В данной статье рассмотрим правила, согласно которым выполняется действие вычитания смешанных чисел. Разберем конкретные примеры и некоторые нюансы при их решении. Изучим вычитание обыкновенной дроби и натурального числа из смешанного числа, а также – вычитание смешанного числа из дроби и натурального числа. Рассматривать вычитание мы будем при условии вычитания из большего числа меньшее.
Вычитание смешанных чисел
Пусть в качестве исходных данных даны два смешанных числа: abc и def , необходимо выполнить вычитание данных смешанных чисел.
Нам известно, что любое смешанное число возможно представить, как сумму его целой и дробной части, тогда получим:
abc-def=a+bc-d+ef
Свойства действий сложения и вычитания дают возможность выполнить вычисление полученного выражения различными способами. Опираясь на значения дробных частей смешанных чисел
abc и def , необходимо придерживаться следующих схем вычисления:
- если дробная часть уменьшаемого больше, чем дробная часть вычитаемого:
bc>ef, то вычитание оптимально будет произвести так:
abc-def=(a-d)+bc-ef
Произвести вычитание смешанных чисел: 356-249 .
Решение
Сравним дробные части смешанных чисел, т.е. 56 и 49 . Чтобы определить, какая из дробей больше, приведем их к общему наименьшем знаменателю или наименьшему общему кратному: НОК (6, 9) = 18. При этом дополнительным множителем для дроби 56 станет 18 : 6 = 3; а для дроби 49 – 18 : 9 = 2, поэтому : 56=5·36·3=1518 и 49=4·29·2=818 .
Оценим полученный результат: 1518>818, что означает 56>49. Т.е. дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого, и тогда действие вычитания производится путем раздельного вычитания целых и дробных частей заданных смешанных чисел:
3-2=156-49=1518-818=15-818=718
Т.е.: (3-2)+56-49=1+718=1718
Ответ: 356-249=1718
- если дробные части заданных смешанных чисел равны: bc=ef , а, соответственно разность их равна нулю, то результатом вычитания таких смешанных чисел будет разность их целых частей:
abc-def=(a-d)+bc-ef=a-d+0=a-d
Произвести вычитание смешанных чисел 15710 и 2710 .
Решение
Мы видим, что дробные части заданных чисел равны, т.е. их разность есть нуль. Таким образом, действие вычитания заданных чисел сводится к нахождению разности их целых частей: 15710-2710=15+710-2+710=15-2+710-710=15-2+0=13
Ответ: 15710-2710=13
- если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого: bc<ef , то действие вычитания оптимально произвести так:
abc-def=a-d-ef+bc
Произвести вычитание смешанных чисел: 2625-81415 .
Решение
Проведем сравнение дробных частей заданных чисел, определив для начала наименьший общий знаменатель: НОК (5, 15) = 15, тогда 25=2·35·3=615 .
Следовательно: 615<1415, т.е. дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. Таким образом, находить разность заданных смешанных чисел будем так: 2625-81415=26615-81415=26+615-8+1415==26-8-1415+615=18-1415+615
Для начала вычтем дробь из натурального числа (в скобках): 18-1415=(17+1)-1415=17+1+1415=17+11+1415==17+1515-1415=17+115
Тогда 18-1415+615=17+115+615=17+115+615==17+715=17715
Ответ: 2625-81415=17715 .
Вычитание обыкновенной дроби из смешанного числа
Схема вычитания правильной дроби из смешанного числа такая же, как при действии вычитания смешанных чисел.
Найти разницу: 356-415
Решение:
Приведем дробные части заданных чисел к единому наименьшему общему кратному: НОК (6, 15) = 30, тогда 65=5·56·5=2530 и 415=4·215·2=830 .
Таким образом, 56>415 .
В итоге вычитание возможно произвести так: 356-415=3+56-415=3+56-415=3+2530-830=3+1730=31730
Ответ: 356-415=31730
Произвести действие вычитания: 127-37
Решение
Дробные части исходных чисел имеют одинаковый знаменатель, что дает возможность их легко сравнить. Понятно, что 27 меньше, чем 37.
Тогда находить разницу будем так:
127-37=1+27-37=1-37+27=11-37+27==77-37+27=47+27=67
Ответ: 127-37=67.
Добавим еще одну, в общем очевидную деталь вычислений: если дробная часть смешанного числа равна вычитаемой дроби, то итогом вычисления будет число, равное целой части уменьшаемого смешанного числа. К примеру:
16311-311=16+311-311=16+311-311=16+0=16
Чтобы вычесть неправильную дробь из смешанного числа, необходимо выделить целую часть из неправильной дроби, а затем производить вычисление.
Вычислить значение разности: 7512-199 .
Решение: вычитаемая дробь является неправильной, выделим из нее целую часть и получим: 199=219
Приведем к общему знаменателю дробные части заданных чисел и согласно указанным выше схемам произведем вычитание смешанных чисел:
7512-219=7+512-2+19=7-2+512-19==5+1536-436=5+1136=51136
Ответ: 7512-199=51136 .
Вычитание натурального числа из смешанного
Для совершения действия вычитания натурального числа из смешанного, необходимо вычесть заданное натуральное число из целой части смешанного числа, а дробную часть оставить без изменений: abc-n=a-n+bc
Необходимо вычесть из смешанного числа 1511528 натуральное число 44.
Решение: 1511528-44=151+1528-44=151-44+1528=107+1528=1071528
Ответ: 1511528-44=1071528
Вычитание смешанного числа из обыкновенной дроби
Очевидно, что любое заданное смешанное число будет больше единицы. Уменьшаемая дробь должна быть больше вычитаемого, тогда эта дробь – неправильная. Необходимо выделить целую часть из неправильной дроби, и далее выполнение действия вычитания смешанного числа из обыкновенной дроби сведется к вычитанию смешанных чисел.
Необходимо выполнить вычитание: 749-612
Решение
В первую очередь выделим целую часть неправильной уменьшаемой дроби: 749=829 , тогда заданный пример примет вид: 749-612=829-612
Найдем наименьший общий знаменатель: НОК (9, 2) = 18.
Получим: 29=2·29·2=418 и 12=1·92·9=918.
Тогда:
829-612=8418-6918=8+418-6+918=8-6-918+418==2-918+418=1+1-918+418=1+1-918+418==1+1-918+418=1+918+418=1+918+418==1+9+418=1+1318=11318
Ответ: 749-612=11318
Вычитание смешанного числа из натурального
Чтобы произвести действие вычитания смешанного числа из натурального, сначала от натурального числа отнимаем целую часть смешанного, после чего из полученного результата вычитаем дробную часть:
n-abc=n-a+bc=n-a-bc
Необходимо вычесть из натурального числа 18 смешанное число.
Решение
18-535=18-5+35=18-5-35=13-35=12+1-35==12+1-35=12+11-35=12+55-35=12+5-35==12+25=1225
Ответ: 18-535=1225
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Вычитание смешанных чисел
- Калькулятор вычитания смешанных чисел
Чтобы вычесть смешанное число из другого смешанного числа, нужно отдельно вычесть целую часть из целой, а дробную из дробной и полученные результаты сложить.
Вычислим разность 
и 
:
Вычитание смешанных чисел можно записывать в более краткой форме, без промежуточных вычислений:
Если целые или дробные части уменьшаемого и вычитаемого окажутся равными, то в результате целая или дробная части соответственно будут равны нулю:
Если уменьшаемое равно вычитаемому, то разность равна нулю:
Если дробные части уменьшаемого и вычитаемого имеют разные знаменатели, то сначала их нужно привести к общему знаменателю, а потом выполнить вычитание:
Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то из целой части уменьшаемого нужно взять одну единицу, представить её в виде дроби и прибавить к дробной части, после этого из дробной части уменьшаемого можно вычесть дробную часть вычитаемого:
Чтобы из натурального числа вычесть смешанное число, у натурального числа нужно взять одну единицу и представить её в виде дроби:
Чтобы вычесть натуральное число из смешанного числа, нужно натуральное число вычесть из целой части смешанного числа, оставив дробную часть без изменений:
При вычитании обыкновенной дроби из смешанного числа, дробь вычитается из дробной части смешанного числа. Если дробь больше, чем дробная часть смешанного числа, то из целой части нужно взять одну единицу, представить её в виде дроби и прибавить к дробной части, после этого можно выполнить вычитание:
Также, смешанные числа можно записать в виде неправильных дробей и выполнить вычитание, а в конце (если требуется по условию задания) записать результат в виде смешанного числа:
Калькулятор вычитания смешанных чисел
Данный калькулятор поможет вам выполнить вычитание смешанных чисел. Просто введите уменьшаемое и вычитаемое и нажмите кнопку Вычислить
. Данный калькулятор позволяет также выполнять вычитание: натурального числа и дроби, смешанного числа и дроби, натурального и смешанного числа, натуральных чисел.
