Как найти значение уравнения с двумя иксами

Как найти значение уравнения с двумя иксами

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Линейное уравнение выглядит так ах + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

  • если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = -b : а;
  • если а равно нулю — у уравнения нет корней;
  • если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так: ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

    Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Алгоритм решения простого линейного уравнения
  1. Раскрываем скобки, если они есть.
  2. Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую.
  3. Приводим подобные члены в каждой части уравнения.
  4. Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

    Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

    Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

  1. 4х + 8 = 6 − 7х
  2. 4х + 7х = 6 − 8
  3. 11х = −2
  4. х = −2 : 11
  5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

  2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
  3. 9х — 12 = 28х + 24
  4. 9х — 28х = 24 + 12
  5. -19х = 36
  6. х = 36 : (-19)
  7. х = – 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Решение уравнений с двумя неизвестными

В математике большая часть задач ориентирована на решение стандартных уравнений, в которых представлена одна переменная. Однако, некоторые из них, помимо числовых выражений, содержат одновременно две неизвестные. Перед тем как приступить к решению такого уравнения, стоит изучить его определение.

Определение

Итак, уравнением с двумя неизвестными называют любое равенство следующего типа:

a*x + b*y =с, где a, b, c — числа, x, y — неизвестные переменные.

Ниже приведены несколько примеров:

Уравнение с двумя неизвестными точно так же, как и с одной, имеет решение. Однако такие выражения, как правило, имеют бесконечное множество разных решений, поэтому в алгебре их принято называть неопределенными.

Решение задач

Чтобы решить подобные задачи, необходимо отыскать любую пару значений x и y, которая удовлетворяла бы его, другими словами, обращала бы уравнение с неизвестными x и y в правильное числовое равенство. Найти удовлетворяющую пару чисел можно при помощи метода подбора.

Для наглядности объяснений подберем корни для выражения: y-x = 6.

При y=5 и x=-1 равенство становится верным тождеством 5- (-1) = 6. Поэтому пару чисел (-1; 5) можно считать корнями выражения y-x = 6. Ответ: (-1; 5).

Необходимо отметить, что записывать полученный ответ по правилам необходимо в скобках через точку с запятой. Первым указывается значение х, вторым — значение y.

У равенств такого вида может и не быть корней. Рассмотрим такой случай на следующем примере: x+y = x+y+9

Приведем исходное равенство к следующему виду:

В результате мы видим ошибочное равенство, следовательно, это выражение не имеет корней.

При решении уравнений можно пользоваться его свойствами. Первое их них: каждое слагаемое можно вынести в другую часть выражения. Вместе с этим обязательно нужно поменять знак на обратный. Получившееся равенство будет равнозначно исходному.

Например, из выражения 20y — 3x = 16 перенесем неизвестное y в другую его часть.

Оба равенства равносильны.

Второе свойство: допустимо умножать или делить части выражения на одинаковое число, не равное нолю. В итоге получившиеся равенства будут равнозначны.

Оба уравнения также равносильны.

Система уравнений с двумя неизвестными

Система уравнений представляет собой некоторое количество равенств, выполняющихся одновременно. В большинстве задач приходится находить решение системы, состоящей из двух равенств с двумя переменными.

Для решения системы уравнений необходимо найти пару чисел, обращающих оба уравнения системы в правильное равенство. Решением может служить одна пара чисел, несколько пар чисел или вовсе их отсутствие.

Решить подобные системы уравнений можно, применяя следующие методы.

Метод подстановки

  1. Выражаем неизвестное из любого равенства через вторую переменную.
  2. Подставляем получившееся выражение неизвестного во второе равенство и решаем его.
  3. Делаем подстановку полученного значения неизвестного и вычисляем значение второго неизвестного.

Метод сложения

  1. Приводим к равенству модули чисел при каком-либо неизвестном.
  2. Производим вычисление одной из переменных, произведя сложение или вычитание полученных выражений.
  3. Подставляем найденное значение в какое-либо уравнение в первоначальной системе и вычисляем вторую переменную.

Графический метод

  1. Выражаем в каждом равенстве одну переменную через другую.
  2. Строим графики двух имеющихся уравнений в одной координатной плоскости.
  3. Определяем точку их пересечения и ее координаты. На этом шаге у вас может получиться три варианта: графики пересекаются — у системы единственно верный вариант решения; прямые параллельны друг другу — система решений не имеет; графики совпадают — у системы бесконечно много решений.
  4. Делаем проверку, подставив полученные значения в исходную систему равенств.

При нахождении корней у одной системы всеми этими способами у вас обязательно должен получиться одинаковый результат, если вы, конечно, все сделали правильно.

В настоящее время есть возможность решения подобных задач с помощью встроенных средств офисной программы Excel, а также на специализированных онлайн-ресурсах и калькуляторах. С помощью них вы легко можете проверить правильность своих вычислений и результатов.

Надеемся, что наша статья помогла вам в освоении этой базовой темы школьной математики. Если же вы пока не можете справиться с решением уравнений такого вида, не расстраивайтесь. Для понимания и закрепления изученной темы рекомендуется как можно больше практиковаться, и тогда у вас без труда получится решать задачи любой сложности. Желаем вам удачи в покорении математических вершин!

Видео

Из этого видео вы узнаете, как решать уравнения с двумя неизвестными.

Уравнения с двумя переменными (неопределенные уравнения)

Разделы: Математика

Обращение автора к данной теме не является случайным. Уравнения с двумя переменными впервые встречаются в курсе 7-го класса. Одно уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений. Это наглядно демонстрирует график линейной функции, заданный в виде ax + by=c. В школьном курсе учащиеся изучают системы двух уравнений с двумя переменными. В результате из поля зрения учителя и, поэтому ученика, выпадает целый ряд задач, с ограниченными условиями на коэффициент уравнения, а также методы их решения.

Речь идет о решении уравнения с двумя неизвестными в целых или натуральных числах.

В школе натуральные и целые числа изучаются в 4-6-х классах. К моменту окончания школы не все ученики помнят различия между множествами этих чисел.

Однако задача типа “решить уравнение вида ax + by=c в целых числах” все чаще встречается на вступительных экзаменах в ВУЗы и в материалах ЕГЭ.

Решение неопределенных уравнений развивает логическое мышление, сообразительность, внимание анализировать.

