Смежные углы в геометрии
15 июня 2022
Два угла называются смежными, если у них общая вершина, общая сторона, а две других стороны образуют прямую.
В этом уроке:
- Что такое смежные углы
- Основное свойство смежных углов
- Биссектрисы смежных углов
- Тренировочные задачи
Это довольно простая, но очень важная тема.
1. Что такое смежные углы
Возьмём прямую $AB$ и отметим на ней точку $M$. Получим развёрнутый угол $AMB:$
Проведём из точки $M$ луч $MN$, не совпадающий с лучами $MA$ и $MB$.
Получим два новых угла: $angle AMN$ и $angle BMN$. Эти углы и называются смежными.
Определение. Два угла называются смежными, если у них одна общая сторона, а две других образуют прямую (или, что то же самое, являются дополнительными лучами).
Обратите внимание: чтобы углы стали смежными, им недостаточно просто иметь общую сторону. Вот эти углы — не смежные, хотя они и имеют общую сторону:
А вот дальше — смежные, хотя и расположены немного непривычно:
Часто смежные углы возникают в точке пересечения прямых. Например, при пересечении двух прямых
образуется четыре пары смежных углов: $angle ASM$ и $angle ASN$; $angle BSM$ и $angle MSN$; $angle ASN$ и $angle BSN$; наконец, $angle ASM$ и $angle BSM$.
2. Основное свойство внешних углов
У смежных углов есть замечательное свойство, которое будет преследовать нас на протяжении всей геометрии, до конца 11 класса.
Теорема. Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство. Рассмотрим смежные углы $AMN$ и $BMN$ с общей стороной $MN$:
Поскольку луч $MN$ делит угол $AMB$ на смежные углы $AMN$ и $BMN$, по основному свойству углов
[angle AMB=angle AMN+angle BMN]
Но угол $AMB$ — развёрнутый, поэтому
[angle AMN+angle BMN={180}^circ ]
Другими словами, если один угол равен $alpha $, то смежный с ним равен ${180}^circ -alpha $. Или если известно, что углы $alpha $ и $beta $ — смежные, то $alpha +beta ={180}^circ $.
Казалось бы, элементарные рассуждения, но их вполне достаточно, чтобы решать большой класс задач.
Задача 1. Найдите угол, смежный с углом $ABC$, если:
- $angle ABC={36}^circ $.
- $angle ABC={121}^circ $.
Решение
1) Обозначим смежный угол $DBC=x$. Он будет тупым:
Тогда $x=180-36=144$.
2) Обозначим смежный угол $DBC=x$. Он будет острым:
Тогда $x=180-121=59$.
Немного усложним задачу.
Задача 2. Найдите смежные углы, если:
- один из них на 68° больше другого.
- один из них в 5 раз больше другого.
- их градусные меры относятся как 5 : 4.
Решение.
1) Пусть один из углов равен $x$. Тогда другой (очевидно, больший) будет равен $x+68$.
Поскольку углы смежные, их сумма равна 180 градусов:
[begin{align}2x+68&=180 \ 2x&=112 \ x&=56 end{align}]
Итак, один угол равен 56 градусов. Тогда другой равен $x+68=124$ градуса.
2) Пусть меньший угол равен $x$. Тогда смежный с ним равен $5x$.
Сумма смежных углов равна 180 градусов, поэтому
[begin{align}5x+x&=180 \ 6x&=180 \ x&=30 end{align}]
Мы нашли меньший угол — он равен 30 градусов. Тогда второй угол равен $5x=150$ градусов.
3) В задачах с отношениями величинам удобно обозначать их кратными некоторой переменной. Например, если углы относятся как 5 к 4, то пусть величина одного угла будет $5x$, а другого — $4x$.
Сумма смежных углов вновь равна 180 градусов:
[begin{align}5x+4x&=180 \ 9x&=180 \ x&=20 end{align}]
Поэтому сами углы равны $4x=80$ и $5x=100$ градусов.
3. Биссектрисы смежных углов
Вновь рассмотрим смежные углы $AMN$ и $BMN$:
Построим биссектрису $MC$ угла $AMN$ и биссектрису $MD$ угла $BMN$:
Если $angle AMC=x$ и $angle BMD=y$, то $angle AMN=2x$ и $angle BMN=2y$. Это смежные углы, поэтому
[begin{align}2x+2y&={180}^circ \ x+y&={90}^circ end{align}]
Получается, что биссектрисы смежных углов всегда пересекаются под углом 90°. Этот факт известен далеко не всем ученикам. Хотя он вполне может встретиться, например, на ЕГЭ.
