Время чтения: 5 минут.
Уметь правильно раскрывать скобки – это уже 70% успеха в преобразовании выражений и решении уравнений.
Памятки из статьи помогут тебе быстро решать подобные задания и свести вероятность ошибок к минимуму!
Правила раскрытия скобок
1. Если перед скобкой стоит знак “+”, то выражение внутри скобок остается без изменений.
2. Если перед скобкой стоит знак “-“, то все члены выражения меняют свой знак на противоположный.
Важно! В математике знак “+” перед скобкой не пишут, если скобка стоит в начале выражения.
Ты можешь встретить, например, вот такие записи: (4a+8)-c. Это значит, что перед скобкой (4a-8) стоит знак “+”, просто его не пишут.
Также часто требуется раскрыть скобки, где имеется операция умножения. Разберемся, как действовать в таких случаях.
1. При умножении скобки на какое-либо число/букву (множитель) необходимо каждый член скобки умножить на этот множитель.
2. При умножении скобки на скобку нужно каждый член первой скобки перемножить с каждым членов второй скобки (не забывай правильно расставлять знаки).
В более сложных выражениях ты можешь встретить вложенные скобки – одну скобку внутри другой. Что делать в этом случае?
Запомни:
- Скобки раскрываются последовательно, одна за другой;
- Сначала раскрываются все внутренние скобки, потом – внешние;
- При раскрытии внутренних скобок остальную часть выражения оставляем без изменений;
- Не забывай проверять знаки перед множителями.
Проверь свои знания!
Можешь пройти небольшое тестирование и проверить, насколько хорошо ты усвоил материал. Удачи!
На этом все! Остались вопросы? Напиши о них в комментариях!👇
Обязательно подпишись на канал, чтобы не пропустить больше полезных статей!🧠
#впр #огэ #егэ #математика #репетитор #алгебра #геометрия #уравнения #раскрытьскобки #выражения
Продолжаем изучать основы алгебры. В данном уроке мы научимся раскрывать скобки в выражениях. Раскрыть скобки означает избавить выражение от этих скобок.
Чтобы раскрывать скобки, нужно выучить наизусть два правила. При регулярных занятиях раскрывать скобки можно с закрытыми глазами, и про те правила которые требовалось заучивать наизусть, можно благополучно забыть.
Первое правило раскрытия скобок
Рассмотрим следующее выражение:
8 + (−9 + 3)
Значение данного выражения равно 2. Раскроем скобки в данном выражении. Раскрыть скобки означает избавиться от них, не влияя на значение выражения. То есть после избавления от скобок значение выражения 8 + (−9 + 3) по прежнему должно быть равно двум.
Первое правило раскрытия скобок выглядит следующим образом:
При раскрытии скобок, если перед скобками стоит плюс, то этот плюс опускается вместе со скобками.
Итак, мы видим что в выражении 8 + (−9 + 3) перед скобками стоит плюс. Этот плюс нужно опустить вместе со скобками. Иными словами, скобки исчезнут вместе с плюсом, который перед ними стоял. А то, что было в скобках запишется без изменений:
Мы получили выражение без скобок 8−9+3. Данное выражение равно 2, как и предыдущее выражение со скобками было равно 2.
8 + (−9 + 3) = 2
8 − 9 + 3 = 2
Таким образом, между выражениями 8+(−9+3) и 8−9+3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3
2 = 2
Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 3 + (−1 − 4)
Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках останется без изменений:
3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4
Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 2 + (−1)
Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках останется без изменений:
2 + (−1) = 2 − 1
В данном примере раскрытие скобок стало своего рода обратной операцией замене вычитания сложением. Как это понимать?
В выражении 2 − 1 происходит вычитание, но его можно заменить сложением. Тогда получится выражение 2 + (−1). Но если в выражении 2 + (−1) раскрыть скобки, то получится изначальное 2 − 1.
Поэтому первое правило раскрытия скобок можно использовать для упрощения выражений после каких-нибудь преобразований. То есть избавить его от скобок и сделать проще.
Например, упростим выражение 2a + a− 5b + b.
Чтобы упростить данное выражение, можно привести подобные слагаемые. Напомним, что для приведения подобных слагаемых, нужно сложить коэффициенты подобных слагаемых и результат умножить на общую буквенную часть:
Получили выражение 3a + (−4b). В этом выражении раскроем скобки. Перед скобками стоит плюс, поэтому используем первое правило раскрытия скобок, то есть опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками:
3a + (−4b) = 3a − 4b
Таким образом, выражение 2a+a−5b+b упрощается до 3a−4b.
