Как найти значение p в законе распределения

Шаги

1. 

   1

   Определите ожидаемые в вашем эксперименте результаты. Обычно когда ученые проводят эксперимент, у них уже есть идея того, какие результаты считать «нормальными» или «типичными». Это может быть основано на экспериментальных результатах прошлых опытов, на достоверных наборах данных, на данных из научной литературы, либо ученый может основываться на каких-либо других источниках. Для вашего эксперимента определите ожидаемые результаты и выразите их в виде чисел.

   • Пример: допустим, более ранние исследования показали, что в вашей стране владельцы красных машин чаще получают штрафы за превышение скорости, чем владельцы синих. Например, средние результаты показывают предпочтение 2:1 красных машин перед синими. Наша задача — определить, относится ли полиция точно так же предвзято к цвету машин в вашем городе. Для этого мы будем анализировать штрафы, выданные за превышение скорости. Если мы возьмем случайный набор из 150 штрафов за превышение скорости, выданных либо владельцам красных, либо синих автомобилей, мы ожидаем, что 100 штрафов будет выписано владельцам красных автомобилей, а 50 — владельцам синих, если полиция в нашем городе так же предвзято относится к цвету машин, как это наблюдается по всей стране.

2. 

   2

   Определите наблюдаемые результаты вашего эксперимента. Теперь, когда вы определили ожидаемые результаты, необходимо провести эксперимент и найти действительные (или «наблюдаемые») значения. Вам снова необходимо представить эти результаты в виде чисел. Если мы создаем экспериментальные условия, и наблюдаемые результаты отличаются от ожидаемых, то у нас есть две возможности — либо это произошло случайно, либо это вызвано именно нашим экспериментом. Цель нахождения p-значения как раз и состоит в том, чтобы определить, отличаются ли наблюдаемые результаты от ожидаемых настолько, чтобы можно было не отвергать «нулевую гипотезу» — гипотезу о том, что между экспериментальными переменными и наблюдаемыми результатами нет никакой связи.

   • Пример: допустим, в нашем городе мы случайно выбрали 150 штрафов за превышение скорости, которые были выданы либо владельцам красных, либо владельцам синих автомобилей. Мы определили, что 90 штрафов были выписаны владельцам красных автомобилей, и 60 — владельцам синих. Это отличается от ожидаемых результатов, которые равны 100 и 50, соответственно. Действительно ли наш эксперимент (в данном случае изменение источника данных с государственного уровня на городской) привел к данному изменению в результатах, или наша городская полиция относится к автомобилистам предвзято точно так же, как и в среднем по стране, а мы видим просто случайное отклонение? P-значение поможет нам это определить.

3. 

   3

   Определите число степеней свободы вашего эксперимента. Число степеней свободы — это степень изменяемости вашего эксперимента, которая определяется числом категорий, которые вы исследуете. Уравнение для числа степеней свободы — Число степеней свободы = n-1, где «n» — число категорий или переменных, которые вы анализируете в своем эксперименте.

   • Пример: в нашем эксперименте две категории результатов: одна категория для владельцев красных машин и другая — для владельцев синих машин. Поэтому в нашем эксперименте у нас 2-1 = 1 степень свободы. Если бы мы сравнивали красные, синие и зеленые машины, у нас было бы 2 степени свободы и так далее.

4. 

   4

   Сравните ожидаемые и наблюдаемые результаты с помощью критерия хи-квадрат. Хи-квадрат (пишется «x²») — это числовое значение, которое измеряет разницу между ожидаемыми и наблюдаемыми значениями эксперимента. Уравнение для хи-квадрата следующее: x² = Σ((o-e)²/e), где «o» — это наблюдаемое значение, а «e» — это ожидаемое значение.^[1]
   Суммируйте результаты данного уравнения для всех возможных результатов (смотри ниже).

   • Заметьте, что данное уравнение включает оператор суммирования Σ (сигма). Другими словами, вам необходимо подсчитать ((|o-e|-.05)²/e) для каждого возможного результата и сложить полученные числа, чтобы получить значение критерия хи-квадрат. В нашем примере у нас два возможных результата — либо машина, получившая штраф красная, либо синяя. Поэтому мы должны посчитать ((o-e)²/e) дважды — один раз для красных машин и один раз для синих машин.
   • Пример: давайте подставим наши ожидаемые и наблюдаемые значения в уравнение x² = Σ((o-e)²/e). Помните, что из-за оператора суммирования нам необходимо посчитать ((o-e)²/e) дважды — один раз для красных автомобилей и один раз — для синих. Мы выполним эту работу следующим образом:
     • x² = ((90-100)²/100) + (60-50)²/50)
     • x² = ((-10)²/100) + (10)²/50)
     • x² = (100/100) + (100/50) = 1 + 2 = 3 .

