Как найти значение тупого угла

План урока:

Тригонометрические функции тупых углов

Вычисление координат точки

Вычисление площади треугольника

Площадь параллелограмма

Теорема синусов

Теорема косинусов

Тригонометрические функции тупых углов

Впервые с тригонометрическими функциями мы познакомились в 8 классе. Определить их значение можно было с помощью прямоугольного треугольника, рассматривая отношения его сторон (катетов и гипотенуз). Но такой способ определения тригонометрических функций подходит только для острых углов, попадающих в интервал от 0 до 90°. Оказывается, есть способ для вычисления значений тригонометрических функций и от больших углов.

Построим на координатной плоскости полуокружность, центр которой располагается в начале координат, а радиус равен единице. Ее называют единичной полуокружностью. Проведем из точки (0; 0) луч под некоторым углом α, который пересечет полуокружность в некоторой точке М с координатами (х; у). Заметим, что каждому значению α соответствует своя точка М на единичной полуокружности:

1 trigonometriya

Опустим из М перпендикуляр на ось Ох в некоторую точку D. Тогда, если угол α острый,получается прямоугольный треугольник МOD, длины сторон которого можно определить так:

2 trigonometriya

Получается, что координаты точки M как раз и являются синусом и косинусом угла α. Логично считать, что если α – не острый угол, то всё равно координаты точки M будут определять синус и косинус угла α.

3 trigonometriya

Видно, что при тупом угле α точка М оказывается левее оси Оу, поэтому ее абсцисса становится отрицательной. Получается, что косинус может принимать отрицательные значения.

С помощью единичной полуокружности несложно выяснить значения синусов и косинусов для углов 0°, 90° и 180°. Они соответствуют координатам точек А, В и С на рисунке:

4 trigonometriya

Так как эти точки имеют координаты (1; 0), (0; 1) и (– 1; 0), то можно записать следующее:

5 trigonometriya

Используя это определение, найдем тангенс для углов 0° и 180°:

6 trigonometriya

Заметим, что для 90° использовать эту формулу не удастся, так как это приведет к делению на ноль. Поэтому считается, что для 90° значение тангенса не определено, то есть его нельзя вычислить.

Единичная полуокружность является дугой окружности, чей радиус равен единице, а центр находится в начале координат. То есть она может быть задана уравнением

7 trigonometriya

Тем самым мы доказали, что это тождество, которое показывает связь тригонометрических функций друг с другом, выполняется не только для острых углов, но и для всех углов из диапазона 0° ≤α ≤ 180°.

8 trigonometriya

Для вычисления значений тригонометрических углов тупых углов удобно пользоваться так называемыми формулами приведения. Их довольно много, и изучаются они в основном в 10 классе, нам же хватит всего двух формул:

9 trigonometriya

Например, пусть надо вычислить синус для угла 120°. Для этого мы представляем угол в виде разности, где в качестве уменьшаемого используется угол 180°:

10 trigonometriya

Убедиться в справедливости этих двух формул приведения можно с помощью такого построения:

11 trigonometriya

Точка М соответствует углу α, а точка K – углу (180° – α). Опустим из этих точек перпендикуляры МС и KD. Так как

12 trigonometriya

Получается, что ∆OKD и ∆ОМС – прямоугольные, у них есть одинаковый острый угол α, и их гипотенузы ОК и ОМ также одинаковы как радиусы одной окружности. Тогда эти треугольники равны, и поэтому

13 trigonometriya

Знак минус в первом из этих равенств показывает, что точки K отрицательная абсцисса. В итоге мы доказали две формулы приведения.

Задание. Вычислите sin 150°.

Решение. Представим угол 150° в виде разности:

14 trigonometriya

Вычисление координат точки

Пусть есть некоторая точка А(х;у) с неотрицательной ординатой. Соединим ее с началом координат прямой, которая образует угол α с осью Ох. Посмотрим, как связаны координаты А со значением α.

15 trigonometriya

Пусть луч ОА пересечет единичную окружность в точке М. Опустим из М и А перпендикуляры на Ох, в точки Н и С соответственно. Теперь сравним ∆ОМН и ∆ОАС. Они прямоугольные, и у них есть одинаковый угол α, следовательно, они подобны. Коэффициент подобия можно найти, поделив ОА на ОМ, при этом учтем, что ОМ = 1, так как М лежит на единичной полуокружности:

16 trigonometriya

Примечание. Данное доказательство не рассматривает частные случаи, когда точка А лежит непосредственно на осях Ох и Оу, и тогда подобные треугольники ∆ОМН и ∆ОАС построить не удается. Эти случаи можно рассмотреть отдельно и показать, что для них выведенные формулы также справедливы.

Задание. Точка А находится на расстоянии 3 от начала координат (точки О), причем луч ОА образует с осью Ох угол 135°. Найдите координаты точки А.

17 trigonometriya

Решение. Используя выведенные формулы, мы можем записать:

18 trigonometriya

Вычисление площади треугольника

В 8 классе мы уже познакомились с одной из формул для определения площади треугольника. Однако на практике возникают ситуации, когда удобнее использовать другие формулы, одну из которых мы сейчас выведем.

Пусть в произвольном ∆АВС известны две стороны, например, ВС (обозначим ее буквой а) и АС (ее обозначим как b). Также известна величина угла между ними:

19 trigonometriya

Разместим этот треугольник в системе координат так, чтобы точка С совпала с началом координат, в находилась на оси Ох и имела положительную абсциссу, А располагалась в первой четверти:

20 trigonometriya

В этом случае координаты А будут определяться формулами:

21 trigonometriya

22 trigonometriya

Найдите площадь МКН.

