Как найти значение параметра в системе уравнений

1. Системы линейных уравнений с параметром

Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.

Пример 1.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.

{х + (а² – 3)у = а,
{х + у = 2.

Решение.

Рассмотрим несколько способов решения данного задания.

1 способ. Используем свойство: система не имеет решений, если отношение коэффициентов перед х равно отношению коэффициентов перед у, но не равно отношению свободных членов (а/а₁ = b/b₁ ≠ c/c₁). Тогда имеем:

1/1 = (а² – 3)/1 ≠ а/2 или систему

{а² – 3 = 1,
{а ≠ 2.

Из первого уравнения а² = 4, поэтому с учетом условия, что а ≠ 2, получаем ответ.

Ответ: а = -2.

2 способ. Решаем методом подстановки.

{2 – у + (а² – 3)у = а,
{х = 2 – у,

или

{(а² – 3)у – у = а – 2,
{х = 2 – у.

После вынесения в первом уравнении общего множителя у за скобки, получим:

{(а² – 4)у = а – 2,
{х = 2 – у.

Система не имеет решений, если первое уравнение не будет иметь решений, то есть

{а² – 4 = 0,
{а – 2 ≠ 0.

Очевидно, что а = ±2, но с учетом второго условия в ответ идет только ответ с минусом.

Ответ: а = -2.

Пример 2.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.

{8х + ау = 2,
{ах + 2у = 1.

Решение.

По свойству, если отношение коэффициентов при х и у одинаковое, и равно отношению свободных членов системы, то она имеет бесконечное множество решений (т. е. а/а₁ = b/b₁ = c/c₁). Следовательно 8/а = а/2 = 2/1. Решая каждое из полученных уравнений находим, что а = 4 – ответ в данном примере.

Ответ: а = 4.

2. Системы рациональных уравнений с параметром

Пример 3.

Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

{3|х| + у = 2,
{|х| + 2у = a.

Решение.

Умножим первое уравнение системы на 2:

{6|х| + 2у = 4,
{|х| + 2у = a.

Вычтем из первого второе уравнение, получим 5|х| = 4 – а. Это уравнение будет иметь единственное решение при а = 4. В других случаях это уравнение будет иметь два решения (при а < 4) или ни одного (при а > 4).

Ответ: а = 4.

Пример 4.

Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

{х + у = а,
{у – х² = 1.

Решение.

Данную систему решим с использованием графического метода. Так, графиком второго уравнения системы является парабола, поднятая по оси Оу вверх на один единичный отрезок. Первое уравнение задает множество прямых, параллельных прямой y = -x (рисунок 1). Из рисунка хорошо видно, что система имеет решение, если прямая у = -х + а является касательной к параболе в точке с координатами (-0,5; 1,25). Подставив в уравнение прямой вместо х и у эти координаты, находим значение параметра а:

1,25 = 0,5 + а;

а = 0,75.

Ответ: а = 0,75.

Пример 5.

Используя метод подстановки, выясните, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{ах – у = а + 1,
{ах + (а + 2)у = 2.

Решение.

Из первого уравнения выразим у и подставим во второе:

{у = ах – а – 1,
{ах + (а + 2)(ах – а – 1) = 2.

Приведем второе уравнение к виду kx = b, которое будет иметь единственное решение при k ≠ 0. Имеем:

ах + а²х – а² – а + 2ах – 2а – 2 = 2;

а²х + 3ах = 2 + а² + 3а + 2.

Квадратный трехчлен а² + 3а + 2 представим в виде произведения скобок

(а + 2)(а + 1), а слева вынесем х за скобки:

(а² + 3а)х = 2 + (а + 2)(а + 1).

Очевидно, что а² + 3а не должно быть равным нулю, поэтому,

а² + 3а ≠ 0, а(а + 3) ≠ 0, а значит а ≠ 0 и ≠ -3.

Ответ: а ≠ 0; ≠ -3.

Пример 6.

Используя графический метод решения, определите, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{х² + у² = 9,
{у – |х| = а.

Решение.

Исходя из условия, строим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единичных отрезка, именно ее задает первое уравнение системы

х² + у² = 9. Второе уравнение системы (у = |х| + а) – ломаная. С помощью рисунка 2 рассматриваем все возможные случаи ее расположения относительно окружности. Легко видеть, что а = 3.

Ответ: а = 3.

 Остались вопросы? Не знаете, как решать системы уравнений?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

На этой странице вы узнаете

• Категоричность или лояльность: чем отличается система от совокупности? 
• Как проходит борьба за первенство между переменными? 
• Как выглядят неравенства на графиках функций? 

Как бы нам ни хотелось обратного, но научиться решать задачи с параметром, прочитав краткую инструкцию и выписав несколько формул, не получится. Нам обязательно потребуется аналитическое мышление, то есть способность разбивать информацию на небольшие части, исследовать и делать выводы. Узнаем об этом в статье.  

Системы уравнений с параметром

Что мы представляем, когда говорим про аналитику? Возможно, серьезных мужчин и женщин, которые много думают, сравнивают данные и делают на их основе сложные прогнозы. Они в строгих костюмах и очках, с серьезным сосредоточенным лицом. 

Я предлагаю погрузиться в аналитику в параметрах. По желанию надеваем серьезный костюм и очки, и вперед.

Немного организационных вопросов перед нашим путешествием. Что подразумевает под собой аналитический способ решения параметров? В первую очередь, это использование алгебраических преобразований и рассуждений без привлечения графиков. Про «Графический способ решения параметров» можно прочесть в отдельной статье. 

Как можно преобразовать системы уравнений? Рассмотрим пример. 

