Как найти значение тангенса угла наклона касательной

Как найти тангенс угла наклона касательной

Геометрический смысл производной первого порядка функции F(х) представляет собой касательную прямую к ее графику, проходящую через заданную точку кривой и совпадающую с ней в этой точке. Причем значение производной в данной точке х0 является угловым коэффициентом или иначе – тангенсом угла наклона касательной прямой k = tg a = F`(х0). Вычисление данного коэффициента – одна из наиболее распространенных задач теории функций.

Инструкция

Запишите заданную функцию F(x), например F(x) = (x³ + 15х +26). Если в задаче явно указана точка, через которую проводится касательная, например, ее координата х0 = -2, можно обойтись без построения графика функции и дополнительных прямых на декартовой системе ОХY. Найдите производную первого порядка от заданной функции F`(x). В рассматриваемом примере F`(x) = (3x² + 15). Подставьте заданное значение аргумента х0 в производную функции и вычислите ее значение: F`(-2) = (3(-2)² + 15) = 27. Таким образом, вы нашли tg a = 27.

При рассмотрении задачи, где требуется определить тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке пересечения этого графика с осью абсцисс, вам понадобится сначала найти числовое значение координат точки пересечения функции с ОХ. Для наглядности лучше всего выполнить построение графика функции на двухмерной плоскости ОХY.

Задайте координатный ряд для абсцисс, например, от -5 до 5 с шагом 1. Подставляя в функцию значения х, вычислите соответствующие им ординаты у и отложите на координатной плоскости полученные точки (х, у). Соедините точки плавной линией. Вы увидите на выполненном графике место пересечения функцией оси абсцисс. Ордината функции в данной точке равна нулю. Найдите численное значение соответствующего ей аргумента. Для этого заданную функцию, например F(x) = (4x² – 16), приравняйте к нулю. Решите полученное уравнение с одной переменной и вычислите х: 4x² – 16 = 0, x² = 4, х = 2. Таким образом, согласно условию задачи, тангенс угла наклона касательной к графику функции необходимо найти в точке с координатой х0 = 2.

Аналогично описанному ранее способу определите производную функции: F`(x) = 8*x. Затем вычислите ее значение в точке с х0 = 2, что соответствует точке пересечения исходной функции с ОХ. Подставьте полученное значение в производную функции и вычислите тангенс угла наклона касательной: tg a = F`(2) = 16.

При нахождении углового коэффициента в точке пересечения графика функции с осью ординат (ОY) выполните аналогичные действия. Только координату искомой точки х0 сразу следует принять равной нулю.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Геометрический смысл производной

Если плохо разбираешься в производной, то вот тебе полноценный гид по ней, с текстом, примерами и вебинарами: «Производная функции – геометрический смысл и правила дифференцирования»!

Рассмотрим график какой-то функции ( y=fleft( x right)):

Выберем на линии графика некую точку ( A). Пусть ее абсцисса ( {{x}_{0}}), тогда ордината равна ( fleft( {{x}_{0}} right)).

Затем выберем близкую к точке ( A) точку ( B) с абсциссой ( {{x}_{0}}+Delta x); ее ордината – это ( fleft( {{x}_{0}}+Delta x right)):

Проведем прямую через эти точки. Она называется секущей (прямо как в геометрии).

Обозначим угол наклона прямой к оси ( Ox) как ( alpha ).

Как и в тригонометрии, этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.

Какие значения может принимать угол ( alpha )?

Как ни наклоняй эту прямую, все равно одна половина будет торчать вверх. Поэтому максимально возможный угол – ( 180{}^circ ), а минимально возможный – ( 0{}^circ ).

Значит, ( alpha in left[ 0{}^circ ;180{}^circ right)). Угол ( 180{}^circ ) не включается, поскольку положение прямой в этом случае в точности совпадает с ( 0{}^circ ), а логичнее выбирать меньший угол.

