Как найти значение выражения с минусовой степенью

Прежде чем перейти к изучению определения «отрицательная степень» рекомендуем повторно
прочитать урок
«Степень»
и «Свойства степеней».

Необходимо уверенно понимать, что такое положительная степень числа и уверенно использовать её свойства в решении
примеров.

Как возвести число в отрицательную степень

Примеры возведения в отрицательную степень.

• 6⁻² = =
• (−3)⁻³ = = = −
• 0,2⁻² = =

Примеры возведения в нулевую степень.

• ()⁰ = 1
• (−5)⁰ = 1
• d⁰ = 1

Как найти 10 в минус 1 степени

В уроке 8 класса «Стандартный вид числа» мы уже сталкивались с записью:

10⁻¹ = 0,1

Теперь, зная определение отрицательной степени, давайте разберемся, почему «10» в минус первой степени равно
«0,1».

Возведем «10⁻¹» по правилам отрицательной степени.

Перевернем «10» и запишем её в виде дроби
«

»
и заменим отрицательную степень
«−1» на
положительную степень «1».

Возведем «10» в «1» степень. Помним, что любое число в первой степени равно самому числу.

Теперь по определению десятичной дроби запишем обыкновенную дробь в виде десятичной.

По такому же принципу можно найти «10» в минус второй, третьей и т.д.

Проверим правило выше для «10⁻²».

Т.к. у нас степень «−2», значит, будет всего один ноль (положительное
значение степени «2 − 1 = 1». Сразу после запятой ставим один ноль и за ним «1».

Рассмотрим «10⁻¹».

Т.к. у нас степень «−1», значит, нулей после запятой не будет (положительное
значение степени «1 − 1 = 0». Сразу после запятой ставим «1».

То же самое правило работает и для «10⁻¹²». При переводе в десятичную дробь будет
«12 − 1 = 11 » нулей и «1» в конце.

10⁻¹² = 0,000 000 000 001

Как возвести в отрицательную степень дробь

Пример. Требуется возвести в отрицательную степень дробь.

Перевернем дробь «

»
и заменим отрицательную степень «−3» на положительную «3».

Возведем дробь в положительную степень по правилу возведения дроби в положительную степень.
Т.е. возведем и числитель «3», и знаменатель «10» в третью степень.

()⁻³ = ()³ =

=

Для более грамотного ответа запишем полученный результат в виде десятичной дроби.

()⁻³ = ()³ =

= = 0,027

Как возвести отрицательное число в отрицательную степень

Как и при возведении отрицательного числа в положительную степень, в первую
очередь необходимо определить конечный знак результата возведения в степень. Вспомним основные правила еще раз.

Пример.

(−5) ⁻² =

Перевернем число «−5» и заменим отрицательную степень
«−2»
на положительную
«2».

Так как степень «2» — четная, значит, результат возведения в степень будет
положительный. Поэтому
убираем знак минуса при раскрытии скобок.

Далее откроем скобки
и возведем во вторую степень и числитель «1»,
и знаменатель «5».

Как возвести отрицательную дробь в отрицательную степень

Конечный знак результата возведения в степень отрицательной дроби определяется по тем же правилам, что и для целого отрицательного числа.

Разберемся на примере. Задание: возвести отрицательную дробь
«(− )»
в «−3» степень.

По правилу возведения дроби в отрицательную степень перевернем дробь и заменим отрицательную степень «−3» на положительную
«3».

Теперь определим конечный знак результата возведения в «3» степень.

Степень «3» — нечетная, значит, по правилу возведения отрицательного числа в степень дробь
останется отрицательной.

Нам остается только раскрыть скобки и возвести в степень и числитель «3», и знаменатель
«2» в третью степень.

Для окончательного ответа выделим целую часть из дроби.

---

Рассмотрим другой пример возведения отрицательной дроби в отрицательную степень.

Правило возведения отрицательного числа в степень гласит: если степень четная, значит, результат возведения
будет положительным.

Свойства отрицательной степени

Все свойства степени, которые используются для положительной степени,
точно также применяются и для отрицательной степени.