Я предлагаю разработку нескольких уроков по данной теме. У меня нет однозначных рекомендаций по срокам проведения этих уроков. Отдельные элементы можно использовать и в 7-м классе (для сильного класса). Данные уроки можно взять за основу и разработать небольшой элективный курс по предпрофильной подготовке в 9-м классе. И, конечно, этот материал можно использовать в 10-11 классах для подготовки к экзаменам.

Цель урока:

    повторение и обобщение знаний по теме “Уравнения первого и второго порядка”

  • воспитание познавательного интереса к учебному предмету
  • формирование умений анализировать, проводить обобщения, переносить знания в новую ситуацию

Урок 1.

Ход урока.

1) Орг. момент.

2) Актуализация опорных знаний.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.

Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6

Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.

Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1

x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4

Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).

Данное уравнение имеет бесконечно много решений.

3) Историческая справка

Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.

В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.

Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.

4) Изучение нового материала.

Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y Z k0

Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.

Пример: 34x – 17y = 3.

НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.

Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно простыми.

Если m и n уравнения (1) взаимно простые числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.

Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно простыми числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:

где (; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z

Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)

m, n, x, y Z

Если m и n – взаимно простые числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид

5) Домашнее задание. Решить уравнение в целых числах:

  • 9x – 18y = 5
  • x + y= xy
  • Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?

    • Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.

    Урок 2.

    1) Организационный момент

    2) Проверка домашнего задания

    5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.

    Методом подбора можно найти решение

    3) Составим уравнение:

    Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174

    Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить.

    Ответ: мальчиков 4, девочек 6.

    3) Изучение нового материала

    Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них.

    I. Метод рассмотрения остатков от деления.

    Пример. Решить уравнение в целых числах 3x – 4y = 1.

    Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая.

    1. Если y = 3m, m Z, то 4y + 1= 4•3m + 1 = 12m + 1 не делится на 3.
    2. Если y = 3 m + 1, то 4y +1 = 4• (3m + 1)+1 = 12m + 5 не делится на 3.
    3. Если y = 3 m + 2, то 4y +1 = 4• (3m + 2)+1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, следовательно, x = 4m + 3, а y = 3m + 2.

    Ответ: где m Z.

    Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители.

    Пример: Решить уравнения в целых числах.

    Пусть y = 4n, тогда 16 – 7y = 16 – 7•4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) делится на 4.

    y = 4n+1, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n не делится на 4.

    y = 4n+2, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не делится на 4.

    y = 4n+3, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n не делится на 4.

    Следовательно, y = 4n, тогда

    4x = 16 – 7•4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

    Ответ: , где n Z.

    II. Неопределенные уравнения 2-ой степени

    Сегодня на уроке мы лишь коснемся решения диофантовых уравнений второго порядка.

    И из всех типов уравнений рассмотрим случай, когда можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.

    Пример: Решить уравнение в целых числах.

    13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами: 13 = 13•1 = 1•13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

    Рассмотрим эти случаи

    а) =>

    б) =>

    в) =>

    г) =>

    4) Домашнее задание.

    Примеры. Решить уравнение в целых числах:

    а)

    2x = 4 2x = 5 2x = 5
    x = 2 x = 5/2 x = 5/2
    y = 0 не подходит не подходит
    2x = -4 не подходит не подходит
    x = -2
    y = 0

    б)

    в)

    Итоги. Что значит решить уравнение в целых числах?

    Какие методы решения неопределенных уравнений вы знаете?

    Упражнения для тренировки.

    1) Решите в целых числах.

    а) 8x + 12y = 32 x = 1 + 3n, y = 2 – 2n, n Z
    б) 7x + 5y = 29 x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
    в) 4x + 7y = 75 x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
    г) 9x – 2y = 1 x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
    д) 9x – 11y = 36 x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
    е) 7x – 4y = 29 x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
    ж) 19x – 5y = 119 x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
    з) 28x – 40y = 60 x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

    2) Найти целые неотрицательные решения уравнения:

    а) 8x + 65y = 81 x = 2, y = 1
    б) 17x + 23y = 183 x = 4, y = 5

    3) Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие следующим условиям

    а) x + y = xy (0;0), (2;2)
    б) (1;2), (5;2), (-1;-1), (-5;-2)

    Число 3 можно разложить на множители:

    в) (11;12), (-11;-12), (-11;12), (11;-12)
    г) (24;23), (24;-23), (-24;-23), (-24;23)
    д) (48;0), (24;1), (24;-1)
    е) x = 3m; y = 2m, mZ
    ж) y = 2x – 1 x = m: y = 2m – 1, m Z
    з) x = 2m; y = m; x = 2m; y = -m, m Z
    и) решений нет

    4) Решить уравнения в целых числах

    (-3;-2), (-1;1), (0;4), (2;-2), (3;1), (5;4)
    (x – 3)(xy + 5) = 5 (-2;3), (2;-5), (4;0)
    (y + 1)(xy – 1)=3 (0;-4), (1;-2), (1;2)
    (-4;-1), (-2;1), (2;-1), (4;1)
    (-11;-12), (-11;12), (11;-12), (11;12)
    (-24;23), (-24;23), (24;-23), (24;23)

    5) Решить уравнения в целых числах.

    а) (-1;0)
    б) (5;0)
    в) (2;-1)
    г) (2; -1)
  • Детская энциклопедия “Педагогика”, Москва, 1972 г.
  • Алгебра-8, Н.Я. Виленкин, ВО “Наука”, Новосибирск, 1992 г.
  • Конкурсные задачи, основанные на теории чисел. В.Я. Галкин, Д.Ю. Сычугов. МГУ, ВМК, Москва, 2005г.
  • Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. Н.П. Косрыкина. “Просвещение”, Москва, 1991 г.
  • Алгебра 7, Макарычев Ю.Н., “Просвещение”.

    • [spoiler title=”источники:”]

    http://liveposts.ru/articles/education-articles/matematika/reshenie-uravnenij-s-dvumya-neizvestnymi

    http://urok.1sept.ru/articles/417558

    [/spoiler]

    Источник

    О решении вот в этих… в действительных числах.

    Ежели уравнений с парочкой неизвестных 2,

    то этакая

    система уравнений различными способами решается.

    Можно произвести подстановку переменных,

    что приведёт к однозначному выражению одной из них.

    Можно методом сложения уравнений решать. Варианты суть.

