Как найти значение величины 6 класс

Измерение величин

• Меры
• Единицы измерения
• Сокращённые наименования мер
• Измерительные приборы

Величина — это то, что можно измерить. Такие понятия, как длина, площадь, объём, масса, время, скорость и т. д. называют величинами. Величина является результатом измерения, она определяется числом, выраженным в определённых единицах. Единицы, в которых измеряется величина, называют единицами измерения.

Для обозначения величины пишут число, а рядом название единицы, в которой она измерялась. Например,  5 см,  10 кг,  12 км,  5 мин.  Каждая величина имеет бесчисленное множество значений, например длина может быть равна:  1 см,  2 см,  3 см  и т. д.

Одна и та же величина может быть выражена в разных единицах, например килограмм, грамм и тонна — это единицы измерения веса. Одна и та же величина в разных единицах выражается разными числами. Например:

5 см = 50 мм (длина),

1 ч = 60 мин (время),

2 кг = 2000 г (вес).

Измерить величину — значит узнать, сколько раз в ней содержится другая величина того же рода, принятая за единицу измерения.

Например, мы хотим узнать точную длину какой-нибудь комнаты. Значит нам нужно измерить эту длину при помощи другой длины, которая нам хорошо известна, например при помощи метра. Для этого откладываем метр по длине комнаты столько раз, сколько можно. Если он уложится по длине комнаты ровно  7  раз, то длина её равна  7  метрам.

В результате измерения величины получается или именованное число, например  12  метров, или несколько именованных чисел, например  5  метров  7  сантиметров, совокупность которых называется составным именованным числом.

Меры

В каждом государстве правительство установило определённые единицы измерения для различных величин. Точно рассчитанная единица измерения, принятая в качестве образца, называется эталоном или образцовой единицей. Сделаны образцовые единицы метра, килограмма, сантиметра и т. п., по которым изготавливают единицы для обиходного употребления. Единицы, вошедшие в употребление и утверждённые государством, называются мерами.

Меры называются однородными, если они служат для измерения величин одного рода. Так, грамм и килограмм — меры однородные, так как они служат для измерения веса.

Единицы измерения

Ниже представлены единицы измерения различных величин, которые часто встречаются в задачах по математике:

Меры веса/массы:

• 1 тонна = 10 центнеров;
• 1 центнер = 100 килограмм;
• 1 килограмм = 1000 грамм;
• 1 грамм = 1000 миллиграмм.

Меры длины:

• 1 километр = 1000 метров;
• 1 метр = 10 дециметров;
• 1 дециметр = 10 сантиметров;
• 1 сантиметр = 10 миллиметров.

Меры площади (квадратные меры):

• 1 кв. километр = 100 гектарам;
• 1 гектар = 10000 кв. метрам;
• 1 кв. метр = 10000 кв. сантиметров;
• 1 кв. сантиметр = 100 кв. миллиметрам.

Меры объёма (кубические меры):

• 1 куб. метр = 1000 куб. дециметров;
• 1 куб. дециметр = 1000 куб. сантиметров;
• 1 куб. сантиметр = 1000 куб. миллиметров.

Рассмотрим ещё такую величину как литр. Для измерения вместимости сосудов употребляется литр. Литр является объёмом, который равен одному кубическому дециметру  (1 литр = 1 куб. дециметру).

Меры времени:

• 1 век (столетие) = 100 годам;
• 1 год = 12 месяцам;
• 1 месяц = 30 суткам;
• 1 неделя = 7 суткам;
• 1 сутки = 24 часам;
• 1 час = 60 минутам;
• 1 минута = 60 секундам;
• 1 секунда = 1000 миллисекундам.

Кроме того, используют такие единицы измерения времени, как квартал и декада.

• квартал — 3 месяца;
• декада — 10 суток.

Месяц принимается за  30  дней, если не требуется определить число и название месяца. Январь, март, май, июль, август, октябрь и декабрь —  31  день. Февраль в простом году —  28  дней, февраль в високосном году —  29  дней. Апрель, июнь, сентябрь, ноябрь —  30  дней.

Год представляет собой (приблизительно) то время, в течении которого Земля совершает полный оборот вокруг Солнца. Принято считать каждые три последовательных года по  365  дней, а следующий за ними четвёртый — в  366  дней. Год, содержащий в себе  366  дней, называется високосным, а годы, содержащие по  365  дней — простыми. К четвёртому году добавляют один лишний день по следующей причине. Время обращения Земли вокруг Солнца содержит в себе не ровно  365  суток, а  365  суток и  6  часов (приблизительно). Таким образом, простой год короче истинного года на  6  часов, а  4  простых года короче  4  истинных годов на  24  часа, т. е. на одни сутки. Поэтому к каждому четвёртому году добавляют одни сутки  (29 февраля).

Об остальных видах величин вы узнаете по мере дальнейшего изучения различных наук.

Сокращённые наименования мер

Сокращённые наименования мер принято записывать без точки:

Меры длины Километр — км Метр — м Дециметр — дм Сантиметр — см Миллиметр — мм	Меры веса/массы тонна — т центнер — ц килограмм — кг грамм — г миллиграмм — мг
Меры площади (квадратные меры) кв. километр — км2 гектар — га кв. метр — м2 кв. сантиметр — см2 кв. миллиметр — мм2	Меры объёма (кубические меры) куб. метр — м3 куб. дециметр — дм3 куб. сантиметр — см3 куб. миллиметр — мм3
Меры времени век — в год — г месяц — м или мес неделя — н или нед сутки — с или д (день) час — ч минута — м секунда — с миллисекунда — мс	Мера вместимости сосудов литр — л

	1 мм	1 см	1 дм	1 м	1 км
	1 мм2	1 см2	1 дм2	1 м2	1 км2
	1 мм3	1 см3	1 дм3	1 м3	1 км3

Измерительные приборы

Для измерения различных величин используются специальные измерительные приборы. Одни из них очень просты и предназначены для простых измерений. К таким приборам можно отнести измерительную линейку, рулетку, измерительный цилиндр и др. Другие измерительные приборы более сложные. К таким приборам можно отнести секундомеры, термометры, электронные весы и др.