Решение.

23 trigonometriya

Задание. Используя калькулятор, найдите площадь треугольника со сторонами 14 и 7 см, если угол между ними равен 48°. Ответ округлите до десятых долей см2.

Решение. Подставляя числа в формулу, получаем:

24 trigonometriya

Задание. Диагонали прямоугольника пересекаются под углом 30°, причем они равны 10 см. Вычислите площадь этого прямоугольника.

Решение.

25 trigonometriya

Заметим, что диагонали прямоугольника при пересечении образуют не один, а два угла. Пусть в прямоугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О, и ∠АОВ = 30°. Тогда можно найти ∠ВОС, ведь он смежный с ∠АОВ:

26 trigonometriya

Чтобы найти площадь прямоугольника, мы можем найти площади 4 треугольников, из которых он состоит, и потом сложить их. Для каждого из этих треугольников нам известны две стороны (они составляют по 5 см) и угол между ними:

27 trigonometriya

Площадь параллелограмма

Из выведенной нами формулы площади треугольника вытекает и новая формула для площади параллелограмма. Пусть в параллелограмме нам известны смежные и угол между ними:

28 trigonometriya

На рисунке смежные стороны АВ и AD обозначены буквами и b, а угол между ними обозначен как α. Проведем диагональ BD. Площадь ∆ABD можно вычислить:

29 trigonometriya

Задание. Стороны параллелограмма имеют длины 8 и 11 см, а один из углов параллелограмма равен 30°. Какова площадь этого параллелограмма?

Решение. Просто подставляем данные в формулу

30 trigonometriya

Ответ: 44 см2.

Задание. Известна площадь параллелограмма MNEF, одна из его сторон и угол:

31 trigonometriya

Так как противоположные стороны в параллелограмме одинаковы, то MF также имеет длину 5:

MF = NE = 5

Запишем формулу для площади и подставим в нее известные данные:

32 trigonometriya

Теорема синусов

Пусть есть некоторый ∆АВС, в котором стороны мы обозначим буквами:

33 trigonometriya

Посчитаем его площадь, используя стороны b и c:

34 trigonometriya

Также площадь треугольника можно выразить через а и с:

35 trigonometriya

Полученная формула показывает, что в каждом треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла – это константа, не зависящая от выбора стороны. Другими словами,в любом треугольнике стороны пропорциональны синусам углов, которые лежат против них. Это утверждение именуют теоремой синусов.

В большинстве задач достаточно выведенной формулы

36 trigonometriya

Однако можно дополнить теорему синусов, выяснив, чему же именно равны все эти три отношения. Для этого впишем треугольник в окружность, после чего построим диаметр BD:

37 trigonometriya

Пусть радиус этой окружности равен R, тогда диаметр BD будет вдвое больше:

38 trigonometriya

Теперь рассмотрим ∆ВСD. ∠С здесь – прямой, ведь это вписанный угол, опирающийся на полуокружность, то есть дугу в 180°. По определению синуса, которое мы давали ещё в 8 классе, можно записать:

39 trigonometriya

C учетом уже выведенного равенства (6) теорема синусов примет вид:

40 trigonometriya

С помощью теоремы синусов у любого треугольника можно найти две неизвестные стороны, если известны третья сторона и два угла. Процесс нахождение неизвестных элементов треугольника по уже известным элементам именуется решением треугольника. Всего у треугольника 6 элементов – три стороны и три угла. Для нахождения всех элементов в общем случае достаточно знать только 3 из них, а остальные можно найти, используя теорему синусов или иные геометрические соображения.

Задание. Решите треугольник, если одна из его сторон равна 14, а прилегающие к ней углы имеют величину 60° и 40°.

Решение.

41 trigonometriya

Обозначим описанный в условии треугольник как ∆МВК. Пусть МК = 14, ∠М = 60° и∠К = 40°. Тогда нам надо найти ∠В, МВ и ВК. Проще всего найти∠В, ведь в любом треугольнике все углы в сумме дают 180°:

42 trigonometriya

Обратите внимание, что так как углы 40° и 80° не являются табличными, то их значения надо вычислять на калькуляторе, а результат вычисления получается приближенным. В данном случае мы округлили его до сотых.

Осталось найти сторону ВК, это также делается с помощью теоремы синусов:

43 trigonometriya

Задание. В SRTS = 30°, R = 45°, а высота RM, опущенная на сторону TS, имеет длину 6. Решите SRT.

Решение.

44 trigonometriya

Теперь надо найти какую-нибудь сторону в ∆SRT. Для этого рассмотрим ∆RMS. Он прямоугольный, а потому для него можно записать:

45 trigonometriya

Для нахождения двух оставшихся сторон можно использовать теорему синусов:

46 trigonometriya

Задание. В параллелограмме MNEFMFE составляет 120°, а диагональ NF равна 24 и образует со стороной NE угол 40°. Найдите длину МN и MF.

Решение.

47 trigonometriya

Далее заметим, что ∠FNE и ∠MFN одинаковы, ведь они накрест лежащие при параллельных отрезках NE и MF и секущей NF:

48 trigonometriya

Теперь в ∆MNF известна сторона NF и все три угла. Это позволяет с помощью теоремы синусов найти и остальные две стороны:

49 trigonometriya

Задание. В окружности радиусом 5 построен вписанный угол величиной 30°. Определите длину хорды, на которую он опирается.

