Здравствуйте, дорогие читатели, подписчики и гости канала. В этой статье рассмотрим различные вычисления с дробями, которые встречаются в шестом задании ОГЭ по математике. В июле 2.07.2021 года состоится последняя пересдача по математике в основной этап. Дополнительный этап будет уже в сентябре.
Давайте начнем разбор заданий.
1) Умножение дробь на дробь. Чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель умножить на числитель, знаменатель на знаменатель, при возможности сократить.
2) Деление дроби на дробь. При делении дробь на дробь, первая дробь переписывается, вторая дробь переворачивается, а деление заменяется на умножение.
3) Вычитание и умножение дробей. Несколько действий.
Способ №1. Находим общий знаменатель при вычитании. Чтобы найти общий знаменатель, нужно найти такое число, которое будет делиться на первое и второе число. В нашем случае это числа 10 и 20. Общий знаменатель 20.
Способ №2. Распределительный закон умножения. Чтобы умножить число на сумму можно умножить это число на каждое слагаемое, и результат сложить. Также это действует и при вычитании.
Также встречаются выражения, в которых не стоит находить общий знаменатель, поскольку это будет сложно. Приведу два примера:
Пример №1
Пример №2
4) Умножение целого числа на дробь. При умножении целого числа на дробь, целое число умножается на числитель, а знаменатель остается без изменений.
5) Сложение, деление и умножение смешанных чисел.
При сложении, вычитании, умножении и делении смешанных чисел иногда легче перевести смешанное число в неправильную дробь. Чтобы смешанное число перевести в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель, к полученному значению прибавить числитель дробной части и записать это в числитель, а знаменатель оставить прежним.
6) Вынесение общего множителя за скобку.
7) Действия с десятичными дробями
В итоге у нас получилось, что числитель дроби умножили на 100 (10*10=100), значит и знаменатель дроби тоже умножаем на 100, чтобы значение дроби не изменилось.
И еще один пример:
8) Десятичные дроби и действия со степенями
При возведении отрицательного числа в четную степень, получится число положительное. При возведении отрицательного числа в нечетную степень, получится число отрицательное.
И последнее выражение
Для отработки этих примеров, можно воспользоваться сайтом. Там много аналогичных задания, а эта статья вам будет в помощь при их решений.
Спасибо, что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.
В данной статье рассмотрено, как находить значения математических выражений. Начнем с простых числовых выражений и далее будем рассматривать случаи по мере возрастания их сложности. В конце приведем выражение, содержащее буквенные обозначения, скобки, корни, специальные математические знаки, степени, функции и т.д. Всю теорию, по традиции, снабдим обильными и подробными примерами.
Как найти значение числового выражения?
Числовые выражения, помимо прочего, помогают описывать условие задачи математическим языком. Вообще математические выражения могут быть как очень простыми, состоящими из пары чисел и арифметических знаков, так и очень сложными, содержащими функции, степени, корни, скобки и т.д. В рамках задачи часто необходимо найти значение того или иного выражения. О том, как это делать, и пойдет речь ниже.
Простейшие случаи
Это случаи, когда выражение не содержит ничего, кроме чисел и арифметических действий. Для успешного нахождения значений таких выражений понадобятся знания порядка выполнения арифметических действий без скобок, а также умение выполнять действия с различными числами.
Если в выражении есть только числа и арифметические знаки “+”, “·”, “-“, “÷”, то действия выполняются слева направо в следующем порядке: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. Приведем примеры.
Пусть нужно найти значения выражения 14-2·15÷6-3.
Выполним сначала умножение и деление. Получаем:
14-2·15÷6-3=14-30÷6-3=14-5-3.
Теперь проводим вычитание и получаем окончательный результат:
14-5-3=9-3=6.
Вычислим: 0,5-2·-7+23÷234·1112.
Сначала выполняем преобразование дробей, деление и умножение:
0,5-2·-7+23÷234·1112=12-(-14)+23÷114·1112
12-(-14)+23÷114·1112=12-(-14)+23·411·1112=12-(-14)+29.
Теперь займемся сложением и вычитанием. Сгруппируем дроби и приведем их к общему знаменателю:
12-(-14)+29=12+14+29=14+1318=141318.
Искомое значение найдено.
Выражения со скобками
Если выражение содержит скобки, то они определяют порядок действий в этом выражении. Сначала выполняются действия в скобках, а потом уже все остальные. Покажем это на примере.
Найдем значение выражения 0,5·(0,76-0,06).
В выражении присутствуют скобки, поэтому сначала выполняем операцию вычитания в скобках, а уже потом – умножение.
0,5·(0,76-0,06)=0,5·0,7=0,35.
Значение выражений, содержащих скобки в скобках, находится по такому же принципу.
Вычислим значение 1+2·1+2·1+2·1-14.
Выполнять действия будем начиная с самых внутренних скобок, переходя к внешним.
1+2·1+2·1+2·1-14=1+2·1+2·1+2·34
1+2·1+2·1+2·34=1+2·1+2·2,5=1+2·6=13.
В нахождении значений выражений со скобками главное – соблюдать последовательность действий.
Выражения с корнями
Математические выражения, значения которых нам нужно найти, могут содержать знаки корня. Причем, само выражение может быть под знаком корня. Как быть в таком случае? Сначала нужно найти значение выражения под корнем, а затем извлечь корень из числа, полученного в результате. По возможности от корней в числовых выражениях нужно лучше избавляться, заменяя из на числовые значения.
Вычислим значение выражения с корнями -2·3-1+60÷43+3·2,2+0,1·0,5.
Сначала вычисляем подкоренные выражения.
-2·3-1+60÷43=-6-1+153=83=2
2,2+0,1·0,5=2,2+0,05=2,25=1,5.
Теперь можно вычислить значение всего выражения.
-2·3-1+60÷43+3·2,2+0,1·0,5=2+3·1,5=6,5
Часто найти значение выражения с корнями часто нужно сначала провести преобразование исходного выражения. Поясним это на еще одном примере.
Сколько будет 3+13-1-1
Как видим, у нас нет возможности заменить корень точным значением, что усложняет процесс счета. Однако, в данном случае можно применить формулу сокращенного умножения.
3+13-1=3-1.
Таким образом:
3+13-1-1=3-1-1=1.
Выражения со степенями
Если в выражении имеются степени, их значения нужно вычислить прежде, чем приступать ко всем остальным действиям. Бывает так, что сам показатель или основание степени являются выражениями. В таком случае, сначала вычисляют значение этих выражений, а затем уже значение степени.
Найдем значение выражения 23·4-10+161-123,5-2·14.
Начинаем вычислять по порядку.