Раскрыв одни скобки, по пути могут встретиться другие. К ним применяем те же правила, что и к первым. Например, раскроем скобки в следующем выражении:
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6)
Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В данном случае применимо первое правило раскрытия скобок, а именно опускание скобок вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками:
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6
Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 6+(−3)+(−2)
В обоих местах, где имеются скобки, перед ними стоит плюс. Здесь опять же применяется первое правило раскрытия скобок:
6 + (−3) + (−2) = 6 − 3 − 2
Иногда первое слагаемое в скобках записано без знака. Например, в выражении 1+(2+3−4) первое слагаемое в скобках 2 записано без знака. Возникает вопрос, а какой знак будет стоять перед двойкой после того, как скобки и плюс, стоящий перед скобками опустятся? Ответ напрашивается сам — перед двойкой будет стоять плюс.
На самом деле даже будучи в скобках перед двойкой стоит плюс, но мы его не видим по причине того, что его не записывают. Мы уже говорили, что полная запись положительных чисел выглядит как +1, +2, +3. Но плюсы по традиции не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас положительные числа 1, 2, 3.
Поэтому, чтобы раскрыть скобки в выражении 1+(2+3−4), нужно как обычно опустить скобки вместе с плюсом, стоящим перед этими скобками, но первое слагаемое которое было в скобках записать со знаком плюс:
1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4
Пример 4. Раскрыть скобки в выражении −5 + (2 − 3)
Перед скобками стоит плюс, поэтому применяем первое правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками. Но первое слагаемое, которое в скобках записываем со знаком плюс:
−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3
Пример 5. Раскрыть скобки в выражении (−5)
Перед скобками стоит плюс, но он не записан по причине того, что до него не было других чисел или выражений. Наша задача убрать скобки, применив первое правило раскрытия скобок, а именно опустить скобки вместе с этим плюсом (даже если он невидим)
(−5) = −5
Пример 6. Раскрыть скобки в выражении 2a + (−6a + b)
Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишется без изменений:
2a + (−6a + b) = 2a −6a + b
Пример 7. Раскрыть скобки в выражении 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)
В данном выражении имеется два места, где нужно раскрыть скобки. В обоих участках перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишется без изменений:
5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d
Второе правило раскрытия скобок
Теперь рассмотрим второе правило раскрытия скобок. Оно применяется тогда, когда перед скобками стоит минус.
Если перед скобками стоит минус, то этот минус опускается вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный.
Например, раскроем скобки в следующем выражении
5 − (−2 − 3)
Видим, что перед скобками стоит минус. Значит нужно применить второе правило раскрытия, а именно опустить скобки вместе с минусом, стоящим перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, поменяют свой знак на противоположный:
Мы получили выражение без скобок 5 + 2 + 3. Данное выражение равно 10, как и предыдущее выражение со скобками было равно 10.
5 − (−2 − 3) = 10
5 + 2 + 3 = 10
Таким образом, между выражениями 5−(−2−3) и 5+2+3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3
10 = 10
Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 6 − (−2 − 5)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с минусом, который стоит перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, записываем с противоположными знаками:
6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5
Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 2 − (7 + 3)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
2 − (7 + 3) = 2 − 7 − 3
Пример 4. Раскрыть скобки в выражении −(−3 + 4)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
−(−3 + 4) = 3 − 4
Пример 5. Раскрыть скобки в выражении −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)
Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить второе правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения +(−9 − 2) нужно применить первое правило:
−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2
Пример 6. Раскрыть скобки в выражении −(−a − 1)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
−(−a − 1) = a + 1
Пример 7. Раскрыть скобки в выражении −(4a + 3)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
−(4a + 3) = −4a − 3
Пример 8. Раскрыть скобки в выражении a − (4b + 3) + 15
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
a − (4b + 3) + 15 = a − 4b − 3 + 15
Пример 9. Раскрыть скобки в выражении 2a + (3b − b) − (3c + 5)
Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить первое правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения −(3c+5) нужно применить второе правило:
2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5
Пример 10. Раскрыть скобки в выражении −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)
Здесь три места, где нужно раскрыть скобки. Вначале нужно применить второе правило раскрытия скобок, затем первое, а затем опять второе:
−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15
Механизм раскрытия скобок
Правила раскрытия скобок, которые мы сейчас рассмотрели, основаны на распределительном законе умножения:
a(b + c) = ab + ac
На самом деле раскрытием скобок называют ту процедуру, когда общий множитель умножают на каждое слагаемое в скобках. В результате такого умножения скобки исчезают. Например, раскроем скобки в выражении 3×(4+5)
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Поэтому, если нужно умножить число на выражение в скобках (или выражение в скобках умножить на число) надо говорить раскроем скобки.
Но как связан распределительный закон умножения с правилами раскрытия скобок, которые мы рассматривали ранее?
Дело в том, что перед любыми скобками стоит общий множитель. В примере 3 × (4 + 5) общий множитель это 3. А в примере a(b + c) общий множитель это переменная a.
Если перед скобками нет чисел или переменных, то общим множителем является 1 или −1, в зависимости от того, какой знак стоит перед скобками. Если перед скобками стоит плюс, значит общим множителем является 1. Если перед скобками стоит минус, значит общим множителем является −1.
