Как найти значение минора матрицы

Уважаемые студенты!
Заказать задачи по физике, информатике, экономике, праву и другим 200 предметам можно здесь всего за 10 минут.

Минор матрицы

Определение

Минор матрицы – это определитель $ n-1 $ порядка, составленный путём вычеркивания $ i $-ой строки и $ j $-го столбца из матрицы $ A $ порядка $ n $. Обозначается минор $ M_{ij} $

Формула минора матрицы выводится для каждого элемента этой матрицы отдельно. Пусть задана квадратная матрица $ A $ порядка $ n = 3 $:

$$ A = begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \ a_{21}&a_{22}&a_{23} \ a_{31}&a_{32}&a_{33} end{pmatrix} $$

По определению каждый минор $ M_{ij} $ равен определителю, получаемому при вычеркивании $ i $-ой строки и $ j $-ого столбца из матрицы $ A $.

$$ M_{11} = begin{vmatrix} a_{22}&a_{23} \ a_{32}&a_{33} end{vmatrix}; M_{12} = begin{vmatrix} a_{21}&a_{23} \ a_{31}&a_{33} end{vmatrix}; M_{13} = begin{vmatrix} a_{21}&a_{22} \ a_{31}&a_{32} end{vmatrix}; $$

$$ M_{21} = begin{vmatrix} a_{12}&a_{13} \ a_{32}&a_{33} end{vmatrix}; M_{22} = begin{vmatrix} a_{11}&a_{13} \ a_{31}&a_{33} end{vmatrix}; M_{33} = begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} \ a_{21}&a_{22} end{vmatrix}; $$

$$ M_{31} = begin{vmatrix} a_{12}&a_{13} \ a_{22}&a_{23} end{vmatrix}; M_{32} = begin{vmatrix} a_{11}&a_{13} \ a_{21}&a_{23} end{vmatrix}; M_{33} = begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} \ a_{21}&a_{22} end{vmatrix}; $$

Аналогично миноры находятся для любого порядка. В частности для матрицы второго порядка в определитель будет входить одно число.

Как найти?

Чтобы найти миноры матрицы $ M_{ij} $ нужно составить определители, полученные путем вычеркивания из матрицы $ A $ соответствующие строку и столбец.

Пример для матрицы второго порядка:

$$ M_{12} = begin{pmatrix} {a_{11}} & {a_{12}} \ a_{21}&{a_{22}} end{pmatrix} = a_{21} $$

Пример для матрицы третьего порядка:

$$ M_{12} = begin{pmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}} \ a_{21}&{a_{22}}&a_{23} \ a_{31}&{a_{32}}&a_{33} end{pmatrix} = begin{vmatrix} a_{21}&a_{23} \ a_{31}&a_{33} end{vmatrix} = a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31} $$

Если полученный определитель:

1. Первого порядка, то записываем оставшееся число
2. Второго или третьего порядка, то вычисляем его по правилу треугольников
3. Четвертого и выше порядка, то выполняем разложение по строке (столбцу), либо методом Гаусса

Примеры решений

Пример 1

Определить миноры матрицы: $$ A = begin{pmatrix} 2&1 \ 0&5 end{pmatrix} $$

Решение

Вычеркиваем строку и столбец, которые соответствуют индексу при $M$: $$ M_{11} = begin{pmatrix} {2}&{1} \ {0}&5 end{pmatrix} = 5 $$ $$ M_{12} = begin{pmatrix} {2}&{1} \ 0&{5} end{pmatrix} = 0 $$ $$ M_{21} = begin{pmatrix} {2}&1 \ {0}&{5} end{pmatrix} = 1 $$ $$ M_{22} = begin{pmatrix} 2&{1} \ {0}&{5} end{pmatrix} = 2 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ M_{11} = 5; M_{12} = 0; M_{21} = 1; M_{22} = 2 $$

Пример 2

Найти миноры элементов на главной диагонали матрицы: $$ A = begin{pmatrix} 2&3&1 \ 1&-2&-3 \ 0&1&2 end{pmatrix} $$

Решение

Рассчитываем миноры: $$ M_{11} = begin{pmatrix} {2}&{3}&{1} \ {1}&-2&-3 \ {0}&1&2 end{pmatrix} = begin{vmatrix} -2&-3 \ 1&2 end{vmatrix} = -4+3 = -1 $$ $$ M_{22} = begin{pmatrix} 2&{3}&1 \ {1}&{-2}&{-3} \ 0&{1}&2 end{pmatrix} = begin{vmatrix} 2&1 \ 0&2 end{vmatrix} = 4-0 = 4 $$ $$ M_{33} = begin{pmatrix} 2&3&{1} \ 1&-2&{-3} \ {0}&{1}&{2} end{pmatrix} = begin{vmatrix} 2&3 \ 1&-2 end{vmatrix} = -4-3 = -7 $$

Ответ

$$ M_{11} = -1; M_{22} = 4; M_{33} = -7 $$

Понятие минора и алгебраического дополнения было рассмотрено нами в теме «Как вычислить определитель матрицы третьего порядка». В данной статье разберем тему более подробно, а также научимся вычислять миноры и алгебраические дополнения матриц высших порядков.

Сначала рекомендуется повторить вычисление определителей второго, третьего и высших порядков.

Минор

Минором MijM_{ij} к элементу aija_{ij} определителя nn-го порядка называется определитель (n−1)(n-1)-го порядка, который получается из исходного определителя вычеркиванием ii-той строки и jj-того столбца.

Таким образом, минор — это определитель, который остается после вычеркивания определенной строки и определенного столбца. Например, M12M_{12} получается вычеркиванием 1-й строки и 2-го столбца, M34M_{34} — вычеркиванием 3-й строки и 4-го столбца.
Алгоритм нахождения миноров

1. вычеркиваем i-ю строку;
2. вычеркиваем j-й столбец;
3. записываем определитель, который получили в результате действий 1 и 2.

Пример 1

Найти минор M34M_{34} к элементу a34a_{34} определителя ∣21−23−121213−1543−31∣begin{vmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\4&3&-3&1end{vmatrix}.

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, выделим зеленым цветом.

M34=∣21−23−121213−1543−31∣=∣21−2−12143−3∣=2⋅2⋅(−3)+1⋅1⋅4+(−2)⋅3⋅(−1)−(−2)⋅2⋅4−1⋅(−3)⋅(−1)−2⋅1⋅3=−12+4+6+16−3−6=5M_{34}=begin{vmatrix}2&1&-2&color{green}3\-1&2&1&color{green}2\color{green}1&color{green}3&color{green}-1&color{green}5\4&3&-3&color{green}1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&1&-2\-1&2&1\4&3&-3end{vmatrix}=2cdot2cdot(-3)+1cdot1cdot4+(-2)cdot3cdot(-1)-(-2)cdot2cdot4-1cdot(-3)cdot(-1)-2cdot1cdot3=-12+4+6+16-3-6=5.

