Как найти значения критических точек

Содержание:

1. Критические точки и экстремумы функции
2. Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)
3. Достаточное условие существования экстремума
4. Задача пример №117
5. Задача пример №118
6. Задача пример №119
7. Задача пример №120
8. Задача пример №121

Критические точки и экстремумы функции

В некоторых точках из области определения производная функции может быть равна нулю или вообще может не существовать. Такие точки из области определения называются критическими точками функции. Покажем критические точки на графике заданной функции.

1. Для значений равных угловой коэффициент касательной к графику равен 0. Т.e. . Эти точки являются критическими точками функции.

2. В точках функция не имеет производной. Эти тоже критические точки функции.

3. Для рассматриваемой нами функции критические точки делят ее область определения на чередующиеся интервалы возрастания и убывания. Точки – критические точки, которые не изменяют возрастание и убывание (или наоборот).

По графику видно, что в точках внутреннего экстремума производная функции равна нулю, а в точке производная не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю, также называются стационарными точками.

Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)

Во внутренних точках экстремума производная либо равна нулю, либо не существует.

Примечание. Точка, в которой производная равна нулю, может и не быть точкой экстремума. Например, в точке производная функции равна нулю, но эта точка не является ни точкой максимума, ни точкой минимума.

На отрезке непрерывности функция может иметь несколько критических точек, точек максимума и минимума. Существование экстремума в точке зависит от значения функции в данной точке и в точках, близких к данной, т.е. имеет смысл локального (местного) значения. Поэтому иногда используют термин локальный максимум и локальный минимум.

Достаточное условие существования экстремума

Пусть функция непрерывна на промежутке и . Если является критической точкой, в окрестности которой функция дифференцируема, то, если в этой окрестности:

1 ) слева от точки положительна, а справа – отрицательна, то точка является точкой максимума.

2) слева от отрицательна, а справа – положительна, то точка является точкой минимума

3) с каждой стороны от точки имеет одинаковые знаки, то точка не является точкой экстремума.

Чтобы найти наибольшее (абсолютный максимум) или наименьшее (абсолютный минимум) значение функции, имеющей конечное число критических точек на отрезке, надо найти значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее.

Соответствующие наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке записываются как и .

Ниже представлены примеры определения максимума и минимума в соответствии со знаком производной первого порядка.

Задача пример №117

Для функции определите максимумы и минимумы и схематично изобразите график.

Решение:

Для решения задания сначала надо найти критические точки. Для данной функции этими точками являются точки (стационарные), в которых производная равна нулю.

1. Производная функции:

2. Критические точки функции:

3. Точки и разбивают область определения функции на три промежутка.

Проверим знак на интервалах, выбрав пробные точки:

для интервала

для интервала

для интервала

Интервал Пробные точки

Знак Возрастание и убывание

При имеем . (-1;3) – максимум

При имеем (1;-1) – минимум

4. Используя полученные для функции данные и найдя координаты нескольких дополнительных точек, построим график функции.

Задача пример №118

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1;2].

Решение:

Сначала найдем критические точки. Так как , то критические точки можно найти из уравнения . Критическая точка не принадлежит данному отрезку [-1; 2], и поэтому мы ее не рассматриваем. Вычислим значение заданной функции в точке и на концах отрезка.

Из этих значений наименьшее – 4, наибольшее 12. Таким образом:

Задача пример №119

Найдите экстремумы функции .

Решение:

1. Производная функции:

2. Критические точки: ,

3. Интервалы, на которые критические точки делят область определения функции:

Проверим знак на интервалах, выбрав пробные точки.

Для промежутка возьмем

Для промежутка (0; 1,5) возьмем

Для промежутка возьмем

Интервал

Пробные точки

Знак Возрастание-убывание

Используя полученную для функции информацию и найдя значение функции еще в нескольких точках, можно построить график функции. При этом следует учитывать, что в точках с абсциссами и касательная к графику горизонтальна. Построение графика можно проверить при помощи графкалькулятора.

