Как найти значение параметра для одного корня

Корни уравнения с параметром

Воскресенье, 27 октября, 2019

Очень часто среди заданий ЕГЭ, вступительных экзаменов и олимпиад по математике встречаются задачи, в которых каким-либо образом задаётся положение корней уравнений с параметром на числовой оси и требуется найти все возможные значения параметра, при которых имеет место такое расположение. Данная статья посвящена разбору нескольких заданий такого рода.

Пусть — квадратичная функция, графиком которой является парабола. Поскольку коэффициент при в уравнении равен , то ветви этой параболы направлены вверх. Корни уравнения с параметром — это точки, в которых данная парабола пересекает ось OX. Значит, для выполнения заданного условия парабола должна быть расположена относительно оси OX условно следующим образом:

Из рисунка видно, что для выполнения заданного условия необходимо и достаточно, чтобы значение введённой функции было отрицательным в точке , то есть . Ну действительно, поскольку ветви параболы направлены вверх, то в таком случае она пересечёт ось OX в двух точках, одна из которых находится правее точки , а другая — левее. Итак, имеет место неравенство:

   

   

   

Ответ: .

При получаем уравнение , которое имеет единственный корень , поэтому этот случай нам не подходит. Для можно поделить обе части данного уравнения на . Тогда мы приходим к следующему уравнению:

   

Теперь мы уверены, что ветви соответствующей параболы направлены вверх, и поэтому мы свели задачу к предыдущей. Пусть . Тогда требуемое условие будет выполнено тогда и только тогда, когда значение введённой функции в точке отрицательно, то есть :

Ну действительно, если ветви параболы направлены вверх, и в точке она принимает отрицательное значение, то ось OX эта парабола будет пересекать в двух точках и , одна из которых находится правее , вторая – левее. Эти точки представляют собой корни уравнения с параметром, которое записано в условии. Тогда точка окажется как раз между корнями уравнения, что нам и нужно. Значит, имеет место неравенство:

   

   

   

Ответ: .

Исследуем сразу случай, когда , то есть . В этом случае уравнение принимает вид: . Значит, корнем уравнения является число , что больше . То есть значение нам подходит.

Исследуем теперь случай, когда . В этом случае обе части уравнения можно поделить на . В результате приходим к следующему уравнению:

   

Пусть . Ветви соответствующей параболы направлены вверх, поэтому для того, чтобы выполнялось требуемое условие, эта парабола должна быть расположена относительно оси OX условно следующим образом:

Из рисунка видно, что требуемое условие выполняется только в том случае, если соответствующий квадратный трёхчлен имеет корни (парабола пересекает ось OX или касается её), то есть его дискриминант неотрицателен, значение этого квадратного трёхчлена в точке положительно, и вершина соответствующей параболы, ветви которой направлены вверх, лежит правее точки . То есть имеет место следующая система:

   

Выражаем все величины через параметр и после всех упрощений получаем следующую систему:

   

Каждое из неравенство системы решаем методом интервалов, а затем отбираем только те значения параметра , при которых выполняются все три неравенства системы.

Окончательный ответ к заданию имеет вид: .

Рассмотрим сперва случай, когда . В этом случае записанное уравнение принимает вид: . То есть корнем уравнения является число . Этот корень принадлежит промежутку , поэтому данный случай нам подходит.

Теперь рассмотрим случай, когда . В этом случае обе части уравнения можно поделить на . Тогда получаем следующее уравнение:

   

Пусть . Ветви соответствующей параболы направлены вверх. Значит, для выполнения требуемого условия эта парабола должна быть расположена относительно оси OX условно следующим образом:

Из рисунка видно, что требуемое условие выполняется тогда и только тогда, когда корни уравнения с параметром существуют (парабола пересекает ось OX или касается её), то есть когда дискриминант соответствующего квадратного трёхчлена положителен или равен нулю, значения этого трёхчлена в точках и положительны, а вершина соответствующий параболы находится внутри промежутка . То есть имеет место следующая система:

   

Выражаем все величины через параметр и упрощаем получившиеся неравенства. В результате получаем следующую систему неравенств:

   

Каждое из неравенств системы решается методом интервалов, после чего отбираются значения параметра , удовлетворяющие каждому из неравенств.

В результате получаем окончательный ответ:

.

Корни уравнения с параметром для самостоятельного решения

Решите следующие задания самостоятельно для самопроверки понимания изложенного в статье материала. Если при выполнении этих заданий у вас возникнут вопросы, задавайте их в комментариях, а также пишите в них свои попытки и варианты решений.

1. Найдите все значения параметра , при каждом из которых один из корней уравнения меньше 2, а другой больше 2.
   Ответ: .
2. Найдите все значения параметра , при каждом из которых один из корней уравнения больше 1, а другой меньше 1.
   Ответ: .
3. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет два различных корня, каждый из которых больше -1.
   Ответ: .

Материал подготовил репетитор по математике и физике в Москве Сергей Валерьевич

Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1)
Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:

• Найдите такие значения параметра, чтобы оба корня были меньше некоторого числа (γ): (x_1≤x_2<γ).
• Только один из корней принадлежит какому-то промежутку ((γ;β):)
  2 случая: (γ<x_1<β≤x_2;) или (x_1≤γ<x_2<β.)
• Некоторое число (∝) лежит между корнями: ((x_1<γ<x_2)).
• И т.д. Условия могут быть различными.

Теперь разберемся, как при помощи математики записать те или иные условия. Разберем условие: (x_1≤x_2<γ). Точно такие же рассуждения будут справедливы и для других условий.

1. Очевидно, что (D≥0), для того, чтобы корни существовали (либо один, либо два корня – то и то нас устраивает – именно поэтому знак неравенства больше либо равно).
2. Чтобы некоторое число лежало вне отрезка ((x_1,x_2)), необходимо рассмотреть два случая: ветки параболы направлены вверх ((a>0)); ветки параболы направлены вниз ((a<0)).
   • (a>0). Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения, а вне этого отрезка – положительные. Так как наше число (γ) должно по условию лежать вне отрезка ((x_1,x_2)), то (f(γ)>0).
   • (a<0). Значит, между корнями функция принимает положительные значения, а вне этого отрезка – отрицательные. Так как наше число (γ) должно по условию лежать вне отрезка ((x_1,x_2)), то (f(γ)<0).

Используем небольшую хитрость, чтобы описать оба этих условия: (a*f(γ)>0). Этим условием мы накладываем ограничение, что наши корни должны лежать слева или справа от числа (γ).

В итоге получаем:

если (a*f(γ)<0), то (γ∈(x_1,x_2)),

если (a*f(γ)>0), то (γ∉(x_1,x_2)).

Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа (γ). Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы (x_0) относительно (γ). Заметим, что вершина лежит между точками (x_1) и (x_2). Если (x_0<γ), то в системе с предыдущими условиями это будет означать, что число (γ) лежит справа от отрезка ((x_1,x_2)) и соответственно удовлетворяет условию задачи (x_1≤x_2<γ).

Таким образом, для того, чтобы решить задачу с условием (x_1≤x_2<γ) необходимо решить следующую систему:

$$begin{cases} D≥0,\ a*f(γ)>0, \x_0<γ.end{cases}$$

То, что дискриминант неотрицательный дает нам существование корней. Второе неравенство указывает, что (γ∉(x_1,x_2)). И последнее в совокупности с первыми двумя, что оба корня лежат слева от (γ).
Аналогичные рассуждения можно провести для любых условий. Настоятельно рекомендую разобраться во всех пунктах и откуда возникает вышеуказанная система неравенств, и вы легко сможете проводить анализ квадратных уравнений с параметром.

Ниже приведена таблица, в которой разобраны все варианты расположения нулей квадратичной функции на числовой прямой и соответствующие им условия. (см. таблицу)

Пример 1

При каких значениях параметра a уравнение
$$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$
имеет более одного корня?