Решим первое уравнение системы, получаем, что x=2 или 

Что мы можем сказать про совокупность и про систему? Совокупность, которая обозначается квадратной скобочкой, выполняется в случае, если выполняется хотя бы одно, любое из ее уравнений. Чтобы выполнялась система, необходимо, чтобы выполнялись все условия, которые в нее включены. 

Назовем уравнение y = 3 Кристиной. Кристина очень любит вязаных жабок (x = 2) и плюшевых ленивцев  (x = — 2). Предположим, что Кристина пошла в магазин, чтобы купить новую игрушку. Скорее всего, она купит именно те игрушки, которые ей нравятся, поэтому система 

будет обозначать, что Кристина купила жабку, которую очень любит. 

А вот система

означает, что Кристина купила ленивца, которого также очень любит. 

Разумеется, она может купить и жабку, и ленивца. Но что, если в магазине не будет одной из этих игрушек или у Кристины не хватит денег? Она купит только одну из них. А как показать это на языке математики? Совокупностью из двух систем: 

Эта совокупность будет выполняться, даже если Кристина купит только жабку или только ленивца. 

Так можно преобразовать любую систему или совокупность. Немного усложним в систему из двух совокупностей: 

Переведем с языка математики. Нам было нужно, чтобы одновременно выполнялось А или В и С или D, то есть хотя бы по одному условию из каждой совокупности. Нам была необходима ситуация (А или В) и (С или D). 

Следовательно, если выполняется условие А, то обязательно должно выполняться и условие С или D. Образуются две системы: “А и С” или “A и D”. Если выполняется условие В, то обязательно должно выполняться условие C или D, получаются две системы: “В и С” или “В и D”. 

Для выполнения самой первой системы нужно выполнение хотя бы одной из получившихся четырех систем. Тем самым мы получаем совокупность из четырех систем: (А и С) или (А и D) или (В и С) или (В и D). 

Решение систем уравнений на примере

Рассмотрим на примере, как можно решить систему уравнений. Для этого запасемся терпением, подготовим наши блокноты и ручки и начнем погружение в мир аналитики. 

Пример 1. Найдите все значения параметра а при каждом из которых система уравнений имеет ровно 4 решения. 

Решение.

Шаг 1. Проанализируем второе уравнение системы и попробуем преобразовать его. Перенесем все слагаемые в одну сторону:

Вынесем общие множители за скобку: 

Если произведение двух множителей равно 0, то каждый множитель равен 0. Следовательно, решением этого уравнения будет совокупность 

Шаг 2. Получаем систему из уравнения и совокупности. Преобразуем ее рассмотренным ранее способом. 

Шаг 3. Вспомним, что сейчас мы аналитики и попробуем определить, в каких случаях у совокупности будет четыре решения. 

Представим, что у нас есть две двухрублевые монеты. Как сделать из них четыре монеты? Разменять каждую двухрублевую монету на две однорублевые. 

Шаг 4. Нам необходимо, чтобы совокупности каждая система имела ровно два решения. 

Шаг 5. В каких случаях у квадратного уравнения будет два решения? Если коэффициент перед x2 не будет равен 0. В уравнении

ax^2 + ay^2 + 5ay + 1 = (5a-2)x

Получаем, что a ≠ 0. 

Проверим. Для этого подставим значение a = 0 в совокупность:

Из первого уравнения системы получаем, что

Тогда решением первой системы будет точка

(-frac{1}{2};frac{1}{2})

— единственное решение. 

Во второй системе решений не будет, поскольку при x = 4 не выполняется равенство 1 = — 2 * 8. Всего будет одно решение, что не подходит к условию. 

Шаг 6. А что будет, если уравнения x = — y и x = 4 совпадут? У нас получится совокупность из двух совершенно одинаковых систем. Их решения совпадут, то есть их будет не 4, а 2. 

Таким образом, мы получаем новое условие: 

— y ≠ 4 => y ≠ -4 при x = 4. То есть точка (4; -4) не может быть решением. 

Найдем, чему равен параметр в этом случае, для этого подставим значения x и y в первое уравнение:

a * 4^2+a * (- 4)^2 + 5a(- 4) + 1 = (5a - 2)4

16a + 16a - 20a + 1 = 20a - 8

Следовательно,

Шаг 7. Теперь рассмотрим отдельно каждую из двух систем и найдем, при каких значениях параметра а они будут иметь по два решения. 

В первое уравнение первой системы подставим x = — y, получаем:

a(- y)^2 + ay^2 + 5ay + 1 = (5a - 2)(- y)

2ay^2 + 5ay + 1 + 5ay - 2y = 0

2ay^2 + y(10a - 2) + 1 = 0

Мы получили обычное квадратное уравнение. Оно будет иметь два решения, если его дискриминант будет строго больше 0: 

D = (10a - 2)^2 - 4 * 2a * 1 = 100a^2 - 40a + 4 - 8a = 100a^2 - 48a + 4

D > 0 => 100a^2 - 48a + 4 > 0

Решая неравенство «Методом интервалов», получаем, что

ain(-infty;frac{6-sqrt{11}}{25})cup(frac{6+sqrt{11}}{25};+infty)

Шаг 8. Аналогично решаем вторую систему. 

Подставим х = 4 в первое уравнение системы: 

a * 4^2 + ay^2 + 5ay + 1 = (5a - 2) * 4

16a + ay^2 + 5ay + 1 = 20a - 8

Чтобы у этого уравнения было два решения, его дискриминант должен быть строго больше 0.

D = 25a^2 - 4a *(9 - 4a) = 25a^2 - 36a + 16a^2 = 41a^2 - 36a = a(41a - 36)

Решаем неравенство методом интервалов и получаем, что a

ain(-infty;0)cup(frac{36}{41};+infty)

Шаг 9. В этот момент нам, как аналитикам, необходимо задуматься: а как объединить эти решения? Брать все получившиеся значения а или только те, которые удовлетворяют каждому из интервалов? 