23·4-10=212-10=22=4
16·1-123,5-2·14=16*0,53=16·18=2.
Осталось только провести операцию сложение и узнать значение выражения:
23·4-10+161-123,5-2·14=4+2=6.
Также часто целесообразно бывает провести упрощение выражения с использованием свойств степени.
Вычислим значение следующего выражения: 2-25·45-1+3136.
Показатели степеней опять таковы, что их точные числовые значения получить не удастся. Упростим исходное выражение, чтобы найти его значение.
2-25·45-1+3136=2-25·225-1+313·6
2-25·225-1+313·6=2-25·22·5-2+32=22·5-2-25+32
22·5-2-25+32=2-2+3=14+3=314
Выражения с дробями
Если выражение содержит дроби, то при вычислении такого выражения все дроби в нем нужно представить в виде обыкновенных дробей и вычислить их значения.
Если в числителе и знаменателе дроби присутствуют выражения, то сначала вычисляются значения этих выражений, и записывается финальное значение самой дроби. Арифметические действия выполняются в стандартном порядке. Рассмотрим решение примера.
Найдем значение выражения, содержащего дроби: 3,22-3·7-2·36÷1+2+39-6÷2.
Как видим, в исходном выражении есть три дроби. Вычислим сначала их значения.
3,22=3,2÷2=1,6
7-2·36=7-66=16
1+2+39-6÷2=1+2+39-3=66=1.
Перепишем наше выражение и вычислим его значение:
1,6-3·16÷1=1,6-0,5÷1=1,1
Часто при нахождении значений выражений удобно бывает проводить сокращение дробей. Существует негласное правило: любое выражение перед нахождением его значения лучше всего упростить по максимуму, сводя все вычисления к простейшим случаям.
Вычислим выражение 25-1-25-74-3.
Мы не можем нацело извлечь корень из пяти, однако можем упростить исходное выражение путем преобразований.
25-1=25+15-15+1=25+15-1=25+24
Исходное выражение принимает вид:
25-1-25-74-3=25+24-25-74-3.
Вычислим значение этого выражения:
25+24-25-74-3=25+2-25+74-3=94-3=-34.
Выражения с логарифмами
Когда в выражении присутствуют логарифмы, их значение, если это возможно, вычисляется с самого начала. К примеру, в выражении log24+2·4 можно сразу вместо log24 записать значение этого логарифма, а потом выполнить все действия. Получим: log24+2·4=2+2·4=2+8=10.
Под самим знаком логарифма и в его основании также могут находится числовые выражения. В таком случае, первым делом находятся их значения. Возьмем выражение log5-6÷352+2+7. Имеем:
log5-6÷352+2+7=log327+7=3+7=10.
Если же вычислить точное значение логарифма невозможно, упрощение выражения помогает найти его значение.
Найдем значение выражения log2log2256+log62+log63+log5729log0,227.
log2log2256=log28=3.
По свойству логарифмов:
log62+log63=log6(2·3)=log66=1.
Вновь применяя свойства логарифмов, для последней дроби в выражении получим:
log5729log0,227=log5729log1527=log5729-log527=-log27729=-log27272=-2.
Теперь можно переходить к вычислению значения исходного выражения.
log2log2256+log62+log63+log5729log0,227=3+1+-2=2.
Выражения с тригонометрическими функциями
Бывает, что в выражении есть тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также функции, обратные им. Из значения вычисляются перед выполнением всех остальных арифметических действий. В противном случае, выражение упрощается.
Найдите значение выражения: tg24π3-sin-5π2+cosπ.
Сначала вычисляем значения тригонометрических функций, входящих в выражение.
tg4π3=3
sin-5π2=-1
cosπ=-1.
Подставляем значения в выражение и вычисляем его значение:
tg24π3-sin-5π2+cosπ=32-(-1)+(-1)=3+1-1=3.
Значение выражения найдено.
Часто для того, чтобы найти значение выражения с тригонометрическими функциями, его предварительно нужно преобразовать. Поясним на примере.
Нужно найти значение выражения cos2π8-sin2π8cos5π36cosπ9-sin5π36sinπ9-1.
Для преобразования будем использовать тригонометрические формулы косинуса двойного угла и косинуса суммы.
cos2π8-sin2π8cos5π36cosπ9-sin5π36sinπ9-1=cos2π8cos5π36+π9-1=cosπ4cosπ4-1=1-1=0.
Общий случай числового выражения
В общем случае тригонометрическое выражение может содержать все вышеописанные элементы: скобки, степени, корни, логарифмы, функции. Сформулируем общее правило нахождения значений таких выражений.
- Корни, степени, логарифмы и т.д. заменяются их значениями.
- Выполняются действия в скобках.
- Оставшиеся действия выполняются по порядку слева направо. Сначала – умножение и деление, затем – сложение и вычитание.
Разберем пример.
Вычислим, чему равно значение выражения -2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2+1+39.
Выражение довольно сложное и громоздкое. Мы не случайно выбрали именно такой пример, постаравшись уместить в него все описанные выше случаи. Как найти значение такого выражения?
Известно, что при вычислении значения сложного дробного вида, сначала отдельно находятся значения числителя и знаменателя дроби соответственно. Будем последовательно преобразовывать и упрощать данное выражение.
Первым делом вычислим значение подкоренного выражения 2·sinπ6+2·2π5+3π5+3. Чтобы сделать это, нужно найти значение синуса, и выражения, которое является аргументом тригонометрической функции.
π6+2·2π5+3π5=π6+2·2π+3π5=π6+2·5π5=π6+2π
Теперь можно узнать значение синуса:
sinπ6+2·2π5+3π5=sinπ6+2π=sinπ6=12.
Вычисляем значение подкоренного выражения:
2·sinπ6+2·2π5+3π5+3=2·12+3=4
Отсюда:
2·sinπ6+2·2π5+3π5+3=4=2.
Со знаменателем дроби все проще:
lne2=2.
Теперь мы можем записать значение всей дроби:
2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2=22=1.
С учетом этого, запишем все выражение:
-1+1+39=-1+1+33=-1+1+27=27.
Окончательный результат:
-2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2+1+39=27.
В данном случае мы смогли вычислить точные значения корней, логарифмов, синусов и т.д. Если такой возможности нет, можно попробовать избавиться от них путем математических преобразований.
Вычисление значений выражений рациональными способами
Вычислять значения числовых нужно последовательно и аккуратно. Данный процесс можно рационализировать и ускорить, используя различные свойства действий с числами. К примеру, известно, что произведение равно нулю, если нулю равен хотя бы один из множителей. С учетом этого свойства, можно сразу сказать, что выражение 2·386+5+58941-sin3π4·0 равно нулю. При этом, вовсе не обязательно выполнять действия по порядку, описанному в статье выше.
