771
Cos(142°) -0.788
Cos(143°) -0.7986
Cos(144°) -0.809
Cos(145°) -0.8192
Cos(146°) -0.829
Cos(147°) -0.8387
Cos(148°) -0.848
Cos(149°) -0.8572
Cos(150°) -0.866
Cos(151°) -0.8746
Cos(152°) -0.8829
Cos(153°) -0.891
Cos(154°) -0.8988
Cos(155°) -0.9063
Cos(156°) -0.9135
Cos(157°) -0.9205
Cos(158°) -0.9272
Cos(159°) -0.9336
Cos(160°) -0.9397
Cos(161°) -0.9455
Cos(162°) -0.9511
Cos(163°) -0.9563
Cos(164°) -0.9613
Cos(165°) -0.9659
Cos(166°) -0.9703
Cos(167°) -0.9744
Cos(168°) -0.9781
Cos(169°) -0.9816
Cos(170°) -0.9848
Cos(171°) -0.9877
Cos(172°) -0.9903
Cos(173°) -0.9925
Cos(174°) -0.9945
Cos(175°) -0.9962
Cos(176°) -0.9976
Cos(177°) -0.9986
Cos(178°) -0.9994
Cos(179°) -0.9998
Cos(180°) -1
Cos(181°) -0.9998
Cos(182°) -0.9994
Cos(183°) -0.9986
Cos(184°) -0.9976
Cos(185°) -0.9962
Cos(186°) -0.9945
Cos(187°) -0.9925
Cos(188°) -0.9903
Cos(189°) -0.9877
Cos(190°) -0.9848
Cos(191°) -0.9816
Cos(192°) -0.9781
Cos(193°) -0.9744
Cos(194°) -0.9703
Cos(195°) -0.9659
Cos(196°) -0.9613
Cos(197°) -0.9563
Cos(198°) -0.9511
Cos(199°) -0.9455
Cos(200°) -0.9397
Cos(201°) -0.9336
Cos(202°) -0.9272
Cos(203°) -0.9205
Cos(204°) -0.9135
Cos(205°) -0.9063
Cos(206°) -0.8988
Cos(207°) -0.891
Cos(208°) -0.8829
Cos(209°) -0.8746
Cos(210°) -0.866
Cos(211°) -0.8572
Cos(212°) -0.848
Cos(213°) -0.8387
Cos(214°) -0.829
Cos(215°) -0.8192
Cos(216°) -0.809
Cos(217°) -0.7986
Cos(218°) -0.788
Cos(219°) -0.7771
Cos(220°) -0.766
Cos(221°) -0.7547
Cos(222°) -0.7431
Cos(223°) -0.7314
Cos(224°) -0.7193
Cos(225°) -0.7071
Cos(226°) -0.6947
Cos(227°) -0.682
Cos(228°) -0.6691
Cos(229°) -0.6561
Cos(230°) -0.6428
Cos(231°) -0.6293
Cos(232°) -0.6157
Cos(233°) -0.6018
Cos(234°) -0.5878
Cos(235°) -0.5736
Cos(236°) -0.5592
Cos(237°) -0.5446
Cos(238°) -0.5299
Cos(239°) -0.515
Cos(240°) -0.5
Cos(241°) -0.4848
Cos(242°) -0.4695
Cos(243°) -0.454
Cos(244°) -0.4384
Cos(245°) -0.4226
Cos(246°) -0.4067
Cos(247°) -0.3907
Cos(248°) -0.3746
Cos(249°) -0.3584
Cos(250°) -0.342
Cos(251°) -0.3256
Cos(252°) -0.309
Cos(253°) -0.2924
Cos(254°) -0.2756
Cos(255°) -0.2588
Cos(256°) -0.2419
Cos(257°) -0.225
Cos(258°) -0.2079
Cos(259°) -0.1908
Cos(260°) -0.1736
Cos(261°) -0.1564
Cos(262°) -0.1392
Cos(263°) -0.1219
Cos(264°) -0.1045
Cos(265°) -0.0872
Cos(266°) -0.0698
Cos(267°) -0.0523
Cos(268°) -0.0349
Cos(269°) -0.0175
Cos(270°) -0
Cos(271°) 0.0175
Cos(272°) 0.0349
Cos(273°) 0.0523
Cos(274°) 0.0698
Cos(275°) 0.0872
Cos(276°) 0.1045
Cos(277°) 0.1219
Cos(278°) 0.1392
Cos(279°) 0.1564
Cos(280°) 0.1736
Cos(281°) 0.1908
Cos(282°) 0.2079
Cos(283°) 0.225
Cos(284°) 0.2419
Cos(285°) 0.2588
Cos(286°) 0.2756
Cos(287°) 0.2924
Cos(288°) 0.309
Cos(289°) 0.3256
Cos(290°) 0.342
Cos(291°) 0.3584
Cos(292°) 0.3746
Cos(293°) 0.3907
Cos(294°) 0.4067
Cos(295°) 0.4226
Cos(296°) 0.4384
Cos(297°) 0.454
Cos(298°) 0.4695
Cos(299°) 0.4848
Cos(300°) 0.5
Cos(301°) 0.515
Cos(302°) 0.5299
Cos(303°) 0.5446
Cos(304°) 0.5592
Cos(305°) 0.5736
Cos(306°) 0.5878
Cos(307°) 0.6018
Cos(308°) 0.6157
Cos(309°) 0.6293
Cos(310°) 0.6428
Cos(311°) 0.6561
Cos(312°) 0.6691
Cos(313°) 0.682
Cos(314°) 0.6947
Cos(315°) 0.7071
Cos(316°) 0.7193
Cos(317°) 0.7314
Cos(318°) 0.7431
Cos(319°) 0.7547
Cos(320°) 0.766
Cos(321°) 0.7771
Cos(322°) 0.788
Cos(323°) 0.7986
Cos(324°) 0.809
Cos(325°) 0.8192
Cos(326°) 0.829
Cos(327°) 0.8387
Cos(328°) 0.848
Cos(329°) 0.8572
Cos(330°) 0.866
Cos(331°) 0.8746
Cos(332°) 0.8829
Cos(333°) 0.891
Cos(334°) 0.8988
Cos(335°) 0.9063
Cos(336°) 0.9135
Cos(337°) 0.9205
Cos(338°) 0.9272
Cos(339°) 0.9336
Cos(340°) 0.9397
Cos(341°) 0.9455
Cos(342°) 0.9511
Cos(343°) 0.9563
Cos(344°) 0.9613
Cos(345°) 0.9659
Cos(346°) 0.9703
Cos(347°) 0.9744
Cos(348°) 0.9781
Cos(349°) 0.9816
Cos(350°) 0.9848
Cos(351°) 0.9877
Cos(352°) 0.9903
Cos(353°) 0.9925
Cos(354°) 0.9945
Cos(355°) 0.9962
Cos(356°) 0.9976
Cos(357°) 0.9986
Cos(358°) 0.9994
Cos(359°) 0.9998
Cos(360°) 1