5. 

   5

   Выберите уровень значимости. Теперь, когда мы знаем число степеней свободы нашего эксперимента и узнали значение критерия хи-квадрат, нам нужно сделать еще одну вещь перед тем, как мы найдем наше p-значение. Нам нужно определить уровень значимости. Говоря простым языком, уровень значимости показывает, насколько мы уверены в наших результатах. Низкое значение для значимости соответствует низкой вероятности того, что экспериментальные результаты вышли случайными и наоборот. Уровни значимости записываются в виде десятичных дробей (таких как 0,01), что соответствует вероятности того, что экспериментальные результаты мы получили случайно (в данном случае вероятность этого 1 %).

   • По соглашению, ученые обычно устанавливают уровень значимости своих экспериментов равным 0,05, или 5 %.^[2]
     Это означает, что экспериментальные результаты, которые соответствуют такому критерию значимости, только с вероятностью 5 % могли получиться чисто случайно. Другими словами, существует 95 % вероятность, что результаты были вызваны тем, как ученый манипулировал экспериментальными переменными, а не случайно. Для большинства экспериментов 95 % уверенности наличия связи между двумя переменными достаточно, чтобы считать, что они «действительно» связаны друг с другом.
   • Пример: для нашего примера с красными и синими машинами, давайте последуем соглашению между учеными и установим уровень значимости в 0.05.

6. 

   6

   Используйте таблицу с данными распределения хи-квадрат, чтобы найти p-значение. Ученые и статисты используют большие таблицы для вычисления p-значения своих экспериментов. Данные таблицы обычно имеют вертикальную ось слева, соответствующую числу степеней свободы, и горизонтальную ось сверху, соответствующую p-значению. Используйте данные таблицы, чтобы сначала найти число ваших степеней свободы, затем посмотрите на ваш ряд слева направо, пока не найдете первое значение, большее вашего значения хи-квадрат. Посмотрите на соответствующее p-значение вверху вашего столбца. Нужное вам p-значение находится между этим числом и следующим за ним (тем, которое находится левее вашего).

   • Таблицы с распределением хи-квадрат можно получить из множества источников — их можно просто найти онлайн, либо посмотреть в научных книгах или книгах по статистике. Если у вас нет под рукой таких книг, используйте картинку выше или какую-нибудь таблицу онлайн, которую можно просматривать бесплатно, например на сайте medcalc.org. Она расположена здесь.
   • Пример: наше значение критерия хи-квадрат было равно 3. Поэтому давайте используем таблицу распределения хи-квадрат на изображении выше, чтобы найти приблизительное p-значение. Так как мы знаем, что в нашем эксперименте всего 1 степень свободы, выберем самую первую строку. Идем слева направо по данной строке, пока не встретим значение, большее 3, нашего значения критерия хи-квадрат. Первое, которое мы находим, это 3,84. Смотрим вверх нашего столбца и видим, что соответствующее p-значение равно 0,05. Это означает, что наше p-значение между 0,05 и 0,1 (следующее p-значение в таблице по возрастанию).

7. 

   7

   Решите, отклонить или оставить нулевую гипотезу. Так как вы определили приблизительное p-значение для вашего эксперимента, вам необходимо решить, отклонять ли нулевую гипотезу вашего эксперимента или нет (напоминаем, это гипотеза о том, что экспериментальные переменные, которыми вы манипулировали не повлияли на наблюдаемые вами результаты). Если p-значение меньше, чем уровень значимости — поздравляем, вы доказали, что очень вероятна связь между переменными, которыми вы манипулировали, и результатами, которые вы наблюдали. Если p-значение выше, чем уровень значимости, нельзя с уверенностью сказать, были ли наблюдаемые вами результаты результатом чистой случайности или манипуляцией данными переменными.

   • Пример: наше p-значение находится между 0,05 и 0,1. Это явно не меньше, чем 0,05, поэтому, к сожалению, мы не можем отклонить нашу нулевую гипотезу. Это означает, что мы не достигли минимум 95 % вероятности того, чтобы сказать, что полиция в нашем городе выдает штрафы владельцам красных и синих автомобилей с такой вероятностью, которая достаточно сильно отличается от средней по стране.
   • Другими словами, существует 5–10 % шанс, что наблюдаемые нами результаты — это не последствия смены места (анализа города, а не всей страны), а просто случайность. Так как заявленная нами точность не должна превышать 5 %, мы не можем сказать с уверенностью, что полиция нашего города менее предвзято относится к владельцам красных автомобилей — существует небольшая (но статистически значимая) вероятность, что это не так.

