Как найти значение выражения одночлена

Важность понятия

Пик развития математики пришёлся на XVI век, когда учёные разных стран начали обобщать известные сведения и формулировать различные теоремы и доказательства. Но перед этим появились такие понятия, как одночлен и многочлен. Запись уравнения или любой другой формулы, в которой не использовалось сложение или вычитание, получило название одночлен. А суммирование нескольких таких выражений или их разность назвали многочленом.

Карл Фридрих Гаусс, считающийся королём математиков, утверждал, что коэффициенты многочлена могут быть не только вещественными, но и комплексными. Свои доказательства этому он привёл в основной теореме алгебры. Из-за этого роль неизвестных в выражениях начала меняться. Буквенные обозначения стали не только символами, подменяющими числовые значения, но и начали заменять функции.

Таким образом, было принято, что любое математическое выражение состоит из совокупности одночленов. Ими могут быть:

• единственные числа;
• буквы;
• буквенно-числовые произведения.

Изучение уравнений и равенств, состоящих из нескольких одночленов, стало главным объектом в развитии классической алгебры. С их преобразованием связаны такие разделы, как теория групп, анализ функций, изучение комплексных чисел, алгебраическая геометрия.

Над одночленами можно выполнять различные действия. Их можно возводить в корень с разным основанием, перемножать или делить между собой, возводить в степень. Это позволяет выполнять упрощения и приведения выражений к стандартной форме, что впоследствии облегчает вычисление многочленов.

Впервые с понятием «одночлен» знакомят учеников в среднеобразовательной школе в седьмом классе на уроке алгебры. Изучение видов одночленов и правил действий над ними является стартовой площадкой для понимания сущности многочлена, то есть фактически основ алгебры.

С помощью одночлена можно описать простые события, при которых происходит умножение. Это могут быть как количественно известные параметры, так и переменные или неизвестные. Для того чтобы понять важность введения в математике термина «одночлен», лучше всего провести аналогию с фруктами. Яблоко и груши — это отдельный вид деревьев, но их всех объединяет одинаковое свойство, поэтому их называют «фруктами». Так и с формулами: они хотя и разные, но обладают общими свойствами. Поэтому и придумали название — одночлен.

Общие сведения

Алгебраическое выражение, в состав которого входит переменная и постоянная часть, объединённая произведением, принято называть одночленом. Фактически эта запись представляет умножение чисел и степеней неизвестных с натуральным показателем. Каждое неопределённое или известное число занимает одну позицию. Количество таких позиций неограниченно.

Если перед буквенным значением стоит цифра, то её называют коэффициентом одночлена. Он может быть как положительным, так и отрицательным. Когда коэффициент не указан, в зависимости от знака он принимается равным единице или минус единице. При этом понятие коэффициент зачастую применительно и к числу. Например, считают, что у числа девять он равен девяти.

Наиболее типичные записи рассматриваемого вида выражений имеют следующий вид:

• 23 — это обыкновенный одночлен, в составе которого нет переменных;
• 12 * f — выражение, состоящее из буквенного и цифрового числа;
• -5 * d² — запись, содержащая степень;
• 12 * 3 5/6 * x² * y⁴ — пример сложного порядка;
• x * y — формула, в которой все коэффициенты равны единице.

Это всё стандартные виды одночлена, то есть выражения записаны в таком состоянии, что их упростить уже невозможно. Например, формула a³ * 1*3 * b * 3 * а * b³ хоть и является одночленом, но не считается записью стандартного вида. Всё дело в том, что её можно упростить. Кроме этого, её нужно переписать таким образом, чтобы числовой множитель стоял на первом месте, затем неизвестные и основания со степенными показателями. После преобразования получится выражение: 9 * a⁴ * b⁴. Этот вид записи уже является стандартным. В нём одночленами считаются числа, переменные и степени.

В алгебре часто используется понятие «степень одночлена». Под ним понимают сумму показателей переменных значений, входящих в состав выражения. Примечательно что нуль, входящий в состав одночлена, степени не имеет, при этом если степень не указана, то она принимается нулевой. Когда выражения похожи друг на друга, они считаются подробными. Например, 5 * d²* k¹⁰ и 1/8 * d² * k¹⁰ — подобны.

Действия над выражениями

После умножения одночленов получается также одночлен, указываемый в стандартной записи. Для того чтобы выполнить операцию произведения, используют свойства умножения, а также правила действия со степенями. Умножить одно выражение на другое, значит, определить сумму слагаемых множителя, каждое из которых равно умножаемому.

Существует три закона умножения:

1. Сочетательный. Если нужно умножить два одночлена на третий, то можно сначала посчитать произведение первого на третий, а после результат умножить на второй член.
2. Переместительный. От перестановки множителей итог не изменится.
3. Распределительный. Для того чтобы умножить одночлен на сумму, нужно его отдельно перемножить с каждым суммирующимся членом, а после сложить результат. То есть одночлен превратится в многочлен. При этом этот закон справедлив и для разницы.

При умножении сложных выражений типовой операцией является упрощение записи. Но преобразовать возможно не все выражения. Например, пусть необходимо выполнить умножение одночленов: 2 * c * p³ * s⁵ (-7 * c³ * p²) = -14 * с² * p⁵ * s⁵.