Сегодня на уроке мы научимся складывать и вычитать
смешанные числа.
На прошлом уроке мы с вами уяснили, что сумму
натурального числа и правильной дроби принято записывать без знака «+». Такую
сумму называют смешанным числом. Натуральное число называют целой
частью смешанного числа, а дробь – дробной частью смешанного числа. То есть
При сложении смешанных чисел пользуются переместительным
и сочетательным свойствами сложения.
Пример
Найти сумму чисел и
.
В записи в тетрадях не стоит расписывать, как вы
считаете достаточно написать:
Таким образом, чтобы сложить смешанные числа,
нужно сложить по отдельности их целые и дробные части и записать сумму
полученных чисел.
Иногда при сложении смешанных чисел в их дробной
части может получиться неправильная дробь. В этом случае из неё выделяют
целую часть, и добавляют её к уже имеющейся дробной части.
Пример
Найти сумму чисел и
.
Таким образом, если при сложении дробных
частей получилась неправильная дробь, то выделяют целую часть этой дроби и
добавляют к уже имеющейся целой части.
Задача
На столе лежало 2 яблока. Принесли ещё 1
яблока. Сколько яблок лежит на столе?
Решение
Посмотрите, что получилось: складывали смешанные
числа, а ответ выражен натуральным или можно ещё сказать целым числом.
При вычитании смешанных чисел пользуются свойством
вычитания числа из суммы и свойством вычитания суммы из числа.
Пример
Найти разность дробей и
.
В тетрадях пишут короче:
Таким образом, чтобы найти разность смешанных
чисел, нужно найти отдельно разность целых частей и отдельно разность дробных
частей.
Есть в примерах на вычитание и «особые» случаи.
Например
Вычтем из дроби дробь
.
Запомните! Не начинайте выполнять вычитание, пока
не убедитесь, что из числителя первой дроби можно вычесть числитель второй
дроби.
Иногда в примерах нужно вычесть из натурального
числа смешанную дробь.
Например
Найдём значение выражения .
Итоги
Чтобы сложить смешанные числа, нужно сложить по
отдельности их целые и дробные части и записать сумму полученных чисел.
Если при сложении дробных частей получилась
неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к
полученной целой части.
Чтобы найти разность смешанных чисел, нужно найти
отдельно разность целых частей и отдельно разность дробных частей.
Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части
вычитаемого, превратить её в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую
часть.
В предыдущих уроках было сказано, что дробь, состоящая из целой и дробной части, называется смешанной.
Все дроби, имеющие целую и дробную часть, носят одно общее название — смешанные числа.
Смешанные числа так же как и обыкновенные дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. В данном уроке мы рассмотрим каждое из этих действий по отдельности.
Сложение целого числа и правильной дроби
Встречаются задачи, в которых требуется сложить целое число и правильную дробь. Например, сложить число 2 и дробь 
. Чтобы решить этот пример, нужно число 2 представить в виде дроби 
. Затем сложить дроби с разными знаменателями:
А теперь внимательно посмотрим на этот пример. Смотрим на его начало и на его конец. Начало у него выглядит так: 
, а конец так: 
. Различие в том, что в первом случае число 2 и дробь соединяются знаком сложения, а во втором случае они записаны вместе. На самом деле это одно и то же. Дело в том, что это свёрнутая форма записи смешанного числа, а — развёрнутая.
Когда перед нами смешанное число вида , мы должны понимать, что знак сложения опущен.
Какой можно сделать вывод? Если потребуется сложить целое число и правильную дробь, можно опустить плюс и записать целое число и дробь вместе.
Значит значение выражения равно
Если к двум целым пиццам прибавить половину пиццы, то получится две целые пиццы и ещё половина пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения 
Представим число 3 в виде дроби 
. Затем сложим дроби с разными знаменателями:
Это первый способ. Второй способ намного проще. Можно поставить знак равенства и записать целую и дробную часть вместе. То есть опустить знак сложения:
Пример 3. Найти значение выражения 
Можно записать вместе число 2 и дробь 
, но этот ответ не будет окончательным, поскольку в дроби можно выделить целую часть.
Поэтому в данном примере сначала нужно выделить целую часть в дроби . Пять вторых это две целых и одна вторая:
Теперь в главном выражении вместо дроби запишем смешанное число
Получили новое выражение 
. В этом выражении смешанное число запишем в развёрнутом виде:
Применим сочетательный закон сложения. Сложим две двойки, получим 4:
Теперь свернём полученное смешанное число:
Это окончательный ответ. Подробное решение этого примера можно записать следующим образом:
Сложение смешанных чисел
Встречаются задачи, в которых требуется сложить смешанные числа. Например, найти значение выражения 
. Чтобы решить этот пример, нужно целые и дробные части сложить по отдельности.
Для начала запишем смешанные числа в развёрнутом виде:
Применим сочетательный закон сложения. Сгруппируем целые и дробные части по отдельности:
Вычислим целые части: 2 + 3 = 5. В главном выражении заменяем выражение в скобках (2 + 3) на полученную пятёрку:
Теперь вычислим дробные части. Это сложение дробей с разными знаменателями. Как складывать такие дроби мы уже знаем:
Получили 
. Теперь в главном выражении заменяем дробные части на полученную дробь
Теперь свернем полученное смешанное число:
Таким образом, значение выражения равно 
. Попробуем изобразить это решение в виде рисунка. Если к двум целым и половине пиццы прибавить три целые и одну восьмую пиццы, то получится пять целых пицц и ещё пять восьмых пиццы:
Подобные примеры нужно решать быстро, не останавливаясь на подробностях. Находясь в школе, нам пришлось бы записать решение этого примера следующим образом:
Если в будущем увидите такое короткое решение, не пугайтесь. Вы уже понимаете, что откуда взялось.
Пример 2. Найти значение выражения 
Запишем смешанные числа в развёрнутом виде:
Сгруппируем целые и дробные части по отдельности:
Вычислим целые части: 5 + 3 = 8. В главном выражении заменяем выражение в скобках (5 + 3) на полученное число 8
Теперь вычислим дробные части:
Получили смешанное число 
. Теперь в главном выражении заменяем выражение в скобках на полученное смешанное число
Получили выражение . В данном случае число 8 надо прибавить к целой части смешанного числа . Для этого смешанное число можно временно развернуть, чтобы было понятнее, что с чем складывать:
Сложим целые части. Получаем 9
Сворачиваем готовый ответ:
Таким образом, значение выражения равно 
.
Полное решение этого примера выглядит следующим образом:
Для решения подобных примеров существует универсальное правило. Выглядит оно следующим образом:
Чтобы сложить смешанные числа, надо:
- привести дробные части этих чисел к общему знаменателю;
- отдельно выполнить сложение целых и дробных частей.
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть в этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.
Применение готовых правил допустимо в том случае, если суть темы полностью понятна. Решение по-шаблону, поглядывая в другие подобные примеры, приводит к ошибкам на обнаружение которых уходит дополнительное время. Поэтому, сначала разумнее понять тему, а затем пользоваться готовым правилом.
Пример 3. Найти значение выражения 
Воспользуемся готовым правилом. Приведём дробные части к общему знаменателю, затем по отдельности сложим целые и дробные части:
Сложение целого и смешанного числа
Встречаются задачи, в которых нужно сложить целое и смешанное число. Например, сложить 2 и смешанное число 
. В этом случае целые части складываются отдельно, а дробная часть остаётся без изменения:
Здесь смешанная дробь была развёрнута в ходе решения, затем целые части были сгруппированы и сложены. В конце целая и дробная части были свёрнуты. В результате получили ответ 
.
