Определения и примеры
Одночлен — это произведение чисел, переменных и степеней. Например, выражения 5a, 3ab2 и −62aa2b3 являются одночленами.
Приведём ещё примеры одночленов:
Одночленом также является любое отдельное число, любая переменная или любая степень. Например, число 9 является одночленом, переменная x является одночленом, степень 52 является одночленом.
Приведение одночлена к стандартному виду
Рассмотрим следующий одночлен:
Этот одночлен выглядит не очень аккуратно. Чтобы сделать его проще, нужно привести его к так называемому стандартному виду.
Приведение одночлена к стандартному виду заключается в перемножении однотипных сомножителей, входящих в этот одночлен. То есть числа нужно перемножать с числами, переменные с переменными, степени со степенями. В результате этих действий получается упрощённый одночлен, который тождественно равен предыдущему.
Ещё один нюанс заключается в том, что в одночлене степени можно перемножать только в том случае, если они имеют одинаковые основания.
Итак, приведём одночлен 3a25a3b2 к стандартному виду. В этом одночлене содержатся числа 3 и 5. Перемножим их, получим число 15. Записываем его:
15
Далее в одночлене 3a25a3b2 содержатся степени a2 и a3, которые имеют одинаковое основание a. Из тождественных преобразований со степенями известно, что при перемножении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют без изменений, а показатели складывают. Тогда перемножение степеней a2 и a3 даст в результате a5. Записываем a5 рядом с числом 15
15a5
Далее в одночлене 3a25a3b2 содержится степень b2. Её не с чем перемножать, поэтому она остаётся без изменений. Записываем её как есть к новому одночлену:
15a5b2
Мы привели одночлен 3a25a3b2 к стандартному виду. В результате получили одночлен 15a5b2
3a25a3b2 = 15a5b2
Числовой сомножитель 15 называют коэффициентом одночлена. Приводя одночлен к стандартному виду, коэффициент нужно записывать в первую очередь, и только потом переменные и степени.
Если коэффициент в одночлене отсутствует, то говорят, что коэффициент равен единице. Так, коэффициентом одночлена abc является 1, поскольку abc это произведение единицы и abc
abc = 1 × abc
А коэффициентом одночлена −abc будет −1, поскольку −abc это произведение минус единицы и abc
−abc = −1 × abc
Степенью одночлена называют сумму показателей всех переменных входящих в этот одночлен.
Например, степенью одночлена 15a5b2 является 7. Это потому что переменная a имеет показатель 5, а переменная b имеет показатель 2. Отсюда 5 + 2 = 7. Показатель числового сомножителя 15 считать не нужно, поскольку нас интересуют только показатели переменных.
Ещё пример. Степенью одночлена 7ab2 является 3. Здесь переменная a имеет показатель 1, а переменная b имеет показатель 2. Отсюда 1 + 2 = 3.
Если одночлен не содержит переменных или степеней, а состоит из числа, то говорят, что степень такого одночлена равна нулю. Например, степень одночлена 11 равна нулю.
Не следует путать степень одночлена и степень числа. Степень числа это произведение из нескольких одинаковых множителей, тогда как степень одночлена это сумма показателей всех переменных входящих в этот одночлен. В одночлене 11 нет переменных, поэтому его степень равна нулю.
Пример 1. Привести одночлен 5xx3ya2 к стандартному виду
Перемножим числа 5 и 3, получим 15. Это будет коэффициент одночлена:
15
Далее в одночлене 5xx3ya2 содержатся переменные x и x. Перемножим их, получим x2.
15x2
Далее в одночлене 5xx3ya2 содержится переменная y, которую не с чем перемножать. Записываем её без изменений:
15x2y
Далее в одночлене 5xx3ya2 содержится степень a2, которую тоже не с чем перемножать. Её также оставляем без изменений:
15x2ya2
Получили одночлен 15x2ya2, который приведён к стандартному виду. Буквенные сомножители принято записывать в алфавитном порядке. Тогда одночлен 15x2ya2 примет вид 15a2x2y.
Поэтому, 5xx3ya2 = 15a2x2y.
Пример 2. Привести одночлен 2m3n × 0,4mn к стандартному виду
Перемножим числа, переменные и степени по отдельности.
2m3n × 0,4mn = 2 × 0,4 × m3 × m × n × n = 0,8m4n2
Числа, переменные и степени при перемножении разрешается заключать в скобки. Делается это для удобства. Так, в данном примере перемножение чисел 2 и 0,4 можно заключить в скобки. Также в скобки можно заключить перемножение m3 × m и n × n
2m3n × 0,4mn = (2 × 0,4) × (m3 × m) × (n × n) = 0,8m4n2
Но желательно выполнять все элементарные действия в уме. Так, решение можно записать значительно короче:
2m3n × 0,4mn = 0,8m4n2
Но чтобы в уме приводить одночлен к стандартному виду, тема умножения целых чисел и умножения степеней должна быть изучена на хорошем уровне.
Сложение и вычитание одночленов
Одночлены можно складывать и вычитать. Чтобы это было возможно, они должны иметь одинаковую буквенную часть. Коэффициенты могут быть любыми. Сложение и вычитание одночленов это по сути приведение подобных слагаемых, которое мы рассматривали при изучении буквенных выражений.
Чтобы сложить (вычесть) одночлены, нужно сложить (вычесть) их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.
Пример 1. Сложить одночлены 6a2b и 2a2b
6a2b + 2a2b
Сложим коэффициенты 6 и 2, а буквенную часть 6a2b оставим без изменений
6a2b + 2a2b = 8a2b
Пример 2. Вычесть из одночлена 5a2b3 одночлен 2a2b3
5a2b3 − 2a2b3
Можно заменить вычитание сложением, и сложить коэффициенты одночленов, оставив буквенную часть без изменения:
5a2b3 − 2a2b3 = 5a2b3 + (−2a2b3) = 3a2b3
Либо сразу из коэффициента первого одночлена вычесть коэффициент второго одночлена, а буквенную часть оставить без изменения:
5a2b3 − 2a2b3 = 3a2b3
Умножение одночленов
Одночлены можно перемножать. Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их числовые и буквенные части.
Пример 1. Перемножить одночлены 5x и 8y
Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. Для удобства перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:
5x × 8y = (5 × 8) × (x × y) = 40xy
Пример 2. Перемножить одночлены 5x2y3 и 7x3y2c
Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. В процессе умножения будем применять правило перемножения степеней с одинаковыми основаниями. Перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:
5x2y3 × 7x3y2c = (5 × 7) × (x2x3) × (y3y2) × c = 35x5y5c
Пример 3. Перемножить одночлены −5a2bc и 2a2b4
−5a2bc × 2a2b4 = (−5 × 2) × (a2a2) × (bb4) × c = −10a4b5c
Пример 4. Перемножить одночлены x2y5 и (−6xy2)
x2y5 × (−6xy2) = −6 × (x2x) × (y5y2) = −6x3y7
Пример 5. Найти значение выражения 
Деление одночленов
Одночлен можно разделить на другой одночлен. Для этого нужно коэффициент первого одночлена разделить на коэффициент второго одночлена, а буквенную часть первого одночлена разделить на буквенную часть второго одночлена. При этом используется правило деления степеней.
Например, разделим одночлен 8a2b2 на одночлен 4ab. Запишем это деление в виде дроби:
Первый одночлен 8a2b2 будем называть делимым, а второй 4ab — делителем. А одночлен, который получится в результате, назовём частным.
Разделим коэффициент делимого на коэффициент делителя, получим 8 : 4 = 2. В исходном выражении ставим знак равенства и записываем этот коэффициент частного:
Теперь делим буквенную часть. В делимом содержится a2, в делителе — просто a. Делим a2 на a, получаем a, поскольку a2 : a = a2 − 1 = a. Записываем в частном a после 2
Далее в делимом содержится b2, в делителе — просто b. Делим b2 на b, получаем b, поскольку b2 : b = b2 − 1 = b. Записываем в частном b после a
Значит, при делении одночлена 8a2b2 на одночлен 4ab получается одночлен 2ab.