    Ежели уравнений больше двух, скорее всего они противоречат меж собой, множество решений будет пустое.

    Одно же уравненьище с 2мя неизвестными не будет однозначно разрешимо.

    Для примера, уравнение x + y = 7 имеет ажник бесконечно много решений. Любой х образует решение с

    у = 7-х.

    Речь пошла о множестве решений.

    Множество решений рассмотренного выше

    x + y = 7

    образует

    в декартовой системе, стыдно сказать, координат

    прямую линию.

    y – x^2 = 0 уравнение параболы.

    x – y^2 = 0 уравнение параболы же, но “рогами вбок”.

    x * y = 1 уравнение гиперболы, чтоб не соврать.

    x^2 + y^2 = Щ^2 это аж уравнение окружности радиуса Щ.

    sin(x) – y = 0 уравнение синусоиды.

    Над некоторыми уравнениями, чтобы найти множество его решений, приходится напрягаться. Некоторые могут решений в действительных тех самых числах не иметь, например:

    x^2 + y^2 = -77

    В самом деле, видел кто-нибудь окружность с отрицательным радиусом? 🙂

    Каждое нестандартное уравнение просит особого подхода.

    Уравнение вида F(x1,…xk) = 0, где k штук переменных, а F целочисленная функция (принимает целое значение, если переменные целые),

    называется диофантово уравнение.

    В общем виде оно неразрешимо,

    в некоторых частных случаях

    решается всякий раз по-своему.

    Примеры.

    1,5*x + y^2 – 2,5 = 0 недиофантово, т.к. при целом y и чётном x сумма 1,5*x + y^2 – 2,5 не целая.

    x + y^2 = 0 диофантово, т.к. при любых целых y, x сумма x + y^2 тоже целая.

    x^3 + y^2 – 8 = 0.

    Имеет, как мне чудится, 4 решения (-46; 312), (-2;4); (-1;3) и (2;0).

    x^3 + y^2 – 11 = 0.

    Похоже, что вот решений вот не имеет.

    2x + 3y – 9 = 0.

    Чтоб у стал целым, разность 9 – 2х должна делиться на 3.

    Подходит, например, x = 0 ( y = 3).

    Для любого х, кратного 3, существует у, образующий с этим х решение.

    А х, не кратное 3, можно вот представить вот в виде либо (3*a+1), либо (3*a+2). Тогда соответственно

    y = (7-6*a) либо y = (5-6*a), то есть y не кратно 3,

    решения с таким х не существует.

    А любое х, кратное 3 (и только такое) образует решение вида (х;(9 – 2х)).

    Источник


    Загрузить PDF


    Загрузить PDF

    В простых алгебраических уравнениях переменная находится только на одной стороне уравнения, а вот в более сложных уравнениях переменные могут находиться на обеих сторонах уравнения. Решая такие уравнения, всегда помните, что любая операция, которая выполняется на одной стороне уравнения, должна быть выполнена и на другой стороне. С помощью этого правила переменные можно переносить с одной стороны уравнения на другую, чтобы изолировать их и вычислить их значения.

    1. Изображение с названием Solve Equations with Variables on Both Sides Step 1

      1

      Примените распределительный закон (если нужно). Этот закон гласит, что a(b+c)=ab+ac.[1]
       Распределительный закон позволяет раскрыть скобки с помощью умножения члена, стоящего за скобками, на каждый член, заключенный в скобки.[2]

    2. Изображение с названием Solve Equations with Variables on Both Sides Step 2

      2

      Избавьтесь от переменной на одной стороне уравнения. Для этого вычтите или прибавьте такой же член с переменной. Например, если член с переменной вычитается, прибавьте такой же член, чтобы избавится от него; если же член с переменной прибавляется, вычтите такой же член, чтобы избавится от него. Как правило, проще избавиться от переменной с меньшим коэффициентом.[3]

    3. Изображение с названием Solve Equations with Variables on Both Sides Step 3

      3

      Следите, чтобы равенство не нарушалось. Любая математическая операция, выполняемая на одной стороне уравнения, должна быть выполнена и на другой стороне. Поэтому если вы прибавляете или вычитаете какой-либо член, чтобы избавиться от переменной на одной стороне уравнения, прибавьте или вычтите тот же член на другой стороне уравнения.[4]

    4. Изображение с названием Solve Equations with Variables on Both Sides Step 4

      4

      Упростите уравнение за счет сложения или вычитания подобных членов. На данном этапе переменная должна находиться на одной стороне уравнения.

    5. Изображение с названием Solve Equations with Variables on Both Sides Step 5

      5

      Перенесите свободные члены на одну сторону уравнения (если нужно). Необходимо сделать так, чтобы член с переменной находился на одной стороне, а свободный член – на другой. Чтобы перенести свободный член (и избавиться от него на одной стороне уравнения), прибавьте или вычтите его из обеих сторон уравнения.[5]

    6. Изображение с названием Solve Equations with Variables on Both Sides Step 6

      6

      Избавьтесь от коэффициента при переменной. Для этого выполните операцию, противоположную операции между коэффициентом и переменной. В большинстве случаев просто разделите обе стороны уравнения на коэффициент при переменной.[6]
       Помните, что любая математическая операция, выполняемая на одной стороне уравнения, должна быть выполнена и на другой стороне.

    7. Изображение с названием Solve Equations with Variables on Both Sides Step 7

      7

      Проверьте ответ. Для этого подставьте найденное значение в исходное уравнение. Если равенство соблюдается, ответ правильный.

      Реклама

    1. Изображение с названием Solve Equations with Variables on Both Sides Step 8

      1

      Изолируйте переменную в одном уравнении. Возможно, в одном из уравнений переменная уже будет изолирована; в противном случае воспользуйтесь математическими операциями, чтобы изолировать переменную на одной стороне уравнения. Помните, что любая математическая операция, выполняемая на одной стороне уравнения, должна быть выполнена и на другой стороне.

    2. Изображение с названием Solve Equations with Variables on Both Sides Step 9

      2

      Подставьте значение (в виде выражения) изолированной переменной в другое уравнение. Убедитесь, что подставляете выражение целиком. Получится уравнение с одной переменной, которое легко решить.[7]

    3. Изображение с названием Solve Equations with Variables on Both Sides Step 10

      3

      Найдите значение переменной. Для этого перенесите переменную на одну сторону уравнения. Затем перенесите свободные члены на другую сторону уравнения. Потом изолируйте переменную с помощью операции умножения или деления.