Попробуем изобразить это решение в виде рисунка. Если к двум целым пиццам прибавить три целые и треть пиццы, то получятся пять целых и треть пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения 
В этом примере, как и в предыдущем, нужно сложить целые части:
Осталось свернуть целую и дробную части, но дело в том, что дробная часть 
представляет собой неправильную дробь. Сначала нужно выделить целую часть в этой неправильной дроби. Затем целую часть этой дроби прибавить к 4, а дробную часть оставить без изменения. Продолжим данный пример на новой строке:
Вычитание дроби из целого числа
Встречаются задачи, в которых требуется вычесть дробь из целого числа. Например, вычесть из числа 1 дробь . Чтобы решить такой пример, нужно целое число 1 представить в виде дроби 
, и выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:
Если имеется одна целая пицца и мы вычтем из неё половину пиццы, то у нас получится половина пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения 
.
Представим число 2 в виде дроби 
, и выполним вычитание дробей с разными знаменателями:
Если имеются две целые пиццы и мы вычтем из низ половину, то останется одна целая и половина пиццы:
Такие примеры можно решать в уме. Достаточно суметь воспроизвести их в своём воображении. К примеру, найдём значение выражения 
, не приводя на бумаге никаких вычислений.
Представим, что число 3 это три пиццы:
Нужно вычесть из них 
. Мы помним, что треть выглядит следующим образом:
Теперь представим, во что превратятся три пиццы, если отрезать от них эту треть
Получилось 
(две целых и две трети пиццы).
Чтобы убедиться в правильности решения, можно найти значение выражения обычным методом, представив число 3 в виде дроби, и выполнив вычитание дробей с разными знаменателями:
Пример 3. Найти значение выражения 
Представим число 3 в виде дроби 
. Затем выполним вычитание дробей с разными знаменателями:
Вычитание смешанного числа из целого числа
Теперь мы готовы к тому, чтобы вычесть смешанное число из целого числа. Найдём значение выражения 
.
Чтобы решить этот пример, число 5 нужно представить в виде дроби, а смешанное число 
перевести в неправильную дробь. После перевода смешанного числа в неправильную дробь, получим дробь 
. Теперь выполним вычитание дробей с разными знаменателями:
Если из пяти целых пицц вычесть одну целую и половину пиццы, то останутся три целые пиццы и половина пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения 
Представим 6 в виде дроби 
, а смешанное число 
, в виде неправильной дроби. После перевода смешанного числа в неправильную дробь, получим дробь 
. Теперь выполним вычитание дробей с разными знаменателями:
Примеры на вычитание дроби из числа или вычитание смешанной дроби из числа опять же можно выполнять в уме. Этот процесс легко поддаётся воображению.
К примеру, если нужно быстро найти значение выражения 
, то вовсе необязательно представлять число 2 в виде дроби и выполнять вычитание дробей с разными знаменателями. Число 2 можно вообразить, как две целые пиццы и далее представить, как от одной из них отрезали две третьих (два куска из трёх)
Тогда от той пиццы, от которой отрезали 
останется пиццы. Плюс одна из пицц останется нетронутой. Получится одна целая пицца и треть пиццы:
Если на рисунке вы закроете рукой две третьих пиццы (она закрашена), то сразу всё поймёте.
Вычитание смешанных чисел
Встречаются задачи, в которых требуется вычесть из одного смешанного числа другое смешанное число. Например, найдём значение выражения: 
Чтобы решить этот пример, нужно смешанные числа 
и 
перевести в неправильные дроби, затем выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:
Если от трёх целых и половины пиццы вычесть две целые и треть пиццы, то останутся одна целая и одна шестая пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения 
Переводим смешанные числа 
и 
в неправильные дроби и выполняем вычитание дробей с разными знаменателями:
К вычитанию смешанных чисел мы ещё вернёмся. В вычитании дробей есть немало тонкостей, которым новичок пока не готов. Например, возможен случай, когда уменьшаемое может оказаться меньше вычитаемого. Это может вывести нас в мир отрицательных чисел, которых мы ещё не изучали.
А пока изучим умножение смешанных чисел. Благо оно не такое сложное, как сложение и вычитание.
Умножение целого числа на дробь
Чтобы целое число умножить на дробь, достаточно умножить это целое число на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменения.
Например, умножим число 5 на дробь . Чтобы решить этот пример, нужно число 5 умножить на числитель дроби , а знаменатель оставить без изменения:
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Если имеются пять целых пицц и мы возьмём от этого количества половину, то у нас окажется две целые пиццы и половина пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения 
Умножим число 3 на числитель дроби 
В ответе получилась неправильная дробь 
, но мы выделили её целую часть и получили 2.
Также, можно было сократить эту дробь. Получился бы тот же результат. Выглядело бы это следующим образом:
Если имеются три целые пиццы и мы возьмём от этого количества две третьих, то у нас окажется две целые пиццы:
Пример 3. Найти значение выражения 
Этот пример решается так же, как и предыдущие. Целое число и числитель дроби нужно перемножить:
Пример 4. Найти значение выражения 
Умножим число 3 на числитель дроби
Умножение смешанного числа на дробь
Чтобы умножить смешанное число на дробь, нужно смешанное число перевести в неправильную дробь, затем выполнить перемножение обыкновенных дробей.
Пример 1. Найти значение выражения 
Переведём смешанное число 
в неправильную дробь. После перевода это число превратится в дробь 
. Затем можно будет умножить эту дробь на
Допустим, имеются одна целая и половина пиццы:
Умножить эти куски на означает взять от них две трети. Чтобы взять от них две трети, сначала разделим их на три равные части. Разделим пополам ту пиццу, которая слева. Тогда у нас получится три равных куска:
Теперь если мы возьмем (два куска из трёх имеющихся), то получим одну целую пиццу. Для наглядности закрасим эти два куска:
Поэтому значение выражения было равно 1
Умножение смешанных чисел
Встречаются задачи, в которых требуется перемножить смешанные числа. Например, перемножить и . Чтобы решить этот пример, нужно перевести эти смешанные числа в неправильные дроби, затем выполнить умножение неправильных дробей:
Попробуем разобраться в этом примере с помощью рисунка. Допустим, имеются одна целая и половина пиццы:
Теперь разберемся со смешанным множителем . Этот множитель означает, что одну целую и половину пиццы нужно взять 2 раза и еще раза.
С множителем 2 всё понятно, он означает что одну целую и половину пиццы нужно взять два раза. Давайте возьмём два раза целую пиццу и половину:
Но ещё осталось взять от изначальной целой пиццы и половины, ведь множителем было смешанное число . Для этого вернёмся к изначальной одной целой и половине пиццы, и разделим их на равные части так, чтобы можно было взять от них ровно половину. А половину мы сможем взять, если разделим целую пиццу на четыре части, а половину на две части:
Мы разделили нашу целую пиццу и половину на равные части, и теперь можем сказать, что является половиной от этих кусков. Половиной от этих кусков является 
пиццы. Это можно хорошо увидеть, если мы упорядочим наши равные кусочки следующим образом:
А если смотреть на изначальную целую пиццу и половину с точки зрения такого порядка, как на этом рисунке, то половиной от них является пиццы.
Поэтому значение выражения 
равно 
Пример 2. Найти значение выражения 
Переводим смешанные числа в неправильные дроби и перемножаем эти неправильные дроби. Если в ответе получится неправильная дробь, выделим в ней целую часть:
Деление целого числа на дробь
Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это целое число умножить на дробь, обратную делителю.
Например, разделим число 3 на дробь . Здесь число 3 — это делимое, а дробь — делитель.
Чтобы решить этот пример, нужно число 3 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби это дробь . Поэтому умножаем число 3 на дробь 
Допустим, имеются три целые пиццы:
Если мы зададим вопрос «cколько раз (половина пиццы) содержится в трёх пиццах», то ответом будет «шесть раз».
Действительно, если мы разделим каждую пиццу пополам, то у нас получится шесть половинок:
Поэтому значение выражения 
равно 6.
Пример 2. Найти значение выражения 
Чтобы решить этот пример, нужно число 2 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби это дробь
Допустим, имеются две целые пиццы:
Зададим вопрос «Сколько раз пиццы содержится в этих двух пиццах?» Чтобы ответить на этот вопрос, выделим целую часть в дроби . После выделения целой части в этой дроби получим
Теперь поставим вопрос так: «Сколько раз (одна целая и половина пиццы) содержится в двух пиццах?».