Сразу можно выполнить проверку. При умножении частного на делитель должно получаться делимое. В нашем случае, если 2ab умножить на 4ab, должно получиться 8a2b2
2ab × 4ab = (2 × 4) × (aa) × (bb) = 8a2b2
Не всегда можно первый одночлен разделить на второй одночлен. Например, если в делителе окажется переменная, которой нет в делимом, то говорят, что деление невозможно.
К примеру, одночлен 6xy2 нельзя разделить на одночлен 3xyz. В делителе 3xyz содержится переменная z, которая не содержится в делимом 6xy2.
Проще говоря, мы не сможем найти частное, которое при умножении на делитель 3xyz дало бы делимое 6xy2, поскольку такое умножение обязательно будет содержать переменную z, которой нет в 6xy2.
Но если в делимом содержится переменная, которая не содержится в делителе, то деление будет возможным. В этом случае переменная, которая отсутствовала в делителе, будет перенесена в частное без изменений.
Например, при делении одночлена 4x2y2z на 2xy, получается 2xyz. Сначала разделили 4 на 2 получили 2, затем x2 разделили на x, получили x, затем y2 разделили на y, получили y. Затем приступили к делению переменной z на такую же переменную в делителе, но обнаружили, что такой переменной в делителе нет. Поэтому перенесли переменную z в частное без изменений:
Для проверки умножим частное 2xyz на делитель 2xy. В результате должен получиться одночлен 4x2y2z
2xyz × 2xy = (2 × 2) × (xx) × (yy) × z = 4x2y2z
Но в некоторых дробях, если невозможно выполнить деление, бывает возможным выполнить сокращение. Делается это с целью упростить выражение.
Так, в предыдущем примере нельзя было разделить одночлен 6xy2 на одночлен 3xyz. Но можно сократить эту дробь на одночлен 3xy. Напомним, что сокращение дроби это деление числителя и знаменателя на одно и то же число (в нашем случае на одночлен 3xy). В результате сокращения дробь становится проще, но её значение не меняется:
В числителе и знаменателе мы пришли к делению одночленов, которое можно выполнить:
Процесс деления обычно выполняется в уме, записывая над числителем и знаменателем получившийся результат:
Пример 2. Разделить одночлен 12a2b3c3 на одночлен 4a2bc
Пример 3. Разделить одночлен x2y3z на одночлен xy2
Дополнительно упомянем, что деление одночлена на одночлен также невозможно, если одна из степеней, входящая в делимое, имеет показатель меньший, чем показатель той же степени из делителя.
Например, разделить одночлен 2x на одночлен x2 нельзя, поскольку степень x, входящая в делимое, имеет показатель 1, тогда как степень x2, входящая в делитель, имеет показатель 2. Мы не сможем найти частное, которое при перемножении с делителем x2 даст в результате делимое 2x.
Конечно, мы можем выполнить деление x на x2, воспользовавшись свойством степени с целым показателем:
и такое частное при перемножении с делителем x2 будет давать в результате делимое 2x
Но нас пока интересуют только те частные, которые являются так называемыми целыми выражениями. Целые выражения это те выражения, которые не являются дробями, в знаменателе которых содержится буквенное выражение. А частное 
целым выражением не является. Это дробное выражение, в знаменателе которого содержится буквенное выражение.
Возведение одночлена в степень
Одночлен можно возвести в степень. Для этого используют правило возведения степени в степень.
Пример 1. Возвести одночлен xy во вторую степень.
Чтобы возвести одночлен xy во вторую степень, нужно возвести во вторую степень каждый сомножитель этого одночлена
(xy)2 = x2y2
Пример 2. Возвести одночлен −5a3b во вторую степень.
(−5a3b)2 = (−5)2 × (a3)2 × b2 = 25a6b2
Пример 3. Возвести одночлен −a2bc3 в пятую степень.
В данном примере коэффициентом одночлена является −1. Этот коэффициент тоже нужно возвести в пятую степень:
(−a2bc3)5 = (−1)5 × (a2)5 × b5 × (c3)5 = −1a10b5c15 = −a10b5c15
Когда коэффициент равен −1, то саму единицу не записывают. Записывают только минус и потом остальные сомножители одночлена. В приведенном примере сначала получился одночлен −1a10b5c15, затем он был заменён на тождественно равный ему одночлен −a10b5c15.
Пример 4. Представить одночлен 4x2 в виде одночлена, возведённого в квадрат.
В данном примере нужно найти произведение, которое во второй степени будет равно выражению 4x2. Очевидно, что это произведение 2x. Если это произведение возвести во вторую степень (в квадрат), то получится 4x2
(2x)2 = 22x2 = 4x2
Значит, 4x2 = (2x)2. Выражение (2x)2 это и есть одночлен, возведённый в квадрат.
Пример 5. Представить одночлен 121a6 в виде одночлена, возведённого в квадрат.
Попробуем найти произведение, которое во второй степени будет равно выражению 121a6.
Прежде всего заметим, что число 121 получается, если число 11 возвести в квадрат. То есть первый сомножитель будущего произведения мы нашли. А степень a6 получается в том случае, если возвести в квадрат степень a3. Значит вторым сомножителем будущего произведения будет a3.
Таким образом, если произведение 11a3 возвести во вторую степень, то получится 121a6
(11a3)2 = 112 × (a3)2 = 121a6
Значит, 121a6 = (11a3)2. Выражение (11a3)2 это и есть одночлен, возведённый в квадрат.
Разложение одночлена на множители
Поскольку одночлен является произведением чисел, переменных и степеней, то он может быть разложен на множители, из которых состоит.
Пример 1. Разложить одночлен 3a3b2 на множители
Данный одночлен можно разложить на множители 3, a, a, a, b, b
3a3b2 = 3aaabb
Либо степень b2 можно не раскладывать на множители b и b
3a3b2 = 3aaab2
Либо степень b2 разложить на множители b и b, а степень a3 оставить без изменений
3a3b2 = 3a3bb
В каком виде представлять одночлен зависит от решаемой задачи. Главное, чтобы разложение было тождественно равно исходному одночлену.
Пример 2. Разложить одночлен 10a2b3c4 на множители.
Разложим коэффициент 10 на множители 2 и 5, степень a2 разложим на множители aa, степень b3 — на множители bbb, степень c4 — на множители cccc
10a2b3c4 = 2 × 5 × aabbbcccc
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Приведите одночлен −2aba к стандартному виду.
Задание 2. Приведите одночлен 0,5m × 2n к стандартному виду.
Решение:
0,5m × 2n = (0,5 × 2)(mn) = 1mn = mn
Задание 3. Приведите одночлен −8ab(−2,5)b2 к стандартному виду.
Решение:
−8ab(−2,5)b2 = −8 × (−2,5) × a × (b × b2) = 20ab3
Задание 4. Приведите одночлен 0,15pq × 4pq2 к стандартному виду.
Решение:
Задание 5. Приведите одночлен −2x3 × 0,5xy2 к стандартному виду.
Решение:
Задание 6. Приведите одночлен 2m3n × 0,4mn к стандартному виду.
Решение:
Задание 7. Приведите одночлен 
к стандартному виду.
Решение:
Задание 8. Приведите одночлен 
к стандартному виду.
Решение:
Задание 9. Перемножьте одночлены 2x и 2y
Задание 10. Перемножьте одночлены 6x, 5x и y
Решение:
6x × 5x × y = 30x2y
Задание 11. Перемножьте одночлены 2x2, 2x3 и y2
Решение:
2x2 × 2x3 × y2 = (2 × 2) × (x2x3) × y2 = 4x5y2
Задание 12. Перемножьте одночлены −8x и 5x3
Решение:
−8x × 5x3 = (−8 × 5)×(xx3) = −40x4
Задание 13. Перемножьте одночлены x2y5 и (−6xy2)
Решение:
x2y5 × (−6xy2) = −6 × (x2x) × (y5y2) = −6x3y7
Задание 14. Выполните умножение:
Решение:
Задание 15. Выполните умножение:
Решение:
Задание 16. Возведите одночлен x2y2z2 в третью степень
Решение:
(x2y2z2)3 = (x2)3 × (y2)3 × (z2)3 = x6y6z6
Задание 17. Возведите одночлен xy2z3 в пятую степень.
