Как найти значение скорости в момент времени - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Загрузить PDF

Скорость — это быстрота перемещения объекта в заданном направлении. ^[1] В общих целях нахождение скорости объекта (v) — простая задача: нужно разделить перемещение (s) в течение определенного времени (s) на это время (t), то есть воспользоваться формулой v = s/t. Однако таким способом получают среднюю скорость тела. Используя некоторые вычисления, можно найти скорость тела в любой точке пути. Такая скорость называется мгновенной скоростью и вычисляется по формуле v = (ds)/(dt), то есть представляет собой производную от формулы для вычисления средней скорости тела.^[2]

1
Начните с уравнения. Для вычисления мгновенной скорости необходимо знать уравнение, описывающее перемещение тела (его позицию в определенный момент времени),^[3] то есть такое уравнение, на одной стороне которого находится s (перемещение тела), а на другой стороне — члены с переменной t (время).^[4] Например:

s = -1.5t² + 10t + 4
- В этом уравнении:
  
  Перемещение = s. Перемещение — пройденный объектом путь. Например, если тело переместилось на 10 м вперед и на 7 м назад, то общее перемещение тела равно 10 – 7 = 3 м (а на 10 + 7 = 17 м).
  
  Время = t. Обычно измеряется в секундах.
2
Вычислите производную уравнения. Чтобы найти мгновенную скорость тела, чьи перемещения описываются приведенным выше уравнением, нужно вычислить производную этого уравнения. Производная — это уравнение, позволяющее вычислить наклон графика в любой точке (в любой момент времени). Чтобы найти производную, продифференцируйте функцию следующим образом: если y = a*xⁿ, то производная = a*n*x^n-1. Это правило применяется к каждому члену многочлена.
- Другими словами, производная каждого члена с переменной t равна произведению множителя (стоящему перед переменной) и степени переменной, умноженному на переменную в степени, равную исходной степени минус 1. Свободный член (член без переменной, то есть число) исчезает, потому что умножается на 0. В нашем примере:
  
  s = -1.5t² + 10t + 4
  (2)-1.5t^(2-1) + (1)10t^{1 – 1} + (0)4t⁰
  -3t¹ + 10t⁰
  -3t + 10
3
Замените “s” на “ds/dt”, чтобы показать, что новое уравнение — это производная от исходного уравнения (то есть производная s от t). Производная — это наклон графика в определенной точке (в определенный момент времени). Например, чтобы найти наклон линии, описываемой функцией s = -1.5t² + 10t + 4 при t = 5, просто подставьте 5 в уравнение производной.
- В нашем примере уравнение производной должно выглядеть следующим образом:
  
  ds/dt = -3t + 10
4
В уравнение производной подставьте соответствующее значение t, чтобы найти мгновенную скорость в определенный момент времени.^[5] Например, если вы хотите найти мгновенную скорость при t = 5, просто подставьте 5 (вместо t) в уравнение производной ds/dt = -3 + 10. Затем решите уравнение:

ds/dt = -3t + 10
ds/dt = -3(5) + 10
ds/dt = -15 + 10 = -5 м/с
- Обратите внимание на единицу измерения мгновенной скорости: м/с. Так как нам дано значение перемещения в метрах, а время — в секундах, и скорость равна отношению перемещения ко времени, то единица измерения м/с — правильная.
Реклама

1
Постройте график перемещения тела. В предыдущей главе вы вычисляли мгновенную скорость по формуле (уравнению производной, позволяющему найти наклон графика в определенной точке).^[6] Построив график перемещения тела, вы можете найти его наклон в любой точке, а следовательно определить мгновенную скорость в определенный момент времени.
- По оси Y откладывайте перемещение, а по оси X — время. Координаты точек (x,у) получите через подстановку различных значений t в исходное уравнение перемещение и вычисления соответствующих значений s.
- График может опускаться ниже оси X. Если график перемещения тела опускается ниже оси X, то это значит, что тело движется в обратном направлении от точки начала движения. Как правило, график не распространяется за ось Y (отрицательные значения x) — мы не измеряем скорости объектов, движущихся назад во времени!
2
Выберите на графике (кривой) точку P и близкую к ней точку Q. Чтобы найти наклон графика в точке P, используем понятие предела. Предел — состояние, при котором величина секущей, проведенной через 2 точки P и Q, лежащих на кривой, стремится к нулю.
- Например, рассмотрим точки P(1,3) и Q(4,7) и вычислим мгновенную скорость в точке P.
3