Задача 3. Углы $ABC$ и $MBC$ смежные, $angle ABC={70}^circ $. Луч $BD$ принадлежит углу $ABC$, причём $angle ABD={40}^circ $. Найдите угол между биссектрисами углов $CBD$ и $MBC$.
Решение. Изобразим все углы на рисунке:
Видим, что углы $ABD$ и $MBD$ — смежные. Следовательно
[begin{align}angle MBD&={180}^circ -angle ABD= \ &={180}^circ -{40}^circ ={140}^circ end{align}]
Синим цветом отмечены биссектрисы углов $CBD$ и $MBC$. Обозначим величину углов переменными: $angle CBD=2x$, $angle MBD=2y$. Но $angle MBD=angle MBC+angle CBD$, поэтому
[begin{align}2x+2y&=140 \ x+y&=70 end{align}]
Это и есть искомый угол между биссектрисами. Он равен 70 градусов.
Задача 4. Дан треугольник $ABC$. Лучи $AM$ и $CN$ лежат на одной прямой со стороной $AB$ (см. рисунок). Известно, что $angle MAC+angle ABC={180}^circ $. Докажите, что $angle MAC=angle NBC$.
Пусть $angle ABC=x$. Тогда из условия следует, что $angle MAC={180}^circ -x$.
С другой стороны, углы $ABC$ и $NBC$ смежные, поэтому $angle NBC={180}^circ -x$.
Получается, что углы $MAC$ и $NBC$ равны одному и тому же выражению. Следовательно, $angle MAC=angle NBC$, что и требовалось доказать.
Смотрите также:
- Что такое вертикальные углы
- Перпендикулярные прямые — определение и свойства
- Правила комбинаторики в задаче B6
- Метод координат в пространстве
- Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
- Задача B4 про три дороги — стандартная задача на движение
Смежные углы. Свойства смежных углов
Определение 1. Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а другие стороны являются продолжениями друг друга.
На Рис.1 углы AOB и BOC смежные, так как сторона OB общая для этих углов, а стороны OA и OC являются продолжениями друг друга. Поскольку угол AOC является развернутым углом, то сумма смежных углов равна 180°:
Свойства смежных углов
1. Сумма смежных углов равна 180°
2. Если оба смежных угла равны между собой, то они являются прямыми.
3. В паре смежных углов всегда один острый, а другой тупой, или оба угла прямые.
4. Синусы смежных углов равны.
5. Косинусы, тангенсы и котангенсы смежгых углов равны, но имеют противоположный знак.
Справедливость пунктов 2 и 3 очевидны и следуют из (1).
Доказательство пункта 4. Обозначим через α один из смежных углов. Тогда величина другого угла будет равна 180°−α. Но (см. статью Формулы приведения тригонометрических функций онлайн)
То есть синусы смежных углов равны.
Доказательство пункта 5. Обозначим через α один из смежных углов. Тогда величина другого угла будет равна 180°−α. Но
То есть косинусы, тангенсы и котангенсы смежных углов равны, но имеют противоположный знак.
Углы на плоскости можно объединять в типы по градусам (например, тип «острый угол» $0^circleq{x}<90^circ$). Также в геометрии выделяются и виды углов, куда входят составные углы-фигуры. В следующих уроках текущего раздела вас ждет подробное изучение подобных фигур и их свойств. А открывать тему мы будем, давая определение смежных углов.
❓Мы разберем:
— какие углы называются смежными;
— свойства смежных углов;
— и узнаем, чему равняется сумма смежных углов.
Определение смежных углов
Построим на плоскости развернутый угол $angle{ABC}$ и проведем через вершину угла $B$ луч $BD$. Рассмотрим полученную в результате построений фигуру.
Для углов $angle{ABD}$ и $angle{DBC}$ сторона $BD$ является общей. При этом, как мы можем заметить, другие стороны данных углов являются дополнительными лучами. Если два угла имеют такую ориентацию на плоскости, они называются смежными.
Дадим определение смежных углов:
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными лучами.
Смежные углы и их свойства
Из свойств лучей нам известно, что вкупе дополнительные лучи образуют прямую. Таким образом, смежные углы — углы-соседи, «проживающие» на одной прямой. Эта геометрическая особенность подразумевает ряд интересных свойств, одно из которых — связь смежных с развернутыми углами.
Градусная мера смежных углов
Теорема о сумме смежных углов. Сумма смежных углов равняется $180^circ$.
Доказательство
Пусть $angle{ABD}$ и $angle{DBC}$ — произвольные смежные углы. Докажем, что сумма смежных углов равняется $180^circ$. Заметим, что луч $BD$ проходит между сторонами развернутого угла $angle{ABC}$. Градусная мера развернутого угла равняется $180^circ$.