Представим, что нам нужно организовать праздник, на который придут два друга. Мы точно знаем, что один из них пьет только апельсиновый сок, а второй только апельсиновый или яблочный соки. Какой сок мы купим, чтобы все были довольны? Апельсиновый. 

Точно также и здесь: чтобы обе системы были “довольны” и имели по два решения, нужно, чтобы все значения параметра а удовлетворяли условиям каждой из систем. Поэтому нам необходимо найти пересечение этих решений. 

Шаг 10. Заметим, что

frac{6-sqrt{11}}{25}>frac{6-sqrt{36}}{25}

Cледовательно,

frac{36}{41}>frac{6+sqrt{11}}{25}

Получаем, что

ain(-infty;0)cup(frac{36}{41};+infty)

Шаг 11. Не забудем, что

Эту точку также нужно выколоть из ответа. 

Получаем:

ain(-infty;0)cup(frac{36}{41};frac{9}{8})cup(frac{9}{8};+infty)

Ответ:

ain(-infty;0)cup(frac{36}{41};frac{9}{8})cup(frac{9}{8};+infty)

Выдохнем и вытрем испарину со лба: параметр решен. Если исключить достаточно трудоемкие вычисления, то остается только немного порассуждать.

Параметр как равноправная переменная

В рассмотренных ранее случаях параметр был темной лошадкой: он почти постоянно был на фоне, появлялся только под конец, чтобы внести свой вклад и показать свои способности, то есть значения. Но что, если вывести параметр на первый план? 

Рассматривая функции, мы привыкли, что у — значение функции, которое зависит от переменной х. Однако в некоторых задачах с параметром от переменной х может зависеть и сам параметр. 

В этом случае в борьбе между “у” и “а” выигрывает параметр и занимает место у. То есть параметр будет вести себя точно так же, как обычная функция, а изменение значения х будет менять и значение параметра. 

Разумеется, можно построить и график такой функции, просто ось ординат будет подписана как “а”, а не “у”. 

А может ли быть наоборот? Да. Параметрическую плоскость хОа можно использовать в двух случаях:

• параметр а — зависимая переменная, х — независимая;
• х — зависимая переменная, параметр а — независимая. 

Как определить, какой из случаев использовать в конкретном примере? Нужно посмотреть, каким способом удобнее выразить одну переменную через другую. Например, в уравнении x² + 5x — a = 0 намного удобнее выразить значение параметра a = x² + 5x, чем пытаться вывести значение х. В этом случае мы получим параболу. 

Когда можно прибегнуть к такому методу решения параметров? Обычно его используют, если в уравнении, неравенстве или их системах есть только две переменные, одна из которых является параметром. 

Пример 2. Найдите все значения параметра а, при которых система имеет хотя бы одно решение на промежутке [-3;1]. 

Решение. Если посмотреть на второе неравенство системы, то заметно, что удобнее выразить параметр через переменную х. Поэтому при решении параметр будет зависимой переменной, а х — независимой. 

Шаг 1.  Разберем  первое неравенство системы и раскроем модули четырьмя способами. Подробнее про модули можно узнать в статье «Модуль». Также в дальнейшем будем использовать «Графический способ решения параметров».

xgeqslant0;ageqslant0 => x+aleqslant7=>aleqslant7-x

Рассмотрим, как все условия будут выглядеть на графике.

— плоскость, которая включает все значения х, больше 0. 

включают все точки, которые лежат выше линии а = 0. 

А неравенство

включает все, что лежит ниже прямой 7 — x. 

То есть каждый раз мы как бы разрезаем плоскость по одной из линий и отбрасываем все, что не удовлетворяет условию. 

Наложим все три условия друг на друга и найдем место их пересечения. 

Треугольник, в котором они пересекаются, и будет задаваться условием

xgeqslant0;ageqslant0 => x+aleqslant7=>aleqslant7-x

Мы как бы трижды отрезали все ненужное, и в результате из всей плоскости у нас остался лишь маленький треугольник. 

Аналогичным способом получаем еще три треугольника. 

x<0;ageqslant0 => -x+aleqslant7=>aleqslant7+x

x<0;a<0 => -x-aleqslant7=>ageq-7-x

xgeq0;a<0 => x-aleqslant7=>ageq-7+x

Объединив все графики, получим квадрат, ограниченный прямыми

a = x - 7, a = x + 7, a = - x - 7, a = - x + 7

Шаг 2. Рассмотрим второе неравенство системы и преобразуем его. 

Это часть плоскости, ограниченная параболой

Построим ее, вершина параболы будет лежать в точках:

a_{в}=frac{1}{8}((-2)^2+4(-2)-36)=frac{1}{8}(4-8-36)=-5

Поскольку знак неравенства строгий, то и сама парабола будет обозначаться пунктирной линией. То есть значения, лежащие на этой линии, не будут входить в нашу плоскость. 

Шаг 3. Решением системы будет та часть плоскости, где парабола наложится на квадрат.

Шаг 4. По условию решения должны лежать в промежутке от -3 до 1. Построим еще одну плоскость. 

Нам нужно найти значения параметра а, которые лежат в промежутке пересечения всех трех плоскостей. Как их найти? Посмотреть значения по вертикальной оси, то есть по оси параметра.  

Нам нужны наименьшее, наибольшее значения и все, что лежит между ними. То есть

Шаг 5. Заметим, что точка А — точка пересечения прямой a = — x — 7 и параболы. Найдем точку их пересечения. 