   Реклама

Советы

• Научный калькулятор позволяет облегчить вычисления. Вы также можете использовать калькуляторы онлайн.
• Вы можете подсчитать p-значение с использованием некоторых компьютерных программ, включая как часто используемые программы электронных таблиц, так и более специализированное программное обеспечение.

Реклама

1. Общие свойства дискретного распределения
2. Функция распределения дискретной случайной величины
3. Числовые характеристики дискретного распределения
4. Таблица дискретных распределений, их параметров и числовых характеристик
5. Примеры

п.1. Общие свойства дискретного распределения

Величина, которая в результате испытания может принимать то или иное числовое значение, называется случайной величиной.
Случайная величина называется дискретной, если она принимает не более чем счетное количество значений.
Дискретная случайная величина называется конечной, если она принимает конечное число значений.

Правило, устанавливающее связь между значениями случайной величины и вероятностью получения каждого из этих значений в испытании, называется законом распределения.

Случайная величина полностью описывается своим законом распределения.
Закон распределения может быть задан аналитически (формулой), таблично или графически.

Закон распределения конечной дискретной случайной величины, заданный в виде таблицы, называют рядом распределения.

Например:
В результате измерения температуры учеников школы получен следующий ряд распределения:

Значения (left{x_1,x_2,…,x_kright}), которые может принимать конечная случайная величина X, являются несовместными и образуют полную группу событий. Сумма их вероятностей: $$ sum_{i=1}^k p_i=1, p_igeq 0 $$

Сумма вероятностей: $$ sum_{k=0}^3 P(k)=frac{27+54+36+8}{125}=1 $$

п.2. Функция распределения дискретной случайной величины

Функцией распределения дискретной случайной величины называют функцию, которая определяет вероятность, что значение случайной величины X не превышает граничное значение x: $$ F(x)=P(Xleq x) $$

Изобразим графически закон распределения в виде гистограммы:

Построим график для функции распределения: begin{gather*} F(k)= begin{cases} 0, kleq 0\ frac{27}{125}, 0lt kleq 1\ frac{81}{125}, 1lt klt 2\ frac{117}{125}, 2lt kleq 3\ 1, kgt 3 end{cases} end{gather*}

п.3. Числовые характеристики дискретного распределения

Математическое ожидание дискретной случайной величины X = {x_i} равно сумме произведений всех возможных значений x_i на соответствующие вероятности p_i: $$ M(X)=x_1p_1+x_2p_2+…+x_{n}p_{n}=sum_{i=1}^n x_{i}p_{i} $$ Математическое ожидание является средним значением величины X.

Дисперсия дискретной случайной величины X = {x_i} – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: $$ D(X)=M(X-M(X))^2 $$ На практике дисперсия рассчитывается по формуле: $$ D(X)=M(X)^2-M^2(X)=sum_{i=1}^n x_i^2p_i-M^2(X) $$

Среднее квадратичное отклонение (СКО) дискретной случайной величины X = {x_i} – это корень квадратный от дисперсии: $$ sigma(X)=sqrt{D(X)} $$ СКО характеризует степень отклонения случайной величины от среднего значения.

Например:
Рассчитаем числовые характеристики для урны с шарами из предыдущего примера.
Составим расчетную таблицу:

Получаем begin{gather*} M(X)=sum_{i=0}^3 x_i p_i=1,2=frac65\ D(X)=sum_{i=0}^3 x_i^2 p_i-M^2(X)=2,16-1,2^2=0,72=frac{18}{25}\ sigma(X)=sqrt{D(X)}=sqrt{frac{18}{25}}=frac{3sqrt{2}}{5} end{gather*} В научных статьях и технической документации принято записывать случайные величины в виде (x=M(X)pmsigma (X)).
В данном случае для числа вынутых белых шаров в 3 испытаниях можем записать: $$ k=frac{6pm 3sqrt{2}}{5} $$

п.4. Таблица дискретных распределений и их параметров

п.5. Примеры

Пример 1. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии дискретного равномерного распределения

Случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, если она принимает конечное число N значений с равными вероятностями. Значения исходов (k_iinleft{1,…,Nright}). Вероятность каждого из исходов (p_i=frac1N, i=overline{1,N}).

