Как найти значение косинуса в квадрате

Формулы тригонометрии

В этой статье мы изучим все тригонометрические формулы, которые могут понадобится на ЕГЭ.

От основного тригонометрического тождества, до формул тройного угла.

Мы решим вместе 22 примера, чтобы «набить руку» и уметь решать любые задачи.

Поехали!

Формулы тригонометрии — коротко о главном

Основные формулы:

Формулы понижения степени:

Данная группа формул позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному.

• ( displaystyle si{{n}^{2}}alpha =frac{1-cos2alpha }{2})
• ( displaystyle co{{s}^{2}}alpha =frac{1+cos2alpha }{2})
• ( displaystyle si{{n}^{3}}alpha =frac{3sinalpha -sin3alpha }{4})
• ( displaystyle co{{s}^{3}}a=frac{3cosa+cos3a}{4})
• ( displaystyle t{{g}^{2}}alpha =frac{1-cos2alpha }{1+cos2alpha },alpha ne frac{pi }{2}+pi n,nin Z)

Формулы преобразования функций:

Данная группа формул позволяет преобразовать произведение в сумму и сумму в произведение.

• ( displaystyle sinalpha pm sinbeta =2sinfrac{alpha pm beta }{2}cosfrac{alpha mp beta }{2})
• ( displaystyle cosalpha +cosbeta =2cosfrac{alpha +beta }{2}cosfrac{alpha -beta }{2})
• ( displaystyle cosalpha -cosbeta =-2sinfrac{alpha +beta }{2}sinfrac{alpha -beta }{2})
• ( displaystyle tgalpha pm tgbeta =frac{text{sin}left( alpha pm beta right)}{cosalpha cosbeta })
• ( displaystyle ctgalpha pm ctgbeta =frac{text{sin}left( beta pm alpha right)}{sinalpha sinbeta })

Формулы преобразования произведений функций:

• ( displaystyle sinalpha sinbeta =frac{cos left( alpha -beta right)-text{cos}left( alpha +beta right)}{2})
• ( displaystyle sinalpha cosbeta =frac{sin left( alpha +beta right)+text{sin}left( alpha -beta right)}{2})
• ( displaystyle cosalpha cosbeta =frac{cos left( alpha -beta right)+text{cos}left( alpha +beta right)}{2})

Таблица значений тригонометрических функций:

Тригонометрические функции

Как ты уже понял, тригонометрические выражения – это выражения, в котором переменная содержится под знаком тригонометрических функций. 

Стоп! Вот прямо здесь мы и остановимся! Я задам тебе вопрос: какие тригонометрические функции ты знаешь?

Верно! Их всего четыре!

• Синус ( displaystyle sinleft( x right))
• Косинус ( displaystyle cosleft( x right))
• Тангенс ( displaystyle tgleft( x right))
• Котангенс ( displaystyle ctgleft( x right))

Хотя, положа руку на сердце, я скажу тебе, что знание последней не так уж и обязательно (хотя желательно!), поскольку она легко выражается через тангенс.

Да и сам тангенс, по сути – тоже лишь тригонометрическое выражение, зависящее от синуса и косинуса.

Таким образом, у нас есть две основные тригонометрические функции – синус и косинус и две «второстепенные» – тангенс и котангенс.

Я не буду сейчас определять, что такое синус и косинус, ты и так это уже знаешь из предыдущих разделов. Я лишь скажу пару слов про важность этих понятий.

Итак, пара слов: первые зачатки тригонометрии возникли более 3 тысяч лет назад. Я думаю, что тебе очевидно, что тогда люди не занимались «формулами ради формул».

Так что тригонометрические функции имеют полезные практические свойства. Я не буду их перечислять. Если тебе интересно, ты всегда можешь найти море информации в интернете.

Если все, что я сказал выше, звучало для тебя древним эльфийским языком, то посмотри статью о тригонометрической окружности.

А сейчас я приведу тебе некоторые основные соотношения между тригонометрическими величинами, которые оказываются полезными при решении задач.

Таблица значений тригонометрических функций

Тебе нужно помнить таблицу значений тригонометрических функций для углов хотя бы первой четверти! Я сейчас нарисую здесь эту таблицу, а потом объясню тебе, как сделать ее запоминание проще.

Или ее расширенный вариант для всех «основных углов»:

Я ни в коей мере не настаиваю (и даже не надеюсь), что ты выучишь вторую таблицу. Сказать по правде, я и сам ее не знаю.

Но первую таблицу знать совершенно необходимо.

Не всегда на экзамене у тебя будет время, чтобы вывести самостоятельно, скажем, синус ( displaystyle 60) градусов.

Для того, чтобы запомнить первую таблицу можно поступить так:

Запомнить всего 5 значений для, скажем, синуса. Затем тебе не составит труда заметить, что для косинуса все значения идут «наоборот»:

• Например, синус ( displaystyle 0) градусов равен нулю значит, косинус ( displaystyle 0) градусов – наоборот: единица.
• Синус ( displaystyle 90) градусов равен единице, значит косинус ( displaystyle 90) градусов равен нулю.
• Синус ( displaystyle 30) градусов равен ( displaystyle frac{1}{2}), значит косинус ( displaystyle 30) градусов равен ( displaystyle frac{sqrt{3}}{2}) и т. д.