Решение:
(xy2z3)5 = x5 × (y2)5 × (z3)5 = x5y10z15
Задание 18. Возведите одночлен 4x во вторую степень.
Решение:
(4x)2 = 42 × x2 = 16x2
Задание 19. Возведите одночлен 2y3 в третью степень.
Решение:
(2y3)3 = 23 × (y3)3 = 8y9
Задание 20. Возведите одночлен −0,6x3y2 в третью степень.
Решение:
(−0,6x3y2)3 = (−0,6)3 × (x3)3 × (y2)3= −0,216x9y6
Задание 21. Возведите одночлен −x2yz3 в пятую степень.
Решение:
(−x2yz3)5 = (−x2)5 × y5 × (z3)5= −x10y5z15
Задание 22. Возведите одночлен −x3y2z во вторую степень.
Решение:
(−x3y2z)2 = (−x3)2 × (y2)2 × z2 = x6y4z2
Задание 23. Представьте одночлен −27x6y9 в виде одночлена, возведённого в куб.
Решение:
−27x6y9 = (−3x2y3)3
Задание 24. Представьте одночлен −a3b6 в виде одночлена, возведённого в куб.
Задание 25. Выполните деление 
Решение:
Задание 26. Выполните деление 
Решение:
Задание 27. Выполните деление 
Решение:
Задание 28. Выполните деление 
Решение:
Задание 29. Выполните деление 
Решение:
Задание 30. Выполните деление 
Решение:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
В предыдущей статье мы рассказали, что из себя представляют одночлены. В этом материале разберем, как решать примеры и задачи, в которых они применяются. Здесь будут рассмотрены такие действия, как вычитание, сложение, умножение, деление одночленов и возведение их в степень с натуральным показателем. Мы покажем, как определяются такие операции, обозначим основные правила их выполнения и то, что должно получится в результате. Все теоретические положения, как обычно, будут проиллюстрированы примерами задач с описаниями решений.
Удобнее всего работать со стандартной записью одночленов, поэтому все выражения, которые будут использованы в статье, мы приводим в стандартном виде. Если изначально они заданы иначе, рекомендуется сначала привести их к общепринятой форме.
Правила сложения и вычитания одночленов
Наиболее простые действия, которые можно проводить с одночленами – это вычитание и сложение. В общем случае результатом этих действий будет являться многочлен (одночлен возможен в некоторых частных случаях).
Когда мы складываем или вычитаем одночлены, сначала записываем в общепринятой форме соответствующую сумму и разность, после чего упрощаем получившееся выражение. Если есть подобные слагаемые, их нужно привести, скобки – раскрыть. Поясним на примере.
Условие: выполните сложение одночленов −3·x и 2,72·x3·y5·z.
Решение
Запишем сумму исходных выражений. Добавим скобки и поставим между ними плюс. У нас получится следующее:
(−3·x)+(2,72·x3·y5·z)
Когда мы выполним раскрытие скобок, получится -3·x+2,72·x3·y5·z. Это многочлен, записанный в стандартной форме, который и будет результатом сложения данных одночленов.
Ответ: (−3·x)+(2,72·x3·y5·z)=−3·x+2,72·x3·y5·z.
Если у нас задано три, четыре и больше слагаемых, мы осуществляем это действие точно так же.
Условие: проведите в правильном порядке указанные действия с многочленами
3·a2-(-4·a·c)+a2-7·a2+49-223·a·c
Решение
Начнем с раскрытия скобок.
3·a2+4·a·c+a2-7·a2+49-223·a·c
Мы видим, что полученное выражение можно упростить путем приведения подобных слагаемых:
3·a2+4·a·c+a2-7·a2+49-223·a·c==(3·a2+a2-7·a2)+4·a·c-223·a·c+49==-3·a2+113·a·c+49
У нас получился многочлен, который и будет результатом данного действия.
Ответ: 3·a2-(-4·a·c)+a2-7·a2+49-223·a·c=-3·a2+113·a·c+49
В принципе, мы можем выполнить сложение и вычитание двух одночленов с некоторыми ограничениями так, чтобы получить в итоге одночлен. Для этого нужно соблюсти некоторые условия, касающиеся слагаемых и вычитаемых одночленов. О том, как это делается, мы расскажем в отдельной статье.
Правила умножения одночленов
Действие умножения не налагает никаких ограничений на множители. Умножаемые одночлены не должны соответствовать никаким дополнительным условиям, чтобы в результате получится одночлен.
Чтобы выполнить умножение одночленов, нужно выполнить следующие шаги:
- Правильно записать произведение.
- Раскрыть скобки в полученном выражении.
- Сгруппировать по возможности множители с одинаковыми переменными и числовые множители отдельно.
- Выполнить необходимые действия с числами и применить к оставшимся множителям свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями.
Посмотрим, как это делается на практике.
Условие: выполните умножение одночленов 2·x4·y·z и -716·t2·x2·z11 .
Решение
Начнем с составления произведения.
2·x4·y·z·-716·t2·x2·z11
Раскрываем в нем скобки и получаем следующее:
2·x4·y·z·-716·t2·x2·z11
Далее нам нужно объединить числовые множители в одну группу, а потом сгруппировать множители с одинаковыми переменными:
2·-716·t2·x4·x2·y·z3·z11
Все, что нам осталось сделать – это умножить числа в первых скобках и применить свойство степеней для вторых. В итоге получим следующее:
2·-716·t2·x4·x2·y·z3·z11=-78·t2·x4+2·y·z3+11==-78·t2·x6·y·z14
Ответ: 2·x4·y·z·-716·t2·x2·z11=-78·t2·x6·y·z14 .
Если у нас в условии стоят три многочлена и больше, мы умножаем их по точно такому же алгоритму. Более подробно вопрос умножения одночленов мы рассмотрим в рамках отдельного материала.
Правила возведения одночлена в степень
Мы знаем, что степенью с натуральным показателем называют произведение некоторого числа одинаковых множителей. На их количество указывает число в показателе. Согласно этому определению, возведение одночлена в степень равнозначно умножению указанного числа одинаковых одночленов. Посмотрим, как это делается.
Условие: выполните возведение одночлена −2·a·b4 в степень 3.
Решение
Мы можем заменить возведение в степень на умножение 3-х одночленов −2·a·b4. Запишем и получим нужный ответ:
(−2·a·b4)3=(−2·a·b4)·(−2·a·b4)·(−2·a·b4)==((−2)·(−2)·(−2))·(a· a· a)·(b4·b4·b4)=−8·a3·b12
Ответ: (−2·a·b4)3=−8·a3·b12.
А как быть в том случае, когда степень имеет большой показатель? Записывать большое количество множителей неудобно. Тогда для решения такой задачи нам надо применить свойства степени, а именно свойство степени произведения и свойство степени в степени.
Решим задачу, которую мы привели выше, указанным способом.
Условие: выполните возведение −2·a·b4 в третью степень.
Решение
Зная свойство степени в степени, мы можем перейти к выражению следующего вида:
(−2·a·b4)3=(−2)3·a3·(b4)3.
После этого мы возводим в степень -2 и применяем свойство степени в степени:
(−2)3·(a)3·(b4)3=−8·a3·b4·3=−8·a3·b12.
Ответ: −2·a·b4=−8·a3·b12.
Возведению одночлена в степень мы также посвятили отдельную статью.
Правила деления одночленов
Последнее действие с одночленами, которое мы разберем в данном материале, – деление одночлена на одночлен. В результате мы должны получить рациональную (алгебраическую) дробь (в некоторых случаях возможно получение одночлена). Сразу уточним, что деление на нулевой одночлен не определяется, поскольку не определяется деление на 0.
Для выполнения деления нам нужно записать указанные одночлены в форме дроби и сократить ее, если есть такая возможность.
Условие: выполните деление одночлена −9·x4·y3·z7 на −6·p3·t5·x2·y2.
Решение
Начнем с записи одночленов в форме дроби.
-9·x4·y3·z7-6·p3·t5·x2·y2
Эту дробь можно сократить. После выполнения этого действия получим:
3·x2·y·z72·p3·t5
Ответ: -9·x4·y3·z7-6·p3·t5·x2·y2=3·x2·y·z72·p3·t5.