    4. Изображение с названием Solve Equations with Variables on Both Sides Step 11

      4

      Найдите значение другой переменной. Для этого найденное значение переменной подставьте в одно из уравнений. Получится уравнение с одной переменной, которое легко решить. Имейте в виду, что найденное значение переменной можно подставить в любое уравнение.

    5. Изображение с названием Solve Equations with Variables on Both Sides Step 12

      5

      Проверьте ответ. Для этого подставьте значения обеих переменных в одно из уравнений. Если равенство соблюдается, ответ правильный.

      Реклама

    1. Изображение с названием Solve Equations with Variables on Both Sides Step 13

      1

      Решите следующее уравнение с одной переменной, используя распределительный закон: 5(x+4)=6x-5.

    2. Изображение с названием Solve Equations with Variables on Both Sides Step 14

      2

      Решите следующее уравнение с дробью: -7+3x={frac {7-x}{2}}.

    3. Изображение с названием Solve Equations with Variables on Both Sides Step 15

      3

      Решите следующую систему уравнений: 9x+15=12y;9y=9x+27

      Реклама

    Что вам понадобится

    • Карандаш
    • Бумага
    • Калькулятор

    Об этой статье

    Эту страницу просматривали 179 644 раза.

    Была ли эта статья полезной?

    Источник

    3+y = 7$

    Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных (x,y), обращающая это уравнение в тождество.

    О тождествах – см. §3 данного справочника

    Например: для уравнения 2x+5y=6 решениями являются пары

    x = -2, y = 2; x = -1,y = 1,6; x = -3,y = 2,4 и т.д.

    Уравнение имеет бесконечное множество решений.

    Свойства уравнения с двумя переменными

    Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными.

    Например: $2x+5y = 6 ⟺5y = -2x+6 iff y = -0,4x+1,2$

    Примеры

    Пример 1. Из данного линейного уравнения выразите y через x и x через y:

    Алгоритм: рассмотрим 3x+4y=10

    1) оставим слагаемое с выражаемой переменной с одной стороны, остальные слагаемые перенесем в другую сторону: 4y=-3x+10

    2) разделим полученное уравнение слева и справа на коэффициент при выражаемой переменной: y=-0,75x+2,5 — искомое выражение y(x).

    Аналогично для x(y): $3x+4y = 10 iff 3x = -4y+10 iff x = -1 frac{1}{3} y+3 frac{1}{3}$

    Линейное уравнение

    y(x)

    x(y)

    а) 4x+5y = 20

    $y = — frac{4}{5} x+4$

    $x=-1 frac{1}{4} y+5$

    б) 3x-2y = 11

    y = 1,5x-5,5

    $x = frac{2}{3} y+3 frac{2}{3}$

    в) x+7y = 8

    $ y = — frac{x}{7}+1 frac{1}{7}$

    x = -7y+8

    г) 2x-11y = 22

    $y = frac{2}{11} x-2$

    x = 5,5y+11

    Пример 2. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, решением которого является пара чисел:

    Алгоритм: рассмотрим (1;5)

    1) составим любой двучлен вида ax+by, например 2x+3y

    2) подставим данные x = 1, y = 5 в двучлен и запишем результат 2x+3y = 17 — это искомое уравнение.

    Решение

    Уравнение

    а) (2;3)

    2x+y = 7

    б) (0;5)

    x-7y = -35

    в) (-1;1)

    5x+3y = -2

    г) (4;5)

    x+y = 9

    Пример 3. Составьте уравнение с двумя переменными, решениями которого являются две пары чисел:

    а) (1;5) и (2;4)

    Искомое уравнение имеет вид ax+by=c. Подставим обе пары:

    $$ {left{ begin{array}{c} a+5b = c \ 2a+4b = c end{array} right.} Rightarrow a+5b = 2a+4b Rightarrow a = b $$

    Пусть a = b = 1. Тогда x+y = 1+5 = 2+4 = 6

    x+y = 6 — искомое уравнение.

    б) (0;2) и (2;5)

    Искомое уравнение имеет вид ax+by = c. Подставим обе пары:

    $$ {left{ begin{array}{c} 0+2b = c \ 2a+5b = c end{array} right.} Rightarrow 2b = 2a+5b Rightarrow a = -1,5b $$

    Пусть b = -2. Тогда a = 3 и уравнение:

    $3x-2y = 3cdot0-2cdot2 = 3cdot2-2cdot5 = -4$

    3x-2y = -4 — искомое уравнение.

    Пример 4. Найдите двузначное число, которое в два раза больше суммы своих цифр.

    Пусть a-цифра десятков (a = 1,2,…,9), b- цифра единиц (b = 0,1,…,9).

    По условию: 10a+b = 2(a+b)

    $$10a+b = 2a+2b Rightarrow 8a = b$$

    Единственное возможное решение: a = 1, b = 8

    Ответ:18

    Пример 5. Найдите двузначное число, которое при умножении на сумму своих цифр даёт 370.

    Пусть a-цифра десятков (a = 1,2,…,9), b- цифра единиц (b = 0,1,…,9).

    По условию: (10a+b)(a+b) = 370

    Разложим 370 на простые множители: $370 = 2cdot5cdot37$

    Возможные значения для суммы a+b = {2;5;10}

    Рассмотрим a+b = 2. Тогда 10a+b = $frac{370}{a+b} = frac{370}{2} = 185 — не quad двузначное quad число Rightarrow$

    $a+b neq 2$

    Рассмотрим a+b = 5. Тогда 10a+b = $frac{370}{5} = 74 Rightarrow a = 7, b = 4, a+b neq 5$.

    Рассмотрим a+b = 10. Тогда 10a+b = $frac{370}{10} = 37 Rightarrow a = 3, b = 7, a+b = 10$.

    Значит, искомое число 37.

    Ответ: 37

    Как решить систему линейных уравнений с помощью Numpy в Python: примеры

    Библиотеку Numpy можно использовать для выполнения множества математических и научных операций, таких как скалярное произведение, поиск значений синуса и косинуса, преобразование Фурье и т.д.

    Что такое система линейных уравнений?