Найдите наклон отрезка PQ. Наклон отрезка PQ равен отношению разницы значений координат «у» точек P и Q к разнице значений координат «х» точек P и Q. Другими словами, H = (y_Q – y_P)/(x_Q – x_P), где H — наклон отрезка PQ. В нашем примере наклон отрезка PQ равен:

H = (y_Q – y_P)/(x_Q – x_P)
H = (7 – 3)/(4 – 1)
H = (4)/(3) = 1.33
4

Повторите процесс несколько раз, приближая точку Q к точке P. Чем меньше расстояние между двумя точками, тем ближе значение наклона полученных отрезков к наклону графика в точке P. В нашем примере проделаем вычисления для точки Q с координатами (2,4.8), (1.5,3.95) и (1.25,3.49) (координаты точки P остаются прежними):

Q = (2,4.8): H = (4.8 – 3)/(2 – 1)
H = (1.8)/(1) = 1.8

Q = (1.5,3.95): H = (3.95 – 3)/(1.5 – 1)
H = (.95)/(.5) = 1.9

Q = (1.25,3.49): H = (3.49 – 3)/(1.25 – 1)
H = (.49)/(.25) = 1.96
5
Чем меньше расстояние между точками P и Q, тем ближе значение H к наклону графика в точке P При предельно малом расстоянии между точками P и Q, значение H будет равно наклону графика в точке P Так как мы не можем измерить или вычислить предельно малое расстояние между двумя точками, графический способ дает оценочное значение наклона графика в точке Р.
- В нашем примере при приближении Q к P мы получили следующие значения H: 1.8; 1.9 и 1.96. Так как эти числа стремятся к 2, то можно сказать, что наклон графика в точке P равен 2.
- Помните, что наклон графика в данной точке равен производной функции (по которой построен этот график) в этой точке. График отображает перемещение тела с течением времени и, как отмечалось в предыдущем разделе, мгновенная скорость тела равна производной от уравнения перемещения этого тела. Таким образом, можно заявить, что при t = 2 мгновенная скорость равна 2 м/с (это оценочное значение).
Реклама

1
Вычислите мгновенную скорость при t = 4, если перемещение тела описывается уравнением s = 5t³ – 3t² + 2t + 9. Этот пример похож на задачу из первого раздела с той лишь разницей, что здесь дано уравнение третьего порядка (а не второго).
- Сначала вычислим производную этого уравнения:
  
  s = 5t³ – 3t² + 2t + 9
  s = (3)5t^{(3 – 1)} – (2)3t^{(2 – 1)} + (1)2t^{(1 – 1) + (0)9t^{0 – 1}
  15t⁽²⁾ – 6t⁽¹⁾ + 2t^{(0)
  15t⁽²⁾ – 6t + 2}}
- Теперь подставим в уравнение производной значение t = 4:
  
  s = 15t⁽²⁾ – 6t + 2
  15(4)⁽²⁾ – 6(4) + 2
  15(16) – 6(4) + 2
  240 – 24 + 2 = 22 м/с
2
Оценим значение мгновенной скорости в точке с координатами (1,3) на графике функции s = 4t² – t. В этом случае точка P имеет координаты (1,3) и необходимо найти несколько координат точки Q, лежащий близко к точке P. Затем вычислим H и найдем оценочные значения мгновенной скорости.
- Сначала найдем координаты Q при t = 2, 1.5, 1.1 и 1.01.
  
  s = 4t² – t
  
  t = 2: s = 4(2)² – (2)
  4(4) – 2 = 16 – 2 = 14, so Q = (2,14)
  
  t = 1.5: s = 4(1.5)² – (1.5)
  4(2.25) – 1.5 = 9 – 1.5 = 7.5, so Q = (1.5,7.5)
  
  t = 1.1: s = 4(1.1)² – (1.1)
  4(1.21) – 1.1 = 4.84 – 1.1 = 3.74, so Q = (1.1,3.74)
  
  t = 1.01: s = 4(1.01)² – (1.01)
  4(1.0201) – 1.01 = 4.0804 – 1.01 = 3.0704, so Q = (1.01,3.0704)
- Теперь вычислим H:
  