Измерительные приборы, как правило, имеют измерительную шкалу (или кратко шкалу). Это значит, что на приборе нанесены штриховые деления, и рядом с каждым штриховым делением написано соответствующее значение величины. Расстояние между двумя штрихами, возле которых написано значение величины, может быть дополнительно разделено ещё на несколько более малых делений, эти деления чаще всего не обозначены числами.

Определить, какому значению величины соответствует каждое самое малое деление, не трудно. Так, например, на рисунке ниже изображена измерительная линейка:

Цифрами  1,  2,  3,  4  и т. д. обозначены расстояния между штрихами, которые разделены на  10  одинаковых делений. Следовательно, каждое деление (расстояние между ближайшими штрихами) соответствует  1 мм.  Эта величина называется ценой деления шкалы измерительного прибора.

Перед тем как приступить к измерению величины, следует определить цену деления шкалы используемого прибора.

Для того чтобы определить цену деления, необходимо:

1. Найти два ближайших штриха шкалы, возле которых написаны значения величины.
2. Вычесть из большего значения меньшее и полученное число разделить на число делений, находящихся между ними.

Измерять различные величины в повседневной жизни приходится постоянно каждому из нас. Например, чтобы прийти вовремя в школу или на работу, приходится измерять время, которое будет потрачено на дорогу. Метеорологи для предсказания погоды измеряют температуру, атмосферное давление, скорость ветра и т. д.

Тема урока: «Величины».

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Цель урока: обобщение знаний об изученных величинах

Задачи урока:

Обучающие: – закреплять умение преобразовывать числа, полученные при измерении длины, массы, стоимости;

-закреплять навыки выполнения действий сложения и вычитания над числами, полученными при измерении длины, массы, стоимости;

-совершенствовать устные и письменные вычислительные навыки;

-отрабатывать умения анализировать и решать текстовые задачи.

Коррекционно – развивающие: – развивать у учащихся зрительную и слуховую память, внимание, мыслительные навыки на основе операций анализа, сравнения;

-развивать грамотную математическую речь, умение анализировать учебный материал;

-активизировать познавательную деятельность учащихся через использование различных форм работы.

Воспитательные: – воспитывать у учащихся мотивацию к обучению;

-прививать интерес к предмету на основе связи с жизнью и практикой;

-продолжить формирование навыков самоконтроля;

-содействовать формированию трудолюбия.

Структура урока.

I. Организационный момент.

II. Сообщение темы и цели урока:

     -оформление тетрадей

III. Актуализация опорных знаний и умений.

1. Фронтальный опрос «Величины».

2. Тест «Проверь себя».

3. Работа с таблицей «Алгоритм».

4.Тест «Проверь себя».

IV. Повторение, обобщение и систематизация имеющихся знаний.

1. Практическая работа в парах.

2. Тест «Проверь себя».

3. Физкультминутка.

4. Решение задачи.

5. Самостоятельная работа.

V.  Домашнее задание.

          VI. Итог урока. Оценки.

Ход урока.

1. Оргмомент.

-Добрый день! Дорогие друзья!

Друзья – какое прекрасное слово! С друзьями и учиться легче и отдыхать веселей. Ну, а дружба, как известно, начинается…

Да, вы правы, с улыбки. Так  что не прячьте свои улыбки. Дарите их друг другу.

-Ребята, у нас на уроке гость.  Знакомьтесь это домовёнок Тимофей.

Домовой по народному поверью, сверхъестественное существо, живущее в каждом доме. Он живет, радуется, веселится, грустит, печалится вместе с обитателями дома. Оберегает их. В общем, существо забавное и безобидное. Такой и наш Тимофей. Но в последнее время он загрустил. Нет у него дома, угла,  где бы он хозяйничал, домовничал. Давайте поможем ему построить  такой дом.

-А что такое «дом»? Как вы понимаете?

(дом – это место, где спокойно и уютно, чисто, хорошо, где  всегда поймут).

-Какие вы у меня мудрые, как хорошо рассуждаете.

-Именно с этого качества начнем строительство дома для Тимофея.(мудрость)

-Остальные бревна  появятся у нас в процессе дальнейшей работы на уроке.

II. Сообщение темы и цели урока.

1.Заканчивается учебный год, все темы пройдены. Я приглашаю вас на урок повторения и обобщения.

-Что мы будем повторять?

-Предлагаю вам отгадать тему сегодняшнего урока.

 В словаре русского языка Сергея Ивановича Ожегова сказано, что это слово обозначает «все, что можно измерить и исчислить».

-Как вы думаете, что это?

-(Величины)

-Правильно. Сегодня на уроке мы соберем багаж знаний о величинах,  выясним, нужны ли величины нам в  реальной жизни. Я надеюсь, что вы с успехом будете применять имеющиеся у вас знания в решении практических задач.

2.Оформление тетрадей.

–Давайте оформим тетради.

-Открыли тетради, записываем число, классную работу и тему урока.

-Какое сегодня число?

-Какой месяц?

-Какой он по счёту в году?

-Какой сегодня год?

III.Актуализация опорных знаний, умений.

1. – Для успешной работы на уроке предлагаю вам разминку.

– Какие величины вы знаете?

(меры длины, массы, стоимости)

( на экране открываются постепенно название мер)

-Назовите меры, длины начиная с самой  мелкой (мм, см, дм, м, км)

массы                                             (г, кг, ц, т)

стоимости                                       (коп.,  руб.)

– Ребята, а какими единицами измерения люди пользовались раньше? (шаг, локоть, ладонь и т.д.)

Удобны ли они для измерения, как вы считаете? (нет)

2.В наше время стало модным проводить тестирование. Давайте вспомним соотношение мер длины, массы, стоимости с помощью теста «Поверь себя».