    Википедия определяет систему линейных уравнений как:

    В математике система линейных уравнений (или линейная система) – это набор двух или более линейных уравнений, включающих один и тот же набор переменных.

    Конечная цель решения системы линейных уравнений – найти значения неизвестных переменных. Вот пример системы линейных уравнений с двумя неизвестными переменными x и y:

    Уравнение 1: 

    4x  + 3y = 20
-5x + 9y = 26

    Чтобы решить указанную выше систему линейных уравнений, нам нужно найти значения переменных x и y. Есть несколько способов решить такую систему, например, исключение переменных, правило Крамера, метод сокращения строк и матричное решение.

    В матричном решении решаемая система линейных уравнений представлена в виде матрицы AX = B. Например, мы можем представить уравнение 1 в виде матрицы следующим образом: 

    A = [[ 4   3]
     [-5   9]]

X = [[x]
     [y]]

B = [[20]
     [26]]

    Чтобы найти значение переменных x и y в уравнении 1, нам нужно найти значения в матрице X. Для этого мы можем взять скалярное произведение обратной матрицы A и матрицы B, как показано ниже: 

    X = inverse(A). B

    Если вы не знакомы с тем, как найти обратную матрицу, взгляните на эту ссылку, чтобы понять, как вручную найти обратную матрицу.

    Решение

    Из предыдущего раздела мы знаем, что для решения системы линейных уравнений нам необходимо выполнить две операции: обращение и скалярное произведение матрицы. Библиотека Numpy от Python поддерживает обе операции. Если вы еще не установили библиотеку Numpy, вы можете сделать это с помощью следующей команды pip: 

    $ pip install numpy

    Давайте теперь посмотрим, как решить систему линейных уравнений с помощью библиотеки Numpy.

    Использование методов inv() и dot()

    Сначала мы найдем матрицу, обратную матрице A, которую мы определили в предыдущем разделе.

    Давайте сначала создадим матрицу A на Python. Для создания матрицы можно использовать метод массива модуля Numpy. Матрицу можно рассматривать как список списков, где каждый список представляет собой строку.

    В следующем скрипте мы создаем список с именем m_list, который дополнительно содержит два списка: [4,3] и [-5,9]. Эти списки представляют собой две строки в матрице A. Чтобы создать матрицу A с помощью Numpy, m_list передается методу массива, как показано ниже: 

    import numpy as np

m_list = [[4, 3], [-5, 9]]
A = np.array(m_list)

    Чтобы найти обратную матрицу, которая передается методу linalg.inv() модуля Numpy: 

    inv_A = np.linalg.inv(A)

print(inv_A)

    Следующим шагом является нахождение скалярного произведения между матрицей, обратной матрицей A и B. Важно отметить, что матричное скалярное произведение возможно только между матрицами, если их внутренние размеры равны, т.е. количество столбцов левой матрицы должно соответствовать количеству строк в правой матрице.

    Чтобы найти точечный продукт с помощью библиотеки Numpy, используется функция linalg. dot(). Следующий скрипт находит скалярное произведение между обратной матрицей A и B, которая является решением уравнения 1. 

    B = np.array([20, 26])
X = np.linalg.inv(A).dot(B)

print(X)

    Вывод: 

    [2. 4.]

    Здесь 2 и 4 – соответствующие значения для неизвестных x и y в уравнении 1. Чтобы убедиться, что если вы подставите 2 вместо неизвестного x и 4 вместо неизвестного y в уравнении 4x + 3y, вы увидите что результат будет 20.

    Давайте теперь решим систему трех линейных уравнений, как показано ниже: 

    4x + 3y + 2z = 25
-2x + 2y + 3z = -10
3x -5y + 2z = -4

    Вышеупомянутое уравнение можно решить с помощью библиотеки Numpy следующим образом:

    Уравнение 2: 

    A = np.array([[4, 3, 2], [-2, 2, 3], [3, -5, 2]])
B = np.array([25, -10, -4])
X = np.linalg.inv(A). dot(B)

print(X)

    В приведенном выше скрипте методы linalg.inv() и linalg.dot() связаны вместе. Переменная X содержит решение уравнения 2 и печатается следующим образом: 

    [ 5.  3. -2.]

    Значения неизвестных x, y и z равны 5, 3 и -2 соответственно. Вы можете подставить эти значения в уравнение 2 и проверить их правильность.

    resolve()

    В двух предыдущих примерах мы использовали методы linalg.inv() и linalg.dot() для поиска решения системы уравнений. Однако библиотека Numpy содержит метод linalg.solve(), который можно использовать для непосредственного поиска решения системы линейных уравнений: 

    A = np.array([[4, 3, 2], [-2, 2, 3], [3, -5, 2]])
B = np.array([25, -10, -4])
X2 = np.linalg.solve(A,B)

print(X2)

    Вывод: 

    [ 5.  3. -2.]

    Вы можете видеть, что результат такой же, как и раньше.

    Пример

    Давайте посмотрим, как систему линейных уравнений можно использовать для решения реальных задач.

    Предположим, продавец фруктов продал 20 манго и 10 апельсинов за один день на общую сумму 350 долларов. На следующий день он продал 17 манго и 22 апельсина за 500 долларов. Если цены на фрукты оставались неизменными в оба дня, какова была цена одного манго и одного апельсина?

    Эту задачу легко решить с помощью системы двух линейных уравнений.

    Допустим, цена одного манго равна x, а цена апельсина – y. Вышеупомянутую проблему можно преобразовать так: 

    20x + 10y = 350
17x + 22y = 500

    Решение для указанной выше системы уравнений показано здесь: 

    A = np.array([[20, 10], [17, 22]])
B = np.array([350, 500])
X = np.linalg.solve(A,B)

print(X)

    И вот результат: 

    [10. 15.]

    Выходные данные показывают, что цена одного манго составляет 10 долларов, а цена одного апельсина – 15 долларов.

    Решение многошаговых линейных уравнений | Purplemath

    Add/SubtractTimes/DivideParenthesesZero/No/All Sol’n

    Purplemath

    На двух предыдущих страницах мы рассмотрели решение одношаговых линейных уравнений; то есть уравнения, требующие одного сложения или вычитания или требующие одного умножения или деления. Однако для решения большинства линейных уравнений требуется более одного шага. Какие шаги следует использовать и в каком порядке?