Также удобно использовать свойство вычитания равных чисел. Не выполняя никаких действий, можно заказать, что значение выражения 56+8-3,789lne2-56+8-3,789lne2 также равно нулю.
Еще один прием, позволяющий ускорить процесс – использование тождественных преобразований таких как группировка слагаемых и множителей и вынесение общего множителя за скобки. Рациональный подход к вычислению выражений с дробями – сокращение одинаковых выражений в числителе и знаменателе.
Например, возьмем выражение 23-15+3·289·343·23-15+3·289·34. Не выполняя действий в скобках, а сокращая дробь, можно сказать, что значение выражения равно 13.
Нахождение значений выражений с переменными
Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных.
Чтобы найти значение буквенного выражения и выражения с переменными, нужно в исходное выражение подставить заданные значения букв и переменных, после чего вычислить значение полученного числового выражения.
Вычислить значение выражения 0,5x-y при заданных x=2,4 и y=5.
Подставляем значения переменных в выражение и вычисляем:
0,5x-y=0,5·2,4-5=1,2-5=-3,8.
Иногда можно так преобразовать выражение, чтобы получить его значение независимо от значений входящих в него букв и переменных. Для этого от букв и переменных в выражении нужно по возможности избавиться, используя тождественные преобразования, свойства арифметических действий и все возможные другие способы.
Например, выражение х+3-х, очевидно, имеет значение 3, и для вычисления этого значения совсем необязательно знать значение переменной икс. Значение данного выражения равно трем для всех значений переменной икс из ее области допустимых значений.
Еще один пример. Значение выражения xx равно единице для всех положительных иксов.
В этом уроке мы познакомимся с понятием дробных выражений и с тем, как их считать. Узнаем интересные способы работы с дробями, в числителе или знаменателе которых стоят дроби.
Для начала определимся с определением дробного выражения.
Дробным выражением называется частное двух выражений или чисел, знак деления в котором обозначается чертой.
Пример:
$$mathbf{frac{1}{2}}$$
Мы привыкли называть такое выражение обыкновенной дробью. Она ничем не противоречит определению дробного выражения. Поэтому если вас спросят: “Является ли обыкновенная дробь дробным выражением?”, то можно смело ответить: “Да, является!”
$$mathbf{frac{1+2}{3+4}}$$
$$mathbf{frac{5cdot(1+2)}{(3+5)div2}}$$
Мы не накладываем никаких ограничений на то, что из себя представляют выражения; нужно только то, чтобы это было деление, записанное как дробь.
Также никто не запрещает записать в одну или даже в обе части выражения, содержащие дроби.
Примеры:
$$mathbf{frac{1}{1+frac{1}{8}}}$$
$$mathbf{frac{3+12frac{1}{2}}{7frac{1}{3}-2frac{3}{4}}}$$
$$mathbf{frac{(frac{1}{2}+frac{1}{4})cdotfrac{2}{3}}{frac{2}{7}cdot(frac{3}{8}-frac{1}{4})}}$$
Можем пойти дальше и записать так называемую многоэтажную дробь. Это дробь, в числителе или в знаменателе (а иногда и в числителе и в знаменателе) которой стоят дробные выражения.
Примеры:
$$mathbf{frac{frac{1}{2}}{3}}$$
$$mathbf{frac{1}{frac{12}{19}}}$$
$$mathbf{frac{frac{12}{89}}{frac{74}{99}}}$$
Помимо определения дробного выражения необходимо знать определения числителя и знаменателя дробного выражения.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Если мы считаем дробное выражение делением, то числителем будет являться делимое, а знаменателем делитель.
Например, существует следующее дробное выражение:
$$mathbf{frac{3+10cdot2}{2+frac{1}{2}}}$$
В данном случае (mathbf{3+10cdot2}) будет являться числителем, а (mathbf{2+frac{1}{2}})- знаменателем.
Также можно преобразовывать обычные выражения в дробные.
Это можно делать при условии, что выражение представляет из себя частное двух выражений или чисел, но пока что записанное через обычный знак деления.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Примеры преобразования обычного выражения в дробное:
(mathbf{(3+4)div(200+123)=frac{3+4}{200+123}})
(mathbf{(1247+523cdot(54+78))div((345+67)cdot56cdot87cdot(63+85))=})
(mathbf{=frac{1247+523cdot(54+78)}{(345+67)cdot56cdot87cdot(63+85)}})
(mathbf{(4+frac{1}{2})div(frac{3}{5}cdot8+2)=frac{4+frac{1}{2}}{frac{3}{5}cdot8+2}})
(mathbf{(452+789cdot(frac{7}{9}+frac{1}{2}))div(frac{4}{741}+582cdot741)=})
(mathbf{=frac{452+789cdot(frac{7}{9}+frac{1}{2})}{frac{4}{741}+582cdot741}})
Сформулируем правило: для того, чтобы преобразовать выражение, представляющее из себя частное двух выражений или чисел, необходимо делимое поместить в числитель дробного выражения, а делитель- в знаменатель.
Теперь вы видите, насколько большой класс формул покрывается понятием дробного выражения.
Давайте пройдем небольшой тест и перейдем к изучению того, как вычислять значения дробных выражений.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Начнем с самого простого способа вычисления значений дробных выражений.
Он заключается в том, чтобы отдельно посчитать значения числителя и знаменателя и получить дробное выражение, в знаменателе и числителе которого стоят числа.
Далее надо смотреть, что получилось:
- может получиться правильная дробь, тогда это будет готовым ответом
- может получиться дробь неправильная, тогда необходимо выделить целую часть
- в числителе и знаменателе дробного выражения могут получиться дробные числа; в таком случае нужно поделить числитель на знаменатель, это и будет ответом
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Пример 1
Вычислим значение выражения (mathbf{frac{1+2cdot4}{5-2}})
Решение:
Для начала вычислим значения числителя и знаменателя:
(mathbf{frac{1+2cdot4}{5-2}=frac{1+8}{3}=frac{9}{3}})
В данном примере числитель делится на знаменатель, поэтому из дроби получится натуральное число.
(mathbf{frac{9}{3}=3})
Пример 2
Вычислим значение выражения (mathbf{frac{7+2cdot3cdot2}{2cdot9}})
Решение:
Сначала вычислим числитель и знаменатель:
(mathbf{frac{7+2cdot3cdot2}{2cdot9}=frac{7+12}{18}=frac{19}{18}})
В данном случае получилась неправильная дробь, выделим целую ее часть, чтобы получить в ответе смешанное число:
(mathbf{frac{19}{18}=frac{19}{18}=1frac{1}{18}})
Пока что были рассмотрены случаи, в которых выражения в числителе и знаменателе представляли из себя арифметические действия над натуральными числами. Но вас нисколько не должны смущать случаи, в которых выражения содержат в себе дроби как обыкновенные, так и десятичные.