Решение.

50 trigonometriya

Решение. По теореме синусов мы можем записать, что

51 trigonometriya

Теорема косинусов

Теорема синусов помогает решать треугольники, в которых известны хотя бы два угла, а также одна из сторон. Но что делать в случае, если наоборот, даны две стороны, но только один угол? Здесь необходима другая теорема, которую именуют теоремой косинусов.

Возьмем произвольный треугольник со сторонами а, и c и поместим его на координатной плоскости так, как показано на рисунке:

52 trigonometriya

Обозначим угол между а и b как α. Тогда координаты А будут определяться так:

53 trigonometriya

Точка В в свою очередь будет иметь координаты (а; 0). Зная координаты А и В, мы можем найти квадрат расстояния между ними, то есть величину с2:

54 trigonometriya

Полученное соотношение как раз и является теоремой косинусов.

55 trigonometriya

Данная формула позволяет находить третью сторону треугольника, если известны две другие, а также угол между ними. Однако ее можно переписать так, чтобы с ее помощью можно было вычислять косинус угла, зная все три стороны треугольника:

56 trigonometriya

Это позволяет решать те треугольники, для которых теоремы синусов недостаточно.

Легко заметить, что теорема косинусов похожа на теорему Пифагора. Более того, если угол α = 90°, то формула теоремы косинусов превращается в теорему Пифагора, которая, таким образом, является ее частным случаем. По этой причине иногда теорему косинусов именуют обобщенной теоремой Пифагора.

Задание. Решите MNE, если

57 trigonometriya

Решение. По теореме косинусов находим сторону NE:

58 trigonometriya

Осталось найти ∠N и ∠Е. Для этого запишем теорему косинусов так, чтобы в ней фигурировал ∠N:

59 trigonometriya

Мы нашли cosN. Чтобы вычислить сам ∠N, следует использовать особую функцию на калькуляторе или компьютере, которая называется арккосинусом и является обратной для операции «извлечение косинуса». Более подробно она изучается уже в 10 классе. С ее помощью мы узнаем, что

60 trigonometriya

Обратите внимание, что обычно калькулятор выдает результат, показывая десятые и сотые доли градусы, не переводя их в минуты и секунды. Можно оставить ответ и в таком виде. При желании перевести сотые доли в минуты следует дробную часть умножить на 60:

61 trigonometriya

Задание. На различных сторонах угла∠А, равного 45°, отложены точки В и С так что

62 trigonometriya

Задание. Решите треугольник, если его стороны имеют длину 14, 18 и 20.

Решение.

63 trigonometriya

Решение. Здесь надо дважды применить теорему косинусов, чтобы найти какие-нибудь два угла в ∆АВС:

64 trigonometriya

∠C также можно найти через теорему косинусов, но проще просто вычесть из 180° два уже вычисленных угла:

65 trigonometriya

Во всех рассмотренных задачах на решение треугольника мы знали три элемента треугольника и по ним однозначно вычисляли три других элемента. Однако иногда это невозможно. Так, если в задаче помимо двух сторон указан угол, который НЕ лежит между ними, то в итоге задача может иметь два решения.

Задание. В MNE M составляет 60°, а стороны МЕ и NE имеют длины 10 и 9 соответственно. Какова длина MN?

66 trigonometriya

Решение. Теорему синусов здесь применить не удастся, так как для нее необходимо знать хотя бы два угла. Поэтому остается только записать теорему косинусов так, чтобы в ней использовался ∠M:

67 trigonometriya

Получили квадратное уравнение, решить его можно через дискриминант:

68 trigonometriya

В рамках данного урока мы узнали про теоремы синусов и косинусов и научились использовать их для решения треугольников. Также мы познакомились с новыми формулами для вычисления площадей треугольника и параллелограмма.

В данной публикации мы рассмотрим, что такое тупой угол, а также разберем примеры задач, в которых он участвует.

  • Определение тупого угла

  • Примеры задач

Определение тупого угла

Угол является тупым, если его градусная мера находится между 90 и 180 градусами.

Тупой угол

α – тупой, если 90° < α < 180°.

То есть тупой угол больше прямого (90°), но меньше развернутого (180°).

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник, у которого известны два угла – 34° и 27°. Найдем третий и определим, является ли он тупым.

Решение:
Примем неизвестную величину за “α“. Как мы знаем, сумма углов треугольника равняется 180 градусам, значит:

α = 180° – 34° – 27° = 119°.

Следовательно, угол α – тупой.

Задание 2
Дан ромб, площадь (S) которого составляет 12,5 см2, а длина (a) стороны – 5 см. Найдем его углы и определим, являются ли они тупыми.

Решение:
Синус угла ромба (α) можно найти следующим образом (выведено из формулы расчета площади фигуры):

Нахождение синуса угла ромба через его площадь и сторону (пример)

Следовательно, α = 30° (arcsin 0,5), является острым.

Как мы знаем, сумма соседних углов ромба составляет 180 градусов, значит второй угол β равен 150° (180° – 30°), и он является тупым.