    Для многошаговых линейных уравнений мы будем использовать те же шаги, что и раньше; единственная разница в том, что мы не закончим после одного шага. Нам все равно придется сделать как минимум еще один шаг. В каком порядке следует выполнять эти шаги? Что ж, это будет варьироваться в зависимости от уравнения, но есть некоторые общие рекомендации, которые могут оказаться полезными.

    Содержание продолжается ниже

    MathHelp.com

    Решение многошаговых уравнений

    • Решите 7

      x + 2 = −54

    Переменная находится в левой части уравнения.

    В настоящее время оно умножается на семь, а затем к нему прибавляется двойка. Мне нужно отменить «умножить на семь» и «плюс два».

    Нет правила о том, какую операцию «отмены» я должен выполнить в первую очередь. Однако, если я сначала разделю на 7, я обязательно создам дроби. Лично я предпочитаю избегать дробей, если это возможно, поэтому я почти всегда делаю плюс/минус перед каждым разом/делением. Возможно, мне все равно придется иметь дело с дробями, но, по крайней мере, я могу отложить их ближе к концу моей работы.

    Начав с «плюс два», я вычту два из каждой части уравнения. Только тогда я разделю на семь. Моя работа выглядит так:

    7x + 2 = -54
    -2 -2
    ————
    7x = -56
    —
    7 7

    x = -8

    Выполнив сначала плюс/минус, я избежал дробей. Как видите, в ответе нет дробей, поэтому я сделал себе одолжение, выполнив деление в последнюю очередь. Мое решение:

    x = −8

    Форматирование вашей домашней работы и демонстрация вашей работы способом, который я сделал выше, по моему опыту, является довольно универсально приемлемым.

    Однако (предупреждение!), неплохо было бы также четко переписать свой окончательный ответ в конце каждого упражнения, как показано (выделено фиолетовым цветом) выше. Не ожидайте, что ваш оценщик потратит время на то, чтобы копаться в вашей работе и пытаться выяснить, что вы, вероятно, имели в виду в своем ответе. Отформатируйте свою работу так, чтобы смысл был понятен.

    • Решить −5

      x − 7 = 108

    В этом уравнении переменная (в левой части) умножается на минус пять, а затем из нее вычитается семь. В надежде (как всегда!) избежать дробей, я сначала добавлю семь к любой части уравнения. Только тогда я разделю на минус пять. Моя работа выглядит так:

    -5x — 7 = 108
    +7 +7

    ————-
    -5x = 115
    — —
    -5 -5

    x = -23

    Я аккуратно показал свою работу. Теперь я четко перепишу свое решение в конце своей работы:

    x = −23

    • Решить 3

      x — 9 = 33

    Переменная (в левой части уравнения) умножается на три, а затем из нее вычитается девятка. Я позабочусь сначала о девятке, а потом о троих:

    3x — 9 = 33
    +9 +9
    ————
    3x = 42
    — —
    3 3

    x = 14

    В этом случае, опять же, в моем решении нет дробей:

    x = 14

    • Решить 5

      х + 7 х = 72

    В этом уравнении в левой части есть два члена, которые содержат переменные. Итак, мой первый шаг — объединить эти «подобные термины» слева. Тогда я могу решить:

    5 х + 7 х = 12 х

    Итак, теперь мое уравнение: ступенчатое уравнение. Я решу делением на двенадцать:

    12x = 72
    — —
    12 12

    x = 6

    Мой ответ:

    x = 6

    • Решить 4

      х — 6 = 6 х

    В этом уравнении у меня есть члены с переменными по обе стороны уравнения. Чтобы решить, мне нужно получить все эти переменные члены на одной стороне уравнения.

    Нет правила, говорящего, какой из двух членов я должен переместить, 4 x или 6 x . Однако по опыту я узнал, что, чтобы избежать отрицательных коэффициентов в моих переменных, я должен переместить x член с меньшим коэффициентом. Это означает, что в данном случае я вычту 4 x из левой части в правую:

    4x — 6 = 6x
    -4x -4x
    ————-
    -6 = 2x

    Теперь у меня есть одношаговое уравнение, которое я решу путем деления на два:

    -6 = 2x
    — —
    2 2

    -3 = x

    Мое решение:

    x = −3

    В приведенном выше упражнении переменная (в моей работе) оказалась в правой части уравнения. Это совершенно нормально. Переменная не «требуется» оказаться в левой части уравнения; мы просто привыкли видеть его там. Таким образом, результат «−3 =  x » вполне приемлем и означает то же самое, что и « x  = −3».

    Однако (внимание!), я слышал, что некоторые преподаватели настаивают на том, чтобы переменная располагалась в левой части уравнения в финальном ответе . (Нет, я это не выдумываю.) Таким образом, несмотря на то, что «−3 =  x » вполне допустимо в работе, эти инструкторы сочтут это «неправильным», если вы оставите ответ таким. Если у вас есть какие-либо сомнения относительно настроек форматирования вашего преподавателя, спросите сейчас.

    В этом уравнении у меня есть переменные по обе стороны уравнения, а также случайные числа по обе стороны. Мне нужно получить переменные термины с одной стороны и свободные числа с другой стороны. Поскольку я хотел бы избежать отрицательных коэффициентов для моих переменных, я буду перемещать меньшее из двух условий; а именно -4 x , который в настоящее время находится справа. Чтобы получить свободные числа на стороне, противоположной переменным терминам, я буду перемещать -1, которая в настоящее время находится в левой части. Для выполнения этих шагов не существует определенного «правильного» порядка; поскольку они оба связаны с добавлением, люди обычно делают их вместе за один шаг. Сначала я сделаю переменные члены, а затем свободные числа:

    8x — 1 = 23 — 4x
    +4x +4x
    ——————
    12х — 1 = 23
    +1 +1
    ————
    12x = 24

    На данный момент у меня есть одношаговое уравнение, для решения которого требуется одно деление:

    12x = 24
    — —
    12 12

    x = 2

    Тогда мой ответ:

    x = 2

    Если бы в приведенном выше примере я сделал первые два шага за один раз, это выглядело бы так:

    8х — 1 = 23 — 4х
    +4x +1 +1 +4x
    ——————
    12х = 24
    — —
    12 12

    x = 2

    Возможно, когда вы только начинаете, лучше делать каждый шаг отдельно. Но как только вы освоитесь с процессом (и надежно получите правильные значения), не стесняйтесь начинать комбинировать некоторые шаги.