-x-7=frac{1}{8}(x^2+4x-36)

x_{2}=frac{-12-8}{2}=-20

Поскольку точка А лежит в промежутке [-3;1], то x₂  не подходит. Прямая и парабола пересекаются в точке x = — 2. 

Найдем, чему равно значение параметра в точке А.

Шаг 6. Точка В — это вершина квадрата. А значит, точка В имеет координаты (0;7). 

Шаг 7. Мы нашли значение параметра

Это и будет ответ. 

Ответ:

Мы можем расслабиться, выйти из образа аналитика, снять очки и отдохнуть. Главное, мы можем гордиться собой, ведь мы разобрали два новых принципа решения параметров. 

Фактчек

• Аналитический способ решения параметров — использование алгебраических преобразований и рассуждений без привлечения графических интерпретаций.
• Для решения параметров аналитическим способом важно уметь преобразовывать уравнения, неравенства и их системы. 
• При решении параметров аналитикой важно уметь анализировать функции, их поведение и свойства. Это позволит прийти к правильным выводам при решении и правильно найти значения параметра. 
• Некоторые примеры с параметров выгоднее решать в плоскости хОа. В этой плоскости параметр будет либо зависимой, либо независимой переменной. 

Проверь себя

Задание 1. 

В каких случаях у совокупности есть решения? 

1. Если выполняется хотя бы одно из ее условий.
2. Если выполняются все условия.
3. В любом случае, даже если ни одно из условий не будет выполнено.
4. Нет верного ответа. 

Задание 2. 

В каких случаях у системы есть решения? 

1. Если выполняется хотя бы одно из ее условий.
2. Если выполняются все условия.
3. В любом случае, даже если ни одно из условий не будет выполнено.
4. Нет верного ответа. 

Задание 3. 

Дана система из совокупности и уравнения. Как ее можно преобразовать? 

1. Все элементы можно записать отдельно.
2. Все элементы можно записать только в систему.
3. Можно получить совокупность двух систем.
4. Можно получить систему из двух совокупностей. 

Задание 4. 

Может ли параметр быть независимой переменной в функции?

1. Не может.
2. Может.
3. Параметр не может быть переменной в функции, это просто число.
4. Нет верных ответов. 

Задание 5.

Какая часть плоскости задается неравенством x>0

1. Все, что лежит выше оси х, включая саму ось.
2. Все, что лежит выше оси х, исключая саму ось.
3. Все, что лежит правее оси х, включая саму ось.
4. Все, что лежит правее оси х, исключая саму ось. 

Ответы: 1. — 1 2. — 2 3. — 3 4. — 2 5. — 4

Системы
линейных уравнений с параметром

В 7 классе при закреплении темы системы
уравнений можно разобрать с ребятами системы линейных уравнений с параметром
графическим и аналитическим способами. К этому времени ученики изучили только
линейную функцию и могут строить прямые.

При аналитическом способе решения
систем с параметром можно использовать различные методы решения систем
уравнений без параметра. Например, способ подстановки, сложения. Выразить
одну переменную через другую и подставить данную зависимость во второе
уравнение системы. Затем решить получившееся уравнение с параметром и сделать
вывод о количестве решений всей системы уравнений.

В основе решения графическим способом
систем линейных уравнений лежит взаимное расположение прямых на плоскости.

Если

Если

Если то прямые совпадают и имеют
бесконечное множество общих точек (

Рассмотрим решение следующих систем
уравнений:

1.   При каких значениях b система
уравнений имеет положительные решения

Решение:

Ø  Аналитический способ:

Выразить одну переменную через другую и
подставить данную зависимость во второе уравнение системы.

Т.к.  при любом значении , то разделим правую и левую части второго уравнения на данное
выражение.

.

Уравнение  имеет единственное решение
при любом значении .

Тогда в силу линейной зависимости
переменной y от x, заданная система
уравнений тоже имеет единственное решение.

Для того, чтобы ответить на вопрос: «При
каких значениях b система уравнений имеет положительные
решения?», необходимо решить систему линейных неравенств.

Значит, система имеет положительные
решения  при

Ответ:

2.      При каких значениях a система
уравнений имеет единственное решение

Решение:

Ø  Аналитический способ. Раскроем модуль.

Решим отдельно каждую систему.

Если a=2, то система имеет бесконечно
много решений.

Если a≠2, то y=1 и x=-0,5a и система
имеет одно решение при a.

Если a, то система не имеет
решений.

Если a=, то система не имеет
решений.

Если a≠, то y= и x= и система имеет одно
решение при a.

Если a, то система не имеет
решений.

Т. о. система имеет одно решение  при

Ответ:

3.   При каких значениях параметра a
система уравнений не имеет решений

Решение:

Ø  Аналитический способ. Воспользуемся методом сложения.

В силу линейной зависимости переменной x
от y, количество решений системы совпадает с
количеством решения второго уравнения.

Второе уравнение не имеет решений при
a=15,5, а значит и система не имеет решений при a=15,5

Ø  Графический способ:

Каждое уравнение системы задает прямую
на плоскости.

Прямые параллельны и не имеют общих точек
при a=15,5.

Ответ: 15,5.

4.       Найти все значения параметра a, при которых система уравнений не имеет решений

Решение:

Ø  Аналитический способ. Воспользуемся методом подстановки.

Если a, то уравнение имеет
единственное решение ;

если a=-2, то
уравнение не имеет решений;

если a=2, то
уравнение имеет бесконечное множество решений.

Ø  Графический способ:

Каждое уравнение системы задает прямую
на плоскости.

Прямые параллельны и не имеют общих
точек, а значит система не имеет решений при условии

Ответ: -2.

5.   При каком значении m система уравнений  имеет бесконечно много
решений? Не имеет решений?

Решение:

Ø  Аналитический способ. Воспользуемся методом подстановки.

