Как найти значение линейной функции в точке

Определение

Функция, заданная формулой y=kx+b, где х – переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной функцией. Переменную х называют независимой переменной, переменную у – зависимой переменной.

Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять два значения х, чтобы получить два значения у и, соответственно, две точки, через которые проходит единственная прямая.

Число k называется угловым коэффициентом прямой.

Свойства линейной функции

  1. Область определения функции – множество всех действительных чисел. То есть в данную формулу мы можем подставлять любое значение х.
  2. Областью значений также является множество всех действительных чисел.
  3. Функция не имеет ни наибольших, ни наименьших значений.
  4. При k – положительном, угол наклона к оси х острый, другими словами – график функции возрастает.
  5. При k отрицательном угол наклона к оси х тупой, то есть график функции – убывает.
  6. При k=0 прямая параллельна оси х.
  7. Частный случай линейной функции: y=kx, где число b=0, эту функцию называют прямой пропорциональностью, график такой функции проходит через начало координат.

Рассмотрим на примерах расположение прямых в координатной плоскости в зависимости от значения чисел k и b.

Пример №1

Построить график функции у=2х – 1. Для того, чтобы удобнее было выполнять вычисления, построение и т.д. сделаем таблицу для значений х и у:

Для построения графика подбираем два значения х, одно из них желательно брать равное нулю, второе, например 3 (подбираем небольшие числа).

Теперь подставляем значения х в формулу и вычисляем соответствующие значения у:

у=2х – 1=2×0 – 1= –1;

у=2х – 1=2×3 – 1= 5.

Вписываем в таблицу значения у:

Теперь строим систему координат, отмечаем в ней точки с координатами      А(0; –1) и В(3;5), проводим через эти две точки прямую.

Итак, по формуле мы видим, что угловой коэффициент – положительный, значит, график – возрастает, что мы и видим на нашем графике.

Пример №2.

Построить график функции у= –3х+4. Итак, делаем таблицу на два значения, например, возьмем 0 и 2.

По формуле видим, что угловой коэффициент отрицательный, значит, прямая будет убывать. Строим убывающую прямую в системе координат через две точки А(0;4) и В(2; –2).

Пример №3

Построить график функции у=4. Видим, что в данном случае число х=0, значит, прямая будет проходить через точку с координатой (0;4) параллельно оси х. На графике это выглядит следующим образом:

Построить график функции у=3х. Данная функция является частным случаем, когда прямая проходит через начало координат. Поэтому в данном случае можно взять устно одно значение х, например 2, тогда у получим равный 6. Таким образом, имеем две точки (2;6) и (0;0). Строим их в системе координат и проводим через них прямую, которая будет возрастать, так как угловой коэффициент равен 3, т.е. положительный.

Задание OM1106o

На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

ГРАФИКИ:

КОЭФФИЦИЕНТЫ:

1) k>0, b<0                   2) k>0, b>0                    3) k<0, b<0 


ассмотрим коэффициенты под №3. Если k<0, значит, график имеет тупой (>900) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b<0, то это говорит, что график пересекает ось ординат (Оу) ниже нуля. Эти два условия реализованы на графике В. Итак, получаем для ответа пару: В–3.

У двух других пар коэффициентов (№№ 1 и 2) зафиксировано, что k>0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положительно направлению оси Оx под острым углом (<900). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.

В 1-й паре коэффициентов b<0. Это означает, что соответствующий им график должен пересекать ось Оу в точке ниже начала координат. Таковым является график Б, и мы получаем пару Б–1. В паре коэффициентов №2 b>0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.

Ответ: 213

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1103o

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции:

A) y = 3x

Б) y = -3x

В) y = (1/3)x

Графики:

Графики функций огэ по математике в 5 задании


Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:

y = kx + b

График данной функции зависит от и b.

  • если k < 0,  то функция убывает, то есть линия идет сверху вниз, как на третьем рисунке
  • если k > 0, то функция возрастает, то есть линия идет снизу вверх, как на первых двух рисунках
  • коэффициент b определяет сдвиг по оси y, если b < 0, то прямая пересекает ось y ниже 0 в точке y = b, если  b > 0, то выше ноля в точке y = b
  • если k >1, то прямая идет круче, чем обычная y = x (как на втором и третьем графике), если k <1 , то положе, как на примере рисунка №1

Следовательно, графику y = 3x соответствует рисунок 2, так как прямая идет снизу вверх и она более крутая, чем кривая на рисунке 1, которому соответствует функция y = (1/3)x.

Графику 3 соответствует функция y = -3x так как k = -3 < 0, и график идет сверху вниз.