Условия, при которых в результате деления одночленов мы получим одночлен, приводятся в отдельной статье.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Содержание:
Одночлены
Степень с натуральным показателем
Напомним, что произведение двух или трех одинаковых множителей, каждый из которых равен 
Квадрат числа 5 называют еще второй степенью этого числа, а куб — третьей степенью.
Соответственно произведение 
обозначают 
и называют четвертой степенью числа 
. В выражении 
число называют основанием степени, число 
— показателем степени, а все выражение называют степенью.
Определение:
Степенью числа 
с натуральным показателем 
, большим 1, называют произведение 
множителей, каждый из которых равен . Степенью числа с показателем 1 называют само число .
Степень с основанием и показателем записывают так: 
, читают: « в степени », или «-ая степень числа ».
Итак, по определению
Выясним знак степени с натуральным показателем.
тогда — любая натуральная степень числа 0 равна 0.- , тогда — любая натуральная степень положительного числа есть положительное число.
- тогда . Степень отрицательного числа с четным показателем является положительным числом, поскольку произведение четного количества отрицательных чисел положительно. Степень отрицательного числа с нечетным показателем является отрицательным числом, поскольку произведение нечетного количества отрицательных чисел отрицательно.
тогда 
— любая натуральная степень числа 0 равна 0.
, тогда 
— любая натуральная степень положительного числа есть положительное число.
тогда 
. Степень отрицательного числа с четным показателем является положительным числом, поскольку произведение четного количества отрицательных чисел положительно. Степень отрицательного числа с нечетным показателем является отрицательным числом, поскольку произведение нечетного количества отрицательных чисел отрицательно.Возводить числа в степень с натуральным показателем можно с помощью микрокалькулятора. Вычислить, например, значение 
можно по схеме: 
или по более удобной схеме:
Получим значение степени: 1838,265625.
Возведение в степень — действие третьей ступени. Напомним, что если выражение без скобок содержит действия разных ступеней, то сначала выполняют действия высшей ступени, а потом — низшей. Так, чтобы найти значение выражения 
, действия нужно выполнять в такой последовательности: 1) возведение в степень; 2) умножение; 3) вычитание.
Примеры выполнения заданий:
Пример №110
Вычислить 
Решение:
Выполняя вычисления, можно:
а) записывать каждое действие в отдельности:
б) записывать вычисления в строчку:
Ответ. 496.
Свойства степени с натуральным показателем
Умножение степеней с одинаковыми основаниями
Рассмотрим произведения двух степеней с основанием . Учитывая, что 
, получим:
Следовательно, 
В этих примерах произведение степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, который равен сумме показателей степеней. Таким свойством обладает произведение любых степеней с одинаковыми основаниями.
Свойство 1. Для любого числа и произвольных натуральных чисел 
и 
справедливо равенство 
Доказательство. Учитывая определение степени, получаем:
Из свойства 1, которое еще называют основным свойством степени, следует правило умножения степеней:
Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить.
Например:
Правило умножения степеней распространяется на произведение трех и более степеней. Например:
Деление степеней с одинаковыми основаниями
Рассмотрим равенство 
, где 
Из этого равенства по определению частного имеем: 
Равенство 
можно переписать так:
В этом примере частное степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, который равен разности показателя степени делимого и показателя степени делителя. Сформулируем и докажем соответствующее свойство в общем случае.
Свойство 2. Для любого числа 
и произвольных натуральных чисел 
и 
, где 
, справедливо равенство:
Доказательство. Поскольку 
то есть 
, то по определению частного имеем: 
Из доказанного свойства следует правило деления степеней:
Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.
Например: 
Возведение степени в степень
! Возведем степень 
в куб:
Итак, 
Из примера видно: чтобы возвести квадрат числа в куб, нужно оставить то же основание и взять показатель, равный произведению показателей. Сформулируем и докажем соответствующее свойство в общем случае.
Свойство 3. Для любого числа и произвольных натуральных чисел и справедливо равенство
Доказательство.
Из свойства 3 следует правило возведения степени в степень:
Чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней перемножить.
Например: 
Возведение произведения в степень
Возведем произведение 
в куб:
Итак, 
. Из примера видно: чтобы возвести в куб произведение, нужно возвести в куб каждый множитель и результаты перемножить. Сформулируем и докажем соответствующее свойство в общем случае.
Свойство 4. Для любых чисел и 
и произвольного натурального числа справедливо равенство
Доказательство.
Имеем такое правило:
Чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.
Это правило распространяется на произведение трех и более множителей. Например:
Примечание. Доказанные тождества 
выражающие свойства степени, позволяют не только заменять выражения, которые стоят в их левых частях, выражениями, которые стоят в правых частях, но и наоборот:
- Заказать решение задач по высшей математике
Примеры выполнения заданий:
Пример №111
Упростить выражение 
Решение:
Пример №112
Вычислить:
Пример №113
Представить 
в виде степени с основанием 
Решение:
Пример №114
Представить в виде степени произведение 
Решение:
Одночлен и его стандартный вид
Рассмотрим две группы выражений:
Какова особенность выражений первой группы? Чем они отличаются от выражений второй группы?
Выражения первой группы — это переменные, числа, их степени и произведения. Такие выражения называют одночленами. В общем виде одночлен — это произведение чисел, переменных и их степеней.
Выражения второй группы не являются одночленами, поскольку содержат действия сложения или вычитания.
Рассмотрим одночлен 
Он содержит только один числовой множитель, который стоит на первом месте, и степени разных переменных. Такой одночлен называют одночленом стандартного вида.
Одночленом стандартного вида называют такой одночлен, который содержит только один числовой множитель, находящийся на первом месте, ч степени разных переменных.
Числовой множитель одночлена стандартного вида называют коэффициентом одночлена. Коэффициент одночлена 
равен 
Считают, что коэффициенты одночленов 
и 
соответственно равны 1 и -1, поскольку 
и 
Одночлен 
не является одночленом стандартного вида, поскольку содержит две степени с основанием 
. Умножив 
на 
этот одночлен можно записать в виде одночлена стандартного вида: 
Умножение одночленов
Перемножим одночлены 
Используя свойства умножения и свойства степени, получим:
-3а2Ь • 4aby = (-3 • 4) • (а2а) • (ЬЬг) = -12аъЬ
Итак, произведением одночленов -Ъа2Ь и 4аЬъ является одночлен -12а3Ь*. Вообще, произведением любых одночленов является одночлен.
Возведение одночлена в степень
Возведем одночлен -5а2Ь в куб. Используя свойства степени, получим:
Итак, кубом одночлена 
является одночлен 
Вообще, натуральной степенью любого одночлена является одночлен.
Степень одночлена
В одночлене 
сумма показателей степеней вcex переменных равна 
Эту сумму называют степенью одночленa, говорят, что — одночлен шестой степени.
Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, которые в него входят. Если одночленом является число, отличное от нуля, то считают, что степень такого одночлена равна нулю.
Например: 
— одночлен девятой степени; 
— одночлен второй степени; 
— одночлен первой степени; 
— одночлен нулевой степени.
Примеры выполнения заданий:
Пример №115
Записать выражение в виде одночлена стандартного вида:
Сокращенная запись: 
Сокращенная запись: 
Пример №116
Представить одночлен 
в виде:
а) произведения двух одночленов стандартного вида;
б) произведения двух одночленов, одним из которых является 
в) квадрата одночлена стандартного вида.
Решение:
Интересно знать
Понятие степени с натуральным показателем возникло в античные времена в связи с вычислением площадей и объемов. Толкование степеней 
и 
было геометрическим: — это площадь квадрата со стороной 
, — объем куба с ребром . Отсюда и названия «квадрат» и «куб» для степеней и , которые используют и сейчас. К сожалению, такая геометрическая привязка в те времена стала тормозом для развития алгебры. Степени 
(«квадрато-квадрат»), 
(«кубо-квадрат») и т. д. остались как бы «вне закона», поскольку не имели соответствующей геометрической основы.
Только в XVII в. французский математик Рене Декарт (1596-1650) дал геометрическое толкование произведения любого числа множителей после чего и произведение 
приняло «официальный статус».
