Как найти значение неизвестного уравнения - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид

aх + b = 0, где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.

Например, все уравнения:

2х + 3= 7 – 0,5х; 0,3х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) – линейные.

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения.

Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.

А значение х = 3 не обращает уравнение 3х + 7 = 13 в верное равенство, так как 3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.

Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида

aх + b = 0.

Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим

aх = ‒ b.

Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.

Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим
3х = 11 – 2.

Выполним вычитание, тогда
3х = 9.

Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть
х = 9 : 3.

Значит, значение х = 3 является решением или корнем уравнения.

Ответ: х = 3.

Если а = 0 и b = 0, то получим уравнение 0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения является любое число.

Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

Раскроем скобки:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.

Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
5х – 3х ‒ 2х = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Приведем подобные члены:
0х = 0.

Ответ: х – любое число.

Если а = 0 и b ≠ 0, то получим уравнение 0х = – b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но b ≠ 0 .

Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.

Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
х – х = 5 ‒ 8.

Приведем подобные члены:
0х = ‒ 3.

Ответ: нет решений.

На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения

Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.

Пример 4. Пусть надо решить уравнение

1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.

2) После сокращения получим
4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)

3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .

4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Приведем подобные члены:
‒ 22х = ‒ 154.

6) Разделим на – 22 , Получим
х = 7.

Как видим, корень уравнения равен семи.

Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме:

а) привести уравнение к целому виду;

б) раскрыть скобки;

в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;

г) привести подобные члены;

д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.

Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2), третьего (Пример. 1, 3) и даже с пятого этапа, как в примере 5.

СЛОЖНА-А-А 🙀 Ты же знаешь, что если не разобраться в теме сейчас, то потом придется исправлять оценки. Беги на бесплатное онлайн-занятие с репетитором (подробности тут + 🎁).

Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.

Находим неизвестное х = 1/4 : 2,
х = 1/8 .

Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.

Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.

Решение

2х + 6 = 5 – 6х

2х + 6х = 5 – 6

8х = ‒1

х = ‒1 : 8

х = ‒ 0, 125

Ответ: ‒ 0, 125

Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

Решение

– 30 + 18х = 8х – 7

18х – 8х = – 7 +30

10х = 23

х = 23 : 10

х = 2,3

Ответ: 2,3

Пример 8. Решите уравнение

Решение:

3(3х – 4) = 4 · 7х + 24

9х – 12 = 28х + 24

9х – 28х = 24 + 12

-19х = 36

х = 36 : (-19)

х = – 36/19

Ответ: – .

Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 3^7-х

Решение

Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
то х + 2 = 6.

Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
получаем х = 6 – 2, х = 4.

Если х = 4, тогда
f(6) = 3^7-4 = 3³ = 27

Ответ: 27.

Молодец! Раз ты дочитал это до конца, вероятно, ты все отлично усвоил. Но если вдруг что-то еще непонятно – попробуй онлайн-занятие с репетитором (подробности тут + 🎁).

Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ. Буду рада Вам помочь!

Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.

Источник

Математика, 4 класс

Урок 21. Решение уравнений

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Что такое уравнение?
Как решить уравнение, где в ответе не число, а числовое выражение.
Что такое корень уравнения?
Как найти неизвестное вычитаемое?

Глоссарий по теме:

Уравнение – это равенство с неизвестным числом. Неизвестное число обозначают латинской буквой.

Решить уравнение – это значит найти значение неизвестного, при котором равенство будет верным.

Корень уравнения – это значение неизвестного, обозначенного латинской буквой в уравнении.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Обязательная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М. И. Учебник для 4 класса четырехлетней начальной школы. М. «Просвещение» — 2017.С. 62,63

2. Волкова Е. В. математика Всероссийская проверочная работа за курс начальной школы. Издательство «Экзамен» 2018.С.27

3. Петерсон Л. Г. математика 3 класс. Часть 2. Ювента, 2015.-96с.: ил. С.77-78

Теоретический материал для самостоятельного изучения:

Рассмотрите записи:

376 + 282; (х – у) : 3

Являются ли эти записи уравнениями?

Это не уравнения, так как в уравнении должен быть знак «=». Это выражения.

Уравнение – это равенство с неизвестным числом. Неизвестное число обозначают латинской буквой.

Рассмотрите другие записи:

24 + х = 49; 24 + х = 79 – 30

Это уравнения, так как это равенства, содержащие переменную.

Попробуем их решить.

Что значит решить уравнение?

Решить уравнение – это значит найти значение неизвестного, при котором равенство будет верным.

Вспомните алгоритм решения уравнений.

Алгоритм:

Вспомнить компоненты действия данного уравнения.
Определить неизвестный компонент.
Вспомнить правило нахождения неизвестного компонента.
Применить правило и найти неизвестный компонент.
Записать ответ.
Сделать проверку

Используя алгоритм, решите первое уравнение

24 + х = 49

х = 49 – 24

х = 25

Значение неизвестного х = 25. Это корень уравнения.

Корень уравнения – это значение неизвестного, обозначенного латинской буквой в уравнении. В данном случае – это х.

Можно ли решить второе уравнение, используя этот же алгоритм?

Нет.

Такие уравнения не рассматривались. Какова же цель нашего урока?

Цель урока: научиться решать уравнения, в которых в ответе не число, а числовое выражение.

Такие уравнения мы будем называть составные. Поэтому тема урока: «Решение составных уравнений»

Чтобы решить это уравнение, нужно упростить правую часть.

24 + х = 79 – 30, после чего получаем уравнение известного вам вида

24 + х = 49

х = 49 – 24

х = 25

Проверка:

24 + 25 = 79 – 30

49 = 49

Ответ: корень уравнения 25

Составим алгоритм решения составных уравнений.

Алгоритм решения составных уравнений

1. Найти значение числового выражения.

2. Вспомнить компоненты действия данного уравнения.

3. Определить неизвестный компонент.

4. Вспомнить правило нахождения неизвестного компонента.

5. Применить правило и найти неизвестный компонент.

6. Записать ответ.

7. Сделать проверку.

Решим еще одно уравнение:

75 – х = 9 ∙ 7

Применяем алгоритм решения составных уравнений:

Найти значение числового выражения: 75 – х = 9 ∙ 7

75 – х = 63

Вспомнить компоненты действия данного уравнения: 75 – х = 63

3. Определить неизвестный компонент.

Неизвестно – вычитаемое.

4. Вспомнить правило нахождения неизвестного компонента.

5. Применить правило и найти неизвестный компонент.

х = 75 – 63

6. Записать ответ.

х = 12

7. Сделать проверку.

75 – 12 = 9 ∙ 7

63 = 63

Ответ: корень уравнения 12

Вывод: чтобы решить составное уравнение, в которых в ответе не число, а числовое выражение, необходимо упростить правую часть ( т.е решить выражение), после чего получаем уравнение известного вам вида и решаем его, используя алгоритм решения уравнений.

Решим задачу, составив уравнение:

Сумма неизвестного числа и числа 390 равна произведению чисел 70 и 6. Найди это число.

1. Сумма неизвестного числа и числа 390 – обозначим неизвестное число переменной х, тогда получим х + 390

2. Произведение чисел 70 и 6: 70 ∙ 6

3. Получаем уравнение: х + 390 = 70 ∙ 6

Применяя алгоритм решения составных уравнений, решим его:

х + 390 = 70 ∙ 6

х + 390 = 420

х = 420 – 390

х = 30

Проверка:

30 + 390 = 70 ∙ 6

420 = 420

Ответ: неизвестное число – 30

Источник

Решение простых уравнений — одна из базовых тем для усвоения, при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.

Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную. Значение данной переменной требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.

Переменную, входящую в уравнение, еще называют неизвестным.

Примеры:

выражение 3+2=5 является равенством, так как при вычислении получаем 5=5
выражение 3+х=5 является уравнением, так как содержит переменную х, значение которой можно найти.

Решить уравнение — значит найти такое значение х, чтобы равенство было верным.
То есть, в уравнении 3+х=5 значение будет равно 2 (х=2), чтобы получилось верное равенство.
При этом говорят, что 2 — это корень уравнения или решение уравнения 3+х=5.

Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.

Компоненты

Компонентами называются числа и переменные, которые входят в равенство:

компоненты сложения — слагаемые и сумма;
компоненты вычитания — уменьшаемое, вычитаемое и разность;
компоненты умножения — множители и произведение;
компоненты деления — делимое, делитель и частное.

Правила нахождения неизвестных

Чтобы выразить переменную через другие числа, нужно переменную оставить (или перенести) в левой части выражения, а все числа перенести в правую часть.

Решение простых уравнений подразумевает применение следующих правил:

чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое;
чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое;
чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Примеры:

3+х=5.
Нужно задать вопрос: что сделать с числами 5 и 3, чтобы получить переменную х.
Чтобы найти слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое: х=5-3.
х-3=7
Нужно задать вопрос: что сделать с числами 3 и 7, чтобы получить переменную х.
Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое: х=7+3.
8-х=6
Нужно задать вопрос: что сделать с числами 8 и 6, чтобы получить переменную х.
Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность: х=8-6.
3×а=6 (а-переменная)
Нужно задать вопрос: что сделать с числами 3 и 6, чтобы получить переменную а.
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель
а:4=3(а-переменная)
Нужно задать вопрос: что сделать с числами 4 и 3, чтобы получить переменную а.
Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель: а=3*4
12:а=3(а-переменная)
Нужно задать вопрос: что сделать с числами 12 и 3, чтобы получить переменную а.
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное: а=12:3.

Если неизвестное имеет коэффициент

Решение простых уравнений сводится к тому, что неизвестное нужно выразить через другие числа. Но чаще всего задаются уравнения, в которых неизвестное имеет коэффициент, например: 2х, 5х и т.д. В таких случаях неизвестное нельзя выразить сразу, поскольку оно содержит коэффициент. Поэтому нужно привести это уравнение к виду, в котором переменная будет выражена.

Рассмотрим пример: 2х+4=8.
В данном примере: 2x — первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.

Принимает слагаемое 2х за неизвестное слагаемое. Применяем правило нахождения неизвестного слагаемого: вычитаем из суммы известное слагаемое. Получаем: 2х=8-4 или 2*х=4.
Мы получили новое уравнение . Теперь мы имеем дело с умножением. Применяем правило нахождения неизвестного множителя: произведение делим на известный множитель. Получаем: х=4:2; х=2
Вычислим правую часть, получим значение переменной х.
Проверяем: 2*2+4=8. Равенство верное.