Содержание:

Пусть в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, один из острых углов равен Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла

Определение. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Определение. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пример:

Угол К в Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияравен 90° (рис. 7).
Тогда:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Для угла N катет МК — противолежащий, а катет NK — прилежащий (см. рис. 7, с. 11). Поэтому согласно определениям получаем:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Можно заметить, что синус острого угла а прямоугольного треугольника и косинус другого острого угла этого треугольника, содержащего Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения равны, т. е. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения. Так же Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Например, Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
А теперь выполните Тест 1 и Тест 2.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Значение синуса острого угла, а также косинуса, тангенса и котангенса зависит только от величины угла и не зависит от размеров и расположения прямоугольного треугольника с указанным острым углом.
Это следует из того, что прямоугольные треугольники с равным острым углом подобны, а у подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны. Так, в Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 8) Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30°, 45°, 60°

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, у которого Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 9). Так как катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то АВ = 2. По теореме Пифагора 

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Тогда:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Так как Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (см. рис. 9), то

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, у которого Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 10). По теореме Пифагора 

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Тогда:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Составим таблицу значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 30°, 45° и 60°.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Нахождение значений тригонометрических функций

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла можно приближенно находить при помощи специальных тригонометрических таблиц* либо калькулятора.

Например, с помощью калькулятора, компьютера или мобильного телефона (смартфона) находим: sin45° = 0,707106… . Приближенное значение тригонометрических функций при решении задач будем брать с округлением до четырех знаков после запятой: sin45° = 0,7071.
Итак, точное значение sin 45° равно Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения . а приближенное — 0,7071.
Таблицы и калькулятор также позволяют находить величину острого угла по значению синуса, косинуса или тангенса. Например, найдем острый угол, синус которого равен 0,4175. Выбрав на компьютере вид калькулятора «инженерный», далее «градусы», нужно ввести последовательно Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения. На экране появится ответ: 24,676… . Округлим его до десятых долей градуса и получим 24,7°. Учитывая, что 1° содержит 60 угловых минут, получим: 0,7° = 0,7 • 60′ = 42′. Искомый угол, синус которого 0,4175, приближенно равен 24°42′.
А теперь выполните Тест 3.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Тригонометрические функции острого угла

Синус, косинус, тангенс и котангенс являются функциями угла, так как каждому острому углу Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения соответствует единственное значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Они называются тригонометрическими функциями и записываются так: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Поскольку в прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы, то для острого угла Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения справедливо: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения следовательно синус и косинус острого угла положительны и меньше 1.
Тангенс и котангенс острого угла могут принимать любое положительное значение. Например, tg85° ~ 11,4.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

С увеличением острого угла синус и тангенс возрастают, а косинус и котангенс убывают (рис. 11), то есть если Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения то

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения но Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (cm. c. 28, задачу 2*). Это гарантирует, что синус (косинус, тангенс и котангенс) острого угла определяют этот угол однозначно.

Пример №1

В прямоугольном треугольнике АВС, где Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения, катет ВС равен 8 см, гипотенуза АВ равна 17 см. Найти косинус угла А (рис. 12).

Решение:

По теореме Пифагора найдем катет Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (см). Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен от ношению прилежащего катета к гипотенузе. Тогда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пример №2

Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС равна 20 см, Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 13). Найти площадь треугольника.

Решение:

Так как Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Обозначим Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияПо теореме Пифагора Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Тогда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения ВС = 4 • 4 = 16(см), Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: 96 Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пример №3

При помощи циркуля и линейки построить угол, синус которого равен Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

Идея решения. Построим прямоугольный треугольник с катетом, равным 4 единицы, и ги­потенузой, равной 5 единиц. Синус угла, противолежащего указанному катету, будет равен Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Построение. 1) Строим прямой угол С (рис. 14), для чего проводим произвольную прямую Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения отмечаем на ней точку С и строим прямую Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения проходящую через точку С перпендикулярно прямой Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (вспомните по рисунку алгоритм построения). 2) На прямой Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения от точки С откладываем последова­тельно четыре равных отрезка. Получаем отрезок ВС, который содержит 4 единицы. 3) Строим окружность с центром в точке В радиусом, равным пяти единицам. В пересечении этой окружности и прямой Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения получаем точку А.
Угол ВАС — искомый.

Доказательство:

Из Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения находим Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Алгоритм решения прямоугольного треугольника

Под решением прямоугольного треугольника понимают нахождение его неизвестных сторон и углов по некоторым элементам, определяющим этот треугольник. Рассмотрим три задачи:

  1. нахождение катета по гипотенузе и острому углу;
  2. нахождение катета по другому катету и острому углу;
  3. нахождение гипотенузы по катету и острому углу.

Пример №4

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 6, острый угол равен 32° (рис. 23). Найти катет, прилежащий к данному углу. Ответ округлить до 0,1.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

Примем длину искомого катета за Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: 5,1.

Пример №5

Катет прямоугольного треугольника равен 2,5, а прилежащий к нему угол равен 68° (рис. 24). Найти другой катет. Ответ округлить до 0,1.
 

Решение:

Примем длину неизвестного катета за Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: 6,2.

Пример №6

Катет прямоугольного треугольника равен 4,2, противолежа­щий ему угол равен 29° (рис. 25). Найти гипотенузу треугольника. Ответ округлить до 0,1.

Решение:

Примем длину гипотенузы за Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: 8,7.

Правила решения прямоугольного треугольника

Преобразуем формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса и запишем результаты для треугольника на рисунке 26:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Удобно пользоваться следующими правилами:

  • Катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего или на косинус прилежащего угла (рис. 27, а).
  • Гипотенуза равна катету, деленному на синус противолежащего или на косинус прилежащего угла (рис. 27, б).
  • Катет равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или на котангенс прилежащего к первому катету угла (рис. 27, в).

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пример №7

В Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения известно: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения(рис. 28).