К примеру, раскроем скобки в выражении −(3b − 1). Перед скобками стоит минус, поэтому нужно воспользоваться вторым правилом раскрытия скобок, то есть опустить скобки вместе с минусом, стоящим перед скобками. А выражение, которое было в скобках, записать с противоположными знаками:
−(3b − 1) = −3b + 1
Мы раскрыли скобки, воспользовавшись правилом раскрытия скобок. Но эти же скобки можно раскрыть, воспользовавшись распределительным законом умножения. Для этого сначала записываем перед скобками общий множитель 1, который не был записан:
−1(3b −1)
Минус, который раньше стоял перед скобками относился к этой единице. Теперь можно раскрыть скобки, применяя распределительный закон умножения. Для этого общий множитель −1 нужно умножить на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложить.
Для удобства заменим разность, находящуюся в скобках на сумму:
−1(3b −1) = −1( 3b + (−1) )
Далее умножаем общий множитель −1 на каждое слагаемое в скобках:
−1(3b −1) = −1(3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1
Как и в прошлый раз мы получили выражение −3b + 1. Каждый согласится с тем, что в этот раз затрачено больше времени на решение столь простейшего примера. Поэтому разумнее пользоваться готовыми правилами раскрытия скобок, которые мы рассматривали в данном уроке:
−(3b − 1) = −3b + 1
Но не мешает знать, как эти правила работают.
В данном уроке мы научились ещё одному тождественному преобразованию. Вместе с раскрытием скобок, вынесением общего за скобки и приведением подобных слагаемых можно немного расширить круг решаемых задач. Например:
Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в следующем выражении:
Здесь нужно выполнить два действия — сначала раскрыть скобки, а потом привести подобные слагаемые. Итак, по порядку:
1) Раскрываем скобки:
2) Приводим подобные слагаемые:
В получившемся выражении −10b+(−1) можно раскрыть скобки:
Пример 2. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в следующем выражении:
1) Раскроем скобки:
2) Приведем подобные слагаемые. В этот раз для экономии времени и места, не будем записывать, как коэффициенты умножаются на общую буквенную часть
Пример 3. Упростить выражение 8m+3m и найти его значение при m=−4
1) Сначала упростим выражение. Чтобы упростить выражение 8m+3m, можно вынести в нём общий множитель m за скобки:
8m + 3m = m(8 + 3)
2) Находим значение выражения m(8 + 3) при m = −4. Для этого в выражение m(8 + 3) вместо переменной m подставляем число −4
m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 2. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 3. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 4. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 5. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 6. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 7. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 8. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 9. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 10. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 11. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 12. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 13. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 14. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 15. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 16. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 17. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 18. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 19. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 20. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 21. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 22. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в следующем выражении:
Задание 23. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в следующем выражении:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений числовых выражений. Например, в числовом выражении (5·3+7) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: (5·3+7 =15+7=22). А вот в выражении (5·(3+7)) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: (5·(3+7)=5·10=50).
Однако если мы имеем дело с алгебраическим выражением, содержащим переменную – например таким: (2(x-3)) – то вычислить значение в скобке не получается, мешает переменная. Поэтому в таком случае скобки «раскрывают», используя для этого соответствующие правила.
Правила раскрытия скобок
Если перед скобкой стоит знак плюс, то скобка просто снимается, выражение в ней при этом остается неизменным. Иначе говоря:
((a-b)=a-b)
Здесь нужно пояснить, что в математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не (+7+3), а просто (7+3), несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение ((5+x)) – знайте, что перед скобкой стоит плюс, который не пишут.
Пример. Раскройте скобку ((1+y-7x)).
Решение: ((1+y-7x)=1+y-7x).
Пример. Упростите выражение: (3+(5-2x)).
Решение: Раскрываем скобку согласно правилу, а затем приводим подобные слагаемые:
Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые: ((x-11)+(2+3x)).
Решение: ((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9).
Если перед скобкой стоит знак минус, то при снятии скобки каждый член выражения внутри нее меняет знак на противоположный:
(-(a-b)=-a+b)
Здесь нужно пояснить, что у (a), пока оно стояло в скобке, был знак плюс (просто его не писали), и после снятия скобки этот плюс поменялся на минус.
Пример: Упростите выражение (2x-(-7+x)).
Решение: внутри скобки два слагаемых: (-7) и (x), а перед скобкой минус. Значит, знаки поменяются – и семерка теперь будет с плюсом, а икс – с минусом. Раскрываем скобку и приводим подобные слагаемые.
Пример. Раскройте скобку: (-(4m+3)).
Решение: (-(4m+3)=-4m-3).
Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые (5-(3x+2)+(2+3x)).
Решение: (5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5).
Если перед скобкой стоит множитель, то каждый член скобки умножается на него, то есть:
(c(a-b)=ca-cb)
Пример. Раскройте скобки (5(3-x)).
Решение: В скобке у нас стоят (3) и (-x), а перед скобкой – пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на (5) – напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей.
Пример. Раскройте скобки (-2(-3x+5)).
Решение: Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке (-3x) и (5) умножаются на (-2).