Декарт же ввел и современное обозначение степени с натуральным показателем в виде 
- Многочлены
- Формулы сокращенного умножения
- Разложение многочленов на множители
- Системы линейных уравнений с двумя переменными
- Делимость натуральных чисел
- Выражения и уравнения
- Линейное уравнение с одной переменной
- Целые выражения
Одночлены
Определения и примеры
Одночлен — это произведение чисел, переменных и степеней. Например, выражения 5a , 3ab 2 и −6 2 aa 2 b 3 являются одночленами.
Приведём ещё примеры одночленов:
Одночленом также является любое отдельное число, любая переменная или любая степень. Например, число 9 является одночленом, переменная x является одночленом, степень 5 2 является одночленом.
Приведение одночлена к стандартному виду
Рассмотрим следующий одночлен:
Этот одночлен выглядит не очень аккуратно. Чтобы сделать его проще, нужно привести его к так называемому стандартному виду.
Приведение одночлена к стандартному виду заключается в перемножении однотипных сомножителей, входящих в этот одночлен. То есть числа нужно перемножать с числами, переменные с переменными, степени со степенями. В результате этих действий получается упрощённый одночлен, который тождественно равен предыдущему.
Ещё один нюанс заключается в том, что в одночлене степени можно перемножать только в том случае, если они имеют одинаковые основания.
Итак, приведём одночлен 3a 2 5a 3 b 2 к стандартному виду. В этом одночлене содержатся числа 3 и 5. Перемножим их, получим число 15. Записываем его:
Далее в одночлене 3a 2 5a 3 b 2 содержатся степени a 2 и a 3 , которые имеют одинаковое основание a . Из тождественных преобразований со степенями известно, что при перемножении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют без изменений, а показатели складывают. Тогда перемножение степеней a 2 и a 3 даст в результате a 5 . Записываем a 5 рядом с числом 15
Далее в одночлене 3a 2 5a 3 b 2 содержится степень b 2 . Её не с чем перемножать, поэтому она остаётся без изменений. Записываем её как есть к новому одночлену:
Мы привели одночлен 3a 2 5a 3 b 2 к стандартному виду. В результате получили одночлен 15a 5 b 2
Числовой сомножитель 15 называют коэффициентом одночлена. Приводя одночлен к стандартному виду, коэффициент нужно записывать в первую очередь, и только потом переменные и степени.
Если коэффициент в одночлене отсутствует, то говорят, что коэффициент равен единице. Так, коэффициентом одночлена abc является 1, поскольку abc это произведение единицы и abc
А коэффициентом одночлена −abc будет −1 , поскольку −abc это произведение минус единицы и abc
Степенью одночлена называют сумму показателей всех переменных входящих в этот одночлен.
Например, степенью одночлена 15a 5 b 2 является 7 . Это потому что переменная a имеет показатель 5, а переменная b имеет показатель 2. Отсюда 5 + 2 = 7 . Показатель числового сомножителя 15 считать не нужно, поскольку нас интересуют только показатели переменных.
Ещё пример. Степенью одночлена 7ab 2 является 3. Здесь переменная a имеет показатель 1, а переменная b имеет показатель 2. Отсюда 1 + 2 = 3 .
Если одночлен не содержит переменных или степеней, а состоит из числа, то говорят, что степень такого одночлена равна нулю. Например, степень одночлена 11 равна нулю.
Не следует путать степень одночлена и степень числа. Степень числа это произведение из нескольких одинаковых множителей, тогда как степень одночлена это сумма показателей всех переменных входящих в этот одночлен. В одночлене 11 нет переменных, поэтому его степень равна нулю.
Пример 1. Привести одночлен 5xx3ya 2 к стандартному виду
Перемножим числа 5 и 3, получим 15. Это будет коэффициент одночлена:
Далее в одночлене 5xx3ya 2 содержатся переменные x и x . Перемножим их, получим x 2 .
Далее в одночлене 5xx3ya 2 содержится переменная y , которую не с чем перемножать. Записываем её без изменений:
Далее в одночлене 5xx3ya 2 содержится степень a 2 , которую тоже не с чем перемножать. Её также оставляем без изменений:
Получили одночлен 15x 2 ya 2 , который приведён к стандартному виду. Буквенные сомножители принято записывать в алфавитном порядке. Тогда одночлен 15x 2 ya 2 примет вид 15a 2 x 2 y.
Пример 2. Привести одночлен 2m 3 n × 0,4mn к стандартному виду
Перемножим числа, переменные и степени по отдельности.
Числа, переменные и степени при перемножении разрешается заключать в скобки. Делается это для удобства. Так, в данном примере перемножение чисел 2 и 0,4 можно заключить в скобки. Также в скобки можно заключить перемножение m 3 × m и n × n
Но желательно выполнять все элементарные действия в уме. Так, решение можно записать значительно короче:
Но чтобы в уме приводить одночлен к стандартному виду, тема умножения целых чисел и умножения степеней должна быть изучена на хорошем уровне.
Сложение и вычитание одночленов
Одночлены можно складывать и вычитать. Чтобы это было возможно, они должны иметь одинаковую буквенную часть. Коэффициенты могут быть любыми. Сложение и вычитание одночленов это по сути приведение подобных слагаемых, которое мы рассматривали при изучении буквенных выражений.
Чтобы сложить (вычесть) одночлены, нужно сложить (вычесть) их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.
Пример 1. Сложить одночлены 6a 2 b и 2a 2 b
Сложим коэффициенты 6 и 2, а буквенную часть 6a 2 b оставим без изменений
Пример 2. Вычесть из одночлена 5a 2 b 3 одночлен 2a 2 b 3
Можно заменить вычитание сложением, и сложить коэффициенты одночленов, оставив буквенную часть без изменения:
Либо сразу из коэффициента первого одночлена вычесть коэффициент второго одночлена, а буквенную часть оставить без изменения:
Умножение одночленов
Одночлены можно перемножать. Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их числовые и буквенные части.
Пример 1. Перемножить одночлены 5x и 8y
Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. Для удобства перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:
Пример 2. Перемножить одночлены 5x 2 y 3 и 7x 3 y 2 c
Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. В процессе умножения будем применять правило перемножения степеней с одинаковыми основаниями. Перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:
Пример 3. Перемножить одночлены −5a 2 bc и 2a 2 b 4
Пример 4. Перемножить одночлены x 2 y 5 и (−6xy 2 )
Пример 5. Найти значение выражения
Деление одночленов
Одночлен можно разделить на другой одночлен. Для этого нужно коэффициент первого одночлена разделить на коэффициент второго одночлена, а буквенную часть первого одночлена разделить на буквенную часть второго одночлена. При этом используется правило деления степеней.
Например, разделим одночлен 8a 2 b 2 на одночлен 4ab. Запишем это деление в виде дроби:
Первый одночлен 8a 2 b 2 будем называть делимым, а второй 4ab — делителем. А одночлен, который получится в результате, назовём частным.
Разделим коэффициент делимого на коэффициент делителя, получим 8 : 4 = 2 . В исходном выражении ставим знак равенства и записываем этот коэффициент частного:
Теперь делим буквенную часть. В делимом содержится a 2 , в делителе — просто a . Делим a 2 на a , получаем a , поскольку a 2 : a = a 2 − 1 = a . Записываем в частном a после 2
Далее в делимом содержится b 2 , в делителе — просто b . Делим b 2 на b , получаем b , поскольку b 2 : b = b 2 − 1 = b . Записываем в частном b после a
Значит, при делении одночлена 8a 2 b 2 на одночлен 4ab получается одночлен 2ab .
Сразу можно выполнить проверку. При умножении частного на делитель должно получаться делимое. В нашем случае, если 2ab умножить на 4ab , должно получиться 8a 2 b 2
Не всегда можно первый одночлен разделить на второй одночлен. Например, если в делителе окажется переменная, которой нет в делимом, то говорят, что деление невозможно.
К примеру, одночлен 6xy 2 нельзя разделить на одночлен 3xyz . В делителе 3xyz содержится переменная z , которая не содержится в делимом 6xy 2 .