Деление происходит аналогичным образом. При этом действует правило, согласно которому частное одночленов можно упростить, но лишь в том случае, если делимое и делитель содержат одинаковые буквенные или числовые коэффициенты. В этом случае из показателя делителя отнимается значение степени делимого, коэффициент которого делят на количественный показатель делителя. Например, 12 * p³ * d⁴ * r⁶: 4 * p * d² * r³ = 3 * p² * d² * r³.

Возведение в степень выполняют согласно правилам свойств степеней. Так как операция возведения это не что иное, как умножение члена самого на себя столько раз, сколько показывает число в показателе. Например, (3*с)³ = (3*с) * (3*с) *(3*с). Используя правило умножения, выражение можно представить как (3 * 3 * 3) * (с * с * с). Последнюю запись же можно упростить до вида: (3 * 3 * 3) * (с * с * с) = 33 * c³ = 9 * c * p³.

Таким образом, для того чтобы возвести выражение в степень, необходимо каждый множитель отдельно возвести в степень, а затем результаты перемножить. Это правило действует и для любых степеней, показатель которых натуральный. Закон применим и для дробного отношения, только после возведения числитель делят на знаменатель.

Принцип преобразования

Пусть имеется сложный одночлен, состоящий из ненулевых степеней, квадратов, дробных чисел и букв следующего вида: 5 * 7 * a * m * c7 * 3 *2/9 * 2 (1/7) * am * bn * c * x5 * 120. Тут следует обратить внимание, что дроби в выражении могут быть любого типа, кроме случая, когда в знаменателе будет стоять буква. Такая запись неудобна для восприятия и дальнейшего использования из-за хаотично расставленных подобных членов. Поэтому нужно преобразовать её к стандартному виду.

В основе способа упрощения одночлена лежат следующие принципы:

1. Если в записи встречается число, то оно обязательно пишется впереди и должно быть единственным в выражении.
2. Каждая буква, встречающаяся в формуле, должна повторяться только один раз, записанная в своей степени.
3. Буквы в одночлене записывают в алфавитном порядке.

При этом математиками было решено не писать знак умножения между числовым и буквенным множителем, а также между буквенными множителями, перемножающимися между собой.

Решения одночленов

Примеры для самостоятельной работы по преобразованию многочленов помогут понять, как правильно выполняются простые арифметические действия, что важно для решения последующих задач, связанных с многочленами.

Можно выделить следующие виды типовых заданий:

1. Пусть дан многочлен: 14 a⁷b¹³mt. Нужно определить степень одночлена, то есть сумму степеней входящих в выражение. Для рассматриваемого примера она будет равна: 7 + 13 + 1 + 6 = 20.
2. Необходимо записать результат перемножения двух выражений: 12a⁷c⁵d * 3b⁹c⁶d⁷k. Решение задания будет следующим: 12a⁷c⁵d * 3b⁹c⁶d⁷k = 36a⁷b⁹c¹¹d⁸k.

3. Нужно найти ответ, получающийся после деления 16 a⁷b⁵k¹⁴m на 8 a⁵bk³. Итак, при делении получится следующее: 16 a⁷b⁵k¹⁴m / 8 a⁵bk³ = 2a²b⁴k¹¹m.

4. Сложение и вычитание одночленов допускается только в том случае, если буквенная часть у них одинаковая, включая степени. Например, 2 a⁷b⁵ck + 7a⁷b⁵ck = 9 a⁷b⁵ck или 9 p⁵ — 3p⁵ = 6p⁵. То есть действие выполняется только над коэффициентами.

5. Дан многочлен вида: 2a⁷b⁵kz³. Нужно возвести его в пятую степень. Согласно правилу, каждый член выражения возводится в степень отдельно. При этом следует помнить правило, что при возведении степени в степень показатели перемножаются. Ответ будет выглядеть следующим образом: (2a⁷b⁵kz³)⁵ = 32a³⁵ b²⁵k⁵z¹⁵.

При выполнении различных действий с одночленом нужно знать всего лишь несколько правил и быть предельно аккуратным при вычислении. Особенно это важно для длинных выражений, состоящих из различного вида членов.

Упрощение на онлайн-калькуляторе

Привести одночлены к удобному виду, значит, упростить их до стандартной записи. Однако зачастую приходится иметь дело с выражениями большого порядка. При этом они могут включать в себя одновременно различные арифметические операции. Выполнять тождественные преобразования самостоятельно бывает довольно трудно, причём возникает вероятность допущения ошибки.

Поэтому использовать специализированные сайты, которые умеют быстро и безошибочно упрощать одночлены любого вида, не зазорно. Порталы предлагают свои услуги бесплатно и для решения примеров не требуют даже регистрации. Что интересно, кроме быстрого расчёта, пользователь, зашедший на такой ресурс, сможет увидеть всю цепочку упрощения, а при желании на страницах онлайн-калькулятора ознакомиться с теорией и основными определениями.