  Q = (2,14): H = (14 – 3)/(2 – 1)
  H = (11)/(1) = 11
  
  Q = (1.5,7.5): H = (7.5 – 3)/(1.5 – 1)
  H = (4.5)/(.5) = 9
  
  Q = (1.1,3.74): H = (3.74 – 3)/(1.1 – 1)
  H = (.74)/(.1) = 7.3
  
  Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 – 3)/(1.01 – 1)
  H = (.0704)/(.01) = 7.04
- Так как полученные значения H стремятся к 7, то можно сказать, что мгновенная скорость тела в точке (1,3) равна 7 м/с (оценочное значение).
Реклама

Советы

Чтобы найти ускорение (изменение скорости с течением времени), используйте метод из первой части, чтобы получить производную функции перемещения. Затем возьмите еще раз производную от полученной производной. Это даст вам уравнение для нахождения ускорения в данный момент времени — все, что вам нужно сделать, это подставить значение для времени.
Уравнение, описывающее зависимость у (перемещение) от x (время), может быть очень простым, например: у = 6x + 3. В этом случае наклон является постоянным и не надо брать производную, чтобы его найти. Согласно теории линейных графиков, их наклон равен коэффициенту при переменной x, то есть в нашем примере =6.
Перемещение подобно расстоянию, но оно имеет определенное направление, что делает его векторной величиной. Перемещение может быть отрицательным, в то время как расстояние будет только положительным.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 83 377 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Чтобы решать подобные задачи, следует хорошо представлять себе, что такое скорость, и что такое ускорение. Практически любой процесс можно представить в виде уравнения, закона и тогда первая производная от этого уравнения будет показывать нам скорость течения процесса. Например скорость движения материальной точки, или скорость протекания химической реакции. А вот вторая производная от этого уравнения, закона будет показывать ускорение, то есть изменение скорости течения процесса.

Итак, чтобы найти скорость материальной точки в определенный момент времени мы должны взять производную от уравнения пути по времени, и подставить в полученный результат нужное время – 5 секунд.

Чтобы найти ускорение материальной точки, мы берем вторую производную от пути по времени, или первую производную от скорости по времени, что одно и тоже.

Решение будет выглядеть так:

x(t)=-1/3t^3+2t^2+5t.

х'(t)= -t^2 + 4t + 5; x'(5)=-25 + 20 + 5 = 0; Через 5 секунд материальная точка остановится.

x”(t)=-2t+4; x”(5)=-10+4=-6. Ускорение равно -6, то есть точка тормозит.

Источник

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №19. Решение задач с помощью производной.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

механический смысл первой производной;
механический смысл второй производных;
скорость и ускорение.

Глоссарий по теме

Производная y’(x) функции y=f(x) – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём S и временем t при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением S=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени t нужно найти производную S’=f’(x) и подставить в неё соответствующее значение t, то есть v(t)=S’(t).

Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.

Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается fили

Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается или f”’(x). Производную n-го порядка обозначают f⁽ⁿ⁾ (x) или y⁽ⁿ⁾.

Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть

Первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение. (v= S’; a=v’)

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте вспомним механический смысл производной:

Производная y’(x) функции y=f(x) – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём S и временем t при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением S=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени t нужно найти производную S’=f’(x) и подставить в неё соответствующее значение t, то есть v(t)=S'(t).

Пример 1. Точка движется прямолинейно по закону (S выражается в метрах, t – в секундах). Найти скорость движения через 3 секунды после начала движения.

Решение:

скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени, то есть .

Подставив в уравнение скорости t=3 с, получим v(3)=32+4∙3-1= 20 (м/с).

Ответ: 20 м/c.

Пример 2. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за tс на угол

Найдите:

а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 6 с;

б) в какой момент времени маховик остановится?

Решение: а) Угловая скорость вращения маховика определяется по формуле ω=φ’. Тогда ω=(4t-0,2t²)=4-0,4t.

Подставляя t = 6 с, получим ω=4-0,4∙6=1,6 (рад/с).

б) В тот момент, когда маховик остановится, его скорость будет равна нулю (ω=0) . Поэтому 4-0,4t=0.. Отсюда t=10 c.

Ответ: угловая скорость маховика равна (рад/с); t=10 c.