Проще говоря, мы не сможем найти частное, которое при умножении на делитель 3xyz дало бы делимое 6xy 2 , поскольку такое умножение обязательно будет содержать переменную z, которой нет в 6xy 2 .
Но если в делимом содержится переменная, которая не содержится в делителе, то деление будет возможным. В этом случае переменная, которая отсутствовала в делителе, будет перенесена в частное без изменений.
Например, при делении одночлена 4x 2 y 2 z на 2xy , получается 2xyz . Сначала разделили 4 на 2 получили 2, затем x 2 разделили на x , получили x , затем y 2 разделили на y , получили y. Затем приступили к делению переменной z на такую же переменную в делителе, но обнаружили, что такой переменной в делителе нет. Поэтому перенесли переменную z в частное без изменений:
Для проверки умножим частное 2xyz на делитель 2xy . В результате должен получиться одночлен 4x 2 y 2 z
Но в некоторых дробях, если невозможно выполнить деление, бывает возможным выполнить сокращение. Делается это с целью упростить выражение.
Так, в предыдущем примере нельзя было разделить одночлен 6xy 2 на одночлен 3 xyz . Но можно сократить эту дробь на одночлен 3xy . Напомним, что сокращение дроби это деление числителя и знаменателя на одно и то же число (в нашем случае на одночлен 3 xy ). В результате сокращения дробь становится проще, но её значение не меняется:
В числителе и знаменателе мы пришли к делению одночленов, которое можно выполнить:
Процесс деления обычно выполняется в уме, записывая над числителем и знаменателем получившийся результат:
Пример 2. Разделить одночлен 12a 2 b 3 c 3 на одночлен 4a 2 bc
Пример 3. Разделить одночлен x 2 y 3 z на одночлен xy 2
Дополнительно упомянем, что деление одночлена на одночлен также невозможно, если одна из степеней, входящая в делимое, имеет показатель меньший, чем показатель той же степени из делителя.
Например, разделить одночлен 2x на одночлен x 2 нельзя, поскольку степень x , входящая в делимое, имеет показатель 1, тогда как степень x 2 , входящая в делитель, имеет показатель 2. Мы не сможем найти частное, которое при перемножении с делителем x 2 даст в результате делимое 2x .
Конечно, мы можем выполнить деление x на x 2 , воспользовавшись свойством степени с целым показателем:
и такое частное при перемножении с делителем x 2 будет давать в результате делимое 2x
Но нас пока интересуют только те частные, которые являются так называемыми целыми выражениями. Целые выражения это те выражения, которые не являются дробями, в знаменателе которых содержится буквенное выражение. А частное целым выражением не является. Это дробное выражение, в знаменателе которого содержится буквенное выражение.
Возведение одночлена в степень
Одночлен можно возвести в степень. Для этого используют правило возведения степени в степень.
Пример 1. Возвести одночлен xy во вторую степень.
Чтобы возвести одночлен xy во вторую степень, нужно возвести во вторую степень каждый сомножитель этого одночлена
Пример 2. Возвести одночлен −5a 3 b во вторую степень.
Пример 3. Возвести одночлен − a 2 bc 3 в пятую степень.
В данном примере коэффициентом одночлена является −1. Этот коэффициент тоже нужно возвести в пятую степень:
Когда коэффициент равен −1, то саму единицу не записывают. Записывают только минус и потом остальные сомножители одночлена. В приведенном примере сначала получился одночлен −1a 10 b 5 c 15 , затем он был заменён на тождественно равный ему одночлен −a 10 b 5 c 15 .
Пример 4. Представить одночлен 4x 2 в виде одночлена, возведённого в квадрат.
В данном примере нужно найти произведение, которое во второй степени будет равно выражению 4x 2 . Очевидно, что это произведение 2x. Если это произведение возвести во вторую степень (в квадрат), то получится 4x 2
Значит, 4x 2 = (2x) 2 . Выражение (2x) 2 это и есть одночлен, возведённый в квадрат.
Пример 5. Представить одночлен 121a 6 в виде одночлена, возведённого в квадрат.
Попробуем найти произведение, которое во второй степени будет равно выражению 121a 6 .
Прежде всего заметим, что число 121 получается, если число 11 возвести в квадрат. То есть первый сомножитель будущего произведения мы нашли. А степень a 6 получается в том случае, если возвести в квадрат степень a 3 . Значит вторым сомножителем будущего произведения будет a 3 .
Таким образом, если произведение 11a 3 возвести во вторую степень, то получится 121a 6
(11a 3 ) 2 = 11 2 × (a 3 ) 2 = 121a 6
Значит, 121a 6 = (11a 3 ) 2 . Выражение (11a 3 ) 2 это и есть одночлен, возведённый в квадрат.
Разложение одночлена на множители
Поскольку одночлен является произведением чисел, переменных и степеней, то он может быть разложен на множители, из которых состоит.
Пример 1. Разложить одночлен 3a 3 b 2 на множители
Данный одночлен можно разложить на множители 3, a, a, a, b, b
Либо степень b 2 можно не раскладывать на множители b и b
Либо степень b 2 разложить на множители b и b , а степень a 3 оставить без изменений
В каком виде представлять одночлен зависит от решаемой задачи. Главное, чтобы разложение было тождественно равно исходному одночлену.
Пример 2. Разложить одночлен 10a 2 b 3 c 4 на множители.
Разложим коэффициент 10 на множители 2 и 5, степень a 2 разложим на множители aa , степень b 3 — на множители bbb , степень c 4 — на множители cccc
Действия с одночленами
В предыдущей статье мы рассказали, что из себя представляют одночлены. В этом материале разберем, как решать примеры и задачи, в которых они применяются. Здесь будут рассмотрены такие действия, как вычитание, сложение, умножение, деление одночленов и возведение их в степень с натуральным показателем. Мы покажем, как определяются такие операции, обозначим основные правила их выполнения и то, что должно получится в результате. Все теоретические положения, как обычно, будут проиллюстрированы примерами задач с описаниями решений.
Удобнее всего работать со стандартной записью одночленов, поэтому все выражения, которые будут использованы в статье, мы приводим в стандартном виде. Если изначально они заданы иначе, рекомендуется сначала привести их к общепринятой форме.
Правила сложения и вычитания одночленов
Наиболее простые действия, которые можно проводить с одночленами – это вычитание и сложение. В общем случае результатом этих действий будет являться многочлен (одночлен возможен в некоторых частных случаях).
Когда мы складываем или вычитаем одночлены, сначала записываем в общепринятой форме соответствующую сумму и разность, после чего упрощаем получившееся выражение. Если есть подобные слагаемые, их нужно привести, скобки – раскрыть. Поясним на примере.
Условие: выполните сложение одночленов − 3 · x и 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .
Запишем сумму исходных выражений. Добавим скобки и поставим между ними плюс. У нас получится следующее:
( − 3 · x ) + ( 2 , 72 · x 3 · y 5 · z )
Когда мы выполним раскрытие скобок, получится – 3 · x + 2 , 72 · x 3 · y 5 · z . Это многочлен, записанный в стандартной форме, который и будет результатом сложения данных одночленов.
Ответ: ( − 3 · x ) + ( 2 , 72 · x 3 · y 5 · z ) = − 3 · x + 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .
Если у нас задано три, четыре и больше слагаемых, мы осуществляем это действие точно так же.
Условие: проведите в правильном порядке указанные действия с многочленами
3 · a 2 – ( – 4 · a · c ) + a 2 – 7 · a 2 + 4 9 – 2 2 3 · a · c
Начнем с раскрытия скобок.
3 · a 2 + 4 · a · c + a 2 – 7 · a 2 + 4 9 – 2 2 3 · a · c
Мы видим, что полученное выражение можно упростить путем приведения подобных слагаемых:
3 · a 2 + 4 · a · c + a 2 – 7 · a 2 + 4 9 – 2 2 3 · a · c = = ( 3 · a 2 + a 2 – 7 · a 2 ) + 4 · a · c – 2 2 3 · a · c + 4 9 = = – 3 · a 2 + 1 1 3 · a · c + 4 9
У нас получился многочлен, который и будет результатом данного действия.