    Это уравнение запутанно! Прежде чем я смогу решить, мне нужно объединить одинаковые члены с обеих сторон уравнения:

       5 + 4 х — 7 = 4 х — 2 — х

    (5 — 7) + 4 х = (4 х — 1 х ) — 1 х ) — 1 904 — 90 0

    3 = 3 x − 2

    Теперь, когда я упростил каждую часть уравнения, я могу заняться его решением.

    -2 + 4х = 3х — 2
    -3x -3x
    ——————
    -2 + 1x = -2
    +2 +2
    ——————
    1x = 0

    Я добавил (обычно не указанную) 1 к переменному члену в правой части исходного уравнения, чтобы помочь мне следить за тем, что я делаю; это не «необходимо». И это не ожидается в окончательном ответе, который правильно сформулирован как:

    x = 0

    Вполне нормально, что x имеет нулевое значение. Ноль является допустимым решением. Не говорите, что это уравнение «не имеет решения»; у него действительно есть решение, это решение x = 0.

    Это уравнение решается так же, как и все другие линейные уравнения, которые я решал. Просто выглядит на хуже из-за десятичных знаков. Но это легко исправить!

    Каким бы ни было наибольшее количество знаков после запятой в любом из коэффициентов, я могу умножить с обеих сторон на «1», за которым следует это количество нулей. В этом случае все десятичные дроби имеют один десятичный разряд, поэтому я умножу на 10:

    10(0,2 x + 0,9) = 10(0,3 − 0,1 x )

    10 (0,2 x ) + 10 (0,9) = 10 (0,3) — 10 (0,1 x )

    2 x + 9 = 3 — 1 x

    Теперь я можно решить как обычно:

    2x + 9 = 3 — 1x
    +1x +1x
    ——————
    3x + 9 = 3
    -9 -9
    ————
    3x = -6
    — —
    3 3

    x = -2

    То, что в исходном уравнении были десятичные разряды, не означает, что я застрял с ними. Отложите этот трюк на потом; это пригодится.

    x = −2

    Между прочим, если бы коэффициент с наибольшим количеством знаков после запятой имел два знаков после запятой, то я бы умножил обе части уравнения на 100; для трех знаков после запятой я бы умножил на 1000; и так далее.

    К черту! Фракции! Но, как и с десятичными знаками в предыдущем упражнении, мне не нужно зацикливаться на дробях. В этом случае я буду умножать, чтобы «очистить» знаменатели, что даст мне более красивое уравнение для решения.

    Чтобы упростить вычисления для уравнений с дробями, я сначала умножу обе части на общий знаменатель различных дробей. У этого уравнения общий знаменатель равен 12, поэтому я умножу все на 12 (или, при умножении на дробь, умножу на

    12/1):

    Теперь с этим уравнением работать намного удобнее. Я продолжу свое решение, вычитая меньшие 2 x с обеих сторон:

    3x + 12 = 2x + 6
    -2x -2x
    ——————
    1x + 12 = 6
    -12 -12
    ——————
    1x = -6

    Я уберу 1 из переменной, когда напишу свой окончательный ответ:

    x = -6

    Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении многошагового линейного уравнения. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)

    Пожалуйста, примите куки-файлы настроек, чтобы включить этот виджет.

    (Нажав «Нажмите, чтобы просмотреть шаги» на экране ответов виджета, вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления.)

    URL: https://www.purplemath.com/modules/solvelin3 .htm

    Стр. 1 Стр. 2 Стр. 4 Стр. решение уравнений. В системе линейных уравнений каждому уравнению соответствует прямая линия, и нужно найти точку, в которой две линии пересекаются.

    Пример

    Решите следующую систему линейных уравнений:

    $$left{begin{matrix} y=2x+4\ y=3x+2\ end{matrix}right .$$

    Поскольку мы ищем точку пересечения, мы можем изобразить уравнения:

    Здесь мы видим, что прямые пересекаются друг с другом в точке x = 2, y = 8. Это наше решение и мы можем назвать это графическим решением задачи.

    Но как найти решение, если линии никогда не пересекаются? Нельзя, система уравнений не имеет решения.

    Правильный ответ можно также получить с помощью метода исключения (также называемого методом сложения или методом линейной комбинации) или методом подстановки.

    При использовании метода подстановки мы используем тот факт, что если два выражения y и x имеют одинаковое значение x=y, то x может заменить y или наоборот в другом выражении без изменения значения выражения.

    Пример

    Решить системы уравнений методом подстановки

    $$left{begin{matrix} y=2x+4\ y=3x+2\ end{matrix}right.$$

    Заменим y в верхнем уравнении выражением для второго уравнения:

    $$begin{array}{lcl} 2x+4 & = & 3x+2\ 4-2 & = & 3x-2x\ 2 & = & x\ end{array }$$

    Чтобы определить значение y , мы можем подставить наше значение x в любое из уравнений. Выбираем первое уравнение:

    $$y=2x+4$$

    Подставляем x=2 и получаем

    $$y=2cdot 2+4=8$$

    Таким образом, мы пришли к точно такому же ответу, как и в графическом решении.

    Метод исключения требует от нас добавления или вычитания уравнений, чтобы исключить либо x , либо y , часто нельзя приступить к сложению напрямую, не умножив сначала первое или второе уравнение на некоторое значение.

    Пример

    $$2x-2y=8$$

    $$x+y=1$$

    Теперь мы хотим сложить два уравнения, но это не приведет ни к одному из x или y исключаются. Следовательно, мы должны умножить второе уравнение на 2 с обеих сторон и получить:

    $$2x-2y=8$$

    $$2x+2y=2$$

    Теперь попробуем сложить нашу систему уравнений. Начнем с x -термов слева, затем y -термов и, наконец, с чисел справа:

    $$(2x+2x)+(-2y+2y)=8+ 2$$

    Члены y теперь исключены, и теперь у нас есть уравнение только с одной переменной:

    $$4x=10$$

    $$x=frac{10}{4}=2,5$$

    После этого для определения y -значения подставляем x =2,5 в одну уравнений.