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Полезно запомнить!
Если в прямоугольном треугольнике с углом 30° (или 60°) дан меньший катет а, то больший
катет Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
 (рис. 29, а). А если дан больший катет Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения то меньший катет Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 29, б).
Если в прямоугольном треугольнике с углом 45° дан катет а,

то гипотенуза Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 30, а), а если дана гипотенуза с, то ка­тет Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения(рис. 30, б).

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пример №8

В прямоугольном треугольнике АВС известно: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения — высота, проведенная к гипотенузе (рис. 31). Найти проекцию НВ катета ВС на гипотенузу.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

Заметим, что Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения так как эти углы дополняют Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияИз Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Из Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пример №9

В равнобедренной трапеции ABCD меньшее основание ВС равно 7, боковая сторона АВ равна 10, sinA = 0,8. Найти площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции находится по формуле Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияНайдем большее основание и высоту трапеции. Проведем в трапеции высоты ВН и СК (рис. 32). Так как НВСК — прямоугольник (все углы — прямые), то НК = ВС = 7. Из равенства прямоугольных треугольников АНВ и DKC (по катету и гипотенузе) АН = KD. Из прямоугольного треугольника АНВ находим: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения откуда АН = 6 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Тогда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: 104.

Тригонометрические формулы

Используя формулы Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решениягде Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения и Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения — катеты, с — гипотенуза прямоугольного треугольника, можно по­лучить формулы, связывающие значения тригонометрических функций острого угла.

1. Основное тригонометрическое тождество

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Доказательство:

По теореме Пифагора Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Тогда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Следствие:

Так как синус и косинус острого угла а положительны, то

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

2. Выражение тангенса и котангенса через синус и косинус

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Доказательство:

a)Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения б)Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Следствие:

 Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Проверим справедливость основного тригонометрического тождества.
Верно ли, например, что Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Да, это верно, так как Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

3. Основная задача

ДаноСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения— острый угол.

Найти: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

Способ 1. Используем основное тригонометрическое тождество: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Так как косинус острого угла больше нуля, то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияоткуда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Способ 2. Изобразим прямоугольный треугольник с катетом 5 и гипотенузой 13 (рис. 41). Синус угла, противолежащего данному катету, равен Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Поэтому этот угол равен Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения По теореме Пифагора другой катет равен Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Тогда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Способ 3. Пусть катет, противолежащий углу Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения равен 5х, тогда гипотенуза равна Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения По теореме Пифагора прилежащий катет равен Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияОтсюда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пример №10

В параллелограмме ABCD (рис. 42) сторона ВС = 50 см, высота ВК = 30 см, Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения. Найти периметр параллелограмма.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

Из треугольника АВК находим: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияИз основного тригонометрического тождества следует: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (так как угол А — острый, то sinA > 0). Тогда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения(см ) Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Ответ: 168 см.

Пример №11

Доказать, что при увеличении угла от 0° до 90°:

а) синус угла увеличивается от 0 до 1, а косинус — уменьшается от 1 до 0;

б) тангенс угла увеличивается от О до бесконечности.
Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники с гипотенузой, равной 1. Для этого опишем радиусом ОМ, равным 1, четверть окружности — ду­гу МК (рис. 43). Пусть Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Опустим из точки А перпендикуляр АВ на ОМ. Тогда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения При повороте радиуса ОМ вокруг центра О против часовой стрелки, начиная от ОМ и заканчивая ОК, угол Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения будет увеличиваться от 0° до 90° (образуя указанные на чертеже углы: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения и т. д.). Величина катета АВ, противолежащего углу Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения будет увеличиваться от 0 до 1. А величина катета ОВ, наоборот, будет уменьшаться от 1 до 0. Таким образом, при увеличении угла от 0° до 90° его синус увеличивается от 0 до 1, а косинус уменьшается от 1 до 0.
Из формулы Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения также следует (учитывая положительность синуса и косинуса острого угла), что с увеличением синуса от 0 до 1 косинус уменьшается от 1 до 0. 

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения 

б) Для определения изменения тангенса угла удобно рассматривать треугольники, у которых при­лежащий катет не изменяется и остается равным 1, а противолежащий катет изменяется. Рассмотрим прямоугольный треугольник АОМ, у которого отре­зок ОМ = 1, Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 44). По определению Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Угол Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения станем изменять, перемещая точку А по прямой MN, начиная от точки М и проходя через точки Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения и т. д. При этом угол Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения и его тангенс начнут возрастать. Таким образом, когда угол Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения при движении точки А вверх будет стремиться к углу КОМ, равному 90°, то тангенс этого угла будет неограниченно возрастать.
К такому же выводу можно прийти, рассматривая формулу Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения При увеличении угла Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения от 0° до 90° числитель дроби будет увеличиваться от 0 до 1, а знаменатель — уменьшаться от 1 до 0, значит, вся дробь будет увеличиваться от 0 до бесконечности. Таким образом, при увеличении угла от 0° до 90° его тангенс увеличивается от 0 до бес­конечности.

Пример №12

В основании прямоугольного параллелепипеда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения лежит квадрат, диагональ которого Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения см. Диагональ Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения боковой грани составляет с ребром основания Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения угол Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 46). Найдите объем параллелепипеда.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

Объем прямоугольного параллелепипеда находится по формуле Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения, где а, b и с — его измерения. Так как ABCD — квадрат, то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения. Из прямоугольного треугольника Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения находим Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения. Искомый объем Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения.
Ответ: 576 см3.

