Как найти значение вписанного угла

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

В этом случае справедливы равенства

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

В этом случае справедливы равенства

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Углы в окружности, центральный и вписанный. Свойства и способы нахождения

Планиметрия – это раздел геометрии, изучающий свойства плоских фигур. К ним относятся не только всем известные треугольники, квадраты, прямоугольники, но и прямые и углы. В планиметрии также существуют такие понятия, как углы в окружности: центральный и вписанный. Но что они означают?

Что такое центральный угол?

Для того чтобы понять, что такое центральный угол, нужно дать определение окружности. Окружность – это совокупность всех точек, равноудаленных от данной точки (центра окружности).

Очень важно отличать ее от круга. Нужно запомнить, что окружность – это замкнутая линия, а круг – это часть плоскости, ограниченная ею. В окружность может быть вписан многоугольник или угол.

Центральный угол – это такой угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны пересекают окружность в двух точках. Дуга, которую угол ограничивает точками пересечения, называется дугой, на которую опирается данный угол.

Рассмотрим пример №1.

На картинке угол AOB – центральный, потому что вершина угла и центр окружности – это одна точка О. Он опирается на дугу AB, не содержащую точку С.

Чем вписанный угол отличается от центрального?

Однако кроме центральных существуют также вписанные углы. В чем же их различие? Так же как и центральный, вписанный в окружность угол опирается на определенную дугу. Но его вершина не совпадает с центром окружности, а лежит на ней.

Приведем следующий пример.

Угол ACB называется углом, вписанным в окружность с центром в точке О. Точка С принадлежит окружности, то есть лежит на ней. Угол опирается на дугу АВ.

Чему равен центральный угол

Для того чтобы успешно справляться с задачами по геометрии, недостаточно уметь различать вписанный и центральный углы. Как правило, для их решения нужно точно знать, как найти центральный угол в окружности, и уметь вычислить его значение в градусах.

Итак, центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На картинке угол АОВ опирается на дугу АВ, равную 66°. Значит, угол АОВ также равен 66°.

Таким образом, центральные углы, опирающиеся на равные дуги, равны.

На рисунке дуга DC равна дуге AB. Значит, угол АОВ равен углу DOC.

Как найти вписанный угол

Может показаться, что угол, вписанный в окружность, равен центральному углу, который опирается на ту же дугу. Однако это грубая ошибка. На самом деле, даже просто посмотрев на чертеж и сравнив эти углы между собой, можно увидеть, что их градусные меры будут иметь разные значения. Так чему же равен вписанный в окружность угол?

Градусная мера вписанного угла равна одной второй от дуги, на которую он опирается, или половине центрального угла, если они опираются на одну дугу.

Рассмотрим пример. Угол АСВ опирается на дугу, равную 66°.

Значит, угол АСВ = 66° : 2 = 33°

Рассмотрим некоторые следствия из этой теоремы.

• Вписанные углы, если они опираются на одну и ту же дугу, хорду или равные дуги, равны.
• Если вписанные углы опираются на одну хорду, но их вершины лежат по разные стороны от нее, сумма градусных мер таких углов составляет 180°, так как в этом случае оба угла опираются на дуги, градусная мера которых в сумме составляет 360° (вся окружность), 360° : 2 = 180°
• Если вписанный угол опирается на диаметр данной окружности, его градусная мера равна 90°, так как диаметр стягивает дугу равную 180°, 180° : 2 = 90°
• Если центральный и вписанный углы в окружности опираются на одну дугу или хорду, то вписанный угол равен половине центрального.

Где могут встретиться задачи на эту тему? Их виды и способы решения

Так как окружность и ее свойства – это один из важнейших разделов геометрии, планиметрии в частности, то вписанный и центральный углы в окружности – это тема, которая широко и подробно изучается в школьном курсе. Задачи, посвященные их свойствам, встречаются в основном государственном экзамене (ОГЭ) и едином государственном экзамене (ЕГЭ). Как правило, для решения этих задач следует найти углы на окружности в градусах.

Углы, опирающиеся на одну дугу

Этот тип задач является, пожалуй, одним из самых легких, так как для его решения нужно знать всего два простых свойства: если оба угла являются вписанными и опираются на одну хорду, они равны, если один из них – центральный, то соответствующий вписанный угол равен его половине. Однако при их решении нужно быть крайне внимательным: иногда бывает сложно заметить это свойство, и ученики при решении таких простейших задач заходят в тупик. Рассмотрим пример.

Дана окружность с центром в точке О. Угол АОВ равен 54°. Найти градусную меру угла АСВ.

Эта задача решается в одно действие. Единственное, что нужно для того, чтобы найти ответ на нее быстро – заметить, что дуга, на которую опираются оба угла – общая. Увидев это, можно применять уже знакомое свойство. Угол АСВ равен половине угла АОВ. Значит,

1) АОВ = 54° : 2 = 27°.