Ответ:

A) 2

Б) 3

В) 1

Ответ: 231

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Даниил Романович | Просмотров: 6.1k

Содержание:

Рассмотрим уравнение с двумя неизвестными Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

где Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения—заданные числа. Этому уравнению удовлетворяет бесконечное множество пар чисел Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Например, уравнению

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

удовлетворяют следующие пары:

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

и т. д.

Для того чтобы найти пару чисел, удовлетворяющих уравнению Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, нужно придать Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения произвольное числовое значение и подставить в уравнение Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, тогда Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения получит определенное числовое значение. Например, если Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Очевидно, что пара чисел Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяет уравнениюЛинейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Так же и в случае уравнения (1) можно придать Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения произвольное числовое значение и получить для Линейная функция - определение и вычисление с примерами решениясоответствующее числовое значение.

Так как в данном уравнении Линейная функция - определение и вычисление с примерами решенияможет принимать любое числовое значение, то его называют переменной величиной. Поскольку выбор этого числового значения ничем не ограничен, то Линейная функция - определение и вычисление с примерами решенияназывают независимой переменной величиной или аргументом.

Для Линейная функция - определение и вычисление с примерами решенияполучаются также различные значения, но уже в зависимости от выбранного значения Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения; поэтому Линейная функция - определение и вычисление с примерами решенияназывают зависимым переменным или функцией.

Функцию Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, определяемую уравнением (1), называют линейной функцией.

Пример:

Вычислить значения линейной функции, определяемой уравнением Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, при следующих значениях независимого переменного: Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Если Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения; если Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения; если Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Покажем, что если принять пару чисел Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, удовлетворяющих уравнению (1), за абсциссу и ординату точки, то геометрическим местом этих точек будет прямая линия (рис. 14).

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

В самом деле, рассмотрим точку Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и точки Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), т. е. Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Обозначим проекции точек Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения на ось Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения через Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, тогда Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, Линейная функция - определение и вычисление с примерами решенияПроведем из точки Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения прямую, параллельную оси Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. При этом получим Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Предположим, что точки Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, не лежат на родной прямой. Соединяя точку Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения с точками Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, получим два прямоугольных треугольника Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, из которых имеем:

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Но так как Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяют уравнению (1), то

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Иначе говоря,

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Выражения Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения являются отношениями противоположных катетов к прилежащим для углов Линейная функция - определение и вычисление с примерами решенияи Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения . Следовательно, Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения — а поэтому и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения так как углы острые. Это значит, что точки Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения лежат на одной прямой. Но мы предположили, что эти точки не лежат на одной прямой. Таким образом, мы пришли к противоречию, а это и доказывает, что точки Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения лежат на одной прямой. Обозначим угол Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения через Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Этот угол образован прямой Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения с положительным направлением оси Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Так как Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения — произвольные точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), то можно сделать следующее заключение: любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (1), лежит на прямой, отсекающей на оси Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения отрезок Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и образующей с положительным направлением оси Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения угол Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения такой, что Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Число Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения называется начальной ординатой, число Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения— угловым коэффициентом прямой.

Предыдущие рассуждения позволяют сделать вывод: линейная функция Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения определяет на плоскости прямую, у которой начальная ордината равна Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, а угловой коэффициент Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Например, линейная функция Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения определяет на координатной плоскости прямую, отсекающую на оси Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения отрезок —4 и наклоненную к оси Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения под углом в 60°, так как Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Если имеем определенную прямую, отсекающую на оси Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения отрезок Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и наклоненную к оси Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения под углом Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения тангенс которого равен Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, то, взяв произвольную абсциссу, найдем на указанной прямой только одну точку, имеющую эту абсциссу, т. е. по заданному Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения найдется только одна точка, а следовательно, и одно значение Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Очевидно, имеет место и такое предложение: Всякой прямой, отсекающей на оси Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения отрезок Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и наклоненной к оси Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения под углом, тангенс которого равен числу Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, соответствует линейная функция Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Координаты любой, точки, лежащей на указанной прямой, удовлетворяют уравнению (1), поэтому уравнение Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения называют уравнением прямой.

Таким образом, всякая линейная функция является уравнением некоторой прямой.

Отметим частные случаи.

1. Пусть Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, т. е. линейная функция определяется уравнением

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат. Здесь Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения пропорционален Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, т. е. если Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения увеличить (уменьшить) в несколько раз, то и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения увеличится (уменьшится) во столько же раз.

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

2. Пусть Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, т. е. Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, откуда Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Линейная функция определяется уравнением

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Этому уравнению соответствует прямая, параллельная оси Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и отстоящая от нее на расстояние Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения.

На основании всего сказанного в этом параграфе легко решаются следующие задачи.