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти в двух пиццах такое количество пиццы, которое изображено на следующем рисунке:
В двух пиццах одна целая и половина пиццы содержится один раз. Это можно увидеть, если вторую пиццу разделить пополам:
А оставшаяся половина это треть от , которая не вместилась. Третью она является по той причине, что в одной целой и половине пиццы целую часть пиццы можно разделить пополам. Тогда каждый кусок будет третью от этого количества:
Поэтому значение выражения равно 
Пример 3. Найти значение выражения 
Чтобы решить этот пример, нужно число 5 умножить на дробь, обратную дроби 
. А обратная дробь для дроби это дробь 
. Поэтому умножаем число 5 на
Дробь это 2 целых и 
. Проще говоря, две целые и четверть пиццы:
А выражение определяет сколько раз 
содержится в пяти целых пиццах. Ответом было смешанное число 
.
То есть пиццы содержится в пяти целых пиццах раза.
Давайте нащупаем в пяти пиццах два раза по
Белым цветом осталось не выделено две четверти. Эти две четверти представляют собой 
от , которые не вместились. Двумя девятыми они являются по той причине, что в пиццы каждую целую пиццу можно разделить на четыре части. Тогда каждый кусок будет девятой частью от этого количества, а два куска соответственно двумя из девяти:
Поэтому значение выражения равно
Деление дроби на целое число
Чтобы разделить дробь на целое число, нужно данную дробь умножить на число, обратное делителю. Таким делением мы занимались в прошлом уроке. Вспомним ещё раз.
Пример 1. Разделим дробь на число 2
Чтобы разделить дробь на 2, нужно данную дробь умножить на число, обратное числу 2. А обратное числу 2 это дробь
Пусть имеется половина пиццы:
Разделим её поровну на две части. Тогда каждая получившаяся часть будет одной четвертой пиццы:
Поэтому значение выражения 
равно
Пример 2. Найти значение выражения 
Чтобы решить этот пример, нужно дробь 
умножить на число, обратное числу 2. Обратное числу 2 это дробь
Пример 3. Найти значение выражения 
Умножаем первую дробь 
на число, обратное числу 3. Обратное числу 3 это дробь
Деление целого числа на смешанное число
Встречаются задачи, в которых требуется разделить целое число на смешанное число. Например, разделим 2 на .
Чтобы решить этот пример, нужно делитель перевести в неправильную дробь. Затем умножить число 2 на дробь, обратную делителю.
Переведём делитель в неправильную дробь, получим . Затем умножим 2 на дробь, обратную дроби . Обратная для дроби это дробь
Допустим, имеются две целые пиццы:
Зададим вопрос «Сколько раз (одна целая и половина пиццы) содержится в двух целых пиццах?». Похожий пример мы решали ранее, когда учились делить целое число на дробь.
В двух пиццах одна целая и половина пиццы содержится один раз. Это можно увидеть, если вторую пиццу разделить пополам:
А оставшаяся половина это треть от , которая не вместилась. Третью она является по той причине, что в одной целой и половине пиццы целую часть пиццы можно разделить пополам. Тогда каждый кусок будет третью от этого количества:
Поэтому значение выражения 
равно
Пример 2. Найти значение выражения 
Переводим делитель 
в неправильную дробь, получаем 
. Теперь умножаем число 5 на дробь, обратную дроби . Обратная для дроби это дробь 
Сначала мы получили ответ 
, затем сократили эту дробь на 5, и получили 
, но этот ответ нас тоже не устроил, поскольку он представлял собой неправильную дробь. Мы выделили в этой неправильной дроби целую часть. В результате получили ответ 
Деление смешанного числа на целое число
Чтобы разделить смешанное число на целое число, нужно смешанное число перевести в неправильную дробь, затем умножить эту дробь на число, обратное делителю.
Например, разделим на 2. Чтобы решить этот пример, нужно делимое перевести в неправильную дробь. Затем умножить эту дробь на число, обратное делителю 2.
Переведём смешанное число в неправильную дробь, получим .
Теперь умножаем на число, обратное числу 2. Обратное числу 2 это дробь
Допустим, имеется одна целая и половина пиццы:
Разделим это количество пиццы поровну на две части. Для этого сначала разделим на две части целую пиццу:
Затем разделим поровну на две части и половину:
Теперь если мы сгруппируем эти кусочки на две группы, то получим по пиццы в каждой группе:
Поэтому значение выражения 
равно
Пример 2. Найти значение выражения 
Переведём делимое 
в неправильную дробь, получим 
. Теперь умножаем на число, обратное числу 4. Обратное числу 4 это дробь 
.
Деление смешанных чисел
Чтобы разделить смешанные числа, нужно перевести их в неправильные дроби, затем выполнить обычное деление дробей. То есть умножить первую дробь на дробь, обратную второй.
Пример 1. Найти значение выражения 
Переведём смешанные числа в неправильные дроби. Получим следующее выражение:
Как решать дальше мы уже знаем. Первую дробь нужно умножить на дробь, обратную второй. Обратная для второй дроби это дробь 
.
Дорешаем данный пример до конца:
Допустим, имеются две целые и половина пиццы:
Если зададим вопрос «Сколько раз 
(одна целая и четверть пиццы) содержится в двух целых и половине пиццы», то ответом будет «два раза»:
Пример 2. Найти значение выражения 
Переведём смешанные числа в неправильные дроби. Получим следующее выражение:
Теперь умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Обратная для дроби это дробь 
Сначала мы получили дробь
. Эту дробь мы сократили на 9. В результате получили дробь 
, но такой ответ нас тоже не устроил и мы выделили в дроби целую часть. В результате получили окончательный ответ 
.
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 2. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 3. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 4. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 5. Найдите значение выражения:
Решение:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Смешанные числа так же, как и любые другие числа, можно сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить.
На этом уроке рассмотрим правила сравнения, сложения и вычитания смешанных чисел.
Рассмотрим пример решения текстовой задачи на сложение и вычитание смешанных чисел арифметическим и алгебраическим способом.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Смешанное число- это число, состоящее из целой части (натурального числа) и дробной части (дробного числа).
На предыдущем уроке мы узнали, чем правее располагается число на координатном луче, тем оно больше.
Сравнение смешанных чисел сводится к сравнению их целых частей и дробных частей.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
1. Чтобы ответить на вопрос какое смешанное число больше, а какое меньше используют следующее правило:
Большим считается то смешанное число, целая часть которого больше, если же целые части равны, то больше то смешанное число, у которого дробная часть больше.
Соответственно верно и следующее утверждение: смешанные числа считаются равными, если их целая и дробная часть совпадают.
Рассмотрим примеры.
Пример №1.
Сравните два смешанных числа (mathbf{22frac{6}{7}}) и (mathbf{42frac{5}{7}}).
Решение:
Целая часть смешанного числа (mathbf{22frac{6}{7}}) равна 22.
Целая часть смешанного числа (mathbf{42frac{5}{7}}) равна 42.
Так как 22 < 42, значит и (mathbf{color{orange}{22}frac{6}{7} < color{green}{42}frac{5}{7}}).
Пример №2.
Сравните два смешанных числа (mathbf{26frac{6}{7}}) и (mathbf{26frac{5}{7}}).
Решение:
Целая часть смешанного числа (mathbf{26frac{6}{7}}) равна 26.
Целая часть смешанного числа (mathbf{26frac{5}{7}}) равна 26.
Так как целые части смешанных чисел равны: 26 = 26, сравним их дробные части.
Число (mathbf{frac{6}{7}})- дробная часть смешанного числа (mathbf{26frac{6}{7}}).
Число (mathbf{frac{5}{7}}) дробная часть смешанного числа (mathbf{26frac{5}{7}}).
Для сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо сравнить их числители в соответствии с правилом: больше та дробь, у которой числитель больше.
Числитель дроби (mathbf{frac{6}{7}}) больше числителя дроби (mathbf{frac{5}{7}}), значит (mathbf{color{orange}{frac{6}{7}} > color{green}{frac{5}{7}}}).
Следовательно (mathbf{26color{orange}{frac{6}{7}} > 26color{green}{frac{5}{7}}}).
Пример №3.
Сравните два смешанных числа (mathbf{175frac{2}{13}}) и (mathbf{175frac{2}{13}}).
Решение:
Так как целая и дробная часть смешанного числа (mathbf{175frac{2}{13}}) совпадает с целой и дробной частью смешанного числа (mathbf{175frac{2}{13}}), то эти два числа равны.