Углы, опирающиеся на разные дуги одной окружности

Иногда в условиях задачи напрямую не прописана величина дуги, на которую опирается искомый угол. Для того чтобы ее вычислить, нужно проанализировать величину данных углов и сопоставить их с известными свойствами окружности.

В окружности с центром в точке О угол АОС равен 120°, а угол АОВ – 30°. Найдите угол ВАС.

Для начала стоит сказать, что возможно решение этой задачи с помощью свойств равнобедренных треугольников, однако для этого потребуется выполнить большее количество математических действий. Поэтому здесь будет приведен разбор решения с помощью свойств центральных и вписанных углов в окружности.

Итак, угол АОС опирается на дугу АС и является центральным, значит, дуга АС равна углу АОС.

Точно так же угол АОВ опирается на дугу АВ.

Зная это и градусную меру всей окружности (360°), можно с легкостью найти величину дуги ВС.

ВС = 360° – АС – АВ

ВС = 360° – 120° – 30° = 210°

Вершина угла САВ, точка А, лежит на окружности. Значит, угол САВ является вписанным и равен половине дуги СВ.

Угол САВ = 210° : 2 = 110°

Задачи, основанные на соотношении дуг

Некоторые задачи вообще не содержат данных о величинах углов, поэтому их нужно искать, исходя только из известных теорем и свойств окружности.

Найдите угол, вписанный в окружность, который опирается на хорду, равную радиусу данной окружности.

Если мысленно провести линии, соединяющие концы отрезка с центром окружности, то получится треугольник. Рассмотрев его, можно заметить, что эти линии являются радиусами окружности, а значит, все стороны треугольника равны. Известно, что все углы равностороннего треугольника равны 60°. Значит, дуга АВ, содержащая вершину треугольника, равна 60°. Отсюда найдем дугу АВ, на которую опирается искомый угол.

АВ = 360° – 60° = 300°

Угол АВС = 300° : 2 = 150°

В окружности с центром в точке О дуги соотносятся как 3:7. Найдите меньший вписанный угол.

Для решения обозначим одну часть за Х, тогда одна дуга равна 3Х, а вторая соответственно 7Х. Зная, что градусная мера окружности равна 360°, составим уравнение.

По условию, нужно найти меньший угол. Очевидно, что если величина угла прямо пропорциональна дуге, на которую он опирается, то искомый (меньший) угол соответствует дуге, равной 3Х.

Значит, меньший угол равен (36° * 3) : 2 = 108° : 2 = 54°

В окружности с центром в точке О угол АОВ равен 60°, а длина меньшей дуги – 50. Вычислите длину большей дуги.

Для того чтобы вычислить длину большей дуги, нужно составить пропорцию – как меньшая дуга относится к большей. Для этого вычислим величину обеих дуг в градусах. Меньшая дуга равна углу, который на нее опирается. Ее градусная мера составит 60°. Большая дуга равна разности градусной меры окружности (она равна 360° вне зависимости от остальных данных) и меньшей дуги.

Большая дуга равна 360° – 60° = 300°.

Так как 300° : 60° = 5, то большая дуга в 5 раз больше меньшей.

Большая дуга = 50 * 5 = 250

Итак, конечно, существуют и другие подходы к решению подобных задач, но все они так или иначе основаны на свойствах центральных и вписанных углов, треугольников и окружности. Для того чтобы успешно их решать, необходимо внимательно изучать чертеж и сопоставлять его с данными задачи, а также уметь применять свои теоретические знания на практике.

Центральные и вписанные углы

О чем эта статья:

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

• Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

• Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

• Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

• Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

• Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

• Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

• Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

[spoiler title=”источники:”]

http://fb.ru/article/445770/uglyi-v-okrujnosti-tsentralnyiy-i-vpisannyiy-svoystva-i-sposobyi-nahojdeniya

http://skysmart.ru/articles/mathematic/centralnye-i-vpisannye-ugly

[/spoiler]

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Связанные определения

• Говорят, что вписанный угол опирается на дугу, высекаемую им на окружности, или же опирается на хорду, соединяющую концы этой дуги.

Свойства

• Теорема о вписанном угле: Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, и дополняет до 180° половину центрального угла, опирающегося на дополнительную дугу. В любом случае вписанный угол равен половине угловой меры дуги, на которую он опирается^[1].
  • Следствия:
    • Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

    • 

      Вертикальные углы, образованные пересечением отрезков, перекрёстно соединяющих концы двух непересекающихся хорд, равны полусумме угловых мер стягиваемых хордами дуг, либо дополняют эту полусумму до 180°.

