Как найти значение квадратной формы - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Квадратичные формы

Матрица квадратичной формы

Определение.
Квадратичной формой Ĺ(х₁,х₂,…,х_п)
от n переменных называется сумма, каждый
член которой является или квадратом
одной из переменных или произведением
двух разных переменных, взятых с
некоторыми коэффициентами – действительными
числами.

Мы будем рассматривать квадратичные
формы с двумя переменными

(5.1.1)

и с
тремя переменными

(5.1.2)

Квадратичные
формы можно записать в матричной форме,
введя в рассмотрение матрицу А квадратичной
формы. Для (5.1.1) матрица имеет вид

Для (5.1.2) матрица записывается в виде:

А=

То
есть матрица квадратичной формы является
симметрической матрицей. Для переменных
вводится матрица-столбец Х и
транспонированная
–
матрица – строка. Тогда квадратичная
форма может быть записана в виде
произведения трех матриц

( 5.1.3)

Пример.
Дана квадратичная
форма

Записать ее в матричной форме.

Решение.
Матрица квадратичной формы составляется
следующим образом: элементы главной
диагонали равны коэффициентам при
квадратах переменных, остальные элементы
равны половине коэффициента при
произведении х₁х₂:

А=
Матрица Х=

Таким
образом,

Пример.
Написать матрицу квадратичной формы

Решение.
На главной диагонали располагаем
элементы при квадратах переменных
а₁₁=3,
а₂₂=1,
а₃₃=6,
остальные элементы а₁₂=а₂₁=5/2,
а₁₃=а₃₁=-2,
а₂₃=а₃₂=0.
Следовательно,

А=.

Ранг матрицы квадратичной формы называют
рангом квадратичной формы. Если ранг
совпадает с числом переменных квадратичной
формы, то ее называют невырожденной.
Если ранг меньше, то квадратичная форма
– вырожденная.

Пример.
Является ли невырожденной квадратичная
форма L(х₁,х₂,х₃) = х²₁+4х₁х₃?

Решение.
Составим матрицу квадратичной формы
А=
Найдем ранг матрицы А. Так как величина
ранга не зависит от элементарных
преобразований матрицы, то отбрасывая
нулевую строку, найдем минор второго
порядка М₂=
то есть ранг меньше трех переменных,
входящих в квадратичную форму.
Следовательно, данная квадратичная
форма вырожденная.

Канонический вид квадратичной формы

В
квадратичной форме

можно выполнить линейное преобразование
переменных

невырожденная
квадратная матрица n-ого порядка. Учитывая
линейное преобразование переменных,
получим равенство:

(5.2.1)

Здесь
использовано свойство
.
Новая матрица квадратичной формы

( 5.2.2)

Первоначальная квадратичная форма и
полученная из нее (5.2.1) с помощью
невырожденного линейного преобразования
называются эквивалентными квадратичными
формами.

Пример.
Дана квадратичная форма
.
Найти эквивалентную квадратичную форму
L(y₁,y₂),
используя линейное преобразование
переменных х₁=у₁-2у₂,
х₂=у₁+у₂.

Решение.
По условию матрица данной квадратичной
формы А=
Заданное линейное преобразование в
матричной форме
.

Следовательно,
матрица С=

Теперь
по формуле (5.2.2) новая матрица получается

Ответ.
Квадратичная форма, эквивалентная
данной

Определение.
Квадратичная форма имеет канонический
вид, если все коэффициенты
,
т.е.

и ее матрица является диагональной.

В примере после линейного преобразования
квадратичная форма приняла канонический
вид.

Справедливо следующее утверждение:
любая квадратичная форма с помощью
невырожденного линейного преобразования
переменных может быть приведена к
каноническому виду. Возможны два способа
приведения квадратичных форм к
каноническому виду.

Первый
способ. Идея
метода состоит в том, что путем
тождественных преобразований в
квадратичной форме последовательно
выделяются полные квадраты по всем
переменным.