Пример 2

Найти миноры матрицы K=(03−122100−2−102−5711)K= begin{pmatrix}0&3&-1&2\2&1&0&0\-2&-1&0&2\-5&7&1&1end{pmatrix}.

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, выделим зеленым цветом.

M11=(03−122100−2−102−5711)=∣100−102711∣=1⋅(−1)1+1∣0211∣=1⋅(−1)2∣0211∣=∣0211∣=1⋅(−1)2+1⋅2=1⋅(−1)3⋅2=−2M_{11}= begin{pmatrix}color{green}0&color{green}3&color{green}-1&color{green}2\color{green}2&1&0&0\color{green}-2&-1&0&2\color{green}-5&7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}1&0&0\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{1+1}begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{2}begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{2+1}cdot2=1cdot(-1)^{3}cdot2=-2,

M12=(03−122100−2−102−5711)=∣200−202−511∣=2⋅(−1)1+1∣0211∣=2⋅(−1)2∣0211∣=2∣0211∣=2⋅(−1)2+1⋅2=2⋅(−1)3⋅2=−4M_{12}= begin{pmatrix}color{green}0&color{green}3&color{green}-1&color{green}2\2&color{green}1&0&0\-2&color{green}-1&0&2\-5&color{green}7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}2&0&0\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=2cdot(-1)^{1+1}begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=2cdot(-1)^{2}begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=2begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=2cdot(-1)^{2+1}cdot2=2cdot(-1)^{3}cdot2=-4,

M13=(03−122100−2−102−5711)=∣210−2−12−571∣=2⋅(−1)⋅1+0⋅7⋅(−2)+1⋅2⋅(−5)−0⋅(−1)⋅(−5)−2⋅2⋅7−1⋅1⋅(−2)=−2−10−28+2=−38M_{13}= begin{pmatrix}color{green}0&color{green}3&color{green}-1&color{green}2\2&1&color{green}0&0\-2&-1&color{green}0&2\-5&7&color{green}1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=2cdot(-1)cdot1+0cdot7cdot(-2)+1cdot2cdot(-5)-0cdot(-1)cdot(-5)-2cdot2cdot7-1cdot1cdot(-2)=-2-10-28+2=-38,

M14=(03−122100−2−102−5711)=∣210−2−10−571∣=1⋅(−1)3+3∣21−2−1∣=0M_{14}= begin{pmatrix}color{green}0&color{green}3&color{green}-1&color{green}2\2&1&0&color{green}0\-2&-1&0&color{green}2\-5&7&1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{3+3}begin{vmatrix}2&1\-2&-1end{vmatrix}=0,

M21=(03−122100−2−102−5711)=∣3−12−102711∣=3⋅0⋅1+2⋅1⋅(−1)+(−1)⋅2⋅7−2⋅0⋅7−(−1)⋅1⋅(−1)−3⋅2⋅1=−2−14−1−6=−23M_{21}= begin{pmatrix}color{green}0&3&-1&2\color{green}2&color{green}1&color{green}0&color{green}0\color{green}-2&-1&0&2\color{green}-5&7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}3&-1&2\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=3cdot0cdot1+2cdot1cdot(-1)+(-1)cdot2cdot7-2cdot0cdot7-(-1)cdot1cdot(-1)-3cdot2cdot1=-2-14-1-6=-23,

M22=(03−122100−2−102−5711)=∣0−12−202−511∣=0⋅0⋅1+(−1)⋅2⋅(−5)+2⋅1⋅(−2)−2⋅0⋅(−5)−(−1)⋅1⋅(−2)−0⋅2⋅1=10−4−2=4M_{22}= begin{pmatrix}0&color{green}3&-1&2\color{green}2&color{green}1&color{green}0&color{green}0\-2&color{green}-1&0&2\-5&color{green}7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&-1&2\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=0cdot0cdot1+(-1)cdot2cdot(-5)+2cdot1cdot(-2)-2cdot0cdot(-5)-(-1)cdot1cdot(-2)-0cdot2cdot1=10-4-2=4,

M23=(03−122100−2−102−5711)=∣032−2−12−571∣=0⋅(−1)⋅1+3⋅2⋅(−5)+2⋅7⋅(−2)−2⋅(−1)⋅(−5)−3⋅1⋅(−2)−0⋅2⋅7=−30−28−10+6=−62M_{23}= begin{pmatrix}0&3&color{green}-1&2\color{green}2&color{green}1&color{green}0&color{green}0\-2&-1&color{green}0&2\-5&7&color{green}1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&2\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=0cdot(-1)cdot1+3cdot2cdot(-5)+2cdot7cdot(-2)-2cdot(-1)cdot(-5)-3cdot1cdot(-2)-0cdot2cdot7=-30-28-10+6=-62,

M24=(03−122100−2−102−5711)=∣03−1−2−10−571∣=0⋅(−1)⋅1+3⋅0⋅(−5)+(−1)⋅7⋅(−2)−(−1)⋅(−1)⋅(−5)−3⋅1⋅(−2)−0⋅0⋅7=14+5+6=25M_{24}= begin{pmatrix}0&3&-1&color{green}2\color{green}2&color{green}1&color{green}0&color{green}0\-2&-1&0&color{green}2\-5&7&1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&-1\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=0cdot(-1)cdot1+3cdot0cdot(-5)+(-1)cdot7cdot(-2)-(-1)cdot(-1)cdot(-5)-3cdot1cdot(-2)-0cdot0cdot7=14+5+6=25,

M31=(03−122100−2−102−5711)=∣3−12100711∣=1⋅(−1)2+1∣−1211∣=1⋅(−1)3∣−1211∣=−∣−1211∣=−(−1−2)=3M_{31}= begin{pmatrix}color{green}0&3&-1&2\color{green}2&1&0&0\color{green}-2&color{green}-1&color{green}0&color{green}2\color{green}-5&7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\7&1&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{2+1}begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{3}begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=-(-1-2)=3,