Пример:

Даны точки Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Нужно узнать, лежат ли эти точки на прямой, уравнение которой имеет вид

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Если точка лежит на прямой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Поэтому для решения задачи подставим координаты точки Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения в уравнениеЛинейная функция - определение и вычисление с примерами решения, получим Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Это тождество, следовательно, точка Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения лежит на прямой. Подставляя координаты точки Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, получаем Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда видно, что точка Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения не лежит на прямой.

Пример:

Построить прямую, уравнение которой

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Чтобы построить прямую, надо знать, например, две ее точки. Поэтому дадим Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения произвольное значение, например Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, и найдем из уравнения Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения значение Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Значит, точка Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения лежит на прямой. Это первая точка. Теперь дадим Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения какое-нибудь другое значение, например Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, и вычислим у из уравнения Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. ПолучимЛинейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Точка Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения лежит на прямой. Это вторая точка. Строим точки Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 15) и проводим через них прямую, это и есть искомая прямая.

Основное свойство линейной функции

Рассмотрим линейную функцию Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Найдем значение этой функции при Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения:

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Здесь первое и второе значения Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения различны, они отличаются друг от друга на величину Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения Величину разности Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, на которую изменяется Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения при переходе от Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения к Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, назовем приращением независимого переменного Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Эту величину часто будем обозначать через Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, так что Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Найдем, насколько изменилось значение Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения при изменении Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, на Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Для этого вычтем из Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения значение Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения:

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом,

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

т. е. приращение линейной функции пропорционально приращению независимого переменного.

Это и есть основное свойство линейной функции.

Заметим, что Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, может быть больше, а может быть и меньше, чем Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения может быть как положительным, так и отрицательным числом, иначе говоря, приращение Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения независимого переменного может быть любого знака. То же самое относится и к приращению функции, т. е. к величинеЛинейная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Найдем приращение функции Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, если приращение независимого переменного Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

По основному свойству Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Приращение этой же функции Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, если Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, будет равно Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. В этом случае приращения независимого переменного и функции отрицательны, т. е. в этом случае и независимое переменное и функция не увеличиваются, а уменьшаются.

Пример:

Найдем приращение функции Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения при изменении Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения на Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Решение:

Будем иметь

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Задачи на прямую

Пример:

Найти угол Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения между двумя прямыми, заданными уравнениями

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

При пересечении прямых образуются четыре попарно равных угла. Найдя один из них, легко найти и другие. На рис. 16 прямые обозначены соответственно (1) и (2).

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Угол Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения является внешним по отношению к треугольнику Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, поэтому он равен сумме двух внутренних углов треугольника, с ним не смежных, т. е. Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения откуда Линейная функция - определение и вычисление с примерами решенияЛинейная функция - определение и вычисление с примерами решения Но углы Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, непосредственно неизвестны, а известны их тангенсыЛинейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому напишем

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

или

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Найти угол между прямыми, заданными уравнениями Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Здесь Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения;

Решение:

Применяя формулу (1), получим:

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Если же будем считать, что Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения то

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Получены два ответа: сначала найден острый угол между заданными прямыми, а затем — тупой.

Если заданы две параллельные прямые, то углы Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, равны, как соответственные, следовательно, тангенсы их тоже равны

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, мы приходим к выводу: если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.

Если прямые перпендикулярны, то угол между ними равен 90°, т. е. Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Но тангенс прямого угла не существует, поэтому формула (1) не должна давать ответа, а это может быть только в том случае, когда знаменатель равен нулю (на нуль делить нельзя):

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Это и есть условие перпендикулярности двух прямых. Это условие удобно запомнить в следующей формулировке: если две прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Пример:

Найдем угол между прямыми, заданными уравнениями Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения Здесь угловые коэффициенты (первый равен 3, а второй Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения) обратны по величине и противоположны по знаку.

Решение:

Следовательно, рассматриваемые прямые перпендикулярны.

Пример:

Даны две точки: Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, (т. е. эти точки не лежат на одной прямой, параллельной оси Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения). Написать уравнение прямой, проходящей через точки Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Искомая прямая не параллельна оси Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, поэтому ее уравнение можно написать в виде Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Значит, для решения задачи надо определить числа Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Так как прямая проходит через точки Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, то координаты этих точек должны удовлетворять уравнению Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, т. е.

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

В уравнениях Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения все числа, кроме Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, известны, поэтому эти уравнения можно рассматривать как систему уравнений относительно Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решая систему, находим:

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Подставляя найденные выражения в уравнение Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, получим

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки, не расположенные на прямой, параллельной оси Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Полученному уравнению можно придать форму, удобную для запоминания, а именно:

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

или

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через данную точку Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и образующей с осью Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения угол Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Прежде всего найдем угловой коэффициент искомой прямой: он равен тангенсу угла Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Обозначим Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Значит, уравнение прямой можно написать в виде Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, где пока число Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения неизвестно.

Так как прямая должна проходить через точку Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, то координаты точки Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяют этому уравнению, т. е.