(mathbf{175frac{2}{13} = 175frac{2}{13} })
2. Сравнение смешанных чисел с натуральными числами.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Для данного случая действует такое правило:
Если целая часть смешанного числа больше или равна натуральному числу, то смешанное число больше этого натурального числа.
Если целая часть смешанного числа меньше натурального числа, то смешанное число меньше данного натурального числа.
Разберем несколько поясняющих примеров.
Пример №1.
Сравните два числа 85 и (mathbf{139frac{2}{5}}).
Решение:
Целая часть смешанного числа (mathbf{139frac{2}{5}}) равна 139.
Число 139 больше 85 (заданного натурального числа), значит смешанное число (mathbf{139frac{2}{5}}) больше этого натурального числа.
Получаем следующее неравенство:
(mathbf{85 < 139frac{2}{5}})
Пример №2.
Сравните два числа 147 и (mathbf{147frac{6}{11}}).
Решение:
Натуральное число 147 и целая часть смешанного числа (mathbf{147frac{6}{11}}) равны.
Если целая часть смешанного числа равна натуральному числу, то смешанное число больше этого натурального числа.
Следовательно, смешанное число (mathbf{147frac{6}{11}}) больше натурального числа 147.
(mathbf{147 <147frac{6}{11}})
Пример №3.
Сравните два числа 53 и (mathbf{14frac{6}{18}}).
Решение:
Целая часть смешанного числа (mathbf{14frac{6}{8}}), число 14, меньше заданного натурального числа 53, значит, смешанное число (mathbf{14frac{6}{8}}) меньше натурального числа 53.
(mathbf{53 > 14frac{6}{8}})
3. Сравнение смешанных чисел и обыкновенных дробей.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
- Сравнение смешанных чисел и правильных дробей.
Так как смешанное число всегда больше единицы, а правильная дробь всегда меньше единицы, то справедливо правило:
Любое смешанное число всегда больше правильной дроби.
- Сравнение смешанных чисел и неправильных дробей.
Сравнение смешанного числа и неправильной дроби можно осуществлять двумя способами.
Первый способ: сравнение смешанного числа и неправильной дроби можно свести к сравнению двух неправильных дробей.
Для этого смешанное число необходимо перевести в неправильную дробь.
Рассмотрим пример.
Сравните смешанное число (mathbf{12frac{3}{8}}) и неправильную дробь (mathbf{frac{105}{8}}).
Решение:
Переведем смешанное число (mathbf{12frac{3}{8}}) в неправильную дробь.
Умножим целую часть смешанного числа на знаменатель его дробной части, к полученному произведению прибавим числитель дробной части, запишем полученный результат суммы в числитель новой дроби, а знаменатель оставим без изменений.
(mathbf{color{red}{12}frac{color{green}{3}}{color{blue}{8}} = frac{color{red}{12} cdot color{blue}{8} + color{green}{3}}{color{blue}{8}} = frac{96 + color{green}{3}}{color{blue}{8}} = frac{99}{color{blue}{8}}})
Вместо (mathbf{12frac{3}{8}}) подставим соответствующее ему число (mathbf{frac{99}{8}}).
Сравним неправильные дроби (mathbf{frac{99}{8}}) и (mathbf{frac{105}{8}}).
Для сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо сравнить их числители в соответствии с правилом: больше та дробь, у которой числитель больше.
99– числитель дроби (mathbf{frac{99}{8}}).
105– числитель дроби (mathbf{frac{105}{8}}).
Так как 99 < 105, то (mathbf{frac{color{orange}{99}}{8} < frac{color{green}{105}}{8}}).
Известно, что неправильная дробь (mathbf{frac{99}{8}}) соответствует смешанному числу (mathbf{12frac{3}{8}}).
В итоге получается следующий результат: (mathbf{12frac{3}{8} < frac{105}{8}}).
Второй способ: сравнение смешанного числа и неправильной дроби можно свести к сравнению двух смешанных чисел.
Для этого неправильную дробь необходимо перевести в смешанное число.
Рассмотрим поясняющий пример.
Сравним смешанное число (mathbf{12frac{3}{8}}) и неправильную дробь (mathbf{frac{105}{8}}).
Решение:
Переведем неправильную дробь (mathbf{frac{105}{8}}) в смешанное число.
Разделим числитель дроби на знаменатель, полученное неполное частное будет представлять собой целую часть смешанного числа, остаток от деления- это числитель дробной части смешанного числа, а делитель- знаменатель.
105 ÷ 8 = 13 (ост. 1)
(mathbf{frac{105}{8} = 13frac{1}{8}})
Сравним два смешанных числа (mathbf{12frac{3}{8}}) и (mathbf{13frac{1}{8}}).
Целая часть смешанного числа (mathbf{12frac{3}{8}}) меньше целой части смешанного числа (mathbf{13frac{1}{8}}).
Так как 12 < 13, то, (mathbf{color{orange}{12}frac{3}{8} < color{green}{13}frac{1}{8}}).
Смешанное число (mathbf{13frac{1}{8}}) соответствует неправильной дроби (mathbf{frac{105}{8}}).
В итоге получается следующий результат: (mathbf{12frac{3}{8} < frac{105}{8}})
При решении одного и того же задания разными способами, получили одинаковые ответы: сравнивая (mathbf{12frac{3}{8}}) и (mathbf{frac{105}{8}}) оказалось, что (mathbf{frac{105}{8}}) больше (mathbf{12frac{3}{8}}).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Смешанное число в развернутом виде представляет собой сумму целого и дробного числа.
При сложении смешанных чисел целые части складывают отдельно, дробные- отдельно.
Таким образом получается, что сложение смешанных чисел сводится к уже известным нам правилам сложения натуральных чисел и дробных чисел.
При сложении и вычитании можно использовать свойства, характерные для математических операций сложения и вычитания.
1. Запишем алгоритм сложения смешанных чисел.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
- Сложить целые части смешанных чисел.
- Сложить дробные части смешанных чисел.
- Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь, то из нее необходимо выделить целую часть и прибавить ее к уже найденной сумме в п.1.
Соблюдая данную логику, можно складывать любое количество смешанных чисел.
Разберем правило сложения смешанных чисел на примерах.
Пример №1.
Сложите два смешанных числа (mathbf{10frac{2}{5}}) и (mathbf{14frac{1}{5}}).
Решение:
Запишем первое и второе смешанное число в виде суммы целой и дробной части и сложим их, получим выражение вида: (mathbf{10 + frac{2}{5} + 14 + frac{1}{5}}).
Используя переместительное и сочетательное свойство сложения, сгруппируем отдельно целые части смешанных чисел, отдельно дробные части: (mathbf{(10 + 14) + (frac{2}{5} + frac{1}{5})}).
Выполним сложение двух натуральных чисел и сложение двух обыкновенных дробей с одинаковым знаменателем.
(mathbf{(10 + 14) + (frac{2}{5} + frac{1}{5}) = 24 + frac{2 + 1}{5} = 24 + frac{3}{5}})
Представим сумму (mathbf{24 + frac{3}{5}}) в виде смешанного числа:
(mathbf{24 + frac{3}{5} = 24frac{3}{5}})
В таком случае сумма двух смешанных чисел равна:
(mathbf{10frac{2}{5} + 14frac{1}{5} = 24frac{3}{5}})
Обычно все комментарии и рассуждения выполняются устно, а сложение и вычитание смешанных чисел оформляется в виде непрерывной цепочки действий:
(mathbf{10frac{2}{5} + 14frac{1}{5} = color{orange}{10} + color{green}{frac{2}{5}} + color{orange}{14} + color{green}{frac{1}{5}} = (color{orange}{10} + color{orange}{14}) + (color{green}{frac{2}{5}} + color{green}{frac{1}{5}}) = 24 + frac{2 + 1}{5} = 24 + frac{3}{5} = 24frac{3}{5}})
Пример №2.
Сложите два смешанных числа (mathbf{20frac{3}{5}}) и (mathbf{35frac{3}{5}}).
Решение:
Запишем первое и второе смешанное число в виде суммы целой и дробной части и сложим их, получим выражение вида: (mathbf{20 + frac{3}{5} + 35 + frac{3}{5}}).
Выполним сложение двух натуральных чисел и сложение двух обыкновенных дробей с одинаковым знаменателем: (mathbf{(20 + 35) + (frac{3}{5} + frac{3}{5}) = 55 + frac{6}{5}}).