Пример 3. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону S=3t²+2t-5. Найти кинетическую энергию тела через 3 с после начала движения.

Решение: найдём скорость движения тела в любой момент времени t.

v= S’=(3t²+2t-5)’=6t+2

Вычислим скорость тела в момент времени t=3. v(3)=6∙3+2=20 (м/с)..

Определим кинетическую энергию тела в момент времени t=3.

Ответ: Е=1200 Дж

Производная второго порядка. Производная n-го порядка.

Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается .

Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается y”’ или f”'(x) Производную n-го порядка обозначают f⁽ⁿ⁾ (x) или y⁽ⁿ⁾.

Примеры. Найдем производные четвёртого порядка для заданных функций:

1) f(x)= sin 2x

f'(x)=cos 2x∙(2x)’= 2cos 2x

f (x)=-2sin2x∙(2x)’=-4sin 2x

f”'(x)= -4 cos 2x∙(2x)= -8 cos 2x

f⁽⁴⁾(x)= 8 sin2x∙(2x)’= 16 sin 2x

2) f(x)=2^3x

f’(x)=3∙ 2^3x ∙ln2

f (x)= 9∙ 2^3x ∙ln²2

f”'(x)= 27∙ 2^3x ∙ln³2

f⁽⁴⁾(x)= 81∙ 2^3x ∙ln⁴2

Механический смысл второй производной.

Итак, первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение. (v= S’; a=v’)

Пример 4. Точка движется прямолинейно по закону S(t)= 3t²-3t+8. Найти скорость и ускорение точки в момент t=4 c.

Решение:

найдём скорость точки в любой момент времени t.

v=S’=(3t²-3t+8)’=6t-3.

Вычислим скорость в момент времени t=4 c.

v(4)=6∙4-3=21(м/с)

Найдём ускорение точки в любой момент времени t.

a= v’= (6t-3)’=6 и a(4)= 6 (м/с²) , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.

Ответ: v=21(м/с); a= v’= 6 (м/с²).

Пример 5. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону S(t)=t³-3t²+5. Найти силу, действующую на тело в момент времени t=4 c.

Решение: сила, действующая на тело, находится по формуле F=ma.

Найдём скорость движения точки в любой момент времени t.

v=S’=(t³-3t²+5)’=3t²-6t.

Тогда v(4)=3∙4²-6∙4=24 (м/с).

Найдём ускорение: a(t)=v’=(3t²-6t)’=6t-6.

Тогда a(4)= 6∙4-6= 18 (м/с²).

F=ma=3∙18= 54 Н

Ответ: F= 54 Н

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Напишите производную третьего порядка для функции:

f(x)= 3cos4x-5x³+3x²-8

_____________________

Решим данную задачу:

f’’’(x)=( 3cos4x-5x³+3x²-8)’’’=(((3cos4x-5x³+3x²-8)’)’)’=((-12sin4x-15x²+6x)’)’=(-48cos4x-30x)’=192sin4x-30.

Ответ: 192sin4x-30

№ 2. Тип задания: выделение цветом

Точка движется прямолинейно по закону S(t)= 3t²+2t-7. Найти скорость и ускорение точки в момент t=6 c.

v=38 м/с; a=6 м/с²
v=38 м/с; a=5 м/с²
v=32 м/с; a=6 м/с²
v=32 м/с; a=5 м/с²

Решим данную задачу:

Воспользуемся механическим смыслом второй производной:

v= S’(t)=( 3t²+2t-7)’=6t+2.

Вычислим скорость в момент времени t=6 c.

v(6)=6∙6+2=38 (м/с)

Найдём ускорение точки в любой момент времени t.

a= v’= (6t+2)’=6 и a(6)= 6 (м/с²) , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.

Ответ: v=38(м/с); a= v’= 6 (м/с²).

Верный ответ:

v=38 м/с; a=6 м/с²
v=38 м/с; a=5 м/с²
v=32 м/с; a=6 м/с²
v=32 м/с; a=5 м/с²

Источник

В данной статьи изложены мысли, которые возникали при решении задач с сайта “Решу ЕГЭ” в разделе – https://phys-ege.sdamgia.ru/test?theme=204. Рисунки взяты оттуда же.