Тест  «Проверь себя»
Меры длины	Меры массы	Меры стоимости
1км=…м 1м=…см 1м=…дм 1дм=…см 1см=…мм	1т=…кг 1т=…ц 1ц=…кг 1кг=…г	1руб. =…коп.

(учащиеся вписывают нужные числа)

-Проверяем (учитель открывает числа на интерактивной доске)

-Кто допустил ошибки,  исправьте их.

3. При переходе от больших мер к меньшим, и наоборот мы пользовались таблицей – помощницей.

-Давайте вспомним принцип ее работы.

1км              1м               1дм                   1см                   1мм

          1000            10                      10                      10

-Что означает эта таблица?

(В 1 км =1000м =10000дм =100000см =1000000мм)

-Какое правило, связанное с таблицей мы знаем?

(при переходе к меньшим мерам нужно умножать на число под дугой)

                        (открывается алгоритм на доске)

Алгоритм

6км =        м                           6м2дм =           дм

3т =          кг                           3т500кг=                кг

Тест «Проверь себя»

1,2 группа

10кг105г =       г                               5м30см=             см

14т500кг =        кг                            6км110м =          м

70ц57кг =         кг                             5р.70к.=              к.      

3 группа

8м =      см                        1кг                 г

5дм =     см                        5р. =              к.          

IV. – Ребята ответьте мне на такой вопрос:

-Когда и где мы используем величины в нашей жизни? (в измерениях)

-Правильно. Мы пользуемся ими при определении массы, при подсчёте денег, при измерении размеров и т.д.

-Попробуйте выделить в своём расписании предмет, который, по вашему мнению, очень тесно связан с величинами (урок труда)

-Внимание на экране (просмотр слайдов)

-Назовите, пожалуйста, по каким трудовым профилям обучаются учащиеся вашего класса. (Столярное дело, швейное дело,)

-Ни один из этих предметов нельзя представить себе без использования величин.

-Вы пользуетесь ими, когда измеряете детали и заготовки, при построении чертежей. А умеете ли вы правильно измерять величины? Давайте выясним это с помощью небольшой практической работы.

1.Практическая работа в парах.

-Ребята у вас на столах лежат измерительные инструменты, детали, заготовки.

-Кому – то из вас предстоит найти диаметр пуговицы.

-Кому – то измерить длину бруска, проволоки.

• Запишите в тетради то, что у вас получится при измерении.
• Поменяйтесь заданиями, проверьте друг друга.

-Кому нужна моя помощь?

             -Справились с заданием?

             -Что помогло вам быстро и правильно выполнить работу? (дружба, взаимопомощь)

             -В нашем доме появились новые бревнышки.

              2.

             -Вернемся к предметам, с которыми вы работали. Возьмём пуговицу (напомните её диаметр). На уроках швейного дела, чтобы рассчитать длину петли нужно к диаметру данной пуговицы добавить ещё 2 мм.

-С помощью какого арифметического действия вы найдете длину петли? (сложения)

-Возьмем брусок, проволоку. На уроках столярного дела часто приходиться отрезать, отпиливать какую-то часть от предмета.

-С помощью какого арифметического действия вы найдете длину оставшейся части? (вычитания).

-Значит, на уроках труда, мы не только преобразуем величины, но и выполняем арифметические действия с ними, такие как сложение и вычитание.

-Давайте вспомним правила сложения и вычитания величин. (При  записи действий в столбик: крупные меры пишут под крупными, мелкие под мелкими).

Алгоритм: 7р.89к. + 13р.08к.                    23м24см – 12м15см  

    7р. 89к.                                                            23м24см

+13р. 19к.                                                        –  12м15см           

  21р.  08к.                                                           11м09см

Проверь себя

1,2 группа

Выполните действия.

             4км 290м                  16см5мм                     90см 31мм              

            -2км 426м                +24см5мм                  +   9см79мм             

           1км  864м                 41см 0мм                  100см 10мм              

             3 группа

             Выполни действия.

             234м                     548р.                     124кг                  

           +232м                    –126р.                   +235кг                 

                     3.Физкультминутка.

-Ребята, вы хорошо потрудились, я предлагаю немного отдохнуть.

-Тихо встали, вышли из-за парт.

-Будьте очень внимательны.

Если я называю единицы длины – вы поднимаете обе руки вверх, если называю единицы стоимости – хлопайте в ладоши, если единицы массы- подпрыгиваете на месте.

-Готовы?

-И так тонна, рубль, грамм, метр, килограмм, дециметр, сантиметр, копейка,  миллиметр, центнер, километр.

-Молодцы!

-Тихо, сели.

-Вы не только хорошо разбираетесь в величинах, но и следите за своим здоровьем.

Добавим ещё одно брёвнышко – здоровье

4. При подготовке к этому уроку, я просила вас поговорить со своими родителями, чтобы они рассказали вам о своей работе, о людях,  которые трудятся рядом с ними. Почему они выбрали эту профессию, что им нравится в ней, чем занимаются? В результате этой беседы, на основе полученной информации, вы должны были составить задачи о труде, с  использованием величин.

-Во-первых, я рада, что вам многим  удалось вызвать родителей на откровенный, душевный, семейный разговор (что, безусловно сблизило вас с родителями, добавило ещё больше в ваши отношения взаимопонимания и любви) (на доске выставляются бревна «взаимопонимание»,«любовь»)

-Во-вторых – хороший итог: много интересных и разнообразных задач о труде. Мы будем решать их на  последующих уроках.

-А сейчас одна из них от ученика, чья мама работает киоскером.

-Ребята, а кто такой киоскер?

(киоскер – это продавец в киоске)

-Мама предложила нам рассчитать стоимость товаров купленных в её киоске.

Задача

В киоске купили журнал за 200 р.80к. (200р. для 3 группы) и 2 газеты по 40 рублей каждая (1 газета за 40 р. для 3 группы). Сколько денег заплатили за всю покупку?

– Решаем задачу:

– О чем говорится в задаче ?

– Что нам известно в задаче ?

– Что требуется найти в задаче ?