Если уравнение имеет неизвестные с разными коэффициентами

Рассмотрим пример: a+2a+3a=30.
Cразу выразить неизвестное нельзя. Сначала нужно привести данное уравнение к виду при котором его можно было бы выразить. Для этого нужно сложить все неизвестные величины с коэффициентами: 1а+2а+3а=6а (а — это переменная с коэффициентом 1. который не пишется).
Получаем уравнение вида: 6*а=30. Его можно решить как простое уравнение. Получаем корень: а=5.

Равносильные уравнения

Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.

Из предыдущего примера: уравнение a+2a+3a=30 и уравнение 6а=30 являются равносильными.
Проверим это. Подставим корень сначала в уравнение a+2a+3a=30, а затем в уравнение 6а=30, которое получилось в результате приведения подобных слагаемых в левой части предыдущего уравнения. Мы должны получить верные числовые равенства.

Для удобства решения можно любое уравнение преобразовать в равносильное. Для этого можно применить законы математики и свойства уравнений.

Свойства уравнений

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.
Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Пример. Решить уравнение 5х-10=20.
Вычтем из обеих частей уравнения число 10, получим: 5х=20-10 или 5х=10.
В результате получилось равносильное уравнение , корень которого равен 2.

Пример. Решить уравнение 4(х+3)=20.
Раскроем скобки: 4х+12=20.
Вычтем из обеих частей уравнения число 12, получим: 4х=20-12 или 4х=8.
В результате получилось равносильное уравнение , корень которого равен 2.

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

То есть корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные числа.

Пример. Решить уравнение (1/4)х+5=6,5

При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала принято упростить это уравнение.
Для упрощения обе части уравнения можно умножить на 4: 4*(1/4)х+4*5=4*6,5 или х+20=26.
В результате останется простейшее уравнение. Получаем, что корень равен 6.
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение. Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример. Решить уравнение 8х+16=56

Для упрощения обе части уравнения можно разделить на 8: 8х:8+16:8=56:8 или х+2=7.
В результате останется простейшее уравнение. Получаем, что корень равен 5.
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение. Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Если обе части уравнения умножить на минус единицу (поменять знаки), то получится уравнение равносильное данному.

Это правило следует из того, что если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже число, не равное нулю, то получится равносильное уравнение. Иногда это нужно для того, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.

Понятно, что от умножения на −1 любое число поменяет свой знак на противоположный. Поэтому саму процедуру умножения на −1 и раскрытие скобок подробно не расписывают, а сразу записывают компоненты уравнения с противоположными знаками.

При этом минус, стоящий перед переменной x, относится не к самой переменной x, а к единице, которую мы не видим, поскольку коэффициент 1 принято не записывать.

Пример. Решить уравнение: 2х-5х+10=4.

Приведем подобные слагаемые: -3х+10=4
Перенесем второе слагаемое в правую часть: -3х=-6
Для удобства умножим обе части на (-1). получим: 3х=6.
Корень: х=2.

Уравнение имеет несколько корней

Уравнение может иметь несколько корней.

Рассмотрим уравнение: x(x + 9) = 0.
Из законов умножения мы знаем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
То есть в уравнении x(x + 9) = 0 равенство будет выполняться, если x будет равен нулю или (x + 9) будет равно нулю. Таким образом, уравнение имеет два корня: 0 и −9.

Уравнение имеет бесконечно много корней

Уравнение может иметь бесконечно много корней, когда при подстановке подставив в такое уравнение любого числа, мы получим верное равенство.

Например: рассмотрим простое уравнение 6*(х+2)=6х+12. Если раскрыть скобки в левой части уравнения и привести подобные слагаемые, то получится равенство 6х+12= 6х+12. Это равенство будет выполняться при любом х.

Уравнение не имеет корней

Бывает и так, что уравнение совсем не имеет корней.

Например: уравнение х+2=х.
Данное уравнение не имеет корней, так как при любом значении х, левая часть уравнения всегда будет больше правой на 2.

Таким образом, мы рассмотрели в статье решение разных видов простых уравнений. Решение более сложных уравнений без знания данного материала практически невозможно.

Далее вы можете переходить к решению квадратных уравнений и решению систем линейных уравнений.

Для решения уравнений вам также могут понадобится темы: раскрытие скобок и порядок действий в примерах.

Источник

В математике решение уравнения — это задача по нахождению всех значений аргументов (чисел, функций, наборов и т. д.), при которых выполняется равенство (выражения слева и справа от знака равенства становятся эквивалентными). Значения неизвестных переменных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет вовсе (либо нет тех, что удовлетворяют заданным условиям).

Например, уравнение решается для неизвестного с помощью замены так как замена переменной на выражение превращает уравнение в тождество: Кроме того, если положить неизвестной переменную тогда уравнение решается с помощью замены . Замена переменной на выражение превращает уравнение в тождество: Также и могут одновременно рассматриваться как неизвестные переменные. Существует много решений уравнения для подобного случая, например, — то есть x=1 и а в общем, для всех возможных значений.

В зависимости от задачи, может требоваться найти одно решение (любое подходящее решение) или все решения уравнения. Все решения уравнения называются множеством решений. Помимо простого нахождения решения, может ставиться задача по нахождению наилучшего решения уравнения по какому-либо параметру. Задачи такого рода называются задачами оптимизации. Решения задач оптимизации, как правило, не называются «решениями уравнения».

Аналитические методы решения уравнения[править | править код]

Под методом решения задачи (в т.ч. уравнения) понимается, прежде всего, пошаговый алгоритм.

Аналитический метод решения (иначе, просто аналитическое решение) — это выражение замкнутой формы, которое может быть вычислено за конечное число операций^[1]. Однако, существуют формулы (выражения), содержащие в себе невычислимые (или непредставимые) на данном этапе развития теории и технологий функции. Далее под аналитическим решением мы будем иметь в виду любое решение, записанное в формульном виде, содержащее в себе известные или определённые функции от параметров (в случае числовых уравнений) или переменных (в случае функциональных уравнений). Ниже приведены основные аналитические методы решений различного вида уравнений.

Метод подбора значения[править | править код]

Самый простой нелогичный (т.к. не требует никакого подчинения законам математической логики) метод решения уравнения, заключающийся в угадывании правильного значения корня. С этого метода начинается обучение решению более сложных уравнений, чем линейные (напр., квадратные и кубические), в 5—7-х классах средней образовательной школы в России.

Пример решения уравнения методом подбора: ${displaystyle x^{2}-2x+1=0}$

Легко догадаться, что одним из корней уравнения будет Чтобы проверить правильность подобранного значения, необходимо подставить его в исходное уравнение вместо переменной ${displaystyle x:{text{ }}1^{2}-2cdot 1+1=0Longleftrightarrow 0=0.}$ .

Как видно, требуемое тождественное равенство выполняется, а это значит, что найденное нами значение является правильным (то есть входит в множество решений уравнения).

Недостатки метода подбора:

Чаще всего, корнями уравнения являются иррациональные (алгебраически иррациональные или даже трансцендентные) числа, угадать которые практически невозможно;
Методом подбора нельзя указать на отсутствие решения при каких-либо ограничениях на значение решений;
В случае бесконечного множества решений (напр., в уравнениях с двумя и более переменными) данный метод совершенно не подходит, однако, бывает полезен, когда с помощью одного подобранного правильного значения каким-либо другим известным методом можно получить остальные допустимые решения^[2];
Далеко не все уравнения представлены в виде простых функций от переменной, так что решить такие уравнения метод подбора также неспособен;
Применимость данного метода ограничивается не только сложностью уравнений, их видом и областью допустимых решений, но также наличием хороших вычислительных способностей, знанием наиболее часто встречающихся значений и их соответствия конкретному виду уравнений^[3].

Преимущества метода подбора:

Простота использования (применение метода подбора не требует выполнения практически никаких логических действий, за исключением проверки);
Скорость получения решения (обычно, там, где на необходимость применения метода подбора указано в контексте, решения подбираются довольно-таки быстро);
Доступность в применении (ведь иногда бывает так, что аналитическое решение какого-либо вида уравнения отсутствует совсем, но значение всё ещё легко подобрать в каком-то конкретном случае, например, уравнение ${displaystyle 2^{x}-x^{2}-1=0}$ пока что^{[уточнить]} невозможно^[кому?] решить аналитическим путём^[4], но, тем не менее, получить хотя бы один корень методом подбора довольно-таки просто: ${displaystyle x=1longrightarrow 2^{1}-1^{2}-1=0Longleftrightarrow 0=0).}$

Полный перебор[править | править код]

Частным случаем метода подбора является метод полного перебора — то есть поиска решения исчерпыванием всевозможных вариантов. Используется в случае, если множество всех решений (либо всех решений, удовлетворяющих определённым условиям) конечно.

Метод обратной операции [инверсии][править | править код]

Данный метод решения уравнений, называемый иначе методом построения обратной функции, основывается на свойстве обратной функции нивелировать влияние функции на значение переменной^[5]:

${displaystyle f^{-1}(f(x))=x}$ или, что по сути то же самое, ${displaystyle f(f^{-1}(x))=x.}$

Метод обычно используется в составе других методов решений и самостоятельно применяется лишь тогда, когда переменные и константы находятся по разные стороны от знака равенства: ${displaystyle f(x)=g(a_{0},a_{1},...a_{i}),a_{i}=const.}$

Самый простой пример — линейное уравнение: Здесь ${displaystyle f(x)=5x,{text{ }}g(a_{i})=10,}$ значит ${displaystyle f^{-1}(x)={frac {x}{5}},}$ и получаем: ${displaystyle f^{-1}(f(x))={frac {5x}{5}}=x,}$ теперь то же самое нужно проделать с другой частью уравнения: ${displaystyle f^{-1}(g(a_{i}))={frac {10}{5}}=2,}$ отсюда Проверка:

Ещё пример: ${displaystyle x^{2}=4Longleftrightarrow x=pm {sqrt {4}}Longleftrightarrow x_{1,2}=2;-2.}$

Рассмотрим следующую задачу со схемой решения: если дано уравнение вида , где — константа, то искомое неизвестное равно ${displaystyle f^{-1}left(Cright)}$ .