M32=(03−122100−2−102−5711)=∣0−12200−511∣=2⋅(−1)2+1∣−1211∣=2⋅(−1)3∣−1211∣=−2∣−1211∣=−2(−1−2)=6M_{32}= begin{pmatrix}0&color{green}3&-1&2\2&color{green}1&0&0\color{green}-2&color{green}-1&color{green}0&color{green}2\-5&color{green}7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-5&1&1end{vmatrix}=2cdot(-1)^{2+1}begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=2cdot(-1)^{3}begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=-2begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=-2(-1-2)=6,

M33=(03−122100−2−102−5711)=∣032210−571∣=0⋅1⋅1+3⋅0⋅(−5)+2⋅7⋅2−2⋅1⋅(−5)−0⋅0⋅7−3⋅1⋅2=28+10−6=32M_{33}= begin{pmatrix}0&3&color{green}-1&2\2&1&color{green}0&0\color{green}-2&color{green}-1&color{green}0&color{green}2\-5&7&color{green}1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=0cdot1cdot1+3cdot0cdot(-5)+2cdot7cdot2-2cdot1cdot(-5)-0cdot0cdot7-3cdot1cdot2=28+10-6=32,

M34=(03−122100−2−102−5711)=∣03−1210−571∣=0⋅1⋅1+3⋅0⋅(−5)+(−1)⋅7⋅2−(−1)⋅1⋅(−5)−3⋅1⋅2−0⋅0⋅7=−14−5−6=−25M_{34}= begin{pmatrix}0&3&-1&color{green}2\2&1&0&color{green}0\color{green}-2&color{green}-1&color{green}0&color{green}2\-5&7&1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=0cdot1cdot1+3cdot0cdot(-5)+(-1)cdot7cdot2-(-1)cdot1cdot(-5)-3cdot1cdot2-0cdot0cdot7=-14-5-6=-25,

M41=(03−122100−2−102−5711)=∣3−12100−102∣=1⋅(−1)2+1∣−1202∣=1⋅(−1)3∣−1202∣=−∣−1202∣=−(−1)⋅(−1)1+1⋅2=1⋅(−1)2⋅2=2M_{41}= begin{pmatrix}color{green}0&3&-1&2\color{green}2&1&0&0\color{green}-2&-1&0&2\color{green}-5&color{green}7&color{green}1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\-1&0&2end{vmatrix}=1cdot(-1)^{2+1}begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=1cdot(-1)^{3}begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=-begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=-(-1)cdot(-1)^{1+1}cdot2=1cdot(-1)^{2}cdot2=2,

M42=(03−122100−2−102−5711)=∣0−12200−202∣=2⋅(−1)2+1∣−1202∣=2⋅(−1)3∣−1202∣=−2∣−1202∣=−2⋅(−1)⋅(−1)1+1⋅2=2⋅(−1)2⋅2=4M_{42}= begin{pmatrix}0&color{green}3&-1&2\2&color{green}1&0&0\-2&color{green}-1&0&2\color{green}-5&color{green}7&color{green}1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-2&0&2end{vmatrix}=2cdot(-1)^{2+1}begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=2cdot(-1)^{3}begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=-2begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=-2cdot(-1)cdot(-1)^{1+1}cdot2=2cdot(-1)^{2}cdot2=4,

M43=(03−122100−2−102−5711)=∣032210−2−12∣=0⋅1⋅2+3⋅0⋅(−2)+2⋅(−1)⋅2−2⋅1⋅(−2)−3⋅2⋅2−0⋅0⋅(−1)=−4+4−12=−12M_{43}= begin{pmatrix}0&3&color{green}-1&2\2&1&color{green}0&0\-2&-1&color{green}0&2\color{green}-5&color{green}7&color{green}1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-2&-1&2end{vmatrix}=0cdot1cdot2+3cdot0cdot(-2)+2cdot(-1)cdot2-2cdot1cdot(-2)-3cdot2cdot2-0cdot0cdot(-1)=-4+4-12=-12,

M44=(03−122100−2−102−5711)=∣03−1210−2−10∣=0M_{44}= begin{pmatrix}0&3&-1&color{green}2\2&1&0&color{green}0\-2&-1&0&color{green}2\color{green}-5&color{green}7&color{green}1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{vmatrix}=0.

Алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнением AijA_{ij} к элементу aija_{ij} определителя n-го порядка называется число Aij=(−1)i+j⋅MijA_{ij}=(-1)^{i+j}cdot M_{ij}, где i,ji, j — соответствующие строка и столбец, а MijM_{ij} — минор к элементу aija_{ij}.

Алгоритм нахождения алгебраических дополнений

1. найти сумму номеров строки (i)(i) и столбца (j)(j);
2. найти минор MijM_{ij} по алгоритму нахождения миноров, который представлен выше;
3. подставить значения, полученные на шагах 1 и 2, в формулу Aij=(−1)i+j⋅MijA_{ij}=(-1)^{i+j}cdot M_{ij}.

Пример 1

Найти алгебраическое дополнение A34A_{34} к элементу a34a_{34} определителя
∣21−23−121213−1543−31∣begin{vmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\4&3&-3&1end{vmatrix}.
A34=(−1)3+4⋅M34=(−1)7⋅∣21−23−121213−1543−31∣=−∣21−2−12143−3∣=−(2⋅2⋅(−3)+1⋅1⋅4+(−2)⋅3⋅(−1)−(−2)⋅2⋅4−1⋅(−3)⋅(−1)−2⋅1⋅3)=−(−12+4+6+16−3−6)=−5A_{34}=(-1)^{3+4}cdot M_{34}=(-1)^{7}cdot
begin{vmatrix}2&1&-2&color{green}3\-1&2&1&color{green}2\color{green}1&color{green}3&color{green}-1&color{green}5\4&3&-3&color{green}1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}2&1&-2\-1&2&1\4&3&-3end{vmatrix}=-(2cdot2cdot(-3)+1cdot1cdot4+(-2)cdot3cdot(-1)-(-2)cdot2cdot4-1cdot(-3)cdot(-1)-2cdot1cdot3)=-(-12+4+6+16-3-6)=-5.

Пример 2

Найти алгебраические дополнения матрицы K=(03−122100−2−102−5711)K= begin{pmatrix}0&3&-1&2\2&1&0&0\-2&-1&0&2\-5&7&1&1end{pmatrix}.

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, выделим зеленым цветом.

