Как найти значение кусочно заданной функции

Другими словами, на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам.

Примеры:

То есть, графики кусочных функций выглядят как «франкенштейны» – разные части берут у разных функций и «слепляют» вместе.

Как построить графики кусочных функций?

Очень просто. Нужно каждый кусочек функции построить на выделенном для него участке, не залезая на соседние. При этом неважно каким именно способом строятся эти кусочки – можно с помощью элементарных преобразований, можно по точкам.

Пример. Построить график кусочной функции (y=begin{cases}-frac{5}{x}, & x≤-1\x^2-4x,& x>-1end{cases})

Решение.

1) Построим первую функцию на области (x∈(-∞;-1]). Для этого найдем несколько точек из этого участка, одна из которых – граничная точка с (x=-1).

Отметим их на координатной плоскости:

(y=-)(frac{5}{x}) – гипербола, с учетом этого соединим полученные точки. Главное не перечертить график за граничную точку ((-1;5)).

2) Построим вторую функцию на области (x∈(-1;∞)).
Для начала проверим «состыкуются» ли графики, для этого найдем значение функции (y=x^2-4x) в точке (-1):
(y(-1)=(-1)^2-4cdot(-1)=1+4=5) – значение такое же, как в первой функции, значит графики состыкуются.

(y=x^2-4x) – квадратичная функция, график этой функции – парабола с ветвями вверх. Чтобы её построить найдем координаты вершины парабола:

(x_в=)(frac{-b}{2a};)   (x_в=)(frac{4}{2})(=2)
(y_в=2^2-4 cdot 2=4-8=-4.)

Отметим эту точку на графике и проведем через неё ось симметрии параболы.

Найдем значение в точке (1) и (0):
(y(1)=1^2-4cdot 1=1-4=-3)
(y(0)=0^2-4cdot 0=0)
Отметим точки ((1;-3)), ((0;0)) и симметричные им на координатной плоскости.

Соединим первый график и получившиеся точки в одну плавную линию.

Готово. График кусочной функции построен.

Как не должна выглядеть кусочная функция:

Здесь парабола заехала на территорию гиперболы, а гипербола заехала на территорию параболы, так быть не должно! У каждого кусочка – своя территория.

Кусочная функция с разрывом

В рассмотренном выше примере функция не имела разрыва в граничной точке (то есть, значения при (x=-1) были одинаковы и слева, и справа). Но так бывает не всегда.
Например, у функции (y=begin{cases}x+1,& при & x<0\-x^2+2x+3, & при & x≥0end{cases}) есть разрыв в точке (0), потому что значение кусочков этой функции в граничной точке (0) не совпадает:
при (x=0) в первом кусочке, (y(0)=0+1=1);
при (x=0) во втором кусочке (y(0)=-0^2+2cdot 0+3=3).
На графике это выглядит так:

Заметьте, что (x=0) включен во вторую часть функции (ведь ее область «икс больше или равен нулю), но не включен в первую (так как там «строго меньше нуля»). Поэтому граничную точку параболы мы закрашиваем, а линейной – выкалываем.

Смотрите также:
Все виды функций (шпаргалка)

Скачать статью

Реальные процессы, происходящие в природе, можно описать с помощью функций. Так, можно выделить два основных типа течения процессов, противоположных друг другу – это постепенное или непрерывное и скачкообразное (примером может служить падение мяча и его отскок). Но если есть разрывные процессы, то существуют и специальные средства для их описания. С этой целью вводятся в обращение функции, имеющие разрывы, скачки, то есть на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам и, соответственно, задается разными формулами. Вводятся понятия точек разрыва, устранимого разрыва.

Наверняка вам уже встречались функции, заданные несколькими формулами, в зависимости от значений аргумента, например:

y = {x – 3, при x > -3;
     {-(x – 3), при x < -3.

Такие функции называются кусочными или кусочно-заданными. Участки числовой прямой с различными формулами задания, назовем составляющими область определения. Объединение всех составляющих является областью определения кусочной функции. Те точки, которые делят область определения функции на составляющие, называются граничными точками. Формулы, определяющие кусочную функцию на каждой составляющей области определения, называются входящими функциями. Графики кусочно-заданных функций получаются в результате объединения частей графиков, построенных на каждом из промежутков разбиения.