Пример.
Привести к каноническому виду квадратичную
форму

Решение.
Выделим полный квадрат по переменной
х₁:

Введя
новые переменные у₁=х₁–получим
канонический вид

Пример.
Привести к каноническому виду
квадратичную форму

Решение.
Сначала сгруппируем все слагаемые,
содержащие х₁,
и затем дополним их до полного квадрата:

Теперь
полный квадрат по х₁
оставляем неизменным, а среди оставшихся
слагаемых объединяем все члены, содержащие
х₂,
и выделяем полный квадрат:

Обозначим
у₁=х₁+2х₂+2х₃,
у₂=х₂+х₃,
у₃=х₃_, в результате
получаем канонический вид

Второй
способ. Матрица
квадратичной формы всегда симметрическая,
поэтому она имеет действительные
собственные значения и сводится к
диагональному виду с помощью линейного
ортогонального преобразования Х=QY,
где Q
– ортогональная матрица (см. пример в
4.4.1)

Если
квадратичная форма зависит от двух
переменных L=L(x₁,x₂)
и λ₁,λ₂
собственные значения ее матрицы , то
канонический вид квадратичной формы

Если
L=L(x₁,x₂,x₃)
и ее матрица имеет собственные значения
λ₁,
λ₂,
λ₃
, то кононический вид в новых переменных

Чтобы найти линейное преобразование
переменных, приводящих квадратичную
форму к каноническому виду, нужно найти
собственные векторы, нормировать их и
записать матрицу Q.

Пример.
Привести к каноническому виду квадратичную
форму

Решение.
Матрица данной квадратичной формы
А=.
Характеристическое уравнение

Собственные
значения λ₁=1,λ₂=5.
Квадратичная форма в новом базисе из
собственных векторов имеет канонический
вид

Найдем
собственные векторы. Для этого в систему
уравнений вида (4.3.2)
,
подставим собственные значения.

а)
При λ=λ₁=1
получим

Пусть
х₂=1
и х₁=1.
Тогда е₁=(1,1).

б)
При λ=λ₂=5
система имеет вид

Таким
образом, х₁=-х₂
и за второй собственный вектор можно
взять е₂=(-1,1).
Очевидно, что е₁е₂=0
– векторы ортогональны. Нормируя е₁,
е₂,
запишем ортонормированный базис:

е₁=(

Матрица
Следовательно,
преобразование координат получено.

Заметим,
что в случае ортогональных преобразований
легко получить обратное преобразование
переменных, воспользовавшись свойством
Обратная
матрица равна

Поэтому выполняются соотношения

Ответ.
Канонический
вид

Пример.
Привести квадратичную форму к
каноническому виду и найти ортогональное
преобразование переменных, если

Решение.
Матрица квадратичной формы А=
Характеристическое уравнение

корни
которого λ₁=5,
λ₂=-4
, λ₃=4
Тогда канонический вид квадратичной
формы

Заметим,. что нумерация собственных
значений произвольная. Например, если
взять

то
канонический вид будет

Для каждого такого
варианта обозначений меняется
соответственно расположение (нумерация)
базисных собственных векторов (то есть
система координат), а смысл квадратичной
формы не меняется.

Найдем теперь ортонормированный базис
и преобразование переменных. Составим
систему уравнений:

вкоторую
последовательно подставим собственные
значения.

а)
При λ=5 система
примет вид

Выпишем
матрицу системы и подвергнем ее
элементарным преобразованиям:

Получим систему эквивалентную исходной:

Если
х₃=k
– любое число, не равное нулю, то множество
собственных векторов (k,k,k).
Пусть k=1,
тогда е₁=(1,1,1).

б)
При λ=-4 имеем систему

Преобразуем
матрицу системы

По
последней матрице запишем систему
уравнений

При х₃=k,
где k≠0,
множество собственных векторов (k,
-2k,
k).
Возьмем k=1,
тогда е₂=(1,
-2, 1).

в)
При λ=4
получим систему уравнений
.
Здесь первое и третье уравнения
одинаковые, поэтому запишем матрицу
системы в виде:

Откуда следует, что
Если х₃=k,
где k≠0,
то множество собственных векторов (-k,
0, k).
Пусть k=1,
тогда е₃=(-1,0,1).
Получили собственные векторы е₁=(1,1,1),
е₂=(1,-2,1),
е₃=(-1,
0, 1). Легко увидеть, что они попарно
ортогональны. Запишем ортонормированный
базис:

Ортогональная
матрица Q=

Транспонируя
матрицу Q, получим матрицу:

И
так как

записываем ортогональное преобразование
переменных

(*)

Ответ.
Квадратичная форма имеет канонический
вид

в базисе из собственных векторов и может
быть получена с помощью преобразования
координат в виде (*).

Отметим
некоторые свойства квадратичных форм:

Канонический
вид квадратичной формы не определяется
однозначно, так как зависит от выбора
системы координат (базисных векторов).
В
каноническом виде число слагаемых с
положительными (отрицательными)
коэффициентами не зависит от способа
приведения формы к каноническому виду.
Ранг матрицы квадратичной формы не
меняется при линейных преобразованиях
переменных. Ранг всегда равен количеству
ненулевых коэффициентов в канонической
форме.
Квадратичная форма называется
положительно (отрицательно) определенной,
если при всех значениях переменных, из
которых хотя бы одно отлично от нуля,
выполняется

>0,

<0.