A11=(−1)1+1⋅M11=(−1)1+1⋅∣100−102711∣=(−1)2∣100−102711∣=∣100−102711∣=−2A_{11}=(-1)^{1+1}cdot M_{11}=(-1)^{1+1}cdotbegin{vmatrix}1&0&0\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=(-1)^{2}begin{vmatrix}1&0&0\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}1&0&0\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=-2,

A12=(−1)1+2⋅M12=(−1)1+2⋅∣200−202−511∣=(−1)3⋅∣200−202−511∣=−∣200−202−511∣=−(−4)=4A_{12}=(-1)^{1+2}cdot M_{12}=(-1)^{1+2}cdotbegin{vmatrix}2&0&0\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=(-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}2&0&0\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}2&0&0\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=-(-4)=4,

A13=(−1)1+3⋅M13=(−1)1+3⋅∣210−2−12−571∣=(−1)4⋅∣210−2−12−571∣=∣210−2−12−571∣=−38A_{13}=(-1)^{1+3}cdot M_{13}=(-1)^{1+3}cdot begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{4}cdot begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=-38,

A14=(−1)1+4⋅M14=(−1)1+4⋅∣210−2−10−571∣=(−1)5⋅∣210−2−10−571∣=−∣210−2−10−571∣=0A_{14}=(-1)^{1+4}cdot M_{14}=(-1)^{1+4}cdotbegin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{5}cdot begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=0,

A21=(−1)2+1⋅M21=(−1)2+1⋅∣3−12−102711∣=(−1)3⋅∣3−12−102711∣=−∣3−12−102711∣=−(−23)=23A_{21}=(-1)^{2+1}cdot M_{21}=(-1)^{2+1}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=(-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}3&-1&2\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=-(-23)=23,

A22=(−1)2+2⋅M22=(−1)2+2⋅∣0−12−202−511∣=(−1)4⋅∣0−12−202−511∣=∣0−12−202−511∣=4A_{22}=(-1)^{2+2}cdot M_{22}=(-1)^{2+2}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&-1&2\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=4,

A23=(−1)2+3⋅M23=(−1)2+3⋅∣032−2−12−571∣=(−1)5⋅∣032−2−12−571∣=−∣032−2−12−571∣=−(−62)=62A_{23}=(-1)^{2+3}cdot M_{23}=(-1)^{2+3}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}0&3&2\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=-(-62)=62,

A24=(−1)2+4⋅M24=(−1)2+4⋅∣03−1−2−10−571∣=(−1)6⋅∣03−1−2−10−571∣=∣03−1−2−10−571∣=25A_{24}=(-1)^{2+4}cdot M_{24}=(-1)^{2+4}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{6}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&3&-1\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=25,

A31=(−1)3+1⋅M31=(−1)3+1⋅∣3−12100711∣=(−1)4⋅∣3−12100711∣=∣3−12100711∣=3A_{31}=(-1)^{3+1}cdot M_{31}=(-1)^{3+1}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\7&1&1end{vmatrix}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\7&1&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\7&1&1end{vmatrix}=3,

A32=(−1)3+2⋅M32=(−1)3+2⋅∣0−12200−511∣=(−1)5⋅∣0−12200−511∣=−∣0−12200−511∣=−6A_{32}=(-1)^{3+2}cdot M_{32}=(-1)^{3+2}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-5&1&1end{vmatrix}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-5&1&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-5&1&1end{vmatrix}=-6,

A33=(−1)3+3⋅M33=(−1)3+3⋅∣032210−571∣=(−1)6⋅∣032210−571∣=∣032210−571∣=32A_{33}=(-1)^{3+3}cdot M_{33}=(-1)^{3+3}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{6}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=32,

A34=(−1)3+4⋅M34=(−1)3+4⋅∣03−1210−571∣=(−1)7⋅∣03−1210−571∣=−∣03−1210−571∣=−(−25)=25A_{34}=(-1)^{3+4}cdot M_{34}=(-1)^{3+4}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{7}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=-(-25)=25,

A41=(−1)4+1⋅M41=(−1)4+1⋅∣3−12100−102∣=(−1)5⋅∣3−12100−102∣=−∣3−12100−102∣=−2A_{41}=(-1)^{4+1}cdot M_{41}=(-1)^{4+1}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\-1&0&2end{vmatrix}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\-1&0&2end{vmatrix}=-begin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\-1&0&2end{vmatrix}=-2,

A42=(−1)4+2⋅M42=(−1)4+2⋅∣0−12200−202∣=(−1)6⋅∣0−12200−202∣=∣0−12200−202∣=4A_{42}=(-1)^{4+2}cdot M_{42}=(-1)^{4+2}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-2&0&2end{vmatrix}=(-1)^{6}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-2&0&2end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-2&0&2end{vmatrix}=4,

A43=(−1)4+3⋅M43=(−1)4+3⋅∣032210−2−12∣=(−1)7⋅∣032210−2−12∣=−∣032210−2−12∣=−(−12)=12A_{43}=(-1)^{4+3}cdot M_{43}=(-1)^{4+3}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-2&-1&2end{vmatrix}=(-1)^{7}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-2&-1&2end{vmatrix}=-begin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-2&-1&2end{vmatrix}=-(-12)=12,

A44=(−1)4+4⋅M44=(−1)4+4⋅∣03−1210−2−10∣=(−1)8⋅∣03−1210−2−10∣=∣03−1210−2−10∣=0A_{44}=(-1)^{4+4}cdot M_{44}=(-1)^{4+4}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{vmatrix}=(-1)^{8}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{vmatrix}=0.

Задачи на заказ недорого по любому предмету от наших экспертов!

Тест по теме «Минор матрицы и алгебраическое дополнение матрицы»

Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений.

В данной теме рассмотрим понятия алгебраического дополнения и минора. Изложение материала опирается на термины, пояснённые в теме “Матрицы. Виды матриц. Основные термины”. Также нам понадобятся некоторые формулы для вычисления определителей. Так как в данной теме немало терминов, относящихся к минорам и алгебраическим дополнениям, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.

Содержание темы:

1. Минор $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$.
2. Алгебраическое дополнение $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$.
3. Минор k-го порядка матрицы $A_{mtimes n}$. Главный минор, базисный минор, окаймляющий минор.
4. Минор k-го порядка матрицы $A_{ntimes n}$. Дополнительный минор. Алгебраическое дополнение к минору квадратной матрицы.

Минор $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$

Пусть задана квадратная матрица $A_{ntimes n}$ (т.е. квадратная матрица n-го порядка).

Минором $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$ матрицы $A_{ntimes n}$ именуют определитель матрицы, полученной из матрицы $A$ вычёркиванием i-й строки и j-го столбца (т.е. строки и столбца, на пересечении которых находится элемент $a_{ij}$).