При сложении дробных частей получаем неправильную дробь (mathbf{frac{6}{5}}).
Выделим из нее целую часть.
(mathbf{frac{6}{5} = 6 div 5 = 1frac{1}{5}})
Заменим неправильную дробь (mathbf{frac{6}{5}}) на соответствующее ей смешанное число (mathbf{1frac{1}{5}}).
Сложим целую часть полученного смешанного числа с уже имеющейся.
(mathbf{55 + color{blue}{frac{6}{5}} = 55 + color{blue}{1frac{1}{5}} = 55 + 1 + frac{1}{5} = (55 + 1) + frac{1}{5} = 56 + frac{1}{5} = 56frac{1}{5}})
Запишем решение в общем виде, опуская все комментарии и рассуждения:
(mathbf{20frac{3}{5} + 35frac{3}{5} = 20 + frac{3}{5} + 35 + frac{3}{5} = 55 + frac{6}{5} = 55 + 1frac{1}{5} = (55 + 1) + frac{1}{5} = 56 + frac{1}{5} = 56frac{1}{5}})
Пример №3.
Сложите два смешанных числа (mathbf{15frac{5}{7}}) и (mathbf{3frac{2}{7}}).
Решение:
(mathbf{15frac{5}{7} + 3frac{2}{7} = color{orange}{15} + color{green}{frac{5}{7}} + color{orange}{3} + color{green}{frac{2}{7}} = (color{orange}{15} + color{orange}{3}) + (color{green}{frac{5}{7}} + color{green}{frac{2}{7}}) = 18 + frac{7}{7} = 18 + 1 = 19})
При сложении двух смешанных чисел получили натуральное число.
2. Сложение смешанного числа и натурального числа.
Натуральное число можно представить в виде смешанного числа, дробная часть которого равна нулю.
В таком случае сумму смешанного числа и натурального числа находят как сумму двух смешанных чисел.
Так как дробная часть натурального числа равна нулю, то при сложении натурального и смешанного числа необходимо найти сумму только их целых частей, дробную же часть смешанного числа нужно оставить без изменений.
Пример.
Сложите два числа (mathbf{18frac{1}{3}}) и 4.
Решение:
(mathbf{18frac{1}{3} + 4 = color{orange}{18} + frac{1}{3} + color{orange}{4} = (color{orange}{18} + color{orange}{4}) + frac{1}{3} = 22 + frac{1}{3} = 22frac{1}{3}})
3. Сложение смешанного числа и обыкновенной дроби.
- Сложение смешанного числа и правильной дроби.
Правильную дробь можно представить в виде смешанного числа, целая часть которого равна нулю.
Если целая часть правильной дроби равна нулю, то складывая смешанное число и правильную дробь, находят только сумму дробной части смешанного числа и этой дроби, целую же часть смешанного числа при этом оставляют без изменений.
Пример.
Сложите два числа (mathbf{71frac{3}{10}}) и (mathbf{frac{1}{10}}).
Решение:
(mathbf{71frac{3}{10} + frac{1}{10} = 71 + color{green}{frac{3}{10}} + color{green}{frac{1}{10}} = 71 + (color{green}{frac{3}{10}} + color{green}{frac{1}{10}}) = 71 + frac{4}{10} = 71frac{4}{10}})
- Сложение смешанного числа и неправильной дроби
Возможны два способа сложение смешанного числа с неправильной дробью.
Первый способ: сложение смешанного числа и неправильной дроби можно свести к сумме двух неправильных дробей.
Для этого смешанное число можно представить в виде неправильной дроби и выполнить сложение неправильных дробей.
Второй способ: сложение смешанного числа и неправильной дроби можно свести к сумме двух смешанных чисел.
Для этого из неправильной дроби необходимо выделить целую часть и выполнить сложение двух смешанных чисел.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример №1.
Сложите два числа (mathbf{3frac{1}{4}}) и (mathbf{frac{6}{4}}).
Решение:
Переведем неправильную дробь (mathbf{frac{6}{4}}) в смешанное число, разделив с остатком числитель на знаменатель дроби: 6 ÷ 4 = 1 (ост. 2), отсюда (mathbf{frac{6}{4} = 1frac{2}{4}}).
Подставим вместо (mathbf{frac{6}{4}}) соответствующее этой дроби смешанное число (mathbf{1frac{2}{4}}).
(mathbf{3frac{1}{4} + color{blue}{frac{6}{4}} = 3frac{1}{4} + color{blue}{1frac{2}{4}} = 3 + frac{1}{4} + 1 + frac{2}{4} = (3 + 1) + (frac{1}{4} +frac{2}{4}) = 4 + frac{3}{4} = 4frac{3}{4}})
Пример №2.
Сложите два числа (mathbf{3frac{1}{4}}) и (mathbf{frac{6}{4}}).
Решение:
Переведем смешанное число (mathbf{3frac{1}{4}}) в неправильную дробь.
Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, необходимо умножить целую часть смешанного числа на знаменатель его дробной части, к полученному произведению прибавить числитель дробной части, затем записать полученный результат суммы в числитель новой дроби, а знаменатель оставить без изменений.
(mathbf{3frac{1}{4} = frac{3 cdot 4 + 1}{4} = frac{13}{4}})
Подставим вместо смешанного числа (mathbf{3frac{1}{4}}) соответствующую ему неправильную дробь (mathbf{frac{13}{4}}).
(mathbf{color{blue}{3frac{1}{4}} + frac{6}{4} = color{blue}{frac{13}{4}} + frac{6}{4} = frac{13 + 6}{4} = frac{19}{4}})
Ответ запишем в виде смешанного числа, для этого из полученной неправильной дроби (mathbf{frac{19}{4}}) выделим целую часть: 19 ÷ 4 = 4 (ост. 3), следовательно, (mathbf{frac{19}{4} = 4frac{3}{4}})
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Рассмотрим правила вычитания смешанных чисел.
В зависимости от того, какие значения принимают дробные части смешанных чисел, существуют различные варианты вычисления разности.
1. При вычитании смешанных чисел целые части вычитают отдельно, дробные- отдельно.
Вычитание одного смешанного числа из другого сводится к уже известным нам правилам вычитания натуральных чисел и вычитания дробных чисел.
Чтобы найти разность чисел, необходимо из уменьшаемого вычесть вычитаемое.
Запишем алгоритм вычитания смешанных чисел.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
- Выполнить вычитание целых частей смешанных чисел.
- Выполнить вычитание дробных частей смешанных чисел.
- Сложить полученные результаты.
Сложнее ситуация будет складываться, если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.
В таком случае необходимо:
- Занять одну единицу от целой части уменьшаемого.
- Представить ее в виде дроби, в которой числитель равен знаменателю.
- Прибавить эту дробь к дробной части уменьшаемого.
- Выполнить вычитание целых частей смешанных чисел.
- Выполнить вычитание дробных частей смешанных чисел.
- Сложить полученные результаты.
Рассмотрим на примерах данные правила вычитания смешанных чисел.
Пример №1.
Вычислите разность двух смешанных чисел (mathbf{14frac{2}{5}}) и (mathbf{10frac{1}{5}}).
Решение:
Сравним дробные части смешанных чисел.
Для этого необходимо сравнить их числители в соответствии с правилом: больше та дробь, у которой числитель больше.
2– числитель дробной части уменьшаемого смешанного числа (mathbf{14frac{2}{5}}).
1– числитель дробной части вычитаемого смешанного числа (mathbf{10frac{1}{5}}).
Так как 2 > 1, значит (mathbf{frac{color{orange}{2}}{5} > frac{color{green}{1}}{5}})
Поскольку дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого , выполним вычитание целых частей смешанных чисел, выполним вычитание дробных частей смешанных чисел, полученные результаты сложим.
(mathbf{14frac{2}{5} – 10frac{1}{5} = (color{orange}{14} + color{green}{frac{2}{5}}) – (color{orange}{10} + color{green}{frac{1}{5}}) = (color{orange}{14} – color{orange}{10}) + (color{green}{frac{2}{5}} – color{green}{frac{1}{5}}) = 4 + frac{2 – 1}{5} = 4 + frac{1}{5} = 4frac{1}{5}})
Пример №2.
Вычислите разность двух смешанных чисел (mathbf{31frac{2}{7}}) и (mathbf{1frac{4}{7}}).
Решение:
Сравним дробные части смешанных чисел.