• Функция на промежутке возрастает.

• Точка критическая точка функции , но не является экстремумом.

• Функция на промежутке [0; 1,5] возрастает.

• Функция на промежутке убывает.

•

Задача пример №120

Найдите экстремумы функции

Решение:

1. Производная

2. Критические точки: для этого надо решить уравнение или найти точки, в которых производная не существует. В точке функция не имеет конечной производной. Однако точка принадлежит области определения. Значит, точка является критической точкой функции.

3. Промежутки, на которые критическая точка делит область определения функции: и

Определим знак , выбрав пробные точки для каждого промежутка:

Для возьмем Для возьмем

Интервал Пробные точки

Знак

Возрастание-убывание

• Функция на промежутке убывает.

• Функция на промежутке возрастает.

•

Задача пример №121

По графику функции производной схематично изобразите график самой функции.

Решение:

Производная в точке равна нулю, а при отрицательна, значит, на интервале функция убывающая. При производная положительна, а это говорит о том, что функция на промежутке возрастает. Точкой перехода от возрастания к убыванию функции является точка . Соответствующий график представлен на рисунке.

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Другие темы которые вам помогут понять математику:

Объемы подобных фигур

Нахождение промежутков возрастания и убывания функции

Построение графиков функции с помощью производной

Задачи на экстремумы. Оптимизации

Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума?

Экстремумом функции называется максимум и минимум функции.

Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f(x) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.

Это условие необходимое, но не достаточное. Производная в точке х = а может обращаться в нуль, в бесконечность или не существовать без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.

Каково достаточное условие экстремума функции (максимума или минимума)?

Первое условие:

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) положительна слева от а и отрицательна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет максимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) отрицательна слева от а и положительна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет минимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.

Вместо этого можно воспользоваться вторым достаточным условием экстремума функции:

Пусть в точке х = а первая производная f?(x) обращается в нуль; если при этом вторая производная f??(а) отрицательна, то функция f(x) имеет в точке x = a максимум, если положительна – то минимум.

О случае f??(а) = 0 можно прочитать в Справочнике по высшей математике М.Я. Выгодского.

Что такое критическая точка функции и как её найти?

Это значение аргумента функции, при котором функция имеет экстремум (т.е. максимум или минимум). Чтобы его найти, нужно найти производную функции f?(x) и, приравняв её к нулю, решить уравнение f?(x) = 0. Корни этого уравнения, а также те точки, в которых не существует производная данной функции, являются критическими точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум. Их можно легко определить, взглянув на график производной: нас интересуют те значения аргумента, при которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ох) и те, при которых график терпит разрывы.

Для примера найдём экстремум параболы.

Функция                                 y(x) = 3x² + 2x – 50.

Производная функции:        y?(x) = 6x + 2

Решаем уравнение:              y?(x) = 0

6х + 2 = 0,      6х = -2,           х=-2/6 = -1/3

В данном случае критическая точка – это х₀=-1/3. Именно при этом значении аргумента функция имеет экстремум. Чтобы его найти, подставляем в выражение для функции вместо «х» найдённое число:

y₀ = 3*(-1/3)² + 2*(-1/3) – 50 = 3*1/9 – 2/3 – 50 = 1/3 – 2/3 – 50 = -1/3 – 50 = -50,333.

Как определить максимум и минимум функции, т.е. её наибольшее и наименьшее значения?

Если знак производной при переходе через критическую точку х₀ меняется с «плюса» на «минус», то х₀ есть точка максимума; если же знак производной меняется с минуса на плюс, то х₀ есть точка минимума; если знак не меняется, то в точке х₀ ни максимума, ни минимума нет.

Для рассмотренного примера:

Берём произвольное значение аргумента слева от критической точки: х = -1

При х = -1 значение производной будет у?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак – «минус»).