Пример. Упростить выражение: (5(x+y)-2(x-y)).
Решение: (5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y).
Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.
При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:
((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db)
Пример. Раскройте скобки ((2-x)(3x-1)).
Решение: У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку – каждый ее член умножаем на скобку вторую:
Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
– сначала первое…
– потом второе.
Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:
Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.
Примечание ко всему разделу. На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: (c(a-b)=ca-cb). Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило ((a-b)=a-b). А если подставить минус единицу, получим правило (-(a-b)=-a+b). Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.
Скобка в скобке
Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение (7x+2(5-(3x+y))).
Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
– внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
– раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.
При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение, просто переписывая его как есть.
Давайте для примера разберем написанное выше задание.
Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые (7x+2(5-(3x+y))).
Решение:
|
(7x+2(5)(-(3x+y))()=) |
Выполнять задание начнем с раскрытия внутренней скобки (той, что внутри). Раскрывая ее, имеем дело только с тем, что к ней непосредственно относиться – это сама скобка и минус перед ней (выделено зеленым). Всё остальное (не выделенное) переписываем также как было. |
|
| (=7x+2(5)(-3x-y)()=) |
Теперь раскрываем вторую скобку, внешнюю. |
|
| (=7x+2·5-2·3x-2·y=) |
Упрощаем получившееся выражение… |
|
|
(=7x+10-6x-2y=) |
…и приводим подобные. |
|
|
(=x+10-2y) |
Готово. |
Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые (-(x+3(2x-1+(x-5)))).
Решение:
|
(-(x+3(2x-1)(+(x-5))())) |
Здесь тройная вложенность скобок. Начинаем с самой внутренней (выделено зеленым). Перед скобкой плюс, так что она просто снимается. |
|
|
(-(x+3(2x-1)(+x-5)())) |
Теперь нужно раскрыть вторую скобку, промежуточную. Но мы перед этим упростим выражение привидением подобный слагаемых в этой второй скобке. |
|
|
(=-(x)(+3(3x-6))()=) |
Вот сейчас раскрываем вторую скобку (выделено голубым). Перед скобкой множитель – так что каждый член в скобке умножается на него. |
|
|
(=-(x)(+9x-18)()=) |
Вновь приводим подобные. |
|
|
(=-(10x-18)=) |
И раскрываем последнюю скобку. Перед скобкой минус – поэтому все знаки меняются на противоположные. |
|
|
(=-10x+18) |
Готово. |
Раскрытие скобок – это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.
Смотрите также:
Вынесение общего множителя за скобки
Скачать статью
Раскрытие скобок является одним из видов преобразования выражения. В этом разделе мы опишем правила раскрытия скобок, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся примеры задач.
Что называется раскрытием скобок?
Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Например, заменить выражение 2·(3+4) на выражение вида 2·3+2·4 без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.
Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:
- знаки «+» или «-» перед скобками, в которые заключены суммы или разности;
- произведение числа, буквы или нескольких букв и суммы или разности, которая помещена в скобки.
Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от 5+(−3)−(−7) к 5−3+7. Фактически, это тоже раскрытие скобок.
Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида (a+b)·(c+d) на сумму a·c+a·d+b·c+b·d. Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.
Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению x2·1a-x+sin(b) будет соответствовать выражение без скобок вида x2·1a-x2·x+x2·sin(b) .
Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения 3−(5−7) мы получаем выражение 3−5+7. Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3−(5−7)=3−5+7.
Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например, 5−(3−(2−1))=5−(3−2+1)=5−3+2−1 или 5−(3−(2−1))=5−3+(2−1)=5−3+2−1.
Правила раскрытия скобок, примеры
Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.
У одиночных чисел в скобках
Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, (−4) и 3+(−4). Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.
Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что а – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на а, +(а) на +а, -(а) на –а. Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число (5) запишется как 5, выражение 3+(5) без скобок примет вид 3+5, так как +(5) заменяется на +5, а выражение 3+(−5) эквивалентно выражению 3−5, так как +(−5) заменяется на −5.
Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.
Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. +(−a) мы заменяем на −a, −(−a) заменяется на +a. Если выражение начинается с отрицательного числа (−a), которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо (−a) остается −a.
Приведем примеры: (−5) можно записать как −5, (−3)+0,5 принимает вид −3+0,5, 4+(−3) превращается в 4−3, а −(−4)−(−3) после раскрытия скобок принимает вид 4+3, так как −(−4) и −(−3) заменяется на +4 и +3.
Следует понимать, что записать выражение 3·(−5) как 3·−5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.
Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.
Согласно правилу разность a−b равна a+(−b). На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a, которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение a+(−b) – это разность a−b.
Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что −(−a)=a, a−(−b)=a+b.
Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть −(−((−(5)))). Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5))=−(5)=−5. Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении: −(−((−(5))))=((−(5)))=(−(5))=−(5)=−5.
Под a и b можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком «+» впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.