Возьмем на рисунке такую точку ( C), чтобы прямая ( AC) была параллельна оси абсцисс, а ( BC) – ординат:

По рисунку видно, что ( AC=Delta x), а ( BC=Delta f).

Тогда отношение приращений:

Давай теперь уменьшать ( Delta x).

Тогда точка ( B) будет приближаться к точке ( A). Когда ( Delta x) станет бесконечно малым ( left( Delta xto 0 right)), отношение ( frac{Delta f}{Delta x}) станет равно производной функции в точке ( {{x}_{0}}).

Что же при этом станет с секущей?

Точка ( B) будет бесконечно близка к точке ( A), так что их можно будет считать одной и той же точкой.

Но прямая, имеющая с кривой только одну общую точку – это ни что иное, как касательная (в данном случае это условие выполняется только на небольшом участке – вблизи точки ( A), но этого достаточно).

Говорят, что при этом секущая занимает предельное положение.

Угол наклона секущей к оси ( displaystyle Ox) назовем ( varphi ). Тогда получится, что производная

( {f}’left( {{x}_{0}} right)underset{Delta xto 0}{mathop{=}},frac{Delta f}{Delta x}= {tg}varphi ),

то есть

Производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке

Поскольку касательная – это прямая, давай теперь вспомним уравнение прямой:

( y=kx+b).

За что отвечает коэффициент ( displaystyle k)? За наклон прямой. Он так и называется: угловой коэффициент.

Что это значит? А то, что равен он тангенсу угла между прямой и осью ( displaystyle Ox)!

То есть вот что получается:

( {f}’left( {{x}_{0}} right)= {tg}varphi =k).

Но мы получили это правило, рассматривая возрастающую функцию. А что изменится, если функция будет убывающей?

Посмотрим: Теперь углы ( alpha ) и ( displaystyle varphi ) тупые. А приращение функции ( Delta f) – отрицательное.

Снова рассмотрим ( triangle ABC): ( angle B=180{}^circ -alpha text{ }Rightarrow text{ } {tg}angle B=- {tg}alpha ).

С другой стороны, ( {tg}angle B=frac{AC}{BC}=frac{-Delta f}{Delta x}).

Получаем: ( frac{-Delta f}{Delta x}=- {tg}alpha text{ }Rightarrow text{ }frac{Delta f}{Delta x}= {tg}alpha ), то есть все, как и в прошлый раз.

Снова устремим точку ( displaystyle B) к точке ( displaystyle A), и секущая ( displaystyle AB) примет предельное положение, то есть превратится в касательную к графику функции в точке ( displaystyle A).

Итак, сформулируем окончательно полученное правило:

Производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или (что то же самое) угловому коэффициенту этой касательной:

( {f}’left( {{x}_{0}} right)= {tg}varphi =k)

Это и есть геометрический смысл производной.

Окей, все это интересно, но зачем оно нам? Вот пример:

На рисунке изображен график функции ( displaystyle y=mathsf{f}left( x right)) и касательная к нему в точке с абсциссой ( {{x}_{0}}).

Найдите значение производной функции ( displaystyle mathsf{f}left( x right)) в точке ( {{x}_{0}}).

Решение.

На рисунке у нас отмечено две точки, лежащие на касательной, координаты которых нам известны. Так давай достроим прямоугольный треугольник, проходящий через эти точки, и найдем тангенс угла наклона касательной!

Таким образом, производная функции ( displaystyle mathsf{f}left( x right)) в точке ( {{x}_{0}}) равна ( displaystyle 1,2).

Ответ: ( displaystyle 1,2).

Теперь попробуй сам.

Уравнение касательной к графику функций

А сейчас сосредоточимся на произвольных касательных.

Предположим, у нас есть какая-то функция, например, ( fleft( x right)=left( {{x}^{2}}+2 right)). Мы нарисовали ее график и хотим провести касательную к нему в какой-нибудь точке ( {{x}_{0}}). Например, в точке ( {{x}_{0}}=2).