×

Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:

×

Для установки калькулятора на iPhone – просто добавьте страницу
«На главный экран»

Для установки калькулятора на Android – просто добавьте страницу
«На главный экран»

В статье мы расскажем, как находить значения:

(cos300^°),       (sin⁡(-540^°)),     (cos 510^°),     (sin⁡(-135^°))

и других тригонометрических выражений без тригонометрической таблицы.

Как вычисляются синусы и косинусы углов?

Чтобы вычислить косинус и синус некоторого угла нужно:
1. Отложить этот угол на тригонометрическом круге и определить какая точка соответствует этому углу;
2. Найти абсциссу и ординату этой точки. Косинус угла равен – абсциссе, а синус угла – ординате.

Предположим, стоит задача найти косинус и синус угла (30^°). Отложим на круге угол в (30^°) и найдем какая точка соответствует этому углу.

Если построить все точно, то видно, что абсцисса точки равна (0,866)… , что равно числу (frac{sqrt{3}}{2}) , а ордината равна (0,5), то есть (frac{1}{2}).

как найти синус и косинус 30 градусов

Получается, (cos 30^° = frac{sqrt{3}}{2}), а (sin⁡30^° =frac{1}{2}).

Аналогично и для любой другой точки на круге: значение абсциссы равно косинусу угла, а ординаты – синусу угла. Поэтому:

В тригонометрии ось абсцисс (ось x) часто называют «ось косинусов», а ординат (ось y) – «ось синусов».

Обычно на осях не отмечают (0,1); (0,2); (0,3) и т.д., а сразу наносят стандартные значения для синуса и косинуса: (±frac{1}{2}=±0,5);    (±frac{sqrt{2}}{2} ≈±0,707);     (±frac{sqrt{3}}{2} ≈±0,866).

Первый шаг к тому, чтобы находить синусы и косинусы стандартных углов – научится отмечать эти углы на тригонометрическом круге.

Как отметить любой угол на тригонометрическом круге?