Из всего множества сайтов можно выделить следующие три:

1. Kontrolnaya-rabota. Сервис хоть и ориентирован на учащихся старших классов, но по своим возможностям довольно функционален. Так, с его помощью можно преобразовать даже комплексные выражения. Всё, что требуется от пользователя, это правильно ввести выражение и нажать кнопку «Упростить».
2. Umath. Программа даёт возможность упростить любое алгебраическое выражение. На сайте можно найти всю необходимую теорию. Ограничений в размере формулы нет.
3. Mathforyou. Используя этот онлайн-калькулятор, пользователь сможет выполнить различные действия над выражением, содержащим числовое и символьное обозначение. Для правильного вычисления нужно предварительно ознакомиться с правилами ввода математической формулы, указанными тут же на сайте.

Рекомендованные сайты имеют российский домен, а программы написаны русскими программистами. Поэтому проблем с пониманием, как пользоваться приложениями, возникнуть не должно. Интерфейс онлайн-калькуляторов не содержит нагромождения ненужной информации и интуитивно понятен. Ответ вычисляется буквально за несколько секунд, а используемые алгоритмы исключают возникновение ошибки.

Содержание:

Одночлены

Степень с натуральным показателем

Напомним, что произведение двух или трех одинаковых множителей, каждый из которых равен

Квадрат числа 5 называют еще второй степенью этого числа, а куб — третьей степенью.

Соответственно произведение обозначают и называют четвертой степенью числа . В выражении число называют основанием степени, число — показателем степени, а все выражение называют степенью.

Определение:

Степенью числа с натуральным показателем , большим 1, называют произведение множителей, каждый из которых равен . Степенью числа с показателем 1 называют само число .

Степень с основанием и показателем записывают так: , читают: « в степени », или «-ая степень числа ».

Итак, по определению

Выясним знак степени с натуральным показателем.

1. тогда — любая натуральная степень числа 0 равна 0.
2. , тогда — любая натуральная степень положительного числа есть положительное число.
3. тогда . Степень отрицательного числа с четным показателем является положительным числом, поскольку произведение четного количества отрицательных чисел положительно. Степень отрицательного числа с нечетным показателем является отрицательным числом, поскольку произведение нечетного количества отрицательных чисел отрицательно.

Возводить числа в степень с натуральным показателем можно с помощью микрокалькулятора. Вычислить, например, значение можно по схеме:

или по более удобной схеме:

Получим значение степени: 1838,265625.

Возведение в степень — действие третьей ступени. Напомним, что если выражение без скобок содержит действия разных ступеней, то сначала выполняют действия высшей ступени, а потом — низшей. Так, чтобы найти значение выражения , действия нужно выполнять в такой последовательности: 1) возведение в степень; 2) умножение; 3) вычитание.

Примеры выполнения заданий:

Пример №110

Вычислить

Решение:

Выполняя вычисления, можно:

а) записывать каждое действие в отдельности:

б) записывать вычисления в строчку:

Ответ. 496.

Свойства степени с натуральным показателем

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Рассмотрим произведения двух степеней с основанием . Учитывая, что , получим:

Следовательно, В этих примерах произведение степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, который равен сумме показателей степеней. Таким свойством обладает произведение любых степеней с одинаковыми основаниями.

Свойство 1. Для любого числа и произвольных натуральных чисел и справедливо равенство Доказательство. Учитывая определение степени, получаем:

Из свойства 1, которое еще называют основным свойством степени, следует правило умножения степеней:

Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить.

Например:

Правило умножения степеней распространяется на произведение трех и более степеней. Например:

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Рассмотрим равенство , где Из этого равенства по определению частного имеем: Равенство можно переписать так:

В этом примере частное степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, который равен разности показателя степени делимого и показателя степени делителя. Сформулируем и докажем соответствующее свойство в общем случае.

Свойство 2. Для любого числа и произвольных натуральных чисел и , где , справедливо равенство:

Доказательство. Поскольку то есть , то по определению частного имеем:

Из доказанного свойства следует правило деления степеней:

Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.

Например:

Возведение степени в степень

! Возведем степень в куб:

Итак, Из примера видно: чтобы возвести квадрат числа в куб, нужно оставить то же основание и взять показатель, равный произведению показателей. Сформулируем и докажем соответствующее свойство в общем случае.

Свойство 3. Для любого числа и произвольных натуральных чисел и справедливо равенство

Доказательство.

Из свойства 3 следует правило возведения степени в степень:

Чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней перемножить.

Например:

Возведение произведения в степень

Возведем произведение в куб:

Итак, . Из примера видно: чтобы возвести в куб произведение, нужно возвести в куб каждый множитель и результаты перемножить. Сформулируем и докажем соответствующее свойство в общем случае.

Свойство 4. Для любых чисел и и произвольного натурального числа справедливо равенство

Доказательство.

Имеем такое правило:

Чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.

Это правило распространяется на произведение трех и более множителей. Например:

Примечание. Доказанные тождества выражающие свойства степени, позволяют не только заменять выражения, которые стоят в их левых частях, выражениями, которые стоят в правых частях, но и наоборот:

• Заказать решение задач по высшей математике

Примеры выполнения заданий:

Пример №111

Упростить выражение

Решение:

Пример №112

Вычислить:

Пример №113

Представить в виде степени с основанием

Решение:

Пример №114

Представить в виде степени произведение

Решение:

Одночлен и его стандартный вид

Рассмотрим две группы выражений:

Какова особенность выражений первой группы? Чем они отличаются от выражений второй группы?

