Как найти значение неправильной дроби

Общие сведения

Слово «дробь» в обиход ввёл математик средневековой Европы Фибоначчи. На Руси под этим понятием понимались доли чисел. В дословном переводе на русский с арабского термин обозначает «ломать» или «раздроблять». Вид записи выражения, который применяется и сегодня, предложили арабы. Но фундамент теории заложили греческие и индийские учёные.

В математике под дробным отношением понимают число, образованное из некоторой части единицы. Простыми словами это можно объяснить на наглядном примере. Пусть на столе лежит две круглые пиццы. Каждую из них разрезали на восемь равных частей. Всего получилось шестнадцать долей. Через какое-то время было съедено одиннадцать кусков. Соответственно на столе осталось пять. В математической записи такое действие будет выглядеть как 11 / 8.

Это легко проверить: 11/ 8 пиццы — это тоже что 8 / 8 плюс 3 / 8. То есть одна была полностью съедена, а с другой взяли только три кусочка. Так как отношение 8 / 8 – это целое (единица), то можно утверждать, что 8 / 8 = 1. Значит, произошедшее можно представить в виде равенства: 11 / 8 = 1 + 3 / 8.

Число, стоящее в верхней части выражения, называют делимым или числителем, а в нижней делителем или знаменателем. В зависимости от их числового значения все дроби разделяют на три класса:

1. Правильные. Рациональные выражения, в которых числитель меньше или неравен делителю. Например, 1 / 16; 4 / 45; -78 / 123.
2. Неправильные. Обыкновенные дроби, у которых знаменатель количественно меньше значения делимого или равен ему по численности. Например, 7 / 6; 19 / 19; 453 / 21.
3. Смешанные. Отношения, включающие в свою запись как натуральное число, так и правильную дробь. Фактически они представляют собой их сумму: 4 (4 / 5) = 4 + 4 / 5

Кроме этого, выделяют ещё одну группу выражений. Дроби, относящиеся к ней, называют десятичными. Это такие отношения, у которых знаменатель — это десятичное число, стоящее в любой натуральной степени. Для записи десятичных выражений используют не дробную черту, а запятую. Например, 12 / 10 = 1,2.

Так как, по сути, дроби – это числа, только чаще всего не целые, над ними можно выполнять любые операции. Для того чтобы школьника научить правильно решать дроби, в 5 классе, кроме теоретического материала несколько уроков уделяют практике. На ней, кроме непосредственного выполнения арифметических операций, учат преобразовывать дробные отношения из одного вида в другой.

Суть отношения

Обыкновенная дробь может быть правильной или неправильной. Например, 19 / 21 — правильное выражение, так как результат деления будет меньше единицы. В то же время обыкновенные числа 32 / 6 и 90 / 90 — неправильные, так как ответ, получаемый при делении, будет больше единицы в первом случае и равен ей во втором.

Чтобы разобраться, почему же дробные выражения, у которых числитель превосходит или равняется знаменателю называют «неправильными» можно порассуждать следующим образом.

Пусть имеется неправильная дробь 10 / 10. Эта запись обозначает, что взято десять долей чего-то состоящего из такого же числа частей. Иными словами, из имеющихся десяти долей можно сложить целый предмет. Неправильное выражение вида 10 / 10, по сути, означает целый предмет. Значит, можно записать, что 10 / 10 =1. Следовательно, такое отношение можно заменить натуральным числом.

Теперь можно рассмотреть неправильные отношения 7 / 3 и 12 / 4. Совершенно очевидно, что из этих семи третьих долей легко составляется два целых числа. Одно из них будет содержать три части. Значит, для оставшихся двух долей понадобится шесть частей: 3 + 3 = 6. При этом останется ещё одна доля — третья. Таким образом, выражение семь третьих означает две целые части и ещё одну третью от них. Аналогично из двенадцати четвёртых можно сформировать три целых числа по четыре доли в каждом. То есть дробное отношение 12 / 4 означает, по сути, три целых предмета.

Если провести анализ полученных результатов, то можно сделать вывод о том, что неправильные дроби, могут быть представлены в двух видах:

• натуральным числом — в случае когда числитель количественно совпадает со знаменателем;
• суммой правильной дроби и простого числа — если делимое не делится нацело на делитель.

Как и любое число, дробь может быть положительной и отрицательной. В первом случае она обозначает изменение чего-то в сторону увеличения, а во втором — уменьшения. Например, -6 / 5 может обозначать недостачу равную шесть пятых.

Особенный интерес вызывает представление неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной части. Это действие называется выделением целой доли из неправильного отношения. Причём такая операция может быть выполнена и в обратном направлении — трансформация выражения в смешанное.

Превращение дробей

По смыслу неправильные выражения представляют собой целую и дробную часть, записанную в виде отношения. Поэтому любую смешанную дробь можно превратить в правильную, и наоборот. Деление целого числа на такое же можно объяснить так. Пусть нужно разделить четыре на пять. Значит, единицу понадобится разделить на пять равных частей, то есть 1 / 5. Четыре же единицы дадут 1 / 5 + 1/ 5 + 1 / 5 + 1 / 5 = 4 / 5. В этом случае получается правильное выражение. Но бывает, что числитель количественно превышает знаменатель. Значит, для более понятной формы записи нужно из такого выражения выделить целую часть.