– Можем сразу это найти? – Почему?

– Сколько действий в задаче ?

– Какими арифметическими действиями  решается задача?

– Запишем решение задачи.

(у доски ученик с  комментарием решает задачу)

                                                      Решение.

1. Сколько стоят газеты?

40р. *2=80р.

1. Сколько стоит вся покупка?

 200р.80к.                           200р.

+ 80р.                               +  40р.    

      280р.80к.                           240р.    

Ответ:  280р80к. (240р.) стоит вся покупка.

-Все решили задачу? Молодцы!

5.Наступило время проверить прочность наших знаний, умений.

Предлагаю вам небольшую самостоятельную работу. (Выберите задания по группам)

Найденные значения сравните с помощью листа самоконтроля. Кто выполнил верно, смело  прикрепляйте лепесток с помощью степлера.

             1,2 группа

Выполни действия:

20ц 45кг           57р 26к           29т 8ц      90см 1мм

           -16ц 55кг          -27р 58к          + 7т 3ц      +9см 9мм

            3 группа  

            Выполни действия:

            255кг                 346р                184ц               701см

          – 134кг               -124р              +215ц             +243см

– Кто выполнил без ошибок? Молодцы.

 – Кто допустил ошибки, исправьте их.  

V. Домашнее задание творческого характера.

– Составить задачу практического содержания, связанную с вашим профилем трудового обучения (с использованием величин)

VI. Итог урока. Оценки.

-Давайте подведем итог урока.

-Что повторяли?

-Чем мы сегодня занимались на уроке?

-Ребята, вы заметили, что повторяя все о величинах,  мы, так или иначе, затрагивали тему труда.

-А что в вашем понимании «труд», что значит трудиться для вас?

(выставляется слово «трудолюбие»)

(ходить в школу, выполнять домашние задания, получать знания,  работать на уроках)

-Ребята, я хочу, чтобы ваш труд приносил вам радость,  удовольствие и, в итоге, хороший результат, т.е. прочные и крепкие знания, умения и навыки.

-То что они у вас есть вы доказали это своей  замечательной работой на уроке.

-Мне хочется отметить самых  активных-….

самых внимательных-…

самых аккуратных-…

Молодцы!

-Ребята, сегодня на уроке мы не только повторяли пройденный материал, но и делами вместе общее нужное дело. Мы строили дом для домовенка Тимки. Посмотрите, какой он у нас  получился. В нем  есть: мудрость, любовь, дружба, взаимопомощь, взаимопонимание, здоровье и трудолюбие. Нравится?

-Домовёнку очень нравится новый дом, дом в котором, как вы сказали в самом начале, уютно и хорошо. Дом, в котором всегда поймут. Пройдет время, и у вас появятся собственные семьи, дома. Будут – ли они похожими на наш построенный дом, это зависит от вас.

-Я желаю вам добра.

Что значит найти какую либо величину

При изучений физических явлений проводят различные измерения.
Физики измеряют физические величины.

При изучении падение тела, надо измерить высоту, с которой падает тело, массу тела, его скорость и время падения.
Чтобы узнать, например, зависит ли объем воды или другой жидкости от ее температуры и как зависит, нужно, нагревая воду, измерять и объем, и температуру.
Объем и температура, время и длина, площадь, скорость, масса, сила — это физические величины.

1. Что значит измерить?

Измерить какую-либо физическую величину — это значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу этой величины.

Измерить длину стола — значит сравнить ее с другой длиной, которая принята за единицу длины, например с метром.
В результате измерения величины получаем ее числовое значение, выраженное в принятых единицах.

2. Какие бывают единицы имерения?

Для каждой физической величины приняты свои единицы измерения.

Очень удобно пользоваться одинаковыми единицами физических величин во всех странах мира.
Поэтому с 1963 г. применяется Международная система единиц — СИ (система интернациональная).

единица длины — 1 метр (1м),
единица времени — 1 секунда (1с),
единица массы — 1 килограмм (1 кг).

Кроме того, используются кратные единицы (кратные основной единице), которые в 10, 100, 1000 и т. д. раз больше.
Эти единицы получили наименования с приставками, взятыми из греческого языка.
«Дека» — 10, «гекто» — 100, «кило» — 1000 и др.

Используются и дольные единицы, которые в 10, 100, 1000 и т. д. раз меньше принятых единиц величин.
В них применяют приставки, также взятые из латинского языка. «Деци» — 0,1, «санти» — 0,01, «милли» — 0,001 и др.

Некоторые приставки к названиям единиц:

г — гекто (100 или 10 2 )
к — кило (1000 или 10 3 )
М — мега (1 000 000 или 10 6 )

д — деци (0,1 или 10 -1 )
с — санти (0,01 или 10 -2 )
м — милли (0,001 или 10 -3 )

Длина столовой ложки 20 см.
Ее длина в метрах (м):
20 см = 0,20 м или 2 • 10 -1 м.

3. Что такое измерителный прибор?

Для измерения физических величин нужны измерителные приборы.

Есть измерителные приборы для простых измерений. Например, измерительная линейка, рулетка, мензурка, применяемая для измерения объема жидкости.
Есть сложные измерительные приборы: секундомеры, термометры и другие.
По мере развития физики и техники приборы усложнялись и появились, например, приборы, при помощи которых изучают строение вещества.

У измерительных приборов есть измерительная шкала, на которой штрихами нанесены деления и написаны значения величин.

Между двумя большими штрихами могут быть дополнительно нанесены несколько делений, не обозначенных числами.

Значение измеряемой величины между ближайшими штрихами называется ценой деления прибора.

Например, у обычной школьной линейки расстояние между двумя ближайшими штрихами составляет 1 мм, это цена деления линейки.

4. Как определить цену деления измерительной шкалы прибора?

Прежде чем использовать измерительный прибор, надо определить цену деления этого прибора.
Надо установить, какому значению величины соответствует каждое самое малое деление.