Например,положительно
определенная форма, а

отрицательно определенная.

5. Если все
собственные значения матрицы квадратичной
формы положительны, то
>0
положительно определена. Если все
собственные значения отрицательны, то
<
0- отрицательно определенная форма.

6. Знакоопределенность
квадратичной формы может быть установлена
с помощью критерия Сильвестра: если все
главные миноры матрицы квадратичной
формы положительны, то квадратичная
форма положительно определена. Если
все главные миноры матрицы нечетного
порядка положительны, то квадратичная
форма отрицательно определена.

Продемонстрируем
на примере перечисленные свойства.

Пример.
Дана квадратичная форма

Ее канонический вид

получен с помощью собственных значений
λ₁=1 ,λ₂=5. Приведем теперь
эту форму к каноническому виду по первому
способу с помощью выделения полных
квадратов.

Таким образом

Канонический вид квадратичной формы
зависит от выбора линейного преобразования
переменных, то есть от выбора системы
координат. Если, например, взять L=1, то
уравнения

являются уравнениями одного и того же
эллипса в разных системах координат.

Пример.
В предыдущем примере мы обратили внимание
на то, что канонический вид квадратичной
формы можно записать разными способами:

Во всех этих записях число слагаемых с
положительными и отрицательными
коэффициентами одно и то же.

Пример. Исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму

Решение. Составим матрицу данной
квадратичной формы А=
и вычислим главные угловые миноры

М₁=3>0,
М₂=>0,
М₃=>0.

Следовательно,
по критерию Сильвестра квадратичная
форма положительно определенная.

В заключение рассмотрим экономический
смысл понятий собственного значения и
собственного вектора. Предположим, что
на некотором предприятии в начале года
заменяют 20 % оборудования, проработавшего
два года, и все оборудование, проработавшее
три года. То оборудование, которое было
в эксплуатации один год, не заменяется.
Для анализа и прогнозирования экономических
параметров работы предприятия надо
знать устойчивое, т.е. не изменяющееся
из года в год, распределение количества
единиц работающего оборудования. Введем
следующие обозначения:
количество
единиц оборудования, проработавшего i
лет к началу года t, тогда

Это равенство означает, что не заменяется
новое оборудование прошлого года,
заменяется 20 % оборудования, проработавшего
два года к началу предыдущего года и
все оборудование, проработавшее три
года к началу предыдущего года.

Это равенство означает, что два года
проработает то оборудование, которое
к началу предыдущего года эксплуатировалось
один год.

т.е. три года эксплуатируют то оборудование,
которое к началу года проработало два
сезона и не было заменено. Введем матрицы

тогда все
предыдущие рассуждения описываются
уравнением

Если нас интересует устойчивое
распределение, то

и приходится решать уравнение

Если справедливо предположение о том,
что оборудование заменяется пропорционально
количеству единиц техники, находящейся
на предприятии, то приходится искать
распределение, которое является решением
уравнения

Задача отыскания таких λ , при которых
существует ненулевое решение уравнения

и приводит к понятию собственного
вектора и собственного значения
оператора.

Упражнения для
самостоятельного решения

Привести
к каноническому виду квадратичную
форму L=х²–у²-4ху
путем выделения полного квадрата. Какую
кривую определяет уравнение L(x,y)=1?
Привести
к каноническому виду квадратичную
форму, выделяя полные квадраты, L=
Привести
к каноническому виду квадратичную
форму, определив собственные значения
ее матрицы

Ответы: 1.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 25 сентября 2021 года; проверки требуют 3 правки.

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Определение[править | править код]

Пусть есть векторное пространство над полем и $e_{1},e_{2},dots ,e_{n}$ — базис в .

Функция Q:Lto K называется квадратичной формой,
если её можно представить в виде

$Q(x)=sum _{{i,j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{i}x_{j},$

где $x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+cdots +x_{n}e_{n}$ , а $a_{{ij}}$ — некоторые элементы поля .

Связанные определения и свойства[править | править код]

${displaystyle Q(x_{1},x_{2})=a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+a_{22}x_{2}^{2}}$

${displaystyle A'=C^{T}A,C,}$

где

— матрица квадратичной формы в новом базисе.