Выражения первой группы — это переменные, числа, их степени и произведения. Такие выражения называют одночленами. В общем виде одночлен — это произведение чисел, переменных и их степеней.

Выражения второй группы не являются одночленами, поскольку содержат действия сложения или вычитания.

Рассмотрим одночлен Он содержит только один числовой множитель, который стоит на первом месте, и степени разных переменных. Такой одночлен называют одночленом стандартного вида.

Одночленом стандартного вида называют такой одночлен, который содержит только один числовой множитель, находящийся на первом месте, ч степени разных переменных.

Числовой множитель одночлена стандартного вида называют коэффициентом одночлена. Коэффициент одночлена равен Считают, что коэффициенты одночленов и соответственно равны 1 и -1, поскольку и

Одночлен не является одночленом стандартного вида, поскольку содержит две степени с основанием . Умножив на этот одночлен можно записать в виде одночлена стандартного вида:

Умножение одночленов

Перемножим одночлены Используя свойства умножения и свойства степени, получим:

-3а2Ь • 4aby = (-3 • 4) • (а2а) • (ЬЬг) = -12аъЬ

Итак, произведением одночленов -Ъа2Ь и 4аЬъ является одночлен -12а3Ь*. Вообще, произведением любых одночленов является одночлен.

Возведение одночлена в степень

Возведем одночлен -5а2Ь в куб. Используя свойства степени, получим:

Итак, кубом одночлена является одночлен Вообще, натуральной степенью любого одночлена является одночлен.

Степень одночлена

В одночлене сумма показателей степеней вcex переменных равна Эту сумму называют степенью одночленa, говорят, что — одночлен шестой степени.

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, которые в него входят. Если одночленом является число, отличное от нуля, то считают, что степень такого одночлена равна нулю.

Например: — одночлен девятой степени; — одночлен второй степени; — одночлен первой степени; — одночлен нулевой степени.

Примеры выполнения заданий:

Пример №115

Записать выражение в виде одночлена стандартного вида:

Сокращенная запись:

Сокращенная запись:

Пример №116

Представить одночлен в виде:

а) произведения двух одночленов стандартного вида;

б) произведения двух одночленов, одним из которых является

в) квадрата одночлена стандартного вида.

Решение:

Интересно знать

Понятие степени с натуральным показателем возникло в античные времена в связи с вычислением площадей и объемов. Толкование степеней и было геометрическим: — это площадь квадрата со стороной , — объем куба с ребром . Отсюда и названия «квадрат» и «куб» для степеней и , которые используют и сейчас. К сожалению, такая геометрическая привязка в те времена стала тормозом для развития алгебры. Степени («квадрато-квадрат»), («кубо-квадрат») и т. д. остались как бы «вне закона», поскольку не имели соответствующей геометрической основы.

Только в XVII в. французский математик Рене Декарт (1596-1650) дал геометрическое толкование произведения любого числа множителей после чего и произведение приняло «официальный статус».

Декарт же ввел и современное обозначение степени с натуральным показателем в виде

План урока:

Определение степени с натуральным показателем

Сравнение степеней

Умножение и деление степеней

Одночлен. Умножение одночленов

Возведение одночлена в степень

Тождества

Определение степени с натуральным показателем

Периодически в математике приходится умножать число на само себя несколько раз. Пусть нам надо записать произведение десяти множителей, каждый из которых равен 2. Эта запись будет выглядеть так:

2*2*2*2*2*2*2*2*2*2

Однако существует и более компактная и удобная запись:

2*2*2*2*2*2*2*2*2*2 = 2¹⁰

Говорят, что число 2 возвели в десятую степень. В данном случае двойка – это основание степени, а 10 – показатель степени:

Если показатель равен единице, то в произведении должен быть только один множитель, а потому само число не меняется:

2¹ = 2

Теперь сформулируем определение степени числа с натуральным показателем:

Важно понимать, что такое определение может использоваться только в том случае, если n – натуральное число. В старших классах будут рассматриваться примеры с дробными и отрицательными показателями, однако в таких случаях потребуются и более сложные определения этого понятия.

Отметим, что основание может быть любым числом – целым, дробным, положительным, отрицательным.

Рассмотрим несколько простейших заданий.

1. Возведите в 5-ую степень число 3.

Решение:

3⁵ = 3*3*3*3*3 = 9*3*3*3 = 27*3*3 = 81*3 = 243

1. Возведите во 2-ю степень число 0,7.

Решение:

0,7² = 0,7*0,7 = 0,49

1. Возведите в 3-ю степень дробь 3/4.

Решение:

1. Возведите в 4-ую степень число – 4.

Решение:

(-4)⁴ = (-4)*(-4)*(-4)*(-4) = 16*(-4)*(-4) = (-64)*(-4) = 256

1. Возведите в третью степень – 5.

Решение:

(-5)³ = (-5)*(-5)*(-5) = 25*(-5) = -125

Обратите внимание, что при возведении отрицательного числа можно получить как отрицательное, так и положительное число. Здесь всё зависит от значения показателя. Если он четный, то получится положительное число, а если нечетный, то отрицательное.

1. Сравните выражения (–1,365)¹⁰⁶ и (– 2,512)⁷⁵.

Решение:

Число 106 – четное, поэтому при вычислении (–1,365)¹⁰⁶ должно получиться положительное число:

(–1,365)¹⁰⁶> 0.