Для того чтобы определить цену деления, необходимо:
— найти два ближайших штриха шкалы, возле которых написаны значения величины;
— вычесть из большего значения меньшее и полученное число разделить на число делений, находящихся между ними.

5. Примеры определения цены деления

а) Определение цены деления секундомера.
Используем любые два штриха, около которых нанесены значения измеряемой величины (времени), например штрихи с обозначениями 5 и 10 с.
Расстояние между этими штрихами разделено на 10 делений. Значит, цена каждого деления равна:

Секундомер показывает 22 с.

б) Определение цены деления термометра.
Возьмем, например, ближайшие друг к другу штрихи с обозначениями 10 °С и 20 °С. Расстояния между ними разделены на 10 делений. Следовательно,
цена каждого деления будет равна: 20 °С — 10 °С = 10 °С, далее 10 °С : 10 = 1 °С.
Термометр показывает 24 °С.

6. Что такое точность и погрешность измерений?

Любое измерение может быть выполнено с большей или меньшей точностью.
В физике допускаемую при измерении неточность называют погрешностью измерения.
Погрешность измерения не может быть больше цены деления измерительного прибора.

Из этого примера видно, что точность измерений зависит от цены деления шкалы прибора.
Чем меньше цена деления, тем больше точность измерения.
При измерении принято считать, что: погрешность измерений равна половине цены деления шкалы измерительного прибора.

При записи величин, с учетом погрешности, пользуются формулой:

где А — измеряемая величина,
а — результат измерений,
дельта а — погрешность измерений (треуголник — греч. буква «дельта»).

Если длина книги 20 см, а цена деления линейки 1 мм, то погрешность измерения будет равна 0,5 мм, или 0,05 см.
Следовательно, длину книги можно записать так:
L = (20 ±0,05) см,
где L — длина книги.
Истинное значение длины книги находится в интервале от 19,95 см до 20,05 см.

Главное:

Измерить какую-либо величину — это значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу этой величины.
Основные единицы системы СИ: метр, килограмм, секунда.
Для того чтобы определить цену деления, необходимо:
— найти два ближайших штриха шкалы, возле которых написаны значения величины;
— вычесть из большего значения меньшее и полученное число разделить на число делений, находящихся между ними.

Источник

Измерение величин

Величина — это то, что можно измерить. Такие понятия, как длина, площадь, объём, масса, время, скорость и т. д. называют величинами. Величина является результатом измерения, она определяется числом, выраженным в определённых единицах. Единицы, в которых измеряется величина, называют единицами измерения.

Для обозначения величины пишут число, а рядом название единицы, в которой она измерялась. Например, 5 см, 10 кг, 12 км, 5 мин. Каждая величина имеет бесчисленное множество значений, например длина может быть равна: 1 см, 2 см, 3 см и т. д.

Одна и та же величина может быть выражена в разных единицах, например килограмм, грамм и тонна — это единицы измерения веса. Одна и та же величина в разных единицах выражается разными числами. Например:

5 см = 50 мм (длина),

1 ч = 60 мин (время),

2 кг = 2000 г (вес).

Измерить величину — значит узнать, сколько раз в ней содержится другая величина того же рода, принятая за единицу измерения.

Например, мы хотим узнать точную длину какой-нибудь комнаты. Значит нам нужно измерить эту длину при помощи другой длины, которая нам хорошо известна, например при помощи метра. Для этого откладываем метр по длине комнаты столько раз, сколько можно. Если он уложится по длине комнаты ровно 7 раз, то длина её равна 7 метрам.

В результате измерения величины получается или именованное число, например 12 метров, или несколько именованных чисел, например 5 метров 7 сантиметров, совокупность которых называется составным именованным числом.

В каждом государстве правительство установило определённые единицы измерения для различных величин. Точно рассчитанная единица измерения, принятая в качестве образца, называется эталоном или образцовой единицей. Сделаны образцовые единицы метра, килограмма, сантиметра и т. п., по которым изготавливают единицы для обиходного употребления. Единицы, вошедшие в употребление и утверждённые государством, называются мерами.

Меры называются однородными, если они служат для измерения величин одного рода. Так, грамм и килограмм — меры однородные, так как они служат для измерения веса.

Единицы измерения

Ниже представлены единицы измерения различных величин, которые часто встречаются в задачах по математике:

Меры веса/массы:

• 1 тонна = 10 центнеров;
• 1 центнер = 100 килограмм;
• 1 килограмм = 1000 грамм;
• 1 грамм = 1000 миллиграмм.

Меры длины:

• 1 километр = 1000 метров;
• 1 метр = 10 дециметров;
• 1 дециметр = 10 сантиметров;
• 1 сантиметр = 10 миллиметров.

Меры площади (квадратные меры):

• 1 кв. километр = 100 гектарам;
• 1 гектар = 10000 кв. метрам;
• 1 кв. метр = 10000 кв. сантиметров;
• 1 кв. сантиметр = 100 кв. миллиметрам.

Меры объёма (кубические меры):

• 1 куб. метр = 1000 куб. дециметров;
• 1 куб. дециметр = 1000 куб. сантиметров;
• 1 куб. сантиметр = 1000 куб. миллиметров.

Рассмотрим ещё такую величину как литр. Для измерения вместимости сосудов употребляется литр. Литр является объёмом, который равен одному кубическому дециметру (1 литр = 1 куб. дециметру).

Меры времени:

• 1 век (столетие) = 100 годам;
• 1 год = 12 месяцам;
• 1 месяц = 30 суткам;
• 1 неделя = 7 суткам;
• 1 сутки = 24 часам;
• 1 час = 60 минутам;
• 1 минута = 60 секундам;
• 1 секунда = 1000 миллисекундам.

Кроме того, используют такие единицы измерения времени, как квартал и декада.

• квартал — 3 месяца;
• декада — 10 суток.

Месяц принимается за 30 дней, если не требуется определить число и название месяца. Январь, март, май, июль, август, октябрь и декабрь — 31 день. Февраль в простом году — 28 дней, февраль в високосном году — 29 дней. Апрель, июнь, сентябрь, ноябрь — 30 дней.

Год представляет собой (приблизительно) то время, в течении которого Земля совершает полный оборот вокруг Солнца. Принято считать каждые три последовательных года по 365 дней, а следующий за ними четвёртый — в 366 дней. Год, содержащий в себе 366 дней, называется високосным, а годы, содержащие по 365 дней — простыми. К четвёртому году добавляют один лишний день по следующей причине. Время обращения Земли вокруг Солнца содержит в себе не ровно 365 суток, а 365 суток и 6 часов (приблизительно). Таким образом, простой год короче истинного года на 6 часов, а 4 простых года короче 4 истинных годов на 24 часа, т. е. на одни сутки. Поэтому к каждому четвёртому году добавляют одни сутки (29 февраля).

Об остальных видах величин вы узнаете по мере дальнейшего изучения различных наук.

Сокращённые наименования мер

Сокращённые наименования мер принято записывать без точки:

Меры длины Километр — км Метр — м Дециметр — дм Сантиметр — см Миллиметр — мм	Меры веса/массы тонна — т центнер — ц килограмм — кг грамм — г миллиграмм — мг
Меры площади (квадратные меры) кв. километр — км 2 гектар — га кв. метр — м 2 кв. сантиметр — см 2 кв. миллиметр — мм 2	Меры объёма (кубические меры) куб. метр — м 3 куб. дециметр — дм 3 куб. сантиметр — см 3 куб. миллиметр — мм 3
Меры времени век — в год — г месяц — м или мес неделя — н или нед сутки — с или д (день) час — ч минута — м секунда — с миллисекунда — мс	Мера вместимости сосудов литр — л

	1 мм	1 см	1 дм	1 м	1 км
	1 мм 2	1 см 2	1 дм 2	1 м 2	1 км 2
	1 мм 3	1 см 3	1 дм 3	1 м 3	1 км 3

Измерительные приборы

Для измерения различных величин используются специальные измерительные приборы. Одни из них очень просты и предназначены для простых измерений. К таким приборам можно отнести измерительную линейку, рулетку, измерительный цилиндр и др. Другие измерительные приборы более сложные. К таким приборам можно отнести секундомеры, термометры, электронные весы и др.

Измерительные приборы, как правило, имеют измерительную шкалу (или кратко шкалу). Это значит, что на приборе нанесены штриховые деления, и рядом с каждым штриховым делением написано соответствующее значение величины. Расстояние между двумя штрихами, возле которых написано значение величины, может быть дополнительно разделено ещё на несколько более малых делений, эти деления чаще всего не обозначены числами.

Определить, какому значению величины соответствует каждое самое малое деление, не трудно. Так, например, на рисунке ниже изображена измерительная линейка:

Цифрами 1, 2, 3, 4 и т. д. обозначены расстояния между штрихами, которые разделены на 10 одинаковых делений. Следовательно, каждое деление (расстояние между ближайшими штрихами) соответствует 1 мм. Эта величина называется ценой деления шкалы измерительного прибора.

Перед тем как приступить к измерению величины, следует определить цену деления шкалы используемого прибора.

Для того чтобы определить цену деления, необходимо:

1. Найти два ближайших штриха шкалы, возле которых написаны значения величины.
2. Вычесть из большего значения меньшее и полученное число разделить на число делений, находящихся между ними.

В качестве примера определим цену деления шкалы термометра, изображённого на рисунке слева.

Возьмём два штриха, около которых нанесены числовые значения измеряемой величины (температуры).

Например, штрихи с обозначениями 20 °С и 30 °С. Расстояние между этими штрихами разделено на 10 делений. Таким образом, цена каждого деления будет равна:

(30 °С — 20 °С) : 10 = 1 °С

Следовательно, термометр показывает 47 °С.

Измерять различные величины в повседневной жизни приходится постоянно каждому из нас. Например, чтобы прийти вовремя в школу или на работу, приходится измерять время, которое будет потрачено на дорогу. Метеорологи для предсказания погоды измеряют температуру, атмосферное давление, скорость ветра и т. д.

Источник

««« Предыдущая страница] – [ § 6.] – [ Следующая страница »»»

Из курса математики нам известны действия, которые можно производить над числами. Складывать, вычитать и сравнивать в математике можно любые числа. Такие действия над физическими величинами можно производить только в том случае, если они однородны, т. е. представляют одну и ту же физическую величину. Например:

4 м + 3 м = 7 м;

9 кг-5 кг = 4 кг;

30 с > 10 с.

Во всех трех случаях мы производили действия над однородными физическими величинами. Складывали длину с длиной, вычитали из массы массу, сравнивали промежуток времени с промежутком времени. Смешно и нелепо было бы складывать 4 м и 5 кг или вычитать 30 с из 9 кг!

А вот умножать и делить можно не только однородные, но и разные физические величины. Например:

1) 10 кг/2 кг = 5. Здесь делятся не только числовые значения (10 : 2 = 5), но и единицы физических величин (кг : кг= 1). Результат показывает, во сколько раз одна физическая величина (масса) больше другой.

2) 2 м · 4 м = 8 м². Умножаются числовые значения (2 · 4 = 8) и единицы физических величин (м·м = м²). В результате умножения двух физических величин — длин l₁ = 2 м и l₂ = 4 м — получилась новая физическая величина — площадь S = 8 м².

3) 10 м/2 с = 5м/с. В результате деления двух разных физических величин — длины l=10м на промежуток времени t=2 с, получилась новая физическая величина 5 м/с. Ее числовое значение равно 5, а единица новой физической величины м/с. Эта физическая величина с υ= 5 м/с — скорость.

4) 10 м/2 с = 20 м/4 с. Знак равенства относится не только к числовым значениям, но и к единицам. Знак равенства поставить нельзя, если 10 м 20 м о м сравнить 10 м/2 с и 20 м/4 мин. Здесь м/с≠м/мин.

Подумайте и ответьте

1. Что необходимо учитывать при сложении и вычитании физических величин? Каким будет результат их сложения и вычитания?