Решение:

1 случай:
Если (a(a+3)=0), то уравнение будет линейным. При (a=0) исходное уравнение превращается в (6x-9=0), корень которого (x=1,5). Таким образом, при (a=0) уравнение имеет один корень.

При (a=-3) получаем (0*x^2+0*x-0=0), корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.

2 случай:
Если (a≠0; a≠-3), то получим квадратное уравнение. При положительном дискриминанте уравнение будет иметь более одного корня:
$$D>0$$ $$D/4=(a+3)^2+3a(a+3)^2>0$$ $$(a+3)^2 (3a+1)>0$$ $$a>-frac{1}{3}.$$
С учетом (a≠0;) (a≠-3), получим, что уравнение имеет два корня при (a∈(-frac{1}{3};0)∪(0;+∞)).

Объединив оба случая получим (внимательно прочитайте, что от нас требуется):

Ответ: (a ∈ {-3} ∪(-frac{1}{3};0)∪(0;+∞)).

Пример 2

Найти все значения параметра a, при которых корни уравнения
$$(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1=0$$
принадлежат отрезку ([-2;2]).

Решение:

1 случай: Если (a=-1), то (0*x^2-x+1-1=0) отсюда (x=0). Это решение принадлежит ([-2;2]).

2 случай: При (a≠-1), получаем квадратное уравнение, с условием, что все корни принадлежат ([-2;2]). Для решения введем функцию (f(x)=(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1) и запишем систему, которая задает требуемые условия:

$$begin{cases} (a+1)*f(-2) ≥ 0, \(a+1)*f(2) ≥ 0, \D≥0, \-2 < x_0 < 2.end{cases}$$

(x_0=frac{a^2+2a}{2(a+1)}) -вершина параболы.

$$ f(-2)=(a+1)*4-(a^2+2a)*(-2)-a-1=2a^2+7a+3; $$
$$ f(2)=(a+1)*4-(a^2+2a)*(2)-a-1=-2a^2-a+3; $$
$$ D=(a^2+2a)^2+4(a+1)^2=(a^2+2a+2)^2=(1+(a+1)^2 )^2>0.$$

Подставляем полученные выражения в систему:

$$ begin{cases} (a+1)(2a^2+7a+3) ≥ 0, \(a+1)(-2a^2-a+3) ≥ 0,\ -2 < frac{a^2+2a}{2(a+1)} < 2. end{cases} $$
Или
$$ begin{cases} 2(a+1)(a+3)(a+0,5) ≥ 0,\ -2(a+1)(a-1)(a+1,5) ≥ 0,\ frac{(a-1-sqrt{5})(a-1+sqrt{5})}{2(a+1)} < 0,\ frac{(a+3-sqrt{5})(a+3+sqrt{5})}{2(a+1)} > 0.end{cases} $$

Ответ: ([-3;-1,5]∪[-0,5;1]).

Пример 3

Решить уравнение (sqrt{x-5}=x+a), где (a) параметр.

Решение:

После равносильных преобразований получим систему:

$$ begin{cases} x-5=(x+a)^2, \x≥-a; end{cases} $$
$$ begin{cases} x^2+(2a-1)x+(a^2+5)=0, \x≥-a. end{cases} $$

Наша задача свелась к исследованию квадратного многочлена:

$$ f(x)=x^2+(2a-1)x+(a^2+5). $$

Для этого найдем дискриминант, вершину параболы и (f(-a)).
$$ D=(2a-1)^2-4(a^2+5)=-4a-19;$$
$$ {x}_{0}=-frac{2a-1}{2}=frac{1-2a}{2}; $$
$$ f(-a)=a+5.$$

Из второго неравенства системы следует, что нас устраивают случаи, когда ({x}_{1} < -a ≤ {x}_{2}) (нас будет устраивать только один корень ({x}_{2})) и (-a ≤ {x}_{1} ≤ {x}_{2}) (под условие системы будут подходить оба корня), где ({x}_{1},{x}_{2})- нули (f(x)).

Обратим внимание, что коэффициент при (x^2) положителен, т.е. ветки параболы направлены вверх.

Первый случай: ({x}_{1} < -a ≤ {x}_{2}) (см. таблицу)

$$ f(-a)≤0 ⇔ a+5≤0 ⇔ a≤-5;$$

Таким образом, при (a ≤ -5) мы имеем одно решение:

$$ x=frac{1-2a+sqrt{-4a-19}}{2}. $$

Второй случай: (-a ≤ {x}_{1} ≤ {x}_{2}) (см. таблицу)

$$ begin{cases} f(-a)≥0, \D≥0, \{x}_{0}>-a; end{cases} $$
$$ begin{cases} a+5≥0, \-4a-19≥0, \ frac{1-2a}{2}>-a; end{cases} $$
$$ begin{cases} a≥-5, \a≤-frac{19}{4}, \ 1>0. end{cases} $$

Получаем, что при (a∈[-5;-4.75]) уравнение имеет два решения:

$$ {x}_{1,2}=frac{1-2a±sqrt{-4a-19}}{2}. $$

Ответ: при (a≤-5) $$ x=frac{1-2a+sqrt{-4a-19}}{2};$$
при (a∈[-5;-4.75]) $$ {x}_{1,2}=frac{1-2a±sqrt{-4a-19}}{2}; $$
при (a>-4.75) решений нет.

Квадратные уравнения с параметром

Уравнение называется квадратным, если имеет вид (ax^2+bx+c=0,) где (a,b,c) – любые числа ((a≠0)). При этом надо быть внимательным, если (a=0), то уравнение будет линейным, а не квадратным. Поэтому, первым делом при решении квадратного уравнения с параметром, рекомендую смотреть на коэффициент при (x^2) и рассматривать 2 случая: (a=0) (линейное уравнение); (a≠0) (квадратное уравнение). Квадратное уравнение часто решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.

Исследование квадратного многочлена

Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1) Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:

• Найдите такие значения параметра, чтобы оба корня были меньше некоторого числа (γ): (x_1≤x_2 0)); ветки параболы направлены вниз ((a 0). Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения, а вне этого отрезка – положительные. Так как наше число (γ) должно по условию лежать вне отрезка ((x_1,x_2)), то (f(γ)>0).
• (a 0). Этим условием мы накладываем ограничение, что наши корни должны лежать слева или справа от числа (γ).

В итоге получаем:

если (a*f(γ) 0), то (γ∉(x_1,x_2)).

Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа (γ). Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы (x_0) относительно (γ). Заметим, что вершина лежит между точками (x_1) и (x_2). Если (x_0 0, \x_0

При каких значениях параметра a уравнение $$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$ имеет более одного корня?

1 случай: Если (a(a+3)=0), то уравнение будет линейным. При (a=0) исходное уравнение превращается в (6x-9=0), корень которого (x=1,5). Таким образом, при (a=0) уравнение имеет один корень.
При (a=-3) получаем (0*x^2+0*x-0=0), корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.

2 случай: Если (a≠0; a≠-3), то получим квадратное уравнение. При положительном дискриминанте уравнение будет иметь более одного корня: $$D>0$$ $$D/4=(a+3)^2+3a(a+3)^2>0$$ $$(a+3)^2 (3a+1)>0$$ $$a>-frac<1><3>.$$ С учетом (a≠0;) (a≠-3), получим, что уравнение имеет два корня при (a∈(-frac<1><3>;0)∪(0;+∞)). Объединив оба случая получим (внимательно прочитайте, что от нас требуется):

Найти все значения параметра a, при которых корни уравнения $$(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1=0$$ принадлежат отрезку ([-2;2]).

1 случай: Если (a=-1), то (0*x^2-x+1-1=0) отсюда (x=0). Это решение принадлежит ([-2;2]).