Упражнения.

Построить графики кусочных функций:

1)       {-3, при -4 ≤ x < 0,
f(x) = {0, при x = 0,
          {1, при 0 < x ≤ 5.

График первой функции – прямая, проходящая через точку y = -3. Она берет свое начало в точке с координатами (-4; -3), идет параллельно оси абсцисс до точки с координатами (0; -3). График второй функции – точка с координатами (0; 0). Третий график аналогичен первому – это прямая, проходящая через точку y = 1, но уже на участке от 0 до 5 по оси Ох.

Ответ: рисунок 1.

2)       {3, если x ≤ -4,
f(x) = {|x² – 4|x| + 3|, если  -4 < x ≤ 4,
          {3 – (x – 4)², если x > 4.

Рассмотрим отдельно каждую функцию и построим ее график.

Так, f(x) = 3 – прямая, параллельная оси Ох, но изображать ее нужно только на участке, где x ≤ -4.

График функции f(x) = |x² – 4|x| + 3| может быть получен из параболы y = x² – 4x + 3. Построив ее график, часть рисунка, которая лежит над осью Ox, необходимо оставить без изменений, а часть, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отобразить относительно оси Ox. Затем симметрично отобразить часть графика, где
x ≥ 0 относительно оси Oy для отрицательных x. Полученный в результате всех преобразований график оставляем только на участке от -4 до 4 по оси абсцисс.

График третьей функции – парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке с координатами (4; 3). Чертеж изображаем только на участке, где x > 4.

Ответ: рисунок 2.

3)       {8 – (x + 6)², если x ≤ -6,
f(x) = {|x² – 6|x| + 8|, если -6 ≤ x < 5,
          {3, если x ≥ 5.

Построение предлагаемой кусочной-заданной функции аналогично предыдущему пункту. Здесь графики первых двух функций получаются из преобразований параболы, а график третьей – прямая, параллельная Ох.  

Ответ: рисунок 3.

4) Построить график функции y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x)² .

Решение. Область определения данной функции – все действительные числа, кроме нуля. Раскроем модуль. Для этого рассмотрим два случая:

1) При x > 0 получим y = x – x + (x – 1 – 1)² = (x – 2)².

2) При x < 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1)² = 2x + x².

Таким образом, перед нами кусочно-заданная функция:

y = {(x – 2)², при x > 0;
     { x² + 2x, при x < 0.

Графики обоих функций – параболы, ветви которых направлены вверх.

Ответ: рисунок 4.

5) Построить график функции y = (x + |x|/x – 1)² .

Решение.

Легко видеть, что областью определения функции являются все действительные числа, кроме нуля. После раскрытия модуля получим кусочно-заданную функцию:

1) При x > 0 получим y = (x + 1 – 1)² = x².

2) При x < 0 получим y = (x – 1 – 1)² = (x – 2)².

Перепишем.

y = {x², при x > 0;
      {(x – 2)², при x < 0.

Графики этих функций – параболы.

Ответ: рисунок 5.

6) Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?

Решение.

Да, существует.

Примером может быть функция f(x) = x³. Действительно, с вертикальной прямой х = а график кубической параболы пересекается в точке (а; а³). Пусть теперь прямая задана уравнением y = kx + b. Тогда уравнение
x³ – kx – b = 0 имеет действительный корень х₀ (так как многочлен нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень). Следовательно, график функции пересекается с прямой y = kx + b, например, в точке (х₀; х₀³).

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Б-Толкай 2013

ГБОУ СОШ с.Большой-Толкай

Методическое пособие  по теме

«Построение кусочно-заданных функций

Составила ученица 9 класса

Кизельбашева Валентина.

Понятие о кусочных функциях. На различных участках  числовой прямой функция может быть задана разными формулами. Например: y=f(x), где

f(x)=     х2, -3х-2

             2х+8, -20

  Такие функции назовём кусочными. Участки числовой прямой, которые различаются формулами задания, назовём составляющими область определения, а их объединение,  является областью определения кусочной функции. Точки, которые делят область определения на составляющие, называются граничными точками. Выражения, определяющие кусочную функцию на каждой составляющей области определения, называется  входящими функциями.

    Наличие таких свойств как чётность, нечётность, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность, ограниченность у кусочных функций устанавливается согласно общепринятым определениям, с учётом особенностей  составляющих области определения и входящих функций.