Пример:
(mathbf{frac{3+frac{3}{4}}{1.2+0.3}})
Решение:
Наверное, вы уже догадываетесь, что мы сделаем дальше. Правильно! Вычислим числитель и знаменатель:
(mathbf{frac{3+frac{3}{4}}{1.2+0.3}=frac{frac{3cdot4+3}{4}}{1.5}=})
(mathbf{=frac{frac{12+3}{4}}{1.5}=frac{frac{15}{4}}{1.5}})
В данном случае мы получили неправильную дробь в числителе и десятичную дробь в знаменателе.
Чтобы получить окончательный результат разделим одно на другое:
(mathbf{frac{frac{15}{4}}{1.5}=frac{15}{4}div1.5=frac{15}{4}divfrac{15}{10}=})
(mathbf{=frac{15}{4}cdotfrac{10}{15}=frac{15cdot10}{4cdot15}=frac{10}{4}=frac{5}{2}=2frac{1}{2}})
Прежде чем перейти к дополнительным приемам работы с дробными выражениями, решим небольшой тест для закрепления навыка вычисления дробных выражений.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Пока что во всех предыдущих случаях мы находили значения дробных выражений «в лоб», по достаточно простому алгоритму.
Но, как это часто бывает в математике, в некоторых случаях можно упростить себе подсчеты, вовремя заметив определенные вещи.
Вы уже наверняка хорошо освоили сокращение дробей.
Напомним, в чем его суть: если числитель представляет из себя произведение, и знаменатель также является произведением, и в этих произведениях есть одинаковый множитель, то мы можем сократить дробь на этот множитель.
Как же это относится к дробным выражениям?
Дело в том, что в некоторых случаях числитель и знаменатель могут быть произведениями или же могут стать произведениями в процессе подсчетов.
Тогда почему бы не сокращать их по возможности?!
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Пример:
(mathbf{frac{7cdot(123+4)}{3cdot(120+7)}})
Начнем считать выражение и посмотрим, что получается.
(mathbf{frac{7cdot(123+4)}{3cdot(120+7)}=frac{7cdot127}{3cdot127}})
Числитель и знаменатель дробного выражения после первых преобразований превратились в произведения.
Также можно заметить, что в этих произведениях есть общий множитель: 127
Тогда мы можем поделить числитель и знаменатель дробного выражения на это число, тем самым значительно упростив выражение.
(mathbf{frac{7cdot127}{3cdot127}=frac{7}{3}=2frac{1}{3}})
Это и будет значением этого выражения.
Также мы можем быть еще более хитрыми и внимательными.
Найдем значение выражения (mathbf{frac{2cdot(478569-145236)}{(478569-145236)cdot3}})
Конечно же, можно начать вычислять сначала числитель, потом знаменатель. Для этого мы будем вычислять разность шестизначных чисел.
Но можно сделать проще: заметим, что числитель и знаменатель являются произведениями.
Числитель является произведением 2-х и выражения (478569-145236)
Знаменатель же является произведением выражения (478569-145236) и 3-х.
Выражение (478569-145236) является множителем и можно утверждать, что это один и тот же множитель в числителе и в знаменателе.
Значит, мы можем уверенно сокращать дробное выражение на это выражение.
(mathbf{frac{2cdot(478569-145236)}{(478569-145236)cdot3}=frac{2}{3}})
В данном случае мы сразу получили правильную дробь, это и будет являться значением выражения.
Отдельно стоит упомянуть работу с многоэтажными дробями.
Мы всегда можем идти по алгоритму с последовательным вычислением числителя и знаменателя – это гарантированно дает результат.
Но также можно запомнить два правила, которые существенно экономят время.
Первое правило говорит о том, что, если в числителе дробного выражения находится дробь (или же дробное выражение), мы можем домножить дробное выражение на знаменатель дроби (или дробного выражения), стоящей в числителе, тем самым уменьшив «этажность» дробного выражения.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Парочка примеров:
(mathbf{frac{frac{2}{3}}{4}=frac{frac{2}{3}cdot3}{4cdot3}=frac{2}{12}=frac{1}{6}})
(mathbf{frac{frac{3}{7+13}}{5}=frac{frac{3}{7+13}cdot(7+13)}{5cdot(7+13)}=})
(mathbf{=frac{3}{5cdot20}=frac{3}{100}=0.03})
Второе правило рассматривает случай, когда дробь (или дробное выражение) находится в знаменателе дробного выражения.
В таком случае уменьшить «этажность» дробного выражения поможет домножение всего дробного выражения на знаменатель дроби (или дробного выражения), стоящей в знаменателе.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
И парочка примеров на этот случай:
(mathbf{frac{3}{frac{2}{7}}=frac{3cdot7}{frac{2}{7}cdot7}=frac{21}{2}=10frac{1}{2}})
(mathbf{frac{11}{frac{3}{1+7}}=frac{11cdot(1+7)}{frac{3}{1+7}cdot(1+7)}=})
(mathbf{=frac{11cdot(1+7)}{3}=frac{11cdot8}{3}=frac{88}{3}=29frac{1}{3}})
И в завершение еще дам такой пример:
(mathbf{frac{frac{3}{4+1}}{frac{7-2}{4}}=frac{frac{3}{5}}{frac{5}{4}}=})
(mathbf{=frac{frac{3}{5}cdot5}{frac{5}{4}cdot5}=frac{3}{frac{25}{4}}=frac{3cdot4}{frac{25}{4}cdot4}=frac{12}{25}})
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Десять интересных математических фактов:
1. Известные всем знаки сложения и вычитания впервые были использованы только около 500 лет назад
2. 2 и 5– единственные простые числа, которые оканчиваются на 2 или 5
3. Несмотря на то, что сохранилось много трудов древнегреческого ученого Евклида, о его биографии почти ничего не известно
4. В римской системе счисления не существует нуля
5. Знак равенства «=» появился только в XVI веке
6. Слово «миг» обозначает не только короткое мгновение, но и вполне конкретный временной промежуток: 0,01 секунды
7. У древних египтян отсутствовала таблицы умножения и прочие математические правила
8. В свое время заниматься математикой в высоких кругах было настолько популярно, что даже Наполеон Бонапарт оставил после себя научные труды
9. Самые древние математические записи были найдены написанными на костях
10. Ученый Муавр с помощью математики смог рассчитать дату своей смерти
Дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой. В принципе всё что можно делать с обычными числами, можно делать и с дробями.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение дробей бывает двух видов:
- Сложение дробей с одинаковыми знаменателями;
- Сложение дробей с разными знаменателями.