В этом уроке мы не будем повторно подробно разбирать каждое свойство степени, но еще раз приведем основные формулы свойств степени
и покажем примеры их использования.

Примеры решений заданий с отрицательной
степенью

Разбор примера

Представить в виде степени.

Разбор примера

Записать в виде степени с отрицательным числом.

Разбор примера

Вычислить.

Разбор примера

Выполнить действия.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Запись an означает что число a должно быть умножено n раз:

Пример 1. 5³=5*5*5=125

Деление это обратная операция умножению. Отрицательная степень означает сколько раз нужно разделить число.

Число в отрицательной степени a-n может быть записано в виде:

Пример 2. 5^-3=1÷5÷5÷5=0,008

Пример 2 может быть записан в виде.

Определение. Если a≠0 и n – целое отрицательное число, то

---

Для вычисления числа a^-n в отрицательной степени нужно:

1.Вычислить aⁿ

2.Затем разделить 1 на полученный результат, т.е.

В статье рассмотрим  степень с целым отрицательным показателем: определения, виды, вычисление степени, формулы для быстрого расчета.

Примеры степени с целым отрицательным показателем выглядят следующим образом: 2⁻², 10⁻⁷, a⁻⁸.

Чтобы разобраться с ними, рассмотрим следующую последовательность степеней: 2⁻⁵, 2⁻⁴, 2⁻³, 2⁻², 2⁻¹, 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵.

• Степень с натуральным показателем в этой последовательности: 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵
• Нулевая степень в этой последовательности это степень 2⁰.
• Предыдущая степень с целым показателем будет уже с отрицательным показателем и выглядеть как 2⁻¹. Степень с целым отрицательным показателем в этой последовательности: 2⁻⁵, 2⁻⁴, 2⁻³, 2⁻², 2⁻¹.

Вычисление степени с целым отрицательным показателем

В отрицательную степень число возводится по-другому: если при возведении в положительную степень число увеличивается, то при возведении в отрицательную степень это число наоборот уменьшается.

Например, возьмём число 2 и возведем его  в неотрицательную степень:

• нулевая степень: 2⁰ =1
• степень с нутуральным показателем: 
  2¹=2,
  2²=2*2=4,
  2³=2*2*2=8,
  2⁴=2*2*2*2=16 и т.д.

Получили последовательность чисел, в которой каждое число больше следующего числа в 2 раза. Тогда логично предположить, что число, располагающееся до единицы, будет в два раза меньше единицы. Его можно получить, если 1 разделить на 2.

• Получается, что степень 2⁻¹ =1/2. 
• Предыдущее число 2⁻² должно быть в два раза меньше, чем 2⁻¹. Чтобы его получить разделим  на 2 и получим  2⁻² =1/(2*2)=1/4. 
• Предыдущее число 2⁻³ должно быть в два раза меньше, чем 2⁻². Чтобы его получить разделим  на 2 и получим  2⁻³ =1/(2-2*2)=1/8. 

Заметим, что в данной последовательности значения степеней с отрицательными показателями являются обратными числами к значениям степеней с натуральными показателями:

• Значение степени в 2² есть число 4, а значение степени 2⁻² есть число 1/4. Числа 4 и 1/4 являются обратными друг другу.
• Значение степени в 2³ есть число 8, а значение степени 2⁻³ есть число 1/8. Числа 8 и 1/8 являются обратными друг другу.

Можно сделать вывод, что для вычисления степени с отрицательным показателем, нужно записать дробь,  в числителе которой единица, а в знаменателе та же самая степень, но с противоположным показателем.

Данное правило можно доказать, используя правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Допустим, нам нужно высислить степень в целым отрицательным показателем 2⁻². Использую правило деления степеней с одинаковыми основаниями записшем 2⁻² как  2^(3-5) = 2³ : 2⁵. Запишем это деление в виде дроби. Получим:

Пример 1. Найти значение выражения 3⁻³

Пример 2. Найти значение выражения (-2/3)⁻³

Желательно уметь возводить обыкновенную дробь в отрицательную степень как с помощью формулы, так и без неё.