По аксиоме $A_8$ мы помним, что градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. Значит:
$$angle{ABC}=angle{ABD}+angle{DBC}=180^circ$$
Градусная мера смежных углов в сумме составляет $180^circ$. Что и требовалось доказать.
Задача. Какова градусная мера смежных углов, если про смежные углы известно, что один их них в три раза больше другого?
Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла как $x$. Если больший угол больше меньшего в три раза, его градусную меру можно обозначить как $3x$. Сумма смежных углов составляет $180^circ$. Пользуясь данным свойством, составим следующее уравнение:
$$x+3x=180^circ$$
Откуда получаем значение меньшего угла $x=45^circ$. Больший угол по условию больше в три раза и, следовательно, будет равняться $135^circ$. Градусная мера смежных углов найдена и составляет $45^circ$ и $135^circ$.
Ответ: $45^circ$, $135^circ$.
Сумма смежных углов: следствие из теоремы
Поскольку градусная мера смежных углов в сумме строго определяется как $180^circ$, это позволяет сделать вывод о том, что если два угла равны, то равны будут и смежные с ними углы. В геометрии бездоказательно выводы приводить нельзя, так что оформим данное наблюдение в виде следствия из теоремы и докажем его.
Итак:
Следствие из теоремы о сумме смежных углов. Если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
Доказательство
Рассмотрим два равных угла — $angle{1}$ и $angle{2}$. Если углы равны, равны их градусные меры. Обозначим градусную меру углов как $x$ и запишем следующее:
$$begin{cases}angle{1}=x^circ\angle{2}=x^circend{cases}$$
Сумма смежных углов равняется $180^circ$. Тогда смежный угол с $angle{1}$ равен «$180^circ-x^circ$». То же самое заключаем про градусную меру угла, смежного с $angle{2}$: «$180^circ-x^circ$». У равных углов $angle{1}$ и $angle{2}$ равные смежные углы. Что и требовалось доказать.
Острые, тупые и прямые углы
Рассмотрим три возможные ситуации на предмет типов углов по градусам, которые могут встретиться в составе смежных.
Один из углов — острый. Если градусная мера одного угла $0^circleq{angle{alpha}}<90^circ$, то второй угол в паре смежных получается тупым (в границах $90^circ<x<180^circ$).
Один из углов — тупой. Известно, что один из углов в паре $90^circ<angle{alpha}<180^circ$. В таком случае второй, с ним смежный, будет иметь градусную меру $0^circleq{x}<90^circ$.
Один из углов — прямой. Если один из углов имеет градусную меру $90^circ$, то второй также равняется $90^circ$. Угол, смежный с прямым, тоже будет прямым.
Задача для самостоятельного решения
Не получается решить? Мы поможем: готовое решение задачи скрыто ниже. Можно, если что, подсмотреть. Только чуть-чуть!
Задача. Чему равен $angle{alpha}$, если $angle{ABE}=125^circ$ и $angle{DBC}=115^circ?$
Показать решение
Свернуть решение
Дано:
$angle{ABE}=125^circ$ $angle{DBC}=115^circ$
Найти:
$angle{alpha}$ — ?
Решение. Во-первых, найдем значения углов, смежных с $angle{ABE}$ и $angle{DBC}$. По теореме о сумме смежных углов находим следующие значения:
$$angle{EBC}=180^circ-angle{ABE}=55^circ\angle{ABD}=180^circ-angle{DBC}=65^circ$$
Развернутый угол $angle{ABC}$ состоит из суммы углов $angle{ABD}$, $angle{DBE}$ и $angle{EBC}$. Заметим, что $angle{DBE}$ и есть искомый по условию $angle{alpha}$. Градусная мера развернутого угла составляет $180^circ$, откуда получаем:
$$angle{ABC}=65^circ+angle{alpha}+55^circ=180^circ$$
Находим, что градусная мера $angle{alpha}=60^circ$.
Ответ: $60^circ$.
Смежные углы
Определение
Смежные углы — это два угла, у которых есть общая вершина и одна сторона, а две другие стороны являются продолжением друг друга и лежат на одной прямой.
Свойства и виды смежных углов в геометрии
- Так как две стороны смежных углов образуют прямую линию, то вместе они составляют развернутый угол. Его градусная мера составляет 180^circ. Следовательно — сумма смежных углов тоже равна (180^circ.)