Число 75 – нечетное, поэтому (– 2,512)⁷⁵ – это отрицательное число:

(– 2,512)⁷⁵<0.

Следовательно, можно записать следующее

(– 2,512)⁷⁵< 0 <(–1,365)¹⁰⁶, откуда

(– 2,512)⁷⁵< (–1,365)¹⁰⁶.

Ответ: (– 2,512)⁷⁵< (–1,365)¹⁰⁶.

Очевидно, что, сколько бы мы не умножали ноль на самого себя, в результате всегда будет получаться снова 0. Поэтому при любом натуральном значении n выражение 0ⁿ равно нулю.

Исторически сложилось, что для некоторых степеней в математике есть особое название. Квадратом числа называют его произведение на само себя. Например, квадрат шести (ещё говорят «шесть в квадрате») равен 36:

6² = 6*6 = 36

Кубом числа называют его третью степень. Так, куб пяти (ещё говорят «пять в кубе») равен 125:

5³ = 5*5*5 = 25*5 = 125

Пример. Найдите сумму квадратов чисел (натуральных) от 1 до 5.

Решение:

1²+2²+3²+4²+5² = 1+4+9+16+25 = 55

Ответ: 55.

Такие названия связаны с тем, что, площадь квадрата со стороной, равной a, составляет a², а объем куба с такой же длиной ребра равен a³. Квадраты и кубы чисел обладают множеством интересных свойств. Например, квадрат натурального числа n равен сумме первых n нечетных чисел:

1² = 1

2² = 1 + 3 = 4

3² = 1 + 3 + 5 = 9

4² = 1 + 3 + 5 + 7 = 16

Попытайтесь привести доказательство этого факта. Если не получается, то просто посмотрите на следующую картинку:

Количество клеточек под каждым числом соответствует его квадрату. Видно, что для получения каждого следующего квадрата нужно добавить к предыдущему нечетное количество клеточек (выделены зеленым цветом), чтобы «достроить» его до «полного» квадрата.

Важно отметить, что в арифметических выражениях операция возведения в степень выполняется до умножения и сложения. Рассмотрим пример. Пусть надо вычислить значение выражения:

-5² + 54/(-3)³

Решение:

Поставим последовательность выполнения операций:

Выполним арифметические операции:

1) 5² = 5*5 = 25

2) (-3)³ = (-3)*(-3)*(-3) = -27

3) 54/(-27) = -2

4) -25+(-2) = -27

Ответ: – 27.

Обратите внимание, что самый первый минус в выражении относится не к пятерке, которую возводят в квадрат, а ко всему квадрату. То есть здесь сначала надо возвести 5 в квадрат, а потом изменить знак выражения

Если бы в этом примере была запись

(-5)² + 54/(-3)³

то тогда в первом действии мы получили бы

(-5)*(-5) = 25

А в четвертом выполняли бы сложение

25 + (-2) = 23

То есть, если необходимо возвести в степень отрицательное число, то его следует записать в скобках:

(-2)⁴ = (-2)*(-2)*(-2)*(-2) = 16

-2⁴ = -2*2*2*2 = -16

Сравнение степеней

Можно заметить несколько очевидных правил, которые помогают сравнивать степени положительных чисел, не вычисляя напрямую их значения.

Правило 1. Каждая следующая степень числа, большего единицы, больше предыдущей:

2¹<2²<2³<2⁴<2⁵<2⁶ …

3¹<3²<3³<3⁴<3⁵<3⁶ …

1.1¹<1.1²<1.1³<1.1⁴<1.1⁵<1.1⁶ …

Правило 2. Каждая следующая степень положительного числа, меньшего единицы, меньше предыдущей:

Правило 3. Все степени единицы равны друг другу:

1¹ = 1² =1³ =1⁴ =1⁵ =1⁶ …

Правило 4. Если две степени имеют одинаковый показатель, но различающееся основание (положительное), то больше та, у которой больше основание:

1²<2²<3²<4²…

0,17²<0,18²<0,19²<0,2²…

Рассмотрим примеры:

1. Необходимо сравнить числа 56¹⁰⁰ и 56¹⁰².

Решение:

Число 56 больше единицы, а 100 < 102. Поэтому и 56¹⁰⁰< 56¹⁰².

Ответ: 56¹⁰⁰< 56¹⁰².

1. Сравните числа 0,9¹⁰⁰⁰ и 0,99⁵⁰⁰.

Решение: Сравнить напрямую эти числа друг с другом не получится, так как у них отличаются и показатель, и основание. Однако оба эти выражения можно сравнить с другим числом 0,99¹⁰⁰⁰:

0,9¹⁰⁰⁰<0,99¹⁰⁰⁰, по правилу 4, так как показатели равны, а основание у 0,9¹⁰⁰⁰ меньше(0,9 < 0,99).

0,99¹⁰⁰⁰< 0,99⁵⁰⁰, по правилу 2, так как основания этих чисел равны и меньше единицы, а показатель больше у 0,99¹⁰⁰⁰

На основании этих двух неравенств можно записать двойное неравенство

0,9¹⁰⁰⁰<0,9¹⁰⁰⁰< 0,99⁵⁰⁰,

Из него следует, что 0,9¹⁰⁰⁰< 0,99⁵⁰⁰.