Метод вспомогательной окружности

На теореме о вписанном угле основан метод решения геометрических задач, так называемый метод вспомогательной окружности.
Идея метода состоит в использовании теоремы о вписанном угле и её обратной для нахождения вписанных четырёхугольников и далее использовании их для нахождения углов^[2]. Следующая задача является классическим примером на использование этого метода:

• Предположим три прямые проходящие через одну точку делят плоскость на 6 равных углов. Доказать, что ортогональные проекции произвольной точки на эти три прямые образуют правильный треугольник.

Примечания

План урока:

Центральный угол и градусная мера дуги

Вписанный угол

Углы между хордами и секущими

Теорема о произведении отрезков хорд

Задачи на квадратной решетке

Центральный угол и градусная мера дуги

Любые две точки на окружности разбивают ее на две дуги. Чтобы отличать эти дуги, на каждой из них ставят точку, которую и указывают в обозначении дуги:

Здесь красным цветом показана⋃АСВ, а синим – ⋃ADB. Однако иногда для простоты указывают только концы дуги, то есть используют обозначение ⋃AВ. Это делается тогда, когда ясно, о какой дуге окружности идет речь. Обычно всегда подразумевается та дуга, которая меньше.

Можно заметить, что дуги отличаются по размеру, поэтому возникает потребность их измерения. Для этого используют такое понятие, как градусная мера дуги.

Для ее определения необходимо соединить концы дуги с центром окруж-ти. В результате получаются радиусы, которые пересекаются в центре окружности. Угол между ними именуется центральным углом окруж-ти.

Для каждой дуги можно построить единственный центральный угол, поэтому логично измерять дугу с помощью такого угла. Правда, обратное неверно. На рисунке видно, что центральному углу ∠АОВ соответствует сразу две дуги: ⋃АСВ и ⋃АDB:

Поэтому условно считают, градусная мера той из двух дуг, которая меньше, как раз и равна центральному углу:

Дуги, также как отрезки или углы, можно складывать или вычитать. Например, пусть есть две дуги, ⋃AВ и ⋃ВС, чьи градусные меры составляют 40° и 30°.

Как найти ⋃АС? Ей соответствует центральный угол ∠АОС, который в свою очередь равен сумме ∠АОВ и ∠ВОС:

Диаметр делит окруж-ть на две равные друг другу дуги, которые называются полуокружностями. При этом диаметр окружности можно рассматривать как угол между двумя радиусами, равный 180°. Получается, что градусная мера полуокружности составляет 180°:

Вместе две полуокружности образуют полную окруж-ть. Получается, что градусная мера всей окруж-ти составляет 180° + 180° = 360°.

Этот факт известен и из жизни – когда кто-то делает полный оборот вокруг своей оси, говорят, что он повернулся на 360°. Теперь мы можем вернуться к случаю, когда две точки делят окруж-ть на две неравные друг другу дуги. Градусная мера меньшей из них будет равна величине соответствующего центрального угла (обозначим его как α). В сумме две дуги должны дать 360°. Значит, градусная мера большей дуги будет составлять 360° – α:

Задание. Точки А, В, С и D лежат на одной окруж-ти. Известно, что ⋃АСВ составляет 107°. Какова величина ⋃ADB?

Решение. Вместе дуги ⋃АСВ и ⋃АDВ образуют полную окруж-ть, поэтому их сумма равна 360°. Это позволяет составить уравнение и найти из него ⋃АDB:

Задание. Найдите величину ∠АОС на рисунке, если известны ⋃AВ и ⋃ВС:

Решение. Сначала найдем ⋃АС, учтя, что все три дуги, показанные на рисунке, в сумме составляют 360°:

Для доказательства построим две одинаковые хорды AВ и СD в окруж-ти и соединим их концы с центром:

В результате получились ∆АОВ и ∆ОСD. У них равны все три стороны, значит, сами эти треугольники равны. Тогда 

∠COD = ∠AOB

Но эти углы – центральные для дуг ⋃AВ и ⋃CD. Получается, что у этих дуг одинаковы их градусные меры, поэтому они также равны, ч. т. д.

Примечание. Всякая хорда окружности разбивает ее на две дуги – большую и меньшую. В данном правиле говорится именно равенстве меньших дуг.

Задание. На окруж-ти отмечены точки А, В и С так, что хорды AВ, ВС и АС равны. Найдите угол между радиусами окружности АО и ВО.

Решение.

Дуги ⋃AВ, ⋃ВС и ⋃АС стянуты равными хордами AВ, ВС и АС. Значит, они одинаковы. Но в сумме эти три дуги образуют окруж-ть величиной в 360°. Значит, каждая из этих дуг втрое меньше:

⋃AВ = ⋃BC = ⋃AC = 360°:3 = 120°

∠АОВ – центральный для ⋃AВ, значит, он равен ее градусной мере, то есть он составляет 120°.

Ответ: 120°.

Вписанный угол

В окруж-ти можно построить ещё один угол, который именуют вписанным углом. Его отличие от центрального заключается в том, что его вершина лежит на окруж-ти, а не в ее центре. Сторонами же вписанного угла являются хорды окруж-ти.