Сначала изýчим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения.
Например, слóжим дроби 
и 
. Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится 
пиццы:
Пример 2. Сложить дроби 
и .
Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
В ответе получилась неправильная дробь 
. Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два будет один:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:
Пример 3. Сложить дроби 
и .
Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится 
пиццы:
Пример 4. Найти значение выражения 
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к 
пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить 
пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.
Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями нет ничего сложного. Достаточно понимать следующие правила:
- Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.
Сложение дробей с разными знаменателями
Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.
Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.
А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.
Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.
Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1. Сложим дроби 
и
У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6
НОК (2 и 3) = 6
Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.
Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.
Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:
Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Таким образом, пример завершается. К прибавить получается 
.
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:
Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби 
и 
. Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).
Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем 
(семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).
Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:
Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби?«.
Поэтому на первых этапах советуем записывать каждую мелочь. Хвастаться можно лишь в будущем, когда будут усвоены азы.
Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:
- Найти НОК знаменателей дробей;
- Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
- Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
- Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;
Пример 2. Найти значение выражения 
.
Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.
Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей
Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4
Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби
Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:
Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители
Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:
Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:
Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.
Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть
У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:
Получили ответ 
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Вычитание дробей бывает двух видов:
- Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
- Вычитание дробей с разными знаменателями
Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения.
Например, найдём значение выражения 
. Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения 
.
Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 3. Найти значение выражения 
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:
- Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.
Вычитание дробей с разными знаменателями
Теперь научимся вычитать дроби у которых разные знаменатели. Когда вычитают дроби их знаменатели должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.
Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.
Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1. Найти значение выражения: 
У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12
НОК (3 и 4) = 12
Теперь возвращаемся к дробям и
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:
Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Получили ответ 
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы
Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:
Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби 
и 
. Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):
Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь 
и описывает эти пять кусочков.
Пример 2. Найти значение выражения 
У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Найдём НОК знаменателей этих дробей.
Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30
НОК (10, 3, 5) = 30
Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:
Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.
Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:
В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.
Чтобы сократить дробь 
, нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.
Итак, находим НОД чисел 20 и 30:
Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10
Получили ответ
Умножение дроби на число
Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.
Пример 1. Умножить дробь на число 1.
Умножим числитель дроби на число 1
Запись 
можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы
Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как 
, то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:
Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения 
Умножим числитель дроби на 4
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы
А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение 
. Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:
Число, которое умножается на дробь, и знаменатель дроби разрешается сокращать, если они имеют общий делитель, бóльший единицы.
Например, выражение 
можно вычислить двумя способами.
Первый способ. Умножить число 4 на числитель дроби, а знаменатель дроби оставить без изменений:
Второй способ. Умножаемую четвёрку и четвёрку, находящуюся в знаменателе дроби , можно сократить. Сократить эти четвёрки можно на 4, поскольку наибольший общий делитель для двух четвёрок есть сама четвёрка:
Получился тот же результат 3. После сокращения четвёрок, на их месте образуются новые числа: две единицы. Но перемножение единицы с тройкой, и далее деление на единицу ничего не меняет. Поэтому решение можно записать покороче:
Сокращение может быть выполнено даже тогда, когда мы решили воспользоваться первым способом, но на этапе перемножения числа 4 и числителя 3 решили воспользоваться сокращением:
А вот к примеру выражение 
можно вычислить только первым способом — умножить число 7 на числитель дроби 
, а знаменатель оставить без изменений:
Связано это с тем, что число 7 и знаменатель дроби не имеют общего делителя, бóльшего единицы, и соответственно не сокращаются.
Некоторые ученики по ошибке сокращают умножаемое число и числитель дроби. Делать этого нельзя. Например, следующая запись не является правильной:
Сокращение дроби подразумевает, что и числитель и знаменатель будет разделён на одно и тоже число. В ситуации с выражением 
деление выполнено только в числителе, поскольку записать это всё равно, что записать 
. Видим, что деление выполнено только в числителе, а в знаменателе никакого деления не происходит.
Умножение дробей
Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.
Пример 1. Найти значение выражения 
.
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
Получили ответ 
. Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:
Выражение 
можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:
Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:
И взять от этих трех кусочков два:
У нас получится 
пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:
Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:
Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно
Пример 2. Найти значение выражения 
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Пример 3. Найти значение выражения 
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.
Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:
Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15
Представление целого числа в виде дроби
Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как 
. От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:
Обратные числа
Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».
Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.
Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:
Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.
Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:
Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:
Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:
Значит обратным к числу 5, является число 
, поскольку при умножении 5 на получается единица.
Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.
Примеры:
- обратным числа 2 является дробь
- обратным числа 3 является дробь
- обратным числа 4 является дробь
Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.
Примеры:
Деление дроби на число
Допустим, у нас имеется половина пиццы:
Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?
Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.
Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.
Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.
Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.
Итак, требуется разделить дробь на число 2. Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.
Чтобы разделить дробь на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить на
Получили ответ . Значит при делении половины на две части получается четверть.
Попробуем понять механизм этого правила. Для этого рассмотрим следующий простейший пример. Пусть у нас имеется одна целая пицца:
Умножим её на 2. То есть повторим её два раза (или возьмём два раза). В результате будем иметь две пиццы:
Теперь угостим этими пиццами двоих друзей. То есть разделим две пиццы на 2. Тогда каждому достанется по одной пицце:
Разделить две пиццы на 2 это всё равно, что взять половину от этих пицц, то есть умножить число 2 на дробь
В обоих случаях получился один и тот же результат.
Тоже самое происходило, когда мы делили половину пиццы на две части. Чтобы разделить на 2, мы умножили эту дробь на число, обратное делителю 2. А обратное делителю 2 это дробь
Пример 2. Найти значение выражения 
Умножим первую дробь на число, обратное делителю:
Допустим, имеется четверть пиццы и нужно разделить её на двоих:
Если разделить эту четверть на две части, то каждая получившаяся часть будет одной восьмой частью целой пиццы:
Заменять деление умножением можно не только при работе с дробями, но и с обычными числами. Например, все мы знаем, что 10 разделить на 2 будет 5
10 : 2 = 5
Заменим в этом примере деление умножением. Чтобы разделить число 10 на число 2, можно умножить число 10 на число, обратное числу 2. А обратное числу 2 это дробь
Как видно результат не изменился. Мы снова получили ответ 5.
Можно сделать вывод, что деление можно заменять умножением при условии, что вместо делителя будет подставлено обратное ему число.