Тангенс можно получить, разделив синус угла на косинус. Как же всегда вывести большую таблицу, зная малую, я тебе непременно расскажу чуть позднее.

Формулы тригонометрии (основа)

Уже получилось 7 формул! К сожалению, это еще далеко не предел. Совсем не предел.

Тем не менее последние 4 формулы есть ни что иное, как простое следствие первой. В самом деле, ты заметил, почему это так?

Формула 4 получается делением обеих частей формулы 1 на ( displaystyle co{{s}^{2}}alpha ) и применением формулы 2.

Формула 5 получается аналогично: разделим обе части формулы 1 на ( displaystyle si{{n}^{2}}alpha ) и вместо выражения ( displaystyle frac{co{{s}^{2}}alpha }{si{{n}^{2}}alpha }) запишем ( displaystyle ct{{g}^{2}}alpha ), исходя из определения 3.

Формулы 1 – 5 мы трактуем вполне однозначно. Чего нельзя сказать про формулы 6 и 7. В чем «фишка» формул 6 и 7?

Их особенность заключается в знаке ( displaystyle pm ), который стоит перед корнем.

Как это понимать? А понимать надо так: в некоторых случаях мы ставим плюс, а в некоторых – минус.

Теперь у тебя должен возникнуть вопрос: в каких-таких «некоторых случаях»? Туманность этой формулировки снимается следующим правилом:

Если в формуле
( displaystyle sin alpha =pm sqrt{1-co{{s}^{2}}alpha })
угол ( displaystyle alpha ) таков, что ( displaystyle text{sin} text{ }!!alpha!!text{ }<0), то ставим знак «минус», иначе – «плюс».

Если в формуле
( displaystyle cos alpha =pm sqrt{1-si{{n}^{2}}alpha })
угол ( displaystyle alpha ) таков, что ( displaystyle text{cos} text{ }!!alpha!!text{ }<0), то ставим знак «минус», иначе – «плюс».

Есть опять некий «запутанный» момент в правиле, не так ли? В чем осталось разобраться?

Осталось понять, как связан угол со знаком тригонометрической функции. Ответом на этот вопрос (если ты, конечно, забыл) служат следующие картинки:

Они подскажут тебе, какой нужно выбирать знак для той или иной функции, так что ты не допустишь досадной ошибки.

К тому же это избавит тебя от мучительных размышлений по поводу того «а зачем в этом примере нужен этот угол?!».

4 примера на тренировку

• Най­ди­те ( displaystyle text{3cos} text{ }!!alpha!!text{ }), если ( displaystyle sinalpha =-frac{2sqrt{2}}{3}) и ( displaystyle alpha in left( frac{3pi }{2};2pi right)).
• Най­ди­те ( displaystyle 5sinalpha), если ( displaystyle cosalpha =frac{2sqrt{6}}{5}) и ( displaystyle alpha in left( frac{3pi }{2};2pi right)).
• Най­ди­те ( displaystyle text{cos} text{ }!!alpha!!text{ }) если ( displaystyle sinalpha =frac{2sqrt{6}}{5}) и ( displaystyle alpha in left( frac{pi }{2};pi right)).
•  Най­ди­те ( displaystyle text{tg} text{ }!!alpha!!text{ }), если ( displaystyle sinalpha =-frac{5}{sqrt{26}}) и ( displaystyle alpha in left( pi ;frac{3pi }{2} right)).

Решения:

1. Так как ( displaystyle cosalpha =pm sqrt{1-si{{n}^{2}}alpha }), то подставим сюда значение( displaystyle sinalpha =-frac{2sqrt{2}}{3}), тогда ( displaystyle cosalpha =pm sqrt{1-{{left( -frac{2sqrt{2}}{3} right)}^{2}}}=pm sqrt{1-frac{4cdot 2}{9}}=pm sqrt{1-frac{8}{9}}=)

( displaystyle=pm sqrt{frac{1}{9}}=pm frac{1}{3}.)

Теперь дело за малым: разобраться со знаком. Что нам для этого нужно? Знать, в какой четверти находится наш угол.

По условию задачи: ( displaystyle alpha in left( frac{3pi }{2};2pi right)). Смотри на картинку. Какая это четверть? Четвертая.

Каков знак косинуса в четвертой четверти? На картинке стоит знак «плюс», значит косинус в четвертой четверти положительный.

Тогда нам остается выбрать знак «плюс» перед ( displaystyle frac{1}{3}). ( displaystyle text{cos} text{ }!!alpha!!text{ }=frac{1}{3}), тогда ( displaystyle 3cosalpha =3cdot frac{1}{3}=1).

Ответ: ( displaystyle 1).

Ну вот видишь, ничего сложного. Абсолютно ничего. Нужно лишь запомнить знаки синуса, косинуса и тангенса (котангенса) по четвертям. Ну а как это делать автоматически описано в статье, посвященной тригонометрической окружности.

Давай разберем оставшиеся примеры.