Здесь дуга ⋃ВС находится внутри угла, а ее концы лежат на его сторонах. В таких случаях говорят, что ∠ВАС опирается на дугу ВС. Оказывается, что между величиной вписанного угла и дугой, на которую он опирается, есть взаимосвязь.

Обозначим вписанный угол ∠СAВ буквой α. Так как радиусы АО и ОС одинаковы, то ∆АОС – равнобедренный, и тогда углы при его основании будут одинаковы:

∠OCA = ∠OAC = α

∠СОВ – внешний для ∆АОС. Напомним, что такой угол равен сумме тех 2 углов треуг-ка, которые с ним не смежны. В частности, в данном случае можно записать

∠СОВ = ∠OCA = ∠OAC = α + α = 2α

Но этот же угол – центральный, и его величина равна ⋃ВС:

⋃BC = 2α

Получается, что дуга вдвое больше вписанного угла.

Далее рассмотрим случай, когда диаметр, проведенный из вершины вписанного угла, делит его на две части:

В этом случае вписанный угол ∠СAВ можно представить как сумму углов ∠САD (обозначен как α)и ∠ВАD (обозначен как β). Мы уже доказали, что дуги, на которые опираются эти углы, вдвое больше самих углов:

Осталось рассмотреть третий случай, при котором обе стороны вписанного угла ∠ВАС лежат по одну сторону от диаметра:

Если здесь обозначить ∠САD как α, а ∠ВАD как β, то интересующий нас ∠СAВ можно представить как их разность:

Итак, во всех трех возможных случаях вписанный угол оказывается вдвое меньше дуги, на которую он опирается.

Задание. Найдите ∠ВАС на рисунке:

Задание. Найдите вписанный ∠AВС, сели прилегающие к нему дуги ⋃AВ и ⋃ВС равны 100° и 128°.

Решение. В сумме дуги ⋃АС, ⋃ВС и ⋃AВ образуют окруж-ть, поэтому их сумма составляет 360°. Тогда можно найти ⋃АС:

Задание. Найдите дугу ⋃SM на рисунке:

Решение. Сначала найдем дугу ⋃MN, она вдвое больше соответствующего ей вписанного угла:

⋃NM = 2*∠NSM = 2*35° = 70°

Заметим, что ⋃SN– это полуокружность, то есть она составляет 180°. При этом ⋃SM и ⋃MN вместе как раз образуют эту полуокружность, то есть их сумма также составляет 180°. Значит, ⋃МS можно найти, вычтя из полуокружности ⋃MN:

⋃MS = ⋃SN – ⋃MN = 180° – 70° = 110°

Ответ: 110°.

Заметим, что для одной дуги можно построить несколько вписанных углов. Каждый из них будет равен половине дуги, то есть все эти углы окажутся одинаковыми.

Задание. Найдите ∠АСD на рисунке:

Решение. Так как ∠ACD и ∠ABD опираются на одну дугу ⋃AD, то они должны быть одинаковыми:

∠ACD = ∠ABD = 63°

Ответ: 63°.

Задание. Докажите, что две дуги, находящиеся между двумя параллельными секущими окруж-ти, равны друг другу.

Решение.

Нам надо доказать, что ⋃AВ и ⋃CD равны, если АС||BD. Проведем секущую ВС:

∠СВD и ∠АСВ равны, ведь они накрест лежащие. Получается, что ⋃AВ и ⋃CD являются основаниями равных вписанных углов. Отсюда вытекает, что эти дуги должны быть равными.

Напомним, что диаметр разбивает окруж-ть на две дуги по 180°. Отсюда можно сделать вывод – любой угол, опирающийся на полуокружность, должен составлять 180°:2 = 90°:

Задание. Диаметр окруж-ти AВ равен 17. Хорда ВС имеет длину 8. Какова длина хорды АС?

Решение.

Так как ∠АСВ опирается на диаметр AВ, то он прямой. Значит, и ∆АСВ – прямоугольный, причем диаметр AВ в нем – гипотенуза. Неизвестный катет можно найти по теореме Пифагора:

Задание. Окруж-ть разбита на две дуги, ⋃AВС и ⋃СDA. Известно, что ∠AВС = 72°. Найдите ∠ADC.

Решение.

Зная ∠AВС, мы легко найдем дугу ⋃ADC, она вдвое больше опирающегося на нее вписанного угла:

Углы между хордами и секущими

До этого мы рассматривали простые углы в окруж-ти, вершины которых лежали либо на самой окруж-ти, либо в ее центре. Однако иногда хорды и секущие пересекаются в другой точке, либо внутри, либо вне окруж-ти. Рассмотрим подобные задачи.

Более прост случай, когда необходимо найти угол между двумя пересекающимися хордами. Пусть хорды при пересечении образовали дуги ⋃AВ и ⋃СD величиной α и β. Каков угол между ними?