Тогда в силу линейной зависимости
переменной x от y, количество решений
системы совпадает с количеством решения второго уравнения.

Если m, то уравнение имеет
единственное решение ;

если m=3, то уравнение не имеет решений;

если m=-3, то уравнение имеет бесконечное
множество решений.

Ø  Графический способ:

Каждое уравнение системы задает прямую
на плоскости.

  и .

Если m=1, то из первого уравнения
x=1,5, а из второго уравнения y=-1,5. Система имеет одно решение.

Если m≠1, то .

Прямые параллельны и не имеют общих
точек, а значит система не имеет решений при условии  .

Прямые совпадают, а значит система
имеет бесконечно много решений при

Ответ: при m=3,
система не имеет решений, при m=-3 система имеет
бесконечно много решений  при любом значении m.

6.      Найти все значения параметра a, при
которых система уравнений имеет единственное решение

Решение:

Ø  Аналитический способ. Воспользуемся методом сложения.

Тогда в силу линейной зависимости
переменной y от x, количество решений
системы совпадает с количеством решения второго уравнения.

Если a <4, то
уравнение имеет два решения ;

если a=4, то
уравнение имеет одно решение x=0;

если a >4, то уравнение
не имеет решений.

Ø  Графический способ:

Каждое уравнение системы содержит
модуль. Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых
удовлетворяют этим уравнениям системы.

В зависимости от a графики функций
либо имеют одну общую точку, либо две, либо не имеют общих точек.

При a=4 графики функций имеют одну
общую точку.

Ответ: 4.

7.      Найдите все значения параметра b,
при каждом из которых система уравнений имеет одно решение

Решение:

Ø  Аналитический способ. Воспользуемся методом сложения.

Заданная система уравнений имеет
решения, если имеет решения совокупность двух систем.

Первая система имеет бесконечно много
решений при b=5

Вторая система имеет единственное
решение при любом b≠0, при b=0 система решений не имеет.

Значит, заданная система уравнений
имеет одно решение (при любом b≠5 и b≠0.

Ø  Графический способ:

Если b=1, то x=3 и y=0. Заданная
система имеет одно решение.

Если b≠1, то .

Прямые имеют одну общую точку, а
значит система имеет одно решение при условии  . Т. е. при b≠5 и b≠0.

Ответ: система уравнений имеет одно
решение при любом b≠5 и b≠0.

При составлении данной разработки
использовались материалы следующих сайтов:

https://edu-lib.com/matematika-2/dlya-studentov/subhankulova-s-a-zadachi-s-parametrami

https://blog.tutoronline.ru/sistemy-uravnenij-s-parametrom

https://ege.sdamgia.ru/prob_catalog

Последовательное построение итогового графика показано ниже. (Чтобы увеличить рисунок, нужно щелкнуть по нему левой кнопкой мыши.)

Замечание: если вы освоили тему Преобразование графиков функций, то с этой частью задачи сможете справиться быстрее, чем показано в примере.

Итак, построение графика функции, расположенной в левой части уравнения, мы завершили. Посмотрим, что находится в правой части.

График функции y = a представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс (Ox), и пересекающую ось ординат (Oy) в точке а. Так как а – параметр, который может принимать разные значения, то нужно построить целое семейство таких параллельных линий, пересекающих ось ординат на разной высоте. Очевидно, что все графики семейства построить мы не сможем, поскольку их бесконечное множество. Изобразим для примера несколько штук в районе уже построенного графика функции. Ниже прямые семейства y = a показаны красным цветом.

Из рисунка видно, что количество точек пересечения каждой из красных прямых с ранее построенным (зелёным) графиком зависит от высоты, на которой расположена эта прямая, т.е. от параметра а. Прямые, расположенные ниже y = −3 , пересекают график в одной точке, а значит эти уравнения имеют только одно решение. Прямые, проходящие на уровне −3 имеют по три точки пересечения, значит соответствующие уравнения будут иметь по три решения. Прямые, расположенные выше точки y = 1 , снова имеют только по одной точке пересечения.
Ровно две точки пересечения с зелёным графиком будут иметь только прямые y = 1 и y = −3 . Соответствующие уравнения будут иметь ровно два корня, что и требовалось определить в задании.

Однако мы нашли значения введённого нами параметра а, при котором заданное уравнение имеет 2 корня, а вопрос задачи состоял в том, чтобы найти все значения параметра q. Для этого придётся решить следующую совокупность уравнений:

Это обычные квадратные уравнения, которые решаются через дискриминант или по теореме Виета.

Таким образом, окончательный ответ: <2;4;6>.

Задача 2.

Найти все значения параметра a, при которых уравнение (2 − x)x(x − 4) = a имеет ровно 3 корня.

Рассмотрим функцию y = (2 − x)x(x − 4) . Видно, что если раскрыть скобки, то старший член будет −х 3 . Т.е. графиком функции должна быть кубическая парабола, причем на при x, стремящемcя к +∞, y → −∞, а при x, стремящемся к −∞, y → +∞.
Поскольку уравнение (2 − x)x(x − 4) = 0 имеет три корня 2, 0 и 4, то график функции будет пересекать ось абсцисс трижды.
Понятно, что при упомянутых условиях график непрерывной функции должен иметь участок с “волной”. Строим от руки эскиз графика.

Правая часть уравнения y = a такая же, как в предыдущей задаче. Поэтому дальнейшие построения не требуют комментариев. Смотрите рисунки. Чтобы увеличить, используйте щелчок мышью.