Из формулы ${displaystyle A'=C^{T}A,C}$ следует, что определитель матрицы квадратичной формы не является её инвариантом (т.е. не сохраняется при замене базиса, в отличие, например, от матрицы линейного отображения), но её ранг — является. Таким образом, определено понятие ранга квадратичной формы.
Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг , то квадратичную форму называют невырожденной, в противном случае — вырожденной.
Для любой квадратичной формы существует единственная симметричная билинейная форма , такая, что . Билинейную форму называют полярной к , если она может быть вычислена по формуле

$B(x,y)={frac {1}{2}},(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)).$

Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

Знакоопределённые и знакопеременные формы[править | править код]

В случае, когда (поле вещественных чисел), важную роль, в том числе, для различных приложений, играют понятия положительно и отрицательно определённой квадратичной формы.

Для решения вопроса о том, является ли данная квадратичная форма положительно (отрицательно) определённой, используется критерий Сильвестра:

Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

Канонический вид[править | править код]

Вещественный случай[править | править код]

В случае, когда (поле вещественных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид, то есть содержит только квадраты переменных:

${displaystyle Q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+cdots +a_{p}x_{p}^{2}-a_{p+1}x_{p+1}^{2}-cdots -a_{p+q}x_{p+q}^{2},quad 0leq p,qleq r,quad p+q=r,qquad (*)}$

где — ранг квадратичной формы. . В этом случае коэффициенты $a_{{i}}$ называются каноническими коэффициентами. В случае невырожденной квадратичной формы , а в случае вырожденной — .

Существует также нормальный вид квадратичной формы:
${displaystyle Q_{n}(x)=x_{1}^{2}+cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-cdots -x_{p+q}^{2},quad 0leq p,qleq r,quad p+q=r,qquad (*)}$ .

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используются метод Лагранжа или ортогональные преобразования базиса, причем привести данную квадратичную форму к каноническому виду можно не одним, а многими способами.

Число (отрицательных членов) называется индексом инерции данной квадратичной формы, а число p-q (разность между числом положительных и отрицательных членов) называется сигнатурой квадратичной формы. Отметим, что иногда сигнатурой квадратичной формы называют пару (p,q) . Числа являются инвариантами квадратичной формы, то есть не зависят от способа её приведения к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Комплексный случай[править | править код]

В случае, когда (поле комплексных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором форма имеет канонический вид

${displaystyle Q(x)=x_{1}^{2}+cdots +x_{r}^{2},qquad (**)}$

где — ранг квадратичной формы. Таким образом, в комплексном случае (в отличие от вещественного) квадратичная форма имеет один единственный инвариант — ранг, и все невырожденные формы имеют один и тот же канонический вид (сумма квадратов).

Примеры[править | править код]

См. также[править | править код]

Теорема Витта
Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
Конвей Дж. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях. — М.: МЦНМО, 2008. — 144 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-268-8.
Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

Источник

Содержание:

Квадратичные формы и их определение
Квадратичные формы

Квадратичные формы и их определение

Определение. Квадратичной формой L (x₁, x₂, …, x_n) от n переменных называется сумма, каждый член которой является или квадратом одной из переменных, или произведением двух различных переменных, взятых с некоторым коэффициентом, то есть
(2.44)

Допускаем, что в квадратичной форме (2.44) a_ij — действительные числа. Распишем квадратичную форму (2.44), разбив слагаемые, содержащие произведения переменных, на две равные части:

Матрица
(2.45)

или A = {a_ij} (i, j = 1, 2, …, n) является симметричной, так как a_ij = a_ji, называется матрицей квадратичной формы (2.44).

Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы. Квадратичная форма называется невырожденной, если ее матрица невырожденная.
Если то квадратичную форму можно переписать в матричном виде L (x₁, x₂, …, x_n) = X^T AX.

Выражение X^T AX представляет собой квадратичную форму в матричном виде.

Пример 1. Записать в матричном виде квадратичную форму

Решение. Матрица данной квадратичной формы имеет вид

А =

Значит,

Квадратичная форма называется канонической (или другими словами, имеет канонический вид), если все a_ij = 0, когда i ≠ j. Тогда квадратичная форма будет иметь вид

Рассмотрим следующую теорему.

ТЕОРЕМА 1. Произвольная квадратичная форма приводится к каноническому виду.

Доказательство. Пусть задана квадратичная форма (2.44) с матрицей (2.45) в базисе . Так как A — симметричная матрица, то существует ортогональная матрица B такая, что.

Матрица B является матрицей перехода от базиса
(2.46)
к некоторому базису
. (2.47)

Примечание. Действительная квадратная матрица называется ортогональной, если сумма квадратов элементов каждого столбца равна единице и сумма произведений соответствующих элементов из двух разных столбцов равна нулю. Необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы В является условие В^T ⋅ B = Е.