Проведем ещё одну хорду АD. В результате получим вписанные ∠САD и ∠ADB, которые будут равны половинам от соответствующих дуг, то есть α/2 и β/2. Интересующий нас ∠СPD оказывается внешним для ∆APD, и потому равен сумме двух углов в ∆APD (тех, которые с ним не смежны), то есть он составляет величину α/2 + β/2:

Величину α/2 + β/2 можно записать и иначе, вынеся множитель 1/2 за скобки:

α/2 + β/2 = (α + β)/2

Эту величину можно назвать полусуммой дуг, на которые опирается интересующий нас угол.

Задание. Найдите ∠МКВ на рисунке:

Решение. Интересующий нас угол опирается на хорды величиной 38° и 42°. Значит, он равен половине от их суммы:

∠MKB = (42° + 38°)/2 = 80°/2 = 40°

Ответ: 40°.

В более сложном случае необходимо найти угол между секущими, которые пересекаются вне окруж-ти. При этом известны дуги, образованные этими секущими:

Снова проведем хорду АD, чтобы у нас получились два вписанных угла, ∠ADB и ∠СAD, которые соответственно будут иметь величину β/2 и α/2:

Теперь уже ∠САD оказывается внешним для ∆ADK, а потому он является суммой двух других углов:

В итоге получили, что угол между секущими составляет половину от разности дуг, которые они отсекают от окруж-ти.

Задание. Найдите на рисунке величину∠К, если ⋃AВ и ⋃СD соответственно равны 42° и 130°:

Решение. В этой задаче просто используем доказанную теорему об углах между секущими. Искомый угол составляет половину от разности дуг, заключенных между секущими:

∠K = (130° – 42°):2 = 88°/2 = 44°

Ответ: 44°.

Теорема о произведении отрезков хорд

Можно заметить, что при пересечении двух хорд образуется пара подобных треугольников. Пусть хорды ADи ВС пересекаются в точке K. Добавим хорды AВ и СD и получим ∆AВК и ∆КСD:

На дугу ⋃BD опираются вписанные углы∠А и ∠С, значит, они одинаковы. Также на одну дугу АС опираются ∠D и∠В, поэтому и они одинаково. Равенство двух углов уже означает, что треугольники подобны по первому признаку подобия (дополнительно можно заметить, что ∠АКВ и ∠СКD равны как вертикальные углы).

Из подобия ∆AВК и ∆СКD вытекает пропорция между их сторонами:

Перемножив члены пропорции крест накрест, получим соотношение:

AK*KD = CK*BK

В результате нам удалось доказать следующее утверждение:

Задание. Хорды AВ и CD пересекаются в точке М. Известны, что АМ = 9, МВ = 3, МС = 2. Какова длина отрезка МD?

Решение.

Хорда AВ разбивается на отрезки АМ и МВ, а хорда CD – на отрезки СМ и МD. Произведения этих отрезков одинаковы:

AM*MB = CM*MD

Подставим в это равенство известные величины

Рассмотрим ещё одну геометрическую конструкцию. Пусть из некоторой точки А к окруж-ти проведена как касательная к окружности АК, так и секущая, пересекающая окруж-ть в точках В и С:

Какие здесь есть взаимосвязи между углами и длинами отрезков? Для начала проведем хорды ВК и СК, а также радиусы ОК и ОВ. Обозначим буквой α угол ∠ВСК. Он вписанный, поэтому дуга, на которую он опирается (это ⋃ВК), вдвое больше и равна 2α. Тогда и центральный угол ∠ВОК также составляет 2α:

Теперь исследуем ∆ВОК. Он равнобедренный (ВО и ОК – одинаковые радиусы), поэтому углы при его основании совпадают:

Итак, углы при основании ∆ОВК, в частности ∠ОКВ, равны 90° – α. Заметим, что ∠ОКА – прямой, так как образован радиусом ОК и касательной АК, при этом он состоит из двух углов, ∠АКВ и ∠ВКО. Это позволяет найти ∠АКВ:

В результате мы получили важный промежуточный результат – угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, вдвое меньше образующейся при этом дуги.

Вернемся к картинке с секущей. Изначально как α мы обозначили ∠ВСК, но в результате получили, что и ∠АКВ = α.

Рассмотрим ∆AВК и ∆САК. У них есть общий∠А, а также одинаковые ∠AКВ и ∠ВСК, которые отмечены буквой α. Значит, ∆AВК и ∆САК подобны, поэтому мы имеем право записать пропорцию между его сторонами:

Здесь отрезок АС можно назвать секущей, а AВ – ее внешней частью. Тогда выведенное отношение можно сформулировать так:

Решение. Сначала находим длину всей секущей, пользуясь доказанной теоремой:

Решение. Проведем из точки А ещё и касательную АК к окруж-ти:

Величину квадрата касательной АК можно найти, используя секущую АС. Сначала вычислим длину АС:

Ответ: 3,8.

Задачи на квадратной решетке

Рассмотрим несколько несложных задач, часто встречающихся на экзаменах.

Задание. Найдите ∠AВС на рисунке:

Решение. Здесь следует заметить, что расстояние между А и С составляет 8 клеток, при этом в окруж-ть как раз можно вписать квадрат со стороной 8.

Такой квадрат разобьет окруж-ть на 4 дуги, причем так как эти дуги опираются на хорды одинаковой длины, то они и сами равны. Вся окруж-ть составляет 360°, значит, каждая из этих дуг составляет 360°:4 = 90°. ∠AВС – вписанный, то есть он составляет половину дуги, на которую он опирается, а это⋃АС, равная 90°. Тогда

∠ABC = 90°:2 = 45°

Ответ: 45°.

Задание. Найдите ∠AВС, используя рисунок:

Решение. Используя рассуждения из предыдущей задачи, легко определить, что∠А составляет 45°.При этом ∆AВС – равнобедренный, и ВС – его основание. Это следует хотя бы из того факта, что высота АН делит сторону ВН пополам.

Углы∠В и ∠С одинаковы, так как лежат при основании равнобедренного треуг-ка. Найдем их, используя тот факт, что все 3 угла в ∆AВС составляют в сумме 180°:

Задание. Вычислите ∠AВС:

Решение. Снова в окруж-ть можно вписать квадрат со стороной 8 клеток. Из этого следует что ⋃АВС составляет 90° (показана фиолетовым цветом):

Но ∠АВС опирается на синюю дугу. Так как вместе фиолетовая и синяя дуга составляют окружность, равную 360°, то синяя дуга должна быть равна 360° – 90° = 270°. ∠АВС как вписанный будет вдвое меньше, то есть он равен 270°:2 = 135°.

Ответ: 135°.

Задание. Чему равен ∠AВС на рисунке?

Решение.

Если вписать в окруж-ть квадрат то он разобьет окруж-ти на дуги по 90°. В свою очередь точка А является серединой такой дуги, то есть она разбивает ее на две дуги по 45°.

∠AВС как вписанный будет вдвое меньше, то есть он равен 22,5°.

Ключевые слова:         угол,   окружность,   хорда,    дуга,   центральный угол,    вписанный угол,    касательная,   секущая,    теорема о секущих,   теорема о касательной и секущей,   градусная мера дуги,    угол опирается на хорду,    угол опирается на дугу,   дуга стягивает хорду,    угол между хордой и касательной,    внутренный угол окружности,    внешний угол окружности.

Центральные и вписанные углы в окружности    

Центральный угол     в   окружности – угол с вершиной в ее центре и сторонами-радиусами.

Дуга окружности ,    соответствующей центральному углу – часть окружности внутри плоского угла.

Градусная мера     дуги окружности – градусная мера соответствующего центрального угла.

Вписанный угол – вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность (хорды).

• Вписанный угол опирается на хорду , которая соединяет точки пересечения сторон угла и окружности.
• Вписанный угол опирается на дугу, заключенную между его сторонами.
• Обозначение:   $AB^o$ – градусная мера дуги    $AB$   ,     равна центральному    углу   $AOB$.

_____________________________________________________________________________________

Теорема    Вписанный угол равен   половине   центрального    угла, что опирается    на ту же дугу.

Теорема$angle BAC=frac{angle BOC}{2}=frac{BC^o}{2}$       $angle BAD=frac{angle BOD}{2}=frac{BD^o}{2}$       $angle DAC=frac{angle DOC}{2}=frac{DC^o}{2}$

_____________________________________________________________________________________

               

Случай 1:       Точка   $O$ принадлежит лучу   $AC$.

• Пусть   $angle A = alpha$    ,   тогда   и    $angle B = alpha$ ,   ведь      $bigtriangleup AOB$   – равнобедренный, его стороны    $OB=OA$   как радиусы.   
• $angle BOC$   является внешним для треугольника , а значит равен сумме двух других углов:       $alpha+alpha=2alpha$     
• угловое измерение дуги   $BC$   есть    $2alpha$       $Rightarrow$      вписанный угол   равен    половине дуги,    на которую он опирается.

Случай 2:       Точка   $O$ лежит   внутри   вписанного угла $angle BAC$ .   

• Проведем диаметр    $AD$, обозначим      $angle BAD = alpha$    и тогда    дуга $BD$   равна   $2alpha$   (см. случай 1).
• Обозначим $angle BAD$   за    $beta$ ,   тогда    дуга    $DC$   равна   $2beta$   ( так же из-за случая 1)          
• $Rightarrow$         вся дуга     $BC = 2alpha + 2beta = 2left(alpha+betaright)$.    Но     $angle BAC$   ,   в свою очередь, равен     $alpha + beta$            
• $Rightarrow$       вписанный угол   равен    половине дуги,   на которую он опирается.