2. Так как ( displaystyle sin alpha =pm sqrt{1-co{{s}^{2}}alpha }), то все, что нам нужно – это подставить ( displaystyle cosalpha =frac{2sqrt{6}}{5}) в нашу формулу. Что мы с тобой и сделаем:

( displaystyle sinalpha =pm sqrt{1-{{left( frac{2sqrt{6}}{5} right)}^{2}}}=pm sqrt{1-left( frac{4cdot 6}{25} right)}=pm sqrt{frac{1}{25}}=pm frac{1}{5}).

Опять нужно определиться со знаком. Смотрим на рисунок. Четверть – снова четвертая. Знак синуса четвертой четверти – отрицательный. Ставим знак «минус». ( displaystyle sinalpha =-frac{1}{5}), тогда ( displaystyle 5sinalpha =-5cdot frac{1}{5}=-1).

Ответ: ( displaystyle -1).

3. Ничего нового. Скорее для закрепления. Снова подставляем в формулу ( displaystyle cos alpha =pm sqrt{1-si{{n}^{2}}alpha }) значение ( displaystyle sinalpha =frac{2sqrt{6}}{5}):

( displaystyle cosalpha =pm sqrt{1-{{left( frac{2sqrt{6}}{5} right)}^{2}}}=pm sqrt{1-left( frac{4cdot 6}{25} right)}=pm sqrt{frac{1}{25}}=pm frac{1}{5}).

Смотрим на знак косинуса при ( displaystyle alpha in left( frac{pi }{2};pi right)). Какая это четверть? Вторая. Косинус второй четверти отрицательный. Тогда выбираем знак «минус».

Ответ: ( displaystyle -0,2).

4. Здесь перед нами стоит задачка чуть сложнее. Однако, не стоит огорчаться. Давай вспомним, что такое тангенс. Это ведь отношение синуса к косинусу. Синус нам уже дан.

Давай вначале найдем косинус. Как это сделать, ты уже знаешь. ( displaystyle cosalpha =pm sqrt{1-{{left( -frac{5}{sqrt{26}} right)}^{2}}}=pm sqrt{1-frac{25}{26}}=pm sqrt{frac{1}{26}}=pm frac{1}{sqrt{26}}).

Так как ( displaystyle alpha in left( pi ;frac{3pi }{2} right)) (это угол в третьей четверти, а косинус в третьей четверти имеет знак «минус»), то ( displaystyle cosalpha =-frac{1}{sqrt{26}}).

Теперь все, что нам осталось, это воспользоваться определением тангенса:

( displaystyle tgalpha =frac{sinalpha }{cosalpha }=frac{-frac{5}{sqrt{26}}}{-frac{1}{sqrt{26}}}=5.)

Ответ: ( displaystyle 5).

Уф, выдохнули! Ну вот мы с тобой решили некоторые (довольно типичные и распространенные) примеры. Ты спросишь: «И что, это все?». Я отвечу, что, увы нет. Это далеко не все.

Далее нам потребуются более сложные формулы тригонометрии.

Формулы тригонометрии (более сложные)

Как распознать, что тебе требуются именно эти, а не какие-нибудь другие формулы?

Очень просто: если ты видишь косинус, синус, тангенс от суммы двух углов или двойных углов, то это должно служить тебе индикатором – мне нужно применить одну из формул для суммы/разности или для двойного угла.

Звучит несколько путано? Давай посмотрим на примеры. Заодно я дам еще ряд важных комментариев.

9 примеров на тренировку

• ( displaystyle frac{12sin11{}^circ cos11{}^circ }{sin22{}^circ })
• ( displaystyle frac{24left( si{{n}^{2}}17{}^circ -co{{s}^{2}}17{}^circ right)}{cos34{}^circ })
• ( displaystyle 36sqrt{6} ctg frac{pi}{6} sin frac{pi }{4})
•  Най­ди­те ( displaystyle -47cos2a), если ( displaystyle cosa=-0,4)
•  Най­ди­те ( displaystyle frac{10sin6a}{3cos3a}), если ( displaystyle sin3a=0,6)
• Най­ди­те ( displaystyle 26text{cos}left( frac{3pi }{2}+a right)), если ( displaystyle cosa=frac{12}{13}) и ( displaystyle alpha in left( frac{3pi }{2};2pi right))
•  Най­ди­те ( displaystyle t{{g}^{2}}a), если ( displaystyle 5si{{n}^{2}}a+13co{{s}^{2}}a=6)
•  Най­ди­те ( displaystyle frac{10cosa+4sina+15}{2sina+5cosa+3}), если ( displaystyle tga=-2,5)
• Най­ди­те ( displaystyle 7cos left( pi +beta right)-2text{sin}left( frac{pi }{2}+beta right)), если ( displaystyle cosbeta =-frac{1}{3})

Список этих заданий можно продолжать бесконечно… Но я выбрал здесь: а) не самые сложные формулы; б) не самые «страшные» углы.

Страшные углы я припас нам напоследок 🙂

Решения:

Кстати, здесь тебе понадобится знание также тех формул, которые я привел в самом начале. Поехали!