Синус, косинус, тангенс и котангенс тупого угла

1. Определение значений Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения для любого угла а от 0° до 180°

Ранее мы дали определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла через отношение сторон прямоугольного треугольника. Сделаем теперь это для углов от 0° до 180°.

Рассмотрим полуокружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1 (рис. 48). От положительной полуоси Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения против часовой стрелки отложим острый угол Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения сторона которого пересекает полуокружность в точке Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения. Из прямоугольного треугольника OMN, где ОМ = 1, ON = х, MN = у, получаем: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения то есть синус, косинус,

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

тангенс и котангенс острого угла а выражаются через координаты Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения точки Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Точно так же определяются значения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения и Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения для любого угла а из промежутка Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Таким образом, синусом угла а называется ордината Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения косинусом — абсцисса Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения тангенсом — отношение ординаты к абсциссе Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения  а котангенсом — отношение абсциссы к ординате Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения точки М единичной полуокружности.

Например, для тупого Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 48), где Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения получим: 

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Для любого положения точки Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения на единичной полуокружности верно равенство Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (докажите самостоятельно). Поэтому для углов Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения где Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения верно основное тригонометрическое тождество Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Также верны тождества: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Нахождение синуса, косинуса, тангенса и котангенса тупых углов

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пусть Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения откуда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 49). Так как Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения по гипотенузе и острому углу, то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияТочки Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения имеют координаты: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения и Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Тогда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решениято есть для углов от 0° до 180° справедливы равенства: 

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Можно пользоваться следующим правилом:
 

Синус тупого угла равен синусу смежного с ним острого угла.
Косинус тупого угла равен косинусу смежного с ним острого угла, взятому со знаком «минус».

 

Пример 1. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

 Разделив почленно равенство Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияна равенство Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения а затем наоборот, получим равенства:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Можно пользоваться следующим правилом:
Тангенс (котангенс) тупого угла равен тангенсу (котангенсу) смежного с ним острого угла, взятому со знаком «минус».

Пример 2. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Указанные формулы и правила позволяют находить значения триго­нометрических функций тупого угла через значения тригонометрических функций острого угла, который дополняет данный тупой угол до 180°: синусы углов, дополняющих друг друга до 180°, равны между собой, а косинусы, тангенсы и котангенсы — противоположны. Так как синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла по­ложительные, то синус тупого угла положительный, а косинус, тангенс и котангенс — отрицательные.

Значения тригонометрических функций для углов 0°, 90°, 180°

Если луч ОМ совпадет с лучом Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения(рис. 50), то будем считать, что Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Тогда:

а) Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения значение Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияне определено, так как деление на нуль невозможно; 

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

б) Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решениязначение Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения не определено, так как деление на нуль невозможно; в) Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения значе­ние Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения не определено, так как деление на нуль невозможно.
Поскольку проекции радиуса, равного 1, на оси координат меньше либо равны 1, то для углов Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения справедливы неравенства: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пример №13

Найти Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения если Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения – тупой угол.

Решение:

Способ 1. Так как Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Поскольку угол Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения — тупой, то его косинус отрицательный. Поэтому Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияТогдаСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Способ 2. Синус острого угла Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения смежного с данным тупым углом Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения равен также Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Построим прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (рис. 52). В нем Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияТак как косинусы смежных углов противоположны, то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения. Аналогично, Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ:Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Формулы площади треугольника и площади параллелограмма

Тригонометрические функции позволяют получить формулы для вычисления площади треугольника и площади параллелограмма. Сформулируем их в виде двух теорем.

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними, т. е. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Доказательство:

Пусть в треугольнике Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения— острый, Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения — высота (рис. 56, а).

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Из  прямоугольного треугольника Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Тогда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Если угол Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения тупой (рис. 56, Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения— острый. Из прямоугольно­го треугольника АКС следует, что Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Так как Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решениято Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Если Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения — прямоугольный с катетами Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Учитывая, что Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения получим: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Теорема доказана.

Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению двух его соседних сторон на синус угла между ними, т. е. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Используя рисунок 57, докажите эту теорему самостоятельно.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Замечание. Если Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения то параллелограмм является прямоугольником. Его площадь Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения так как Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Таким образом, формула площади прямоугольника Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения — частный случай формулы площади параллелограмма Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Известно, что слово «синус» в переводе с латинского имеет множество значений: изгиб, дуга, пазуха, бухта, впадина, залив, хорда, забота и нежная любовь. При помощи Интернета выясните:

а) какое из значений подходит к математическому понятию «синуса»;

б) какие из значений относятся к медицине и почему насморк врачи иногда называют синуситом.

Пример №14

Дан параллелограмм ABCD, площадь которого 40 см2, а периметр 36 см. Найти стороны параллелограмма, если его угол D равен 150° (рис. 58).
Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

Полупериметр параллелограмма ра­вен 18 см. Если Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решениясм, то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения см.
Тогда

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Так как Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
По условию Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Составим и решим уравнение: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения По теореме Виета (обратной) Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения— корни.
Если CD = 8 см, то AD = 10 см, если CD = 10 см, то AD = 8 см.
Ответ: 8 см, 10 см.

Пример №15

Доказать, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, т.е. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Доказательство:

Пусть диагонали Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения и Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения четырехугольника ABCD (рис. 59) пересекаются в точке О, Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Докажем, что Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Обозначим Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Заме­тим, что Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решениякак вертикальные, Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения по свойству смежных углов. Поэтому Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения По фор­муле площади треугольника Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения у получим:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Утверждение доказано

Среднее пропорциональное (среднее геометрическое) в прямоугольном треугольнике

Если для положительных чисел Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения выполняется пропорция Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решениято число Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения называется средним пропорциональным чисел а и с (между чис­лами а и с). Из указанной пропорции Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения откуда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения В такой форме записи число Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения еще называют средним геометрическим чисел а и с.
 