Например, нужно преобразовать число 25 / 8. Это действие подразумевает нахождение целых единиц, содержащихся в выражении. Рассуждать нужно следующим образом. Одна единица может быть представлена как 8 / 8, две — 16 / 8, три — 24 / 8. Значит, число состоит из трёх единиц и оставшейся 1 / 8 части. Поэтому записать его можно так: 3 (1 / 8).

Поняв смысл такого перехода, можно выполнить превращение и в обратную сторону. Чтобы разобраться, как это сделать лучше, проще рассмотреть пример. Пусть имеется смешанное число 4 (5/8), его нужно превратить в неправильную дробь. Иными словами, определить, сколько восьмых долей содержится в четырёх и пяти восьмых. Так как одной единице соответствует 8 / 8, то четырём – 8 * 4 / 8 = 32 / 8. Соответственно в четырёх и 5 / 8 будет 37 / 8 долей.

Такого вида преобразования часто приходится выполнять при решении примеров с дробями в 5 классе. Поэтому понять принцип превращения лучше всего на конкретное задание. При этом можно использовать следующий алгоритм:

• перемножить единицы целой части со знаменателем дробного числа;
• сложить полученное произведение и числитель дроби;
• результат сложения записать в числитель, а знаменатель оставить без изменений.

Итак, пусть имеется выражение 3 (5 / 7). Так как фактически это сумма трёх и пяти седьмых, то следуя алгоритму, можно решение расписать так: 3 + 5 / 7 = (3 * 7 + 5) / 7 = (21 + 5) / 7 = 26 / 7. Аналогичный результат мог быть получен при простом сложении двух частей смешанного числа: 3 / 1 + 5 / 7 = (3 * 7) / 1 * 7 + 5 / 7 = 21 / 7 + 5 / 7 = (21 + 5) / 7 = 26 / 7. Первый вариант, конечно же, более удобен. Его можно выразить формулой: a (c / d) = (a * d + c) / d.

Эту выражение нужно обязательно запомнить, так как его придётся довольно часто использовать при решении задач различной сложности.

Выполнение действий

Отличие неправильной дроби от правильной заключается в том, что первая равна или больше единицы, а вторая меньше её. Поэтому правило выполнения арифметических действий одинаковое для этих двух групп. Для того чтобы ребёнок понял, как правильно решать простые и сложные задания объяснение в 5 классе неправильных дробей и действий над ними начинают с повторения правила разложения числа на простые множители.

Выполняется оно за несколько шагов. Вначале ищут минимальную величину, на которую можно разделить исходное без остатка. Далее, находят результат деления и повторяют действие, но уже для полученного числа. Операцию повторяют до тех пор, пока в ответе не получится единица.

Разложение на простые множители используется при поиске наименьшего знаменателя при сложении или вычитании неправильных дробей с разными делителями. Существует алгоритм, придерживаясь которого можно выполнить любое арифметическое действие над двумя и более дробными выражениями. Он заключается в следующем:

• исследовать числитель и знаменатель на возможность сокращения;
• определить наименьший общий знаменатель (НОЗ) среди делителей;
• найти дополнительные множители;
• выполнить умножение числителей на найденные аргументы;
• в знаменатель записать НОЗ, а в числитель сумму или разность произведений делимых.

Например, 4 / 3 + 9 / 7 = (7 * 4) / 21 + (3 * 9) / 21 = 28 / 21 + 27 / 21 = (28 + 27) / 21 = 55 / 21 = 2 (13 / 21) и 56 / 9 — 6 / 9 = (56 — 6) / 9 = 50 / 9 = 5 (5 / 9).

Неправильные выражения можно не только складывать, но и вычитать. Для того чтобы их перемножить следует отдельно найти произведение делимых и делителей. Затем в числитель записать первый результат, а в знаменатель второй. То есть действие нужно выполнять по формуле: f / n * s / m = (f * s) / (n * m). Выполнить деление также просто. Для этого действия в вычитаемом выражении меняется местами аргументы и выполняется умножение: (f / n) / (s / m) = (f * m) / (n * s).

Возведение в степень и извлечение корня выполняют способом разделения. То есть, делимое от делителя возводится или извлекается отдельно: (s / m) ^j = s^j / m^j и √(s / m) = √s / √m. Например, 3 / 2 * 9 / 6 : 7 / 5 * (3 / 2)³. С какого действия начинать решение не принципиально, но следует обратить внимание, что 9 / 6 можно сократить на три. В итоге получится 9 / 6 = 3 / 2. Далее, решение будет выглядеть следующим образом: 3 / 2 * 3 / 2 : 7 / 5 * 3 ³ / 2³ = (3 * 3) / (2 * 2): 7 / 5 * 27 / 8 = 9 / 4 * 5 / 7 * 27 / 8 = (9 * 5 * 27) / (4* 7 * 8) = 1215 / 224 = 5 (95 / 224).