Берем линейку, пристраиваем ее к графику и чертим:

Что мы знаем об этой прямой? Что самое важное нужно знать о прямой на координатной плоскости?

Поскольку прямая – это изображение линейной функции, очень удобно было бы знать ее уравнение. То есть коэффициенты ( k) и ( b) в уравнении

( y=kx+b).

Но ведь ( k) мы уже знаем! Это угловой коэффициент касательной, который равен производной функции в этой точке:

( k={f}’left( {{x}_{0}} right)).

В нашем примере будет так:

( {f}’left( x right)={{left( {{x}^{2}}+2 right)}^{prime }}=2x;)

Графически ( b) – это координата пересечения прямой с осью ординат (ведь ( displaystyle x=0) во всех точках оси ( displaystyle Oy)):

Проведём ( BCparallel Ox) (так, что ( triangle ABC) – прямоугольный).

Тогда ( angle ABC=alpha )(тому самому углу между касательной и осью абсцисс). Чему равны ( displaystyle AC) и ( displaystyle BC)?

По рисунку явно видно, что ( BC={{x}_{0}}), а ( AC=fleft( {{x}_{0}} right)-b). Тогда получаем:

( {f}’left( {{x}_{0}} right)= {tg}alpha =frac{AC}{BC}=frac{fleft( {{x}_{0}} right)-b}{{{x}_{0}}}text{ }Rightarrow text{ }b=fleft( {{x}_{0}} right)-{{x}_{0}}cdot {f}’left( {{x}_{0}} right)).

Соединяем все полученные формулы в уравнение прямой:

( y=kx+b={f}’left( {{x}_{0}} right)cdot x+fleft( {{x}_{0}} right)-{{x}_{0}}cdot {f}’left( {{x}_{0}} right);)

Пример:

Найди уравнение касательной к графику функции ( fleft( x right)={{x}^{2}}-2x+3) в точке ( {{x}_{0}}=3).

Решение:

На этом примере выработаем простой…

Бонус: Вебинар из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

ЕГЭ №7. Производная функции — геометрический смысл, дифференцирование

На этом видео мы вспомним, что такое функция и её график, научимся искать производную некоторых функций, например, такой: y = 2×3 – 3×2 + x + 5. 

Мы разберём от А до Я все 7 типов задач, которые могут попасться в задаче №7 из ЕГЭ. Узнаем, на какие 3 фразы в условии задачи нужно обратить особое внимание, чтобы с лёгкостью решить задачу и не потерять баллы на ровном месте.  

Разберём все возможные ошибки, которые можно допустить в этих задачах. Мы поймём, что многие из этих задач решаются обычным подсчётом клеточек на графике! Главное – не перепутать, что нужно считать.

P.S. Не забудьте потом посмотреть родственную тему: «Интегралы на ЕГЭ. Первообразные элементарных функций».

Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.

Определения и понятия

Угол наклона прямой y=kx+b называется  угол α, который отсчитывается от положительного направления оси ох к прямой y=kx+b в положительном направлении.

На рисунке направление ох обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.

Угловой коэффициент прямой y=kx+b называют числовым коэффициентом k.

Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k=tg α.

• Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности ох и  угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0. Значит, вид уравнения будет y=b.
• Если угол наклона прямой y=kx+b острый, тогда выполняются условия 0<α<π2 или 0°<α<90°. Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию tg α>0, причем имеется возрастание графика.
• Если α=π2, тогда расположение прямой перпендикулярно ох. Равенство задается при помощи равенства x=c со значением с, являющимся действительным числом.
• Если угол наклона прямой y=kx+b тупой, то соответствует условиям π2<α<π или 90°<α<180°, значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f(x). Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.

По рисунку видно, что АВ является секущей, а f(x) – черная кривая, α – красная дуга, означающая угол наклона секущей.

Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника АВС можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.

Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k=f(xB)-f(xA)xB-xA или k=f(xA)-f(xB)xA-xB, причем уравнение необходимо записать как y=f(xB)-f(xA)xB-xA·x-xA+f(xA) или
y=f(xA)-f(xB)xA-xB·x-xB+f(xB).

Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А, от А до В, справа от В. На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.

По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.

Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у=0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.

Касательная к графику функции f(x) в точке x0; f(x0) называется прямая, проходящая через заданную точку x0; f(x0),  с наличием отрезка, который имеет множество значений х, близких к x0.

Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной АВ при бесконечном приближении точки В к точке А. Для наглядности приведем рисунок.

Секущая АВ, обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной αx.

Касательной к графику функции y=f(x) в точке А считается предельное положение секущей АВ при В стремящейся к А, то есть B→A.

Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.

Геометрический смысл производной функции в точке

Перейдем к рассмотрению секущей АВ для функции f(x), где А и В с координатами x0, f(x0) и x0+∆x, f(x0+∆x), а ∆x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆y=∆f(x)=f(x0+∆x)-f(∆x). Для наглядности приведем в пример рисунок.

Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник АВС. Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆y∆x=tg α. Из определения касательной следует, что lim∆x→0∆y∆x=tg αx. По правилу производной в точке имеем, что производную f(x) в точке x0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆x→0, тогда обозначим как f(x0)=lim∆x→0∆y∆x.

Отсюда следует, что f'(x0)=lim∆x→0∆y∆x=tg αx=kx, где kx обозначают в качестве углового коэффициента касательной.

То есть получаем, что f’(x) может существовать  в точке x0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x0, f0(x0), где значение углового коэффициента касательной  в точке равняется производной  в точке x0. Тогда получаем, что kx=f'(x0).

Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

Уравнение касательной прямой

Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x0 при пересечении.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0, f0(x0) принимает вид y=f'(x0)·x-x0+f(x0).

Имеется в виду, что конечным значением производной f'(x0) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии limx→x0+0f'(x)=∞ и limx→x0-0f'(x)=∞ или отсутствие вовсе при условии limx→x0+0f'(x)≠limx→x0-0f'(x).

Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента kx=f'(x0). При параллельности к оси ох получаем, что kk=0, при параллельности к оу – kx=∞, причем вид уравнения касательной x=x0 возрастает при kx>0, убывает при kx<0.

Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.

Касательная к окружности

Для задания окружности  с центром  в точке xcenter; ycenter и радиусом R применяется формула x-xcenter2+y-ycenter2=R2.

Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:

y=R2-x-xcenter2+ycentery=-R2-x-xcenter2+ycenter

Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.

Для составления уравнения окружности  в точке x0; y0, которая располагается  в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y=R2-x-xcenter2+ycenter или y=-R2-x-xcenter2+ycenter в указанной точке.

Когда в точках xcenter; ycenter+R и xcenter; ycenter-R касательные могут быть заданы уравнениями y=ycenter+R и y=ycenter-R, а  в точках xcenter+R; ycenter и
xcenter-R; ycenter будут являться параллельными оу, тогда получим уравнения вида x=xcenter+R и x=xcenter-R.

Касательная к эллипсу

Когда эллипс имеет центр  в точке xcenter; ycenter с полуосями a и b, тогда он может быть задан при помощи уравнения x-xcenter2a2+y-ycenter2b2=1.

Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что

y=ba·a2-(x-xcenter)2+ycentery=-ba·a2-(x-xcenter)2+ycenter

Если  касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны ох или оу. Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.

Касательная к гиперболе

Когда гипербола имеет центр в точке xcenter; ycenter и вершины xcenter+α; ycenter и xcenter-α; ycenter, имеет место задание неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=1, если с вершинами xcenter; ycenter+b и xcenter; ycenter-b, тогда задается при помощи неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=-1.

Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида

y=ba·(x-xcenter)2-a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2-a2+ycenter или y=ba·(x-xcenter)2+a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2+a2+ycenter

В первом случае имеем, что касательные параллельны оу, а во втором параллельны ох.

Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.

Касательная к параболе

Чтобы составить уравнение касательной к параболе y=ax2+bx+c в точке x0, y(x0), необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y=y'(x0)·x-x0+y(x0). Такая касательная в вершине параллельна ох.

Следует задать параболу x=ay2+by+c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у. Получаем, что

x=ay2+by+c⇔ay2+by+c-x=0D=b2-4a(c-x)y=-b+b2-4a(c-x)2ay=-b-b2-4a(c-x)2a

Графически изобразим как:

Для выяснения принадлежности точки x0, y(x0) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна оу относительно параболы.

Производная

1

Произво́дная — функция,
являющаяся результатом применения той
или иной операции дифференцирования к
исходной функции. Физический смысл
производной — скорость
изменения величины
или процесса. Разновидности:

• Производная
  функции

• Производная
  (обобщения)

• Частная
  производная

• Производная
  по направлению

Произво́дное
множество множества
A — совокупность всех предельных
точек этого множества.

Тангенс угла наклона касательной прямой

Геометрический
смысл производной. На графике
функции выбирается абсцисса x₀ и
вычисляется соответствующая ордината f(x₀).
В окрестности точкиx₀ выбирается
произвольная точка x.
Через соответствующие точки на графике
функции F проводится секущая (первая
светло-серая линия C₅).
Расстояние Δx
= x — x₀ устремляется
к нулю, в результате секущая переходит
в касательную(постепенно
темнеющие линии C₅ —
C₁). Тангенс угла
α наклона этой касательной — и есть
производная в точке x₀.

Основная
статья: Касательная
прямая

Если
функция  имеет
конечную производную в точкеx₀, то
в окрестности U(x₀) её
можно приблизить линейной
функцией

Функция f_l называется
касательной к f в
точке x₀. Число  является
угловым коэффициентом
или тангенсом угла наклона касательной
прямой.

2

Дифференци́руемая
фу́нкция —
это функция, имеющая дифференциал.
Дифференцируемая функция может быть
хорошо приближена линейной
функцией.
Дифференцируемость является одним из
фундаментальных понятий в математике
и имеет большое число приложений как
внутри неё, так и в естественных науках,
широко использующих математический
аппарат (на данном отрезке).

Функция

называется
дифференцируемой в точке x₀ своей
области определения M,
если существует такая линейная
функция

,

что
для любой точки x области M верно

,

то
есть, раскрывая символ
«o» малое,
если

.

Множество
всех функций, определённых и дифференцируемых
во всех точках области M является кольцом

4

y=f(x)	y=f’(x)	y=f(x)	y=f’(x)
y = c (c – const)	y’ = 0	y = ln x	y’ = 1/x
y = x	y’ = 1	y = sin x	y’ = cos x
y = x2	y’ = 2x	y = cos x	y’ = – sin x
y = xn (n принадлежит N)	y’ = nxn–1	y = tg x	y’ = 1/(cos2x)
y = x–n (n принадлежит N)	y’ = – nxn–1	y = ctg x	y’ = – 1/(sin2x)
y = xα (α > 0)	y’ = αxα–1	y = arcsin x	y’ = 1/√1 – x2
y = x–α (α > 0)	y’ = –αx–α–1	y = arccos x	y’ = – 1/√1 – x2
y = ax (a > 0, a ≠ 1)	y’ = axln a	y = arctg x	y’ = 1/( 1 + x2 )
y = ex	y’ = ex	y = arcctg x	y’ = – 1/( 1 + x2 )
y = logax (a > 0, a ≠ 1)	y’ = 1/(x lna)

5

1.
Техника вычисления производных

1.1.
Правила вычисления производных.

I.
Если существует f

0

(p)
и k 2 R, то существует и (k f)

0

(p),
и при этом (k f)

0

(p)
=

k
f

0

(p).