Пусть X и Y являются векторами-столбцами из координат вектора соответственно в базисах (2.46) и (2.47). Тогда X = BY и

или
(2.48)

Примечание. При доказательстве данной теоремы использовали транспонирование произведения матриц по формуле (СY)^T = Y^T ⋅ C^T.

Заметим, что в канонической форме (2.48) λ₁, λ₂, …, λ_n являются собственными числами матрицы A.

Пример 2. Привести квадратичную форму к каноническому виду с помощью ортогональной матрицы и найти ее.

Решение. Матрица данной квадратичной формы имеет вид . Запишем систему типа (2.39) для нахождения собственных чисел и собственных векторов
(2.49)
Характеристическое уравнение данной системы имеет вид
или (2 – λ) (5 – λ) – 4 = 0.
Решив данное уравнение, находим λ₁= 6, λ₂= 1. Значит канонический вид данной квадратичной формы является .
Найдем ортогональную матрицу.

Столбцами ортогональной матрицы, которая приводит квадратичную форму к каноническому виду, является ортонормированный собственные вектор-столбец матрицы A.

Сначала найдем нормированный собственный вектор-столбец матрицы A с собственным значением λ₁= 6. Для этого из системы (2.49) имеем систему для нахождения координат вектора:

Из данной системы находим x₂ = 2x₁ или u₂ = 2u₁. Значит, при произвольном u₁, отличном от нуля, столбец является собственным вектором-столбиком матрицы A, а столбец является нормированным собственным вектором-столбиком матрицы A. Здесь использовано, что .
Аналогично находим вектор-столбец матрицы A с собственным значением λ₂= 1, а именно из системы:

Находим x₁ = –2x₂ или при произвольном s, отличном от нуля, столбец является собственным вектором матрицы A. Столбец является нормированным собственным вектором матрицы A. Значит, искомая матрица имеет вид:

Замечание. Легко проверить, что для данного примера 2.
Рассмотрим на примере еще один метод приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду заключается в последовательном выделении полных квадратов.

Пример 3. Привести к каноническому виду квадратичную форму методом Лагранжа. Сначала выделим полный квадрат при переменной x₁, коэффициент при которой отличен от нуля.

Итак, невырожденное линейное преобразование

приводит данную квадратичную форму к каноническому виду

Канонический вид квадратичной формы не является однозначным, так как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. Однако полученные разными способами квадратичные формы имеют ряд общих свойств.

Сформулируем одно из этих свойств, которое выражает закон инерции квадратичных форм, и заключается в следующем: все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма, имеют:
1) одно и то же число нулевых коэффициентов;
2) одно и то же число положительных коэффициентов;
3) одно и то же число отрицательных коэффициентов.

Определение 1. Квадратичная форма L (x₁, x₂, …, x_n) называется положительно определенной, если для всех действительных значений x₁, x₂, …, x_n используется неравенство L (x₁, x₂, …, x_n) > 0.

Определение 2. Если L (x₁, x₂, …, x_n) является положительно определенной формой, то квадратичная формаL (x₁, x₂, …, x_n) < 0 называется отрицательно определенной.

Необходимые и достаточные условия положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2. Для того чтобы квадратичная форма L = X^T AX была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения λ_i (i = 1, 2, …, n) матрицы A были положительными (отрицательными).

Данную теорему приводим без доказательства.

Во многих случаях для установления знакоопределенности квадратичной формы удобно применять критерии Сильвестра.

ТЕОРЕМА 3. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительными, то есть
где
Следует заметить, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, начиная со знака “минус” для минора первого порядка.

Например, квадратичная форма L в примере 2 является положительно определенной на основании теоремы 2, так как корни характеристического уравнения λ₁ = 6 и λ₂ = 1 являются положительными.
Второй способ. Так как главные миноры матрицы A
являются положительными, то по критерию Сильвестра данная квадратичная форма является положительно определенной.

Квадратичные формы

Однородный многочлен второй степени относительно переменных

называется квадратичной формой от этих переменных. Если взять то квадратическую форму (1.26) можно записать в виде:

или

где

Выражение (1.28), а следует и квадратичная форма (1.26) полностью определяется матрицей которая называется матрицей квадратичной формы (1.26).

Выполняя замену базиса, квадратичную форму (1.26) можно привести к виду:

где – новые переменные, что линейно выражаются через (1.28), – собственные значения матрицы

Выражение (1.29) называется каноническим видом квадратичной формы (1.26).