Пример №16

Число 4 является средним пропорциональным, или средним геометрическим чисел 2 и 8, так как = Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения или Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

В прямоугольном треугольнике АВС, где Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения, проведем высоту СК (рис. 61). Отрезок АК является проекцией катета АС на гипотенузу, а отрезок ВК — проекцией катета ВС на гипотенузу. Катеты, гипотенуза, высота и проекции катетов на гипотенузу связаны отношениями, которые мы сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема (о среднем пропорциональном в прямоугольном треугольнике).

а) Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, т. е. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (см. рис. 61).

б) Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проек­цией этого катета на гипотенузу, т. е. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Доказательство:

а)3аметим, что если Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения(эти углы дополняют Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения до 90°) (рис. 62). Из Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения из Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Отсюда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

б) Из Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения, из Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения откуда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Аналогично доказывается, что Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Теорема доказана.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Обозначив катеты Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения гипотенузу с, высо­ту Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения проекции катетов на гипотенузу Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения(рис. 63), получим следующие формулы: 

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пример №17

Найти площадь прямоугольного треугольника, если проекции катетов на гипотенузу равны 2 см и 8 см.

Решение:

Пусть СН — высота прямоугольного треугольника АВС  Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения АН = 2 см — проекция катета АС на гипотенузу, НВ = 8 см —

проекция катета СВ на гипотенузу (рис. 64). Так как высота СН есть среднее геометрическое между проекциями катетов на гипотенузу, то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: 20 см2.

Пример №18

В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведена высота Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения см, АК = 12 см (рис. 65). Найти гипотенузу АВ.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

Пусть Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения см, тогда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения см.
Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу. Поэтому Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения т. е. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения По теореме Виета (обратной) Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияПо смыслу задачи Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Значит, КВ = 3 см, АВ = 15 см.
Ответ: 15 см.

Пример №19

При помощи циркуля и линейки построить отрезок, равный среднему геометрическому отрезков т и п .

Решение:

Пусть даны отрезки т и п . Необходимо построить отрезок Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Построение.
1) На произвольной прямой откладываем данные отрезки: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

2) На отрезке АВ как на диаметре строим полуокружность, для чего находим середину О отрезка АВ, откуда ОА — радиус данной окружности.

3) Из точки К восстанавливаем перпендикуляр к прямой АВ до пересечения с полуокружностью в точке М (рис. 66).
Отрезок Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения— среднее пропорциональное отрезков Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Доказательство:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения— прямой как вписанный угол, опирающийся на диаметр. В прямоугольном треугольнике АМВ высота МК является средним пропорциональным проекций катетов AM и МВ на гипотенузу Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Повторение*
В 8-м классе мы доказали следующую теорему:

Теорема (о касательной и секущей). Если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной, соединяющего данную точку и точку касания, равен произведению отрезков се­ кущей, соединяющих данную точку и точки пересечения секущей с окружностью, т. е. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 70).

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Как видим, отрезок Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения является средним пропорциональным между отрезками Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения секущей. Глядя на рисунок 70, вспомните идею доказательства теоремы.

Теорема о площадях треугольников с общим (равным) углом

Площади треугольников, имеющих общий угол (или равный угол), относятся как произведения сторон, заключающих этот угол (рис. 75),
т.е.
Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Доказательство:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Следствие: Верно:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пример №20

Площадь треугольника АВС равна 16, АК : КС = 3 :1 , AM : МВ = 1 :2 (рис. 76). Найти Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

Способ 1. По следствию из теоремы о площадях треугольников с общим углом получаем:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Способ 2.  Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: 4.

Теорема Менелая

Если дан треугольник АВС и прямая Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения пересекает стороны ВС, АВ и продолжение стороны АС в точках Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения соответственно (рис. 79), тоСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Доказательство:

Проведем отрезок Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Так как Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияи Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения(по двум углам), то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения и Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Перемножив почленно указанные пропорции, получим

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияоткуда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Замечание. При составлении произведения трех отношений теоремы Менелая можно начинать с любой из шести точек (трех вершин треугольника и трех точек пересечения прямой Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения с прямыми, содержащими стороны треугольника) и двигаться по контуру либо по часовой, либо против часовой стрелки. При этом вершины треугольника и точки пересечения должны чередоваться.

Пример №21

В треугольнике АВС на сторонах АВ и АС взяты соответственно точки М и К, такие, что AM : МВ = 2 :1 , АК : КС = 3 :2 . Отрезки СМ и ВК пересекаются в точке О. Найти ВО : ОК.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

Способ 1 (теорема Менелая). Рассмотрим Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 80). Прямая Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения пересекает две его стороны АВ и ВК соответственно в точках М и О и продолжение тре­тьей стороны АК в точке С. По теореме Менелая Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения откуда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Способ 2 (теорема Фалеса обобщенная). Проведем Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 81). По теореме Фалеса Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Тогда АЕ — три части, ЕМ — две части, AM — пять частей, откуда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Но Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Отсюда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Для Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
по теореме Фалеса Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

 Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пример №22

Дан равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС), площадь которого равна 80. Точка К делит высоту ВН в отношении 1 : 3, считая от основания. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке М. Найти площадь четырехугольника НКМС (рис. 82).

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

1) Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (ВН — высота и медиана треугольника АВС).