Ответ: 0,9¹⁰⁰⁰< 0,99⁵⁰⁰.

Умножение и деление степеней

Пусть нам надо перемножить две выражения с одинаковым основанием, например, 5⁴ и 5³. Для этого представим их как произведение множителей:

5⁴ = 5*5*5*5

5³ = 5*5*5

Тогда их произведение можно записать как:

5⁴*5³ = (5*5*5*5)(5*5*5) = 5*5*5*5*5*5*5 = 5⁷

Получается, что если перемножаются степени с одинаковым основанием, то в результате получается ещё одна степень с таким же основанием, чей показатель равен сумме показателей перемножаемых степеней. В виде формулы это записывается так:

aⁿ*a^m = a^n+m

Это правило умножения степеней называют основным свойством степени. Доказывается оно так:

Аналогично можно перемножить и более двух чисел. Например,

3²*3³*3⁴ = 3²⁺³⁺⁴ = 3⁹

Теперь попробуем понять, как делить степени с одинаковыми основаниями.

Для этого запишем произведение чисел a^m–n и aⁿ:

a^m–n * aⁿ = a^m–n+n = a^m+(n-n) = a^m+0 = a^m

Получили, что a^m–n * aⁿ = a^m. Теперь поделим правую и левую часть равенства этого равенства на aⁿ:

Для наглядности рассмотрим случай с конкретными числами. Пусть надо надо вычислить 2¹⁰:2⁶. Можно записать, что

2^10-6*2⁶ = 2^10-6+6 = 2¹⁰

Поделим правую и левую часть этого равенства на 2⁶:

Получается, что верно следующее правило деления степеней:

Данные правила действуют и в том случае, когда вместо показателя и/или основания используется переменная. Например:

Если в выражении есть и умножение, и деление, то следует сначала сложить показатели перемножаемых чисел, а потом вычесть из нее показатели делителей:

Теперь введем понятие нулевой степени числа. Для этого поделим aⁿ на само себя, учитывая уже сформулированные правила деления:

aⁿ : aⁿ = a^n-n = a⁰

С другой стороны, любое число (кроме нуля), при делении на само себя дает единицу:

aⁿ : aⁿ = 1

Из этих двух равенств можно составить третье равенство:

a⁰ = 1

Получается, что любое число в нулевой степени равно единице.

К выражению 0⁰ подобная логика неприменима, так как деление на ноль не допускается в алгебре. Поэтому считается, что выражение 0⁰ не имеет смысла, так же как и деление на ноль.

Иногда приходится возводить в степень другую степень. Попытаемся вычислить выражение (2³)⁴:

(2³)⁴ = 2³ * 2³ * 2³ * 2³ = 2^3+3+3+3 = 2^3*4 = 2¹²

Видно, что нам пришлось перемножить показатели. Верно следующее правило возведения степени в степень:

(aⁿ)^m = a^nm

Рассмотрим пример. Необходимо вычислить значение выражения 9¹⁰:3¹⁸.

Решение. У делимого и делителя разные основания, поэтому сразу произвести деление не получится. Однако число 9 можно представить как квадрат тройки:

9 = 3²

Тогда и выражение можно переписать:

9¹⁰ : 3¹⁸ = (3²)¹⁰ : 3¹⁸

Далее последовательно выполняем математические операции:

(3²)¹⁰ : 3¹⁸ = 3^2*10 : 3¹⁸ = 3²⁰ : 3¹⁸ = 3^20-18 = 3² = 9

Ответ: 9.

Ещё один пример. Необходимо сравнить числа 5³⁰⁰ и 3⁵⁰⁰.

Решение.

5³⁰⁰ = 5^3•100 =(5³)¹⁰⁰ =125¹⁰⁰.

3⁵⁰⁰ =3^5•100 =(3⁵)¹⁰⁰ =243¹⁰⁰.

125¹⁰⁰<243¹⁰⁰, значит, 5³⁰⁰< 3⁵⁰⁰.

Ответ: 5³⁰⁰< 3⁵⁰⁰.

Иногда приходится выполнять операции над степенями с разными основаниями, но одинаковыми показателями. Перемножим числа 2⁴ и 3⁴:

2⁴*3⁴ = (2*2*2*2)*(3*3*3*3)

Поменяем местами множители:

(2*2*2*2)*(3*3*3*3) = (2*3)*(2*3)*(2*3)*(2*3) = 6*6*6*6 = 6⁴

Получается, что

2⁴*3⁴ = (2*3)⁴

Аналогичным образом для любых a и b, а также для любого натурального n справедливым будет равенство:

aⁿ•bⁿ = (ab)ⁿ.

Такие же рассуждения помогают найти формулу и для деления чисел с одинаковыми показателями:

aⁿ:bⁿ = (a:b)ⁿ.

Далее решим несколько примеров:

1. Вычислите 5⁶•2⁶.

Решение: 5⁶•2⁶ = (5*2)⁶ = 10⁶ = 1 000 000

Ответ: 1 000 000.

1. Вычислите 4¹⁰⁰•16¹⁵⁰•0,5⁷⁹⁵.