Пример 3. Найти значение выражения 
Умножим первую дробь на число, обратное делителю. Обратное делителю число это дробь 
Допустим, имелось пиццы:
Как разделить такую пиццу на шестерых? Если каждый из трех кусков разделить пополам, то можно получить 6 равных кусков
Эти шесть кусков являются шестью кусками из двенадцати. А один из этих кусков составляет 
. Поэтому при делении на 6 получается
Деление числа на дробь
Правило деления числа на дробь такое же, как и правило деления дроби на число.
Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю.
Например, разделим число 1 на .
Чтобы разделить число 1 на , нужно это число 1 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дроби это дробь 
Выражение 
можно понимать, как определение количества половин в одной целой пицце. Допустим, имеется одна целая пицца:
Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в этой пицце», то ответом будет 2. Действительно, половина содержится в одной целой пицце два раза
Пример 2. Найти значение выражения 
Умножим число 2 на дробь, обратную делителю. А обратная делителю дробь это дробь
Допустим, у нас имеются две целые пиццы:
Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в двух пиццах», то ответом будет 4. Действительно, половина содержится в двух пиццах четыре раза:
Деление дробей
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
Например, разделим на
Чтобы разделить на , нужно умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дроби это дробь 
Допустим, имеется половина пиццы:
Если зададим вопрос «сколько раз четверть пиццы содержится в этой половине», то ответом будет 2. Действительно, четверть пиццы содержится в половине пиццы два раза:
Пример 1. Найти значение выражения 
Умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Грубо говоря, умножаем первую дробь на перевёрнутую вторую:
Пример 2. Найти значение выражения 
Умножаем первую дробь на дробь обратную второй:
Здесь советуем остановиться и потренироваться. Решите несколько примеров, приведенных ниже. Можете использовать материалы сайта, как справочник. Это позволит вам научиться работать с литературой.
Каждая следующая тема будет более сложной, поэтому нужно тренироваться.
Задания для самостоятельного решения:
Задание 1. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 2. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 3. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 4. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 5. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 6. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 7. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 8. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 9. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 10. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 11. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 12. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 13. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 14. Найдите значение выражения:
Решение:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Поиск значений выражений — основное математическое действие. Им сопровождается каждый пример, задача. Поэтому чтобы вам было проще работать с различными математическими выражениями, подробно разберем способы и правила их решения в данной статье. Правила представлены в порядке увеличения сложности: от простейших выражений до выражений с функциями. Для лучшего понимания каждый пункт сопровождается подробным пояснением и расписанными примерами.
Поиск значения числовых выражений
Числовые выражения представляют собой математические задачи, состоящие, преимущественно, из чисел. Они подразделяются на несколько групп в зависимости от своей сложности: простейшие, со скобками, корнями, дробями и т.д. Каждый тип выражений подразумевает свои правила нахождения значения, порядок действий. Рассмотрим каждый случай подробнее.
Простейшие числовые выражения. К простейшим числовым выражениям относятся примеры, состоящие из двух элементов:
- Числа (целые, дробные и т.д.);
- Знаки: «+», «—», «•» и «÷».
Чтобы найти значение выражения в данном случае, необходимо выполнить все арифметические действия (которые подразумевают конкретные знаки). В случае отсутствия скобок решение примера производится слева направо. Первыми выполняются действия деления и умножения. Вторыми — сложение и вычитание.
Пример 1. Решение числового выражения
Задача. Решить:
20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = ?
Решение. Чтобы решить выражение, нам необходимо выполнить все арифметические действия в соответствии с установленными правилами. Поиск значения начинается с решения деления и умножения. В первую очередь находим произведение цифр 2 и 10 (если рассматривать с левой стороны, данное действие является первым по значимости). Получаем 20. Теперь это число делим на 5. Итог — 4. Когда известно значение основных действий, можем подставить его в наш пример:
20 — 4 — 4 = ?
Упрощенный пример также решаем слева направо: 20 — 4 = 16. Второе действие: 16 — 4 = 12. Ответ 12.
Решение без пояснений. 20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = 20 — (2 • 10 ÷ 5) — 4 = 20 — 4 — 4 = 12.
Ответ. 12
Пример 2. Решение числового выражения
Задача. Решить:
0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = ?
Решение. Начинаем решение с умножения и деления. Умножая 5 на (— 4) получаем (— 20), т.к. производное сохраняет знак множителя. Далее умножаем 1/2 на 5. Для этого преобразуем дробь: 1/2 = 5/10 = 0,5. 0,5 умножаем на 5. Ответ — 2,5. Далее умножаем полученное число на 4. 2,5 • 4 = 10. Получаем следующее выражение:
0,2 — (— 20) + 10
Теперь нам остается решить сложение и вычитание. В первую очередь раскрываем скобку и получаем:
0,2 + 20 + 10 = 30,2
Решение без пояснений. 0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = 0,2 — (— 20) + 10 = 0,2 + 20 + 10 = 30,2
Ответ. 30,2
Находим значение выражения со скобками
Скобки определяют порядок действий при решении примера. Выражения, находящиеся внутри скобок «()» имеют первостепенную значимость, независимо от того, какое математическое действие в них выполняется.
Пример 3. Значение числового выражения со скобками
Задача. Решить:
5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = ?
Решение. Начинаем нахождение значения выражения с решения скобок. Порядок действий определяется слева направо. При этом не забываем, что после раскрытия скобок в первую очередь решаем умножение и деление и лишь потом — вычитание и сложение:
- 7 — 2 • 3 = 7 — 6 = 1
- 6 — 4 = 2
Когда скобки решены, подставляем полученные значения в наш пример:
5 + 1 • 2 ÷ 2
Снова решаем все по порядку, не забывая о том, что деление и умножение выполняется в первую очередь:
- 1 • 2 = 2
- 2 ÷ 2 = 1
Упрощенное выражение выглядит следующим образом:
5 + 1 = 6
Решение без пояснений. 5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = 5 + (7 — 6) • 2 ÷ 2 = 5+ 1 • 2 ÷ 2 = 5 + 1 = 6
Ответ. 6
Значение числового выражения со скобками
Задача. Решить:
4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = ?