Для этого нужно знать несколько фактов:

  • Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;
  • Чтоб отложить положительный угол нужно двигаться против часовой стрелки от начала отсчета, чтобы отметить отрицательный – по часовой стрелке;

  • Градусная мера окружности равна (360^°), полуокружности (180^°),  а четверти (90^°);

  • Углы в (0^°), (30^°), (45^°) и (60^°) выглядят так:

стандартные углы на тригонометрическом круге    угол в 45 градусов на тригонометрическом круге

  • Одна точка может соответствовать разным углам;
  • Угол может быть больше (360^°). В этом случае он просто сделает полный оборот и пойдет дальше. Фактически, можно (360^°) просто отбросить и откладывать тот угол, который останется – в итоге вы всё равно окажетесь в той же точке.

Пример. Отметьте угол в (90^° ) и (-90^°).
Решение:

углы в 90 и -90 градусов

Пример. Отметьте угол в (225^° ) и (-135^°).
Решение:   (225^°=180^°+45^°)
(-135^°=-90^°-45^°)

углы в 225 и -135 градусов

Пример. Отметьте угол в (420^° ) и (-390^°).
Решение:    (420^°=360^°+60^°)
(-390^°=-360^°-30^°)

угол в 420 градусов на тригонометрическом круге    угол в -390 градусов на тригонометрическом круге

Задание 1. Отметьте на окружности точки соответствующие углам: (720^°), (225^°), (300^°), (870^°), (900^°), (-330^°), (-630^°), (-210^°).

Как находить синус и косинус любого угла?

Простой алгоритм:

  1. Начертите тригонометрический круг и оси косинусов и синусов (не обязательно рисовать прям аккуратно, как на картинке ниже, можно и некрасиво – главное не запутаться какая точка к какому значению относится).
  2. Отложите на круге угол, синус и косинус которого надо найти, и определите точку на круге, соответствующую этому углу.
  3. Найдите координаты точки, используя картинку ниже.

стандартные значение на оси косинусов и синусов

Пример.  Вычислите (sin⁡300^°) и (cos⁡300^°) .
Решение:   (⁡300^°=360^°-60^°)

как найти синус и косинус 300 градусов

(cos⁡ 300^°=frac{1}{2}),     (sin⁡{300^°}=-frac{sqrt{3}}{2}).

Пример . Вычислите (sin⁡(-540^°)) и (cos(-540^°)) .
Решение.    (-540^°=-360^°-180^°).

синус и косинус -540 градусов

(-540^°) на тригонометрическом круге совпадает с (-1) на оси косинусов. То есть, координаты этой точки: ((-1;0)). Значит, (cos⁡(-540^°)=-1), а (sin⁡(-540^° )=0).

Да, имея перед глазами тригонометрический круг, вычислять синусы и косинусы любых углов легко. Возможно, у вас возник вопрос: «а что делать, если круга нет? Как делать такие вычисления на ЕГЭ?». Ответ очевиден – нарисовать круг самому! Для этого надо понять, как располагаются значения на нем. Подробную методику того, как это делается я рассказывала в этой статье.

Есть и другой способ запомнить тригонометрический круг – внимательно посмотреть на картинку ниже и запомнить максимальное количество элементов. После прикройте страницу и по памяти нарисуйте круг и отметьте всё, что смогли запомнить. Сверьте, что у вас получилось с тем, что было на картинке. Повторяйте эту последовательность действий пока по памяти не получится нарисовать тригонометрический круг со всеми значениями. Это займет 15 минут вашего времени, но сильно поможет в 13 задаче ЕГЭ (и не только в ней).

стандартные значение на оси косинусов и синусов

Примеры вычисления синуса и косинуса из ЕГЭ

В двух следующих примерах я специально рисовала круг от руки, чтобы вы увидели, как выглядят реальные решения.

Пример . Найдите значение выражения (-18sqrt{2}sin⁡(-135^°)).
Решение. (-135^°=-90^°-45^°)

пример нахождение синуса и косинуса -135 прям на экзамене

Получается (-18sqrt{2} sin⁡(-135^° )=-18sqrt{2}cdot-frac{sqrt{2}}{2}=frac{18cdotsqrt{2}cdotsqrt{2}}{2}=9cdot 2=18.)
Ответ: (18).

Пример . Найдите значение выражения (54sqrt{3}cos⁡(510^°)).
Решение. (510^°=360^°+150^°=360^°+180^°-30^°.)

пример нахождение синуса и косинуса 510 градусов на егэ

(54sqrt{3}cos⁡(510^°)=54sqrt{3}cdot(-frac{sqrt{3}}{2})=-frac{54cdot sqrt{3}cdot sqrt{3}}{2}=-27cdot 3=-81.)
Ответ: (-81).

Смотрите также:
Как найти тангенс и котангенс без тригонометрической таблицы? Из градусов в радианы и наборот
Тригонометрическая таблица с кругом
Почему в тригонометрической таблице такие числа?

Для тех кто хочет закрепить знания:
Задание на вычисление синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Добавить комментарий