2. Какие физические величины можно сравнивать между собой? Приведите примеры.

3. Можно ли делить и умножать разные физические величины? Что получится в результате?

4. Определите, значение какой физической величины получится в результате:

1) 40 с – 10 с; 2) 40 с/10 с; 3) 3 м · 4 м · 2 м; 4)120 км/2 ч.

Интересно знать!

Большие единицы времени — год и сутки — дала нам сама природа. Но час, минута и секунда появились благодаря человеку.

Принятое в настоящее время деление суток восходит к глубокой древности. В Вавилоне применялась не десятичная, а шестидесятерич-ная система счисления. Шестьдесят делится без остатка на 12, отсюда у вавилонян деление суток на 12 равных частей. В Древнем Египте было введено деление суток на 24 часа. Позже появились минуты и секунды. То, что в 1 часе 60 минут, а в 1 минуте 60 секунд, — также наследие шестидесятеричной системы Вавилона.

Определение единиц времени является очень важным. Основная единица времени — секунда — сначала была введена как 1/86400 доля суток, а затем из-за непостоянства суток — как определенная доля года. В настоящее время эталон секунды связан с частотой излучения атомов цезия.

Примеры решения задач

1. Из приведенных значений физических величин выберите те, которые можно складывать: 120 г, 40 см², 56 м³, 8 мин, 0,048 кг. Определите значение физической величины, получившейся в результате сложения.

Решение. Однородными физическими величинами в данном случае являются массы тел: m₁ = 120 г и m₂ = 0,048 кг. Для выполнения операции сложения физические величины необходимо выразить в одних единицах. Одну из масс, например т2, выразим в единицах, в которых записана масса ть т. е. в граммах (г). Так как

1 кг = 1000 г, то m₂ = 0,048 кг = 0,048- 1000 г = 48 г.

Следовательно,

m = m₁ + m₂ = 120 г + 48 г = 168 г.

Ответ: результатом сложения является масса m = 168 г.

2. Определите физические величины, получившиеся в результате следующих действий:
1) 0,6 г/см³ • 5 см³;
2) 40 см • 0,25 м.

Решение. 1) Найдем произведение двух физических величин, перемножив их числовые значения и единицы:

0,6 г/см³ • 5 см³ = (0,6 • 5) ( г/см³ • см³) =3 г.

Мы получили физическую величину — массу m = 3 г. 2) Чтобы выполнить умножение двух однородных физических величин, необходимо выразить их в одних единицах, например в сантиметрах (см):

40 см – 0,25 м = 40 см – 25 см = 1000 см² = 10 дм².

Мы получили физическую величину — площадь S = 10 дм².

Ответ: 1) в результате умножения двух физических величин разного рода (плотности и объема) получена третья физическая величина — масса m = 3 г;

2) в результате умножения двух однородных физических величин (длин) получена третья физическая величина — площадь S = 10 дм².

Упражнение 2

1. Какие из приведенных значений величин можно складывать? Выполните сложение и запишите результат:

1) 3,0 мин, 26 см, 5 см², 40 с, 10 кг, 25 °С;

2) 2,0 кг, 15 мм, 10 мм², 60 с, 25 г, 2,5 мл.

2. Какие из приведенных значений величин можно вычитать? Выполните вычитание и запишите результат:

1) 16 см, 8,0 кг, 40 с, 64 см³, 90 мм;

2) 2,0 ч, 300 кг, 40 см³, 25 мин, 35 км, 12 т.

3. Сравните длины отрезков: l₁=48 см, l₂ = 0,48 дм, l₃ = 48 мм. Какие отрезки имеют равную длину? Какой отрезок имеет наибольшую Длину? Изобразите отрезки в тетради.

4. Определите, какая физическая величина получается в результате следующих действий:

1)12 кг/м³• 3,0 м³;

2) 40 см – 0,15 м;

3) 10 м/c – 5,0 с;

4) 14 м² / 2,0 м;

5) 72 км / 2,0 ч;

6) 27 м³ / 9,0 м;

7) 20 см • 0,50 м • 3,0 дм;

8) 25,0 см + 150 мм.

««« Предыдущая страница] – [ § 6.] – [ Следующая страница »»»

Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 2.

Содержание

Начало: Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 1.

Умножение. Свойства умножения

Произведением числа на натуральное число не равное 1, называют сумму, состоящую из слагаемых, каждое из которых равно а:

a · b = a +a +a+…+a⏟b

4· 5 =4 + 4 + 4 + 4 + 4⏟5

Если один из двух множителей равен 1, то произведение равно второму множителю:

m · 1 = 1 · m = m

5 · 1 = 5;1 · 5 = 5.

Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю:

5 · 0 = 0;0 · 5 = 0.

Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Умножение обыкновенных дробей

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения:

ab·n=a·nb

27 · 3=  2 · 37 = 67

Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:

ab · cd = a · cb · d

27 · 45 = 2 · 47 · 5 = 835

Чтобы умножить смешанные числа, надо сначала записать их в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

113 · 235 = 43 · 135 = 5215 = 3715

Умножение рациональных чисел

Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «-».

—5⏞—5=5 · 15 ⏞15=15= —(5 · 15) = —75.

Чтобы умножить два отрицательных числа, надо умножить их модули.

—8⏞—8=8 · (—5) ⏞—5=5= 8 · 5 = 40.

Для любого рационального числа :

a · (—1) = —a

12 · (—1) = —12;

Если произведение  •  — положительное, то числа и имеют одинаковые знаки;

a = 3  и  b = 2;a · b = 3 · 2 = 6 >0.а =—3 и b = —2;a · b = —3 · (—2) = 6 >0

Если произведение • — отрицательное, то числа и имеют раз­ные знаки.

a = 3  и  b = —2;a · b = 3 · (—2) =—6 < 0.а =—3 и b = 2;a · b = —3 · 2 = 6 < 0

Деление обыкновенных дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю:

ab : cd = ab · dc

23 : 57 = 23 · 75 = 1415

Деление рациональных чисел

Чтобы найти частное двух чисел с разными знаками, надо мо­дуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным числом поставить знак «-».