1. ( displaystyle frac{12sin11{}^circ cos11{}^circ }{sin22{}^circ })

Ни ты, ни я не знаем, чему в точности равен синус или косинус ( displaystyle 11) градусов, и чему равен синус ( displaystyle 22) градусов.

Но что мы должны заметить?

Верно! ( displaystyle 22{}^circ =2cdot 11{}^circ ). Значит, снизу записан синус двойного угла! Тогда применим формулу синуса двойного угла:

( displaystyle sin22{}^circ =2sin11{}^circ cdot cos11{}^circ )

Подставим это значение в знаменатель нашей дроби и сократим!

( displaystyle frac{12sin11{}^circ cdot cos11{}^circ }{sin22{}^circ }=frac{12sin11{}^circ cdot cos11{}^circ }{2sin11{}^circ cdot cos11{}^circ }=6).

Ответ: ( displaystyle 6).

Ну вот, ничего страшного не случилось? Пример решился в одну строчку с применением одной единственной формулы. Другое дело, иногда не совсем очевидно, какую из формул применять.

Тут тебе нужен опыт. Нужно, как говорится, «набить руку» на таких примерах.

2. ( displaystyle frac{24left( si{{n}^{2}}17{}^circ -co{{s}^{2}}17{}^circ right)}{cos34{}^circ })

Опять-таки, сразу можно заметить, что ( displaystyle 34{}^circ =2cdot 17{}^circ ). ( displaystyle 34) градуса стоит в косинусе. Это говорит о том, что в примере спрятан косинус двойного угла. Вспомним его определение:

( displaystyle cos2a=co{{s}^{2}}a-si{{n}^{2}}a)

Что же у нас есть в числителе? А там все наоборот: синус в квадрате вычитается из косинуса в квадрате. Тогда в числителе у нас написана формула чего?

3. ( displaystyle 36sqrt{6}ctgfrac{pi }{6}sinfrac{pi }{4})

Здесь нет ничего сложного, абсолютно ничего! Но есть одно «но!».

Это «но» заключается в том, что тебе нужно помнить таблицу значений тригонометрических функций для углов хотя бы первой четверти! (Как ее запомнить я рассказал ранее, а сейчас просто приведу ее еще раз).

Или ее расширенный вариант для всех «основных углов»:

И посмотрим в таблицу:

( displaystyle ctgfrac{pi }{6}=sqrt{3}), ( displaystyle sinfrac{pi }{4}=frac{sqrt{2}}{2}). Подставим эти значения в нашу формулу:

( displaystyle 36sqrt{6} ctgfrac{pi }{6}sinfrac{pi }{4}=36sqrt{6}cdot sqrt{3}cdot frac{sqrt{2}}{2}=frac{36cdot sqrt{6}cdot sqrt{6}}{2}=frac{36cdot 6}{2}=36cdot 3=108).

Ответ: ( displaystyle 108)

Вот видишь, знание первой таблицы совершенно необходимо! Без нее – вообще нет никакой тригонометрии. Так что, пожалуйста, будь добр, выучи.

Это не потребует от тебя значительных усилий и избавит от массы глупых ошибок в будущем. Еще раз специально скажу: большую таблицу учить не надо!!!

4. По условию (cosa=-0,4), нам же надо найти (-47cos2a).

Что тогда надо сделать?

Верно, наша цель – выразить косинус двойного угла через угол «одинарный». Есть ли такая формула? Конечно, есть! Вот она:

5. ( displaystyle frac{10sin6a}{3cos3a}) – это то, что надо вычислить, а ( displaystyle sin3a=0,6) – это то, что есть.

Ну что же, надо отталкиваться от того, что есть. Вроде бы этого должно быть достаточно. Здесь все опять несложно!

Нужно лишь заметить, что ( displaystyle sin6alpha =2sin3alpha cdot cos3alpha ). Давай это и подставим в числитель исходной дроби. Что же мы имеем?

6. ( displaystyle 26text{cos}left( frac{3pi }{2}+a right)) – то, что нужно найти, а ( displaystyle cosa=frac{12}{13}) и ( displaystyle alpha in left( frac{3pi }{2};2pi right)) – то, что мы имеем.

На самом деле здесь можно поступать двояко. Но о втором способе я скажу тебе чуть позже. А пока давай подумаем, что нужно найти.

А найти нужно по сути косинус от суммы двух углов. Причем один из них известен. Давай не будем долго думать и разложим косинус суммы на произведение:

( displaystyle cos left( frac{3pi }{2}+alpha right)=cosfrac{3pi }{2}cosalpha -sinfrac{3pi }{2}sinalpha )

Вспомни единичную окружность (ну или на худой конец посмотри в расширенную таблицу).

Косинус углов: ( displaystyle frac{pi }{2}=90{}^circ ,~frac{3pi }{2}=270{}^circ ) равен нулю!

Тогда…

7. Нужно найти: ( displaystyle t{{g}^{2}}a), а дано: ( displaystyle 5si{{n}^{2}}a+13co{{s}^{2}}a=6).