Тождественные преобразования степеней с целым отрицательным показателем

Все тождественные преобразования, которые мы рассматривали при изучении степени с натуральным показателем, сохраняются и для степеней с целыми отрицательными показателями.

Пример 3. Найти значение выражения 2⁻¹ × 2⁻³.
Воспользуеся основным свойством степени:
2⁻¹ × 2⁻³ = 2^{−1 + (−3)} = 2⁻⁴=1/16 

Пример 4. Найти значение выражения 5⁻¹⁵ × 5¹⁶.
Воспользуемся основным свойством степени:
5⁻¹⁵ × 5¹⁶ = 5^{−15 + 16} = 5¹ = 5

Пример 5. Найти значение выражения (10⁻⁴)⁻¹
Воспользуемся правилом возведения степени в степень:
(10⁻⁴)⁻¹ = 10^{−4 × (−1)} = 10⁴ = 10000

Пример 6. Найти значение выражения (10⁻⁶)/(5⁻⁶)
Представим число основание 10 в виде произведения 2×5. Тогда числитель примет вид (2×5)⁻⁶

Отрицательная степень числа: правила возведения и примеры

В одной из предыдущих статей мы уже упоминали о степени числа. Сегодня мы постараемся сориентироваться в процессе нахождения ее значения. Научно говоря, мы будем выяснять, как правильно возводить в степень. Мы разберемся, как производится этот процесс, одновременно затронем все вероятные показатели степени: натуральный, иррациональный, рациональный, целый.

Итак, давайте подробно рассмотрим решения примеров и выясним, что значит:

1. Определение понятия.
2. Возведение в отрицательную ст.
3. Целый показатель.
4. Возведение числа в иррациональную степень.

Определение понятия

Вот точно отражающее смысл определение: «Возведением в степень называют определение значения степени числа».

Соответственно, возведение числа a в ст. r и процесс нахождения значения степени a с показателем r — это идентичные понятия. К примеру, если стоит задача вычислить значение степени (0,6)6″, то ее можно упростить до выражения «Возвести число 0,6 в степень 6».

После этого можно приступать напрямую к правилам возведения.

Возведение в отрицательную степень

Минусовая степень обозначает, что число множат на него самого такое количество раз, какое значится в ст., а после этого единицу делят на вычисленный результат.

Для наглядности следует обратить внимание на такую цепочку выражений:

110=0,1=1* 10 в минус 1 ст.,

1100=0,01=1*10 в минус 2 степ.,

11000=0,0001=1*10 в минус 3 ст.,

110000=0,00001=1*10 в минус 4 степeни.

Благодаря данным примерам можно четко просмотреть возможность моментально вычислить 10 в любой минусовой степени. Для этой цели достаточно банально сдвигать десятичную составляющую:

• 10 в -1 степeни — перед единицей 1 ноль;
• в -3 — три нуля перед единицей;
• в -9 — это 9 нулей и проч.

Так же легко понять по данной схеме, сколько будет составлять 10 в минус 5 ст. —

Как возвести число в натуральную степeнь

Вспоминая определение, учитываем, что натуральное число a в ст. n равняется произведению из n множителей, при этом каждый из них равняется a. Проиллюстрируем: (а*а*…а)n, где n — это количество чисел, которые умножаются. Соответственно, чтобы a возвести в n, необходимо рассчитать произведение следующего вида: а*а*…а разделить на n раз.

Отсюда становится очевидно, что возведение в натуральную ст. опирается на умение осуществлять умножение (этот материал освещен в разделе про умножение действительных чисел). Давайте рассмотрим задачу:

Возведите -2 в 4-ю ст.

Мы имеем дело с натуральным показателем. Соответственно, ход решения будет следующим: (-2) в cт. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Теперь осталось только осуществить умножение целых численностей:(-2)*(-2)*(-2)*(-2). Получаем 16.

Ответ на задачу:

Пример:

Вычислите значение: три целых две седьмых в квадрате.