Теперь берём произвольное значение аргумента справа от критической точки: х = 1

При х = 1 значение производной будет у(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знак – «плюс»).

Как видим, производная при переходе через критическую точку поменяла знак с минуса на плюс. Значит, при критическом значении х₀ мы имеем точку минимума.

Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале (на отрезке) находят по такой же процедуре, только с учетом того, что, возможно, не все критические точки будут лежать внутри указанного интервала. Те критические точки, которые находятся за пределом интервала, нужно исключить из рассмотрения. Если внутри интервала находится только одна критическая точка – в ней будет либо максимум, либо минимум. В этом случае для определения наибольшего и наименьшего значений функции учитываем также значения функции на концах интервала.

Например, найдём наибольшее и наименьшее значения функции

y(x) = 3sin(x) — 0,5х

на интервалах:

а) [-9; 9]

б) [-6; -3]

Итак, производная функции —

y?(x) = 3cos(x) — 0,5

Решаем уравнение 3cos(x) — 0,5 = 0

3cos(x) = 0,5

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

х = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Находим критические точки на интервале [-9; 9]:

х = arccos(0,16667) — 2π*2 = -11,163 (не входит в интервал)

х = –arccos(0,16667) — 2π*1 = -7,687

х = arccos(0,16667) — 2π*1 = -4,88

х = –arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

х = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

х = –arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

х = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

х = –arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входит в интервал)

Находим значения функции при критических значениях аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) — 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) — 0,5 = -0,885

Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88:

x = -4,88,        у = 5,398,

а наименьшее – при х = 4,88:

x = 4,88,          у = -5,398.

На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398.

Находим значение функции на концах интервала:

y(-6) = 3cos(-6) — 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) — 0,5 = 1,077

На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции

у = 5,398 при x = -4,88

наименьшее значение —

у = 1,077 при x = -3

Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?

Чтобы найти все точки перегиба линии y = f(x), надо найти вторую производную, приравнять её к нулю (решить уравнение) и испытать все те значения х, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.

Корни уравнения f  ?  (x) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то линия y = f(x) обращена здесь вогнутостью кверху, а если отрицательна – то книзу.

Как найти экстремумы функции двух переменных?

Чтобы найти экстремумы функции f(x,y), дифференцируемой в области её задания, нужно:

1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений

f_х? (x,y) = 0,     f_у? (x,y) = 0

2) для каждой критической точки Р₀(a;b) исследовать, остается ли неизменным знак разности

f(x,y) – f(a,b)

для всех точек (х;у), достаточно близких к Р₀. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р₀ имеем минимум, если отрицательный – то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р₀ экстремума нет.

Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов.

Источники:

• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике
• Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В 3-х томах. Том 1.

Критические точки являются границами
критических областей. Поэтому для
полного задания критических областей
достаточно найти их граничные (критические)
точки.

Задача нахождения критических точек
максимально облегчена для пользователя.
Критические точки не нужно вычислять:
они находятся из соответствующих таблиц.

Помещенные в таблицы критические точки
рассчитаны, исходя из требования: если
нулевая гипотеза H₀
с вероятностью γ верна, то получаемые
в опыте значенияK_н
должны с этой вероятностью γ
попадать в область принятия гипотезы.
Вероятность γ принято брать достаточно
большой (близкой к 1). Сказанное можно
выразить другими словами: если нулевая
гипотезаH₀ с
вероятностью γ верна, то с вероятностью
α = 1 – γ наблюдаемые значения критерияK_н должны
попадать в критическую область.
Вероятность α называютуровнем
значимости. По своему смыслу α есть
вероятность того, что в результате
проверки будет отвергнута правильная
гипотеза. Проверку статистических
гипотез принято проводить, задавая не
вероятность γ, а некоторое достаточно
малое (близкое к нулю) значение уровня
значимости α . Наиболее часто уровень
значимости принимают равным 0,01 или
0,05. Если, например, уровень значимости
выбран равным 0,01, то в среднем в одной
из ста проводимых по одинаковой схеме
проверок будет отвергнута правильная
гипотеза.