—15⏞—15=15 · 5 ⏞5=5= —(15 : 5) = —3

Чтобы найти частное двух отрицательных чисел, надо модуль делимого разделить на модуль делителя.

—18⏞—18=18 : (—3) ⏞—3=3= 18 : 3 = 6

Нахождение дроби от числа

Чтобы найти дробь от числа, можно число умножить на эту дробь.

Найти 0,7 от числа 20:0,7 · 20 = 14.Найти 37 от числа 70:37 · 70 = 30

Чтобы найти проценты от числа, можно представить проценты в виде дроби и умножить число на эту дробь.

Найти 15% от числа 200:15% = 15100;15100 · 200 = 30

Нахождение числа по его дроби

Чтобы найти число по значению его дроби, можно это значение разделить на эту дробь.

Чтобы найти число по его процентам, можно представить про­центы в виде дроби и разделить значение процентов на эту дробь.

Степень числа

Степенью числа с натуральным показателем , большим , на­зывают произведение множителей, каждый из которых равен :

an=a · a · a ·…·a⏟n

Число  при этом называют основанием степени.

54 = 5 · 5 · 5 · 5;5 — основание; 4 — показатель степени

Степенью числа с показателем называют само число

a1=a

71 = 7

Вторую степень числа называют также квадратом числа. Напри­мер, запись читают: « в квадрате».
Третью степень называют кубом числа, а запись читают: « в кубе».

Если в числовое выражение входит степень, то сначала выпол­няют возведение в степень, а затем производят другие действия.

Числовые и буквенные выражения

Запись, составленную из чисел, знаков арифметических действий и скобок, называют числовым выражением.

2 + 3 · 5 — 7;15 : 5

Запись, составленную из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок, называют буквенным выражением.

2x — 3y + 6;6x

Приведение подобных слагаемых

Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффици­енты и полученный результат умножить на общую буквенную часть.

2x + 3x — 11x = (2 + 3 — 11)x =—6x

Раскрытие скобок

Если перед скобками стоит знак «-», то при раскрытии скобок надо опустить этот знак, а все знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках, изменить на противоположные.

16 — (3x + 6 —15y —21) = 16 —3x — 6 + 15y + 21

Если перед скобками стоит знак « + », то при раскрытии скобок надо опустить этот знак, а все знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках, оставить без изменений.

22 + (3x — 10 —25y) = 22 + 3x — 10 —25y

Свойства уравнений

• Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.

2x  + 5 = 17 | —52x + 5 —5 = 17 —52x = 12x = 12 : 2x = 6

• Если данное уравнение не имеет корней, то, прибавив к обе­им его частям одно и то же число, получим уравнение, тоже не имеющее корней.

0·x = 20 —не имеет корней.0·x = 20 | +50 ·x +5 = 20 +50·x∥0 +5 =255 = 25 — неверно, корней нет.

• Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то по­лучим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.

—2x — 5 = 9x←—9x→+5 +50—2x —9x = 50 +5—11x = 55x = 55 : (—11)x =—5. 

• Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.

x2 + 34 = 6 | ×44 ·  (x2 + 34) = 4 · 64 · x2 + 4 · 34 = 242x + 3 = 242x = 24 — 32x = 21x = 21  : 2x =10,5

Отношения

a : b = ab частное или отношение чисел а и b.a = 5 и b =7:57 частное (отношение) чисел 5 и7

• Отношение не изменится, если его члены умножить или раз­делить на одно и то же число, не равное нулю.

2436 — отношение.24 : 1236 : 12  = 23

Пропорции

Равенство двух отношений называют пропорцией. В буквенном виде пропорцию можно записать так:

a : b =c : d или ab = cd

Числа и называют крайними членами пропорции, а чис­ла и — средними членами пропорции.

Пропорци x : 5 = 8 : 17 или другая записьx5 = 817;x и 17 — крайние члены пропорции;5 и 8 — средние члены пропорции.

Основное свойство пропорции

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:

ab = cd ⇒ ad = bc

Если , , и числа, не равные нулю, и • = • , то отношения

ab  и cd

могут образовывать пропорцию

ab = cd

Пропорция  23 = 69 Перемножим крест накрест   по основному свойству пропорции  23 = 69Получим  2 · 9 = 3 ·  6. Также можно составить еще 3  верные пропорции:26  = 39;96  = 32;93 = 62

Процентное отношение двух чисел

Процентное отношение двух чисел — это их отношение, выраженное в процентах. Оно показывает, сколько процентов одно число составляет от другого.
Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отношение умножить на 100 и к результату дописать знак процента.

Числа 5 и 20.Найдем отношение 5 к 20 и умножим на 100 %:51204  · 100% = 1 · 1002541% = 25%.Значит, число 5 — это 25 % от числа 20.

Прямая и обратная пропорциональная зависимость

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Формула пути S = V · t.S —путь, V —скорость, t —время.Величины S и V, а также S и t —прямо пропорциональны.Пусть V = 5 км/ч, t = 2ч.Тогда S = 5 * 2 = 10(км).Если мы увеличим, например, скорость в 5 раз V = 5 · 5 =25(км/ч)Тогда S = 25 · 2 = 50(км).Путь был 10 км, стал 50км, увеличился в 5 раз.

Если величины и обратно пропорциональны, то их соответ­ствующие значения удовлетворяют равенству

y = kx

,  где  -число, постоянное для данных величин.

V  = S tV— скорость и t  —время обратно пропорцилональны.Чем выше скорость, тем меньше времени требуется на путь. Пусть объект проехал S = 100 км за t =2ч.Тогда V = 1002 =( 50 км/ч).Если же время потребуется 5 ч, то скорость объекта V = 1005 = (20 км/ч)

Начало: Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 1.

Правила и определения опираются  на  УМК  А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир.  Примеры составлены мной (Косыхина Н.В.)