К примеру, после раскрытия скобок выражение −(−2·x)−(x2)+(−1x)−(2·x·y2:z) примет вид 2·x−x2−1x−2·x·y2:z. Как мы это сделали? Мы знаем, что −(−2·x) есть +2·x, а так как это выражение стоит вначале, то +2·x можно записать как 2·x, −(x2)=−x2, +(−1x)=−1x и −(2·x·y2:z)=−2·x·y2:z.
В произведениях двух чисел
Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.
Предположим, что a и b – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел −a и −b вида (−a)·(−b) мы можем заменить на (a·b), а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (−a)·b и a·(−b) заменить на (−a·b). Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.
Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.
Рассмотрим несколько примеров.
Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел -435 и -2, вида(-2)·-435 . Для этого заменим исходное выражение на 2·435 . Раскроем скобки и получим 2·435 .
А если мы возьмем частное отрицательных чисел (−4):(−2), то запись после раскрытия скобок будет иметь вид 4:2
На месте отрицательных чисел −a и −b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.
Раскроем скобки в выражении -3·xx2+1·x·(ln5). Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования: -3·xx2+1·x·(ln5)=-3·xx2+1·x·ln5=3·xx2+1·x·ln5.
Выражение (−3)·2 можно преобразовать в выражение (−3·2). После этого можно раскрыть скобки: −3·2.
23·-45=-23·45=-23·45
Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок: (−5):2=(−5:2)=−5:2 и 234:(-3,5)=-234:3,5=-234:3,5.
Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два примера.
-1x+1:x-3=-1x+1:x-3=-1x+1:x-3
и
sin(x)·(-x2)=(-sin(x)·x2)=-sin(x)·x2
В произведениях трех и большего количества чисел
Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.
Для примера, возьмем выражение 5·(−3)·(−2), которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как (5·3·2) и затем окончательно раскрыть скобки, получив выражение 5·3·2.
В произведении (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1) пять чисел являются отрицательными. поэтому (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1)=(−2,5·3:2·4:1,25:1). Окончательно раскрыв скобки, получаем −2,5·3:2·4:1,25:1.
Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и -1 или -1 заменяем на (−1)·a.
Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные −1, в начало выражения. Произведение четного числа минус единиц равно 1, а нечетного – равно −1, что позволяет нам использовать знак минус.
Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении -23:(-2)·4:-67 выглядела бы следующим образом:
-23:(-2)·4:-67=-23·-12·4·-76==(-1)·23·(-1)·12·4·(-1)·76==(-1)·(-1)·(-1)·23·12·4·76=(-1)·23·12·4·76==-23·12·4·76
Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение
x2·(-x):(-1x)·x-3:2.
Его можно привести к выражению без скобок x2·x:1x·x-3:2 .
Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+»
Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.
Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.
Для примера приведем выражение (12−3,5)−7. Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид (12−3,5)−7=+12−3,5−7. В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как +12−3,5−7=12−3,5−7.
Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение x+2a-3×2+1-x2-4+1x и проведем с ним действия x+2a-3×2+1-x2-4+1x==x+2a-3×2+1-x2-4+1x
Вот еще один пример раскрытия скобок:
2+x2+1x-x·y·z+2·x-1+(-1+x-x2)==2+x2+1x-x·y·z+2·x-1-1+x+x2
Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус
Рассмотрим случаи, когда перед скобками стоит знак минус, и которые не не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение. Согласно правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-», скобки со знаком «-» опускаются, при этом знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.
К примеру:
–12=12,-1x+1=-1x+1,-(-x2)=x2
Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:
–x+x3-3–2·x2+3·x3·x+1x-1-x+2,
получаем x-x3-3+2·x2-3·x3·x+1x-1-x+2.
Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку
Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида (a1±a2±…±an)·b=(a1·b±a2·b±…±an·b) или b·( a1±a2±…±an)=(b·a1±b·a2±…±b·an), где a1, a2, …, an и b – некоторые числа или выражения.
Например, проведем раскрытие скобок в выражении (3−7)·2. Согласно правилу, мы можем провести следующие преобразования: (3−7)·2=(3·2−7·2). Получаем 3·2−7·2.
Раскрыв скобки в выражении 3·x2·1-x+1x+2, получаем 3×2·1-3·x2·x+3·x2·1x+2.
Умножение скобки на скобку
Рассмотрим произведение двух скобок вида (a1+a2)·(b1+b2). Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.
Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение (b1+b2) как b. Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2)·b=(a1·b+a2·b)=a1·b+a2·b. Выполнив обратную замену b на (b1+b2), снова применим правило умножения выражения на скобку: a1·b+a2·b==a1·(b1+b2)+a2·(b1+b2)==(a1·b1+a1·b2)+(a2·b1+a2·b2)==a1·b1+a1·b2+a2·b1+a2·b2
Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.
Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.