Рассмотрим квадратичную форму где – матрица коэффициентов

Тогда квадратичную форму можно записать так:

Квадратичная форма называется положительно определенной, если для всех действительных значений выполняется неравенство и отрицательной, если для всех действительных значений выполняется неравенство

Если положительно определена, то квадратичная форма называется отрицательно определенной.

Решение примеров:

Пример 1.99

Квадратичная форма

положительно определенной.

Квадратичная форма

отрицательно определенная.

Квадратичная форма

неопределенной.

Квадратичная форма

является отрицательно определенной.

Пример 1.100

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнения линии второго порядка

Решение. Уравнение линии запишем в виде в котором

Сложим характеристическое уравнение матрицы и найдем ее собственные значения.

или

Корни уравнения являются собственными значениями. Следует, уравнение линии преобразуется в вид или Полученная линия – гипербола.

Свойства квадратичной формы (1.30) связаны с собственными числами матрицы

Пример 1.101

Привести к каноническому виду уравнения линии

Решение. Группа старших членов этого уравнения квадратическую форму Ее матрица

Собственными значениями будут числа Следует квадратичная форма преобразуется к виду а данное уравнение – к виду или Это эллипс.

Лекции:

Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма
Метод неопределенных коэффициентов
Несобственный интеграл первого рода
Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость
Производные тригонометрических функций
Интегралы, зависящие от параметра
Умножение логарифмов: пример решения
Вычислить определитель матрицы
Геометрический и физический смысл производной
Найти фундаментальную систему решений

Источник

Содержание:

Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнением второго порядка, содержащими две или три переменные, Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому п, а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами.

Понятие квадратичной формы

Квадратичной формой

Пример:

Сумма является квадратичной формой от трех неизвестных .

Каждую квадратичную форму можно записать в стандартном виде. Для этого сначала приводятся подобные в квадратичной форме, затем коэффициенты при обозначаются через а коэффициенты при через причем „ Член записывается в виде После этих преобразований квадратичную форму можно записать в виде:

Матрица: называется матрицей квадратичной формы F. Так как то А – симметричная матрица.

С учетом правила умножения матриц можно вывести матричную форму записи квадратичной формы.

где А – матрица квадратичной формы, X – матрица-столбец неизвестных:

Приведенные выкладки показывают, в частности, что если А -симметрическая матрица, то выражение является квадратичной формой от неизвестных ,т.е. квадратичная форма является

результатом скалярного произведения матриц X и АХ. Матричная форма записи квадратичной формы имеет вид . Если – произвольный n— мерный вектор, то после подстановки в квадратичную форму вместо X получится число , которое называется значением квадратичной формы F(X) на векторе .

Канонический базис квадратичной формы

Принято считать, что квадратичная форма F(X) имеет канонический вид, если все коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т.е. при . При этом квадратичная форма представляет собой сумму квадратов переменных с соответствующими коэффициентами ,т.е.:

В этом случае матрица квадратичной формы имеет диагональный вид:

Очевидно, что изучение свойств квадратичной формы, записанной в каноническом виде, значительно упрощается. В связи с этим возникает задача приведения произвольной квадратичной формы к каноническому виду. В основе многих известных методов приведения квадратичной формы к каноническому виду лежит следующая теорема.

Теорема. Всякая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования может быть приведена к каноническому виду.

Метод ортогональной матрицы использует особенности собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы.

Пусть дана квадратичная форма , Поскольку А -симметрическая матрица, для нее существует диагонализирующая ортогональная матрица S, такая что:

где -собственные значения матрицы А.

Применим к квадратичной форме линейное преобразование – матрица-столбец новых переменных – матрица, обратная к S.

Таким образом, квадратичную форму всегда можно представить в каноническом виде с коэффициентами, равными собственным значениям матрицы квадратичной формы.

Канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно. В то же время можно доказать, что все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма, содержат одинаковое число отрицательных, положительных и нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных.

Наиболее удобным для исследования является канонический вид, в котором коэффициенты при новых переменных равны +1 или -1, т.е. квадратичная форма имеет вид:

Такую запись называют нормальным видом квадратичной формы. В нем общее число квадратов равно рангу r квадратичной формы.

Квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями. При этом справедлива следующая теорема.

Теорема, Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная вещественная квадратичная форма вещественным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

Эту теорему называют законом инерции квадратичных форм.

Базис пространства R” называется каноническим базисом квадратичной формы , если в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, т.е. при

Если канонический базис F(X), то выражение: называется каноническим видом F(X) в базисе где – новый набор неизвестных.