Решить уравнение .
Это равенство по определению квадратного корня означает, что ${displaystyle 2x+1=3^{2}}$ . Фактически от заданного иррационального уравнения мы перешли к рациональному уравнению ${displaystyle 2x+1=3^{2}}$ . Освобождаемся последовательно от всего того, что «нанизано» на наше неизвестное и находим: . Если же теперь вспомнить схему решения выше, то по ней получаем: , а . Тогда к ответу приходим запросто: ${displaystyle f^{-1}left(Cright)={dfrac {C^{2}-1}{2}}Longrightarrow f^{-1}left(3right)={dfrac {3^{2}-1}{2}}=4.}$ Ответ: .

Решить уравнение

Это равенство по определению квадратного корня означает, что ${displaystyle 2x+1=3^{2}}$

. Фактически от заданного иррационального уравнения мы перешли к рациональному уравнению ${displaystyle 2x+1=3^{2}}$

. Освобождаемся последовательно от всего того, что «нанизано» на наше неизвестное и находим:

Если же теперь вспомнить схему решения выше, то по ней получаем: , а . Тогда к ответу приходим запросто:

${displaystyle f^{-1}left(Cright)={dfrac {C^{2}-1}{2}}Longrightarrow f^{-1}left(3right)={dfrac {3^{2}-1}{2}}=4.}$

Ответ: .

Иногда, для того чтобы решить уравнение , можно поступить через реверсию. Другими словами, решить уравнение ${displaystyle f^{-1}left(xright)=g^{-1}left(xright)}$ , которое может оказаться проще, чем исходное. Далее все решения приравнять либо к левой части исходного равенства, либо же приравнять к правой, то есть . И таким образом можно найти неизвестное.

Решить уравнение .
Ясно, поскольку , то . Исходное уравнение равносильно , а оно равносильно ${displaystyle x^{2}={dfrac {3-x}{2}}Longrightarrow {biggl [}{begin{array}{lcl}x=1\x=-3,5end{array}}Longrightarrow {sqrt {x}}=1Longrightarrow {color {Red}x=1}.}$ Ответ: .

Решить уравнение

Ясно, поскольку

, то

. Исходное уравнение равносильно

, а оно равносильно ${displaystyle x^{2}={dfrac {3-x}{2}}Longrightarrow {biggl [}{begin{array}{lcl}x=1\x=-3,5end{array}}Longrightarrow {sqrt {x}}=1Longrightarrow {color {Red}x=1}.}$

Ответ: x=1 .

Решить уравнение .
Уединим радикал , то есть . Обозначим: и . Найдём обратные функции к ним и приравняем их, получим: ${displaystyle {begin{cases}f^{-1}left(xright)={dfrac {x^{2}-7}{3}}\g^{-1}left(xright)=left(3-xright)^{2}-2\f^{-1}left(xright)=g^{-1}left(xright)end{cases}}Longleftrightarrow {dfrac {x^{2}-1}{3}}=left(x-3right)^{2}.}$ Последнее уравнение можно преобразить к виду ${displaystyle x^{2}-9x+14=0}$ . По теореме Виета легко найти корни данного уравнения: или . Теперь мы можем подставить их в одну из частей равенства ${displaystyle f^{-1}left(xright)=g^{-1}left(xright)}$ . Например, подставим в функцию ${displaystyle g^{-1})}$ и будем иметь: ${displaystyle g^{-1}left(2right)=left(3-2right)^{2}-2={color {Magenta}-1}}$ и ${displaystyle g^{-1}left(7right)=left(3-7right)^{2}-2={color {Magenta}14}}$ . Непосредственной проверкой убеждаемся, что . Ответ: . `Другой способ`. Этот способ основан на таком понятии, как подстановка. Оказывается, для левой части исходного уравнения [сумма двух радикалов] существует обратная функция, в которую при подстановке значения, стоящее в правой части, можно сразу получить ответ. В общем виде это выглядит так. Для функции , причём , «подстановочной» функцией является следующая: ${displaystyle f^{-1}left(xright)={dfrac {left(a+cright)x^{2}+left(a-cright)left(d-bright)pm 2x{sqrt {acleft(x^{2}-left(d+bright)right)+a^{2}d+bc^{2}}}}{left(a-cright)^{2}}}.}$ В соответствии с этой формулой при [то, что стоит справа в исходном уравнении] мы получим: ${displaystyle f^{-1}left(3right)={dfrac {left(3+1right)cdot 3^{2}+left(3-1right)left(2-7right)pm 2cdot 3cdot {sqrt {3cdot 1cdot left(3^{2}-left(2+7right)right)+3^{2}cdot 2+7cdot 1^{2}}}}{left(3-1right)^{2}}}={dfrac {4cdot 9-2cdot 5pm 6cdot {sqrt {18+7}}}{4}}={dfrac {18-5pm 3cdot {sqrt {25}}}{2}}={dfrac {13pm 15}{2}}.}$ Итак, как и раньше, у нас два претендента: и . Дальше отбор корней. Ответ: .

Решить уравнение

{displaystyle {sqrt {3x+7}}+{sqrt {x+2}}=3}

Уединим радикал

, то есть

{displaystyle {sqrt {3x+7}}=3-{sqrt {x+2}}}

. Обозначим:

{displaystyle fleft(xright)rightleftharpoons {sqrt {3x+7}}}

{displaystyle gleft(xright)rightleftharpoons 3-{sqrt {x+2}}}

. Найдём обратные функции к ним и приравняем их, получим: ${displaystyle {begin{cases}f^{-1}left(xright)={dfrac {x^{2}-7}{3}}\g^{-1}left(xright)=left(3-xright)^{2}-2\f^{-1}left(xright)=g^{-1}left(xright)end{cases}}Longleftrightarrow {dfrac {x^{2}-1}{3}}=left(x-3right)^{2}.}$

Последнее уравнение можно преобразить к виду ${displaystyle x^{2}-9x+14=0}$ . По теореме Виета легко найти корни данного уравнения: x=2 или x=7 . Теперь мы можем подставить их в одну из частей равенства ${displaystyle f^{-1}left(xright)=g^{-1}left(xright)}$ . Например, подставим в функцию ${displaystyle g^{-1})}$ и будем иметь: ${displaystyle g^{-1}left(2right)=left(3-2right)^{2}-2={color {Magenta}-1}}$ и ${displaystyle g^{-1}left(7right)=left(3-7right)^{2}-2={color {Magenta}14}}$ . Непосредственной проверкой убеждаемся, что .

Ответ: .

Другой способ. Этот способ основан на таком понятии, как подстановка. Оказывается, для левой части исходного уравнения [сумма двух радикалов] существует обратная функция, в которую при подстановке значения, стоящее в правой части, можно сразу получить ответ. В общем виде это выглядит так. Для функции , причём , «подстановочной» функцией является следующая: ${displaystyle f^{-1}left(xright)={dfrac {left(a+cright)x^{2}+left(a-cright)left(d-bright)pm 2x{sqrt {acleft(x^{2}-left(d+bright)right)+a^{2}d+bc^{2}}}}{left(a-cright)^{2}}}.}$
В соответствии с этой формулой при x=3 [то, что стоит справа в исходном уравнении] мы получим: ${displaystyle f^{-1}left(3right)={dfrac {left(3+1right)cdot 3^{2}+left(3-1right)left(2-7right)pm 2cdot 3cdot {sqrt {3cdot 1cdot left(3^{2}-left(2+7right)right)+3^{2}cdot 2+7cdot 1^{2}}}}{left(3-1right)^{2}}}={dfrac {4cdot 9-2cdot 5pm 6cdot {sqrt {18+7}}}{4}}={dfrac {18-5pm 3cdot {sqrt {25}}}{2}}={dfrac {13pm 15}{2}}.}$

Итак, как и раньше, у нас два претендента: и . Дальше отбор корней.

Ответ: .

Решить уравнение ${displaystyle {sqrt {dfrac {1+2x{sqrt {1-x^{2}}}}{2}}}+2x^{2}=1}$ .
Преобразуем уравнение к виду ${displaystyle {dfrac {1}{2}}+x{sqrt {1-x^{2}}}=left(1-2x^{2}right)^{2}}$ . Пусть ${displaystyle fleft(xright)rightleftharpoons {dfrac {1}{2}}+x{sqrt {1-x^{2}}}}$ и ${displaystyle gleft(xright)rightleftharpoons left(1-2x^{2}right)^{2}}$ . Найдём функции ${displaystyle f^{-1}left(xright)}$ и ${displaystyle g^{-1}left(xright)}$ . Ответ: .

Решить уравнение ${displaystyle {sqrt {dfrac {1+2x{sqrt {1-x^{2}}}}{2}}}+2x^{2}=1}$

Преобразуем уравнение к виду ${displaystyle {dfrac {1}{2}}+x{sqrt {1-x^{2}}}=left(1-2x^{2}right)^{2}}$

. Пусть ${displaystyle fleft(xright)rightleftharpoons {dfrac {1}{2}}+x{sqrt {1-x^{2}}}}$

и ${displaystyle gleft(xright)rightleftharpoons left(1-2x^{2}right)^{2}}$

Найдём функции ${displaystyle f^{-1}left(xright)}$ и ${displaystyle g^{-1}left(xright)}$ .

Ответ: .

Недостатки метода обратной операции:

Иногда обратная функция от переменной в составе других методов решений приводит к нескольким результатам, из-за чего в решении появляются посторонние корни, которые были получены логическим путём, но не подходят в уравнение (нарушают тождественное равенство)^[6]^[7], что выясняется только при проверке;
Обратные операции, чаще всего, кажутся гораздо более сложными, чем обычные (например, дети начальных классов воспринимают деление как более сложное действие, чем “привычное” им умножение; старшеклассники часто долго приспосабливаются к интегрированию, потому что дифференцирование для них, также весьма привычное, воспринимается более лёгким);
Редки случаи, но так же имеют место быть, когда та или иная операция обратна сама себе [инволюция] (допустим, как линейная функция или интеграл и производная от показательной функции $f(x)=e^{x}$ ^[8]);
Не все обратные функции представимы в виде композиций других известных функций (чаще всего, это интегралы — интегралы Френеля, функция Лапласа, интегральные синус и косинус, интегральная экспонента, или, например, неэлементарные, такие, как W-функция Ламберта, тетрация и суперкорень);
Не всякая обратная операция даёт допустимое или вообще хоть какое-нибудь решение (например, функция $f(x)=x^{2}$ даёт действительное число при любом значении переменной, однако, это значение всегда неотрицательно^[9], из-за чего нахождение обратной функции ограничивается неотрицательностью аргумента; также, например, существуют неинтегрируемые^[10] или недифференцируемые^[11] функции, наподобие функции Дирихле, функции Вейерштрасса и др.);
Для некоторых обратных операций до сих пор не существует алгоритма вычисления, так что значения этих функций, как решения каких-либо уравнений, так и остаются в виде формул (например, суперлогарифм, ζ-функция Римана и т. д.).