Тут все можно сделать только зная, что такое тангенс и основное тригонометрическое тождество. По порядку:

( displaystyle t{{g}^{2}}alpha =frac{si{{n}^{2}}alpha }{co{{s}^{2}}alpha }),
( displaystyle si{{n}^{2}}a+co{{s}^{2}}a=1)

Тогда решить задачу можно вот как: найти по отдельности значения синуса в квадрате и косинуса в квадрате, а затем при помощи полученных значений найти тангенс. Так мы с тобой и сделаем:

Вначале найдем синус в квадрате.

8. Надо найти ( displaystyle frac{10cosa+4sina+15}{2sina+5cosa+3}), зная, что ( displaystyle tga=-2,5).

На какую мысль тебя это должно было натолкнуть?

А на ту, что если нам дан тангенс, то и наше выражение нужно привести к такому виду, чтобы оно зависело от тангенсов, которые мы потом в него и подставим. Напомню тебе, что

( displaystyle tgalpha =frac{sinalpha }{cosalpha })

У меня же в выражении есть просто косинусы и синусы. Что нам нужно сделать?

Давай возьмем и «насильно» разделим числитель и знаменатель дроби на ( displaystyle cosalpha ). Это поможет мне «выделить» тангенс в чистом виде:

( displaystyle frac{10cosalpha +4sinalpha +15}{2sinalpha +5cosalpha +3}=frac{frac{10cosalpha +4sinalpha +15}{cosalpha }}{frac{2sinalpha +5cosalpha +3}{cosalpha }}=frac{10+4tgalpha +frac{15}{cosalpha }}{2tgalpha +5+frac{3}{cosalpha }}).

Конечно, есть одна неприятность: у нас появились дроби с косинусами. Но есть надежда, что мы с ними справимся! А пока что давай подставим вместо ( displaystyle tga) его числовое значение ( displaystyle -2,5). Тогда получим:

9. Нужно найти ( displaystyle 7cos left( pi +beta right)-2text{sin}left( frac{pi }{2}+beta right)), если дано ( displaystyle cosbeta =-frac{1}{3}).

Давай опять проанализируем, что нам нужно вычислить: искомая формула состоит из разности косинуса от суммы двух углов и синуса от суммы двух углов.

Давай упрощать: раскроем каждую из сумм (опять-таки повторюсь, что далее я опишу способ, который позволит обходиться без раскрытия такого рода сумм):

( displaystyle cos left( pi +beta right)=cospi cdot cosbeta -sinpi cdot sinbeta )

Опять-таки, тебе должно быть известно, что ( displaystyle cospi =-1,~~sinpi =0).

Если тебе это неизвестно, то настоятельно рекомендую тебе повторить тему тригонометрическая окружность.

Тогда моя формула примет вид:

( displaystyle cos left( pi +beta right)=-cosbeta =-left( -frac{1}{3} right)=frac{1}{3})

Теперь с синусом:

Формулы приведения

Теперь мы знаем уже почти что все. Осталось совсем немного. Последнее, на что я хочу обратить внимание, это обещанный мною метод «легкого» перехода от большой таблицы значений углов к маленькой.

Этот переход обеспечивают так называемые формулы приведения. Еще раз поясню, зачем они используются: ты будешь их применять в том случае, когда тебе нужно найти синус, косинус или тангенс угла, большего чем ( displaystyle 90) градусов.

Например, найти синус угла ( displaystyle 855) градусов.

Здесь мы поступаем следующим образом. Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

Алгоритм использования формул приведения

Шаг 4. Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол ( displaystyle alpha ): это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!

Шаг 5. Представляем угол ( displaystyle alpha ) в одной из следующих форм:

• ( displaystyle alpha =90+beta ) (если во второй четверти),
• ( displaystyle alpha =180-beta ) (если во второй четверти),
• ( displaystyle alpha =180+beta ) (если в третьей четверти),
• ( displaystyle alpha =270-beta ) (если в третьей четверти),
• ( displaystyle alpha =270+beta ) (если в четвертой четверти),
• ( displaystyle alpha =360-beta ) (если в четвертой четверти).

…так, чтобы оставшийся угол ( displaystyle beta ) был больше нуля и меньше ( displaystyle 90) градусов.

Шаг 6. Теперь смотрим, что у нас получилось:  

• если ты выбрал запись через ( displaystyle 180) или ( displaystyle 360) градусов плюс минус что-либо, то знак функции меняться не будет: ты просто убираешь ( displaystyle 180) или ( displaystyle 360) и записываешь синус, косинус или тангенс оставшегося угла.
• eсли же ты выбрал запись через ( displaystyle 90) или ( displaystyle 270) градусов, то синус меняем на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс – на тангенс.

Шаг 7. Ставим перед получившимся выражением знак из пункта 4.

3 примера на тренировку

• Вычислить ( displaystyle sin 2130{}^circ )
• Вычислить ( displaystyle sqrt{2}cosfrac{21pi }{4})
• Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния: ( displaystyle 12sin 150{}^circ cos 120{}^circ )

Решения:

1. ( displaystyle sin 2130{}^circ )

Действуем согласно нашему алгоритму. Выделяем целое число кругов для ( displaystyle 2130{}^circ ):

( displaystyle 330{}^circ ) лежит в 4 четверти. Синус четвертой четверти имеет знак «минус», его я и не должен забыть поставить в ответе. Далее, представляем ( displaystyle 330{}^circ ) согласно одной из двух формул пункта 5 правил приведения. Я выберу: ( displaystyle 330{}^circ =270{}^circ +60{}^circ )

2. ( displaystyle sqrt{2}cosfrac{21pi }{4}) 

Все то же самое, но вместо градусов – радианы. Ничего страшного. Главное помнить, что

3. ( displaystyle 12sin 150{}^circ cos 120{}^circ ).