Ответ: 3 · a 2 – ( – 4 · a · c ) + a 2 – 7 · a 2 + 4 9 – 2 2 3 · a · c = – 3 · a 2 + 1 1 3 · a · c + 4 9
В принципе, мы можем выполнить сложение и вычитание двух одночленов с некоторыми ограничениями так, чтобы получить в итоге одночлен. Для этого нужно соблюсти некоторые условия, касающиеся слагаемых и вычитаемых одночленов. О том, как это делается, мы расскажем в отдельной статье.
Правила умножения одночленов
Действие умножения не налагает никаких ограничений на множители. Умножаемые одночлены не должны соответствовать никаким дополнительным условиям, чтобы в результате получится одночлен.
Чтобы выполнить умножение одночленов, нужно выполнить следующие шаги:
- Правильно записать произведение.
- Раскрыть скобки в полученном выражении.
- Сгруппировать по возможности множители с одинаковыми переменными и числовые множители отдельно.
- Выполнить необходимые действия с числами и применить к оставшимся множителям свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями.
Посмотрим, как это делается на практике.
Условие: выполните умножение одночленов 2 · x 4 · y · z и – 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .
Начнем с составления произведения.
2 · x 4 · y · z · – 7 16 · t 2 · x 2 · z 11
Раскрываем в нем скобки и получаем следующее:
2 · x 4 · y · z · – 7 16 · t 2 · x 2 · z 11
Далее нам нужно объединить числовые множители в одну группу, а потом сгруппировать множители с одинаковыми переменными:
2 · – 7 16 · t 2 · x 4 · x 2 · y · z 3 · z 11
Все, что нам осталось сделать – это умножить числа в первых скобках и применить свойство степеней для вторых. В итоге получим следующее:
2 · – 7 16 · t 2 · x 4 · x 2 · y · z 3 · z 11 = – 7 8 · t 2 · x 4 + 2 · y · z 3 + 11 = = – 7 8 · t 2 · x 6 · y · z 14
Ответ: 2 · x 4 · y · z · – 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 = – 7 8 · t 2 · x 6 · y · z 14 .
Если у нас в условии стоят три многочлена и больше, мы умножаем их по точно такому же алгоритму. Более подробно вопрос умножения одночленов мы рассмотрим в рамках отдельного материала.
Правила возведения одночлена в степень
Мы знаем, что степенью с натуральным показателем называют произведение некоторого числа одинаковых множителей. На их количество указывает число в показателе. Согласно этому определению, возведение одночлена в степень равнозначно умножению указанного числа одинаковых одночленов. Посмотрим, как это делается.
Условие: выполните возведение одночлена − 2 · a · b 4 в степень 3 .
Мы можем заменить возведение в степень на умножение 3 -х одночленов − 2 · a · b 4 . Запишем и получим нужный ответ:
( − 2 · a · b 4 ) 3 = ( − 2 · a · b 4 ) · ( − 2 · a · b 4 ) · ( − 2 · a · b 4 ) = = ( ( − 2 ) · ( − 2 ) · ( − 2 ) ) · ( a · a · a ) · ( b 4 · b 4 · b 4 ) = − 8 · a 3 · b 12
Ответ: ( − 2 · a · b 4 ) 3 = − 8 · a 3 · b 12 .
А как быть в том случае, когда степень имеет большой показатель? Записывать большое количество множителей неудобно. Тогда для решения такой задачи нам надо применить свойства степени, а именно свойство степени произведения и свойство степени в степени.
Решим задачу, которую мы привели выше, указанным способом.
Условие: выполните возведение − 2 · a · b 4 в третью степень.
Зная свойство степени в степени, мы можем перейти к выражению следующего вида:
( − 2 · a · b 4 ) 3 = ( − 2 ) 3 · a 3 · ( b 4 ) 3 .
После этого мы возводим в степень – 2 и применяем свойство степени в степени:
( − 2 ) 3 · ( a ) 3 · ( b 4 ) 3 = − 8 · a 3 · b 4 · 3 = − 8 · a 3 · b 12 .
Ответ: − 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .
Возведению одночлена в степень мы также посвятили отдельную статью.
Правила деления одночленов
Последнее действие с одночленами, которое мы разберем в данном материале, – деление одночлена на одночлен. В результате мы должны получить рациональную (алгебраическую) дробь (в некоторых случаях возможно получение одночлена). Сразу уточним, что деление на нулевой одночлен не определяется, поскольку не определяется деление на 0.
Для выполнения деления нам нужно записать указанные одночлены в форме дроби и сократить ее, если есть такая возможность.
Условие: выполните деление одночлена − 9 · x 4 · y 3 · z 7 на − 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 .
Начнем с записи одночленов в форме дроби.
– 9 · x 4 · y 3 · z 7 – 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2
Эту дробь можно сократить. После выполнения этого действия получим:
3 · x 2 · y · z 7 2 · p 3 · t 5
Ответ: – 9 · x 4 · y 3 · z 7 – 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 = 3 · x 2 · y · z 7 2 · p 3 · t 5 .
Условия, при которых в результате деления одночленов мы получим одночлен, приводятся в отдельной статье.
Решение задач по теме «Одночлены. Арифметические операции над одночленами»
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На этом уроке мы рассмотрим, как выполнять арифметические операции над одночленами, решим различные задания на эту тему.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»
[spoiler title=”источники:”]
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/dejstvija-s-odnochlenami/
http://interneturok.ru/lesson/algebra/7-klass/odnochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-odnochlenami/reshenie-zadach-po-teme-odnochleny-arifmeticheskie-operatsii-nad-odnochlenami
[/spoiler]
Важность понятия
Пик развития математики пришёлся на XVI век, когда учёные разных стран начали обобщать известные сведения и формулировать различные теоремы и доказательства. Но перед этим появились такие понятия, как одночлен и многочлен. Запись уравнения или любой другой формулы, в которой не использовалось сложение или вычитание, получило название одночлен. А суммирование нескольких таких выражений или их разность назвали многочленом.
Карл Фридрих Гаусс, считающийся королём математиков, утверждал, что коэффициенты многочлена могут быть не только вещественными, но и комплексными. Свои доказательства этому он привёл в основной теореме алгебры. Из-за этого роль неизвестных в выражениях начала меняться. Буквенные обозначения стали не только символами, подменяющими числовые значения, но и начали заменять функции.
Таким образом, было принято, что любое математическое выражение состоит из совокупности одночленов. Ими могут быть:
- единственные числа;
- буквы;
- буквенно-числовые произведения.
Изучение уравнений и равенств, состоящих из нескольких одночленов, стало главным объектом в развитии классической алгебры. С их преобразованием связаны такие разделы, как теория групп, анализ функций, изучение комплексных чисел, алгебраическая геометрия.
Над одночленами можно выполнять различные действия. Их можно возводить в корень с разным основанием, перемножать или делить между собой, возводить в степень. Это позволяет выполнять упрощения и приведения выражений к стандартной форме, что впоследствии облегчает вычисление многочленов.
Впервые с понятием «одночлен» знакомят учеников в среднеобразовательной школе в седьмом классе на уроке алгебры. Изучение видов одночленов и правил действий над ними является стартовой площадкой для понимания сущности многочлена, то есть фактически основ алгебры.
С помощью одночлена можно описать простые события, при которых происходит умножение. Это могут быть как количественно известные параметры, так и переменные или неизвестные. Для того чтобы понять важность введения в математике термина «одночлен», лучше всего провести аналогию с фруктами. Яблоко и груши — это отдельный вид деревьев, но их всех объединяет одинаковое свойство, поэтому их называют «фруктами». Так и с формулами: они хотя и разные, но обладают общими свойствами. Поэтому и придумали название — одночлен.
Общие сведения
Алгебраическое выражение, в состав которого входит переменная и постоянная часть, объединённая произведением, принято называть одночленом. Фактически эта запись представляет умножение чисел и степеней неизвестных с натуральным показателем. Каждое неопределённое или известное число занимает одну позицию. Количество таких позиций неограниченно.
Если перед буквенным значением стоит цифра, то её называют коэффициентом одночлена. Он может быть как положительным, так и отрицательным. Когда коэффициент не указан, в зависимости от знака он принимается равным единице или минус единице. При этом понятие коэффициент зачастую применительно и к числу. Например, считают, что у числа девять он равен девяти.
