Здравствуйте, дорогие читатели, подписчики и гости канала. В этой статье рассмотрим различные вычисления с дробями, которые встречаются в шестом задании ОГЭ по математике. В июле 2.07.2021 года состоится последняя пересдача по математике в основной этап. Дополнительный этап будет уже в сентябре.
Давайте начнем разбор заданий.
1) Умножение дробь на дробь. Чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель умножить на числитель, знаменатель на знаменатель, при возможности сократить.
2) Деление дроби на дробь. При делении дробь на дробь, первая дробь переписывается, вторая дробь переворачивается, а деление заменяется на умножение.
3) Вычитание и умножение дробей. Несколько действий.
Способ №1. Находим общий знаменатель при вычитании. Чтобы найти общий знаменатель, нужно найти такое число, которое будет делиться на первое и второе число. В нашем случае это числа 10 и 20. Общий знаменатель 20.
Способ №2. Распределительный закон умножения. Чтобы умножить число на сумму можно умножить это число на каждое слагаемое, и результат сложить. Также это действует и при вычитании.
Также встречаются выражения, в которых не стоит находить общий знаменатель, поскольку это будет сложно. Приведу два примера:
Пример №1
Пример №2
4) Умножение целого числа на дробь. При умножении целого числа на дробь, целое число умножается на числитель, а знаменатель остается без изменений.
5) Сложение, деление и умножение смешанных чисел.
При сложении, вычитании, умножении и делении смешанных чисел иногда легче перевести смешанное число в неправильную дробь. Чтобы смешанное число перевести в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель, к полученному значению прибавить числитель дробной части и записать это в числитель, а знаменатель оставить прежним.
6) Вынесение общего множителя за скобку.
7) Действия с десятичными дробями
В итоге у нас получилось, что числитель дроби умножили на 100 (10*10=100), значит и знаменатель дроби тоже умножаем на 100, чтобы значение дроби не изменилось.
И еще один пример:
8) Десятичные дроби и действия со степенями
При возведении отрицательного числа в четную степень, получится число положительное. При возведении отрицательного числа в нечетную степень, получится число отрицательное.
И последнее выражение
Для отработки этих примеров, можно воспользоваться сайтом. Там много аналогичных задания, а эта статья вам будет в помощь при их решений.
Спасибо, что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.
Формулировка задачи: Найдите значение выражения (деление дробей).
Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 1 (Действия с дробями).
Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примерах.
Пример задачи 1:
Найдите значение выражения:
Решение:
Вычислим значение выражения. Для этого преобразуем смешанные числа в неправильные дроби, перевернем вторую дробь и изменим знак деления на умножение, сократим дроби и выполним умножение:
Ответ: 10
Пример задачи 2:
Найдите значение выражения 0,86: 43/20.
Решение:
Вычислим значение выражения. Для этого переведем обе дроби в обыкновенные или десятичные, перевернем вторую дробь и изменим знак деления на умножение, сократим дроби и выполним умножение. При необходимости переведем результат в десятичную дробь:
Ответ: 0,4
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике 5-9 класс
- Обыкновенные дроби
- Деление и дроби
Не всегда можно одно натуральное число разделить на другое, так, например, 2 нельзя разделить на 3, в таком случае деление можно заменить дробью 
, т.е. 2 : 3 = .
Пример:
= 3 : 5; 
= 5 : 3.
В результате деления двух натуральных чисел может получится натуральное число или дробное число.
Пример:
20 : 4 = 
= 5; 13 : 25 = 
; 45 : 4 = 
.
Пример:
а) 1 = 
= 
= … = 
= …, т.к. = 2 : 2 = 1, = 3 : 3 = 1, …, = 100 : 100 = 1, ….
Получаем, что число 1 можно представить в виде дроби, у которой числитель и знаменатель равны.
б) 7 = 
= 
= 
= …, т.к. = 7 : 1 = 7, = 14 : 2 = 7; = 21 : 3 = 7 ….
Свойство деления суммы на число
Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные частные.
Пример:
(64 + 72) : 8 = 64 : 8 + 72 : 8 = 8 + 9 = 17.
Дробные выражения
Частное от деления одного выражения на другое можно записать с помощью черты дроби. Например, выражение (3,5 – 1,1) : (7,3 + 2,7) можно записать в виде 
. А выполнив действия в числителе и в знаменателе полученной дроби, найдем значение данного выражения: 
.
Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначен чертой, называют дробным выражением.
К дробным выражениям относятся:
Числитель дробного выражения – выражение, стоящее над чертой.