Для примера рассмотрим квадратную матрицу четвёртого порядка:
$A=left( begin{array} {cccc}
1 & 0 & -3 & 9\
2 & -7 & 11 & 5 \
-9 & 4 & 25 & 84\
3 & 12 & -5 & 58 end{array} right)$. Найдём минор элемента $a_{32}$, т.е. найдём $M_{32}$. Сперва запишем минор $M_{32}$, а потом вычислим его значение. Для того, чтобы составить $M_{32}$, вычеркнем из матрицы $A$ третью строку и второй столбец (именно на пересечении третьей строки и второго столбца расположен элемент $a_{32}$). Мы получим новую матрицу, определитель которой и есть искомый минор $M_{32}$:

Этот минор несложно вычислить, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

$$
M_{32}=left| begin{array} {ccc}
1 & -3 & 9\
2 & 11 & 5 \
3 & -5 & 58 end{array} right|=
1cdot 11cdot 58+(-3)cdot 5cdot 3+2cdot (-5)cdot 9-9cdot 11cdot 3-(-3)cdot 2cdot 58-5cdot (-5)cdot 1=579.

$$

Итак, минор элемента $a_{32}$ равен 579, т.е. $M_{32}=579$.

Часто вместо словосочетания “минор элемента матрицы” в литературе встречается “минор элемента определителя”. Суть остается неизменной: чтобы получить минор элемента $a_{ij}$ нужно вычеркнуть из исходного определителя i-ю строку и j-й столбец. Оставшиеся элементы записывают в новый определитель, который и является минором элемента $a_{ij}$. Например, найдём минор элемента $a_{12}$ определителя
$left| begin{array} {ccc}
-1 & 3 & 2\
9 & 0 & -5 \
4 & -3 & 7 end{array} right|$. Чтобы записать требуемый минор $M_{12}$ нам понадобится вычеркнуть из заданного определителя первую строку и второй столбец:

Чтобы найти значение данного минора используем формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

$$
M_{12}=left| begin{array} {cc}
9 & -5\
4 & 7 end{array} right|=9cdot 7-(-5)cdot 4=83.
$$

Итак, минор элемента $a_{12}$ равен 83, т.е. $M_{12}=83$.

Алгебраическое дополнение $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$

Пусть задана квадратная матрица $A_{ntimes n}$ (т.е. квадратная матрица n-го порядка).

Найдем алгебраическое дополнение элемента $a_{32}$ матрицы $A=left( begin{array} {cccc}
1 & 0 & -3 & 9\
2 & -7 & 11 & 5 \
-9 & 4 & 25 & 84\
3 & 12 & -5 & 58 end{array} right)$, т.е. найдём $A_{32}$. Ранее мы уже находили минор $M_{32}=579$, поэтому используем полученный результат:

Обычно при нахождении алгебраических дополнений не вычисляют отдельно минор, а уж потом само дополнение. Запись минора опускают. Например, найдем $A_{12}$, если $A=left( begin{array} {ccc}
-5 & 10 & 2\
6 & 9 & -4 \
4 & -3 & 1 end{array} right)$. Согласно формуле $A_{12}=(-1)^{1+2}cdot M_{12}=-M_{12}$. Однако чтобы получить $M_{12}$ достаточно вычеркнуть первую строку и второй столбец матрицы $A$, так зачем же вводить лишнее обозначение для минора? Сразу запишем выражение для алгебраического дополнения $A_{12}$:

Минор k-го порядка матрицы $A_{mtimes n}$

Если в предыдущих двух пунктах мы говорили лишь о квадратных матрицах, то здесь поведём речь также и о прямоугольных матрицах, у которых количество строк вовсе не обязательно равняется количеству столбцов. Итак, пусть задана матрица $A_{mtimes n}$, т.е. матрица, содержащая m строк и n столбцов.

Минором k-го порядка матрицы $A_{mtimes n}$ называется определитель, элементы которого расположены на пересечении k строк и k столбцов матрицы $A$ (при этом предполагается, что $k≤ m$ и $k≤ n$).

Например, рассмотрим такую матрицу:

$$A=left( begin{array} {cccc}
-1 & 0 & -3 & 9\
2 & 7 & 14 & 6 \
15 & -27 & 18 & 31\
0 & 1 & 19 & 8\
0 & -12 & 20 & 14\
5 & 3 & -21 & 9\
23 & -10 & -5 & 58 end{array} right)
$$

Запишем для неё какой-либо минор третьего порядка. Чтобы записать минор третьего порядка нам потребуется выбрать какие-либо три строки и три столбца данной матрицы. Например, возьмём строки №2, №4, №6 и столбцы №1, №2, №4. На пересечении этих строк и столбцов будут располагаться элементы требуемого минора. На рисунке элементы минора показаны синим цветом:

$$
left( begin{array} {cccc}
-1 & 0 & -3 & 9 \
boldblue{2} & boldblue{7} & 14 & boldblue{6} \
15 & -27 & 18 & 31\
boldblue{0} & boldblue{1} & 19 & boldblue{8}\
0 & -12 & 20 & 14\
boldblue{5} & boldblue{3} & -21 & boldblue{9}\
23 & -10 & -5 & 58 end{array} right);;

M=left|begin{array} {ccc}
2 & 7 & 6 \
0 & 1 & 8 \
5 & 3 & 9 end{array} right|.
$$

Миноры первого порядка находятся на пересечении одной строки и одного столбца, т.е. миноры первого порядка равны элементам заданной матрицы.

Минор k-го порядка матрицы $A_{mtimes n}=(a_{ij})$ называется главным, если на главной диагонали данного минора находятся только главные диагональные элементы матрицы $A$.

Напомню, что главными диагональными элементами именуют те элементы матрицы, у которых индексы равны: $a_{11}$, $a_{22}$, $a_{33}$ и так далее. Например, для рассмотренной выше матрицы $A$ такими элементами будут $a_{11}=-1$, $a_{22}=7$, $a_{33}=18$, $a_{44}=8$. На рисунке они выделены зелёным цветом:

$$left( begin{array} {cccc}
boldgreen{-1} & 0 & -3 & 9\
2 & boldgreen{7} & 14 & 6 \
15 & -27 & boldgreen{18} & 31\
0 & 1 & 19 & boldgreen{8}\
0 & -12 & 20 & 14\
5 & 3 & -21 & 9\
23 & -10 & -5 & 58 end{array} right)
$$

Например, если в матрице $A$ мы вычеркнем строки и столбцы с номерами 1 и 3, то на их пересечении будут расположены элементы минора второго порядка, на главной диагонали которого будут находиться только диагональные элементы матрицы $A$ (элементы $a_{11}=-1$ и $a_{33}=18$ матрицы $A$). Следовательно, мы получим главный минор второго порядка:

$$
M=left|begin{array} {cc}
boldgreen{-1} & -3 \
15 & boldgreen{18} end{array} right|
$$

Естественно, что мы могли взять иные строки и столбцы, – например, с номерами 2 и 4, получив при этом иной главный минор второго порядка.