Случай 3:       Точка   $O$   находится   вне   вписанного угла .     

• Проведем диаметр   $AD$, обозначим   угол   $angle BAD$   через    $alpha$ ,   тогда   дуга    $BD$   равна   $2alpha$   (из-за случай 1).
• $angle CAD$   обозначим через    $beta$ ,   тогда   дуга   $DC = 2beta$ (из-за случай 1).
• Дуга     $BC$    является разностью большой   дуги   $BD$    и    дуги    $DC$       :       $BC=BD-DC=2alpha-2beta=2left(alpha-betaright)$
• $Rightarrow$        Вписанный угол     $angle BAD = alpha – beta$. … вписанный угол   равен    половине дуги опирания.

Следствия теоремы о вписанном угле:

             

Задача 1:        Точки   $A$,   $B$,    $C$   находятся на окружности   и делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5.               Найдите больший   угол   треугольника    $ABC$   в градусах.

• Решение:      Пусть   меньшая   дуга   окружности   равна   $x$ ,    тогда     $x + 3x + 5x = 360^o$    ,     $9x = 360^o$    ,     $x = 40^o$           
• Больший   угол    $bigtriangleup ABC$     опирается   на   большую дугу   и   равен    $5cdot40^o$    ,   для окружности   он   является   вписанным           
• и   значит равен половине этой дуги   $frac{200}{2}$.                                   Ответ:     $100^o$

            

Задача 2:        В треугольнике   $ABC$     угол $B$    равен   $25^o$   .    Найти   угол   между   радиусом   описанной окружности   и   противоположной   стороной   $AC$.

• Решение:          Обозначим   $angle ABC$     за   $x$   . Он вписанный     и     опирается на дугу   $AC$ , на   которую   так же опирается   центральный   угол   $AOC$.   
• Вписанный   угол в два раза   меньше    центрального         $Rightarrow$       $angle AOC = 2x$.                 
• $bigtriangleup AOC$   –    равнобедренный, т.к.   две его   стороны   являются радиусами ,
• значит   углы   при    основании – хорде      $AC$ равны     и     $OAC=OCA=frac{180-2x}{2}=90-x=90-25=65$    .
• Кстати, угол    $HOC=ABC=x$.          Ответ:     $65^o$

Задача 3:        Отрезки $AC$   и   $BD$ — диаметры окружности с центром   $O$ ,   образовали меж собой   угол   $COD$   равный    $58^o$.   Найти     $angle ACB$.

• Решение:          Углы    $BOA$    и       $COD$      равны    как   вертикальные ,     поэтому      $angle BOA = 58^o$ .   
• Искомый угол   $ACB$   – вписанный   и   он   опирается на   ту же дугу , что и центральный угол   $BOA$   .
• По теореме о вписанных и центральных углах     $ACB=frac{1}{2}BOA=frac{1}{2}cdot58=29$            Ответ:     $angle ACB = 29^o$

Задача 4:        Найдите     $angle DEF$,     если градусные меры дуг $DE$ и   $EF$   равны    $161^o$   и   $53^o$    соответственно.                        

• Решение:   $angle DEF$ — вписанный,   его градусная   мера   равна половине дуги, на которую он опирается.
• Дуга    $FD = 360° – (161° + 53°) = 146°$         $Rightarrow$         $angle$ $DEF=frac{1}{2}146=73$                        Ответ:     $73^o$

Задача 5:        Найдите градусную меру   $angle ACB$ , если известно, что   $BC$ является диаметром окружности, а градусная мера центрального $angle AOC$    равна $96^o$.

• Решение:          $angle ACB$ — вписанный, опирается на дугу    $AB$   и   равен   её половине. Найдем дугу $AB$.        
• $BC$ — диаметр окружности,   дуга   $CAB$ равна   $180^o$.    $angle AOC$ – центральный угол.     По условию   $angle AOC = 96^o$ .   
• $Rightarrow$       дуга   $AC = 96^o$ ,   а дуга    $AB = 180^o – 96^o = 84^o$ ,    тогда     $angle$ $ACB=frac{1}{2}84=42$.   Ответ:             $angle ACB = 42^o$

              

Задача 6:        Сторона   $AC$    треугольника   $ABC$   содержит   центр описанной около него окружности.   Найдите $angle C$,   если $angle A = 69^o$.