2 случай: При (a≠-1), получаем квадратное уравнение, с условием, что все корни принадлежат ([-2;2]). Для решения введем функцию (f(x)=(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1) и запишем систему, которая задает требуемые условия:

Подставляем полученные выражения в систему:

Урок математики в 11-м классе “Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра”

Разделы: Математика

Цель:

• формировать умение распознавать положение квадратной параболы на плоскости в зависимости от параметра,
• развивать логическое мышление,
• умение работать в проблемной ситуации.

Ход урока

Проверка домашнего задания.

Объяснение нового материала.

Решение многих задач с параметрами, предлагаемых на экзаменах, в частности, на ЕГЭ по математике, требует умения правильно формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие различным случаям расположения корней квадратного трёхчлена на числовой оси.

Пусть квадратный трёхчлен f(x) = ax 2 + bx + с имеет корни x₁ и x₂, – абсцисса вершины параболы y = ax 2 + bx + с, d – заданное число. Рассмотрим ряд утверждений, связанных с взаимным расположением x₁ , x₂ и числа d.

Теорема 1. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше числа d, (рис.1) необходимо и достаточно выполнение условий.

Пример:

При каких значениях параметра а корни уравнения ax 2 –(2а + 1)х + 3а – 1 = 0 больше единицы?

Решение: 1. При а = 0 х = -1 – не удовлетворяет требованию задачи.

2. При а

Ответ:

Теорема 2. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были меньше числа d, (рис.2) необходимо и достаточно выполнение условий

Рассмотрим задачи на применение этих теорем, обращая внимание на алгоритм получения необходимых и достаточных условий, соответствующих данному случаю расположения корней квадратного трёхчлена на числовой оси. Учащиеся должны научиться составлять эти условия, а не пытаться механически их запомнить.

Задачи для самостоятельного решения.

Найдите значение параметра m, при которых уравнение имеет два отрицательных решения.

Ответ: при уравнение имеет два отрицательных решения.

Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет два положительных различных решения.

Ответ: при уравнение имеет два положительных различных решения

При каких значениях параметра а корни уравнения больше 1?

Ответ: при корни уравнения больше 1.

При каких значениях параметра а оба корня уравнения меньше 1?

Ответ: при оба корня уравнения меньше 1.

При каких значениях параметра p оба корня квадратного трехчлена отрицательны?

Ответ: при оба корня квадратного трехчлена отрицательны.

Найдите все значения параметра а, при которых оба корня уравнения больше 1?

Ответ: не существует таких значений параметра а, при которых оба корня уравнения больше 1.

Теорема 3. Для того чтобы число d было расположено между корнями квадратного трёхчлена, (рис.3) необходимо и достаточно выполнение условий

Задача для самостоятельного решения

Найти все значения параметра , при которых только один корень квадратного трехчлена больше 2.

Ответ: или .

При каком значении параметра один корень уравнения больше 1, а другой – меньше 1?

Ответ: при один корень уравнения больше 1, а другой – меньше 1.

При каких значениях параметра число 2 находится между корнями квадратного уравнения ?

Ответ: при один корень уравнения больше 2, а другой – меньше .

Найти все значения параметра , при которых только один корень уравнения удовлетворяет неравенству .

Ответ: или .

Теорема 4. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена лежали в интервале (d: p), (рис.4) необходимо и достаточно выполнение условий

(4)

Пример. При каких значениях параметра а оба корня уравнения удовлетворяют условию 1 8.08.2010

Квадратные уравнения с параметром

Задачи с параметрами. Простейшие задачи на квадратный трёхчлен.

Сегодня мы рассмотрим задачи на квадратный трёхчлен, про который, в зависимости от параметра, надо будет что-то выяснить. Это «что-то» может быть самым разнообразным, насколько только хватит фантазии у составителей задачи. Это самый простой тип задач с параметрами. И, если на ЕГЭ вам попалась такая — считайте, что вам повезло!

Но, прежде чем приступать к разбору самих задач, ответьте сами себе на такие простые вопросы:

– Что такое квадратное уравнение, как оно выглядит и как решается?

– Что такое дискриминант и куда его пристроить?

– Что такое теорема Виета и где её можно применить?

Если вы верно отвечаете на эти простые вопросы, то 50% успеха в решении параметрических задач на квадратный трёхчлен вам обеспечены! А остальные 50% – это обычная алгебра и арифметика: раскрытие скобок, приведение подобных, решение уравнений, неравенств и систем и т.д.

Для начала рассмотрим совсем безобидную задачку. Для разминки. 🙂

Пример 1

Приступаем к решению. Во-первых, чтобы в будущем не накосячить в коэффициентах, всегда полезно выписать их отдельно. Прямо в столбик. Вот так:

Да-да! Часть коэффициентов в уравнении (а именно — b и с) зависит от параметра. В этом как раз и состоит вся фишка таких задач. А теперь снова въедливо перечитываем условие. Ключевой зацепкой в формулировке задания являются слова «единственный корень». И когда же квадратное уравнение имеет единственный корень? Подключаем наши теоретические знания о квадратных уравнениях. Только в одном единственном случае — когда его дискриминант равен нулю.

Осталось составить выражение для дискриминанта и приравнять его к нулю. Поехали!

Теперь надо приравнять наш дискриминант к нулю:

Можно, конечно, решать это квадратное уравнение через дискриминант, а можно немного схитрить. На что у нас похожа левая часть, если как следует присмотреться? Она у нас похожа на квадрат разности (a-3) 2 !

Респект внимательным! Верно! Если заменить наше выражение слева на (a-3) 2 , то уравнение будет решаться в уме!

Вот и всё. Это значит, что единственный корень наше квадратное уравнение с параметром будет иметь только в одном единственном случае — когда значение параметра «а» равно тройке.)

Это был разминочный пример. Чтобы общую идею уловить.) Теперь будет задачка посерьёзнее.

Пример 2

Вот такая задачка. Начинаем распутывать. Первым делом выпишем наше квадратное уравнение:

0,5x 2 — 2x + 3a + 1,5 = 0

Самым логичным шагом, было бы умножить обе части на 2. Тогда у нас исчезнут дробные коэффициенты и само уравнение станет посимпатичнее. Умножаем:

Выписываем в столбик наши коэффициенты a, b, c:

Видно, что коэффициенты a и b у нас постоянны, а вот свободный член с зависит от параметра «а»! Который может быть каким угодно — положительным, отрицательным, целым, дробным, иррациональным — всяким!

А теперь, чтобы продвинуться дальше, вновь подключаем наши теоретические познания в области квадратных уравнений и начинаем рассуждать. Примерно так:

«Для того чтобы сумма кубов корней была меньше 28, эти самые корни, во-первых, должны существовать. Сами по себе. В принципе. А корни у квадратного уравнения существуют, тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицательный. Кроме того, в задании говорится о двух различных корнях. Эта фраза означает, что наш дискриминант обязан быть не просто неотрицательным, а строго положительным!»

Если вы рассуждаете таким образом, то вы движетесь правильным курсом! Верно.) Составляем условие положительности для дискриминанта:

Полученное условие говорит нам о том, что два различных корня у нашего уравнения будет не при любых значениях параметра «а», а только при тех, которые меньше одной шестой! Это глобальное требование, которое должно выполняться железно. Неважно, меньше 28 наша сумма кубов корней или больше. Значения параметра «а», большие или равные 1/6, нас заведомо не устроят. Гуд.) Соломки подстелили. Движемся дальше.

Теперь приступаем к загадочной сумме кубов корней. По условию она у нас должна быть меньше 28. Так и пишем:

Значит, для того чтобы ответить на вопрос задачи, нам надо совместно рассмотреть два условия:

А дальше начинаем отдельно работать с этой самой суммой кубов. Есть два способа такой работы: первый способ для трудолюбивых и второй способ — для внимательных.