Знаменатель дробного выражения – выражение, стоящее под чертой.
Обратите внимание, в числителе и в знаменателе дробного выражения могут стоять любые числа (натуральные числа, обыкновенные дроби, десятичные дроби и т.д.), а также числовые или буквенные выражения (смотри примеры выше).
Если числитель и знаменатель дробного выражения разделить или умножить на одно и то же число отличное от нуля, то получим дробное выражение, равное данному. Данное свойство часто используют, когда преобразуют дробное выражение с десятичными дробями в обыкновенную дробь.
Пример:
, обычно запись упрощают, и пишут так: 
.
То есть, получается, что мы переносим запятую в числителе и знаменателе дробного выражения на одинаковое количество цифр вправо, при этом если в одном числе цифр после запятой больше, чем в другом, то переносим запятую на большее количество цифр, а там где цифр после запятой меньше дописываем нули.
Пример:
.
Советуем посмотреть:
Доли. Обыкновенные дроби
Сравнение дробей
Делители и кратные
Признаки делимости на 10, на 5 и на 2
Четные и нечетные числа
Признаки делимости на 9 и на 3
Простые и составные числа
Разложение на простые множители
Наибольший общий делитель
Наименьшее общее кратное
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Смешанное число
Сложение и вычитание смешанных чисел
Основное свойство дроби
Решето Эратосфена
Приведение дробей к общему знаменателю
Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Умножение обыкновенных дробей
Деление обыкновенных дробей
Обыкновенные дроби
Правило встречается в следующих упражнениях:
5 класс
Задание 1053,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1056,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1078,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1089,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1091,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1103,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1675,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Номер 759,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 765,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1120,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
6 класс
Номер 649,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1167,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 698,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 763,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 782,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 816,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 848,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1230,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1280,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1503,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
7 класс
Номер 221,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 253,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 256,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 641,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 853,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 873,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 882,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1027,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1035,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 5,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
8 класс
Номер 7,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 12,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 111,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 217,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 277,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 280,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 309,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 364,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 397,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 398,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
С дробями можно выполнять все действия, в том числе и деление. Данная статья показывает деление обыкновенных дробей. Будут даны определения, рассмотрены примеры. Подробно остановимся на делении дробей на натуральные числа и наоборот. Будет рассмотрено деление обыкновенной дроби на смешанное число.
Деление обыкновенных дробей
Деления является обратным умножению. При делении неизвестный множитель находится при известном произведении и другого множителя, где и сохраняется его данный смысл с обыкновенными дробями.
Если необходимо произвести деление обыкновенной дроби ab на cd, тогда для определения такого числа нужно произвести умножение на делитель cd, это даст в итоге делимое ab. Получим число и запишем его ab·dc, где dc является обратным cd числу. Равенства можно записать при помощи свойств умножения, а именно: ab·dc·cd=ab·dc·cd=ab·1=ab, где выражение ab·dc является частным от деления ab на cd.
Отсюда получим и сформулируем правило деления обыкновенных дробей:
Чтобы разделить обыкновенную дробь ab на cd, необходимо делимое умножить на число, обратное делителю.
Запишем правило в виде выражения: ab:cd=ab·dc
Правила деления сводятся к умножению. Чтобы придерживаться его, нужно хорошо разбираться в выполнении умножения обыкновенных дробей.
Перейдем к рассмотрению деления обыкновенных дробей.
Выполнить деление 97 на 53. Результат записать в виде дроби.
Решение
Число 53 – это обратная дробь 35. Необходимо использовать правило деления обыкновенных дробей. Это выражение запишем так: 97:53=97·35=9·37·5=2735.
Ответ: 97:53=2735.
При сокращении дробей следует выделять целую часть, если числитель больше знаменателя.
Разделить 815:2465. Ответ записать в виде дроби.
Решение
Для решения нужно перейти от деления к умножению. Запишем это в такой форме: 815:2465=2·2·2·5·133·5·2·2·2·3=133·3=139
Необходимо произвести сокращение, а это выполняется следующим образом: 8·6515·24=2·2·2·5·133·5·2·2·2·3=133·3=139
Выделяем целую часть и получаем 139=149.
Ответ: 815:2465=149.
Деление необыкновенной дроби на натуральное число
Используем правило деления дроби на натуральное число: чтобы разделить ab на натуральное число n, необходимо умножить только знаменатель на n. Отсюда получим выражение: ab:n=ab·n.
Правило деления является следствием правила умножения. Поэтому представление натурального числа в виде дроби даст равенство такого типа: ab:n=ab:n1=ab·1n=ab·n.