       Для того чтобы вычислить значение кусочной функции в заданной точке, необходимо, во-первых, определить, какой составляющей области определения принадлежит эта точка, а, во-вторых, найти значение входящей функции на этой составляющей.

Ответы:

1)Функция убывает на промежутке [-2; +∞).

2)Функция возрастает на промежутках (-∞; -2] и [0; 2].

3)f(x)≥0, если х=0 и |х|≥ 3⅓;

4)у > 0, если х < -1 и  -1 < х < 1.

5)Прямая y=m имеет с графиком две общие точки при m=3 и m=-1;

6)Прямая y=m имеет с графиком одну общую точку при m=-2 и m>1.

Задания для самостоятельной работы:

1)Постройте график функции y=f(x), где

x-1, если х < -2

                          f(x)=

-1/2x+3, если x ≥ -2.

Укажите промежуток, на котором функция убывает.

2)Постройте график функции у=f(x), где

1/4х2-1, если -2≤ х ≤ 2

                           f(x)=      2-х, если х > 2

                                            х+2, если х < -2.

Укажите промежутки возрастания функции.

3)Постройте график функции у=f(x), где

-х2, если -2≤ х ≤ 2

                             f(x)=       3х-10, если х > 2

-3x-10, если х < -2.

При каких значениях х значения функции у= f(x) неотрицательны?

4)Постройте  график функции у= f(x),где

(х+1)2, если х < 0

                                f(x)=

1-х2, если х ≥0.

При каких значениях х выполняется неравенство у > 0?

5)Постройте график функции  у= f(x),где

х2-4х-1, если х ≥ 4

                               f(x)=

-х2+4х-1, если х < 4

При каких значениях m прямая y=m имеет с графиком этой функции две общие точки?

6)Постройте график функции у= f(x),где

   4/х, если х ≤ -2

                                  f(x)=           х, если -2 < х ≤ 1

              х2-4х+4, если х > 1.

При каких значениях m прямая y=m имеет с графиком этой функции одну общую точку?

             Чтобы построить график кусочной функции, нужно:

1. Построить в одной системе координат графики входящих функций,
2. Провести прямые x=a, x=a, x=a, где a-граничные точки,
3. На каждой составляющей области определения (a, a), где i=1…n выбрать тот график, который соответствует входящей функции  на этой составляющей.
4. Выяснить значение функции в граничных точках.

Если каждая входящая кусочной функции является линейной, то будем называть её кусочно-линейной функцией.

f(x)=     х2, -3х-2

             2х+8, -20

Построение:

1. у=х2
2.  -3х-2
3. Выделить часть графика 1.
4. У=2х+8
5. -20
6. Выделить часть графика 2.

Рассмотрим построение графиков кусочных функций.

      Постройте график функции y=f(x), где  

                                                                             f(x)=       -1/2х+3, если х2  

                                                                                               х-4  ,х>2

Укажите промежуток, в котором функция убывает.

Построим в одной системе координат графики функций у=1/2х+3, если х2  и у=х-4  ,х>2

Графиками обеих функций являются прямые. Для построения достаточно двух точек.

у=1/2х+3, х2  

у=х-4  ,х>2

Ответ: Функция убывает на промежутке (-;2]

     Постройте график функции y=f(x), где  

                 2-2x2, если 2

   f(x)=       x-1, если x>1

                -x-1, если x<-1

Укажите промежутки возрастания  функции.

Первым графиком функции является парабола, ветви направлены вниз. Построим график функции на отрезке [-2;2]

Второй график у= х-1 –прямая.

Третий график тоже прямая у=-х-1

Ответ: Функция возрастает на промежутках[-1;0]

и [1;)  

          Постройте график функции у=f(x), где

             х2-1, если х0                                                    

f(x)=     (x-1)2 ,если х>0

 При каких значениях х выполняется неравенство у0            

1)Первым графиком является парабола. Построим её часть (х0) путем сдвига вниз на 1 графика у= х2.

Вторым графиком является тоже парабола. Построим её часть (х>0)путем сдвига вдоль оси  ох вправо на 1 графика у= х2.