Правосторонняя критическая область
состоит из таких значений критерия K,
которые удовлетворяют неравенствуK>k_кр ,
приk_кр
> 0. Поэтомуk_крдля правосторонних критических областей
рассчитаны, исходя из требования, чтобы
(при условии справедливости нулевой
гипотезы) вероятность выполнения
неравенстваK>k_крбыла равна заданному малому уровню
значимости α :

Р(K
>k_кр
) = α .

Критические точки левосторонних
критических областей рассчитаны, исходя
из требования, чтобы (при условии
справедливости нулевой гипотезы)
вероятность выполнения неравенства K<k_кр(k_кр< 0) была равна выбранному малому уровню
значимости α :

Р(K
<k_кр
) = α .

Двусторонняя критическая область
состоит из двух множеств, определяемых
неравенствами: K<k_кр1 иK>k_кр
2 . Для этой области критические точки
должны были бы (при условии справедливости
нулевой гипотезы) находиться из уравнения:

Р(K
<k_кр
1) +Р(K >k_{кр 2})
= α . (5.1)

Существует бесконечно много пар (k_кр
1,k_кр
2 ), удовлетворяющих этому уравнению,
поэтому в обычных прикладных задачах
такие случаи не рассматривают. Если же
значения критерия распределены
симметрично относительно нуля, то и
критические точки можно взять
симметричными: –k_кр1=k_{кр 2} =k_кр. В этом
случае вместо (5.1)

получаем

Р(K < –k_кр
) +Р(K >k_кр )
= α ,

а так
как

Р(K < –k_кр)
=Р(K >k_кр),

то критические точки для двусторонней
критической области рассчитаны из
уравнения

Р(K >k_кр)
= α / 2.

5.5. Проверка гипотезы о равенстве двух средних значений нормальных генеральных совокупностей

Пусть изучаются две генеральные
совокупности биологических объектов,
в одной из которых измеряется признак
X , а в другой
признакY .Пусть
на основании прошлых измерений и проверок
можно ожидать, что генеральные средниеM(X)
иM(Y)
этих совокупностей равны между собой.
Другими словами, пусть можно ожидать,
что и новая проверка нулевой гипотезыН₀ :M(X)
=M(Y)
покажет, что эта гипотеза вновь должна
быть принята.

Строгая проверка данной гипотезы может
быть проведена, если признаки X
иY распределены
нормально и дисперсии их известны.
Однако в практике статистического
анализа оба эти условия выполняются
редко. Как правило, встречаются
следующие случаи:

1) распределение значений признаков X
иY по всей
генеральной совокупности является
нормальным (и всегда будет нормальным,
хотя у каждого отдельного объекта
совокупности величина признака изменяется
во времени), а дисперсии признаков
неизвестны;

2) распределения значений признаков X
иY в генеральных
совокупностях не являются нормальными
и дисперсии их неизвестны.

Условия строгой проверки Н₀ можно
выполнить с достаточно большой точностью.
Пусть из генеральных совокупностейX
иY извлечены
независимые выборки объемовn
и m и по этим
выборкам найдены выборочные средние_в
и_в
. Если независимые выборки имеют
большой объем (n >
30,m > 30), то
выборочные средние_в
и_в
можно рассматривать как значения
случайных величини,
которые (это можно доказать) распределены
приближенно нормально. При больших
объемахn иm
выборочные дисперсииD_в(X)
иD_в(Y)
являются достаточно точными оценками
генеральных дисперсий, поэтому можно
считать генеральные дисперсии приближенно
известными.

В качестве критерия проверки нулевой
гипотезы Н₀ берут случайную
величину

.

Величина Zраспределена
приближенно нормально с параметрамиM(Z)
= 0 иσ(Z) = 1, поэтому
критические точки находятся по таблице
функции Лапласа Ф(x)
(Приложение 3).