Рассмотрим данное деление дроби на число.
Произвести деление дроби 1645 на число 12.
Решение
Применим правило деления дроби на число. Получим выражение вида 1645:12=1645·12.
Произведем сокращение дроби. Получим 1645·12=2·2·2·2(3·3·5)·(2·2·3)=2·23·3·3·5=4135.
Ответ: 1645:12=4135.
Деление натурального числа на обыкновенную дробь
Правило деления аналогично правилу деления натурального числа на обыкновенную дробь: чтобы разделить натуральное число n на обыкновенную ab, необходимо произвести умножение числа n на обратное дроби ab.
Исходя из правила, имеем n:ab=n·ba, а благодаря правилу умножения натурального числа на обыкновенную дробь, получим наше выражение в виде n:ab=n·ba. Необходимо рассмотреть данное деление на примере.
Делить 25 на 1528.
Решение
Нам необходимо переходить от деления к умножению. Запишем в виде выражения 25:1528=25·2815=25·2815. Сократим дробь и получим результат в виде дроби 4623.
Ответ: 25:1528=4623.
Деление обыкновенной дроби на смешанное число
При делении обыкновенной дроби на смешанное число легко можно свети к делению обыкновенных дробей. Нужно совершить перевод смешанного числа в неправильную дробь.
Разделить дробь 3516 на 318.
Решение
Так как 318 – смешанное число, представим его в виде неправильной дроби. Тогда получим 318=3·8+18=258. Теперь произведем деление дробей. Получим 3516:318=3516:258=3516·825=35·816·25=5·7·2·2·22·2·2·2·(5·5)=710
Ответ: 3516:318=710.
Деление смешанного числа производится таким же образом, как и обыкновенных.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
План урока:
Умножение обыкновенных дробей
Нахождение дроби от числа
Деление обыкновенных дробей
Нахождение числа по заданному значению его дроби
Дробные выражения
Умножение обыкновенных дробей
Разберем ситуацию.
На уроке технологии девочки занимались выпечкой. Они готовили печенье. По рецепту на изготовление одного килограмма печенья уходит 3/8 килограмма сахара. Сколько сахара необходимо принести детям, чтобы приготовить 1/2 килограмма печенья?
Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нам необходимо узнать количество сахара нужное для изготовления 1/2 килограмма печенья. По условию, мы знаем, что для выпечки 1 кг лакомства требуется 3/8 кг сахара. Следовательно, чтобы вычислить требуемую массу сахарного песка необходимо найти произведение 3/8 и 1/2 . Известные множители представлены в виде обыкновенных дробей. Чтобы выполнить умножение обыкновенных дробей нужно использовать правило:
числитель умножаем на числитель, а знаменатель на знаменатель. Первый результат пишем над чертой дроби, второй под чертой:
Получается, чтобы испечь нужное количество печенья школьницы должны подготовить 3/16 килограмма сахарного песка.
Нахождение дроби от числа
Разберем следующую ситуацию и узнаем, как найти дробь от числа.
Вениамин очень любит уроки изобразительного искусства. В его альбоме для рисования 48 листов. Мальчик удивленно заметил, что своими рисунками уже заполнил 7/8 альбома. Сколько всего рисунков получилось у школьника?
Задачу можно решить двумя способами. Подробно рассмотрим каждый из них.
Способ 1.
Чтобы ответить на главный вопрос задачи нам нужно узнать, сколько листов соответствует записи 7/8. Для этого давайте вспомним, о чем нам говорят компоненты дробных выражений:
Теперь, можно сказать, что весь альбом разделили на 8 частей, а использовали только 7. Попробуем посчитать. Вначале, делим 48 на 8:
48 : 8 = 6.
6 листов приходится на 1/8 часть альбома. Зная, что таких частей было взято 7, найдем произведение 6 и 7 :
6 × 7 = 42.
Мы выяснили, что Вениамин нарисовал 42 рисунка.
Для решения задачи таким способом, нужно выполнить два действия, а это не всегда удобно. Так же, такой способ может вызывать трудности при вычислениях, если компоненты не делятся нацело.
В таких ситуациях, логичнее будет использование второго способа.
Способ 2.
По условию нам известно число и часть этого числа, выраженная обыкновенной дробью. Нужно найти числовое значение соответствующее данной дроби. Задания такого вида имеют собственное название «Нахождение дроби от числа» и правило, используя, которое можно с легкостью вычислить любое числовое значение соответствующее дробному выражению:
Применим изученное правило на практике. Чтобы найти 7/8 от 48 нам нужно, просто умножить 7/8 на 48:
Мальчик нарисовал 42 рисунка.