1. Общий подход

Анализ и использование данного графика базируется на формуле перемещения тела S, м:

Формула 1

Как видно из формулы площадь под графиком равна перемещению тела. Например, тело с 1 по 2 секунду на графике, представленном на рис. 1 прошло S = V * t = 2м/с * (2с – 1с) = 2м/с *1с = 2м

Рис. 1. График зависимости скорости от времени

2. Чуть посложнее

Если мы захотим найти перемещение тела с начала движения t = 0c до 4-ой секунды движения тела согласно графику на рис. 2, то нам необходимо найти сумму площадей трех геометрических фигур: с 0с по 1с – треугольник, с 1с по 2с прямоугольник, со 2с по 4с – трапеция.

Рис. 2. Находим перемещение как сумму площадей геометрических фигур

S треугольника = (1/2) * длину высоты треугольника * длину сторону треугольника, к которой проведена высота =
=(1/2) * 2м/с * (1с – 0с) = 1/2 * 2м/с * 1с = 1м
S прямоугольника мы находили в начале статьи = 2м
S трапеции = (1/2) * сумму оснований трапеции * высоту трапеции =
=(1/2) * (2м/с + 6м/с) * (4с – 2с) = (1/2) * 8м/с * 2с = 8м
Итого S = 1м + 2м + 8м = 11м

3. А если скорость равна нулю?

Не стоит пугаться нулевых скоростей на каком-либо интервале времени. Например с 3с по 5с на графике, представленном на рис. 3 перемещение тела равно 0м, т. к. площадь фигуры с 3с по 5с равна 0.

Рис. 3. Нулевое перемещение

4. А если скорость ушла “в минус”?

Рис. 4. Отрицательная скорость

А вот отрицательная скорость может вызвать некоторые затруднения. Здесь надо очень внимательно читать задание и не перепутать очень похожие физические величины: путь и перемещение. Путь – величина скалярная и поэтому для ее нахождения с помощью графика на рис. 4 надо зеркально отобразить отрицательные участки скорости и сложить площади фигур (см. Рис. 5)

Рис. 5. Зеркальное отображение отрицательных участков

Перемещение – величина векторная и поэтому при определении этой величины необходимо учитывать знак площади. Например, если нужно найти перемещение тела с 0с по 10с (см. рис. 5), то нужно площадь треугольника с 0с по 4с сложить с площадью треугольника с 8с по 10с и из полученного результата вычесть площадь треугольника с 4с по 8с.

5. Когда можно и не считать!

Рис. 6. Анализ графиков

Иногда требуется визуальный анализ графиков. Например, необходимо определить какой автомобиль из 4-х с 0с до 15с проехал наибольшее расстояние?
Рассматривая площади геометрических фигур под графиками (см. рис. 6) видим, что площадь больше у графика (и машины) №3.

6. Переходим к ускорению

До сих пор мы на линейных графиках с координатами скорости и времени (см. рис. 7) видели скорость, время и перемещение (или путь).

Рис. 7. Ищем на графике ускорение

А тут ещё прячется ускорение. Давайте попробуем его найти. Вспоминаем формулу равноускоренного движения

Формула 2 . Формула равноускоренного движения

Рассматривая график на рис. 7 определим Vo при t = 0с => Vo = 2м/с.
А теперь возьмём на графике точку в момент времени t = 1c и определим по графику скорость в этот момент времени => V = 4м/с.
Подставляем найденные значения в формулу 2 =>
4м/с = 2м/с + a * 1c => а = (4м/с – 2м/с) / 1с = 2м/с2

Возвращаемся к графику (см. рис. 8)

Рис. 8. Находим уравнение графика

Теперь мы можем сказать, что на рис. 8 представлен график линейного уравнения V = Vo + a*t = 2 + 2*t. Эти знания расширяют область использования графика на рис. 8. Например мы можем сказать, что при
t = 10c скорость будет равна V = 2м/с + 2м/с2*10с = 22м/с

7. Ищем ускорение на произвольном прямолинейном участке графика

Нас могут попросить найти ускорение тела на произвольном прямолинейном участке графика. Например с 6с по 10с на графике, представленном на рис. 9.

Рис. 9. Находим ускорение на произвольном прямолинейном участке графика

Для этого получим формулу для ускорения, усложнив формулу 2 заменив t на (t – to):

Формула 3. Формула для определения ускорения

Возвращаемся к поиску ускорения:
а = (5м/с – (-5м/с))/(10с – 6с) = 10м/с / 4с = 2.5м/с2

8. Ищем координаты тела

Зная начальные координаты тела, начальную скорость, ускорение тела и время перемещения можем найти координаты тела в любой момент времен (формула 4)

Формула 4. Уравнение для координаты тела

9. Ищем скорость в пространстве

Рис. 10. Скорость в пространстве

Мы можем знать значение проекций скорости на оси: х, y и z. Нас могут попросить найти модуль скорости. Ищем по формуле 5:

Формула 5. Формула для модуля скорости

Для понимания формулы 5 можно представить модуль скорости диагональю параллелепипеда, а проекции скорости сторонами параллелепипеда (см. рис. 11)

рис. 11 Расшифровка формулы 4

Заключение

Пока, это все мысли, которые появлялись во время решения задач в разделе сайта “Решу ЕГЭ” по адресу https://phys-ege.sdamgia.ru/test?theme=204. Пишите в комментариях, если что-то напрашивается добавить.

Автор с благодарностью примет любые пожертвования на развитие канала “От сложного к простому” https://money.yandex.ru/to/4100170126360.

Источник

7. Взаимосвязь функции и ее производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Связь производной со скоростью и ускорением тела

Если (x=x(t)) – уравнение, задающее движение точки, зависящее от времени, то:

(blacktriangleright) производная (x'(t)) задает скорость в момент времени (t);

(blacktriangleright) вторая производная (производная от производной) (x”(t)) задает ускорение в момент времени (t).

Задание
1

#740

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 7t^2 – 12t), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 1) с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).

(x'(t) = 14t – 12), тогда в момент (t = 1) с:

(x'(1) = 14cdot 1 – 12 = 2) м/с.

Ответ: 2

Задание
2

#741

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 2t^2 – 8t), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 2) с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).

(x'(t) = 4t – 8), тогда в момент (t = 2) с:

(x'(2) = 4cdot 2 – 8 = 0) м/с.

Ответ: 0

Задание
3

#742

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = t^2 + 2t + 3), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 1) с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).

(x'(t) = 2t + 2), тогда в момент (t = 1) с:

(x'(1) = 2cdot 1 + 2 = 4) м/с.

Ответ: 4

Задание
4

#743

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 2t^3 – t^2 + 2t + 3), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 2) с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).

(x'(t) = 6t^2 – 2t + 2), тогда в момент (t = 2) с:

(x'(2) = 6cdot 2^2 – 2cdot 2 + 2 = 22) м/с.

Ответ: 22

Задание
5

#744

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 7t^4 + 6t^3 + 5t^2 + 4t + 2016), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 0,5) с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).

(x'(t) = 28t^3 + 18t^2 + 10t + 4), тогда в момент (t = 0,5) с:

(x'(0,5) = 28cdot dfrac{1}{8} + 18cdot dfrac{1}{4} + 10cdot dfrac{1}{2} + 4 = 3,5 + 4,5 + 5 + 4 = 17) м/с.

Ответ: 17

Задание
6

#745

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 3t^2 + 6t + 2), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени её скорость составляла (15) м/с? Ответ дайте в секундах.

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).

(x'(t) = 6t + 6), тогда для момента (t), когда скорость материальной точки была равна (15) м/с, выполнено (6t + 6 = 15), откуда (t = 1,5) с.

Ответ: 1,5

Задание
7

#746

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = t^2 + 3t – 1), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени её скорость составляла (11) м/с? Ответ дайте в секундах.

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).

(x'(t) = 2t + 3), тогда для момента (t), когда скорость материальной точки была равна (11) м/с, выполнено (2t + 3 = 11), откуда (t = 4) с.

Ответ: 4

УСТАЛ? Просто отдохни

Источник

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

1. Общий подход

2. Чуть посложнее

3. А если скорость равна нулю?

4. А если скорость ушла “в минус”?

5. Когда можно и не считать!

6. Переходим к ускорению

7. Ищем ускорение на произвольном прямолинейном участке графика

8. Ищем координаты тела

9. Ищем скорость в пространстве

Заключение

Связь производной со скоростью и ускорением тела

Вам также может понравиться

Как найти максимум прибыли по функции

Как найти грифона в арк мобайл

Как найти бугры на реке

Добавить комментарий Отменить ответ