- Если две прямые пересекаются, то они образуют две пары смежных углов: (angle1) и (angle2), (angle3) и (angle4), а также (angle1) и (angle3), ( angle2) и (angle4). При этом объединение пар, которые обозначены обозначениями 1 и 4, 2 и 3, представляют из себя вертикальные углы, а значит — они равны. Поэтому рассматривать можно только одну из пар смежных углов, другая окажется идентична по всем показателям.
- У смежных углов одинаковые синусы.
- Для косинусов и тангенсов тоже распространяется равенство, но их значения противоположны по знаку.
- Чтобы построить смежный угол уже заданному, требуется продлить одну из сторон существующего угла дальше вершины.
Примечание
В паре, если один угол тупой, то по правилу другой обязательно острый.
Если один из углов является прямым, то второй тоже прямой.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Как найти, чему равна сумма
Сумма смежных углов всегда составляет 180 градусов.
Отсюда следует формула:
(anglealpha+anglebeta=180^circ)
(anglealpha=180^circ-anglebeta)
(anglebeta=180^circ-anglealpha)
Примеры решения задач
Задача №1
Дано: (anglealpha) и (anglebeta) — смежные, (anglebeta=60^circ).
Найти: чему равен (anglealpha).
Решение
Так как углы смежные, значит:
(anglealpha+anglebeta=180^circ.)
(anglealpha=180^circ-anglebeta.)
(anglealpha=180^circ-60^circ=120^circ.)
Ответ: (;anglealpha=120^circ).
Задача №2
Дано: ( anglealpha) и (anglebeta) — смежные, (anglealpha) на (30^circ) больше, чем (anglebeta.)
Найти: чему равны (anglealpha) и (anglebeta.)
Решение
Допустим,( anglebeta=x), тогда (anglealpha=x+30^circ.)
Так как сумма смежных углов равна 180 градусов, то получаем уравнение, которое выглядит, как:
(x+x+30^circ=180^circ)
(2x=180^circ-30^circ)
(2x=150^circ)
(x=75^circ)
Значит, величина (anglebeta=75^circ.)
Чтобы найти (anglealpha), нужно выполнить стандартные вычисления согласно теореме о сумме:
(anglealpha=180^circ-anglebeta=180^circ-75^circ=105^circ.)
Ответ: (anglealpha=105^circ.)
Насколько полезной была для вас статья?
У этой статьи пока нет оценок.
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Поиск по содержимому
Как найти смежный угол
Плоским углом называют фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки. Эта точка называется вершиной угла, а лучи – его сторонами. Если один из лучей продолжить за его начальную точку, то есть сделать прямой линией, то его продолжение образует со вторым лучом еще один угол – он называется смежным. Так как стороны угла равнозначны и продолжить можно любую из них, у каждого угла есть по два смежных.
Инструкция
Если вам известна величина основного угла (α) в градусах, рассчитать градусную меру любого из пары смежных (α₁ и α₂) будет очень просто. Каждый из них дополняет основной угол до развернутого, то есть равного 180°, поэтому для их нахождения вычтите из этого числа известную величину основного угла α₁ = α₂ = 180°-α.
Величина исходного угла может быть приведена в радианах. Если и результат нужно получить в этих единицах, исходите из того, что развернутому углу соответствует количество радиан, равное числу Пи. Значит, формулу вычисления можно записать в таком виде: α₁ = α₂ = π-α.
Вместо градусной или радианной меры основного угла в условиях может быть дано соотношение величин основного и смежного углов. В этом случае составьте уравнение пропорции. Например, обозначьте через Y величину доли пропорции, относящуюся к основному углу, через X – относящуюся к смежному, а количество градусов, приходящееся на каждую единицу пропорции, обозначьте через k. Тогда общую формулу можно будет записать так: k*X+k*Y=180° или k*(X+Y)=180°. Выразите из нее общий множитель: k=180°/(X+Y). Затем рассчитайте величину смежного угла, умножив полученный коэффициент на долю этого угла в заданной пропорции: k*X = 180°/(X+Y)*X. Например, если это соотношение равно 5/13, величина смежного угла должна составлять 180°/(5+13)*13 = 10°*13 = 130°.
Если в исходных условиях ничего не сказано об основном угле, но дана величина вертикального угла, для вычисления смежных углов используйте формулы двух предыдущих шагов. Согласно определению вертикальный угол образуется двумя лучами, исходящими из той же точки, что и лучи основного угла, но направленными в строго противоположные стороны. Это значит, что градусная или радианная мера основного и вертикального угла равны, а значит, равны и величины смежных им углов.
Видео по теме
Источники:
- как найти смежный угол в треугольнике если
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