Пусть некий минор $M$ k-го порядка матрицы $A_{mtimes n}$ не равен нулю, т.е. $Mneq 0$. При этом все миноры, порядок которых выше k, равны нулю. Тогда минор $M$ называют базисным, а строки и столбцы, на которых расположены элементы базисного минора, именуют базисными строками и базисными столбцами.

Для примера рассмотрим такую матрицу:

$$A=left( begin{array} {ccc}
-1 & 0 & 3 & 0 & 0 \
2 & 0 & 4 & 1 & 0\
1 & 0 & -2 & -1 & 0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 end{array} right)
$$

Запишем минор этой матрицы, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов с №1, №3, №4. Мы получим минор третьего порядка (его элементы выделены в матрице $A$ фиолетовым цветом):

$$
left( begin{array} {ccc}
boldpurple{-1} & 0 & boldpurple{3} & boldpurple{0} & 0 \
boldpurple{2} & 0 & boldpurple{4} & boldpurple{1} & 0\
boldpurple{1} & 0 & boldpurple{-2} & boldpurple{-1} & 0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 end{array} right);;

M=left|begin{array} {ccc}
-1 & 3 & 0 \
2 & 4 & 1 \
1 & -2 & -1 end{array} right|.
$$

Найдём значение этого минора, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

$$
M=left| begin{array} {ccc}
-1 & 3 & 0\
2 & 4 & 1 \
1 & -2 & -1 end{array} right|=4+3+6-2=11.
$$

Итак, $M=11neq 0$. Теперь попробуем составить любой минор, порядок которого выше трёх. Чтобы составить минор четвёртого порядка, нам придётся использовать четвёртую строку, однако все элементы этой строки равны нулю. Следовательно, в любом миноре четвёртого порядка будет нулевая строка, а это означает, что все миноры четвёртого порядка равны нулю. Миноры пятого и более высоких порядков составить мы не можем, так как матрица $A$ имеет всего 4 строки.

Мы нашли минор третьего порядка, не равный нулю. При этом все миноры высших порядков равны нулю, следовательно, рассмотренный нами минор – базисный. Строки матрицы $A$, на которых расположены элементы этого минора (первая, вторая и третья), – базисные строки, а первый, третий и четвёртый столбцы матрицы $A$ – базисные столбцы.

Данный пример, конечно, тривиальный, так как его цель – наглядно показать суть базисного минора. Вообще, базисных миноров может быть несколько, и обычно процесс поиска такого минора куда сложнее и объёмнее.

Введём ещё одно понятие – окаймляющий минор.

Пусть некий минор k-го порядка $M$ матрицы $A_{mtimes n}$ расположен на пересечении k строк и k столбцов. Добавим к набору этих строк и столбцов ещё одну строку и столбец. Полученный минор (k+1)-го порядка именуют окаймляющим минором для минора $M$.

Для примера обратимся к такой матрице:

$$A=left( begin{array} {ccccc}
-1 & 2 & 0 & -2 & -14\
3 & -17 & -3 & 19 & 29\
5 & -6 & 8 & -9 & 41\
-5 & 11 & 19 & -20 & -98\
6 & 12 & 20 & 21 & 54\
-7 & 10 & 14 & -36 & 79 end{array} right)
$$

Запишем минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2 и №5, а также столбцов №2 и №4. Эти элементы выделены в матрице красным цветом:

$$
left( begin{array} {ccccc}
-1 & 2 & 0 & -2 & -14\
3 & boldred{-17} & -3 & boldred{19} & 29\
5 & -6 & 8 & -9 & 41\
-5 & 11 & 19 & -20 & -98\
6 & boldred{12} & 20 & boldred{21} & 54\
-7 & 10 & 14 & -36 & 79 end{array} right);;

M=left|begin{array} {ccc}
-17 & 19 \
12 & 21 end{array} right|.
$$

Добавим к набору строк, на которых лежат элементы минора $M$, ещё строку №1, а к набору столбцов – столбец №5. Получим новый минор $M’$ (уже третьего порядка), элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №5 и столбцов №2, №4, №5. Элементы минора $M$ на рисунке выделены красным цветом, а элементы, которые мы добавляем к минору $M$ – синим:

$$
left( begin{array} {ccccc}
-1 & boldblue{2} & 0 & boldblue{-2} & boldblue{-14}\
3 & boldred{-17} & -3 & boldred{19} & boldblue{29}\
5 & -6 & 8 & -9 & 41\
-5 & 11 & 19 & -20 & -98\
6 & boldred{12} & 20 & boldred{21} & boldblue{54}\
-7 & 10 & 14 & -36 & 79 end{array} right);;

M’=left|begin{array} {ccc}
2 & -2 & -14 \
-17 & 19 & 29 \
12 & 21 & 54 end{array} right|.
$$

Минор $M’$ является окаймляющим минором для минора $M$. Аналогично, добавляя к набору строк, на которых лежат элементы минора $M$, строку №4, а к набору столбцов – столбец №3, получим минор $M”$ (минор третьего порядка):

$$
left( begin{array} {ccccc}
-1 & 2 & 0 & -2 & -14\
3 & boldred{-17} & boldblue{-3} & boldred{19} & 29\
5 & -6 & 8 & -9 & 41\
-5 & boldblue{11} & boldblue{19} & boldblue{-20} & -98\
6 & boldred{12} & boldblue{20} & boldred{21} & 54\
-7 & 10 & 14 & -36 & 79 end{array} right);;

M”=left|begin{array} {ccc}
-17 & -3 & 19 \
11 & 19 & -20 \
12 & 20 & 21 end{array} right|.
$$

Минор $M”$ также является окаймляющим минором для минора $M$.

Минор k-го порядка матрицы $A_{ntimes n}$. Дополнительный минор. Алгебраическое дополнение к минору квадратной матрицы.

Вновь вернёмся к квадратным матрицам. Введём понятие дополнительного минора.

Пусть задан некий минор $M$ k-го порядка матрицы $A_{ntimes n}$. Определитель (n-k)-го порядка, элементы которого получены из матрицы $A$ после вычеркивания строк и столбцов, содержащих минор $M$, называется минором, дополнительным к минору $M$.