Для этого необходимо сравнить их числители в соответствии с правилом: больше та дробь, у которой числитель больше.
2– числитель дробной части уменьшаемого смешанного числа (mathbf{31frac{2}{7}}).
4– числитель дробной части вычитаемого смешанного числа (mathbf{1frac{4}{7}}).
2 < 4, следовательно, (mathbf{frac{color{orange}{2}}{7} < frac{color{green}{4}}{7}})
Так как дробная часть уменьшаемого (mathbf{frac{2}{7}}) меньше дробной части вычитаемого (mathbf{frac{4}{7}}), займем единицу от целой части уменьшаемого и представим ее в виде дроби со знаменателем 7 (так как знаменатель всех имеющихся дробей в данном примере равен 7), уменьшив при этом целую часть уменьшаемого числа на единицу.
(mathbf{31frac{2}{7} – 1frac{4}{7} = (31 + frac{2}{7}) – (1 + frac{4}{7}) = (color{red}{31 – 1} + color{green}{1} + frac{2}{7}) – (1 + frac{4}{7}) =})
(mathbf{= (color{red}{30} + color{green}{frac{7}{7}} + frac{2}{7}) – (1 + frac{4}{7}) = (color{purple}{30} + color{blue}{frac{9}{7}}) – (color{purple}{1} + color{blue}{frac{4}{7}}) = (color{purple}{30} – color{purple}{1}) + (color{blue}{frac{9}{7}} – color{blue}{frac{4}{7}}) = 29 + frac{5}{7} = 29frac{5}{7}})
2. Вычитание смешанного числа из натурального числа.
При вычитании смешанного числа из натурального числа так же приходится занимать единицу от уменьшаемого натурального числа и представлять ее в виде дроби, в которой числитель равен знаменателю.
Рассмотрим поясняющий пример.
Вычислите разность чисел 20 и (mathbf{3frac{4}{5}}).
Решение:
Уменьшаемое число 20 не содержит дробную часть, займем у него единицу и представим ее в виде дроби со знаменателем 5 (так как знаменатель всех имеющихся дробей в данном примере равен 5), уменьшив при этом уменьшаемое натуральное число на единицу.
(mathbf{20 – 3frac{4}{5} = 20 – (3 + frac{4}{5}) = (color{red}{20 – 1} + color{green}{1}) – (3 + frac{4}{5}) = (color{red}{19} + color{green}{frac{5}{5}}) – (3 + frac{4}{5}) =})
(mathbf{= (19 – 3) + (frac{5}{5} – frac{4}{5}) = 16 + frac{1}{5} = 16frac{1}{5}})
3. Вычитание натурального числа из смешанного числа.
При вычитании из смешанного числа натурального числа необходимо вычесть из целой части смешанного числа натуральное число, оставив при этом дробную часть без изменений.
Пример.
Вычтем из смешанного числа (mathbf{15frac{1}{5}}) натуральное число 12.
(mathbf{15frac{1}{5} – 12 = (15 + frac{1}{5}) – 12 = (color{orange}{15} + frac{1}{5}) – color{orange}{12} = (color{orange}{15} – color{orange}{12}) + frac{1}{5} = 3frac{1}{5}})
4. Вычитание из смешанного числа обыкновенной дроби.
- Вычитание из смешанного числа правильной дроби.
При вычитании правильной дроби из смешанного числа необходимо вычесть дробь из дробной части этого смешанного числа, а целую часть его оставить неизменной.
Однако, если вычитаемая дробь больше чем дробная часть смешанного числа, то из его целой части придется занять единицу, представив ее в виде дроби, знаменатель которой равен числителю, целую часть смешанного числа при этом необходимо уменьшить на единицу.
Пример№ 1.
Найдите разность чисел (mathbf{19frac{7}{12}}) и (mathbf{frac{4}{12}}).
Решение:
Сравним числитель дробной части смешанного числа и вычитаемой дроби.
Числитель дроби (mathbf{frac{7}{12}}) равен 7.
Числитель дроби (mathbf{frac{4}{12}}) равен 4.
7 > 4, следовательно, (mathbf{frac{color{orange}{7}}{12} > frac{color{green}{4}}{12}}).
В таком случае действия просты, необходимо вычесть дробь из дробной части смешанного числа, а целую часть его оставить неизменной.
(mathbf{19frac{7}{12} – frac{4}{12} = (19 + color{green}{frac{7}{12}}) – color{green}{frac{4}{12}} = 19 + (color{green}{frac{7}{12}} – color{green}{frac{4}{12}}) = 19 + frac{3}{12} = 19frac{3}{12}})
Пример №2.
Найдите значение выражения (mathbf{8frac{7}{11} – frac{8}{11}}).
Решение:
Вычтем из смешанного числа (mathbf{8frac{7}{11}}) обыкновенную дробь (mathbf{frac{8}{11}}).
Сравним числители дробной части смешанного числа и вычитаемой дроби.
Числитель дроби (mathbf{frac{7}{11}}) равен 7.
Числитель дроби (mathbf{frac{8}{11}}) равен 8.
7 < 8, значит (mathbf{frac{color{orange}{7}}{11} < frac{color{green}{8}}{11}}).
Так как дробная часть уменьшаемого смешанного числа меньше вычитаемой дроби, займем единицу из целой части смешанного числа и представим ее в виде дроби со знаменателем 11 (так как знаменатель всех имеющихся дробей в данном примере равен 11), уменьшив при этом целую часть смешанного числа на единицу.
(mathbf{8frac{7}{11} – frac{8}{11} = (8 + frac{7}{11}) – frac{8}{11} = (color{red}{8 – 1} + color{green}{1} + frac{7}{11}) – frac{8}{11} = (color{red}{7} + color{green}{frac{11}{11}} + frac{7}{11}) – frac{8}{11} = })
(mathbf{= (7 + frac{18}{11}) – frac{8}{11} = 7 + (frac{18}{11} – frac{8}{11}) = 7 + frac{10}{11} = 7frac{10}{11}})
5. Вычитание из неправильной дроби смешанного числа.
Первый способ: вычитание смешанного числа из неправильной дроби и неправильной дроби из смешанного числа можно свести к разности двух неправильных дробей.
Для этого смешанное число можно представить в виде неправильной дроби и выполнить вычитание неправильных дробей.
Второй способ: вычитание смешанного числа из неправильной дроби и неправильной дроби из смешанного числа можно свести к разности двух смешанных чисел.
Для этого из неправильной дроби необходимо выделить целую часть и выполнить вычитание двух смешанных чисел.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример №1.
Найдите значение выражения (mathbf{frac{122}{3} – 4frac{2}{3}}).
Решение:
Переведем неправильную дробь (mathbf{frac{122}{3}}) в смешанное число, разделив с остатком числитель на знаменатель дроби: 122 ÷ 3 = 40 (ост. 2), значит (mathbf{frac{122}{3} = 40frac{2}{3}}).
Подставим в исходное выражение вместо неправильной дроби (mathbf{frac{122}{3}}) соответствующее ему смешанное число (mathbf{40frac{2}{3}}).
Найдем разность двух смешанных чисел.
(mathbf{color{blue}{frac{122}{3}} – 4frac{2}{3} = color{blue}{40frac{2}{3}} – 4frac{2}{3} = (40 – 4) + (frac{2}{3} – frac{2}{3}) = 36 + 0 = 36})
Дробные части уменьшаемого и вычитаемого оказались равными, в итоге дробная часть оказалась равна нулю.
Пример №2.
Найдите значение выражения (mathbf{frac{21}{3} – 6frac{2}{3}}).
Решение:
Переведем (mathbf{6frac{2}{3}}) в неправильную дробь: (mathbf{6frac{2}{3} = frac{6 cdot 3 + 2}{3} = frac{20}{3}}).
Подставим в исходное выражение вместо смешанного числа (mathbf{6frac{2}{3}}) соответствующую ему неправильную дробь (mathbf{frac{20}{3}}).
Найдем разность двух неправильных дробей.
(mathbf{frac{21}{3} – color{blue}{6frac{2}{3}} = frac{21}{3} – color{blue}{frac{20}{3}} = frac{21 – 20}{3} = frac{1}{3}})
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Арифметические операции сложения и вычитания часто используют при решении различных задач.
При решении задач арифметическим или алгебраическим способом используют основные свойства математических операций, применяют известные правила упрощения и преобразования выражений.