Перейти к содержанию

Мы можем использовать неправильные дроби и смешанные числа для представления одних и тех же значений. Рассмотрим на примере равенство неправильной дроби и смешанного числа :

Перевод неправильной дроби в смешанное число

Для перевода неправильной дроби в смешанное число выполните следующие шаги:

• 1 Разделим числитель на знаменатель 14 ÷ 3, в результате получим 4 целых и 2 в остатке.
• 2 Число 4 будет целой частью смешанного числа.
• 3 Остаток от деления 2 будет числителем дроби, а знаменатель останется прежним, равным 3. В результате получаем

Рассмотрим на примерах как переводить неправильные дроби в смешанные числа.

Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Для перевода смешанного числа в неправильную дробь выполните следующие шаги:

• 1 Умножим целую часть на знаменатель 2×6 и прибавим числитель 5. Полученное число 17=2×6+5запищем в числитель неправильной дроби.
• 2 Запищем в знаменатель неправильной дроби число 6, знаменатель при преобразование в неправильную дробь остается неизменным.
• 3 В результате шагов 1-2 получаем неправильную дробь

Обыкновенные дроби делятся на textit{правильные} и textit{неправильные} дроби. Такое разделение основано на сравнении числителя и знаменателя.

Правильные дроби

Правильной дробью называется обыкновенная дробь $frac{m}{n}$, у которой числитель меньше знаменателя, т.е. $m

Существует определение правильной дроби, которое базируется на сравнении дроби с единицей.

Обыкновенная дробь $frac{m}{n}$ является правильной, если она меньше единицы:

Пример 2

Например, обыкновенная дробь $frac{6}{13}$ является правильной, т.к. выполняется условие $frac{6}{13}

Неправильные дроби

Неправильной дробью называется обыкновенная дробь $frac{m}{n}$, у которой числитель больше или равен знаменателю, т.е. $mge n$.

Дадим определение неправильной дроби, которое базируется на ее сравнении с единицей.

Обыкновенная дробь $frac{m}{n}$ является неправильной, если она равна или больше единицы:

[frac{m}{n}ge 1]

Рассмотрим более подробно понятие неправильной дроби.

Возьмем для примера неправильную дробь $frac{7}{7}$. Значение этой дроби — взяли семь долей предмета, который поделен на семь одинаковых долей. Таким образом, из семи долей, которые есть в наличии, можно составить весь предмет. Т.е. неправильная дробь $frac{7}{7}$ описывает целый предмет и $frac{7}{7}=1$. Итак, неправильные дроби, у которых числитель равен знаменателю, описывают один целый предмет и такая дробь может быть заменена на натуральное число $1$.

Рассмотрим далее неправильные дроби:

• $frac{5}{2}$ — достаточно очевидно, что из этих пяти вторых долей можно составить $2$ целых предмета (один целый предмет будут составлять $2$ доли, а для составления двух целых предметов нужны $2+2=4$ доли) и остается одна вторая доля. Т.е., неправильная дробь $frac{5}{2}$ описывает $2$ предмета и $frac{1}{2}$ долю этого предмета.

• $frac{21}{7}$ — из двадцати одной седьмых долей можно составить $3$ целых предмета ($3$ предмета по $7$ долей в каждом). Т.е. дробь $frac{21}{7}$ описывает $3$ целых предмета.

Из рассмотренных примеров можно сделать следующий вывод: неправильную дробь можно заменить натуральным числом, если числитель нацело делится на знаменатель (например, $frac{7}{7}=1$ и $frac{21}{7}=3$), или суммой натурального числа и правильной дроби, если числитель нацело не делится на знаменатель (например,$ frac{5}{2}=2+frac{1}{2}$). Поэтому такие дроби и называются неправильными.

При работе с неправильными дробями прослеживается тесная связь между ними и смешанными числами.

Неправильная дробь часто записывается в виде смешанного числа — числа, которое состоит из целой и дробной части.

Чтобы записать неправильную дробь в виде смешанного числа, необходимо разделить числитель на знаменатель с остатком. Частное будет составлять целую часть смешанного числа, остаток — числитель дробной части, а делитель — знаменатель дробной части.

Чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби, необходимо знаменатель умножить на целую часть числа, к произведению, которое получилось, прибавить числитель дробной части и записать полученную сумму в числитель дроби. Знаменатель неправильной дроби будет равен знаменателю дробной части смешанного числа.

Сложение смешанного числа и правильной дроби

Сложение смешанного числа $afrac{b}{c}$ и правильной дроби $frac{d}{e}$ выполняет прибавлением к данной дроби дробной части данного смешанного числа:

[afrac{b}{c}+frac{d}{e}=a+left(frac{b}{c}+frac{d}{e}right)]

Сложение смешанного числа и неправильной дроби

Сложение неправильной дроби и смешанного числа сводят к сложению двух смешанных чисел, для чего достаточно выделить целую часть из неправильной дроби.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?