Формула будет иметь вид:
(a1+a2+…+am)·(b1+b2+…+bn)==a1b1+a1b2+…+a1bn++a2b1+a2b2+…+a2bn++…++amb1+amb1+…ambn
Проведем раскрытие скобок в выражении (1+x)·(x2+x+6) Оно представляет собой произведение двух сумм. Запишем решение: (1+x)·(x2+x+6)==(1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6)==1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6
Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение (1−x)·(3·x·y−2·x·y3).
Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y3)). Теперь мы можем применить правило: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y3))==(1·3·x·y+1·(−2·x·y3)+(−x)·3·x·y+(−x)·(−2·x·y3))
Раскроем скобки: 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·2·x·y3.
Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений
При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении (2+4)·3·(5+7·8).
В выражении содержится сразу три множителя (2+4), 3 и (5+7·8). Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: (2+4)·3·(5+7·8)=((2+4)·3)·(5+7·8).
В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: ((2+4)·3)·(5+7·8)=(2·3+4·3)·(5+7·8).
Умножаем скобку на скобку: (2·3+4·3)·(5+7·8)=2·3·5+2·3·7·8+4·3·5+4·3·7·8.
Скобка в натуральной степени
Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.
Рассмотрим процесс преобразования выражения (a+b+c)2. Его можно записать в виде произведения двух скобок (a+b+c)·(a+b+c). Произведем умножение скобки на скобку и получим a·a+a·b+a·c+b·a+b·b+b·c+c·a+c·b+c·c.
Разберем еще один пример:
1x+23=1x+2·1x+2·1x+2==1x·1x+1x·2+2·1x+2·2·1x+2==1x·1x·1x+1x·2·1x+2·1x·1x+2·2·1x+1x·1x·2++1×2·2+2·1x·2+2·2·2
Деление скобки на число и скобки на скобку
Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, (x2-x):4=x2:4-x:4 .
Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.
Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x+2):23 . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число (x+2):23=(x+2)·23. Умножим скобку на число (x+2)·23=x·23+2·23.
Вот еще один пример деления на скобку:
1x+x+1:(x+2) .
Заменим деление умножением: 1x+x+1·1x+2.
Выполним умножение: 1x+x+1·1x+2=1x·1x+2+x·1x+2+1·1x+2.
Порядок раскрытия скобок
Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.
Порядок выполнения действий:
- первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
- на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
- заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.
Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Намнем преобразование с выражений 3·(−2):(−4) и 6·(−7), которые должны принять вид (3·2:4) и (−6·7). При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6·7). Раскрываем скобки:−5+3·2:4+6·7.
Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.
Умение правильно раскрывать скобки в математических выражениях – это залог их правильного решения. Рассмотрим подробнее, что диктуют правила математики, и как их использовать на примерах.
Что представляет собой раскрытие скобок
С помощью скобок принято определять порядок действий в числовых и буквенных выражениях. Встречаются они и в примерах с переменными. Тем, кому приходилось решать такие примеры, знают, что от выражения в скобках легко переходить к тождественным выражениям без них.
Пример:
3*(2+6)=3*2+3*6
Это и есть переход к тождественным выражениям без скобок, то есть их раскрытие.
Определение
Раскрытие скобок – это действия, направленные на избавления от них, которые применяются в отношении выражений, в которых:
- знаки «+», «-» стоят перед скобками, а в них размещены примеры на сложение или вычитание;
- числовые или буквенные произведения, а также выражения суммы или разности, которые заключены в скобках.
Сам процесс избавления, или раскрытия рассматривается еще в пределах школьной программы. Самые простые выражения учатся решать школьники начальных классов.
Если посмотреть на процесс шире, и выйти за пределы стандартной школьной программы, можно увидеть, что с помощью таких действий можно решать выражения с отрицательными числами.
Пример:
2+(-1)-(-4).
В итоге после раскрытия получаем:
2-1+4
Можно раскрывать скобки в выражениях с числовым и буквенным произведением. В данном случае произведение будет заменено суммой:
(x+y)*(z+e) заменяем на x*z+x*e+y*z+y*e.
Раскрытие скобок в математике может предполагать работу с дробями, уравнениями, и прочими видами переменных. Рассмотрим подобный пример более детально:
y2 *(2/b+√y-cos(a))
После преобразования будет иметь следующий вид:
у2 *2/b+y2*y-y2*cos(a)
Есть еще одна особенность, которая заслуживает внимания. Правила раскрытия скобок не исключают возможности оформления преобразованного выражения с исходным через знак равенства. Берем пример 2-(6-4). Если мы преобразуем его, получим: 2-6+4. Между исходным и полученным вариантами можно поставить знак равенства: 2-(6-4)=2-6+4
Если приходится решать длинные примеры со множеством действий, может потребоваться записывать промежуточные результаты:
5-(3-(2-1))=5-(3-2+1)=5-3+2-1 или 5-(3-(2-1))=5-3+(2-1)=5-3+2-1
Раскрытие скобок и приведение подобных с примерами
Правила и закономерности раскрытия скобок зависят от того, какие числа или буквенные выражения заключены в скобках.