Данный пример равняется следующему произведению: три целых две седьмых умножить на три целых две седьмых. Припомнив, как осуществляется умножение смешанных чисел, завершаем возведение:

• 3 целых 2 седьмых умножить на самих себя;
• равно 23 седьмых умножить на 23 седьмых;
• равно 529 сорок девятых;
• сокращаем и получаем 10 тридцать девять сорок девятых.

Возведение в иррациональную стeпeнь

Касаемо вопроса возведения в иррациональный показатель, следует отметить что расчеты начинают проводить после завершения предварительного округления основы степени до какого-либо разряда, который позволил бы получить величину с заданной точностью. К примеру, нам необходимо возвести число П (пи) в квадрат.

Начинаем с того, что округляем П до сотых и получаем:

П в квадрате = (3,14)2=9,8596. Однако если сократить П до десятитысячных, получим П=3,14159. Тогда возведение в квадрат получает совсем другое чиcло: 9,8695877281.

Здесь следует отметить, что во многих задачах нет надобности возводить иррациональные числа в cтeпeнь. Как правило, ответ вписывается или в виде, собственно, степени, к примеру, корень из 6 в степени 3, либо, если позволит выражение, проводится его преобразование: корень из 5 в 7 cтепeни = 125 корень из 5.

Как возвести чиcло в целую степень

Эту алгебраическую манипуляцию уместно принимать во внимание для следующих случаев:

• для целых чисел;
• для нулевого показателя;
• для целого положительного показателя.

Поскольку практически все целые положительные числа совпадают с массой чисел натуральных, то постановка в положительную целую степень — это тот же процесс, что и постановка в ст. натуральную. Данный процесс мы описали в предшествующем пункте.

Теперь поговорим о вычислении ст. нулевой. Мы уже выяснили выше, что нулевую степень числа a можно определить для любого отличного от нуля a (действительного), при этом a в ст. 0 будет равно 1.

Соответственно, возведение какого угодно действительного числа в нулевую ст. будет давать единицу.

К примеру, 10 в ст.0=1, (-3,65)0=1, а 0 в ст. 0 нельзя определить.

Для того чтобы завершить возведение в целую степень, остается определиться с вариантами целых отрицательных значений. Мы помним, что ст. от a с целым показателем -z будет определяться как дробь. В знаменателе дроби располагается ст. с целым положительным значением, значение которой мы уже научились находить. Теперь остается лишь рассмотреть пример возведения.

Пример:

Вычислить значение числа 2 в кубе с целым отрицательным показателем.

Согласно определению стeпeни с отрицательным показателем обозначаем: два в минус 3 ст. равняется один к двум в третьей cтепeни.

Знаменатель рассчитывается просто: два в кубе;

Ответ: два в минус 3-й ст. = одна восьмая.

Видео

Из этого видео вы узнаете, что делать, если степень с отрицательным показателем.

Отрицательная степень числа

Число с отрицательным показателем степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем.

d -c =	1	; 7 -5 =	1	; a -5 =	1	.
d c	7 5	a 5

Чтобы разобраться, почему число в отрицательной степени равно дроби, надо вспомнить правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Следовательно, если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:

a 5 : a 8 = a 5 — 8 = a -3 .

Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:

Пример 1. Замените дробь степенью с отрицательным показателем:

Пример 2. Представьте в виде степени с отрицательным показателем:

1	= (m + n) -2 .
(m + n) 2

Действия над степенями с отрицательными показателями

При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя:

Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, надо возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:

При возведении одной степени (положительной или отрицательной) в степень (положительную или отрицательную) показатели степеней перемножаются:

Как работает отрицательная степень

Запись a n означает что число a должно быть умножено n раз:

Пример 1. 5 3 =5*5*5=125

Деление это обратная операция умножению. Отрицательная степень означает сколько раз нужно разделить число.

Число в отрицательной степени a -n может быть записано в виде:

Пример 2 может быть записан в виде.

Определение. Если a≠0 и n — целое отрицательное число, то

Для вычисления числа a -n в отрицательной степени нужно:

1.Вычислить a n

2.Затем разделить 1 на полученный результат, т.е.

Воспользуйтесь калькулятором для вычисления числа в отрицательной степени.