Предварительно заметим, что по формуле суммы арифметической прогрессии: $$ sum_{i=1}^N k_i=1+2+…+N=frac{N(N+1)}{2} $$ А сумму квадратов можно найти по формуле Архимеда (доказательство – см. пример 2 в §25 справочника для 9 класса): $$ sum_{i=1}^N k_i^2=1^2+2^2+…+N^2=frac{N(N+1)(2N+1)}{6} $$ Найдем математическое ожидание: $$ M(X)=sum_{i=1}^N k_ip_i=sum_{i=1}^N k_icdot frac1N=frac1N(1+2+…+N)=frac1Ncdotfrac{N(N+1)}{2}=frac{N+1}{2} $$ Найдем дисперсию: begin{gather*} D(X)=sum_{i=1}^N k_i^2 p_i-M^2(X)=sum_{i=1}^N k_i^2cdotfrac1N-M^2(X)=\ =frac1Ncdotfrac{N(N+1)(2N_1)}{6}-left(frac{N+1}{2}right)^2=frac{(N+1)(2N+1)}{6}-frac{(N+1)^2}{4}=\ =frac{N+1}{2}left(frac{2N+1}{3}-frac{N+1}{2}right)=frac{N+1}{2}cdotfrac{4N+2-3N-3}{6}=frac{N+1}{2}cdotfrac{N-1}{6}=frac{N^2-1}{12} end{gather*} В частности, для игрального кубика: $$ N=6; p_i=frac16; M(X)=frac{6+1}{2}=3,5; D(X)=frac{6^2-1}{12}=2frac{11}{12} $$
Ответ: (M(X)=frac{N+1}{2}; D(X)=frac{N^2-1}{12})

Пример 2. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии распределения Бернулли.

Случайная величина k имеет распределение Бернулли, если k принимает значения 1 или 0 с вероятностями p и 1-p соответственно. $$ P(0)=1-p=1, P(1)=p, kinleft{0;1right} $$

Закон распределения:

Пример 3. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии биномиального распределения.

Схема Бернулли – это последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны только два исхода – «успех» и «неудача».
При этом вероятность успеха в каждом испытании постоянна и равна (pin(0;1)).
Вероятность неудачи в каждом испытании (q=1-p).
Вероятность того, что событие A появится в n испытаниях Бернулли ровно k раз, выражается биномиальным распределением: $$ P_n(k)=C_n^k p^k q^{n-k} $$

Пример 4. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии распределения Пуассона.

Если проводится очень много испытаний Бернулли, для каждого из которых вероятность появления события A мала: (nrightarrowinfty, prightarrow 0, nprightarrowlambda), вероятность того, что событие A появится ровно k раз выражается распределением Пуассона: $$ p_k(lambda)=frac{lambda^k}{k!}e^{-lambda}, k=inleft{0,1,2,…right} $$

Распределение Пуассона получается из биномиального распределения предельным переходом (nrightarrowinfty, prightarrow 0, nprightarrowlambda).
Найдем математическое ожидание как предел мат. ожидания биномиального распределения: $$ M(X)=lim_{nprightarrowlambda}M_B(X)=lim_{nprightarrowlambda}(np)=lambda $$ Т.е. параметр (lambda) является средним числом удачных исходов.
Дисперсия, если учесть что (prightarrow 0), а значит (q=1-prightarrow 1) $$ D(X)=underset{qrightarrow 1}{lim_{nprightarrowlambda}} D_B(X)=underset{qrightarrow 1}{lim_{nprightarrowlambda}}(npq)=lambdacdot 1=lambda $$
Например, в городе размерами 10х10 км болеет гриппом 1000 человек.
С какой вероятностью в комнате размерами 10х10 м:
а) не окажется больных;
б) окажется 1 больной?
Площадь города в метрах (S=(10^4)^2=10^8) м²
Площадь комнаты в метрах (s_0=10^2) м²
Среднее количество больных в комнате: (lambda=Nfrac{s_0}{S}=10^3cdotfrac{10^2}{10^3}=10^{-3}=0,001)
а) вероятность того, что в комнате не окажется больных: $$ p_0=frac{0,001^0}{0!}e^{-0,001}=e^{-0,001}approx 1-0,001=0,999 $$ Здесь мы использовали формулу приближенных вычислений (e^xapprox 1+x, xrightarrow 0) (см. §52 данного справочника).
б) вероятность того, что в комнате окажется один больной: $$ p_1=frac{0,001^1}{1!}e^{-0,001}=0,000999approx 0,001 $$ Вероятность всех остальных случаев пренебрежимо мала.
Таким образом, при малых (lambda) вероятности (p_0approx 1-lambda, p_1approxlambda), т.е. фактически мы получаем распределение Бернулли.
Ответ: (M(X)=lambda , D(X)=lambda)