Решение: Перепишем выражение с учетом того факта, что 4 = 2², а 16 = 2⁴:

Заметим, что

а потому можно провести замену:

Ответ: 32.

Одночлен. Умножение одночленов

В алгебраических выражениях могут встречаться переменные, возведенные в степень, например, z⁴ или d³. Одночленом называют произведение нескольких таких переменных, а также действительных чисел.

Также может использоваться термин «моном», который является синонимом одночлена.

Приведем примеры мономов:

• 15L⁸F⁴;
• 4bc;
• – 9s¹⁷t²¹;
• 1,563b³h²r¹⁰.

Между переменными можно было бы поставить знак умножения, но почти всегда его опускают. Отдельно отметим, что мономом также считается выражение, в котором отсутствует числовой множитель, присутствует только одна переменная или вовсе нет переменных:

• 15a²;
• c⁵;
• 456.

То есть обычное число также считается мономом. Смысл в том, что для вычисления значения монома достаточно использовать операцию умножения.

Так как множители в произведении можно переставлять местами, то выражения 4•abc и a•4•bc идентичны друг другу. Для удобства принято записывать их в так называемом стандартном виде одночлена, когда числовой множитель располагается на первом месте. Сам этот множитель называют коэффициентом одночлена:

Коэффициент есть у всех мономов. Если он не указан, то считают, что перед переменными стоит единица:

с²а² = 1с²а².

Соответственно, в таком случае коэффициентом является единица. Если же перед мономом стоит только знак минус, то его коэффициентом является –1:

– с²а² = –1с²а².

Следующее важное понятие – степень одночлена. Она равна сумме степеней, стоящих у переменных в мономе. Найдем степени у некоторых одночленов:

• 9a²b³– степень одночлена равна 2+3=5, так как у переменных они равны 2 и 3;
• 7c⁴– степень равна 4, так как у единственной переменной в мономе степень равна 4;
• 56v⁸n³– степень равна 11=(8+3).

Если у переменной в мономе нет степени, то на самом деле она равна единице, так как любое число в 1-ой степени равно самому себе:

a¹ = a.

Если моном представляет собой отдельное число, то есть не содержит переменных, то его степень равна нулю.

При умножении одночленов всегда получается моном. Посмотрим на примере, как выполняется эта операция. Пусть надо перемножить одночлены 5a³b⁴и 6a⁵b⁷. Для этого сначала поменяем местами множители в произведении:

5a³b⁴*6a⁵b⁷ = 5*a³*b⁴*6*a⁵*b⁷ = 5*6*a³*a⁵*b⁴*b⁷ 

Продолжим вычисление, учитывая правила умножения чисел с одинаковыми основаниями:

5*6*a³*a⁵*b⁴*b⁷   = (5*6)*(a³*a⁵)*(b⁴*b⁷) = 30*a³⁺⁵*b⁴⁺⁷ = 30a⁸b¹¹

Получается, что мы просто перемножили коэффициенты мономов, а у одинаковых переменных сложили степени.

Здесь важно не перепутать такие две операции, как нахождение степени монома и умножение одночленов. В первом случае мы складываем степени, стоящие у разных переменных в одном мономе. Во втором случае мы складываем степени, стоящие у одинаковых переменных, но в разных (перемножаемых) мономах.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Перемножьте одночлены 8d²v и 9d³v⁴ и найдите степень получившегося произведения.

Решение:

8d²v•9d³v⁴ = (8•9) d²⁺³v¹⁺⁴ = 72 d⁵v⁵.

Степень получившегося монома равна 5 + 5 = 10

1. Перемножьте – 4a²b³с и – 3 b²с³.

Решение:

– 4a²b³с •(– 3b²с³) = (– 4)•(– 3)a²b³⁺²с¹⁺³ = 12a²b⁵с⁴.

1. Приведите одночлен к стандартному виду: 19t⁴• (– 2)t²d³.

Решение. В данном случае приведение к стандартному виду значит тоже самое, что и перемножение одночленов:

19t⁴ • (– 2)t²d³ = 19•(–2)•t⁴⁺²d³ = – 38t⁶d³.

Возведение одночлена в степень

Периодически в ходе вычислений возникает необходимость возведения одночлена в степень. Посмотрим, как выполняется подобная операция. Пусть надо возвести 2a³b²c в четвертую степень:

Видно, что каждый множитель монома мы по отдельности возвели в 4-ую степень. Можно сформулировать следующее правило:

Рассмотрим ещё несколько примеров:

• (3v³b²n⁴)³ = 3³(v³)³(b²)³(n⁴)³ = 27v^3•3b^2•3n^4•3 = 27v⁹b⁶n¹²;
• (4t⁵u⁷g⁹)² = 4²t^5•2u^7•2g^9•2 = 16t¹⁰u¹⁴g¹⁸.

Тождества

Рассмотрим равенство

a+(a+5)=2a+5.

В данном случае переменная a, содержащаяся в равенстве, может принимать любое значение. Подставим значение a, равное 1:

1+(1+5)=2•1+5;

1+6=2+5;

7=7.

Получили верное равенство. Подставим другое значение переменной, например, а=2, снова получим верное равенство (9=9). Вообще при любом допустимом значении переменной a всегда будет получаться верное равенство. Такое равенство называют тождеством.