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Находим отсюда неизвестное Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, получим Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Подставляя найденное в уравнение Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, будем иметь

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Это и есть уравнение прямой, проходящей через точку Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения в заданном направлении.

Если в уравнении (4) менять направление, не меняя точку Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, то получим уравнение всех прямых, проходящих через заданную точку. Уравнение Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, в котором Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения переменное, а Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения не меняются, называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Напишем уравнение прямой, проходящей через точку Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и образующей с осью Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения угол 45°.

Решение:

Так как Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, то угловой коэффициент равен 1; Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Уравнение прямой запишется в виде

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

или

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Общее уравнение прямой. Неявная линейная функция

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решим его относительно Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения:

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

т. е. мы получили линейную функцию, где Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Уравнения (1) и (2) равносильны, поэтому пара чисел Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, удовлетворяющих уравнению (2), будет удовлетворять и уравнению (1). Так как уравнению (2) соответствует некоторая прямая, то эта же прямая будет соответствовать и уравнению (1).

Координаты любой точки, лежащей на этой прямой, удовлетворяют уравнению (1), поэтому будем называть его также уравнением прямой. Рассмотрим особо случай, когда Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, так как на нуль делить нельзя. Уравнение (1) примет вид Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения или Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, откуда Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому, каков бы ни был Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения всегда равен Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Это имеет место для прямой, параллельной оси Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения; в самом деле, на ней можно найти точку с любой ординатой, но все точки этой прямой имеют одну и ту же абсциссу. Таким образом, любому уравнению первой степени соответствует некоторая прямая. Придавая в уравнении (1) коэффициентам А, В и С различные значения, можно получить любое уравнение первой степени. Поэтому уравнение (1) называют общим уравнением прямой.

Из уравнения (1) (если Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения) можно определить Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, т. е. получить линейную функцию; поэтому говорят, что уравнение (1) определяет неявно линейную функцию или что уравнение (1) есть неявная линейная функция.

Система двух уравнений первой степени

Напомним, что две прямые, расположенные на плоскости, могут или пересекаться, или быть параллельными (т. е. не пересекаться), или сливаться (в этом случае можно сказать, что они пересекаются в каждой своей точке). Рассмотрим систему двух уравнений

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Каждое из этих уравнений является уравнением прямой. Решить систему — это значит найти значения Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, которые удовлетворяют и первому и второму уравнениям. Но так как Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения определяют точку, то следовательно, решить систему—это значит найти точку, лежащую и на первой и на второй прямых, т. е. найти точку пересечения прямых.

Пример:

Найдем точку пересечения двух прямых:

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Решая эту систему, получим: Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения т. е. прямые пересекаются в точке (1, 2) (рис. 17).

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найдем точку пересечения двух прямых:

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Решая эту систему, получим: Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения Последнее равенство нелепо, значит, прямые не пересекаются, т. е. они параллельны.

Пример:

Найдем точку пересечения данных прямых

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Решая эту систему, получим:

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Полученное равенство всегда справедливо, т. е. справедливо при любом значении Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Это значит, что две прямые пересекаются в каждой своей точке, что может быть только тогда, когда они сливаются.

Заметим, что два уравнения, рассматриваемые в этом примере, являются равносильными, поэтому они и представляют одну и ту же прямую.

Примеры применения линейной функции

Линейная функция встречается в формулировках многих физических законов и технических задач. Приведем примеры.

Пример:

Если точка движется равномерно по прямой, то ее расстояние от выбранной точки (от начала координат) выражается при помощи уравнения Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения — начальное расстояние,Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения —скорость,Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения — время; это, как мы уже знаем, есть линейная функция.

Пример:

Закон Ома записывается в виде Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения — напряжение, Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения — сопротивление и Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения—ток. Если Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения не изменяется, то Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения является линейной функцией тока Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Если стоимость провоза единицы товара по железной дороге равна Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения руб. за километр, то стоимость Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения провоза Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения единиц товара на Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения км равна Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Если же стоимость товара на месте равна Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения руб., то после перевозки за него надо заплатить

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Здесь Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения — линейная функция Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Линейная функция встречается в различных областях, но, где бы она ни встречалась, ее всегда можно рассматривать как уравнение прямой. Этим обстоятельством часто пользуются при решении задач.

Пример:

Два города А и В, расстояние между которыми равно 300 км, находятся на одной железнодорожной магистрали. На этой же магистрали между городами А к В надо выбрать пункт С, в котором предполагается устроить склад нефти для снабжения указанных городов. Надо выбрать пункт С так, чтобы общая стоимость перевозок нефти для снабжения города А и города В была наименьшей. Известно, что город А потребляет 400 т нефти, а город В —200 т. Перевозка одной тонны нефти на один километр обходится в Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения руб.