Преимущества метода обратных операций:

В отличие от метода подбора, применение обратных функций, чаще всего, позволяет не упустить дополнительные существующие допустимые решения, даже если их множество бесконечно;
Обратные операции являются одной из основных составляющих почти любых логичных методов решения уравнений, используются гораздо чаще и на своём примере помогают лучше разобраться в понятиях области допустимых значений, области определения и области изменения значения аргумента(-ов);
В большинстве случаев значения обратных функций можно вычислить с помощью различного рода калькуляторов или же, наоборот, оставить их в формульном выражении для удобства в дальнейшем применении.

Графический метод[править | править код]

Данный метод решения задач (в том числе, уравнений) основывается на базовом свойстве графиков функций — определённым и (в идеале) точным отображением значений аргументов и значений функций от этих аргументов в пространстве координат, вследствие чего каждая точка графика имеет не более одного набора этих значений для каждой конкретной функции (то есть два значения от одного и того же аргумента не могут быть присвоены одной и той же точке координат).

По определению, две функции имеют одну общую точку (точку пересечения графиков) тогда, когда их значения от одного(их) и того(тех) же значения(-й) аргумента(-ов) равны: ${displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{i})=g(x_{1},x_{2},...,x_{i}).}$

Например, решим графически уравнение ${displaystyle {frac {1}{2}}x^{2}-4x+10=x-2}$ (см. рисунок ниже):

Пример точек пересечения (A и B).

Здесь чёрным цветом показан график функции ${displaystyle f(x)={frac {1}{2}}x^{2}-4x+10,}$ синим цветом — график функции Абсциссы точек A и B образуют множество решений исходного уравнения: ${displaystyle x_{1}=4,x_{2}=6,}$ что легко находится проекцией точек на ось абсцисс (ось ). Проверка: ${displaystyle {frac {1}{2}}cdot 4^{2}-4cdot 4+10=4-2Longleftrightarrow 2=2}$ и ${displaystyle {frac {1}{2}}cdot 6^{2}-4cdot 6+10=6-2Longleftrightarrow 4=4.}$ Решение является исчерпывающим, поскольку прямая не может пересечь параболу более двух раз (согласно основной теореме алгебры).

Недостатки графического метода:

Графически, за исключением простых случаев, можно получить только приблизительное решение;
Не всякие значения и не всяких функций вычислимы, поэтому их графики самостоятельно построить нельзя;
Не зная свойств входящих в уравнение функций, невозможно точно утверждать, является ли полученное множество решений исчерпывающим;
Чаще всего, применимость данного метода ограничивается построением графиков функций в окрестностях центра координат;
Воспроизведение графиков функций, что называется, “в уме” бывает достаточно затруднительным, в таких случаях без каких-либо дополнительных приспособлений никак не обойтись.

Преимущества графического метода:

Простота использования (уровня знаний средней школы вполне достаточно);
Доступность в применении (например, когда решение уравнения ещё не изучалось или отсутствует вовсе);
Наглядность представления (помогает лучше понять, что представляет собой какое-либо решение и как его можно изобразить)^[12].

Кроме описанного метода существуют специальные модифицированные графические методы, такие, например, как метод Лиля.

Метод оценки ОДЗ[править | править код]

Основной источник: ^[13]

Метод оценки ОДЗ (области допустимых значений) заключается в отсечении некоторой части значений из области значений функции, в которых данная функция не существует (иначе, отсечение значений, которые она не может принимать).

Например, решим методом оценки ОДЗ следующую систему уравнений:

${displaystyle {begin{cases}{frac {1}{x+1}}+x+1=2\sin ^{2}(x)=xend{cases}}}$

Начнём с верхнего уравнения, основываясь на следующем свойстве суммы взаимно-обратных чисел: ${displaystyle {frac {1}{n}}+ngeqslant 2,n>0.}$ Оно непосредственно выводится из частного случая нестрогого неравенства о степенных средних^[14]. Причём равенство двум достигается только в том случае, если эти числа равны: ${displaystyle {frac {1}{x+1}}=x+1Longleftrightarrow (x+1)^{2}=1Longleftrightarrow x+1=pm 1.}$ В результате получаем множество решений: ${displaystyle x_{1}=0,{text{ }}x_{2}=-2.}$

В нижнем уравнении присутствует неотрицательная функция возведения в квадрат и функция значения которой лежат в диапазоне

Как видно, второе решение не подходит по обоим критериям, что избавляет нас от необходимости второй проверки. Осталось проверить первый корень: ${displaystyle sin(0)=0Longleftrightarrow sin ^{2}(0)=0Longleftrightarrow 0=0.}$ Значит, единственное решение исходной системы уравнений — это ${displaystyle x_{1}=0.}$

Недостатки метода оценки ОДЗ:

Преимущества метода оценки ОДЗ:

Данный метод бывает полезен, когда необходимо доказать отсутствие допустимого решения, но сделать это другими методами не представляется возможным;
Методом оценки ОДЗ, в отличие от графического метода и метода подбора, возможно получить и бесконечное множество допустимых решений;
Как было показано в примере, грамотное применение метода оценки позволяет избежать дополнительных проверок;
Некоторые уравнения гораздо проще решить именно таким методом (например, частные случаи иррациональных уравнений).

Метод разложения на множители[править | править код]

Метод разложения на множители уравнений (то есть их факторизация) применяется для представления их в виде произведения нескольких менее сложных, чаще, однотипных уравнений^[16]. Разложение основывается на свойстве произведения нескольких множителей равняться нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей также равен нулю^[17].

Этот метод решения именно полиномиальных уравнений являлся отдельным направлением алгебры на протяжении многих столетий^[18] и представляет собой совокупность сразу нескольких алгоритмов получения решения. Его актуальность и значимость есть следствие основной теоремы алгебры, согласно которой любой многочлен любой ненулевой конечной степени имеет хотя бы один комплексный корень.

Самым простым из всех способов разложения является, пожалуй, деление многочлена на многочлен.

Недостатки метода факторизации многочленов:

Преимущества метода факторизации многочленов:

Некоторые частные случаи уравнений, для которых общий алгоритм решения не найден или слишком сложен, возможно решить только разложением (например, уравнения шестой и выше степеней, алгоритмы будущего решения которых слишком громоздки, сложно и долго вычисляемы, вследствие чего их разработка становится нецелесообразной^[20]);
Все способы разложения выведены достаточно давно, доступны в открытых источниках, не выходят за рамки школьной программы и, кроме обыкновенного калькулятора, дополнительных знаний и приспособлений (в том числе специальных программных продуктов), как правило, не требуют.

Методы преобразований[править | править код]

К числу этих методов относятся наборы действий, выполняемых над обеими частями уравнения (перед знаком равенства и после), приводящие к уравнениям-следствиям или равносильным уравнениям, решить которые гораздо легче вследствие наличия известного алгоритма решения или представления их в более удобной форме, позволяющей быстро соотнести их с тем или иным известным алгоритмом решения. Ниже приведён список основных преобразований.

Перенос слагаемых[править | править код]

Любую часть уравнения можно “перенести в другую сторону, за знак равенства”, прибавив её к другой части уравнения и только поменяв знак(!) на противоположный^[21].

Например, решим в вещественных числах уравнение: ${displaystyle x^{2}-2x+4=2x.}$

Для этого перенесём правую часть уравнения в левую, поменяв знак правой части на противоположный: ${displaystyle x^{2}-2x+4-2x=0.}$

Далее, вследствие ассоциативности функции умножения на константу, сложим подобные слагаемые: ${displaystyle x^{2}-4x+4=0.}$

Теперь легко увидеть, что получившаяся левая часть напоминает формулу полного квадрата: ${displaystyle (x-2)^{2}=x^{2}-4x+4.}$

Отсюда находим корни: ${displaystyle pm (x-2)=0longrightarrow x_{1}=x_{2}=2.}$ Проверка: ${displaystyle 2^{2}-2cdot 2+4=2cdot 2Longleftrightarrow 4=4.}$

Перенос слагаемых можно выполнять в любых случаях (не вынося аргумент из-под функции), при этом получившиеся уравнения являются равносильными.

Прибавление (вычитание) константы (выражения)[править | править код]

Этот приём преобразования уравнений основан на свойстве числового равенства — его инвариантности относительно сложения (числовое равенство останется таковым, даже если к обеим его частям прибавить какое-либо число, в том числе и отрицательное). В свою очередь, данное свойство числового равенства является всего лишь частным случаем аналогичного свойства числовых нестрогих неравенств^[22]. Так как большинство решаемых уравнений выполняются над полем каких-либо чисел (бывают нечисловые уравнения, например, — функциональные, где в качестве неизвестной переменной выступают функции), то такие же числовые свойства распространяются и на уравнения.

Суть преобразования состоит в том, что к обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число или выражение с числовой функцией, ОДЗ которой не уже, чем ОДЗ функций в исходном уравнении. Перенос слагаемых является просто частным случаем прибавления (вычитания) выражений. В частности, “взаимоуничтожение” одинаковых слагаемых по разные стороны знака равенства есть следствие возможности переноса.

Прибавление числового выражения возможно всегда, однако, приводит к равносильному уравнению только тогда, когда область ОДЗ функции в выражении не уже, чем ОДЗ функций исходного уравнения. Например, прибавив к обеим частям выражение sqrt{x} мы придём к уравнению-следствию, в котором неотрицательность переменной может отсеять существующие отрицательные корни, из-за чего позднее нам придётся учитывать это ограничение.

Также бывает полезен несколько обратный приём — выделение слагаемого, например: ${displaystyle {frac {x^{2}+5x+6}{x+2}}=0Longleftrightarrow {frac {(x^{2}+4x+4)+(x+2)}{x+2}}=0Longleftrightarrow {frac {(x+2)^{2}}{x+2}}+{frac {x+2}{x+2}}=0Longleftrightarrow (x+2)+1=0longrightarrow x_{1}=-3.}$

Умножение (деление) на ненулевую(ое) константу (выражение)[править | править код]

Умножение числовых равенств (то есть, числовых уравнений) на одно и то же ненулевое числовое выражение есть следствие возможности прибавления этого выражения, а, значит, распространяет на себя его свойства, добавляя, разве что, ограничение на не равенство переменной нулю^[21].