Иногда в тождествах вместо знака равенства используют особый значок «≡». Основные тождества алгебры, которые вы уже встречали ранее – это переместительные законы сложения и умножения:

• a+b=b+a;
• ab=b•a;

сочетательные законы сложения и умножения:

(a+b)+c = a+(b+c);

(a•b)•c = a•(b•c);

а также распределительный закон, позволяющий раскрывать скобки:

(a+b)•c = a•c+b•c.

Иногда в понятие тождества включают также и равенства, вовсе не содержащие никаких переменных, например:

6² =36.

В качестве примера равенства, не являющегося тождеством, можно привести 5d+10 = 50. Оно будет выполняться только при значении переменной, равной 8, а при всех остальных значениях не выполняться.

Если два выражения равны друг другу при любых значениях переменных, то их называют тождественно равными.Тождественным преобразованием называют замену выражения на другое, тождественно ему равное. В качестве примера тождественного преобразования можно привести запись:

a⁵+a⁶ =a¹¹.

Определение одночлена

Одночлен – это алгебраическое выражение, которое является произведением чисел, переменных и их степеней.

Одночленами также считают все числа, любые переменные и их степени.

Например:

Например:

$x^2cdot23xy$ – одночлен нестандартного вида, с коэффициентом 23 и степенью 4 (x в кубе и y в первой степени);

$-frac{3}{15}a^3 b^2$ – одночлен стандартного вида, с коэффициентом $left(-frac{3}{15}right)$ и степенью 5 (a в кубе и b в квадрате);

9 – одночлен стандартного вида, с коэффициентом 9 и степенью 0;

a – одночлен стандартного вида, с коэффициентом 1 и степенью 1.

Число 0, а также одночлены, тождественно равные нулю (например, $0 cdot x^3, 0cdot mn$), называются нуль-одночленами. Считают, что нуль-одночлен степени не имеет. Одночлены с одинаковой буквенной частью (например, $2ab^3 c^2 и -frac{7}{5}ab^3 c^2$) называются подобными.

Приведение одночлена к стандартному виду

Любой одночлен можно преобразовать так, чтобы получился одночлен стандартного вида.

Если в одночлен в качестве множителей входят несколько переменных, их принято записывать по алфавиту. Но это не является обязательным.

Примеры

Пример 1. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида, найдите его коэффициент и степень:

а) $ frac{1}{2}x^5y^4c cdot (-5xy^2 c^3) = frac{1}{2} cdot (-5) cdot c^{1+3} cdot x^{5+1} cdot y^{4+2} = -2,5c^4 x^6 y^6 $

коэффициент (-2,5), степень 4+6+6 = 16

б) $ -(3m^4)^2 cdot (-m^3 kp)^3 = -3^2 cdot (-1)^3 cdot k^3 cdot m^{8+9} cdot p^3 = 9k^3 m^17 p^3 $

коэффициент 9, степень 3+17+3 = 23

в) $ (-2)^3 xy cdot 1,5(x^4 y)^2 = -8 cdot 1,5 cdot x^{1+8} cdot y^{1+2} = -12x^9 y^3 $

г) $ (8m^3 )^2 n^3 cdot frac{1}{(4mn)^3} = frac{8^2 m^6 n^3}{4^3 m^3 n^3} = frac{(2^3)^2}{(2^2)^3} cdot frac{m^6}{m^3} cdot frac{n^3}{n^3} = m^3$

коэффициент 1, степень 3

Пример 2. Запишите одночлен в стандартном виде и найдите его числовое значение:

а) $ frac{1}{2} xycdot frac{1}{4}x^2 при x = 2, y = 3 $

$ frac{1}{2}xy cdot frac{1}{4}x^2 = frac{1}{2} cdot frac{1}{4} cdot x^{1+2}cdot y = frac{1}{8} x^3 y $

Подставляем: $ frac{1}{8}cdot2^3cdot3 = 3 $

б) $ (-2a^2 b^3) cdot left(frac{0,5}{ab}right)^2 при a = 73,b = 3 $

$ (-2a^2 b^3) cdot left(frac{0,5}{ab}right)^2 = -2 cdot frac{1}{2}^2 cdot frac{a^2}{a^2} cdot frac{b^3}{b^2} = -frac{1}{2}b $

Подставляем: $ -frac{1}{2}cdot3 = -1,5 $

Пример 3. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:

а) $ 16x^4 y^2 z^6 = 4^2cdot(x^2 )^2cdot y^2cdot(z^3 )^2 = (4x^2 yz^3 )^2 $

б) $ frac{49}{64}x^{12} y^4 z^{16} = (frac{7}{8} x^6 y^2 z^8 )^2 $

Пример 4*. Известно, что $ 5a^2 b^3 = 7$. Найдите значение выражения $ -frac{4}{49} a^6 b^9 $

Выразим произведение переменных через число: $ a^2 b^3 = frac{7}{5} $

Преобразуем выражение:

$$ -frac{4}{49} a^6 b^9 = -frac{4}{49} left(underbrace{a^2 b^3}_{=7/5text{}}right)^3 = -frac{4}{7^2} cdot left(frac{7}{5}right)^3 = -frac{4}{5^3} cdot frac{7^3}{7^2} = -frac{28}{125} $$

Ответ: $ -frac{28}{125} $