Теорема. Если – разложение вектора а по каноническому базису квадратичной формы то значение F(X) на векторе а вычисляется по формуле

Доказательство:

Эта теорема утверждает, что если известны канонический базис квадратичной формы F(X) и ее канонический вид в этом базисе, то для вычисления значения F(a) квадратичной формы F(X) на векторе а достаточно:

разложить вектор а по каноническому базису :
коэффициенты разложения подставить вместо неизвестных в канонический вид квадратичной формы:

Квадратичная форма имеет много разных канонических базисов. Процесс построения канонического базиса называется приведением квадратичной формы к сумме квадратов.

Наиболее часто используются: канонический базис из собственных векторов матрицы А и канонический базис Якоби.

Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы

Теорема. Ортонормированный базис пространства Rсостоящий из собственных векторов симметрической матрицы , является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение – ее каноническим видом в базисе ,

Доказательство:

Канонический базис Якоби квадратичной формы . Будем говорить, что матрица удовлетворяет условию Якоби, если определители:

называемые угловыми минорами матрицы А, не равны нулю. Очевидно, что

Обозначим через матрицу:

Вычислим определитель этой матрицы, разлагая ее по последнему столбцу, затем также по последнему столбцу разложим полученный определитель и т.д. Из условия следует, что и, значит, каждая система уравнений , где вектор диагональной системы, имеет единственное решение . Система векторов называется системой векторов Якоби матрицы А, которая удовлетворяет условию Якоби.

Теорема. матрица А квадратичной формы удовлетворяет условию Якоби, система векторов Якоби матрицы А является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение:

ее каноническим видом в базисе .

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы

Квадратичная форма F{X) называется положительно определенной, если значение F(X) на каждом ненулевом значении а больше нуля, т.е.:

Если же F(a) < 0 на каждом , то квадратичная форма называется отрицательно определенной.

Теорема. Дана квадратичная форма , ее канонический базис, л выражение

канонический вид в базисе . Тогда справедливы следующие утверждения:

Квадратичная форма F(X) положительно определена тогда и только тогда, когда .
Квадратичная форма F{X) отрицательно определена тогда и только тогда, когда

Доказательство:

Необходимость. Дано, что F(X) – положительно определенная форма. Так как и поэтому .

Достаточность. Дано, что в каноническом виде все коэффициенты Нужно доказать, что F(X) положительно определена. Рассмотрим произвольный ненулевой вектор а и разложим его по базису :

Так как , то в разложении не все коэффициенты равны нулю. Следовательно и среди чисел хотя бы одно отлично от нуля.

Аналогично доказывается и второе утверждение.

Эта теорема дает два наиболее употребляемых критерия положительной и отрицательной определенности квадратичной формы.

Теорема. Дана квадратичная форма . Тогда справедливы следующие утверждения:

Квадратичная форма F(X) положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы А положительны.
Квадратичная форма F(X) отрицательно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы А отрицательны.

Заказать решение задач по высшей математике

Доказательство:

Докажем первое утверждение. Рассмотрим ортонормированный базис пространства R”, состоящий из собственных векторов симметрической матрицы А, и пусть . Тогда канонический базис квадратичной формы F(X), а выражение – ее канонический вид в базисе . Теперь первое утверждение этой теоремы вытекает из первого предложения предыдущей теоремы.

Второе предложение доказывается аналогично.

Лемма. Если какой-нибудь угловой минор матрицы А равен нулю у то найдется такой ненулевой вектор , что

Теорема (Критерий Сильвестра). Справедливы следующие утверждения:

Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы А положительны.
Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы А четного порядка положительны, а главные миноры матрицы А нечетного порядка отрицательны.

Доказательство: Докажем первое утверждение.

Необходимость. Дано, что F(X) положительно определена. Покажем, что все угловые миноры матрицы А отличны от нуля. Допустим обратное, и пусть . Тогда согласно Лемме найдется такой ненулевой вектор , что . Однако это противоречит положительной определенности квадратичной формы.

Итак, матрица А удовлетворяет условию Якоби, поэтому можно построить систему векторов Якоби , которая является каноническим базисом F(X), причем выражение – ее канонический вид в базисе . Теперь из положительной определенности квадратичной формы и первого утверждения доказанной ранее теоремы следует,

что, и значит, что

Достаточность. Если , то угловые миноры матрицы А отличны от нуля, и можно построить канонический базис квадратичной формы F(X), в котором – канонический вид квадратичной формы F(X). Поскольку , то F(X) положительно определена.

Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.

Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка

В общем случае кривая второго порядка в базисе описывается уравнением . Ее первые три слагаемые образуют квадратичную форму с матрицей:

Задача о приведении кривой , к каноническому виду сводится к задаче о приведении к каноническому виду квадратичной формы Q (х,у) этой кривой.

Пусть – собственные значения матрицы и ортонормированные собственные векторы матрицы А, соответствующие собственным значениям .

Ортонормированные векторы называются главными направлениями этой кривой.

Пусть является матрицей перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному базису Тогда ортогональное преобразование: приводит квадратичную форму Q (х,у) к каноническому виду , а уравнение кривой – к виду в прямоугольной декартовой системе координат , оси которой направлены вдоль векторов, а начало совпадает с точкой О системы координат XY.

Выделив в этом уравнении полные квадраты, получим , где а,Ь,с – некоторые числа. Осуществив параллельный перенос системы координат в новое начало 0 = (-а—Ь), получим канонический вид уравнения

в системе координат . В зависимости от чисел ,с эта кривая будет эллипсом, гиперболой, параболой, парой прямых, точкой или мнимой кривой.

Системы линейных уравнений с примерами
Линейное программирование
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Исследование функции
Евклидово пространство
Матрица – виды, операции и действия с примерами
Линейный оператор – свойства и определение
Многочлен – виды, определение с примерами

Источник

Задание 1. Составить матрицу квадратичной формы .

Решение. В общем виде квадратичная форма аргументов и задаётся следующим образом:

Где являются элементами матрицы квадратичной формы. Сравнивая заданную квадратичную форму с общим её видом, получим, что , , , , , , т. е. .

Ответ: .

Задание 2. Восстановить квадратичную форму по заданной матрице . Каждая ли из заданных матриц может соответствовать некоторой квадратичной форме? Почему?

А) ; б) .

Решение. Матрица квадратичной формы должна быть симметрической, т. е. .

а) Матрица не может быть матрицей квадратичной формы, так как , т. е. она не является симметрической.

Б) Матрице соответствует некоторая квадратичная форма, так как она является симметрической. Очевидно, , , , , , . Следовательно, квадратичная форма примет вид

Ответ: .

Задание 3. Задана квадратичная форма . Найти квадратичную форму , полученную из данной линейным преобразованием: , .

Решение. При невырожденном линейном преобразовании матрица квадратичной формы преобразуется в матрицу .

Выпишем матрицу заданной квадратичной формы: . Матрица заданного линейного преобразования , тогда . Следовательно,

т. е. .

Можно сделать проверку полученного результата непосредственной подстановкой в заданную квадратичную форму формулы преобразования координат:

Ответ: .

Задание 4. Привести к каноническому виду квадратичную форму .

Решение. Выпишем матрицу квадратичной формы: . Диагонализация матрицы квадратичной формы происходит в ОНБ из собственных векторов. Если – матрица перехода к такому базису, то координаты вектора в разных базисах связаны между собой соотношением:

Где в столбцах матрицы находятся координаты векторов ОНБ из собственных векторов, соответствующих собственным значениям.

Составим характеристическое уравнение:

Значит, собственные значения , , .

Найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям.

При : , откуда получаем однородную систему уравнений тогда .

При : , т. е. тогда .

При : , откуда получаем однородную систему уравнений

Из системы следует, что – свободная переменная. Примем , тогда

Векторы , , попарно ортогональны (в этом легко убедиться непосредственно!), тогда ОНБ составят векторы

, , .

Матрица перехода от ОНБ к ОНБ примет вид:

Замечание. О том чтобы матрица оказалась симметрической, следует помнить при построении собственных векторов , И .

Формулы перехода от координат к координатам :

, , .

Канонический вид заданной квадратичной формы:

Подстановкой приведенных формул преобразования координат в заданную квадратичную форму можно убедиться в правильности проведенных вычислений.

Ответ: .

Задание 5. Установить знакоопределённость квадратичной формы .

Решение.

Метод 1. Если все собственные значения , то квадратичная форма положительно определённая; если все – отрицательно определённая. Найдём собственные значения квадратичной формы. Для этого составим её матрицу:

И характеристическое уравнение:

Его корни , , т. е. все , а следовательно, квадратичная форма положительно определённая.

Метод 2. Знакоопределённость квадратичной формы можно установить и с помощью критерия Сильвестра, в соответствии с которым квадратичная форма положительно определённая, если все главные диагональные миноры матрицы положительны, т. е. , , …, , а если знаки этих миноров чередуются, т. е. , , , …, то квадратичная форма – отрицательно определённая.