Используя предыдущий пример: ${displaystyle x^{2}+5x+6=0Longleftrightarrow (x^{2}+4x+4)+(x+2)=0Longleftrightarrow (x+2)^{2}+(x+2)=0.}$

Теперь поделим оба слагаемых на ${displaystyle (x+2):{frac {(x+2)^{2}}{x+2}}+{frac {x+2}{x+2}}=0Longleftrightarrow x+2+1=0longrightarrow x_{1}=-3.}$

Однако, поделив на это выражение, мы установили ограничение — его неравенство нулю: Поэтому теперь необходимо проверить, не является ли данное значение корнем исходного уравнения, отсеянным этим самым ограничением: ${displaystyle (-2)^{2}+5cdot (-2)+6=4-10+6=0.}$

Как видно, сужение ОДЗ даже на одну точку (число) способно сильно исказить множество всех возможных допустимых решений.

Замена выражений[править | править код]

Самый распространенный из методов — метод замены переменной. Искусство производить замену переменных заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональна и быстрее приведет к успеху.

Суть метода замены переменной заключается в том, что путём замены некоторого входящего в уравнение выражения, содержащего переменную, в исходном уравнении либо понижается степень, либо от дробного переходят к целому уравнению, либо иррациональное уравнение сводят к рациональному, то есть исходное уравнение сводится к простейшему. Данный метод применяется в уравнениях, где замена переменной очевидна или становится очевидной после некоторых элементарных тождественных преобразований.

Тождественная замена переменной другим выражением, содержащим функции от переменной, ОДЗ которых не уже, чем ОДЗ функций исходного уравнения, также всегда приводит к равносильному уравнению. Сама его возможность и равносильность основываются на свойстве транзитивности чисел (если в тройке чисел какие-то два числа попарно равны третьему, следовательно, все три числа равны между собой^[23]).

Замена очень часто используется в решении уравнений любого рода и даже больше (например, для уравнения третьей степени существует тригонометрическая формула Виета, для нахождения первообразных — универсальная тригонометрическая подстановка Вейерштрасса, для интегралов от рациональных функций — специальные подстановки Эйлера и т.д.).

По сути, любая формула корней уравнения есть частный случай замены, когда в выражении, заменяющем переменную, не содержится переменных совсем (то есть функция в этом выражении содержит в качестве аргумента(ов) константу(ы)).

Замена выражения также помогает прийти к более лёгкому уравнению. Однако, многие часто путают корни уравнения-следствия с корнями исходного уравнения, ошибочно подставляя их не в то уравнение при проверке. Так, например, сделав замену ${displaystyle x=a^{y}}$ и получив конкретное значение y_0 в качестве корня уравнения-следствия с переменной , для проверки необходимо сначала подставить y_0 в формулу замены ${displaystyle x=a^{y},}$ чтобы рассчитать $x_{0}$ , которое и будет корнем исходного уравнения от переменной и которое необходимо подставить в него для проверки.

Однако, существуют типы уравнений, для которых определённые виды замены делать нельзя.

Например, уравнение вида: ${displaystyle a^{(n)}x=x,{text{ }}aneq 0,}$ где ${displaystyle a^{(n)}x}$ — это гипероператор порядка (для каждого из них есть дополнительные ограничения на )

Если сделать замену ${displaystyle x=a^{(n+1)}y,}$ то получим уравнение-следствие: ${displaystyle a^{(n)}{bigl (}a^{(n+1)}y{bigr )}=a^{(n+1)}yLongleftrightarrow a^{(n+1)}(y+1)=a^{(n+1)}y.}$

Отсюда следует, что, либо и решения нет (что противоречит “теоретической практике”), либо гипероператоры неоднозначны (что неверно для первых трёх операторов — сложения, умножения и возведения в степень).

Для наглядности, положим, что n=3 : ${displaystyle a^{(3)}x=xLongleftrightarrow a^{x}=x.}$ Сделаем замену ${displaystyle x=a^{(4)}y={}^{y}a:}$ ${displaystyle a^{{}^{y}a}={}^{y}aLongleftrightarrow {}^{y+1}a={}^{y}a,}$ откуда приходим к противоречию хотя решение данного исходного уравнения существует и выражается через суперкорень второй степени^[24].

Возведение в степень[править | править код]

Благодаря возможности умножения числового выражения на числовое выражение становится возможным возведение числового выражения в ненулевую степень^[21], которое является частным случаем умножения при идентичности множителей. Однако, возведение в степень строго определено лишь для неотрицательных чисел, поэтому, возводя в степень выражение с переменной, необходимо указать соответствующее ограничение и учитывать его в дальнейшем.

Если всё-таки без возведения в степень отрицательного выражения не обойтись, то показатель степени должен быть целым числом, иначе такое преобразование приведёт к решению уже двух уравнений вместо одного и увеличению количества посторонних корней, поскольку: ${displaystyle (-n)^{frac {1}{k}}=-{sqrt[{k}]{n}},{frac {k+1}{2}}in mathbb {Z} ,}$ но в то же время ${displaystyle {frac {1}{k}}={frac {2}{2k}}longrightarrow (-n)^{frac {2}{2k}}={sqrt[{2k}]{(-n)^{2}}}={sqrt[{2k}]{1cdot n^{2}}}={sqrt[{k}]{n}},kin mathbb {Z} .}$ С иррациональными показателями ситуация пока что не определена.

Возведение в нулевую степень нуля (или выражения, которое может принимать нулевое значение) также невозможно (см. Неопределённость).

Чётные показатели степени удваивают количество решаемых уравнений, поскольку показательные функции чётных степеней чётные. Количество посторонних корней также увеличивается^[21].

Логарифмирование[править | править код]

Согласно свойствам числовых нестрогих неравенств^[22], обе части уравнения можно логарифмировать. Однако, здесь тоже есть свои ограничения (для поля вещественных чисел):

Если логарифмирование осуществляется по положительному основанию-числу, то логарифмируемое выражение (число) также должно быть положительным;
Если логарифмирование осуществляется по отрицательному основанию-числу, то логарифмируемое выражение (число) также должно быть отрицательным (при этом доопределение логарифма нужно пояснить);
Логарифмирование выражений со значениями, противоположными по знаку значениям основания, невозможно.

Именно поэтому логарифмирование, как правило, приводит не к увеличению посторонних, а к потере истинных корней.

Потенцирование[править | править код]

В противоположность возведению в степень числовые равенства можно преобразовывать в показатели степени^[21]: ${displaystyle f(x_{1},x_{2}...)=g(a_{1},a_{2},...)Longleftrightarrow b^{f(x_{1},x_{2}...)}=b^{g(a_{1},a_{2},...)},b,a_{1},a_{2}...=const.}$

Тогда, как числовые выражения могут быть любыми, основание должно быть положительно (или отрицательно — с наложением на переменную соответствующих ограничений).

Более того, потенцировать можно даже показатели степени у выражений, однако, при этом между основанием и степенью есть своеобразная ограничивающая взаимозависимость, из-за чего основание не может быть любым: ${displaystyle f^{n}(x_{1},x_{2},...)=g^{m}(a_{1},a_{2},...)Longleftrightarrow f^{(k^{n})}(x_{1},x_{2},...)=g^{(k^{m})}(a_{1},a_{2},...),{text{if }}k={biggl (}{frac {m}{n}}{biggr )}^{frac {1}{m-n}}.}$

Это легко доказывается следующим образом:

${displaystyle f^{n}(x_{1},x_{2},...)=g^{m}(a_{1},a_{2},...)}$

${displaystyle f^{(k^{n})}(x_{1},x_{2},...)=g^{(k^{m})}(a_{1},a_{2},...)}$

${displaystyle f(x_{1},x_{2},...)=g^{frac {(k^{m})}{(k^{n})}}(a_{1},a_{2},...)Longleftrightarrow f(x_{1},x_{2},...)=g^{(k^{m-n})}(a_{1},a_{2},...)}$

Подставляем вместо ${displaystyle f(x_{1},x_{2},...)}$ получившееся выражение в исходное уравнение:

${displaystyle g^{n(k^{m-n})}(a_{1},a_{2},...)=g^{m}(a_{1},a_{2},...),}$ отсюда получаем: ${displaystyle n(k^{m-n})=m.}$ Далее:

${displaystyle k^{m-n}={frac {m}{n}}Longleftrightarrow k={biggl (}{frac {m}{n}}{biggr )}^{frac {1}{m-n}}.}$ В случае m=1 формула значительно упрощается:

${displaystyle k={biggl (}{frac {1}{n}}{biggr )}^{frac {1}{1-n}}Longleftrightarrow k={Biggl (}{frac {1}{n^{frac {1}{1-n}}}}{Biggr )}Longleftrightarrow k=n^{-{frac {1}{1-n}}}=n^{frac {1}{n-1}}.}$

Тетрация с показателем 2[править | править код]

Для числовых выражений можно вычислять тетрацию с показателем 2 (то есть возводить выражение в степень самого себя):

${displaystyle f(x_{1},x_{2}...)=g(a_{1},a_{2},...)Longleftrightarrow {}^{2}{f(x_{1},x_{2}...)}={}^{2}{g(a_{1},a_{2},...)}Longleftrightarrow {bigl (}f(x_{1},x_{2},...){bigr )}^{f(x_{1},x_{2},,,,)}={bigl (}g(a_{1},a_{2},...){bigr )}^{g(a_{1},a_{2},,,,)},b,a_{1},a_{2}...=const.}$

Разумеется, сюда же накладываются ограничения на положительность самих выражений или доопределения возведения в степень в случае их отрицательности.

Вычисление тетрации с более высокими показателями накладывает определённые ограничения в виде взаимозависимостей выражений (см. выше), поскольку тогда будут иметь место так называемые “степенные башни”. Так же можно извлекать суперкорень с соответствующим показателем, но также стоит учитывать, что данная операция определена только для положительных чисел.

Пример: ${displaystyle x^{2}=4Longleftrightarrow {}^{2}(x^{2})={}^{2}4Longleftrightarrow (x^{2})^{(x^{2})}=4^{4}Longleftrightarrow x^{2x^{2}}=256.}$

Сделаем замену ${displaystyle x=y^{frac {1}{2}}:}$ ${displaystyle (y^{frac {1}{2}})^{2(y^{frac {1}{2}})^{2}}=256Longleftrightarrow y^{y}=256longrightarrow y=4longrightarrow x_{1}=2.}$

Однако, вследствие неопределённости тетрации при неположительных числах, у нас исчез второй корень уравнения: ${displaystyle x_{2}=-2.}$

Суперпотенцирование[править | править код]

Также благодаря возможности применения предыдущей итерации (возведения в степень), числовые равенства возможно преобразовывать в показатели тетрации:

${displaystyle f(x_{1},x_{2}...)=g(a_{1},a_{2},...)Longleftrightarrow {}^{f(x_{1},x_{2}...)}b={}^{g(a_{1},a_{2},...)}b;b,a_{1},a_{2}...=const.}$

При этом стоит учитывать положительность основания (поскольку даже ноль не может быть возведён в степень самого себя) и различные неопределённости (недоговорённости) нецелых и/или отрицательных показателей тетрации.

Эту тенденцию можно продолжить итерировать и далее (см. Пентация, Гипероператор).

С точной уверенностью суперлогарифмировать числовые выражения пока нельзя по причине малоизученности свойств гипероператоров и обратных к ним функций, поскольку неясно, какие ограничения накладывает такое преобразование.

Специальные методы решения[править | править код]

Преобразования тригонометрических уравнений[править | править код]

Тригонометрическими называются уравнения, содержащие в качестве функций от переменных только тригонометрические функции (то есть уравнения, содержащие в себе композиции только тригонометрических функций).

При решении такого рода уравнений применяются различные тождества, основанные на свойствах самих тригонометрических функций (см. Тригонометрические тождества). В этих преобразованиях, однако, стоит учитывать составную природу тангенса и котангенса, синус и косинус в составе которых являются независимыми друг от друга функциями от одной и той же переменной.

Так, сделав очевидную замену ${displaystyle {text{tg}}(x)={frac {sin(x)}{sqrt {1-sin ^{2}(x)}}},}$ мы получим совершенно новую функцию, значения которой будут отличаться от исходного соотношения тангенса: ${displaystyle {text{tg}}(x)={frac {sin(x)}{cos(x)}}}$ (см. графики ниже).

График функции y=tg(x) без замены (слева) и с заменой косинуса на синус (справа)

Такое изменение происходит из-за того, что формуле с заменой подразумевается арифметический корень, значение которого всегда неотрицательно. Однако, если бы мы подписали “±”, функция тангенса потеряла бы присущую ей однозначность.

${displaystyle sin(x)=nlongrightarrow x=(-1)^{k}arcsin(n)+pi k,{text{ }}nin [-1;1],{text{ }}kin mathbb {Z} ;}$

Решим в качестве примера уравнение посложнее: ${displaystyle sin(x)cos(x)cos(2x)={frac {1}{8}}.}$

Т.к. ${displaystyle sin(x)cos(x)={frac {1}{2}}sin(2x),}$ то получаем: ${displaystyle {frac {1}{2}}sin(2x)cos(2x)={frac {1}{8}}.}$

Умножим на 4 и опять получим синус двойного угла: ${displaystyle 2sin(2x)cos(2x)={frac {1}{2}}Longleftrightarrow sin {4x}={frac {1}{2}}.}$

Окончательная формула корней: ${displaystyle x_{0,1,...}=(-1)^{k}{frac {arcsin {frac {1}{2}}+pi k}{4}}=(-1)^{k}{frac {pi }{24}}+{frac {pi k}{4}},{text{ }}kin mathbb {Z} .}$

Преобразования дифференциальных и интегральных уравнений[править | править код]

Дифференциальные уравнения — это, как правило, уравнения, содержащие в себе числовые функции и их производные. Таким образом, все преобразования, выполняемые над числовыми уравнениями, распространяются и на эти типы уравнений. Главное — помнить, что лучше проводить такие преобразования, в которых области допустимых значений входящих в уравнение функций не изменялись совсем. Отличительной особенностью дифференциальных уравнений от числовых является возможность их интегрирования (дифференцирования) по обе стороны от знака равенства.

Дифференциальные уравнения, так же как и числовые, решается аналитическим способом (символьное интегрирование) при поиске первообразной функции или численным — при вычислении определённого интеграла на каком-либо отрезке. Ниже приведены основные и наиболее часто используемые преобразования для нахождения аналитического решения.

Большинство типов дифференциальных уравнений можно привести к уравнениям с разделяющимися переменными, общее решение которых уже известно^[25]. К числу таких преобразований можно отнести^[25]:

Линейные дифференциальные уравнения, как правило, решаются тремя методами^[25]:

Метод интегрирующего множителя;
Метод Лагранжа (вариационной постоянной);
Метод Бернулли.

Дифференциальные уравнения Бернулли также сводятся либо к линейным, либо к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замен^[26].

Однородные дифференциальные уравнения второго и выше порядков решаются путём замены функции ${displaystyle y(x)=e^{kx}}$ и переходу таким способом к решению характеристического алгебраического уравнения от переменной степени, равной порядку исходного дифференциального уравнения.

Существуют типы дифференциальных уравнений высших порядков, порядок которых можно понизить заменой производной какого-либо порядка на другую функцию. Таким же образом они могут быть сведены к уравнениям с разделяющимися переменными.

Интегральные уравнения являются более сложными, чем дифференциальные, но в своих решениях, как и они, часто содержат интегральные преобразования:

Преобразование Фурье;
Преобразование Лапласа;
Преобразование Хартли;
Интегральное преобразование Абеля;
Идентичное преобразование;
и другие (см. Интегральные преобразования#Таблица преобразований).

Помимо дифференциальных и интегральных существует также смешанный тип — интегро-дифференциальные уравнения, основным направлением решения которых является их сведение к двум предыдущим типам уравнений различными методами.

Преобразования функциональных уравнений[править | править код]

Общего решения функциональных уравнений не существует, как и общих методов. Сами по себе функциональные уравнения являются свойствами своего решения — функции или типа функций. Например, решением функционального уравнения Абеля ${displaystyle alpha (f(x))=alpha (x)+1,{text{ }}f(x)=a^{x}}$ является функция ${displaystyle alpha (x)={text{slog}}_{a}x.}$ ^[27]

Численные методы решения уравнений[править | править код]

Данные методы представляют собой отдельную совокупность алгоритмов получения решения конкретного уравнения с заданной точностью. Основные отличия от аналитического решения:

Погрешность вычисления (при аналитическом способе иррациональные числа доступны в виде формул от рациональных, в связи с чем при желании могут быть вычислены с любой точностью для любых частных случаев);
Универсальность применения (одни и те же числовые методы могут быть применены к совсем разного типа уравнениям);
Возобновляемость процесса решения (для каждого конкретного случая одного вида уравнения метод необходимо применять заново и с самого начала, в отличие от аналитического решения, зная которое, для вычисления корней достаточно подставить нужные коэффициенты в уже известную, т.е. полученную раннее, формулу);
Необходимость использования дополнительного оборудования (таких, как калькуляторы и программные продукты; аналитические решения придумываются “из головы”, хотя существуют специальные сайты или устанавливаемое ПО, способные вывести формулы уже известных аналитических решений).

Метод бисекции (дихотомии)[править | править код]

Этот численный метод решения уравнения основан на противоположности знаков непрерывной функции около её нуля. Сам алгоритм довольно прост:

Берётся отрезок, на концах которого функция даёт противоположные по знаку значения;
Отрезок разбивается пополам, после чего значение функции в середине отрезка умножается на значения его концов: отрицательный результат приводит к сужению изначального отрезка от бывшей середины до того конца, в котором произведение было отрицательным;
Новый отрезок снова делим пополам и повторяем процедуру до тех пор, пока отрезок не достигнет заданной точности.

Пример: найдём положительный корень уравнения ${displaystyle 2^{x}=x^{2}+2.}$ Для этого перепишем уравнение в функцию: ${displaystyle f(x)=2^{x}-x^{2}-2.}$ Построив график этой функции легко убедиться, что искомое значение лежит в отрезке Найдём значения функции от концов этого отрезка и его середины: — как видно, произведение значений и даёт отрицательный результат, в отличие от Теперь отрезок, в котором лежит корень, сокращается: Повторим процедуру снова (при этом значения функции на концах уже известны из предыдущих расчётов): — теперь отрезок сокращается “в другую сторону”: Следующий цикл: — получаем новый отрезок: Цикл продолжается до требуемой точности, а затем, в качестве приближённого значения корня, выбирается тот конец отрезка, значения функции от которого наиболее близко к нулю. В нашем примере значение 4,44129 будет являться корнем исходного уравнения до пятого знака после запятой.

Метод хорд (секущих)[править | править код]

Итерационный численный метод нахождения корня уравнения с заданной точностью, в основе которого лежит постоянное приближение к корню через пересечения хорд с осью абсцисс. Здесь используется следующая формула:

${displaystyle x_{i+1}=x_{i}-{dfrac {f(x_{i})cdot (x_{i}-x_{0})}{f(x_{i})-f(x_{0})}},}$ однако она имеет низкую скорость сходимости, поэтому вместо неё чаще используют алгоритм:

${displaystyle x_{i+1}=x_{i-1}-{dfrac {f(x_{i-1})cdot (x_{i}-x_{i-1})}{f(x_{i})-f(x_{i-1})}};}$ в различных источниках обе эти формулы называют по-разному — методом хорд и/или методом секущих.

Общий алгоритм использования метода в геометрическом смысле имеет вид:

Сперва необходимо удостовериться, что функция уравнения непрерывна, а на рассматриваемом интервале имеется лишь один корень и отсутствуют нули производной (иначе, вычисление может не сойтись совсем);
Затем выбрать две точки, принадлежащие графику функции (лежащие на нём), абсциссы которых входят в заданный интервал и значения функции в которых противоположны по знаку;
Обе эти точки соединяются, образуя хорду (секущую), вычисляется точка пересечения хорды с осью абсцисс;
Проводится перпендикуляр к оси абсцисс из точки пересечения к графику функции (проекция точки пересечения на график функции);
Полученная точка на графике функции с противоположным концом уже имеющейся хорды соединяются, образуя новую хорду, для которой также надо будет вычислить точку пересечения с осью абсцисс…и т.д.