Часто одну и ту же текстовую задачу можно решить разными способами, отличающимися друг от друга логикой рассуждения.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Попробуем решить составную текстовую задачу на сложение и вычитание смешанных чисел.
Задача.
За три дня собрали (mathbf{17frac{2}{3}}) кг ягод.
В первый день собрали (mathbf{5frac{1}{3}}).
Во второй день собрали на (mathbf{frac{8}{3}}) кг больше, чем в первый день.
Сколько килограммов ягод собрали в третий день?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
1. Решим данную задачу арифметическим способом (составлением выражения).
Запишем кратко условие задачи.
Собрали в первый день: (mathbf{5frac{1}{3}}) кг.
Собрали во второй день: (mathbf{5frac{1}{3} + frac{8}{3}}) кг.
Всего ягод собрали за три дня: (mathbf{17frac{2}{3}}) кг.
Собрали ягод на третий день- неизвестно.
Чтобы найти сколько ягод собрали на третий день необходимо из общего количества ягод, собранных за три дня, вычесть ягоды, собранные в первый и во второй день.
Составим выражение.
(mathbf{17frac{2}{3} – 5frac{1}{3} – (5frac{1}{3} + frac{8}{3})})
Найдем значение полученного выражения.
Данное выражение содержатся сразу несколько арифметических операций и скобки.
Определим порядок действий в данном выражении, используя правила, которые определяют порядок выполнения действий в математических выражениях.
1) Это выражение содержит скобки, поэтому выполним сначала действия в них.
Для этого найдем сумму смешанного числа и неправильной дроби.
Сложение смешанного числа и неправильной дроби можно свести к сумме двух смешанных чисел (из неправильной дроби необходимо выделить целую часть и выполнить сложение двух смешанных чисел).
Переведем неправильную дробь (mathbf{frac{8}{3}}) в смешанное число, разделив с остатком числитель на знаменатель дроби: 8 ÷ 3 = 2 (ост. 2), получаем (mathbf{frac{8}{3} = 2frac{2}{3}}).
(mathbf{5frac{1}{3} + color{blue}{frac{8}{3}} = 5frac{1}{3} + color{blue}{2frac{2}{3}} = color{purple}{5} + color{blue}{frac{1}{3}} + color{purple}{2} + color{blue}{frac{2}{3}} = (5 + 2) + (frac{1}{3} + frac{2}{3}) = 7 + frac{3}{3} = 7 + 1 = 8})
Так как оставшиеся за скобками действия- это действия первой ступени, то они выполняются по порядку слева направо.
2) Найдем разность смешанных чисел (mathbf{17frac{2}{3} – 5frac{1}{3}}).
Чтобы найти разность двух смешанных чисел, необходимо выполнить вычитание целых частей смешанных чисел, затем выполнить вычитание дробных частей этих чисел и сложить полученные результаты.
(mathbf{17frac{2}{3} – 5frac{1}{3} = (color{orange}{17} + color{green}{frac{2}{3}}) – (color{orange}{5} + color{green}{frac{1}{3}}) = (color{orange}{17} – color{orange}{5}) + (color{green}{frac{2}{3}} – color{green}{frac{1}{3}}) = 12 + frac{1}{3} = 12frac{1}{3}})
3) Найдем разность значений, полученных во втором и первом действии, т.е. из смешанного числа (mathbf{12frac{1}{3}}) вычтем натуральное число 8.
Чтобы вычесть из смешанного числа натуральное число, необходимо вычесть из целой части смешанного числа натуральное число, оставив при этом дробную часть без изменений.
(mathbf{12frac{1}{3} – 8 = color{orange}{12} + frac{1}{3} – color{orange}{8} = (color{orange}{12} – color{orange}{8}) + frac{1}{3} = 4 + frac{1}{3} = 4frac{1}{3}}) (кг) ягод собрали на третий день.
Ответ: (mathbf{4frac{1}{3}}) (кг).
Эту же задачу можно решить арифметическим способом, но по действиям.
Запишем кратко условие задачи.
Собрали в первый день: (mathbf{5frac{1}{3}}) кг.
Собрали во второй день: (mathbf{5frac{1}{3} + frac{8}{3}}) кг.
Всего ягод собрали за три дня: (mathbf{17frac{2}{3}}) кг.
Собрали ягод в третий день- неизвестно.
В таком случае решение данной задачи будет состоять из следующих этапов:
- первым делом найдем сколько ягод, собрали во второй день.
- далее, сложив полученный результат с ягодами, которые были собраны в первый день, найдем какое количество ягод собрали за первый и второй день.
- затем полученную сумму вычтем из общего количества ягод, собранных за три дня, в итоге получим сколько килограммов ягод, собрали за третий день.
1) (mathbf{5frac{1}{3} + color{blue}{frac{8}{3}} = 5frac{1}{3} + color{blue}{2frac{2}{3}} = color{purple}{5} + color{blue}{frac{1}{3}} + color{purple}{2} + color{blue}{frac{2}{3}} = (5 + 2) + (frac{1}{3} + frac{2}{3}) = 7 + frac{3}{3} = 7 + 1 = 8}) (кг) ягод собрали во второй день.
2) (mathbf{5frac{1}{3} + 8 = 5 + frac{1}{3} + 8 = (color{blue}{5} + color{blue}{8}) + frac{1}{3} = 13 + frac{1}{3} = 13frac{1}{3}}) (кг) ягод собрали за первый и второй день.
3) (mathbf{17frac{2}{3} – 13frac{1}{3} = (color{orange}{17} + color{green}{frac{2}{3}}) – (color{orange}{13} + color{green}{frac{1}{3}}) = (color{orange}{17} – color{orange}{13}) + (color{green}{frac{2}{3}} – color{green}{frac{1}{3}}) = 4frac{1}{3}}) (кг) ягод собрали на третий день.
Ответ: (mathbf{4frac{1}{3}}) (кг).
2. Решим задачу алгебраическим способом.
Кратко запишем условие задачи.
Собрали в первый день: (mathbf{5frac{1}{3}}) кг ягод.
Собрали во второй день: (mathbf{5frac{1}{3} + frac{8}{3}}) кг ягод.
Пусть х (кг) ягод собрали на третий день.
Зная, что всего собрали за три дня (mathbf{17frac{2}{3}}) кг ягод.
Составим уравнение.
(mathbf{5frac{1}{3} + (5frac{1}{3} + frac{8}{3}) + x = 17frac{2}{3}})
Упростим данное уравнение.
Выполним действие в скобках, т.е. найдем сумму смешанного числа (mathbf{5frac{1}{3}}) и неправильной дроби (mathbf{frac{8}{3}}), полученный результат сложим с первым слагаемым (mathbf{5frac{1}{3}}) (эти действия мы уже выполняли, решая задачу арифметическим способом).
(mathbf{5frac{1}{3} + frac{8}{3} = 5frac{1}{3} + 2frac{2}{3} = (5 + 2) + (frac{1}{3} + frac{2}{3}) = 7 + frac{3}{3} = 7 + 1 = 8})
(mathbf{5frac{1}{3} + 8 = 5 + frac{1}{3} + 8 = (5 + 8) + frac{1}{3} = 13 + frac{1}{3} = 13frac{1}{3}})
Получается, что выражение (mathbf{5frac{1}{3} + (5frac{1}{3} + frac{8}{3})}) тождественноравно выражению (mathbf{13frac{1}{3}}).
Подставим в исходное уравнение вместо суммы (mathbf{5frac{1}{3} + (5frac{1}{3} + frac{8}{3})}) смешанное число (mathbf{13frac{1}{3}}).
Получим простое уравнение с неизвестным слагаемым:
(mathbf{13frac{1}{3} + x = 17frac{2}{3}})
Чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо вычесть из суммы известное слагаемое.
(mathbf{13frac{1}{3} + x = 17frac{2}{3}})
(mathbf{x = 17frac{2}{3} – 13frac{1}{3}})
(mathbf{x = (17 + frac{2}{3}) – (13 + frac{1}{3})})
(mathbf{x = (17 – 13) + (frac{2}{3} – frac{1}{3})})
(mathbf{x = 4 + frac{1}{3}})
(mathbf{x = 4frac{1}{3}}) (кг) ягод собрали на третий день.
Ответ: (mathbf{4frac{1}{3}}) (кг).
Все три варианта решения задачи равноправны, дают одинаковый результат.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