Нужно проделать все то же самое, но уже с двумя функциями.

Я буду несколько более краток: ( displaystyle 150{}^circ ) и ( displaystyle 120{}^circ ) градусов – углы второй четверти. Косинус второй четверти имеет знак «минус», а синус – «плюс».

( displaystyle 150{}^circ ) можно представить как: ( displaystyle 150{}^circ =90{}^circ +60{}^circ ), а ( displaystyle 120{}^circ ) как ( displaystyle 90{}^circ +30{}^circ ), тогда:

10 примеров на тренировку

Реши эти 10 заданий, и ты научишься пользоваться формулами тригонометрии!

Ну вот, теперь на мой взгляд, ты готов к решению всех оставшихся «за бортом» задач. Страшные углы теперь тебе более не помеха. Попробуй прорешать примеры самостоятельно, а потом мы с тобой сравним результаты.

• ( displaystyle frac{5cos29{}^circ }{sin61{}^circ })
• ( displaystyle frac{8}{sin left( -frac{27pi }{4} right)text{cos}left( frac{31pi }{4} right)})
• ( displaystyle -4sqrt{3}text{cos}left( -750{}^circ right))
• ( displaystyle 2sqrt{3}tgleft( -300{}^circ right))
• ( displaystyle frac{14sin409{}^circ }{sin49{}^circ })
• ( displaystyle frac{12}{si{{n}^{2}}27{}^circ +co{{s}^{2}}207{}^circ })
• ( displaystyle frac{5sin74{}^circ }{cos37{}^circ cos53{}^circ })
• ( displaystyle sqrt{3}co{{s}^{2}}frac{5pi }{12}-sqrt{3}si{{n}^{2}}frac{5pi }{12})
• Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния ( displaystyle 5tgleft( 5pi -gamma right)-tgleft( -gamma right)), если ( displaystyle tggamma =7).
• Най­ди­те ( displaystyle sin left( frac{7pi }{2}-alpha right)), если ( displaystyle sinalpha =0,8) и ( displaystyle alpha in left( frac{pi }{2};pi right)).

Решения:

1. ( displaystyle frac{5cos29{}^circ }{sin61{}^circ }) 

Ключ к успеху – заметить, что:

2. ( displaystyle frac{8}{sin left( -frac{27pi }{4} right)text{cos}left( frac{31pi }{4} right)})

3. ( displaystyle -4sqrt{3}text{cos}left( -750{}^circ right))

Стандартно: убираем минус из косинуса, пользуясь тем, что ( displaystyle cosleft( -x right)=cosleft( x right)).

Осталось сосчитать косинус ( displaystyle 750) градусов. Уберем целые круги: ( displaystyle 750{}^circ =2cdot 360{}^circ +30{}^circ ).

Тогда:

4. ( displaystyle 2sqrt{3}tgleft( -300{}^circ right))

( displaystyle 2sqrt{3}tgleft( -300{}^circ right))

Действуем так же, как в предыдущем примере.

5. ( displaystyle frac{14sin409{}^circ }{sin49{}^circ })

Снизу у нас все хорошо – маленький уголок первой четверти. Наверху же – все плохо.

Угол большой, надо его упростить по формулам приведения:

6. ( displaystyle frac{12}{si{{n}^{2}}27{}^circ +co{{s}^{2}}207{}^circ })

Вся проблема, как ты понимаешь, в косинусе. Но не беда, решим.

Смотри, на знак нам все равно, поскольку косинус-то у нас в квадрате и знак всегда будет «плюс».То есть на четверти можно не смотреть.

В то же время:

7. ( displaystyle frac{5sin74{}^circ }{cos37{}^circ cos53{}^circ })

Пример немного похитрее. Прежде всего заметим, что ( displaystyle 74{}^circ =2cdot 37{}^circ ). Тогда давай представим числитель как синус двойного угла!

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния ( displaystyle 5tgleft( 5pi -gamma right)-tgleft( -gamma right)), если ( displaystyle tggamma =7).

У тангенса период – ( displaystyle pi ), так что не задумываясь отбрасываем его:

Средний уровень сложности

В некоторых (не очень тривиальных) случаях, следующие формулы помогут тебе выйти из затруднительной ситуации.

Первая группа формул является универсальной: она позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному.

Это, конечно, имеет важное приложение при решении уравнений, но здесь мы рассмотрим, как эти формулы помогают при упрощении тригонометрических выражений.