Из рисунков видно, что прямые, отделяющие линии с тремя точками пересечения от других случаев, проходят через экстремумы кубической функции. Поэтому определяем значения y_max и y_min через производную. (Исследовать функцию полностью не нужно, так как примерное положение точек экстремума мы видим на эскизе графика.) Обратите внимание на то, что при вычислении значений функции используются точные значения x и формулы сокращенного умножения. Приближенные значения в промежуточных вычислениях не используют.

Ответ:

Задача для самостоятельного решения

Задача 3.

При каком наибольшем отрицательном значении параметра а уравнение имеет один корень?

Ответ: -1,625

Задача реального экзамена ЗНО-2013 (http://www.osvita.ua/).

Переход на главную страницу сайта “Математичка”.

Есть вопросы? пожелания? замечания?
Обращайтесь – mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.

Системы уравнений с двумя переменными и параметрами

п.1. Решение системы линейных уравнений с параметром

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: ( left< begin < l >mathrm & \ mathrm & endright. ).
Система имеет одно решение, если главный определитель не равен нулю: $$ Delta = begin mathrm & 1 \ 1 & mathrm end= a^2-1neq 0 Rightarrow aneq pm 1 $$

Ответ: при всех действительных a, кроме a ≠ ± 1.

п.2. Решение системы нелинейных уравнений с параметром

При решении системы нелинейных уравнений с параметром чаще всего используем графический метод (см. §15 данного справочника).

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: ( left< begin < l >mathrm & \ mathrm & endright. ).
( mathrm ) – уравнение окружности с центром в начале координат, и переменным радиусом a.
( mathrm ) – уравнение прямой.
Система имеет одно решение, если прямая является касательной к окружности:

Точка A является решением: x = 1, y = 1.
Подставляем найденное решение в уравнение для окружности: 1 2 + 1 2 = 2 $$ mathrm> $$

п.3. Примеры

Пример 2. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
( left< begin < l >mathrm <|x|+|y|=4>& \ mathrm <(x-3)^2+(y-3)^2=(a+1)^2>& endright. ) имеет единственное решение.
Первое уравнение – квадрат с вершинами (±4; 0),(0; ±4); второе уравнение – окружность переменного радиуса с центром в точке (3; 3).

Единственное решение соответствует радиусу ( mathrm>. )
При увеличении радиуса будет 2, 3 или 4 точки пересечения. При дальнейшем увеличении окружность становится слишком большой, пересечений с квадратом нет.
Получаем:( mathrm<|a+1|=sqrt<2>Rightarrow a+1=pmsqrt<2>Rightarrow a_<1,2>=-1pmsqrt<2>>. )

Пример 3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
( left< begin < l >mathrm & \ mathrm & endright. ) имеет единственное решение. $$ left< begin < l >mathrm left[begin < l >mathrm <4-2x, xlt 0>& \ mathrm <4, 0leq xleq 4>& \ mathrm <2x-4, xgt 0>& endright. & \ mathrm & endright. $$ Первое уравнение – ломаная, второе – парабола ветками вниз с подвижной вершиной на оси x = 2.

При (a – 1) 2 2 = 4 одно решение.
При (a – 1) 2 > 4 два решения.
Получаем:( mathrm <(a-1)^2=4Rightarrow a-1=pm 2Rightarrow>left[begin < l >mathrm & \ mathrm & endright. )

Решение систем линейных уравнений с параметрами

Разделы: Математика

Цель:

• повторить решение систем линейных уравнений с двумя переменными
• дать определение системы линейных уравнений с параметрами
• научит решать системы линейных уравнений с параметрами.

Ход урока

1. Организационный момент
2. Повторение
3. Объяснение новой темы
4. Закрепление
5. Итог урока
6. Домашнее задание

2. Повторение:

I. Линейное уравнение с одной переменной:

1. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной

[Уравнение вида ax=b, где х – переменная, а и b некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной]

2. Сколько корней может иметь линейное уравнение?

[- Если а=0, b0, то уравнение не имеет решений, х

– Если а=0, b=0, то х R

– Если а0, то уравнение имеет единственное решение, х =

3. Выясните, сколько корней имеет уравнение (по вариантам)

Ответ: много корней
II ряд – II вариант

Ответ: корней нет
III ряд – III вариант

Ответ: единственный корень

II. Линейное уравнение с 2 –мя переменными и система линейных уравнений с 2- мя переменными.

1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Приведите пример.

[Линейным уравнением с двумя переменными называются уравнения вида ах +by=с, где х и у – переменные, а, b и с – некоторые числа. Например, х-у=5]

2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?

[Решением уравнения с двумя переменными называются пара значений переменных, обращающие это уравнение в верное равенство.]

3. Является ли пара значений переменных х = 7, у = 3 решением уравнения 2х + у = 17?

4. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

[Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых является решениями этого уравнения.]

5. Выясните, что представляет собой график уравнения:

[Выразим переменную у через х: у=-1,5х+3

Формулой у=-1,5х+3 является линейная функция, графиком которой служит прямая. Так как, уравнения 3х+2у=6 и у=-1,5х+3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х+2у=6]

6. Что является графиком уравнения ах+bу=с с переменными х и у, где а0 или b0?

[Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.]

7. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

[Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство]

8. Что значит решить систему уравнений?

[Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.]

9. Выясните, всегда ли имеет такая система решения и если имеет, то сколько (графическим способом).

10. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?

[Единственное решение, если прямые пересекаются; не имеет решений, если прямые параллельны; бесконечно много, если прямые совпадают]

11. Каким уравнением обычно задается прямая?

12. Установите связь между угловыми коэффициентами и свободными членами:

k₁ = k₂, b₁b_2, нет решений;

II вариант:

• y=-х+8
• y=2x-1,

k₁k₂, одно решение;

III вариант:

• y=-x-1
• y=-x-1,

k₁ = k₂, b₁ = b_2, много решений.

Вывод:

1. Если угловые коэффициенты прямых являющихся графиками этих функций различны, то эти прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
2. Если угловые коэффициенты прямых одинаковы, а точки пересечения с осью у различны, то прямые параллельны, а система не имеет решений.
3. Если угловые коэффициенты и точки пересечения с осью у одинаковы, то прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений.

На доске таблица, которую постепенно заполняет учитель вместе с учениками.

III. Объяснение новой темы.

где A_1, A_2, B₁,B_2, C₁ C_{2 –} выражения_, зависящие от параметров, а х и у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.

Возможны следующие случаи:

1) Если , то система имеет единственное решение

2) Если , то система не имеет решений

3) Если , то система имеет бесконечно много решений.

IV. Закрепление

Пример 1.

При каких значениях параметра а система

• 2х – 3у = 7
• ах – 6у = 14

а) имеет бесконечное множество решений;

б) имеет единственное решение

а) , а=4

б) , а?4

а) если а=4, то система имеет бесконечное множество решений;

б) если а4, то решение единственное.

Пример 2.

Решите систему уравнений

• x+(m+1)y=1
• x+2y=n

Решение: а) , т.е. при m1 система имеет единственное решение.

б) , т.е. при m=1 (2=m+1) и n1 исходная система решений не имеет

в) , при m=1 и n=1 система имеет бесконечно много решений.

Ответ: а) если m=1 и n1, то решений нет

б) m=1 и n=1, то решение бесконечное множество

• у – любое
• x=n-2y

в) если m1 и n – любое, то

y= x=

Пример 3.

Для всех значений параметра а решить систему уравнений

• ах-3ау=2а+3
• х+ау=1

Решение: Из II уравнения найдем х=1-ау и подставим в I уравнение

1) а=0. Тогда уравнение имеет вид 0*у=3 [у ]

Следовательно, при а=0 система не имеет решений

Следовательно, у . При этом х=1-ау=1+3у

3) а0 и а-3. Тогда у=-, х=1-а(-=1+1=2

1) если а=0, то (х; у)

2) если а=-3, то х=1+3у, у

3) если а0 и а?-3, то х=2, у=-

Рассмотрим II способ решения системы (1).

Решим систему (1) методом алгебраического сложения: вначале умножим первое уравнение системы на В_2, второе на – В₁ и сложим почленно эти уравнения, исключив, таким образом, переменную у:

Т.к. А₁В₂-А₂В₁0, то х =

т.к. А₂В₁-А₁В₂ 0 у =

Для удобства решения системы (1) введем обозначения:

_– главный определитель

Теперь решение системы (1) можно записать с помощью определителей:

х= ; у=

Приведенные формулы называют формулами Крамера.

– Если , то система (1) имеет единственное решение: х=; у=

– Если , или , , то система (1) не имеет решений

– Если , , , , то система (1) имеет бесконечное множество решений.

В этом случае систему надо исследовать дополнительно. При этом, как правило, она сводится к одному линейному уравнению. В случае часто бывает удобно исследовать систему следующим образом: решая уравнение , найдем конкретные значения параметров или выразим один из параметров через остальные и подставим эти значения параметров в систему. Тогда получим систему с конкретными числовыми коэффициентами или с меньшим числом параметров, которую надо и исследовать.

Если коэффициенты А₁, А₂, В₁, В₂, системы зависят от нескольких параметров, то исследовать систему удобно с помощью определителей системы.

Пример 4.

Для всех значений параметра а решить систему уравнений

• (а+5)х+(2а+3)у=3а+2
• (3а+10)х+(5а+6)у=2а+4

Решение: Найдем определитель системы:

= (а+5)(5а+6) – (3а+10) (2а+3)= 5а 2 +31а+30-6а 2 -29а-30=-а 2 +2а=а(2-а)

= (3а+2) (5а+6) –(2а+4)(2а+3)=15а 2 +28а+12-4а 2 -14а-12=11а 2 +14а=а(11а+14)

=(а+5) (2а+4)-(3а+10)(3а+2)=2а 2 +14а+20-9а 2 -36а-20=-7а 2 -22а=-а(7а+22)

1) Тогда

х= у=

2) или а=2

При а=0 определители

Тогда система имеет вид:

• 5х+3у=2 5х+3у=2
• 10х+6у=4

При а=2 Этого достаточно, чтобы утверждать, что система не имеет решений.

1) если а и а, то х= у=

2) если а=0, то х,

3) если а=2, то (х; у)

Пример 5.

Для всех значений параметров а и b решить систему уравнений

Решение: = =а+1-2b

= = b -6; = 3a+3-b

1) . Тогда

х= у=

2)

Подставив выражение параметра а в систему, получим:

• 2bx+2y=b 2bx+2y=b
• bx+y=3 2bx+2y=6

Если b6, то система не имеет решений, т.к. в этом случае I и II уравнения системы противоречат друг другу.

Если b=6, а=2b-1=2*6-1=11, то система равносильна одному уравнению

12х+2у=6 у=3-6х

1) если , (а), то x=, y=

2) если b, a, то система не имеет решений

3) если b=6, а=11, то х, у=3-6х

Итог урока: Повторить по таблице и поставить оценки.

При каких значениях параметра система уравнений

• 3х-2у=5
• 6х-4у=b

а) имеет бесконечное множество решений

б) не имеет решений

б) b10

[spoiler title=”источники:”]

http://reshator.com/sprav/algebra/9-klass/sistemy-uravnenij-s-dvumya-peremennymi-i-parametrami/

http://urok.1sept.ru/articles/550012

[/spoiler]

п.1. Решение системы линейных уравнений с параметром

При решении системы линейных уравнений с параметром используем метод Крамера (см. §48 справочника для 7 класса).

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: ( left{ begin{array}{ l } mathrm{ax+y=2} & \ mathrm{x+ay=5} & end{array}right. ).
Система имеет одно решение, если главный определитель не равен нулю: $$ Delta = begin{vmatrix} mathrm{a} & 1 \ 1 & mathrm{a} end{vmatrix}= a^2-1neq 0 Rightarrow aneq pm 1 $$

Ответ: при всех действительных a, кроме a ≠ ± 1.

п.2. Решение системы нелинейных уравнений с параметром

При решении системы нелинейных уравнений с параметром чаще всего используем графический метод (см. §15 данного справочника).

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: ( left{ begin{array}{ l } mathrm{x^2+y^2=a^2} & \ mathrm{x+y=2} & end{array}right. ).
( mathrm{x^2+y^2=a^2} ) – уравнение окружности с центром в начале координат, и переменным радиусом a.
( mathrm{x+y=2} ) – уравнение прямой.
Система имеет одно решение, если прямая является касательной к окружности:

Точка A является решением: x = 1, y = 1.
Подставляем найденное решение в уравнение для окружности: 1² + 1² = 2 $$ mathrm{a^2=2Rightarrow a=pmsqrt{2}} $$

Ответ: ( mathrm{a=pmsqrt{2}} )

п.3. Примеры

Пример 1. При каком значении параметра a система уравнений 1) имеет одно решение; 2) не имеет решений? $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{ax+2y=a+1,5} & \ mathrm{x+8ay=a-1} & end{array}right. $$ Главный определитель системы: begin{gather*} Delta = begin{vmatrix} mathrm{a} & 2 \ 1 & mathrm{8a} end{vmatrix}= mathrm{8a^2-2=2(4a^2-1)=2(2a-1)(2a+1)}\ mathrm{Delta = 0 text{при} a=pmfrac12} end{gather*} Вспомогательные определители: begin{gather*} Delta_x = begin{vmatrix} mathrm{a+1,5} & 2 \ mathrm{a-1} & mathrm{8a} end{vmatrix}= mathrm{8a(a+1,5)-2(a-1)=8a^2+10a+2=}\ mathrm{=2(4a^2+5a+1)=2(4a+1)(a+1)}\ mathrm{Delta_x=0 text{при} a=-1, a=-frac14} end{gather*} begin{gather*} Delta_y = begin{vmatrix} mathrm{a} & mathrm{a+1,5} \ mathrm{1} & mathrm{a-1} end{vmatrix}= mathrm{a(a-1)-a-1,5=a^2-2a-1,5}\ mathrm{D=2^2+4cdot 1,5=10, a_{1,2}=frac{2pmsqrt{10}}{2}=1pmfrac{sqrt{10}}{2}}\ mathrm{Delta_y=0 text{при} a=1pmfrac{sqrt{10}}{2}} end{gather*} При Δ ≠ 0 система имеет одно решение: begin{gather*} left{ begin{array}{ l } mathrm{x=frac{Delta_x}{Delta}=frac{2(4a+1)(a+1)}{2(2a-1)(2a+1)}=frac{4a^2+5a+1}{4a^2-1}} & \ mathrm{y=frac{Delta_y}{Delta}=frac{a^2-2a-1,5}{2(4a^2-1)}} & end{array}right. end{gather*} При (mathrm{a=pmfrac12, Delta=0, Delta_xneq 0, Delta_yneq 0}) – система не имеет решений.

Ответ: ( mathrm{ 1) aneqpmfrac12,} left{ begin{array}{ l } mathrm{x=frac{4a^2+5a+1}{4a^2-1}} & \ mathrm{y=frac{a^2-2a-1,5}{2(4a^2-1)}} & end{array}right. mathrm{ 2) a=pmfrac12. } )

Пример 2. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
( left{ begin{array}{ l } mathrm{|x|+|y|=4} & \ mathrm{(x-3)^2+(y-3)^2=(a+1)^2} & end{array}right. ) имеет единственное решение.
Первое уравнение – квадрат с вершинами (±4; 0),(0; ±4); второе уравнение – окружность переменного радиуса с центром в точке (3; 3).

Единственное решение соответствует радиусу ( mathrm{R=|a+1|=OA=sqrt{2}}. )
При увеличении радиуса будет 2, 3 или 4 точки пересечения. При дальнейшем увеличении окружность становится слишком большой, пересечений с квадратом нет.
Получаем:( mathrm{|a+1|=sqrt{2}Rightarrow a+1=pmsqrt{2}Rightarrow a_{1,2}=-1pmsqrt{2}}. )

Ответ: ( mathrm{ a=left{-1pmsqrt{2}right}. } )

Пример 3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
( left{ begin{array}{ l } mathrm{y-|x|-|x-4|=0} & \ mathrm{y+(x-2)^2=a^2-2a+1} & end{array}right. ) имеет единственное решение. $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{y-|x|-|x-4|=0=} left[begin{array}{ l } mathrm{4-2x, xlt 0} & \ mathrm{4, 0leq xleq 4} & \ mathrm{2x-4, xgt 0} & end{array}right. & \ mathrm{y=-(x-2)^2+(a-1)^2} & end{array}right. $$ Первое уравнение – ломаная, второе – парабола ветками вниз с подвижной вершиной на оси x = 2.

При (a – 1)² < 4 решений нет.
При (a – 1)² = 4 одно решение.
При (a – 1)² > 4 два решения.
Получаем:( mathrm{(a-1)^2=4Rightarrow a-1=pm 2Rightarrow} left[begin{array}{ l } mathrm{a_1=-1} & \ mathrm{a_2=3} & end{array}right. )

Ответ: a = {–1; 3}.