Метод Ньютона[править | править код]

Основная идея метода Ньютона заключается в использовании итеративного приближения дифференцируемой функции по следующему алгоритму^[28]:

${displaystyle f'(x_{n})={text{tg}}alpha _{n}={frac {Delta y}{Delta x}}={frac {0-f(x_{n})}{x_{n+1}-x_{n}}}longrightarrow x_{n+1}=x_{n}-{frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}$

Для начала нужно убедиться, что функция, приравненная к нулю в данном уравнении, удовлетворяет некоторым критериям, ограничениям и условиям применимости данного метода, затем — удостовериться, что рядом с обнаруженным неизвестным корнем нет других неизвестных корней (иначе, можно попросту “сбиться с толку”). Теперь следует выбрать значение переменной $x_{n}$ , близкое к корню (чем ближе, тем лучше), и подставить его в вышеописанную формулу. Дальше возможно два исхода:

Если полученное значение $x_{{n+1}}$ лежит в том же интервале, что и искомый корень, то его заново можно подставить в формулу: каждое следующее значение точнее предыдущего;
Если полученное значение $x_{{n+1}}$ не лежит в том же интервале, что и искомый корень, то необходимо заменять $x_{{n+1}}$ на ${displaystyle {frac {x_{n}+x_{n+1}}{2}}}$ до тех пор, пока новое значение не вернётся в интервал.

Итерационный процесс продолжается, пока полученное приближение искомого корня уравнения не достигнет требуемой точности.

Метод простой итерации[править | править код]

Обобщив метод хорд (секущих) и метод Ньютона можно прийти к выводу, что они оба являются разновидностью одного и того же алгоритма. Его можно описать следующим образом:

Уравнение приводится к виду: , — теперь можно записать итерационную формулу как ${displaystyle x_{i+1}=varphi (x_{i});}$
Функцию ${displaystyle varphi (x_{i})}$ необходимо выбирать в соответствии с условиями сходимости метода, обычно ${displaystyle varphi (x_{i})=x_{i}-lambda (x)f(x_{i}),}$ в качестве независимой можно выбрать константу ${displaystyle lambda _{0},}$ знак которой совпадает со знаком производной на отрезке, соединяющем истинный корень и первое значение $x_{0}.$

В частности, положив ${displaystyle lambda _{0}={frac {1}{f'(x_{0})}},}$ придём к алгоритму, называемому методом одной касательной; а при ${displaystyle lambda (x)={frac {1}{f'(x)}}}$ получится тот самый метод Ньютона.

Пример: найти приближение корня уравнения Для начала определим функцию и выразим через неё:

— теперь необходимо убедиться, соответствует ли полученная функция условию сходимости, —

но

Теперь остаётся выбрать значение для первой итерации, близкое к корню (чем ближе, тем быстрее сходимость метода). Пусть ${displaystyle x_{0}=-3,}$ тогда ${displaystyle varphi (-3)=x_{1}=0,25sin(-3)-pi approx -3,176872655604760.}$

Повторим процедуру уже для нового значения: ${displaystyle varphi (x_{1})=x_{2}approx 0,25sin(-3,176872655604760)-pi approx -3,132774482649750...}$

Пройдя таким образом 22 шага итерации, мы получим приближение ${displaystyle x_{22}approx -3,141592653589790,}$ для которого с точностью до пятнадцатого знака после запятой верно равенство: ${displaystyle x_{22}=-pi }$ . Проверка:

Обратим внимание, что скорость сходимости зависит также и от самой функции. Так, если вместо множителя мы поставим 0,5 , то при одинаковом изначальном значении $x_{0}$ и уровне погрешности количество шагов увеличится с 22 до 44.

Методы проверки решения[править | править код]

Проверка решения необходима для определения того или иного полученного решения истинным и/или посторонним. Уравнение является частным случаем задачи, поэтому на них распространяются аналогичные методы проверки, а именно^[29]:

Проверка алгоритма решения — это основной метод проверки хода решения, заключающийся в попутном обосновании логичности всех выполненных математических действий алгоритма (т.е. их непротиворечивости математическим теориям, в рамках которых решается уравнение).

Однако, выполнение проверки алгоритма возможно не всегда или не в полном объёме, к тому же при выполнении самой проверки также могут быть допущены ошибки, и полноту решения данный метод “не проверяет” почти никогда. В таких случаях используются иные методы, такие, например, как^[29]:

Подстановка корней в исходное уравнение заключается в проверке выполнения тождественного равенства уравнения при конкретном данном решении (однако, бесконечные множества решений таким способом проверить нельзя).
Проверка на соответствие ОДЗ не гарантирует правильность и полноту решения, но определяет их истинность и помогает избежать дополнительных решений (а значит, и проверок) при появлении посторонних корней.
Проверка решения на простые и/или предельные случаи выполняется над аналитическим решением, чтобы доказать его универсальность или наличие в нём ограничительных функций, т.е. найти область возможных решений данного конкретного вида уравнений.
Проверка на соответствие структуры решения структуре уравнения позволяет заранее определить дополнительные возможные решения уравнения исходя из свойств входящих в уравнение функций, таких как симметрия, чётность, возвратность и пр.
Решение альтернативным способом полезно, когда требуется проверить какой-либо алгоритм (аналитическое решение), благодаря этому методу открываются новые формулы, связи и взаимозависимости уже известных функций.

Методы отсеивания посторонних корней[править | править код]

Этот раздел статьи ещё не написан.

Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. (2 января 2019)

Критерии наличия допустимых решений уравнений[править | править код]

Этот раздел статьи ещё не написан.

Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. (2 января 2019)

Примечания[править | править код]

↑ Closed-form expression (англ.) // Wikipedia. — 2018-06-06.
↑ Кудряшова Т. Г. Методы решения математических задач. 5 класс. — М.: НФ «Вольное дело», 2008. — С. 132. — 208 с. — ISBN 978-5-90415-801-9, ББК 22.1я721, К-88.
↑ Бакланова Е. А. Решение текстовых задач различными способами // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» : сайт. — 2012. Архивировано 27 октября 2020 года.
↑ Farrugia P. S., Mann R. B., Scott T. C. N-body Gravity and the Schrödinger Equation (англ.) // Class. Quantum Grav.. — 2007. — Vol. 24, no. 18. — P. 4647—4659. — doi:10.1088/0264-9381/24/18/006. Архивировано 6 апреля 2019 года.
↑ Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П., Ивлев Б. М., Шварцбурд С. И. Глава IV. Показательная и логарифмическая функции, пар. 10 — Показательная и логарифмическая функции, п. 40 — Понятие об обратной функции // Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10—11 кл. общеобразоват. учреждений / под ред. А. Н. Колмогорова. — 17-е изд. — М.: Просвещение, 2008. — С. 246—247. — ISBN 978-5-09-019513-3.
↑ Мордкович А. Г., Семёнов П. В. Глава 4. Тригонометрические уравнения, пар. 23 — Методы решения тригонометрических уравнений, п. 2. — Метод разложения на множители // Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). — 6-е изд. — М.: Мнемозина, 2009. — С. 191. — ISBN 978-5-346-01201-6. Архивная копия от 6 апреля 2019 на Wayback Machine
↑ Мордкович А. Г. Глава 4. Квадратные уравнения, п. 30 — Иррациональные уравнения // Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. — 12-е. — М.: Мнемозина, 2010. — С. 175. — ISBN 978-5-346-01427-0.
↑ Экспонента // Википедия. — 2017-12-21.
↑ Квадратичная функция // Большая школьная энциклопедия. — М.: «Русское энциклопедическое товарищество», 2004. — С. 118—119.
↑ Интеграл Римана // Википедия. — 2017-03-11.
↑ Дифференцируемая функция // Википедия. — 2018-05-20.
↑ Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Глава II. Функции, пар. 5 — Фукнции и их графики, п. 14 — График функции // Алгебра. 7 класс: учеб для общеобразоват. учреждений / под ред. С. А. Теляковского. — 18-е изд. — М.: Просвещение, 2009. — С. 60. — ISBN 978-5-09-021255-7.
↑ ОДЗ – область допустимых значений, как найти ОДЗ. Дата обращения: 20 августа 2021. Архивировано 20 августа 2021 года.
↑ И. И. Жогин. О средних // Математическое просвещение : журнал / под ред. И. Н. Бронштейна, А. М. Лопшица, А. А. Ляпунова, А. И. Маркушевича, И. М. Яглома. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — Вып. 6. — С. 217. Архивировано 22 ноября 2021 года.
↑ Joseph Gerver. The Differentiability of the Riemann Function at Certain Rational Multiples of π // American Journal of Mathematics. — 1970. — Т. 92, вып. 1. — С. 33—55. — doi:10.2307/2373496. Архивировано 23 июля 2018 года.
↑ Мордкович А. Г., Семёнов П. В. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств, пар. 27 — Общие методы решения уравнений // Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). — М.: Мнемозина, 2007. — С. 211—218. — ISBN 5-346-729-6. Архивная копия от 12 апреля 2019 на Wayback Machine
↑ Савин А. П. Нуль // Энциклопедический словарь юного математика / сост. А. П. Савин. — М.: «Педагогика», 1989. — С. 219.
↑ Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II. ilib.mccme.ru. Дата обращения: 3 июня 2018. Архивировано из оригинала 18 сентября 2011 года.
↑ Суперкорень // Википедия. — 2018-05-31.
↑ R. Bruce King. Chapter 8. Beyond the Quintic Equation // Beyond the Quartic Equation Архивная копия от 22 июля 2014 на Wayback Machine. — Birkhäuser Boston, 2008. — С. 139—149. — 149 с. — (Modern Birkhäuser Classics). — ISBN 0817648364.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Мордкович А. Г., Семёнов П. В. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств, пар. 26 — Равносильность уравнений // Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). — М.: Мнемозина, 2007. — С. 201—211. — ISBN 5-346-729-6. Архивная копия от 12 апреля 2019 на Wayback Machine
↑ ¹ ² Неравенства // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 999. Архивная копия от 16 октября 2013 на Wayback Machine
↑ Равенство третьему // Википедия. — 2017-02-21.
↑ Суперкорень // Википедия. — 2018-06-22.
↑ ¹ ² ³ Обыкновенное дифференциальное уравнение // Википедия. — 2018-05-27.
↑ Дифференциальное уравнение Бернулли // Википедия. — 2017-04-06.
↑ Суперлогарифм // Википедия. — 2018-07-06.
↑ Метод Ньютона // Википедия. — 2018-05-21.
↑ ¹ ² Худак Ю. И., Асланян А. Г. Проверка правильности задачи — важный этап обучения и воспитания школьника (ru, en) // Издательство ФГАОУ ВО «Российский университет дружбы народов» (РУДН) : сайт. — С. 25—30. Архивировано 28 июля 2018 года.