Одиночные цифры в скобках
В скобках могут быть размещены, как положительные, так и отрицательные числа. Начнем с положительных цифр. Для более детального и понятного разбора любое положительное число представим, как x. В таком случае можно заменить x на x, +(x) на +x, -(x) на –x.
Теперь возьмем реальный пример, где вместо x будут числовые значения. В соответствии с правилом, число 4 мы представим, как 4, выражение 2+(4) будет иметь вид 2+4 в связи с тем, что +(4) преобразуется в +4. Выражение 2+(-4) при раскрытии скобок будет выглядеть, как 2-4, так как +(-4) аналогично -4.
Если имеет дело с положительными цифрами, скобки можем просто опустить, так как они не имеют никакого смысла.
Из приведенных выше примеров вытекает первое правило:
Если перед скобками стоит знак плюс, то все числа, которые стоят внутри, сохраняют свой знак.
Формулы
Формула раскрытия скобок:
[(a-b)=a-b]
Если внутри расположено одиночное отрицательное число, то скобки раскрываются следующим образом:
+(-x) будет выглядеть, как –x
-(-x) будет выглядеть, как +x.
Отсюда вытекает еще одно правило раскрытия скобок.
Если впереди стоит знак минус, то все цифры внутри меняют знак на противоположный.
Формула будет выглядеть следующим образом.
[-(a-b)=-a+b]
Если перед скобками нет никакого знака, а внутри них отрицательное число, то скобки просто опускаются, и минус сохраняется.
Примеры:
- (-2) превратится в -2;
- (-1)+2 превратится в -1+2;
- 5+(-2) будет иметь вид 5-2;
- -(-1) превратится в +1.
Преобразование выражений, где есть произведение, происходит по-другому. Выражение 2*(-1) записать, как 2*-1 невозможно.
Согласно правилам разность b-a равна b+(-a). Исходя из этого, можно сформировать цепочку:
(b+(-a))+a=b+((-a)+a)=b+0=b, что будет вполне закономерно.
Эта цепочка доказывает, что b+(-a) это та же разность b-a.
Если опираться на основы вычитания и правила вычитания отрицательных чисел, то мы получим:
- -(-b)=b;
- b-(-a)=b+a.
Иногда встречаются выражения с большим количеством скобок. Раскрытие скобок и приведение подобных в таких примерах производится последовательно с учетом всех существующих правил.
Рассмотрим подробнее. Если взять выражение -(-((-(2)))), то избавляться от скобок стоит, начиная изнутри выражения:
-(-((-(2))))=-(-((-2)))=-(-(-2))=-(2)=-2.
Под буквами a и b можно понимать не только буквенные, но и любые численные выражения, которые имеют впереди знак плюс и не рассматриваются в контексте сложения или вычитания. В таких случаях правила действуют точно так же, как и в рассмотренных примерах.
К примеру, после раскрытия скобок выражение [-(-2 cdot x)-left(x^{2}right)+left(-frac{1}{x}right)-left(2 cdot x cdot y^{2}: zright)] примет вид [2 cdot x-x^{2}-frac{1}{x}-2 cdot x cdot y^{2}: z ]. Как мы это сделали? Мы знаем, что [-(-2 cdot x)] есть [+2 cdot x], а так как это выражение стоит вначале, то [+2 cdot x] можно записать как [2 cdot x,-left(x^{2}right)=-x^{2}], [+left(-frac{1}{x}right)=-frac{1}{x} n-left(2 cdot x cdot y^{2}: zright)=-2 cdot x cdot y^{2}: z].
Правила раскрытия скобок с произведением двух чисел
Наиболее типичный случай – когда x и y – это две положительные цифры. В таком случае если мы берем две отрицательных цифры, то их произведение будет выглядеть так:
(-x)*(-y)=(x*y)
Если две цифры имеют противоположные знаки, то выражение преобразование произведения будет выглядеть так:
(-x)*(y) или (x)*(-y) = (-x*y)
Умножение двух отрицательных чисел дает в итоге положительное, а произведение плюса на минус или минуса на плюс дает минус.
Если речь идет о первой части приведенного примера, то будем использовать правило произведения двух отрицательных множителей. Во втором случае применено правило произведения цифр с разными знаками.
Примеры
Возьмем произведение двух отрицательных цифр -5 и -3/4. Пример записываем следующим образом:
[(-5*-3/4)=(5*3/4)=5*3/4.]
Когда перед нами два простых отрицательных числа, произведение будет таким:
[(-1)*(-3)=1*3]
Знаки при раскрытии скобок играют ключевую роль независимо от того, приходится умножать, отнимать или слагать.
Пример произведения чисел с разными знаками:
[(-6)*(4)=6*4]
Если нам нужно разделить, то предварительно потребуется избавиться от скобок:
[(-6)/(3)=-6/3]
Произведение трех и более множителей
Чтобы правильно решать подобные примеры, потребуется применить следующее правило: при наличии четного количества отрицательных цифр скобки просто опускаются, знак меняется на противоположный. Полученный пример полностью берется в скобки.