    Источник

    В курсе математики 7 класса впервые встречаются с уравнениями с двумя переменными, но изучаются они лишь в контексте систем уравнений с двумя неизвестными. Именно поэтому из поля зрения выпадает целый ряд задач, в которых на коэффициенты уравнения введены некоторые условия, их ограничивающие. Кроме того, остаются без внимания и методы решения задач типа «Решить уравнение в натуральных или целых числах», хотя  в материалах ЕГЭ и на вступительных экзаменах задачи такого рода встречаются все чаще и чаще.

    Какое уравнение будет называться уравнением с двумя переменными?Уравнения с двумя переменными

    Так, например, уравнения 5x + 2y = 10, x2 + y2 = 20 или xy = 12 являются уравнениями с двумя переменными.

    Рассмотрим уравнение 2x – y = 1. Оно обращается в верное равенство при x = 2 и y = 3, поэтому эта пара значений переменных является решением рассматриваемого уравнения.

    Таким образом, решением любого уравнения с двумя переменными является множество упорядоченных пар (x; y), значений переменных, которые это уравнение обращают в верное числовое равенство.

    Уравнение с двумя неизвестными может:

    а) иметь одно решение. Например, уравнение x2 + 5y2 = 0 имеет единственное решение (0; 0);

    б) иметь несколько решений. Например, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2)2 = 0 имеет 4 решения: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);

    в) не иметь решений. Например, уравнение x2 + y2 + 1 = 0 не имеет решений;

    г) иметь бесконечно много решений. Например, x + y = 3. Решениями этого уравнения будут являться числа, сумма которых равна 3. Множество решений данного уравнения можно записать в виде (k; 3 – k), где k – любое действительное число.

    Основными методами решения уравнений с двумя переменными являются методы, основанные на разложении выражений на множители, выделение полного квадрата, использование свойств квадратного уравнения, ограниченности выражений, оценочные методы. Уравнение, как правило, преобразовывают к виду, из которого можно получить систему для нахождения неизвестных.

    Разложение на множители

    Пример 1.

    Решить уравнение: xy – 2 = 2x – y.

    Решение.

    Группируем слагаемые с целью разложения на множители:

    (xy + y) – (2x + 2) = 0. Из каждой скобки вынесем общий множитель:

    y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

    (x + 1)(y – 2) = 0. Имеем:

    y = 2, x – любое действительное число или x = -1, y – любое действительное число.

    Таким образом, ответом являются все пары вида (x; 2), x € R и (-1; y), y € R.

    Равенство нулю неотрицательных чисел

    Пример 2.

    Решить уравнение: 9x2 + 4y2 + 13 = 12(x + y).

    Решение.

    Группируем:

    (9x2 – 12x + 4) + (4y2 – 12y + 9) = 0. Теперь каждую скобку можно свернуть по формуле квадрата разности.

    Получим:

    (3x – 2)2 + (2y – 3)2 = 0.

    Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, только если 3x – 2 = 0 и 2y – 3 = 0.

    А значит, x = 2/3 и y = 3/2.

    Ответ: (2/3; 3/2).

    Оценочный метод

    Пример 3.

    Решить уравнение: (x2 + 2x + 2)(y2 – 4y + 6) = 2.

    Решение.

    В каждой скобке выделим полный квадрат:

    ((x + 1)2 + 1)((y – 2)2 + 2) = 2. Оценим Уравнения с двумя переменнымизначение выражений, стоящих в скобках.

    (x + 1)2 + 1 ≥ 1 и (y – 2)2 + 2 ≥ 2, тогда левая часть уравнения всегда не меньше 2. Равенство возможно, если:

    (x + 1)2 + 1 = 1 и (y – 2)2 + 2 = 2, а значит x = -1, y = 2.

    Ответ: (-1; 2).

    Познакомимся с еще одним методом решения уравнений с двумя переменными второй степени. Этот метод заключается в том, что уравнение рассматривается как квадратное относительно какой-либо переменной.

    Пример 4.

    Решить уравнение: x2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

    Решение.

    Решим уравнение как квадратное относительно x. Найдем дискриминант:

    D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2)2. Уравнение будет иметь решение только при D = 0, т. е. в том случае, если y = 4. Подставляем значение y в исходное уравнение и находим, что x = 3.

    Ответ: (3; 4).

    Часто в уравнениях с двумя неизвестными указывают ограничения на переменные.

    Пример 5.

    Решить уравнение в целых числах: x2 + 5y2 = 20x + 2.

    Решение.

    Перепишем уравнение в виде x2 = -5y2 + 20x + 2. Правая часть полученного уравнения при делении на 5 дает в остатке 2. Следовательно, x2 не делится на 5. Но квадрат числа, не делящегося на 5, дает в остатке 1 или 4. Таким образом, равенство невозможно и решений нет.

    Ответ: нет корней.

    Пример 6.

    Решить уравнение: (x2 – 4|x| + 5)(y2 + 6y + 12) = 3.

    Решение.

    Выделим полные квадраты в каждой скобке:

    ((|x| – 2)2 + 1)((y + 3)2 + 3) = 3. Левая часть уравнения всегда больше или равна 3. Равенство возможно при условии |x| – 2 = 0 и y + 3 = 0. Таким образом, x = ± 2, y = -3.

    Ответ: (2; -3) и (-2; -3).

    Пример 7.

    Для каждой пары целых отрицательных чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению
    x2 – 2xy + 2y2 + 4y = 33, вычислить сумму (x + y). В ответе указать наименьшую из сумм.

    Решение.

    Выделим полные квадраты:

    (x2 – 2xy + y2) + (y2 + 4y + 4) = 37;

    (x – y)2 + (y + 2)2 = 37. Так как x и y – целые числа, то их квадраты также целые числа. Сумму квадратов двух целых чисел, равную 37, получим, если складываем 1 + 36. Следовательно:

    (x – y)2 = 36 и (y + 2)2 = 1Уравнения с двумя переменными

    или

    (x – y)2 = 1 и (y + 2)2 = 36.

    Решая эти системы и учитывая, что x и y – отрицательные, находим решения: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

    Ответ: -17.

    Не стоит отчаиваться, если при решении уравнений с двумя неизвестными у вас возникают трудности. Немного практики, и вы сможете справиться с любыми уравнениями.

     Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с двумя переменными?
    Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
    Первый урок – бесплатно!

    Зарегистрироваться

    © blog.tutoronline.ru,
    при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

    Источник

    Добавить комментарий