Ответ: при у>0, x<-1,01

       Постройте график функции у=f(x), где  

             -х2-4х-3, если x-1                                                    

f(x)=      x+1, если -11

              2/x, если х>1

При каких значениях m прямая у=m имеет с графиком этой функции две общие точки.

Построим в одной системе координат графики функций.

1) Первым графиком функции является часть параболы, ветви направлены

вниз. Найдём вершину параболы по формуле х=-b/2a

х=-(-4)/(-1·2)=-2, то у=-(-2)2-4·(-2)-3=1.Итак, вершина параболы

в точке с координатой (-2;1).

Найдём точки пересечения с осью OX;

у=0. -х2-4х-3=0

         х1=-3

         х2=-1

Точки пересечения с осью OX: (-3;0) и (-1;0).

Найдём точки пересечения с осью Oу:

х=0

у=-(0)2-4·0-3=3

Точки пересечения с осью OX: (0;3).

Найдём дополнительные точки

2) Второй график у= х+1 –прямая.

Построим часть прямой

3)Третьим графиком является гипербола.

Построим часть гиперболы при х>1

Ответ: прямая у=m имеет с графиком этой функции две общие точкипри m=0 и 1

 Постройте график функции у=f(x), где

 f(x)=    –х2, если |х|1                                                    

               x2-1если |х| >1

Укажите промежутки возрастания  функции.

        Раскрывая знак модуля данную систему можно записать в следующем виде:

f(x)=    –х2, если -1х1                                                    

               x2-1если ,        х >1

                                        x<1

Графиками данных функций является парабола. Построим первый график.

у=–х2 ,если -1х1                                                    

x2-1если ,      х >1

                                                                      x<1

 Ответ: функция возрастает на промежутках(- ;-1] и [0;1]

      Постройте график функции у=f(x), где  

             х2-4х+4, если x>1                                                    

f(x)=      x, если -21

              4/x, если х-2

При каких значениях m прямая у=m имеет с графиком этой функции одну общую точку?

Построим в одной системе координат графики функций.

1) Первым графиком функции является часть параболы, ветви направлены

вверх. Найдём вершину параболы по формуле х=-b/2a

х=-(-4)/2·1=2

у=22-4·2+4=0

Итак, вершина параболы

в точке с координатой (2;0).

Найдём точки пересечения с осью OX;

у=0

х2-4х+4=(х-2)2   ; х=0    

Точки пересечения с осью OX: (0;2).

 Найдём точки пересечения с осью Oу: х=0

 у=02-4·0+4=4

Точки пересечения с осью OX: (0;4).

Найдём дополнительные точки

2) Второй график у= х –прямая, проходящая через начало координат.

Часть прямой, находящийся в 1 и 3 четверти.

3)Третьим графиком у=4/x,  является гипербола, которая находится в 3 четверти.  

Построим часть гиперболы при х-2

Ответ: прямая у=m имеет с графиком одну общую точку при m=-2 и m>1

       Постройте график функции у=. При каких значениях х выполняется неравенство у3?

Область определения данной функции D(у)=(-;0)(0;2) (2;+).

Разложим числитель и знаменатель на множители дроби вынесением общего множителя за скобки. Дальше числитель разложим на множители по формуле

ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

Преобразуем дробь: у====-х-1

у=-х-1-линейная функция, графиком является прямая, рисунок 1

                                      рис.1

Для того , чтобы ответить на вопрос

рассмотрим рисунок 2

Рис.2

Ответ: неравенство у3 выполняется при

 -4х<0, 02.

Найдите все значения к, при которых прямая у=кх пересекает в трёх точках ломанную, заданную условием:

            2х+4, если х<-3

у=       -2, если-33

            2х-8,если х>3

Прямая y= kx  пересекает в трех

различных точках эту ломаную, если ее угловой

коэффициент больше углового коэффициента

прямой, проходящей через точку –(3; -2), и

меньше углового коэффициента прямой,

парал. прямым у=2х+4 ,у=2х-8 .

Найдем угловой коэффициент прямой,

проходящей через точку (-3;-2)

-2=-3к, к=2/3

Угловой коэффициент k прямой, парал.

Прямой у=2х+8 , равен 2.

Ответ: прямая имеет с ломанной три общие точки при 2/3<к<2            

15
Сен 2022

Категория: 10 Графики функций

2022-09-15
2022-09-15

Автор: egeMax |

Нет комментариев