Решение. Подобные примеры решаются поэтапно. Помним, что поиск выражения со скобками начинается с решения скобок. Поэтому в первую очередь решаем:
3 + 1 + 4 • (2+3)
В уже упрощенном примере снова встречаются скобки. Их будем решать в первую очередь:
2 + 3 = 5
Теперь можем подставить определенное значение в общую скобку:
3 + 1 + 4 • 5
Начинаем решение с умножения и далее слева направо:
- 4 • 5 = 20
- 3 + 1 = 4
- 4 + 20 = 24
Далее подставляем полученный ответ вместо большой скобки и получаем:
4 + 24 = 28
Решение без пояснений. 4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = 4 + (3 + 1 + 4 • 5) = 4 + (3 + 1 + 20) = 4 + 24 = 28
Ответ. 28
Важно: Чтобы правильно определить значение числового выражения с множественными скобками, необходимо выполнять все действия постепенно. Скобки читаются слева направо. Приоритет в решении внутри скобок остается за делением и умножением.
Поиск значения выражения с корнями
Часто алгебраические задания основываются на нахождении значений из-под корня. И если определить √4 несложно (напомним, это будет 2), то с примерами, которые полностью расположены под корнем, возникает ряд вопросов. На самом деле в таких заданиях нет ничего сложного. В данном случае порядок действий следующий:
- Решаем все выражение, которое находится под корнем (не забываем о правильной последовательности: сперва скобки, деление и умножение, а лишь потом — сложение и вычитание);
- Извлекаем корень из числа, которое получили в результате решения обычного примера.
Если же и под корнем имеется корень (например: √ 4 + 8 — √4), то начинаем решение примера с его извлечения (в нашем примере это будет: √ 4 + 8 — 2). Если подкоренные числа возведены во вторую степень, то их квадратный корень будет равняться модулю подкоренного выражения.
Значение числового выражения с корнями
Задача. Решить:
√ 2² • 2² • 3² = ?
Решение. Все действия под корнем одинаковы — умножение. Это дает нам право разделить выражение на множители. Получаем:
√2² • √2² • √3² = ?
Т.к. под квадратным корнем у нас числа, возведенные во вторую степень, получаем:
2 • 2 • 3 = 12
Решение без пояснений. √ 2² • 2² • 3² = √2² • √2² • √3² = 2 • 2 • 3 = 12
Ответ. 12
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Находим значение числовых выражений со степенями
Следующий математический знак, который имеет приоритет в процессе решения, — степени. Они представляют собой результат многократного умножения числа на себя. Само число является основанием степени. А количество операций умножения — ее показателем. Причем выражен он может быть не только целым числом, но и дробью, полноценным числовым выражением.
Начинается решение выражения со степенями с вычисления самих степеней. Если они представляют собой полноценное выражение (например: [3^{3 cdot 4-10}]), то его необходимо решить в нашем примере это будет: [3^{12-10}=3^{2}=9].
Задача. Решите:
[ 3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=? ]
Решение. Чтобы решить это выражение со степенями, воспользуемся равенством:
[(a cdot b)^{r}=a^{r} cdot b^{r}]
Рассматривая пример слева направо, видим, что у первых двух множителей одинаковые степени. Это позволяет нам упростить выражение:
[ (3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3} ]
Зная, что при умножении степени с одинаковыми показателями складываются, получаем следующее выражение:
[ 21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21 ]
Решение без пояснений: [3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=(3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21]
Ответ. 21
Интересно: Этот же пример можно решить и другим способом, преобразовав число 21 в степени ⅔ в два множителя. В данном случае решение будет выглядеть следующим образом:
[3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot(3 cdot 7)^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 3^{2 / 3} cdot 7^{2 / 3}=3^{1 / 3+2 / 3} cdot 7^{1 / 3+2 / 3}=3^{1}+7^{1}=21]
Ответ. 21
Задача. Решить:
[ 2^{-2 sqrt{5}} cdot 4^{sqrt{5}-1}+left((sqrt{3})^{1 / 3}right)^{6} ]
Решение. В данном случает получить точные числовые значения показателей степеней не удастся. Поэтому искать значение выражения с дробями в виде степени будем снова через упрощение:
Ответ. 3,25
Выражения с дробями
Поиск значения выражения дробей начинается с их приведения к общему виду. В большинстве случаев проще представить все значения в виде обыкновенной дроби с числителем и знаменателем. После преобразования всех чисел необходимо привести все дроби к общему знаменателю.
Важно: Прежде чем найти выражение дробей, необходимо провести вычисления в их знаменателе и числителе отдельно. В данном случае действуют стандартные правила решения.
Когда дроби приведены к единому знаменателю можно переходить к решению. Вычисление значений верхней строки (числителя) и нижней (знаменателя) производятся параллельно.
Задача. Решить:
[ 6 frac{2}{13}+4 frac{1}{13}=? ]
Решение. Действуя по главному правилу, прежде чем найти значение числового выражения, преобразуем всего его части в простую дробь. Получаем:
[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13} ]
Теперь выполняем вычисления в знаменателе и числителе и находим ответ:
[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13}=frac{80}{13}+frac{53}{13}=frac{133}{13}=10 frac{3}{13} ]
Ответ. [10 frac{3}{13}]
Примеры(2):
Задача. Решить:
[ frac{2}{sqrt{5}-1}-frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=? ]
Решение. В данном примере мы не можем извлечь корень из пятерки. Но мы можем воспользоваться формулой разложения корней:
[ frac{2}{sqrt{5}-1}=frac{2(sqrt{5}+1)}{(sqrt{5}-1)(sqrt{5}+1)}=frac{2(sqrt{5}+1)}{5-1}=frac{2 sqrt{5}+2}{4} ]
Теперь можем придать нашему первоначальному выражению следующий вид:
[ frac{2 sqrt{5}+2}{4} frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=frac{2 sqrt{5}+2-2 sqrt{5}+7}{4}-3=frac{9}{4} 3=-frac{3}{4} ]
Ответ. [-frac{3}{4}].
Выражения с логарифмами
Как и степени, логарифмы (log), имеющиеся в выражении, вычисляются (если это возможно) в первую очередь. К примеру, зная, что [log _{2} 4=2] мы можем сразу упростить выражение [log _{2} 4+5 cdot 6] до простого и понятного 2 + 5*6 = 32.
Со степенями логарифмы объединяет и порядок выполнения действий. Прежде чем искать значение выражения логарифмов, необходимо вычислить его основание (если оно представлено математическим выражением).
В случаях, когда полное вычисление логарифма невозможно, производится упрощение примера.
Задача. Решить:
[log _{27} 81+log _{27} 9=?]
Решение. Чтобы найти логарифм выражения, воспользуемся свойствами логарифмов и представим значение логарифмов со степенями:
Это позволит нам решить пример следующим образом:
Ответ. 2
Решаем выражения с тригонометрической функцией
Часто в выражениях встречаются тригонометрические функции. Всего их в математике шесть:
- Синус;
- Косинус;
- Котангенс;
- Тангенс;
- Секанс;
- Косеканс.