Запомните оба способа, и применяйте их для решения различных заданий.
Деление обыкновенных дробей
Разберем пример.
Строительная бригада выполняла ремонт городской дороги.На ремонт определенного участка дороги, рабочие потратили 7/9 тонны асфальта. Определите, сколько километров дороги отремонтировали рабочие, если на ремонт одного километра уходит 3/7 тонны строительного материала.
По условию нам известно, что всего было использовано 7/9 тонны материала, при этом мы знаем, что на один километр требуется 3/7 тонны. Чтобы ответить на главный вопрос задачи нужно количество использованного асфальтаразделить на количество строительного материала, необходимое для починки одного километра. В результате мы получим число отремонтированных километров. В данном случае, в качестве делимого и делителя выступают обыкновенные дроби. И перед нами возникает проблема «Как же выполнить деление обыкновенных дробейс разными знаменателями?».
В арифметике на этот случай имеется определенное правило, которое расскажет, как выполнить деление обыкновенных дробей.
Выполним деление имеющихся чисел с применением рассмотренного правила
Выполним деление, имеющихся дробных чисел с применением рассмотренного правила. Разделим 7/9 на 3/7. Делимое 7/9 оставляем без изменений, а делитель 3/7 переворачиваем, и получаем 7/3. Находим произведение данных выражений:
Все очень просто. Главное помните, что при выполнении деления дробей с разными знаменателями делитель переворачиваем и находим произведение перевернутого делителя и делимого!
Нахождение числа по заданному значению его дроби
В школе проходила неделя экологии. Учащиеся шестого класса были приглашены лесничеством на высадку деревьев. До обеда, ребята высадили 6/11 всех саженцев. Сколько растений осталось высадить школьникам, если до обеда дети высадили 54 дерева?
Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно определить число по заданному значению его дроби. В арифметике существует правило, используя, которое возможно с легкостью найти любое число по значению его дроби:
Теперь мы знаем, что для вычисления общего количества саженцев, нужно известное значение дроби разделить на саму дробь. Зная, что число – 54, а дробь – 6/11, имеем:
В результате получили неправильную дробь. Выделим из полученного произведения целую часть.Для этого разделим числитель на знаменатель:
594 : 6 = 99.
Выходит, что за целый день школьникам нужно высадить 99 растений.
В математике часто встречаются задания, в которых требуется вычислить значение «многоэтажных» дробей. Как называются такие дробные выражения, каким способом их вычислять рассмотрим далее.
Дробные выражения
Когда ученик видит в учебнике задание в виде выражения:
то желание заниматься математикой сразу пропадает. Сегодня мы узнаем,как решать дробные выражения и докажем, что даже такие выражения совершенно не сложные, и выполнить вычисления сможет каждый желающий после изучения нашего урока!
Никого не пугает запись обыкновенной дроби – 3/7, 4/15, 8/14.
Каждый понимает, что дробная черта заменяет привычный знак деления – : .
Например:
10/21 = 10 : 21 или 7/18 = 7 : 18.
Выходит, что частное чисел или выражений, в случае замены знака деления чертой дроби, называют дробным выражением.
Вот так, проведя два простых вычисления, мы выполнили задание, вызывающее недоумение у школьников. Математика интересная и простая наука. Если приложите немного внимания и терпения, то результат не заставит себя ждать!
Знаешь ли ты?
1) Ученые – селекционеры вывелиновый вид яблонь. Удивительным является то, что корни растения уходит в землю более чем на 49/50километра (около 980 метров), а общая длина корневища достигает 4000 метров.
2) За всю жизнь человек выпивает примерно 75 тонн воды. Подсолнечнику, например, достаточно 1/4 тонны(250 литров), чтобы вырасти и принести семена.
3) Италия в который раз удивила весь мир. Около вулкана Этна растет каштан, диаметр ствола которого, составляет,3/50 километра (около 60 метров),это чуть ли не половина футбольного стадиона.
4) Пальма Рафия Тедигера встречается только в Бразилии. Она интересна тем, что её листья имеют гигантские размеры. Черенок листка достигает1/200 километра (5 метров), длина листика – более1/50 километра (более 20 метров), ширина – более 5 метров (1/200 километра).
5) По сообщениям ихтиологов(ученых, занимающихся изучением рыб), самую большую длину в мире,имеют ремень-рыбы. Во взрослом возрасте они достигают длины более 1/100километра(более 10 метров), а длина молодых особей находится в пределах 0,003 километра или 3 метров.