Наиболее типичные записи рассматриваемого вида выражений имеют следующий вид:
- 23 — это обыкновенный одночлен, в составе которого нет переменных;
- 12 * f — выражение, состоящее из буквенного и цифрового числа;
- -5 * d2 — запись, содержащая степень;
- 12 * 3 5/6 * x2 * y4 — пример сложного порядка;
- x * y — формула, в которой все коэффициенты равны единице.
Это всё стандартные виды одночлена, то есть выражения записаны в таком состоянии, что их упростить уже невозможно. Например, формула a3 * 1*3 * b * 3 * а * b3 хоть и является одночленом, но не считается записью стандартного вида. Всё дело в том, что её можно упростить. Кроме этого, её нужно переписать таким образом, чтобы числовой множитель стоял на первом месте, затем неизвестные и основания со степенными показателями. После преобразования получится выражение: 9 * a4 * b4. Этот вид записи уже является стандартным. В нём одночленами считаются числа, переменные и степени.
В алгебре часто используется понятие «степень одночлена». Под ним понимают сумму показателей переменных значений, входящих в состав выражения. Примечательно что нуль, входящий в состав одночлена, степени не имеет, при этом если степень не указана, то она принимается нулевой. Когда выражения похожи друг на друга, они считаются подробными. Например, 5 * d2* k10 и 1/8 * d2 * k10 — подобны.
Действия над выражениями
После умножения одночленов получается также одночлен, указываемый в стандартной записи. Для того чтобы выполнить операцию произведения, используют свойства умножения, а также правила действия со степенями. Умножить одно выражение на другое, значит, определить сумму слагаемых множителя, каждое из которых равно умножаемому.
Существует три закона умножения:
- Сочетательный. Если нужно умножить два одночлена на третий, то можно сначала посчитать произведение первого на третий, а после результат умножить на второй член.
- Переместительный. От перестановки множителей итог не изменится.
- Распределительный. Для того чтобы умножить одночлен на сумму, нужно его отдельно перемножить с каждым суммирующимся членом, а после сложить результат. То есть одночлен превратится в многочлен. При этом этот закон справедлив и для разницы.
При умножении сложных выражений типовой операцией является упрощение записи. Но преобразовать возможно не все выражения. Например, пусть необходимо выполнить умножение одночленов: 2 * c * p3 * s5 (-7 * c3 * p2) = -14 * с2 * p5 * s5.
Деление происходит аналогичным образом. При этом действует правило, согласно которому частное одночленов можно упростить, но лишь в том случае, если делимое и делитель содержат одинаковые буквенные или числовые коэффициенты. В этом случае из показателя делителя отнимается значение степени делимого, коэффициент которого делят на количественный показатель делителя. Например, 12 * p3 * d4 * r6: 4 * p * d2 * r3 = 3 * p2 * d2 * r3.
Возведение в степень выполняют согласно правилам свойств степеней. Так как операция возведения это не что иное, как умножение члена самого на себя столько раз, сколько показывает число в показателе. Например, (3*с)3 = (3*с) * (3*с) *(3*с). Используя правило умножения, выражение можно представить как (3 * 3 * 3) * (с * с * с). Последнюю запись же можно упростить до вида: (3 * 3 * 3) * (с * с * с) = 33 * c3 = 9 * c * p3.
Таким образом, для того чтобы возвести выражение в степень, необходимо каждый множитель отдельно возвести в степень, а затем результаты перемножить. Это правило действует и для любых степеней, показатель которых натуральный. Закон применим и для дробного отношения, только после возведения числитель делят на знаменатель.
Принцип преобразования
Пусть имеется сложный одночлен, состоящий из ненулевых степеней, квадратов, дробных чисел и букв следующего вида: 5 * 7 * a * m * c7 * 3 *2/9 * 2 (1/7) * am * bn * c * x5 * 120. Тут следует обратить внимание, что дроби в выражении могут быть любого типа, кроме случая, когда в знаменателе будет стоять буква. Такая запись неудобна для восприятия и дальнейшего использования из-за хаотично расставленных подобных членов. Поэтому нужно преобразовать её к стандартному виду.
В основе способа упрощения одночлена лежат следующие принципы:
- Если в записи встречается число, то оно обязательно пишется впереди и должно быть единственным в выражении.
- Каждая буква, встречающаяся в формуле, должна повторяться только один раз, записанная в своей степени.
- Буквы в одночлене записывают в алфавитном порядке.
При этом математиками было решено не писать знак умножения между числовым и буквенным множителем, а также между буквенными множителями, перемножающимися между собой.
Решения одночленов
Примеры для самостоятельной работы по преобразованию многочленов помогут понять, как правильно выполняются простые арифметические действия, что важно для решения последующих задач, связанных с многочленами.
Можно выделить следующие виды типовых заданий:
- Пусть дан многочлен: 14 a7b13mt. Нужно определить степень одночлена, то есть сумму степеней входящих в выражение. Для рассматриваемого примера она будет равна: 7 + 13 + 1 + 6 = 20.
- Необходимо записать результат перемножения двух выражений: 12a7c5d * 3b9c6d7k. Решение задания будет следующим: 12a7c5d * 3b9c6d7k = 36a7b9c11d8k.
-
Нужно найти ответ, получающийся после деления 16 a7b5k14m на 8 a5bk3. Итак, при делении получится следующее: 16 a7b5k14m / 8 a5bk3 = 2a2b4k11m.
-
Сложение и вычитание одночленов допускается только в том случае, если буквенная часть у них одинаковая, включая степени. Например, 2 a7b5ck + 7a7b5ck = 9 a7b5ck или 9 p5 — 3p5 = 6p5. То есть действие выполняется только над коэффициентами.
-
Дан многочлен вида: 2a7b5kz3. Нужно возвести его в пятую степень. Согласно правилу, каждый член выражения возводится в степень отдельно. При этом следует помнить правило, что при возведении степени в степень показатели перемножаются. Ответ будет выглядеть следующим образом: (2a7b5kz3)5 = 32a35 b25k5z15.
При выполнении различных действий с одночленом нужно знать всего лишь несколько правил и быть предельно аккуратным при вычислении. Особенно это важно для длинных выражений, состоящих из различного вида членов.
Упрощение на онлайн-калькуляторе
Привести одночлены к удобному виду, значит, упростить их до стандартной записи. Однако зачастую приходится иметь дело с выражениями большого порядка. При этом они могут включать в себя одновременно различные арифметические операции. Выполнять тождественные преобразования самостоятельно бывает довольно трудно, причём возникает вероятность допущения ошибки.
Поэтому использовать специализированные сайты, которые умеют быстро и безошибочно упрощать одночлены любого вида, не зазорно. Порталы предлагают свои услуги бесплатно и для решения примеров не требуют даже регистрации. Что интересно, кроме быстрого расчёта, пользователь, зашедший на такой ресурс, сможет увидеть всю цепочку упрощения, а при желании на страницах онлайн-калькулятора ознакомиться с теорией и основными определениями.
Из всего множества сайтов можно выделить следующие три:
- Kontrolnaya-rabota. Сервис хоть и ориентирован на учащихся старших классов, но по своим возможностям довольно функционален. Так, с его помощью можно преобразовать даже комплексные выражения. Всё, что требуется от пользователя, это правильно ввести выражение и нажать кнопку «Упростить».
- Umath. Программа даёт возможность упростить любое алгебраическое выражение. На сайте можно найти всю необходимую теорию. Ограничений в размере формулы нет.
- Mathforyou. Используя этот онлайн-калькулятор, пользователь сможет выполнить различные действия над выражением, содержащим числовое и символьное обозначение. Для правильного вычисления нужно предварительно ознакомиться с правилами ввода математической формулы, указанными тут же на сайте.
Рекомендованные сайты имеют российский домен, а программы написаны русскими программистами. Поэтому проблем с пониманием, как пользоваться приложениями, возникнуть не должно. Интерфейс онлайн-калькуляторов не содержит нагромождения ненужной информации и интуитивно понятен. Ответ вычисляется буквально за несколько секунд, а используемые алгоритмы исключают возникновение ошибки.