Изучение тригонометрии начинается в 9-м классе, когда ученики уже подготовлены к сложным задачам. Большинство заданий представляются с sin и cos. Остальные функции встречаются значительно реже.
В математических примерах, которые содержат sin, cos, tg и др. функции, вычисление тригонометрической функции производится в первую очередь. Если это невозможно — осуществляется упрощение выражения до получения краткой формулы.
Задача. Решить:
[ frac{24}{sin ^{2} 127+1+sin ^{2} 217} ]
Решение. Разложим 217 на 90 и 127. Т.к. по формуле приведения sin(90 + a) = cosa, получаем:
sin217 — sin (90 + 127) = cos127
Теперь заменяем полученной формулой наше слагаемое в знаменателе дроби:
[ frac{24}{sin ^{2} 127+cos ^{2} 127+1} ]
Вспоминаем, что по тригонометрическому тождеству sin2a+ cos2 a= 1 (независимо от значения угла a). Поэтому одну часть слагаемого знаменателя (sin2127+ cos2127) преобразуем в единицу и получаем:
[ frac{24}{sin ^{2} 127+cos ^{2} 127+1}=frac{24}{1+1}=frac{24}{2}=2 ]
Ответ. 2
Важно: Не стоит бояться буквенных тригонометрических значений. Большинство примеров построено таким образом, чтобы функции можно было заменить более удобной для вычисления формулой. Поэтому вместо того, чтобы пытаться сразу решить пример, стоит обратить внимание на особенности функций и возможность их приведения к подходящей формуле.
Задача. Решить:
[ sqrt{4} 8-sqrt{1} 92 sin ^{2} frac{19 pi}{12}=? ]
Решение. Начинаем решение с разбора второй дроби. Обращаем внимание, что 192 = 48 • 2. А значит, корень этого числа можно представить в виде 2√48. Зная это и используя формулу косинуса двойного угла, преобразим наше выражение:
Теперь по формуле приведения решаем наш пример:
[ sqrt{4} 8 cos left(3 pi+frac{pi}{6}right)=sqrt{4} 8left(-cos frac{pi}{6}right)=-sqrt{4} 8 cdot frac{sqrt{3}}{2}=-4 sqrt{3} cdot frac{sqrt{3}}{2}=-6 ]
Ответ. — 6.
Общий случай: находим значения выражений с дробями, функциями, степенями и не только
Самым сложным считается поиск числовых выражений общих случаев. Они представляют собой тригонометрические примеры, которые могут содержать:
- Степени;
- Скобки;
- Корни;
- Функции и т.д.
Общие числовые выражения сложны только длительностью решения. В остальном же они ничуть не сложнее, чем решение каждого примера (со скобкой, степенями, функциями и т.д.) по отдельности.
Чтобы найти значение выражения с логарифмами, тригонометрическими функциями, скобками и/или другими действиями, необходимо помнить три основных правила:
- Упрощение. Прежде чем приступать к решению внимательно изучите выражение. Особенно — его степени, корни, логарифмы, функции. В большинстве случаев их можно сократить или заменить простым числовым значением еще до решения.
- Скобки. Независимо от типа выражения, действий, начинать решение всегда необходимо со скобок. Часто именно игнорирование этого правила приводит к получению неверного ответа или отсутствию решения в принципе.
- Общий вид. Старайтесь привести выражение к общему виду. Особенно это касается дробей. Смешанные и десятичные дроби преобразуйте в обычные.
- Последовательность. Действия в скобках и действия после их решения выполняются слева направо. В первую очередь необходимо совершать умножение и деление. Когда все произведения и частные найдены, можно переходить к сложению и вычитанию.
Для удобства решения и устранения возможных ошибок рекомендуем расставлять порядок действий непосредственно над математическими знаками.
Задача. Решить:
[ -frac{sqrt{2} sin left(frac{pi}{6}+2left(frac{2 pi}{5}+frac{3 pi}{5}right)right)+3}{operatorname{Ln} e^{2}}+left(1+3^{sqrt{9}}right)=? ]
Решение. Чтобы решить этот пример, сначала найдем значение выражения числителя дроби, а точнее — подкоренного выражения. Для этого необходимо вычислить значение sin и общего выражения. Начинаем с раскрытия скобок в числителе:
Полученное значение можем подставить в подкоренное выражение для вычисления числителя дроби:
[ sqrt{2} sin cdotleft(frac{pi}{6}+2left(frac{2 pi}{5}+frac{3 pi}{5}right)+3=sqrt{4}=2right. ]
Со знаменателем дела обстоят куда проще:
[ ln e^{2}=2 ]
Числитель и знаменатель у нас одинаковые, что позволяет нам их сократить:
Теперь остается решить следующее выражение:
Ответ. 27
Как видите, при последовательном решении примеров с большим количеством действий нет ничего сложного. Главное — верно обозначить последовательность шагов и четко ей следовать.
Как найти значение выражения числителя дроби, подкорневого значения рационально?
Независимо от типа выражения решать его необходимо последовательно, руководствуясь стандартными правилами (описаны ранее). Но не стоит забывать, что во многих случаях поиск ответа может быть значительно упрощен за счет рационального подхода к решению. Основывается он на нескольких правилах.
Правило 1. Когда произведение равно нулю
Производное равно нулю в том случае, если хотя бы один из его сомножителей равен нулю. Если вы решаете пример из нескольких сомножителей, одним из которых является «0», то проводить многочисленные вычислительные действия не стоит.
Например, выражение [3 cdotleft(451+4+frac{18}{3}right)left(1-sin left(frac{3 pi}{4}right)right) cdot 0] будет равняться нулю.
Правило 2. Группировка и вынесение чисел
Ускорить процесс поиска ответа можно за счет группировки множителей, слагаемых или вынесения единого множителя за скобки. Также не стоит забывать о возможности сокращения дроби.
Например, выражение [frac{left(451+4+frac{18}{3}right)}{4left(451+4+frac{18}{3}right)}] решать не надо. Достаточно сократить скобки, чтобы получить ответ [=frac{1}{4}]
Решение примеров с переменными
Примеры с переменными отличаются от числовых только формой предоставления. В данном случае значения предоставляются дополнительно к выражению.
Пример задания: Найдите значение выражения 2x — y, если x = 2,5, а y = 2. В данном случае решение будет выглядеть следующим образом:
2x — y = 2 • 2,5 — 2 = 3
При этом в таких примерах сохраняются все описанные выше правила. Касается это и советов по рациональному решению примеров. Так, решать дробь [frac{sqrt{y}}{sqrt{y}}] бессмысленно, т.к. при любых значениях «y» ответ будет одинаковым — 1.