Формулы понижения степени

• ( displaystyle {sin^{2}}alpha =frac{1-cos2alpha }{2})
• ( displaystyle {cos^{2}}alpha =frac{1+cos2alpha }{2})
• ( displaystyle t{{g}^{2}}alpha =frac{1-cos2alpha }{1+cos2alpha },alpha ne frac{pi }{2}+pi n,nin Z)

Универсальная тригонометрическая подстановка

• ( displaystyle sinalpha =frac{2tgfrac{alpha }{2}}{1+t{{g}^{2}}frac{alpha }{2}})
• ( displaystyle cosalpha =frac{1-t{{g}^{2}}frac{alpha }{2}}{1+t{{g}^{2}}frac{alpha }{2}})
• ( displaystyle tgalpha =frac{2tgfrac{alpha }{2}}{1-t{{g}^{2}}frac{alpha }{2}})
• ( displaystyle ctgalpha =frac{1-t{{g}^{2}}frac{alpha }{2}}{2tgfrac{alpha }{2}})

В чем прелесть этих формул? Первые две позволяют «убрать степени», то есть понизить порядок выражения (или повысить, за счёт снижения кратности угла), вторая группа формул позволяет свести любое тригонометрическое выражение к виду, зависящему только от тангенсов!

Иногда это единственный способ решить ту или иную задачу.

Разбор 3 примеров

1. Доказать тождество: ( displaystyle frac{3-4cos2alpha +cos4alpha }{3+4cos2alpha +cos4alpha }=t{{g}^{4}}alpha )

С виду тождество угрожающе! Но разберёмся по порядку. Формулы понижения степени, конечно, если их прочитать задом наперёд повышают степень!

И вообще, приглядись внимательно: первые две формулы есть ничто иное, как косинус двойного угла, записанный в несколько странной форме!

Следующий пример очень схож с предыдущим, постарайся решить его самостоятельно.

2. Доказать тождество: ( displaystyle frac{1+sin2alpha +cos2alpha }{1+sin2alpha -cos2alpha }=ctgalpha )

Решение (хотя может и отличаться от твоего):

Вот ещё один пример, но не такой простой.

3. Доказать, что если ( displaystyle 0<alpha <frac{pi }{2}), то ( displaystyle sqrt{1+sinalpha }-sqrt{1-sinalpha }=2sinfrac{alpha }{2})

Конечно, можно привести ещё массу примеров, где применяются формулы понижения степени, ты их и сам без труда отыщешь.

Теперь вторая (и заключительная в этом обзоре) группа формул – формулы преобразования произведения в сумму и суммы в произведение.

Формулы преобразования суммы функций

• ( displaystyle sinalpha pm sinbeta =2sinfrac{alpha pm beta }{2}cosfrac{alpha mp beta }{2})
• ( displaystyle cosalpha +cosbeta =2cosfrac{alpha +beta }{2}cosfrac{alpha -beta }{2})
• ( displaystyle cosalpha -cosbeta =-2sinfrac{alpha +beta }{2}sinfrac{alpha -beta }{2})
• ( displaystyle tgalpha pm tgbeta =frac{sinleft( alpha pm beta right)}{cosalpha cosbeta })
• ( displaystyle ctgalpha pm ctgbeta =frac{sinleft( beta pm alpha right)}{sinalpha sinbeta })

Иногда бывают полезны и обратные преобразования.

Формулы преобразования произведений функций

• ( displaystyle sinalpha sinbeta =frac{cos left( alpha -beta right)-cosleft( alpha +beta right)}{2})
• ( displaystyle sinalpha cosbeta =frac{sin left( alpha +beta right)+sinleft( alpha -beta right)}{2})
• ( displaystyle cosalpha cosbeta =frac{cos left( alpha -beta right)+cosleft( alpha +beta right)}{2})

Решение 5 примеров

1. Доказать тождество: ( displaystyle frac{sinalpha +sin3alpha }{cosalpha +cos3alpha }=tg2alpha )

2. Доказать тождество: ( displaystyle frac{sin2alpha +sin4alpha }{cos2alpha -cos4alpha }=ctgalpha )

( displaystyle frac{cosleft( -alpha right)}{-sinleft( -alpha right)}=frac{cosalpha }{-left( -sinalpha right)}=frac{cosalpha }{sinalpha }=ctgalpha )

Этот пример чуть похитрее, будь внимателен!

3. Доказать тождество: ( displaystyle frac{sin2alpha +sin5alpha -sin3alpha }{cosalpha +1-2{sin^{2}}2alpha }=2sinalpha )

Теперь попробуй решить вот этот пример для закрепления пройденного материала.

4. Доказать тождество: ( displaystyle {cos^{4}}alpha -{sin^{4}}alpha +sin2alpha =sqrt{2}cosleft( 2alpha -frac{pi }{4} right))

Проверяем!

На этом примере я буду закругляться потихоньку.

Сразу оговорюсь: не переживай и не волнуйся, если у тебя что-то сразу не выходит. Тригонометрия – сложная и очень обширная тема. Здесь все зависит не только от знания формул, но и от мастерства и смекалки. На их выработку тебе понадобится время и усердие.

5. Упростить: ( displaystyle frac{1+sinalpha -cos2alpha -sin3alpha }{2{sin^{2}}alpha +sinalpha -1})

А вот какой у меня получился в итоге ответ: ( displaystyle 2sinalpha.)