Решение:

Обозначим расстояние от А до предполагаемого пункта С через Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Тогда расстояние от города В до С равно 300 — Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. Стоимость перевозки одной тонны нефти из С в А равна Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения руб., а перевозки 400 т—400Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения руб. Аналогично перевозка нефти из С в В будет стоить Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения руб. Стоимость всех перевозок, которую обозначим через Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, будет выражаться так:

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

или

Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения

Это линейная функция. Если примем Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения за абсциссу, а Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения за ординату точки, то полученная линейная функция опредеяет уравнение некоторой прямой. Угловой коэффициент ее равен Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения, т. е. положителен, следовательно, эта прямая образует с осью Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения острый угол и поэтому с увеличением независимого переменного поднимается вверх. По смыслу задачи величина Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения заключена между 0 и 300, т. е. Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения. При Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения величина у принимает значение 60000а, а при Линейная функция - определение и вычисление с примерами решения— значение 120000а. Ясно, что 60 000а есть наименьшее из возможных значений, 120 000а— наибольшее.

Так как пункт С надо выбрать так, чтобы стоимость была наименьшей, то его следует расположить в городе А; если же этого сделать нельзя по каким-либо соображениям, то, чем ближе расположить его к А, тем выгодней.

  • Квадратичная функция
  • Тригонометрические функции
  • Производные тригонометрических функции
  • Производная сложной функции
  • Функции нескольких переменных
  • Комплексные числ
  • Координаты на прямой
  • Координаты на плоскости

В новой 9 задаче профильного ЕГЭ много заданий на линейные функции. Самое сложное, что нужно сделать, решая эти задачи – определить формулу линейной функции, т.е. найти (k) и (b) по графику. Примеры таких заданий (решения будут внизу статьи):

пример нового 9 задание ЕГЭ

Новое задание ЕГЭ с линейной функцией

В статье я расскажу про два простых способа найти (k) и (b), если известен график линейной функции.

Способ 1

Первый способ основывается на трех фактах:

  1. Линейная функция пересекает ось (y) в точке (b).
    Примеры:

    Как определить b по линейной функции

    Но не советую определять так (b), если прямая пересекает ось не в целом значении или если точка пересечения вообще не видна на графике. Для таких случаев пользуйтесь вторым способом.

    Примеры:

    В каких случаях b не надо определять

  2. Если функция возрастает, то знак коэффициента (k) плюс, если убывает – минус, а если постоянна, то (k=0).

    Примеры:

    Как определить знак k у линейной функции

  3. Чтоб конкретнее определить (k) надо построить на прямой прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Далее, чтоб определить (k) нужно вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную и поставить знак согласно возрастанию/убыванию функции.

    Примеры:

    Как найти k у линейной функции

Пример (ЕГЭ)

пример 9 задания ЕГЭ

Давайте пока что не будем искать формулу иррациональной функции, сосредоточимся только на линейной функции.

решение 9 задания ЕГЭ

(b=3) – это сразу видно. Функция идет вниз, значит (k<0).

Достроим прямую до прямоугольного треугольника. Вершинами будут жирные точки, которые нам дали в задаче.

решение 9 задания ЕГЭ

(k=-frac{AC}{BC}=-frac{1}{3}). Получается (g(x)=-frac{1}{3}x+3).

Способ 1 быстрее способа 2, но не во всех ситуациях помогает. Поэтому важно владеть и вторым способом тоже.

Способ 2

Вы обращали внимание, что в задачах ЕГЭ на прямых всегда жирно выделяют 2 точки? Так вот, чтобы найти формулу линейной функции, достаточно подставить координаты этих точек в формулу (f(x)=kx+b) и решить получившуюся систему уравнений.

Пример (ЕГЭ)

Новое задание ЕГЭ с линейной функцией

Обозначим жирные точки какими-нибудь буквами и найдем их координаты.

решение 9 задания ЕГЭ

(A(-2;2)) и (B(2;-5)) подставим эти значения вместо (x) и (f(x)) в формулу (f(x)=kx+b):

Получим:

(begin{cases}2=-2k+b\-5=2k+bend{cases})

Теперь найдем (k) и (b), решив эту систему.

Для этого сложим уравнения друг с другом, чтобы исчезло (k):

(2+(-5)=-2k+b+2k+b)
(-3=2b)
(b=-1,5)

Теперь подставим найденное (b) во второе уравнение системы и найдем (k):

(-5=2k-1,5)
(-5+1,5=2k)
(-3,5=2k)
(k=-1,75)

Получается (f(x)=-1,75x-1,5). Остается последний шаг – вычислим при каком иксе функция, то есть (f(x)), равна (16):

(16=-1,75x-1,5)
(17,5=-1,75x)
(x=-10).

Ответ: (-10).

Пример (ЕГЭ)

пример нового 9 задание ЕГЭ

Чтоб решить задачу, нам понадобятся формулы каждой из двух функций. Давайте формулу нижней функции найдем с помощью способа 1, а формулу верхней с помощью способа 2. Начнем с нижней функции.

решение 9 задания ЕГЭ

Функция (f(x)) возрастает, значит (k>0). (k=+frac{AC}{BC}=frac{4}{4}=1,b=1). (f(x)=x+1).

Теперь перейдем к функции (g(x)). Найдем координаты точек (D) и (E): (D(-2;4)), (E(-4;1)). Можно составить систему:

(begin{cases}4=-2k+b\1=-4k+bend{cases})

Вычтем второе уравнение из первого, чтоб убрать (b):

(4-1=-2k+b-(-4k+b))
(3=2k)
(k=1,5)

Найдем (b):

(4=-2cdot 1,5+b)
(4=-3+b)
(b=7)

(g(x)=1,5x+7). Обе функции найдены, теперь можно найти абсциссу (икс) точки пересечения. Приравняем (f(x)) и (g(x)).

(x+1=1,5x+7)
(x-1,5x=7-1)
(-0,5x=6)
(x=6:(-0,5))
(x=-12).

Ответ: (-12).

Шпаргалка как найти k и b

Картинку в хорошем качестве, можно скачать нажав на кнопку “скачать статью”.

Смотрите также:
Как определить a, b и c по графику параболы

Скачать статью

График линейной функции, его свойства и формулы

О чем эта статья:

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:

Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Словесный способ.

Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х – 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;

если х = 2, то у = -1;

если х = 4, то у = 0 и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.

Функция Коэффициент k Коэффициент b
y = 2x + 8 k = 2 b = 8
y = −x + 3 k = −1 b = 3
y = 1/8x − 1 k = 1/8 b = −1
y = 0,2x k = 0,2 b = 0

Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;

b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;

b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;

b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.

Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.

График функции пересекает оси координат:

ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);

ось ординат OY — в точке (0; b).

x = −b/k — является нулем функции.

Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.

Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.

Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).

При k 0, то этот угол острый, если k

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;

если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;

если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png” style=”height: 600px;”>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png” style=”height: 600px;”>

Если k > 0 и b

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k1x + b1 параллелен графику функции y = k2x + b2, если k1 = k2.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k1x + b1 перпендикулярен графику функции y = k2x + b2, если k1k2 = −1 или k1 = −1/k2.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x – 10

Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Ответ: уравнение прямой y = 3x – 2.

Алгоритм определения формулы линейной функции по графику

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выполнила учительница математики МБОУ Башкирский лицей № 1 муниципального района Учалинский район Республики Башкортостан Хидиятова Залифа Даутовна

Алгоритм определения формулы линейной функции по графику”

На рисунке представлен график функции у = kx +b.
Записать формулу линейной функции, соответствующей данному графику.



1) Так как ордината точки пересечения графика функции с осью Оy равна 1, следовательно, b=1.
Значит, у = kx+ 1

2) Выбираем на графике произвольную точку, например, А (2;2) и определяем её координаты: если x = 2, то у = 2. Подставим в нашу формулу вместо Х и У и получим уравнение относительно k.
2 = 2k+1
2k=1
k = 0.5 Записываем формулу линейной функции: у = 0,5х + 1.

Написать ФОРМУЛУ линейной функции У= КХ+В, график которой изображен на рисунке :

Это ВПР задание 8) это ответ:

ВНИМАНИЕ : задание на сегодня 16 апреля

Внимание : вот эти следующие задания пока НЕ РЕШАТЬ.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 156 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

16. Линейная функция и её график

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

  • 16.09.2020
  • 201
  • 11
  • 31.03.2020
  • 1171
  • 30
  • 16.03.2020
  • 227
  • 1
  • 16.03.2020
  • 191
  • 1
  • 08.03.2020
  • 282
  • 6
  • 20.02.2020
  • 1254
  • 72
  • 21.01.2020
  • 180
  • 0
  • 09.12.2019
  • 424
  • 13

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 30.09.2020 16236
  • DOCX 549.2 кбайт
  • 155 скачиваний
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Хидиятова Залифа Даутовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

  • На сайте: 5 лет и 3 месяца
  • Подписчики: 0
  • Всего просмотров: 38997
  • Всего материалов: 37

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Линейная функция, ее свойства и график

теория по математике 📈 функции

Функция, заданная формулой y=kx+b, где х – переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной функцией. Переменную х называют независимой переменной, переменную у – зависимой переменной.

Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять два значения х, чтобы получить два значения у и, соответственно, две точки, через которые проходит единственная прямая.

Число k называется угловым коэффициентом прямой.

Свойства линейной функции

  1. Область определения функции – множество всех действительных чисел. То есть в данную формулу мы можем подставлять любое значение х.
  2. Областью значений также является множество всех действительных чисел.
  3. Функция не имеет ни наибольших, ни наименьших значений.
  4. При k – положительном, угол наклона к оси х острый, другими словами – график функции возрастает.
  5. При k отрицательном угол наклона к оси х тупой, то есть график функции – убывает.
  6. При k=0 прямая параллельна оси х.
  7. Частный случай линейной функции: y=kx, где число b=0, эту функцию называют прямой пропорциональностью, график такой функции проходит через начало координат.

Рассмотрим на примерах расположение прямых в координатной плоскости в зависимости от значения чисел k и b.

Пример №1

Построить график функции у=2х – 1. Для того, чтобы удобнее было выполнять вычисления, построение и т.д. сделаем таблицу для значений х и у:

Для построения графика подбираем два значения х, одно из них желательно брать равное нулю, второе, например 3 (подбираем небольшие числа).

Теперь подставляем значения х в формулу и вычисляем соответствующие значения у:

у=2х – 1=2 × 0 – 1= –1;

у=2х – 1=2 × 3 – 1= 5.

Вписываем в таблицу значения у:

Теперь строим систему координат, отмечаем в ней точки с координатами А(0; –1) и В(3;5),

Проводимость – способность живой ткани проводить возбуждение.

Итак, по формуле мы видим, что угловой коэффициент – положительный, значит, график – возрастает, что мы и видим на нашем графике.

Пример №2.

Построить график функции у= –3х+4. Итак, делаем таблицу на два значения, например, возьмем 0 и 2.

По формуле видим, что угловой коэффициент отрицательный, значит, прямая будет убывать. Строим убывающую прямую в системе координат через две точки А(0;4) и В(2; –2).

Пример №3

Построить график функции у=4. Видим, что в данном случае число х=0, значит, прямая будет проходить через точку с координатой (0;4) параллельно оси х. На графике это выглядит следующим образом:

Построить график функции у=3х. Данная функция является частным случаем, когда прямая проходит через начало координат. Поэтому в данном случае можно взять устно одно значение х, например 2, тогда у получим равный 6. Таким образом, имеем две точки (2;6) и (0;0). Строим их в системе координат и проводим через них прямую, которая будет возрастать, так как угловой коэффициент равен 3, т.е. положительный.

На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

ассмотрим коэффициенты под №3. Если k 90 0 ) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b 0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положительно направлению оси Оx под острым углом ( 0 ). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.

В 1-й паре коэффициентов b 0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:

График данной функции зависит от k и b.

  • если k 0, то функция возрастает, то есть линия идет снизу вверх, как на первых двух рисунках
  • коэффициент b определяет сдвиг по оси y, если b 0, то выше ноля в точке y = b
  • если k >1, то прямая идет круче, чем обычная y = x (как на втором и третьем графике), если k

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

[spoiler title=”источники:”]

http://infourok.ru/algoritm-opredeleniya-formuly-linejnoj-funkcii-po-grafiku-4463697.html

[/spoiler]

В этой статье мы рассмотрим линейную функцию, график линейной функции и его свойства. И, как обычно, решим несколько задач на эту тему.

Линейной функцией называется функция вида y=kx+b

В уравнении функции число k, которое мы умножаем на x называется коэффициентом наклона.

Например, в уравнении функции y=-2x+3 k=-2; ~~b=3;

в уравнении функции y=-2+3x   k=3; ~~b=-2;

в уравнении функции y=-x   k=-1; ~~b=0;

в уравнении функции y=5   k=0; ~~b=5.

Графиком линейной функции является прямая линия.

1. Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y={1/3}x+2  , удобно взять x=0  и x=3  , тогда ординаты эти точек будут равны y=2   и y=3  .

Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график  функции y={1/3}x+2  :

2. В уравнении функции y=kx+b коэффициент k   отвечает за наклон графика функции:

Коэффициент b отвечает за сдвиг графика вдоль оси OY:

На рисунке ниже изображены графики функций y=2x+3; y={1/2}x+3y=x+3

Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

Во всех функциях b=3 – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

Теперь рассмотрим графики функций y=-2x+3; y=-{1/2}x+3y=-x+3

На этот раз  во всех  функциях коэффициент k меньше нуля, и все графики функций наклонены влево.

Заметим, что чем больше |k|, тем круче идет прямая. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

Рассмотрим графики функций  y=2x+3y=2x; y=2x-2

Теперь  во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. И мы получили три параллельные прямые.

Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY  в различных точках:

График функции y=2x+3 (b=3) пересекает ось OY  в точке (0;3)

График функции y=2x (b=0) пересекает ось OY  в точке (0;0) –  начале координат.

График функции y=2x-2 (b=-2) пересекает ось OY  в точке (0;-2)

Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.

Если  k<0 и b>0то график функции y=kx+b имеет вид:

Если  k>0 и b>0то график функции y=kx+b имеет вид:

Если  k>0 и b<0то график функции y=kx+b имеет вид:

Если  k<0 и b<0то график функции y=kx+b имеет вид:

Если  k=0то  функция y=kx+b превращается в функцию   y=b и ее график имеет вид:

Ординаты всех точек графика функции y=b равны b

Если b=0, то график функции y=kx проходит через начало координат:

 Это график прямой пропорциональности.

3. Отдельно отмечу график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a.

Например, график уравнения x=3  выглядит так:

Внимание! Уравнение x=a не является функцией, так  как различным значениям функции соответствует одно и то же значение аргумента, что не соответствует определению функции.

4. Условие параллельности двух прямых:

График функции y=k_1{x}+b_1 параллелен графику функции y=k_2{x}+b_2, если k_1=k_2

5. Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y=k_1{x}+b_1 перпендикулярен графику функции y=k_2{x}+b_2, если k_1*k_2=-1 или k_1=-1/{k_2}

6. Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат.

С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (-b/k;0):

Рассмотрим решение задач.

1. Постройте график функции y=kx+b, если известно, что он проходит через точку А(-3;2) и параллелен прямой y=-4x.

В уравнении функции  y=kx+b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи должны быть два условия, характеризующих график функции.

а) Из того, что график функции y=kx+b параллелен прямой y=-4x, следует, что k=-4. То есть уравнение функции имеет вид y=-4x+b

б) Нам осталось найти b. Известно, что график функции y=-4x+b проходит через точку А(-3;2). Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в уравнение функции, мы получим верное равенство:

2=-4*(-3)+b  отсюда b=-10

Таким образом, нам надо построить график функции y=-4x-10

Точка А(-3;2) нам известна, возьмем точку B(0;-10)

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим их прямой:

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(1;1); B(2;4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, следовательно, координаты точек удовлетворяют уравнению прямой  y=kx+b. То есть если мы координаты точек подставим в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение  y=kx+b и получим систему линейных уравнений.

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1=k+b} {4=2k+b} }}{ }

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k=3. Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b=-2.

Итак, уравнение прямой y=3x-2.

3. Постройте график уравнения (2y-x+1)(y^2-1)=0

Чтобы найти,  при каких значениях неизвестного произведение нескольких множителей равно нулю, нужно каждый множитель приравнять к нулю и учесть ОДЗ каждого множителя. 

Это уравнение не имеет ограничений на ОДЗ. Разложим на множители вторую скобку и приравняем каждый множитель к нулю. Получим совокупность уравнений:

delim{[}{matrix{3}{1}{{2y-x+1=0} {y-1=0} {y+1=0}}}{ }

delim{[}{matrix{3}{1}{{y={x/2}-1/2} {y=1} {y=-1}}}{ }

Построим графики всех  уравнений совокупности в одной коорднатной плоскости. Это и есть график уравнения  (2y-x+1)(y^2-1)=0:

4. Постройте график функции y=kx+b, если он перпендикулярен прямой y=-{1/2}x   и проходит через точку М(-1;2)

Мы не будем строить график, только найдем уравнение прямой.

а) Так как график функции y=kx+b, если он перпендикулярен прямой y=-{1/2}x  , следовательно k*{-1/2}=-1, отсюда k=2. То есть уравнение функции имеет вид y=2x+b

б) Мы знаем, что  график функции y=2x+b проходит через точку М(-1;2). Подставим ее координаты в уравнение функции. Получим:

2=2*{-1}+b, отсюда b=4.

Следовательно, наша функция имеет вид: y=2x+4.

5. Постройте график функции y=(x^2-1)(1/{x-1}-1/{x+1})+x

Упростим выражение, стоящее в правой части уравнения функции.

Важно! Прежде чем упрощать выражение, найдем его ОДЗ.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому x<>1, x<>-1.

(x^2-1)(1/{x-1}-1/{x+1})+x = (x-1)(x+1)({x+1-(x-1)}/({{x-1})({x+1})})+x= (x-1)(x+1)2/{(x-1)(x+1)}+x=x+2

Тогда наша функция принимает вид:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{y=x+2} {x<>1} {x<>-1}}}{ }

То есть нам надо построить график функции y=x+2 и выколоть на нем две точки: с абсциссами x=1 и x=-1:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Добавить комментарий