Если количество множителей нечетное, скобки убираются, знак меняется на противоположный. Полученное выражение вновь помещается в скобки, перед которыми ставится знак «-».
Примеры
[2*(-4)*(-3)]
Мы имеем три множителя, два из которых отрицательные. Это четное число, значит, мы можем преобразовать выражение так:
[(2*4*3)]
Потом можно просто опустить скобки и записать произведение без них:
[2*4*3]
Теперь возьмем для рассмотрения иной пример:
[(-1.5)*(-2)/(-3)*9/(-2.5)*(-5)]
В данном примере всего 6 чисел, пять из которых отрицательные.
Следовательно:
[(-1.5*2/3*9/2.5*5)]
Опускаем скобки и получается:
[-1.5*2/3*9/2.5*5]
Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «плюс»
Простейший пример – когда перед скобками стоит знак «плюс», а внутри простые однозначные числа, которые не делятся и не умножаются. В соответствие с правилом знак вместе со скобками просто опускаются, а цифры внутри него знаков не меняют.
Пример:
(10-4)-1
Скобки просто убираем, все знаки цифр внутри сохраняем: +10-4-1=10-4-1
Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «минус»
В качестве примера возьмем выражение, в котором впереди стоит знак «минус», а внутри однозначные числа, которые не делятся и не множатся.
Правило простое: скобки и минус опускаются, все знаки внутри меняются на противоположные.
Образец подобного выражения:
-(-5)=5
Раскрытие скобок, если они умножаются на одиночное число или выражение
Формула будет выглядеть так:
[(a 1 pm a 2 pm ldots pm a n) cdot b=(a 1 cdot b pm a 2 cdot b pm ldots pm a n cdot b)] или [b cdot(a 1 pm a 2 pm ldots pm a n)=(b cdot a 1 pm b cdot a 2 pm ldots pm b cdot a n), text { где } a 1, a 2, ldots, text { an и } b] — некоторые числа или выражения.
Рассмотрим преобразование выражений на простом примере:
2*(8-5)
Если действовать по правилам, получаем:
2*8-2*5
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Раскрытие скобок при произведении одной скобки на другую
Чтобы понять правило, рассмотрим общий макет:
(x1+x2)*(y1+y2)
Чтобы упростить поставленную задачу, (y1+y2) пометим, как y.
В результате получим преобразованное выражение, где можно применить правило умножения скобки на выражение.
(x1+x2)*(y1+y2)= (x1+x2)*y=(x1*y+x2*y)= x1*y+x2*y
Теперь возвращаемся обратно и производим снова замену, только теперь уже y на первоначальное (y1+y2).
Получаем:
x1*(y1+y2)+x2(y1+y2)=(x1*y1+x1*y2)+(x2*y1+x2*y2)= x1*y1+x1*y2+x2*y1+x2*y2
Полученную формулу можно применять для любых выражений, независимо от количества составляющих. В конечном счете, мы всегда приходим к сумме произведений каждого слагаемого первой скобки на каждое из слагаемых второй и последующих составляющих.
Раскрытие скобок с произведением двух и более множителей
Если выражение содержит три и более составляющих со скобками, каждые из них раскрываются поочередно в той последовательности, в которой идут в примере.
(3+1)*2*(6+4)
Здесь видим три множителя:
- первый (3+1);
- второй 2;
- третий (6+4).
(3+1)*2*(6+4)=( (3+1)*2)*(6+4)
Используем все то же умножение правило преобразования при умножении скобку на одиночное число:
(2*3+2*1)*(6+4)=2*3*6+2*3*4+2*1*6+2*1*4
Скобки в натуральной степени
Степени, основания которых представлены выражениями в скобках, при условии, что множители – натуральные числа, можно преобразовывать, как произведение двух и более скобок.
Формула в данном случае выводится следующая:
Рассмотрим процесс преобразования выражения [(a+b+c)^{2}] . Ero можно записать в виде произведения двух скобок [(a+b+c) cdot(a+b+c) ]. Произведем умножение скобки на скобку и получим [a cdot a+a cdot b+a cdot c+b cdot a+b cdot b+b cdot c+c cdot a+c cdot b+c cdot c].
Деление одной скобки на другую или на одиночную цифру
Деление на одиночное число предусматривает деление каждого слагаемого на это число:
(a3-a)/2=a3/2-a/2
В сложных ситуациях можно заменить деление произведением и применить правило умножения скобки на число. Эту же закономерность можно использовать, если речь идет о двух скобках.
Пример:
[left(frac{1}{x}+x+1right):(x+2)]
Заменим деление умножением: [left(frac{1}{x}+x+1right) cdot frac{1}{x+2}].
Выполним умножение: [left(frac{1}{x}+x+1right) cdot frac{1}{x+2}=frac{1}{x} cdot frac{1}{x+2}+x cdot frac{1}{x+2}+1 cdot frac{1}{x+2} ].
Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени. Порядок выполнения действий:
- первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
- на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных; -заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.