II.
Если существуют f

0

(p)
и g

0

(p),
то существует и (f+g)

0

(p),
и при этом (f+g)

0

(p)
=

f

0

(p)
+ g

0

(p).

III.
Если существуют f

0

(p)
и g

0

(p),
то существует и (f g)

0

(p),
и при этом

(f
g)

0

(p)
= f

0

(p)g(p)
+ f(p)g

0

(p):

IV.
Если существуют f

0

(p)
и g

0

(p)
и g(p) = 0 6 , то существует и

f

g

0

(p),
и при этом

f

g

0

(p)
=

f

0

(p)g(p)
f(p)g

0

(p)

[g(p)]

2

:

V.
Если существуют f

0

(p)
и g

0

(f(p)),
то существует и (g

f)

0

(p),
и при этом

(g

f)

0

(p)
= g

0

(f(p))
f

0

(p):

VI.
Пусть существует окрестность точки p,
в которой функция f непрерывна и

обратима.
Если функция f обладает производным
числом f

0

(p)
в точке p и

f

0

(p)
= 0 6 , то обратная к f функция f

1

обладает
производным числом в точке

q
= f(p), и при этом

f

1

0

(q)
=

1

f

0

(p)

6

Производная сложной
функции

Цепное
правило (правило
дифференцирования сложной функции)
позволяет вычислить производную
композиции двух и более функций на
основе индивидуальных производных.
Если функция f имеет производную в
точке x₀,
а функция g имеет производную в
точке y₀ = f(x₀),
то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет
производную в точке x₀.

Пусть
даны функции, определённые в окрестностях
на числовой прямой,  где y₀ = f(x₀), и  Пусть
также эти функции дифференцируемы:  Тогда
их композиция также дифференцируема:  и
её производная имеет вид:

7

• (Критерий
  монотонности функции, имеющей производную
  на интервале) Пусть
  функция  непрерывна
  на (a,b), и
  имеет в каждой точке  производную f‘(x). Тогда

f возрастает
на (a,b) тогда
и только тогда, когда 

f убывает
на (a,b) тогда
и только тогда, когда 

• (Достаточное
  условие строгой монотонности функции,
  имеющей производную на интервале) Пусть
  функция  непрерывна
  на (a,b), и
  имеет в каждой точке  производную f‘(x). Тогда

если  то f строго
возрастает на (a,b);

если  то f строго
убывает на (a,b).

Обратное,
вообще говоря, неверно. Производная
строго монотонной функции может
обращаться в ноль.
Однако, множество точек, где производная
не равна нулю, должно быть плотно на
интервале (a,b). Точнее
имеет место

• (Критерий
  строгой монотонности функции, имеющей
  производную на интервале) Пусть  и
  всюду на интервале определена
  производная f‘(x). Тогда f строго
  возрастает на интервале (a,b) тогда
  и только тогда, когда выполнены следующие
  два условия:

1. 

2. 

Аналогично, f строго
убывает на интервале (a,b) тогда
и только тогда, когда выполнены следующие
два условия:

1. 

2. 

“Условия
монотонности функции (Критерий
монотонности функции, имеющей производную
на интервале): Пусть функция непрерывна
на (a,b), и имеет в каждой точке производную
f'(x). Тогда – f НЕ
УБЫВАЕТ на
(a,b) тогда и только тогда, когда …далее
по тексту f НЕ
ВОЗРАСТАЕТ на
(a,b) тогда и только тогда, когда …далее
по тексту”

8

Экстре́мум (лат. extremum —
крайний) в
математике — максимальное или минимальное значение функции на
заданноммножестве.
Точка, в которой достигается экстремум,
называется точкой
экстремума.
Соответственно, если достигается
минимум — точка экстремума
называется точкой
минимума,
а если максимум — точкой
максимума.
В математическом
анализе выделяют
также понятие локальный
экстремум (соответственно минимум или
максимум).

9

Выпуклая
функция — функция,
у которой надграфик является
выпуклым множеством.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #