Как найти значение по графику функции гипербола

Свойства гиперболы

1) Область определения и область значений

По аналитическому заданию функции видно, что х ≠-a, поскольку знаменатель дроби не может ровняться нулю. Таким образом получим:

D(f)=(-∞;-а) U (-a;+∞)

Область значений

Е(f)=(-∞;+∞)

2) Нули функции

Если b=0, то график функции не пересекает ось ОХ;

Если b≠0, то гипербола имеет одну точку пересечения с ОХ:*

x=-(k+ab)/b

3) Промежутки знакопостоянства

Рассмотрим только 2 простых случая, остальные случаи вы можете рассмотреть аналитически самостоятельно по алгоритму из раздела Свойства функций -> Знакопостоянство

Случай 1: a=0, b=0, k>0

f(x)>0, при x ∈ (0; +∞)

f(x)<0, при x ∈ (-∞;0)

Случай 1: a=0, b=0, k<0

f(x)<0, при x ∈ (0; +∞)

f(x)>0, при x ∈ (-∞;0)

4) Промежутки монотонности

Аналогично с промежутками знакопостоянства рассмотрим только 2 случая

Случай 1: a=0, b=0, k>0

Функция убывает при

x ∈ (-∞;0) U (0; +∞)

Функция возрастает при

x ∈ (-∞;0) U (0; +∞)

5) Четность и нечетность

Функция является нечетной при a=0, b=0, то есть если имеет вид y=k/x

Функция y = k/x и её график. Гипербола

Определение обратной пропорциональности

Допустим, что у нас есть 1000 руб. Спрашивается, сколько тетрадей мы сможем купить, в зависимости от их цены. Составим таблицу:

Цена 1 тетради, руб.

Графическое представление полученных результатов:

Результат вполне ожидаемый: чем больше цена, тем меньше то количество, которое мы можем себе позволить за определённую ограниченную сумму.

Можно привести и другие примеры, где зависимость между величинами будет аналогичной:

• время, которое придётся потратить на дорогу между двумя городами (при заданном расстоянии), в зависимости от скорости;
• длина фанерного листа в зависимости от ширины при заданной площади;
• время заполнения бассейна (заданный объём) в зависимости от количества открытых труб, и т.п.

Если обобщить формулы, описывающие подобные зависимости, то получаем:

$$<left< begin -infty lt x lt +infty – аргумент, quad любое quad действительное quad число \ k = const neq 0-параметр, quad константа \ y = frac – функция end right.>$$

Функция такого вида называется обратной пропорциональностью .

Если $k gt 0$, то чем больше x, тем меньше y – функция убывает.

Если $k lt 0$, то чем больше x, тем больше y – функция возрастает.

(Сравните с прямой пропорциональностью – см. §37 справочника для 7 класса)

График обратной пропорциональности

Графиком обратной пропорциональности является кривая, которую называют гиперболой.

Чтобы построить гиперболу, нужно 1) составить таблицу, в которой рассчитать значения y=k/x для некоторых значений x, 2) отметить полученные точки на координатной плоскости и 3) соединить их плавной кривой.

Гипербола

Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).

Функция заданная формулой (y=frac), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции (y=frac) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.

Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:

гипербола, где k y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы.

Пример №2:
$$y=frac<1>-1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота

Находим вторую асимптоту.

Дробь (color <frac<1>>) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):

Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):

3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:

Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат.

4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:

Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.

Вторая ось симметрии это прямая y=-x.

5. Гипербола нечетная функция.

6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:

а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.

в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5

г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

д) Область значения смотрим по оси y. График гиперболы не существует по асимптоте y≠ -1, поэтому область значения будет находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).

е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k Category: 8 класс, База знаний, Уроки Tag: Гипербола Leave a comment

Гипербола: формулы, примеры решения задач

Определение гиперболы, решаем задачи вместе

Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

,

где a и b – длины полуосей, действительной и мнимой.

На чертеже ниже фокусы обозначены как и .

На чертеже ветви гиперболы – бордового цвета.

При a = b гипербола называется равносторонней.

Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.

Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:

.

Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.

Точки и , где

,

называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).

называется эксцентриситетом гиперболы.

Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.

Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.

Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,

Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.

То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.

Подставляем и вычисляем:

Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:

.

Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет .

Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет – это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:

.

Результат – каноническое уравнение гиперболы:

Если – произвольная точка левой ветви гиперболы () и – расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний – следующие:

.

Если – произвольная точка правой ветви гиперболы () и – расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний – следующие:

.

На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.

Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами гиперболы (на чертеже – прямые ярко-красного цвета).

Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы

,

где – расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, – расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и и – расстояния этой точки до директрис и .

Пример 4. Дана гипербола . Составить уравнение её директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. . Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис гиперболы:

Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке “Эллипс” это пример 7.

Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот – прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями

.

На чертеже асимптоты – прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.

Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:

, где .

В том случае, когда угол между асимптотами – прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.

Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы и координаты точки , лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы – это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения . Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.

.

Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:

Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.

Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)

2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8

3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы

[spoiler title=”источники:”]

http://tutomath.ru/8-klass/kak-postroit-giperbolu.html

http://function-x.ru/curves_hyperbola.html

[/spoiler]

Добавлено: 9 декабря 2021 в 15:07

Гипербола — одно из наиболее сложных понятий в школьном курсе математики за 8 класс, точнее уже алгебры. Возможно, играет роль сбивающий с толку «синоним» из курса литературы, возможно, сложно понять смысл слова «асимптота», но школьнику сложно освоить построение и в сравнении с параболой. Чтобы раз и навсегда разобраться с этим вопросом, мы начнем не с школьного определения гиперболы, а с построения графика. Более того, этот график не будет гиперболой.

Прямая пропорциональность

Большинство школьников хорошо понимают понятие «прямая пропорциональность», поскольку оно согласуется с их бытовым опытом. Чем больше вы работаете, тем лучше оценки, то есть уровень оценок прямо пропорционален времени обучения. С математической точки зрения эта зависимость выглядит следующим образом.

Пример: у бога грома Тора есть молот (этот инструмент называется «Мьёльнир»), который, будучи брошенным, всегда возвращается к своему хозяину. Но летает Мьёльнир с постоянной скоростью — за секунду он преодолевает 5 км. В первый раз Тор бросил молот (в Локи) и поймал через 5 секунд (Локи увернулся). Во второй раз Тор бросил молот и поймал через 10 секунд (вновь не попал в бога хитрости). Какое расстояние молот пролетел в первый и второй раз.

Решение

В нашей задаче изменяется время полета молота — обозначим эту величину «х». Расстояние полета Мьёльнира будет «y». В нашем случае эти две величины связаны постоянной скоростью полета молота — то есть коэффициентом пропорциональности k, который для данной задачи равен 5.

Если нанести эти данные на график, где по оси абсцисс будет x, а по оси ординат — y, то получится прямая с определенным наклоном, угол которого относительно оси абсцисс зависит от коэффициента k и для нашего случая составляет 45°. При отрицательном значении k прямая будет наклонена под 135°к оси х.

Если экстраполировать (продлить по тому же закону) обе стороны прямой, то можно сделать простой вывод: чем дольше летит молот, тем больше он пролетает.

Обратная пропорциональность

Внимательный читатель уже понял, что если есть прямая пропорциональность, то должна быть и обратная, при которой с возрастанием х будет убывать у (чем больше траты, тем меньше денег). Правильно, такая зависимость существует и выражается следующим образом:

Проанализируем указанное выше выражение:

• х может быть любым, кроме 0 (потому что НА 0 ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ);
• при k = 0 при любом значении х у = 0.

Рассмотрим все остальные случаи, то есть условие при k≠0. Примем коэффициент пропорциональности k = 5 (как в предыдущем примере) и подставив значения х от -10 до 10, нанесем полученные точки на график.

х	-10	-5	-4	-2	-1	1	2	4	5	10
у	-0,5	-1	-1,25	-2,5	-5	5	2,5	1,25	1	0,5

Полученная совокупность точек и называется гиперболой.

Чем примечательна гипербола?

Если мы проанализируем полученный график, то увидим, что гипербола состоит из двух ветвей с достаточно характерными особенностями:

• ветви симметричны;
• каждая ветвь симметрична относительно прямой, лежащей под углом 45° к оси абсцисс;
• ветви находятся в I и III четвертях.

Если мы продолжим подставлять значения х в уравнение , то заметим, что ветви приближаются к осям х и у, но не пересекают их. Вот почему так происходит:

• х не может принимать значение 0 по математическим соображениям;
• k не может принимать значение 0 (мы сами исключили этот вариант);
• у не может обращаться в 0.

Внимание: исключение значения k = 0 является неким самообманом, поэтому каноническое уравнение гиперболы отличается от школьного.

Оси абсцисс и ординат выполняют для гиперболы роль асимптоты — линии, к которой кривая бесконечно приближается, но не может коснуться. Говорят, что ветви гиперболы асимптотически приближаются к осям x и y. Асимптоты есть и у других кривых.

Попробуем рассмотреть нашу обратную пропорциональность пристальней — поменяем знак коэффициента k.

Подставим значения х от -10 до 10, нанесем полученные точки на график.

х	-10	-5	-4	-2	-1	1	2	4	5	10
у	0,5	1	1,25	2,5	5	-5	-2,5	-1,25	-1	-0,5

Теперь ветви гиперболы располагаются во II и IV координатных четвертях.

Отметим несколько закономерностей:

• гипербола имеет две асимптоты;
• ветви гиперболы симметричны относительно друг друга;
• для всех положительных вариантов х ветви размещаются в I или II четвертях;
• для всех отрицательных вариантов х ветви размещаются в III или IV четвертях;
• для всех положительных вариантов k ветви размещаются в I и III четвертях;
• для всех отрицательных вариантов k ветви размещаются во II и IV четвертях;
• чем меньше |x|, тем больше |y|;
• если точка (х, у) принадлежит одной из ветвей гиперболы, точка (-х, -у) будет принадлежать второй его ветви (так как они симметричны).

---

Занимайтесь на курсах ЕГЭ и ОГЭ в паре TwoStu и получите максимум баллов на экзамене:

Занимайтесь на курсах подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в паре TwoStu и получите максимум баллов на ЕГЭ и ОГЭ!

09
Янв 2022

Категория: 10 Графики функций

2022-01-09
2022-09-11

Автор: egeMax |

Нет комментариев