Для примера рассмотрим квадратную матрицу пятого порядка:

$$
A=left( begin{array}{ccccc}
-1 & 2 & 0 & -2 & -14\
3 & -17 & -3 & 19 & 29\
5 & -6 & 8 & -9 & 41\
-5 & 11 & 16 & -20 & -98\
-7 & 10 & 14 & -36 & 79 end{array} right)
$$

Выберем в ней строки №1 и №3, а также столбцы №2 и №5. На пересечении оных строк и столбцов будут элементы минора $M$ второго порядка. Эти элементы выделены в матрице $A$ зелёным цветом:

$$
left(begin{array}{ccccc}
-1 & boldgreen{2} & 0 & -2 & boldgreen{-14}\
3 & -17 & -3 & 19 & 29\
5 & boldgreen{-6} & 8 & -9 & boldgreen{41}\
-5 & 11 & 16 & -20 & -98\
-7 & 10 & 14 & -36 & 79 end{array} right);;

M=left|begin{array}{cc}
2 & -14 \
-6 & 41 end{array} right|.
$$

Теперь уберём из матрицы $A$ строки №1 и №3 и столбцы №2 и №5, на пересечении которых находятся элементы минора $M$ (элементы убираемых строк и столбцов показаны красным цветом на рисунке ниже). Оставшиеся элементы образуют минор $M’$:

$$
left( begin{array}{ccccc}
boldred{-1} & boldred{2} & boldred{0} & boldred{-2} & boldred{-14}\
3 & boldred{-17} & -3 & 19 & boldred{29}\
boldred{5} & boldred{-6} & boldred{8} & boldred{-9} & boldred{41}\
-5 & boldred{11} & 16 & -20 & boldred{-98}\
-7 & boldred{10} & 14 & -36 & boldred{79} end{array} right);;

M’=left|begin{array} {ccc}
3 & -3 & 19 \
-5 & 16 & -20 \
-7 & 14 & -36 end{array}right|.
$$

Минор $M’$, порядок которого равен $5-2=3$, является минором, дополнительным к минору $M$.

Алгебраическим дополнением к минору $M$ квадратной матрицы $A_{ntimes n}$ называется выражение $(-1)^{alpha}cdot M’$, где $alpha$ – сумма номеров строк и столбцов матрицы $A$, на которых расположены элементы минора $M$, а $M’$ – минор, дополнительный к минору $M$.

Словосочетание “алгебраическое дополнение к минору $M$” часто заменяют словосочетанием “алгебраическое дополнение минора $M$”.

Для примера рассмотрим матрицу $A$, для которой мы находили минор второго порядка
$
M=left| begin{array} {ccc}
2 & -14 \
-6 & 41 end{array} right|
$ и дополнительный к нему минор третьего порядка:

$M’=left| begin{array} {ccc}
3 & -3 & 19\
-5 & 16 & -20 \
-7 & 14 & -36 end{array} right|$. Обозначим алгебраическое дополнение минора $M$ как $M^*$. Тогда согласно определению:

$$
M^*=(-1)^alphacdot M’.
$$

Параметр $alpha$ равен сумме номеров строк и столбцов, на которых находится минор $M$. Этот минор расположен на пересечении строк №1, №3 и столбцов №2, №5. Следовательно, $alpha=1+3+2+5=11$. Итак:

$$
M^*=(-1)^{11}cdot M’=-left| begin{array} {ccc}
3 & -3 & 19\
-5 & 16 & -20 \
-7 & 14 & -36 end{array} right|.
$$

В принципе, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков, можно довести вычисления до конца, получив значение $M^*$:

$$
M^*=-left| begin{array} {ccc}
3 & -3 & 19\
-5 & 16 & -20 \
-7 & 14 & -36 end{array} right|=-30.
$$

7

Лекция
2.

Миноры
матриц.

В лекции
1 было
использовано понятие дополнительного
минора матрицы. Дадим определение
минора матрицы.

Определение.
Если в матрице А выделить несколько
произвольных строк и столько же
произвольных столбцов, то определитель,
составленный из элементов, расположенных
на пересечении этих строк и столбцов
называется минором
матрицы А.
Если выделено s
строк и s
столбцов, то полученный минор называется
минором порядка s.

Заметим,
что вышесказанное применимо не только
к квадратным матрицам, но и к прямоугольным.

Пример:
выделим 1,3 столбики и 2,4 строку. Тогда
минор
.

Если
вычеркнуть из исходной квадратной
матрицы А выделенные строки и столбцы,
то определитель полученной матрицы
будет являться дополнительным минором.

Алгебраические
дополнения.

Определение.
Алгебраическим
дополнением
минора матрицы называется его
дополнительный
минор,
умноженный на (-1) в степени, равной сумме
номеров строк и номеров столбцов минора
матрицы.

В
частном случае, алгебраическим дополнением
элемента матрицы называется его минор,
взятый со своим знаком, если сумма
номеров столбца и строки, на которых
стоит элемент, есть число четное и с
противоположным знаком, если нечетное.

Алгебраическое
дополнение элемента a_ij
матрицы
вычисляется по формуле:

A_ij=,

где
M_ij
– дополнительный минор элемента матрицы
a_ij.

Обратная
матрица.

Определим
операцию деления матриц как операцию,
обратную умножению.

Определение.
Если существуют
квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие
условию:

XA
= AX = E,

где
Е – единичная матрица, то матрица Х
называется обратной
к матрице А
и обозначается А^-1.

Каждая
квадратная матрица с определителем, не
равным нулю имеет обратную матрицу и
притом только одну.

Рассмотрим
общий подход к нахождению обратной
матрицы.

Исходя
из определения произведения матриц,
можно записать:

AX
= E 

,
i=(1,n), j=(1,n),

e_ij
=
0, i 
j,

e_ij
= 1,
i = j .

Таким
образом, получаем систему уравнений:

,

Решив
эту систему, находим элементы матрицы
Х.

Пример.
Дана матрица А =
,
найти А^-1.

Таким
образом, А^-1=.

Однако, такой
способ не удобен при нахождении обратных
матриц больших порядков, поэтому обычно
применяют следующую формулу:

где
М_ji–
дополнительный
минор
элемента а_ji
матрицы А, а
Аji
– алгебраическое дополнение элемента
а_ji.

Алгоритм
вычисления обратной матрица в соответствии
с предыдущей формулой:

1.
Вычисляем матрицу, состоящую из
алгебраических дополнений исходной
матрицы. Такая матрица называется обычно
присоединенной матрицей

2.
Транспонируем присоединенную матрицу.