Литература[править | править код]

Маркушевич, Л. А. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы / Л. А. Маркушевич, Р. С. Черкасов. / Математика в школе. — 2004. — № 1.
Уравнение — статья из Большой советской энциклопедии.
Уравнения // Энциклопедия Кольера. — Открытое общество. — 2000. // Энциклопедия Кольера. — Открытое общество. 2000.
Уравнение // Энциклопедия Кругосвет
И. М. Виноградов. Уравнение // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. — 1977—1985. // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

Источник

Уравнение.

Равенство с
неизвестным числом называют уравнением.

Например:х + 23 = 45;
65 -х = 13; 12 -дг = 48;45 :х= 3.

Решить уравнение
— значит найти такое значение неизвестного
числа, при котором равенство будет
верным.
[5,с.248]

Это число называют
корнем уравнения.

Например:

х+ 23 = 45; х= 22, так
как 22 + 23 = 45.

Таким образом,
данное определение задает также способ
проверки уравнения: подстановка
найденного значения неизвестного числа
в выражение, вычисление его значения и
сравнение полученного результата с
заданным числом (ответом).

Если значение
неизвестного числа найдено верно, то
получается верное равенство.

Способы решения уравнений.

Изучение простейших
уравнений и способов их решений прочно
вошло в систему начальной математической
подготовки. Уравнения являются одним
из средств моделирования изучаемых
фрагментов реальности, и знакомство с
ними является существенной частью
математического образования. В то
же время, знакомство младших школьников
с уравнениями подготавливает их к
изучению математики в основной школе.

В
математике под уравнением принято
понимать «аналитическую запись задачи
о разыскании значений аргументов, при
которых значения данных двух функций
равны. Аргументы, от которых эти функции
зависят, называются неизвестными,
а
значения неизвестных, при которых
значения функций равны, — решениями
— корнями уравнения»[6]. Это
значит, что понятие уравнения, во-первых,
связано с аналитическим выражением (в
нашем случае с арифметическим), а
во-вторых, —
с понятием
переменной, принимающей значения из
определенного множества.

В начальной школе
рассматриваются два способа решения
уравнения.

Способ подбора

Подбирается
подходящее значение неизвестного числа
либо из заданных значений, либо из
произвольного множества чисел.

Выбранное число
должно при подстановке в выражение
превращать его в верное равенство.
Например:

Из чисел 7, 10, 5, 4,
1, 3 подбери для каждого уравнения такое
значение х, при котором получится верное
равенство: 9 + х=14 7-х=2 х-1 = 9 х+5 = б

Каждое из предложенных
чисел проверяется подстановкой в
выражение и сравнением полученного
значения с ответом.

При большом
количестве предложенных значений этот
способ отнимает много времени и сил.
При самостоятельном подборе значений
выражений ребенок может не найти
самостоятельно возможное значение
неизвестного.

Способ
использования взаимосвязи компонентов
действий.

Используются
правила взаимосвязи компонентов
действий.

Например:

Реши уравнение: 9
+ х=14

Неизвестно
слагаемое. Чтобы найти неизвестное
слагаемое, нужно из суммы вычесть
известное слагаемое. Значит, х = 14 – 9; х
= 5.

Реши уравнение: 7
-х=2

Неизвестно
вычитаемое. Чтобы найти неизвестное
вычитаемое нужно из уменьшаемого вычесть
разность. Значит, х = 1 – 2; х = 5.

Реши уравнение:
х-1 = 9

Неизвестно
уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное
уменьшаемое, нужно к разности прибавить
вычитаемое. Значит, х = 9 + 1; х = 10.

Для решения
уравнений с действиями умножения и
деления используются правила зависимости
компонентов умножения и деления.

Например:

Реши уравнение:
96:х=24

Неизвестен делитель.
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно
делимое разделить на частное. Значит,
х = 96 : 24; х = 4. Проверим решение: 24 • 4 = 96.

Реши уравнение:
х:23 = 4

Неизвестно делимое.
Чтобы найти неизвестное делимое, нужно
делитель умножить на частное. Значит,
х = 23 • 4; х = 92. Проверим решение: 92 : 23 = 4.

Реши уравнение:
о:- 14 = 84

Неизвестен
множитель. Чтобы найти неизвестный
множитель, нужно произведение разделить
на известный множитель. Значит,х=
84:14;х=6. Проверим решение: х • 14 = 84.

Использование
данных правил дает более быстрый способ
решения уравнений. Трудность заключается
в том, что многие дети путают правила
взаимосвязи компонентов действий и
названия компонентов (необходимо хорошо
знать 6 правил и названия 10 компонентов).

Для более трудных
уравнений используется метод подбора,
например:

35 + х + х + х= 35 —
очевидно, что неизвестное может принимать
только нулевое значение;

78-х-х = 76 — очевидно,
что х = 1, поскольку 78 – 1 – 1 = 76.

Для уравнений со
скобками вида (6 + х) – 5 = 38 используется
правило взаимосвязи компонентов
действий. Левую часть уравнения
рассматривают сначала как разность,
считая выражение в скобках единым
неизвестным компонентом. Этот единый
неизвестный компонент — уменьшаемое.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое,
нужно к разности прибавить вычитаемое:

Таким образом
уравнение приобретает привычный вид.
В этом уравнении требуется найти
неизвестное слагаемое: х = 43-6;х=37.

Проверим решение
(подставим найденное значение неизвестного
в первоначальное выражение): (6 + 37) – 5 =
(6 – 5) + 37 = 1 + 37 = 38.

Ряд альтернативных
учебников математики для начальных
классов практикует знакомство детей с
более сложными уравнениями (И.И. Аргинская,
Л.Г. Петерсон), для решения которых
правила взаимосвязи компонентов действий
рекомендуется применять многократно.

Например:

Реши уравнение:
(у-3)-5-875 = 210

Решение:

Рассмотрим левую
часть уравнения и определим порядок
действий.

1 2 3

(у- 3)- 5 -875 = 210

Вид выражения в
левой части определяем по последнему
действию: последнее действие — вычитание,
значит, начинаем рассматривать выражение
как разность.

Уменьшаемое (у –
3) • 5, вычитаемое 875, значение разности
210.

Неизвестное
содержится в уменьшаемом. Найдем
уменьшаемое (рассматриваем все это
выражение как единое уменьшаемое): чтобы
найти неизвестное уменьшаемое, нужно
к разности прибавить вычитаемое.

(у- 3)- 5 = 210 + 875;

(у – 3) • 5 = 1085: у

Снова определим
порядок действий: (у – 3) ·5 = 1085.

По последнему
действию считаем выражение в левой
части произведением. Первый множитель
(у – 3), второй множитель 5, значение
произведения 1085. Неизвестное содержится
в первом множителе. Найдем его (считаем
все выражение у – 3 неизвестным). Чтобы
найти неизвестный множитель, нужно
произведение разделить на известный
множитель.

у – 3 = 1085 : 5;

у- 3 = 215.

Получили уравнение,
в котором неизвестно уменьшаемое. Найдем
его:

у = 215 + 3;

у = 218.

Проверим решение,
подставив найденное значение неизвестного
в первоначальное уравнение:

(218-3)-5-875 = 210.

Вычислив значение
левой части, убеждаемся в том, что
получено верное равенство. Значит,
уравнение решено верно.

Анализ приведенного
способа решения показывает, что это
длительный трудоемкий процесс, требующий
от ребенка четкого знания всех правил,
высокого уровня анализа и умения
воспринимать комплексную структуру
переменного, получаемую при пошаговом
решении, как единое целое (высокий
уровень синтеза и абстрагирования).

Взрослый, знакомый
с универсальным методом решения подобных
уравнений, применяемым в старших классах
(раскрытие скобок, перенос компонентов
уравнения слева направо) хорошо видит
несовершенство и излишнюю трудоемкость
этого метода. В связи с этим рядом
методистов справедливо высказываются
сомнения в целесообразности активного
внедрения уравнений такой сложной
структуры в курс математики начальной
школы. Этот способ решения является
нерациональным с математической точки
зрения и будет забыт и отброшен, как
только учитель математики в 5—7 классах
познакомит ребенка с общими приемами
решения уравнений подобного вида.[5,с.252]

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Компоненты

Правила нахождения неизвестных

Если неизвестное имеет коэффициент

Если уравнение имеет неизвестные с разными коэффициентами

Равносильные уравнения

Свойства уравнений

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

Если обе части уравнения умножить на минус единицу (поменять знаки), то получится уравнение равносильное данному.

Уравнение имеет несколько корней

Уравнение имеет бесконечно много корней

Уравнение не имеет корней

Аналитические методы решения уравнения[править | править код]

Метод подбора значения[править | править код]

Полный перебор[править | править код]

Метод обратной операции [инверсии][править | править код]

Графический метод[править | править код]

Метод оценки ОДЗ[править | править код]

Метод разложения на множители[править | править код]

Методы преобразований[править | править код]

Перенос слагаемых[править | править код]

Прибавление (вычитание) константы (выражения)[править | править код]

Умножение (деление) на ненулевую(ое) константу (выражение)[править | править код]

Замена выражений[править | править код]

Возведение в степень[править | править код]

Логарифмирование[править | править код]

Потенцирование[править | править код]

Тетрация с показателем 2[править | править код]

Суперпотенцирование[править | править код]

Специальные методы решения[править | править код]

Преобразования тригонометрических уравнений[править | править код]

Преобразования дифференциальных и интегральных уравнений[править | править код]

Преобразования функциональных уравнений[править | править код]

Численные методы решения уравнений[править | править код]

Метод бисекции (дихотомии)[править | править код]

Метод хорд (секущих)[править | править код]

Метод Ньютона[править | править код]

Метод простой итерации[править | править код]

Методы проверки решения[править | править код]

Методы отсеивания посторонних корней[править | править код]

Критерии наличия допустимых решений уравнений[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Уравнение.

Способы решения уравнений.

Вам также может понравиться

Как найти площадь фигуры ограниченной линиями примеры

Как составить план ответа на проверку

Как найти частное смешанных дробей

Добавить комментарий Отменить ответ