• Решение: Важное свойство: вписанный     $angle В$ , опирающийся   на   диаметр     $AC$ ,    равен   $90^o$ .
• Любой диаметр – развернутый центральный угол – опирается на   дугу   $180^o$           $Rightarrow$       $bigtriangleup ABC$    —    прямоугольный.
• По свойству прямоугольного треугольника   сумма острых углов   равна      $90^o$    $Rightarrow$     $angle C=90^o-angle A=90^o – 69^o=21^o$ .
• Ответ:     $angle C = 21^o$

Задача 7:         $AC$   и    $BD$ — диаметры окружности с центром   $O$.      $angle ACB$    равен     $57^o$.     Найдите    $angle AOD$ .

• Решение:   $angle ACB$    является     вписанным     углом ,    значит     равен     половине    дуги,    на    которую    опирается …
• градусная мера   дуги    $AB= 2B = 2cdot57^o=114^o$ .           $O$ — центр окружности лежит на    $BD$   ,     значит $BAD = 180^o$,        
• тогда    дуга    $AD = 180^o – 114^o= 66^o$.     $angle AOD$ — центральный    и опирается    на    дугу   $AD$ ,
• значит их градусные меры совпадают.           $Rightarrow$                  Ответ:     $angle AOD = 66^o$

                 

Задача 8:         В   окружности с   центром в   точке     $O$ проведены   диаметры    $AD$   и     $BC$ , угол    $OCD$   равен    $41^o$.     Найдите величину   $angle OAB$   .

• Решение:   $angle OCD$       и     $angle OAB$ — вписанные    и    опираются на одну и ту же дугу     $DB$ , тогда …
• … по свойству вписанных углов    они равны.      Таким образом,   $angle OAB$   то же    равен     $41^o$.         Ответ:     $angle OAB = 41^o$

Задача 9:        Диаметр    $AB$,    угол   $CDA$   равен   38°.        Найдите    величину     угла     $CAB$.

• Решение: угол   $CDA$ –   вписанный,    значит     его   дуга     $AC^o=2cdot38^o=76^o$.         Тогда дуга     $BCD$    равна     $180 – 76 = 104^o$ ,
• но на   нее опирается   вписанный угол   $CAB$        $Rightarrow$          $CAB=frac{1}{2}104^o$            Ответ:     $CAB = 52^o$   

О главном по теме:   Центральные и вписанные углы в окружности.            1.   Центральный угол     в   окружности – угол с вершиной в ее центре и сторонами-радиусами.         2.   Дуга окружности ,    соответствующей центральному углу – часть окружности внутри плоского угла.         3.   Градусная мера     дуги окружности – градусная мера соответствующего центрального угла.   4.   Вписанный угол – вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность (хорды).   ….     Вписанный угол опирается на хорду , которая соединяет точки пересечения сторон угла и окружности. …. Вписанный угол опирается на дугу, заключенную между его сторонами.     Теорема    Вписанный угол равен   половине того центрального    угла, которая опирается    на ту же дугу.

Интерактивные Упражнения:

Задача 21:   Угол АВС равен 66. Найти все что можно. (Т)

Задачи из сайта https://resh.edu.ru :

Задача 22: Градусные меры дуг окружности относятся как 3 : 2 : 2 : 5. Найдите градусную меру большей из этих дуг.

Задача 23: Точки А, В, С, D отметили на окружности в порядке следования их в латинском алфавите. При этом оказалось, что дуга ВСD в 3 раза больше дуги BАD. Найдите градусную меру дуги BCD.

Задача 24: В окружности с центром О проведены две равные хорды MK и PN. Найдите градусную меру большей из дуг с концами M и K, если угол PON равен 110°

Задача 25: Вписанный угол CBA равен 80°, где AB – диаметр. Найдите угол CAB.

Задача 26: На окружности с центром в точке O взяли последовательно точки A, B, C так, что ∠AOC = 150°. Найдите градусную меру угла ABC.

Задача 27: Точки А, В и С лежат на окружности с центром О, ∠ВАС – вписанный угол. Про градусные меры дуг известно, что ∪AB : ∪BC : ∪AC = 3 : 1 : 2. Найдите АВС.

Задача 28: В окружности проведен диаметр AB и равные хорды AC и AD так, что ∠DAB = 40°. Найдите градусную меру угла CBD.

Задача 29: Три точки A,B,C делят окружность на части так, что ∪AB : ∪BC : ∪AC = 3 : 4 : 5. Найдите градусные меры из этих дуг.

Задача 30: Дана окружность с центром в точке О. На окружности взяты точки N, P, Q так, что угол РОQ в 2 раза меньше угла PON и в 3 раза меньше угла QON. Найдите градусную меру дуги PQ, которая не содержит точку N.

Задача 31: Вписанный угол ВСD равен 25°, дуга ВС имеет градусную меру 80°. Найдите градусную меру дуги CD.

Задача 32: На окружности взяли последовательно точки A, B, C, D так, что ∠ABC = 120°. Найдите градусную меру угла ADC.

Задача 33: На окружности с центром в точке О взяты точки K, М, N так, что MK – диаметр, а угол КОN равен 80°. Найдите угол КМN.