Дерзай!

В следующей части статьи я рассмотрю его решение, но прибегну к ещё более изощрённой технике нежели та, что рассматривалась здесь! Удачи!

Повышенный уровень сложности

В дополнение к уже изложенному материалу, я бы хотел рассмотреть еще небольшую группку формул, которая осталась «за бортом».

Эти формулы – некоторое обобщение уже рассмотренных ранее формул понижения степени, но вот понижаемые степени у них повыше.

Формулы понижения 3-й степени

• ( displaystyle si{{n}^{3}}alpha =frac{3sinalpha -sin3alpha }{4})
• ( displaystyle co{{s}^{3}}a=frac{3cosa+cos3a}{4})

Из данных формул можно вывести формулы тройного угла.

Формулы тройного угла

• ( displaystyle sin3alpha =3sinalpha -4si{{n}^{3}}alpha )
• ( displaystyle cos3a=4co{{s}^{3}}a-3cosa)
• ( displaystyle tg3alpha =frac{3tgalpha -t{{g}^{3}}alpha }{1-3t{{g}^{2}}alpha })
• ( displaystyle ctg3alpha =frac{3ctgalpha -ct{{g}^{3}}alpha }{1-3ct{{g}^{2}}alpha })

Ты мне можешь задать резонный вопрос: как часто эти формулы используются? Я отвечу: постарайся избегать прибегать к ним. Они нужны на тот случай, когда ничего другого уже не можешь придумать.

В частности, они могут быть полезными при решении сложных уравнений, которые встречаются во вступительных экзаменах на математические специальности. 

Однако уравнениям у нас будет посвящена отдельная статья, так что здесь я рассмотрю случаи, когда данные формулы позволяют упрощать тригонометрические выражения.

Пример 1

Упростить: ( displaystyle A=frac{1}{3}co{{s}^{3}}alpha cdot sin3alpha +frac{1}{3}si{{n}^{3}}alpha cdot cos3alpha )

Решение:

Подставим вместо ( displaystyle sin3alpha ) и ( displaystyle cos3alpha ) их представления согласно формулам тройного угла, тогда:

Следующий пример попробуй решить самостоятельно. Не уверен, что в нем обязательно использовать формулу тройного угла, но можно сделать и с ее помощью.

Пример 2

Упростить: ( displaystyle frac{1+sinalpha -cos^2{alpha}-cos2alpha -sin3alpha }{2si{{n}^{2}}alpha +sinalpha -1})

Решение:

Моя цель – свести числитель дроби к выражению, зависящему только от синусов одиночного угла. Для этого я преобразую

Угадай-ка один корень уравнения ( displaystyle 4{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-2t-1=0). Угадал? Я угадал ( displaystyle -1).

Тогда по теореме Безу (которую ты, быть может, знаешь, а если не знаешь, то без проблем отыщешь сам) выражение ( displaystyle 4{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-2t-1) делится без остатка на ( displaystyle t+1)

Разделим столбиком ( displaystyle 4{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-2t-1) на ( displaystyle t+1). Я получу:

Окончательно получим:

В завершение я приведу тебе пример одного уравнения, которое было предложено на психологический (???!!!) факультет одного из ВУЗов в 1990 году. Такие задачи называются задачи-гробы (никакая смекалка без знания конкретной формулы не позволит их решить):

Решить уравнение: ( displaystyle sqrt{3}co{{s}^{3}}x-3co{{s}^{2}}x-3sqrt{3}cosx+1=0)

Не сделав вот такую странную замену: ( displaystyle cosx=tgalpha ) решить его очень сложно. А с такой заменой у нас получится вот что:

Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ 9. Тригонометрическая окружность, табличные значения

На этом уроке мы узнаем, что такое тригонометрическая окружность и насколько она важна для тригонометрии. М

ы увидим, что она — основной инструмент в тригонометрии: с её помощью можно вывести любую формулу и найти любые значения.

Мы поймем, как «работает» окружность — а значит, поймём тригонометрию в целом.

ЕГЭ 13б. Тригонометрическая окружность

Тригонометрическая окружность — это очень простой и эффективный инструмент для решения любой тригонометрической задачи. На этом уроке вы узнаете как пользоваться тригонометрической окружностью для решения пункта «б» из задачи №13 профильного ЕГЭ.

Пункт “б” задачи №13 ЕГЭ 2020 В 2020 году на ЕГЭ в пункте «б» необходимо было указать корни тригонометрического уравнения принадлежащие отрезку.

Вообще-то решать пункт “б” можно двумя способами: — отметить корни уравнения на единичной окружности (способ разобранный в этом видео); — через двойное неравенство.

И вы должны знать, что второй способ чуть дольше, чем первый, но зато вы сможете проще описать все ваши рассуждения и вам будет сложнее ошибиться.

И еще один плюс второго способа — его проще оформить, так, чтобы к вам не придрались на ЕГЭ.

Мы считаем второй способ (через двойное неравенство) более предпочтительным на ЕГЭ по математике, но теме не менее для глубокого понимания темы (что может выручить на ЕГЭ) необходимо разобраться и с первым способом

Подготовка к ЕГЭ на 90+