2) Применим теорему Менелая к треугольнику НВС.
Прямая AM пересекает его стороны ВН и ВС соответственно в точках К и М и продолжение стороны НС в точке Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Тогда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Откуда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

3) Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

4) Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: 22.

Неравенство Коши

Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел больше либо равно их среднему геометрическому, т. е.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Например, Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Действительно, Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Алгебраическое доказательство указанного неравенства таково. Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Получим: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Так как Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияпри всех допустимых Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения, то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Следовательно, неравенство Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения верно.
Неравенство Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения где Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения называется неравенством Коши по имени известного французского математика и часто используется при решении олимпиадных задач.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Приведем геометрическое доказательство указанного неравенства. Изобразим окружность с диаметром АВ и центром в точке О (рис. 87). На диаметре возьмем точку К (для определенности левее центра О). Пусть Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Из точки К вос­становим перпендикуляр КС, где точка С принад­лежит окружности. Проведем радиус ОС. Так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения прямоугольный, СК — его высота, проведенная к гипотенузе. По теореме о среднем пропорциональном в прямоугольном треугольнике Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения. Но радиус ОС равен половине диаметра АВ, т. е. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения. В Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения катет меньше гипотенузы, т. е. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения так как катет меньше гипотенузы. Отсюда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Равенство левой и правой частей неравенства достигается, когда точ­ка К совпадает с точкой О и Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения становится равнобедренным и прямоугольным. Поэтому справедливо неравенство Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решеният. е Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

ЗАПОМИНАЕМ

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

2. Значения тригонометрических функций углов 30 45°, 60°: 

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

3. Тригонометрические формулы (тождества): 

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Примеры:  Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

4. Формулы площади треугольника и параллелограмма: 

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

5. Среднее пропорциональное в прямоугольном треугольнике: 

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

  • Сумма углов треугольника
  • Внешний угол треугольника
  • Свойство точек биссектрисы угла
  • Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
  • Угол – определение, виды, как обозначают с примерами
  • Перпендикулярные прямые в геометрии
  • Признаки равенства треугольников
  • Признаки равенства прямоугольных треугольников

Содержание:

  • Определение тупого угла
  • Примеры решения задач с тупыми углами

Определение тупого угла

Определение

Угол называется тупым, если его
градусная мера лежит в пределах от
$90^{circ}$ до
$180^{circ}$ (рис. 1).

$angle alpha$ – тупой, если
$90^{circ} lt angle alpha < 180^{circ}$.

Что такое тупой угол, рисунок тупого угла

То есть тупой угол больше
прямого и меньше, чем
развернутый.

Примеры решения задач с тупыми углами

Пример

Задание. Найти тупой угол параллелограмма
$ABCD$, если известно, что его
острый угол равен
$30^{circ}$.

Решение. Известно, что сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна
$180^{circ}$. Тогда искомый тупой угол равен

$$angle alpha=180^{circ}-30^{circ}=150^{circ}$$

Ответ. $angle alpha=150^{circ}$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Два угла треугольника равны
$30^{circ}$ и
$40^{circ}$. Найти третий угол треугольника, определить
тупым или острым он является.

Решение. Пусть $alpha$ – искомый угол.
Согласно теореме про сумму углов треугольника имеем, что

$$angle alpha+30^{circ}+40^{circ}=180^{circ}$$

Отсюда получаем

$$angle alpha=110^{circ}$$

Так как $90^{circ} < angle alpha=110^{circ} < 180^{circ}$, то он является тупым.

Ответ. $angle alpha=110^{circ}$

Читать дальше: что такое плоский угол.

Для нахождения элементов в произвольном треугольнике используется теорема синусов или теорема косинусов.

4cepure.JPG

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: 

asinA=bsinB=csinC

(в решении задачи одновременно пишутся две части, они образуют пропорцию).

Теорема синусов используется для вычисления:

  • неизвестных сторон треугольника, если даны два угла и одна сторона;

  • неизвестных углов треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

Так как один из углов треугольника может быть тупым, значение синуса тупого угла находится по формуле приведения

sin180°−α=sinα

.

Наиболее часто используемые тупые углы:

sin120°=sin180°−60°=sin60°=32;sin150°=sin180°−30°=sin30°=12;sin135°=sin180°−45°=sin45°=22.

Радиус описанной окружности

Треуг2.jpg

asinA=bsinB=csinC=2R

, где (R) — радиус описанной окружности.

Выразив радиус, получаем

R=a2sinA

, или

R=b2sinB

, или

R=c2sinC

.

Для вычисления элементов прямоугольного треугольника достаточно (2) данных величин (две стороны или сторона и угол).

Для вычисления элементов произвольного треугольника необходимо хотя бы (3) данных величины.

4cepure.JPG

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Также теорема исполняется для любой стороны треугольника:

Теорема косинусов используется для вычисления:

  • неизвестной стороны треугольника, если даны две стороны и угол между ними;

  • вычисления косинуса неизвестного угла треугольника, если даны все стороны треугольника.

Значение косинуса тупого угла находится по формуле приведения

cos180°−α=−cosα

.

Наиболее часто используемые тупые углы:

cos120°=cos180°−60°=−cos60°=−12;cos150°=cos180°−30°=−cos30°=−32;cos135°=cos180°−45°=−cos45°=−22. 

Если необходимо найти приблизительное значение синуса или косинуса другого угла или вычислить угол по найденному синусу или косинусу, то используется таблица или калькулятор.

Источники:

Рис. 1-3. Треугольник, окружность, © ЯКласс.

Добавить комментарий