Способ для трудолюбивых заключается в непосредственном нахождении корней уравнения через параметр. Прямо по общей формуле корней. Вот так:

Теперь составляем нужную нам сумму кубов найденных корней и требуем, чтобы она была меньше 28:

А дальше — обычная алгебра: раскрываем сумму кубов по формуле сокращённого умножения, приводим подобные, сокращаем и т.д. Если бы корни нашего уравнения получились покрасивее, без радикалов, то такой «лобовой» способ был бы неплох. Но проблема в том, что наши корни выглядят немного страшновато. И подставлять их в сумму кубов как-то неохота, да. Поэтому, для того чтобы избежать этой громоздкой процедуры, я предлагаю второй способ — для внимательных.

Для этого раскрываем сумму кубов корней по соответствующей формуле сокращенного умножения. Прямо в общем виде:

А дальше проделываем вот такой красивый фокус: во вторых скобках выражаем сумму квадратов корней через сумму корней и их произведение. Вот так:

Казалось бы, и что из этого? Сейчас интересно будет! Давайте, посмотрим ещё разок на наше уравнение. Как можно внимательнее:

Чему здесь равен коэффициент при x 2 ? Правильно, единичке! А как такое уравнение называется? Правильно, приведённое! А, раз приведённое, то, стало быть, для него справедлива теорема Виета:

Вот и ещё одна теорема нам пригодилась! Теперь, прямо по теореме Виета, подставляем сумму и произведение корней в наше требование для суммы кубов:

Осталось раскрыть скобки и решить простенькое линейное неравенство:

Вспоминаем, что ещё у нас есть глобальное требование a 0 необходимо пересечь с условием a . Рисуем картинку, пересекаем, и записываем окончательный ответ.

Да. Вот такой маленький интервальчик. От нуля до одной шестой… Видите, насколько знание теоремы Виета, порой, облегчает жизнь!

Вот вам небольшой практический совет: если в задании говорится о таких конструкциях, как сумма, произведение, сумма квадратов, сумма кубов корней, то пробуем применить теорему Виета. В 99% случаев решение значительно упрощается.

Это были довольно простые примеры. Чтобы суть уловить. Теперь будут примеры посолиднее.

Например, такая задачка из реального варианта ЕГЭ:

Пример 3

Что, внушает? Ничего не боимся и действуем по нашему излюбленному принципу: «Не знаешь, что нужно, делай что можно!»

Опять аккуратно выписываем все коэффициенты нашего квадратного уравнения:

А теперь вчитываемся в условие задачи и находим слова «модуль разности корней уравнения». Модуль разности нас пока не волнует, а вот слова «корней уравнения» примем во внимание. Раз говорится о корнях (неважно, двух одинаковых или двух различных), то наш дискриминант обязан быть неотрицательным! Так и пишем:

Что ж, аккуратно расписываем наш дискриминант через параметр а:

А теперь решаем квадратное неравенство. По стандартной схеме, через соответствующее квадратное уравнение и схематичный рисунок параболы:

Значит, для того чтобы у нашего уравнения в принципе имелись хоть какие-то корни, параметр а должен находиться в отрезке [-1; 3]. Это железное требование. Хорошо. Запомним.)

А теперь приступаем к этому самому модулю разности корней уравнения. От нас хотят, чтобы вот такая штука

принимала бы наибольшее значение. Для этого, ничего не поделать, но теперь нам всё-таки придётся находить сами корни и составлять их разность: x₁ — x₂. Теорема Виета здесь в этот раз бессильна.

Что ж, считаем корни по общей формуле:

Дальше составляем модуль разности этих самых корней:

Теперь вспоминаем, что корень квадратный — величина заведомо неотрицательная. Стало быть, без ущерба для здоровья, модуль можно смело опустить. Итого наш модуль разности корней выглядит так:

И эта функция f(a) должна принимать наибольшее значение. А для поиска наибольшего значения у нас есть такой мощный инструмент, как производная! Вперёд и с песнями!)

Дифференцируем нашу функцию и приравниваем производную к нулю:

Получили единственную критическую точку a = 2. Но это ещё не ответ, так как нам ещё надо проверить, что найденная точка и в самом деле является точкой максимума! Для этого исследуем знаки нашей производной слева и справа от двойки. Это легко делается простой подстановкой (например, а = 1,5 и а = 2,5).

Слева от двойки производная положительна, а справа от двойки — отрицательна. Это значит, что наша точка a = 2 и вправду является точкой максимума. Заштрихованная зона на картинке означает, что нашу функцию мы рассматриваем только на отрезке [1; 3]. Вне этого отрезка нашей функции f(a) попросту не существует. Потому, что в заштрихованной области наш дискриминант отрицательный, и разговоры о каких-либо корнях (и о функции тоже) бессмысленны. Это понятно, думаю.

Всё. Вот теперь наша задача полностью решена.

Здесь было применение производной. А бывают и такие задачи, где приходится решать уравнения либо неравенства с так ненавистными многими учениками модулями и сравнивать некрасивые иррациональные числа с корнями. Главное — не бояться! Разберём похожую злую задачку (тоже из ЕГЭ, кстати).

Пример 4

Итак, приступаем. Первым делом замечаем, что параметр а ни в коем случае не может быть равен нулю. Почему? А вы подставьте в исходное уравнение вместо а нолик. Что получится?

Получили линейное уравнение, имеющее единственный корень x=2. А это уже совсем не наш случай. От нас хотят, чтобы уравнение имело два различных корня, а для этого нам необходимо, чтобы оно, как минимум, было хотя бы квадратным.)

При всех остальных значениях параметра наше уравнение будет вполне себе квадратным. И, следовательно, чтобы оно имело два различных корня, необходимо (и достаточно), чтобы его дискриминант был положительным. То есть, первое наше требование будет D > 0.

А далее по накатанной колее. Считаем дискриминант:

D = 4(a-1) 2 — 4a(a-4) = 4a 2 -8a+4-4a 2 +16a = 4+8a

Вот так. Значит, наше уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда параметр a > -1/2. При прочих «а» у уравнения будет либо один корень, либо вообще ни одного. Берём на заметку это условие и движемся дальше.

Далее в задаче идёт речь о расстоянии между корнями. Расстояние между корнями, в математическом смысле, означает вот такую величину:

Зачем здесь нужен модуль? А затем, что любое расстояние (что в природе, что в математике) — величина неотрицательная. Причём здесь совершенно неважно, какой именно корень будет стоять в этой разности первым, а какой вторым: модуль — функция чётная и сжигает минус. Точно так же, как и квадрат.

Значит, ответом на вопрос задачи является решение вот такой системы:

Теперь, ясен перец, нам надо найти сами корни. Здесь тоже всё очевидно и прозрачно. Аккуратно подставляем все коэффициенты в нашу общую формулу корней и считаем:

Отлично. Корни получены. Теперь начинаем формировать наше расстояние:

Наше расстояние между корнями должно быть больше трёх, поэтому теперь нам надо решить вот такое неравенство:

Неравенство — не подарок: модуль, корень… Но и мы всё-таки уже решаем серьёзную задачу №18 из ЕГЭ! Делаем всё что можно, чтобы максимально упростить внешний вид неравенства. Мне здесь больше всего не нравится дробь. Поэтому первым делом я избавлюсь от знаменателя, умножив обе части неравенства на |a|. Это можно сделать, поскольку мы, во-первых, в самом начале решения примера договорились, что а ≠ 0, а во-вторых, сам модуль — величина неотрицательная.

Итак, смело умножаем обе части неравенства на положительное число |a|. Знак неравенства сохраняется:

Вот так. Теперь в нашем распоряжении имеется иррациональное неравенство с модулем. Ясное дело, для того чтобы решить его, надо избавляться от модуля. Поэтому придётся разбивать решение на два случая — когда параметр а, стоящий под модулем, положителен и когда отрицателен. Другого пути избавиться от модуля у нас, к сожалению, нет.

Случай 1 (a>0, |a|=a)

В этом случае наш модуль раскрывается с плюсом, и неравенство (уже без модуля!) принимает следующий вид:

Неравенство имеет структуру: «корень больше функции». Такие иррациональные неравенства решаются по следующей стандартной схеме:

Отдельно рассматривается случай а), когда обе части неравенства возводятся в квадрат и правая часть неотрицательна и отдельно — случай б), когда правая часть всё-таки отрицательна, но зато сам корень при этом извлекается.) И решения этих двух систем объединяются.

Тогда, в соответствии с этой схемой, наше неравенство распишется вот так:

А теперь можно существенно упростить себе дальнейшую работу. Для этого вспомним, что в случае 1 мы рассматриваем только a>0. С учётом этого требования, вторую систему можно вообще вычеркнуть из рассмотрения, поскольку, второе неравенство в ней (3a 0 и a

Упрощаем нашу совокупность с учётом главного условия a>0:

Вот так. А теперь решаем самое обычное квадратное неравенство:

Нас интересует промежуток между корнями. Стало быть,

Отлично. Теперь этот промежуток пересекаем со вторым условием системы a>0:

Есть. Таким образом, первым кусочком ответа к нашему неравенству (а пока не ко всей задаче!) будет вот такой интервал:

Всё. Случай 1 разложен по полочкам. Переходим к случаю 2.

Случай 2 (a

В этом случае наш модуль раскрывается с минусом, и неравенство принимает следующий вид:

Опять имеем структуру: «корень больше функции». Применяем нашу стандартную схему с двумя системами (см. выше):

С учётом общего требования a

А дальше снова решаем обычное квадратное неравенство:

И опять сокращаем себе работу. Ибо оно у нас уже решено в процессе разбора случая 1! Решение этого неравенства выглядело вот так:

Осталось лишь пересечь этот интервал с нашим новым условием a

Вот и второй кусочек ответа готов:

Кстати сказать, как я узнал, что ноль лежит именно между нашими иррациональными корнями? Легко! Очевидно, что правый корень заведомо положителен. А что касается левого корня, то я просто в уме сравнил иррациональное число

с нулём. Вот так:

А теперь объединяем оба найденных интервала. Ибо мы решаем совокупность (а не систему):

Готово дело. Эти два интервала — это пока ещё только решение неравенства

Кто забыл, данное неравенство отвечает у нас за расстояние между корнями нашего уравнения. Которое должно больше 3. Но! Это ещё не ответ!

Ещё у нас есть условие положительного дискриминанта! Неравенство a>-1/2, помните? Это значит, что данное множество нам ещё надо пересечь с условием a>-1/2. Иными словами, теперь мы должны пересечь два множества:

Но есть одна проблемка. Мы не знаем, как именно расположено на прямой число -1/2 относительно левого (отрицательного) корня. Для этого нам придётся сравнить между собой два числа:

Поэтому сейчас берём черновик и начинаем сравнивать наши числа. Примерно так:

Это значит, что дробь -1/2 на числовой прямой находится левее нашего левого корня. И картинка к окончательному ответу задачи будет какая-то вот такая:

Всё, задача полностью решена и можно записывать окончательный ответ.

Ну как? Уловили суть? Тогда решаем самостоятельно.)

1. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение

ax 2 + 3x +5 = 0

имеет единственный корень.

2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых больший корень уравнения

x 2 — (14a-9)x + 49a 2 — 63a + 20 = 0

3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения

x 2 — 4ax + 5a = 0

4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

x 2 + 2(a-2)x + a + 3 = 0

имеет два различных корня, расстояние между которыми больше 3.

[spoiler title=”источники:”]

http://urok.1sept.ru/articles/582177

http://abudnikov.ru/ege/chast-2.2/zadachi-s-parametrami/kvadratnyie-uravneniya-s-parametrom.html

[/spoiler]

На этой странице вы узнаете

• Игра в прятки: как значение одной переменной может помочь найти другую?
• Парадокс: как стоять на месте и бежать с любой скоростью одновременно? 
• Решаем параметры осторожно: как не совершить ошибку в квадратном уравнении с параметром? 

Мы привыкли, что в уравнении коэффициенты не меняются. Но возможно ли из одного уравнения составить бесконечное множество различных его вариантов? Узнаем об этом в статье. 

Что такое параметр 

Утром на термометре было некоторое количество градусов, которое мы обозначим за х. В обед температура воздуха изменилась в несколько раз. Во сколько раз должна была измениться температура воздуха, чтобы на термометре было 20 градусов? 

Такие задачи достаточно легко решаются. Если бы изначально было пять градусов, то искомое число было бы равно (frac{20}{5} = 4). А если было 10 градусов, то искомое число было бы равно (frac{20}{10} = 2). 

Но не все так просто. Мы не знаем, какой изначально была температура. Также мы не знаем, во сколько раз она изменилась. То есть мы получили уравнение с двумя неизвестными переменными. 

Обозначим вторую переменную a, у нас получится уравнение вида ax=20. Только что введенная нами переменная “a”  называется параметр. 

Параметр — это условная буква, вместо которой можно подставить число. 

То есть параметр — это еще одна переменная, которая может принять несколько значений. 

Как решать уравнения с параметром, если у нас целых две (а то и больше) неизвестных переменных? Нужен иной подход, чем при решении обычного уравнения.

Решить уравнение с параметром — это найти такие числовые значения параметра, при которых условие выполняется. 

Мы ищем не единственное значение параметра, а все возможные его значения для заданного условия.

Линейные уравнения с параметром

Вернемся к нашей погоде. У нас получилось уравнение ax = 20. Как найти, сколько градусов было изначально? Разделить все уравнение на число a. 

(x = frac{20}{a})

Какие значения может принимать параметр? Любые. Например, при a = 1 x = 20.
При a = 2 x = 10.
При a = 40 x = 0,5 

Что, если a=0? Мы получаем уравнение (x = frac{20}{0}), у которого нет решения, поскольку на 0 делить нельзя. 

Если мы не будем преобразовывать изначальное уравнение, то получится 0*x=20, то есть уравнение не будет выполняться: какое бы число мы ни умножили на 0, получится 0. 

Получается, решение есть при любых значениях a, кроме 0. Таким образом, мы и нашли ответ: при a = 0 решений нет, при a (neq) 0 — x = 20a. 

Добавим немного теории. Представим наше уравнение в виде ax = b, где a, b — действительные числа. Рассмотрим несколько случаев. 

1) b (neq) 0. 

Предположим, Пете необходимо в несколько раз увеличить скорость х, пробежать дистанцию и поставить рекорд. Чтобы поставить рекорд, он должен бежать со скоростью 15 км/ч — это и будет коэффициент b. 

Получаем уравнение ax = 15. Как найти начальную скорость Пети? (x = frac{15}{a}). 

Такое уравнение мы уже решали выше. Получаем два случая: 

• Если a = 0 — решений нет. 
• Если a (neq) 0, то изначальная скорость Пети была равна (x = frac{15}{a}). 

2) b = 0. 

Мы получаем уравнение ax = 0. Также разберем два случая значений параметра: 

• a = 0. Мы получаем уравнение 0 * x = 0. Какое значение х нужно подставить, чтобы уравнение выполнялось? 

Какое бы число мы ни умножили на 0, получим 0. Получаем бесконечное множество решений. 

• a (neq) 0. Здесь получается, что равен 0 уже х: (x = frac{0}{a} = 0). 

Подведем итог. Как можно решить уравнение вида ax = b?

• Если a = 0, b = 0 — бесконечное множество решений. 
• Если a = 0, b (neq) 0 — решений нет. 
• Если a (neq) 0, b (neq) 0 — решением будет (x = frac{b}{a}). 

Квадратные уравнения с параметром

Прежде чем приступать к изучению следующего материала, рекомендуем ознакомиться с понятием квадратного уравнения в статье «Линейные, квадратные и кубические уравнения». Также важно ориентироваться в графиках параболы из статьи «Основные элементарные функции». 

Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, а графиком функции y = ax² + bx + c будет парабола. 

Как работать с такими уравнениями, если в них присутствует параметр? В первую очередь, важны рассуждения. Любое задание с параметром можно решить, проанализировав функцию.  

Решение квадратного уравнения опирается на понятие дискриминанта. В зависимости от его значений может получиться разное количество корней: 

• При D > 0 уравнение имеет два корня. 
• При D = 0 уравнение имеет один корень. 
• При D < 0 уравнение не имеет корней. 

Как это проверить на графике? Корни уравнения — это точки, в которых парабола пересекает ось абсцисс, то есть ось х. 

Рассмотрим три уравнения. 

1) x² — x — 2 = 0
Решим уравнение с помощью дискриминанта. 
D = 1² — 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9
Поскольку дискриминант больше 0, то уравнение имеет два корня. 

(x_1 = frac{1 + 3}{2} = 2)
(x_2 = frac{1 — 3}{2} = -1)

Проверим с помощью графика функции. Построим параболу и заметим, что она действительно дважды пересекает ось абсцисс, а координаты этих точек равны (−1; 0) и (2; 0) . 

2) x² -4x + 4 = 0
Решим уравнение с помощью дискриминанта. 
D = 16 — 4 * 1 * 4 = 16 — 16 = 0
Поскольку дискриминант равен 0, у уравнения всего один корень. 

(x = frac{4}{2} = 2)

Проверим на графике. И действительно, парабола касается оси х только один раз в вершине, координаты которой (2; 0). 

3) x² — 5x + 7 = 0
Решим уравнение с помощью дискриминанта. 
D = 25 — 4 * 1 * 7 = 25 — 28 = -3

Поскольку дискриминант отрицательный, у уравнения нет корней. И это отлично видно, если посмотреть на график функции: парабола лежит выше оси х и никогда ее не пересечет. 

Где можно применить эти знания, решая параметры? 

Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение x² + (3a + 11)x + 18,25 + a = 0 имеет два различных решения. 

Решение. Перед нами квадратное уравнение с коэффициентами b = 3a + 11, c = a + 18,25. В каких случаях это уравнение будет иметь два различных корня?

Квадратное уравнение имеет два корня, если D > 0. Нужно найти все значения параметра, при которых дискриминант будет положительным. 

1. Для начала найдем сам дискриминант. 

D = (3a + 11)² — 4 * 1 * (a + 18,25) = 9a² + 66a + 121 — 4a — 73 = 9a² + 62a + 48

2. Поскольку дискриминант должен быть больше 0, то получаем неравенство 9a² + 62a + 48 > 0

3. Решим его «Методом интервалов».

9a² + 62a + 48 = 0
D = 3844 — 1728 = 2116
(a_1 = frac{-62 + 46}{18} = -frac{16}{18} = -89)
(a_2 = frac{-62 — 46}{18} = -frac{108}{18} = -6)

4. Дискриминант будет положительным при (a in (-infty; -6) cup (-frac{8}{9}; +infty)). Это и будет ответ. 

Ответ: (a in (-infty; -6) cup (-frac{8}{9}; +infty)).

Важно: в уравнении мы указываем не сами решения уравнения, а значения параметра, при которых уравнение имеет два решения. 

Пример 2. При каких значениях параметра a уравнение (2a + 1)x² — ax + 3a + 1 = 0 имеет два различных решения? 

Решение. Этот пример похож на предыдущий, однако здесь есть одна важная особенность. Что произойдет с уравнением, если 2a+1 = 0? 

Мы получим уравнение 0,5x — 0,5 = 0, то есть линейное уравнение. У уравнения будет всего одно решение, что уже не подходит под условие задачи. 

1. Поскольку по условию должно быть 2 решения, мы получаем, что a (neq) -0,5. 

2. Найдем дискриминант уравнения. Он должен быть строго больше 0, чтобы у уравнения было два решения. 

D = a² — 4 * (2a + 1) * (3a + 1) = a² — 24a² — 20a -4 = -23a² — 20a — 4

3. Составим неравенство и решим его:

-23a² — 20a — 4 > 0
23a² + 20a + 4 < 0
23a² + 20a + 4 = 0
D = 400 — 4 * 23 * 4 = 400 — 368 = 32
(a_1 = frac{-20 + 4 sqrt{2}}{46} = frac{2sqrt{2} — 10}{23})
(a_2 = frac{-20 — 4sqrt{2}}{46} = frac{-2sqrt{2} — 10}{23})

4. Разложим уравнение на множители: 

(23a^2 + 20a + 4 = 23(a — frac{2sqrt{2} — 10}{23})(a — frac{-2sqrt{2} — 10}{23}))

5. Получаем неравенство:

(23(a — frac{2sqrt{2} — 10}{23})(a — frac{-2sqrt{2} — 10}{23} < 0)

6.Тогда  (a in (frac{-2sqrt{2} — 10}{23}; frac{2sqrt{2} — 10}{23})). Вспомним, что a (neq) -0,5, следовательно, мы получаем ответ (a in (frac{-2sqrt{2} — 10}{23}; -0,5) cup (-0,5; frac{2sqrt{2} — 10}{23})).

Ответ: (a in (frac{-2sqrt{2} — 10}{23}; -0,5) cup (-0,5; frac{2sqrt{2} — 10}{23}))

Теорема Виета 

Дискриминант — не единственный способ решить квадратное уравнение. Обратимся к теореме Виета. Если нам дано уравнение ax² + bx + c = 0, то его корни можно найти с помощью следующей системы: 

Теорему Виета удобно использовать, если на корни уравнения наложены дополнительные ограничения. 

Пример 3. При каких значениях параметра a корни уравнения x² — 3ax — a(a — 1) = 0 удовлетворяют условию x₁ = 5x₂. 

Решение. 1. Корни уравнения — это два различных числа. Значит, дискриминант должен быть строго больше 0: 

D = 9a² — 4 * 1 * (-a² + a) = 9a² + 4a² — 4a = 13a² — 4a = a(13a — 4)

Получаем неравенство a(13a — 4) > 0, следовательно, (a in (-infty; 0) cup (frac{4}{13}; +infty)). 

2. По теореме Виета найдем корни уравнения: 

3. По условию x₁ = 5x₂, тогда 5x₂ + x2 = 6x₂ = 3a, откуда получаем:
(x_2 = frac{3a}{6} = frac{a}{2})
(x_1 = 5 * a_2 = frac{5a}{2})

4. Подставим во второе уравнение системы:
(frac{a}{2} * frac{5a}{2} = a — a^2)
(frac{5a^2}{4} = a — a^2 | * 4)
5a² = 4a — 4a²
(9a^2 — 4a = 0 rightarrow a(9a — 4) = 0 rightarrow a = 0, a = frac{4}{9})

5. Мы нашли значения параметра, при которых выполняется условие. Осталось проверить, чтобы при этих значениях у уравнения было два корня. 

a = 0 не подходит, поскольку ограничение (a in (-infty; 0) cup (frac{4}{13}; +infty)) не включает точку 0. 

(a = frac{4}{9}) подходит, поскольку (frac{4}{9} > frac{4}{13}). 

Ответ: (a = frac{4}{9})

Условия на корни квадратного трехчлена 

Однако могут встретиться еще более сложные задания с параметрами. Рассмотрим каждый из этих случаев. 

1. Корни квадратного трехчлена меньше, чем число N. 

Построим параболу. Вспомним, что ветви параболы могут быть направлены или вверх, или вниз. 

Если ветви параболы направлены вверх. Отметим на оси х точку N так, чтобы она лежала правее обоих корней уравнения. Так мы зададим условие, что корни уравнения меньше, чем число N. 

Представим, что мы идем по холмистой местности, и у нас есть ее карта. Имея перед собой плоскую картинку, мы понимаем, как относительно друг друга располагаются точки в пространстве. Но посмотрев на рельеф сбоку, заметим, что точки имеют разную высоту. 

Пусть в точках, где парабола пересекает ось х, будут привалы на экскурсионном маршруте, а в точке N будет смотровая площадка. 

Что можно сказать про смотровую площадку на этой карте? Она находится выше, чем привалы, и лежит правее, чем самая низкая точка рельефа. 

Рассмотрим эти условия на графике. В точке N значение функции f(x) больше, чем в корнях уравнения. Более того, она лежит правее, чем вершина параболы, то есть ее абсцисса больше абсциссы параболы. 

Почему эти условия так важны? Пусть точка N будет лежать левее вершины параболы. Тогда не выполняется условие, что корни меньше, чем N. 

В этом случае на нашем экскурсионном маршруте смотровая площадка будет лежать до привалов. 

А если значение функции в точке N будет меньше, чем в корнях уравнения? Точка N будет лежать между ними. 

В этом случае смотровая площадка окажется между привалами. 

Аналогичным способом можно проследить изменение условий при любом положении точки N на графике. 

Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена ax² + bx + c были меньше, чем число N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 

Что произойдет, если ветви параболы будут направлены вниз? Наш экскурсионный маршрут немного поменяется: появится гора, а не овраг. 

Где теперь располагается смотровая площадка? Она будет ниже, чем привалы, и дальше, чем самая высокая точка горы. 

Мы можем сделать вывод, что точка N на графике будет лежать правее вершины параболы, а значение функции в ней будет меньше, чем значение функции в корнях уравнения. 

Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена ax² + bx + c были меньше, чем число N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 

2. Корни квадратного трехчлена больше, чем число N. 

Рассуждаем так же, как и в предыдущей функции, однако теперь точка N перемещается левее параболы. 

Если ветви параболы направлены вверх, то функция в точке N принимает большее значение, чем в корнях уравнения, а сама точка N будет лежать левее параболы. 

Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена ax² + bx + c были больше, чем число N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 

Теперь направим ветви параболы вниз. Значение функции в точке N будет меньше, чем в корнях уравнения. 

Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена ax² + bx + c были больше, чем число N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 

С помощью анализа расположения точек на графике функций можно задать условия для любой ситуации, даже если точек будет несколько. 

В итоге должна получиться система, с помощью которой можно решить задачу.

Фактчек

• Параметр — это буква a, вместо которой можно подставить число. Решить уравнение с параметром — это найти такие числовые значения параметра, при которых условие выполняется. 
• При решении линейного уравнения ax=b в зависимости от значения коэффициентов может получиться несколько вариантов решений. Если a = 0, b = 0 — бесконечное множество решений. Если a = 0, b (neq) 0 — решений нет. Если a (neq) 0, b (neq) 0 — решением будет (x = frac{b}{a}). 
• При решении квадратного уравнения обязательно проверять коэффициент перед x². Если коэффициент будет равен 0, то уравнение станет линейным.
• При решении квадратного уравнения важно учитывать значение дискриминанта: если он строго больше 0, то корней у уравнения два, если дискриминант равен 0, то у уравнения один корень, если дискриминант меньше 0, то у уравнения нет корней. 
• Решить квадратное уравнение можно и с помощью теоремы Виета. 
• Если в задаче даны дополнительные условия на корни уравнения (например, они должны быть больше или меньше определенного числа), то задать их можно с помощью системы. Неравенства в системе можно составить с помощью анализа примерного графика функций. 

Проверь себя

Задание 1. 
Что такое параметр?

1. Это буква a, вместо которой можно подставить число.
2. Это коэффициент перед x² в квадратном уравнении.
3. Это переменная х.
4. Это значение функции в определенной точке. 

Задание 2. 
Дано уравнение ax = b. Сколько решений оно имеет, если a = 0 и b = 0?

1. Решений нет.
2. Одно решение.
3. Бесконечное множество решений.
4. Невозможно определить количество решений. 

Задание 3. 
При каких значениях дискриминанта уравнение будет иметь корни?

1. D > 0
2. D = 0
3. D < 0
4. D (neq) 0

Задание 4. 
Корни квадратного уравнения меньше числа А. Где будет лежать вершина параболы относительно точки А?

1. Справа.
2. Слева.
3. Совпадать с точкой А.
4. Невозможно определить расположение вершины. 

Задание 5. 
Меньший корень квадратного уравнения больше числа А, но меньше числа В. Ветви параболы направлены вниз. Чему будет равно значение функции в точке В?

1. Значение функции в точке В будет меньше 0.
2. Значение функции в точке В будет равно 0.
3. Значение функции в точке В будет больше 0.
4. Невозможно определить значение функции. 

Ответы: 1. — 1 2. — 3 3. — 4 4. — 2 5. — 3.

Самым первым иррациональным уравнение, с которым сталкиваются школьники, является уравнение вида:

Решая данное уравнение, ученики знакомятся с иррациональными уравнениями с параметром. Рассматривают самое простейшее решение и исследуют множество случаев, где возникают спорные ситуации, в которых могут появиться посторонние корни или наоборот произойдет потеря корней.

Покажем решение данного уравнения:

Рассматривая разные значения параметра, мы замечаем, что могут возникнуть три случая:

a) если , то уравнение корней не имеет;

b) если , то ;

c) если , то .

Если классифицировать иррациональные уравнения с параметром, то мы можем получить два основных уравнения общего вида (:

Многие уравнения сводятся именно к решению этих двух или являются частным случаем данных уравнений. При выполнении действий с корнями мы получаем уравнения, более высокого уровня (:

Рассмотрим различные методы решения иррациональных уравнений с параметром на частных примерах, а также подберем систему заданий на отработку того или иного метода.

Замечание: Некоторые уравнения могут быть решены несколькими способами. Способ решения выбирается исходя из удобства применения.

Переход к смешанной системе, путем возведения обеих частей уравнения в необходимую одинаковую степень

При решении уравнений этим методом необходимо помнить, что в результате возведения обеих частей уравнения в одинаковую степень получается уравнение, являющееся следствием исходного, т.е. область определения расширяется, а значит, возможно появление «посторонних корней», которые должны быть устранены проверкой. Именно поэтому мы используем следующую эквивалентность (при ):

Замечание: При возведении обеих частей уравнения в нечетную степень получается уравнение, равносильное исходному.

Пример. Иррациональное уравнение вида 

Рассмотрим решение уравнений вида:

Решение. Используя переход к эквивалентной системе и решив полученную систему, найдем решение исходного уравнения:

Ответ: Если  то уравнение решений не имеет;если  то решение принимает вид: 

Метод замены

Данные метод заключается в замене данной переменной на новую и сведения исходного уравнения к более простому.

Пример. Иррациональное уравнение вида 

Для каждого значения параметра a решить уравнение

Решение. Обозначим , где . Учитывая исходное уравнение, получим систему вида:

Вычитая из первого уравнения второе, получим новое уравнение:

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Произведем обратную замену:

Оба уравнения совокупности соответствуют уравнению вида

и решаются методом перехода к смешанной системе. Исходя из этого, решим уравнения, начиная с первого:

Решим квадратное уравнение относительно переменной x, с помощью формул корней квадратного уравнения:

Проверим условие :

и получим, что  является корнем уравнения при .

Условие , выполняется для любого .

Аналогично решим второе уравнение совокупности  и получим

Проверим условие  для :

Получили, что  является корнем уравнения  при  Также проверяется условие  для 

Решением данного неравенства является пустое множество (), так как отрицательное число всегда меньше выражения с радикалом.

Объединяя полученные решения, запишем ответ.

Метод введения вспомогательного неизвестного (метод подстановки)

Данный метод состоит во введении вспомогательных неизвестных, с помощью которых уравнение сводится к системе рациональных уравнений относительно новых переменных. Например:

Пример 8. Иррациональное уравнение вида

Для каждого значения параметра a решить уравнение

Решение. Прежде чем приступить к решению уравнения нам необходимо найти ОДЗ. Найдем ее:

Найденная область допустимых значений: . Введем вспомогательные неизвестные:

и получим следующую систему:

Заметим, что при  система решений не имеет. Так как

то при  получаем

Учитывая, что , находим

Значения параметра a, при которых выполнены оба условия  и , найдем, решив систему неравенств

Первое неравенство справедливо при , второе неравенство справедливо при . Следовательно, оба неравенства справедливы, а значит и оба условия выполняются одновременно при . При данных значениях параметра получаем уравнение, которое можем решить.

Ответ: Если , то ;если , то решений нет.

Графический метод

Стандартный способ решения уравнений в отдельных случаях приводит к сложным преобразованиям. Процесс решения может быть упрощен, если применить графический прием. Использование графического метода сводится к построению и анализу графиков функций, с помощью которых составлено уравнение.

Можно выделить две разновидности рассматриваемого метода:

1. изображение на плоскости , где  – неизвестное;  – параметр;2. на плоскости  рассматривается семейство кривых, зависящих от параметра .

Первый способ используется в задачах, которые содержат лишь неизвестную и параметр, или сводящихся к таким. Второй способ оказывается удобен в задачах с двумя неизвестными и одним параметром.

Пример. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение  имеет хотя бы один корень.

Решение. Применяя графический метод решения, найдем все значения параметра, при которых прямая  имеет хотя бы одну общую точку с графиком функции . Заметим, что для прямой  параметр а является угловым коэффициентом (при изменении параметра одна прямая будет переходить в другую с помощью поворота около точки (-1;0), так как для любого .

По графику (рис. 2) видим, что искомыми являются прямые, лежащие внутри заштрихованной пары вертикальных углов, включая границы. Им соответствуют значения  отвечает моменту касания прямой  графика функции . (Заметим, что ).

Значение  находим из условия, что уравнение  имеет ровно один корень. После преобразований получим квадратное уравнение

Так как , то искомое значение 

Ответ: 

Метод функционального исследования

Иррациональные уравнения с параметром можно решать, основываясь на знаниях о свойствах функций, составляющих данное уравнение. При решении уравнения мы можем ссылаться как на одно свойство, так и на совокупность нескольких свойств. Метод функционального исследования зачастую используют для решения уравнений повышенного уровня. Мы рассмотрим основные свойства, используемые при решении иррациональных уравнений с параметром, и приведем примеры использования данных свойств.

Монотонность

Знание свойств монотонных функций очень часто помогает при решении систем уравнений. Напомним некоторые свойства монотонных функций:

1) Если функции  и  возрастающие (убывающие), причем пересечение областей определения данных функций не равно пустому множеству , то функция  возрастающая (убывающая);

2) Если функции  и  возрастающие (убывающие), причем пересечение областей определения данных функций не равно пустому множеству  и  при всех допустимых значениях x, то функция  возрастающая (убывающая).

3) Если функция  монотонная, то уравнение  имеет не более одного корня; другими словами, монотонная функция каждое свое значение принимает ровно один раз.

Пример. Решите систему уравнений

Решение. В данной системе вычтем из первого уравнения второе. Получим

Рассмотрим функцию  Используя свойство суммы возрастающих функций, делаем вывод что функция  возрастающая. Заметим, что . Следовательно . Отсюда

Очевидно что:

Ответ: Если , то если, то система решений не имеет.

Метод итерации

Вообще говоря метод итерации можно включить в метод исследования монотонности, но рассмотрим его отдельно, потому что очень часто задачи с итерациями дают на вступительных экзаменах по математике в ведущих ВУЗах России.

Рассмотрим уравнение

n–разОчевидно, что все корни уравнения  являются корнями уравнения (1), но эти уравнения, вообще говоря, не эквивалентны. Однако, если функция строго монотонна на некотором промежутке, то эти уравнения равносильны всюду на этом промежутке.

Рассмотрим практическое применение метода итерации при решении уравнения.

Пример. Найти все значения параметра а, при которых уравнение

имеет два различных корня.
Решение. Приведем данное уравнение к виду

где  возрастает на промежутке . Значит исходное уравнение равносильно уравнению . Путем рассуждений и используя свойство монотонной функции мы пришли к более простому иррациональному уравнению с параметром, которое можем решить приведением к смешанной системе (см. Пример 3).



Решим уравнение системы, как квадратное относительно переменной .

Проверим условие  Для этого подставим вместо  полученное нами значение и решим неравенство относительно параметра:

Данное неравенство будет верным для любого значения параметра

так как область значений функции  равна интервалу  при , а значит  корнем исходного уравнения является при любом .

Аналогично проверим условие 

Получили, что  является корнем исходного уравнения при . Объединяя все результаты рассуждений и решений, делаем вывод, что исходное уравнение имеет два различных корня при 

Ответ: 

Наибольшее (наименьшее) значение функции и дифференцируемость функции

Для определения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке используют несколько теорем:Теорема ВейерштрассаФункция, непрерывная на отрезке  имеет наибольшее и наименьшее значения, которые достигаются либо в критических точках, либо на концах отрезка.Теорема о наибольшем и наименьшем значениях на незамкнутом промежуткеЕсли функция, непрерывная на интервале , имеет в этом интервале только одну точку экстремума , и если  – точка максимума, то  – наибольшее значение функции  на интервале ; если  – точка минимума, то  – наименьшее значение функции  на интервале .

Частные методы решения иррациональных уравнений с параметром

В данном разделе рассмотрим задания, которые решаются с помощью использования нескольких стандартных методов или без их использования, а также задания повышенного уровня сложности.

Пример. Для каждого значения параметра а решить уравнение

Решение. При  данное уравнение равносильно совокупности

Отсюда  при любом ,  при .

Ответ: Если , то ;если , то .

Замечание. При решении уравнения вида

следует учитывать, что оно равносильно уравнению

Рассмотрим далее решение примера, в котором используется прием решения уравнения относительно параметра.

Пример. Для каждого значения параметра а решить уравнение

Решение. Избавимся от иррациональности в данном уравнении путем перехода к смешанной системе

Раскрывая скобки и группируя члены в уравнении последней системы, получим  Выражение в левой части – это квадратный трехчлен относительно а, который можно разложить на множители:

Следовательно,

Первая система полученной совокупности не имеет решений, так как при условии  получаем, что  Вторая система равносильна системе

Заметим, что при  корни  совпадают и равны .

Ответ: Если , то решений нет;если , то  и ;если  и , то .

Очень часто параметр стоит либо в под знаком корня, либо отдельно от него; но бывает так, что в качестве параметра рассматривается показателя корня. Рассмотрим такой пример.

Пример. В зависимости от значений параметра  решить уравнение

Решение. Подстановкой убеждаемся, что  не является корнем исходного уравнения. Поэтому после деления обеих частей уравнения на получим равносильное уравнение

Заменим , и придем к квадратному уравнению относительно новой переменной

Так как показатель  может принимать четные значения, то  в данном случае нужно отбросить, так как .

Таким образом, при четном показателе  имеем

При нечетном показателе  уравнение  имеет два корня:

Ответ: Если  – четное, то если  – нечетное, то 

Рассмотрим уравнение, в котором сочетаются несколько видов функций.

Пример. При каких а уравнение

имеет ровно 8 корней.

Решение. Решим уравнение, как обыкновенное тригонометрическое:

При каждом  количество корней уравнения будет равно двум. Значит, условие нашей задачи будет выполнятся при . Мы не рассматриваем отрицательные значения , так как  стоит во второй степени, следовательно . Выпишем предполагаемые корни:

Для того чтобы наши предполагаемые корни являлись искомыми, необходимо чтобы выполнялись следующие условия:

Ответ: 

---

Количество просмотров публикации: Please wait

Все статьи автора «Поставничий Юрий Сергеевич»