3.
Делим результат пункта 2 на детерминант
исходной матрицы.

Пример.
Дана матрица А =
,
найти А^-1.

det
A = 4 – 6 = -2.

M₁₁=4;
M₁₂=
3; M₂₁=
2; M₂₂=1

А₁₁=4;
А₁₂=
-3; А₂₁=
-2; А₂₂=1

x₁₁=
-2; x₁₂=
1; x₂₁=
3/2; x₂₂=
-1/2

Таким
образом, А^-1=.

Cвойства
обратных матриц.

Укажем
следующие свойства обратных матриц:

1. (A^-1)^-1
   = A;

2)
(AB)^-1
= B^-1A^-1

3)
(A^T)^-1
= (A^-1)^T.

Пример.
Дана матрица А =
,
найти А³.

А²
= АА =

=
;
A³
=
=

.

Отметим,
что матрицы

и

являются перестановочными.

Пример.
Вычислить определитель
.

= -1

= -1(6 – 4) – 1(9 – 1) +
2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.

МАГИЯ
НЕПОНЯТНА.
DOWN
HERE!!!

=
=
2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

=

= 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.

Значение
определителя: -10 + 6 – 40 = -44.

Базисный
минор матрицы и ранг матрицы.

Как
было сказано выше,
минором матрицы порядка s называется
определитель матрицы, образованной из
элементов исходной матрицы, находящихся
на пересечении каких – либо выбранных
s
строк и s
столбцов.

Определение.
В матрице порядка mn
минор порядка r называется базисным,
если он не равен нулю, а все миноры
порядка r+1
и выше равны нулю, или не существуют
вовсе.

Столбцы и строки
матрицы, на которых стоит базисный
минор, также называются базисными.

В
матрице может быть несколько различных
базисных миноров, имеющих одинаковый
порядок.

Определение.
Порядок базисного минора матрицы
называется рангом
матрицы и
обозначается Rg
A,
rang
А или rank
A.

Очень
важным свойством элементарных
преобразований
матриц является то, что они не
изменяют
ранг матрицы.

Определение.
Матрицы, полученные в результате
элементарного преобразования, называются
эквивалентными.

Надо
отметить, что равные
матрицы и эквивалентные
матрицы – понятия совершенно различные.

Теорема.
Наибольшее число линейно независимых
столбцов в матрице равно числу линейно
независимых строк.

Т.к.
элементарные преобразования не изменяют
ранг матрицы, то можно существенно
упростить процесс нахождения ранга
матрицы.

CANNOT
UNDERSTAND DIS KIND OF MAGICK!!!

Пример.
Определить ранг матрицы.


,

RgA
= 2.

Пример:
Определить ранг матрицы.



,

Rg
= 2.

Пример.
Определить ранг матрицы.

,


Rg
= 2.

Если
с помощью элементарных преобразований
не удается найти матрицу, эквивалентную
исходной, но меньшего размера, то
нахождение ранга матрицы следует
начинать с вычисления миноров наивысшего
возможного порядка. В вышеприведенном
примере – это миноры порядка 3. Если
хотя бы один из них не равен нулю, то
ранг матрицы равен порядку этого минора.

Теорема о
базисном миноре.

Теорема.
В произвольной
матрице А каждый столбец (строка) является
линейной комбинацией столбцов (строк),
в которых расположен базисный минор.

Таким
образом, ранг произвольной матрицы А
равен максимальному числу линейно
независимых строк (столбцов) в матрице.

Если
А- квадратная матрица и detA
= 0, то по крайней мере один из столбцов
– линейная комбинация остальных
столбцов. То же самое справедливо и для
строк. Данное утверждение следует из
свойства линейной зависимости при
определителе равном нулю.

Матричный
метод решения систем линейных
алгебраических уравнений.

Матричный
метод применим к решению систем уравнений,
где число уравнений равно числу
неизвестных.

Метод
удобен для решения систем невысокого
порядка.

Метод
основан на применении свойств умножения
матриц.

Пусть
дана система линейных алгебраических
уравнений:

Здесь:
a_ij–
коэффициенты системы уравнений, b_i–
правые части или свободные члены системы
уравнений, х_i–
неизвестные.

Составим
матрицы: A
=
;
B
=
;
X
=
,

где
А – матрица коэффициентов системы, В –
столбик свободных членов (правых частей),
Х – столбик неизвестных.

Систему
уравнений можно записать:

AX
= B.

Сделаем
следующее преобразование: A^-1AX
= A^-1B,
т.к. А^-1А
= Е, то ЕХ
= А^-1В,
т.е.

Х
= А^-1В

Для
применения данного метода необходимо
находить обратную
матрицу,
что может быть связано с вычислительными
трудностями при решении систем высокого
порядка.

Пример.
Решить систему уравнений:

Х
=
,
B
=
,
A
=

Найдем
обратную матрицу А^-1.

 =
det A =
5(4-9)
+ 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.

M₁₁
=

= -5; M₂₁
=

= 1; M₃₁
=

= -1;

M₁₂
=

M₂₂
=

M₃₂
=

M₁₃
=

M₂₃
=

M₃₃
=

A^-1
=
;

Cделаем
проверку:

AA^-1
=
=E.

Находим
матрицу Х.

Х
=
=
А^-1В
=
=

.

Итак
решение системы: x
=1; y
= 2; z
= 3.

Несмотря на
ограничения возможности применения
данного метода и сложность вычислений
при больших значениях коэффициентов,
а также систем высокого порядка, метод
может быть легко реализован на ЭВМ.

В данной публикации мы рассмотрим, что такое минор матрицы, как его можно найти, а также разберем пример для закрепления теоретического материала.

• Определение минора матрицы

• Пример нахождения минора

Определение минора матрицы

Минор M_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка – это определитель (n-1)-го порядка, который получается путем вычеркивания строки i и столбца j из исходного.

Базисным называется любой ненулевой минор матрицы максимального порядка. Т.е. в матрице A минор порядка r является базисным, если он не равняется нулю, а все миноры порядка r+1 и выше либо равны нулю, либо не существуют. Таким образом, r совпадает с меньшим из значений m или n.

Пример нахождения минора

Давайте найдем минор M₃₂ к элементу a₃₂ определителя ниже:

Решение
Согласно поставленной задаче нам нужно вычеркнуть из определителя третью строку и второй столбец:

Получаем вот такой результат:

Для этого же определителя минор M₁₃ к элементу a₁₃ выглядит так: