Загрузить PDF
Загрузить PDF
Линейная интерполяция (или просто интерполяция)[1]
— процесс нахождения промежуточных значений величины по ее известным значениям. Многие люди могут провести интерполяцию, полагаясь исключительно на интуицию, но в этой статье описан формализованный математический подход к проведению интерполяции.
Шаги
-
1
Определите величину, для которой вы хотите найти соответствующее значение. Интерполяция может быть проведена для вычисления логарифмов или тригонометрических функций или для вычисления соответствующего объема или давления газа при данной температуре.[2]
Научные калькуляторы в значительной степени заменили логарифмические и тригонометрические таблицы; поэтому в качестве примера проведения интерполяции мы вычислим давление газа при температуре, значение которой не указано в справочных таблицах (или на графиках).- В уравнении, которое мы выведем, «x» будет обозначать известную величину, а «у» — неизвестную величину (интерполированное значение). При построении графика эти значения откладываются соответственно их обозначениям — величина «x» — по оси X, величина «у» — по оси Y.
- В нашем примере под «x» будет подразумеваться температура газа, равная 37 °С.
-
2
В таблице или на графике найдите ближайшие значения, расположенные ниже и выше значения «x». В нашей справочной таблице не приведено давление газа при 37 °С, но приведены значения давления при 30 °С и при 40 °С. Давление газа при температуре 30 °С = 3 кПа, а давление газа при 40 °С = 5 кПа.
- Так как мы обозначили температуру в 37 °С как «x», то теперь обозначим температуру в 30 °С как x1, а температуру в 40 °С как x2.
- Так как мы обозначили неизвестное (интерполированное) давление газа как «у», то теперь обозначим давление в 3 кПа (при 30 °С) как у1, а давление в 5 кПа (при 40 °С) как у2.
- Так как мы обозначили температуру в 37 °С как «x», то теперь обозначим температуру в 30 °С как x1, а температуру в 40 °С как x2.
-
3
Найдем интерполированное значение. Уравнение для нахождения интерполированного значения можно записать в виде y = y1 + ((x – x1)/(x2 – x1) * (y2 – y1))[3]
- Подставим значения x, x1, x2 и получим: (37 – 30)/(40 – 30) = 7/10 = 0,7.
- Подставим значения у1, у2 и получим: (5 – 3) = 2.
- Умножив 0,7 на 2, получим 1,4. Сложим 1,4 и у1: 1,4 + 3 = 4,4 кПа. Проверим ответ: найденное значение 4,4 кПа лежит между 3 кПа (при 30 °С) и 5 кПа (при 40 °С), а так как 37 °С ближе к 40 °С, чем к 30 °С, то и окончательный результат (4,4 кПа) должен быть ближе к 5 кПа, чем к 3 кПа.
Реклама
- Подставим значения x, x1, x2 и получим: (37 – 30)/(40 – 30) = 7/10 = 0,7.
Советы
- Если вы умеете работать с графиками, вы можете сделать грубую интерполяцию, отложив известное значение по оси X и найдя соответствующее значение на оси Y.[4]
В приведенном выше примере можно построить график, на котором по оси X откладывается температура (в десятках градусов), а по оси Y — давление (в единицах кПа). На этом графике вы можете нанести точку 37 градусов, а затем найти точку на оси Y, соответствующую этой точке (она будет лежать между точками 4 и 5 кПа). Приведенное выше уравнение просто формализует процесс мышления и обеспечивает получение точного значения. - В отличие от интерполяции, экстраполяция позволяет вычислить приблизительные значения величины вне диапазона значений, приведенных в таблицах или отображенных на графиках.[5]
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 97 543 раза.
Была ли эта статья полезной?
Как найти число методом интерполяции???
Ученик
(240),
закрыт
8 лет назад
Дополнен 12 лет назад
допустим дано
7 – 2400
8,87 – ?
10 – 2600
как найти ???
Дополнен 12 лет назад
Желательно какая нибудь формула, по которой можно будет найти подобные выражения
Дополнен 12 лет назад
Ответ я знаю, мне нужна формула как вы его получили. Благодарю за ранее
Велон
Просветленный
(36272)
12 лет назад
число 2524,67 – ответ
как делается – на разницу 10-7 = 3 приходится 2600-2400 = 200
на одну единицу – 200/3 = 66,67
8.87 – 7 =1,87 Х 66,67 = 124,67
2400 +124,67 = 2524,67
Jurijus Zaksas
Искусственный Интеллект
(392384)
12 лет назад
Зависит от того, что за интерполяция.
В общем случае на основе неких известных точек строится некая стандартная непрерывная функция и из этой функции вычисляется нужная промежуточная точка.
Если известны только 2 точки, используется линейная интерполяция.
Уравнение прямой y=kx+b
Коеэфф. k=dy/dx
b вычисляется подстановкой в уравнение k и любой из известных точек.
Когда коэфф. посчитаны и уравнение известно, остается только подставить в него известную координату искомой точки.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 9 июля 2022 года; проверки требует 1 правка.
У этого термина существуют и другие значения, см. Интерполяция.
- О функции, см.: Интерполянт.
Интерполя́ция, интерполи́рование (от лат. inter–polis — «разглаженный, подновлённый, обновлённый; преобразованный») — в вычислительной математике нахождение неизвестных промежуточных значений некоторой функции, по имеющемуся дискретному набору её известных значений, определенным способом. Термин «интерполяция» впервые употребил Джон Валлис в своём трактате «Арифметика бесконечных» (1656).
В функциональном анализе интерполяция линейных операторов представляет собой раздел, рассматривающий банаховы пространства как элементы некоторой категории[1].
Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.
Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.
Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса — Торина и теорема Марцинкевича[en], являющиеся основой для множества других работ.
Определения[править | править код]
Рассмотрим систему несовпадающих точек 
(
) из некоторой области 
. Пусть значения функции 
известны только в этих точках:
Задача интерполяции состоит в поиске такой функции 
из заданного класса функций, что
</math>A(x)
Пример[править | править код]
1. Пусть мы имеем табличную функцию, наподобие описанной ниже, которая для нескольких значений 
определяет соответствующие значения :
|
|
|
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 0,8415 |
| 2 | 0,9093 |
| 3 | 0,1411 |
| 4 | −0,7568 |
| 5 | −0,9589 |
| 6 | −0,2794 |
Интерполяция помогает нам узнать, какое значение может иметь такая функция в точке, отличной от указанных точек (например, при x = 2,5).
К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.
2. Найти промежуточное значение (способом линейной интерполяции).
| 6000 | 15.5 |
| 6378 | ? |
| 8000 | 19.2 |
Способы интерполяции[править | править код]
Интерполяция методом ближайшего соседа[править | править код]
Простейшим способом интерполяции является интерполяция методом ближайшего соседа.
Интерполяция многочленами[править | править код]
На практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами. Это связано прежде всего с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций (теорема Вейерштрасса).
- Линейная интерполяция
- Интерполяционная формула Ньютона
- Метод конечных разностей
- ИМН-1 и ИМН-2
- Многочлен Лагранжа (интерполяционный многочлен)
- Схема Эйткена
- Сплайн-функция
- Кубический сплайн
Обратное интерполирование (вычисление x при заданной y)[править | править код]
- Полином Лагранжа
- Обратное интерполирование по формуле Ньютона
- Обратное интерполирование по формуле Гаусса
Интерполяция функции нескольких переменных[править | править код]
- Билинейная интерполяция
- Бикубическая интерполяция
Другие способы интерполяции[править | править код]
- Рациональная интерполяция
- Тригонометрическая интерполяция
Смежные концепции[править | править код]
- Экстраполяция — методы нахождения точек за пределами заданного интервала (продление кривой)
- Ретрополяция — методы нахождения по известным значениям переменной её неизвестных значений в начале динамического ряда.
- Аппроксимация — методы построения приближённых кривых
См. также[править | править код]
- Интерполяционные формулы
- Регрессия (математика)
- Метод наименьших квадратов
- Сглаживание данных эксперимента
Примечания[править | править код]
- ↑ Берг, 1980, с. 6—7.
Литература[править | править код]
- Й. Берг, Й. Лёфстрём. Интерполяционные пространства. Введение. — М.: Мир, 1980. — 264 с.
- Ибрагимов И. И. Методы интерполяций функций и некоторые их применения. — М.: Высшая школа, 1971. — 520 c.
- Уолш Дж. Л.[en] Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. — М.: Иностранная литература, 1961. — 508 c.
- Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. — М.: Мир, 1980. — 664 c.
In the course of statistical analysis and interpretation, sometimes it is found that a given series happen to be incomplete rather than complete, i.e., some values in the series remain unknown. But to derive correct results, it becomes essential to find the missing or unknown values in the series. The statistical technique which is used to estimate the unknown values on the basis of available data is called interpolation.
What Is Interpolation?
Interpolation is an important statistical tool. It is the process of calculating a value between two points on the curve of a function from the given points which also lie on the same curve. In other words, interpolation involves the calculation of new values from the already available set of values. Using interpolation, the diverse data can be converted into a concise function, such that each point in the data passes through the curve of such function. It is generally used in the field of geography to predict data points such as noise level, rainfall, elevation, and so on.
Interpolation Formula
There are various formulae used to find the Interpolation and some of them are,
- Linear Interpolation Formula
- Lagrange Interpolation Formula
- Leading Difference Formula
- Quadratic Interpolation Formula
Linear Interpolation Formula
This method is used where the given data set does not consist of more than two ordered pairs. The value of the function at a certain value of the abscissa is obtained using the given ordered pairs.
Lagrange Interpolation Formula
This method is employed where the given data set consists of more than two ordered pairs and can be used to derive a polynomial, which further assumes certain arbitrary values on certain points.
Leading Difference Formula
This method is used when the data set itself is kind of incomplete, i.e., where the frequency of one or more data sets is missing. In this case, the leading difference up to the number of known items is always zero and is given as:
△n0 = (y − 1)n = yn − ayn-1 + byn-2 − cyn-3 +….+ y0 = 0
Quadratic Interpolation Formula
It is a refined form of linear interpolation method and is given as:
Uses of Interpolation
Various uses of Interpolation are given below,
Deriving a Function From a Data Set
The diverse and scattered data points can be turned into a compact function using interpolation so that each point in the data travels through the curve of such a function. This makes it so much easier to understand the whole data in just one glance. Data can be converted into the following form:
p(x) = a0 + a1ex + a2e2x +…..+ anenx
Obtaining Piecewise Polynomials
With the help of interpolation, one can also approximate functions into polynomials, i.e., simpler forms, which would make it easier to integrate and differentiate such functions to facilitate the calculations pertaining to areas under curves. Many a time, the problems involving integration are very difficult to be solved analytically. In such cases, interpolation is used to alter the integrands and polynomials to make calculations easier.
Difference Between Interpolation and Extrapolation
The difference between Interpolation and Extrapolation are discussed in the table given below,
|
Interpolation |
Extrapolation |
|---|---|
| It is the process of calculating a value between two points on the curve of a function from the given points which also lie on the same curve. | It is the way of predicting the magnitude of the reliant factor for an individual entity that is beyond the scope of the dataset. |
| As the name suggests, “inter”-polation works within the scope of the given data. | Extrapolation works outside the scope of the given data. |
Read, More
- Differential Equations
- Exact Differential Equations
- Partial Differential Equations
Solved Examples Interpolation Formula
Example 1: Interpolate the value of y at x = 3, if two of the ordered pairs are (−5, 5), (5, 7).
Solution:
Given
x = 3, x0 = −5, x1 = 5, y0 = 5, y1 = 7
Since, f(x) = f(x_0) + (x − x_0) dfrac{f(x_0) − f(x_1)}{x_0 − x_1}
y = f(−5) + (3 − (−5)) dfrac{f(−5) − f(5)}{−5 − 5}
= 5 + 8(1.2)
y = 14.6
Example 2: Interpolate the missing value in the following table:
| X | Y |
|---|---|
| 1990 | 100 |
| 1991 | 107 |
| 1992 | ? |
| 1993 | 157 |
| 1994 | 212 |
Solution:
Since the known values of Y are 4, the fourth leading difference will be zero. Thus,
△40 = (y − 1)4 = y4 − 4y3 + 6y2 − 4y1 + y0 = 0
Substituting the values of y’s we have,
212 − 4(157) + 6y2 − 4y1 + y0 = 0
6y2 = 628 − 212 + 428 − 100
y2 = 124
Examples 3: The table below depicts insurance premiums payable to different age groups. Find the premium payable at 17.
| Age | Premium Payable |
|---|---|
| 15 | 11.1 |
| 25 | 12.6 |
| 35 | 14.3 |
| 45 | 16.1 |
| 55 | 18.3 |
Solution:
Age Premium(Y) △1 △2 △3 △4 15 = x0 11.1 = y0 +1.5 = △10 25 = x1 12.6 = y1 +0.2 = △20 +1.7 = △11 −0.1 = △30 35 = x2 14.3 = y2 +0.1 = △21 +0.4 = △40 +1.8 = △13 +0.3 = △31 45 = x3 16.1 = y3 +0.4 = △22 +2.2 = △14 55 = x4 18.3 = y4 Now, x = 17 – 15/25 – 15 = 2/10 = 0.2
Hence, Y17 = 11.1 + 0.3 − 0.016 − 0.0048 − 0.0134 = 11.4
Thus premium payable at 17 is 11.4
Example 4: Find the value of y when x = 5 from the following data:
| x | y |
|---|---|
| 2 | 1 |
| 3 | 5 |
| 4 | 13 |
| 6 | 61 |
| 7 | 125 |
Solution:
Applying Lagrange Formula,
f(x) =
= 0.1 − 2.5 + 1.3 + 30.5 − 12.5
= 28.6
Example 5: Reconstruct the following data with the class intervals halved using interpolation:
| Marks | Number of Students |
|---|---|
| 0 – 10 | 50 |
| 10 – 20 | 65 |
| 20 – 30 | 85 |
Solution:
For estimating the marks in the class interval 0-5, 10-15, and 20-25, we will have to interpolate the values of less than 5, less than 15 and less than 25 respectively.
Interpolation of less than 5
x = 5−10/10 = −0.5
y5 = y0 + x.△10 + [x(x−1).△2]/2 = 25
Similarly,
Interpolation of less than 15 = 80
Interpolation of less than 25 = 155
Thus, the reconstructed table is as follows:
Marks Cumulative Frequency Marks Number of Students Less than 5 25 0 – 5 22 Less than 10 50 5 – 10 25 Less than 15 80 10 – 15 30 Less than 20 115 15 – 20 35 Less than 25 155 20 – 25 40 Less than 30 200 25 – 30 45
FAQs on Interpolation Formula
Question 1: What is interpolation?
Answer:
Interpolation is an important statistical tool. It is the process of calculating a value between two points on the curve of a function from the given points which also lie on the same curve.
Question 2: Why is interpolation important?
Answer:
Interpolation is needed to compute the value of a function for an intermediate value of the independent function.
Question 3: What are piecewise polynomials?
Answer:
Approximated functions converted into polynomials, i.e., simpler forms, which would to make it easier to integrate and differentiate such functions to facilitate the calculations pertaining to areas under curves are called piecewise polynomials
Question 4: What are the various methods of interpolation?
Answer:
The various methods of interpolation are,
- Linear Interpolation Formula
- Nearest Neighbor Method
- Quadratic Interpolation
- Lagrange Formula
- Newton Formula
Question 5: What is the use of interpolation?
Answer:
Deriving a Function From a Data Set: The diverse and scattered data points can be turned into a compact function using interpolation, so that each point in the data travels through the curve of such function. This makes it so much easier to understand the whole data in just one glance. Data can be converted into the following form:
p(x) = a0 + a1ex + a2e2x +…..+ anenx
Question 6: What is the difference between interpolation and extrapolation?
Answer:
Interpolation is the process of calculating a value between two points on the curve of a function from the given points which also lie on the same curve, whereas extrapolation is the way of predicting the magnitude of the reliant factor for an individual entity that is beyond the scope of the dataset.
Интерполяция – это способ вычислить промежуточное значение функции по нескольким уже известным ее значениям.
Линейная интерполяция предполагает вычисление промежуточного значения функции по двум точкам (условно проведя прямую между ними).
Например, если известны значения функции в двух точках f(x1) и f(x2), то разумно предположить что значение в третьей точке, находящейся между первой и второй, можно найти графически, она лежит на отрезке, соединяющем x1 и x2.
$$ f(x) = f(x1)+(x-x1) frac{f(x2)-f(x1)}{x2-x1} $$
Если x лежит вне интервала (x1, x2), этот же процесс называется экстраполяция.
| x | f(x) | |
| x1 | ||
| x2 | ||
| x | 7.25 |
Подробный ход расчета
$$ f(5) = 9 + (5 – 4)frac {2 – 9}{8 – 4} = 7.25 $$