Построение критической области при
проверке нулевой гипотезы производится
по-разному в зависимости от вида
противоречащей гипотезы.

1. Нулевая гипотеза Н₀ :M(X)
=M(Y)
, противоречащая гипотезаН₁ :M(X)
≠M(Y).

В этом случае критическая область
является симметричной двусторонней и
определяется неравенствами: Z
< –z_кр иZ>z_кр. Критическую точкуz_кр
при выбранном уровне значимости
α находят из равенства Ф(z_кр) = (1- α)/2 по таблице функции Лапласа. По
выборочным данным вычисляется наблюдаемое
значение критерия

Z_н =.

Если | Z_н | <z_кр , то нет
оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если | Z_н | >z_кр , то
нулевая гипотеза отвергается.

Пример 5.1. Из генеральных совокупностейX иY
извлечены независимые выборки объемовn = 50 иm
= 70. Выборочные средние оказались
равными_в
= 73 и_в
= 76, а выборочные дисперсииD_в(X)
= 7,5 иD_в(Y)
= 8,2 . При уровне значимости α = 0,01 проверить
нулевую гипотезуН₀ :M(X)
=M(Y)
при противоречащей гипотезеН₁
:M(X)
≠M(Y).

Решение. Наблюдаемое значение
критерия равно

Z_н ===
– 2.36 .

Критическую точку z_кр
двусторонней критической области
находим из равенства

Ф(z_кр) = (1-
α)/2 == 0,495 .

По таблице функции Лапласа (Приложение
3) находим, что z_кр
= 2,58 . Так как оказалось, что |Z_н
| <z_кр (т.е.Z_н попало
в область принятия гипотезы), то нет
оснований отвергнуть нулевую гипотезу.Е

2. Нулевая гипотеза Н₀ :M(X)
=M(Y)
, противоречащая гипотезаН₁ :M(X)
>M(Y).

В этом случае критическая область
является правосторонней и определяется
неравенством Z>z_кр. Критическую точкуz_кр
при выбранном уровне значимости
α находят из равенства Ф(z_кр) = (1- 2α)/2 по таблице функции Лапласа. По
выборочным данным вычисляется наблюдаемое
значение критерия

Z_н =.

Если Z_н <z_кр , то нет
оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если Z_н >z_кр , то
нулевая гипотеза отвергается.

Пример 5.2. Из генеральных совокупностейX иY
извлечены независимые выборки объемовn = 40 иm
= 50. Выборочные средние оказались
равными_в
= 28 и_в
= 24, а выборочные дисперсииD_в(X)
= 1,5 иD_в(Y)
= 2,2 . При уровне значимости α = 0,05 проверить
нулевую гипотезуН₀ :M(X)
=M(Y)
при противоречащей гипотезеН₁
:M(X)
>M(Y).

Решение.
Наблюдаемое значение критерия равно

Z_н ===
14,01 .

Критическую точку z_кр
правосторонней критической
области находим с помощью равенства

Ф(z_кр) =
(1-2α)/2 == 0,45 .

Из этого равенства по таблице функции
Лапласа находим, что z_кр
= 1,645. Так какZ_н
>z_кр ,
то нулевая гипотеза отвергается.Е

3. Нулевая гипотеза Н₀ :M(X)
=M(Y)
, противоречащая гипотезаН₁ :M(X)
<M(Y).

В этом случае критическая область
является левосторонней и определяется
неравенством Z< –z_кр, причемz_кр при
выбранном уровне значимости α находится
(как и в п.2) из равенства Ф(z_кр) = (1- 2α)/2 по таблице функции Лапласа. По
выборочным данным вычисляется наблюдаемое
значение критерия

Z_н =.

Если Z_н >
–z_кр , то
нет оснований отвергнуть нулевую
гипотезу.

Если Z_н <
–z_кр , то
нулевая гипотеза отвергается.

Пример 5.3. Из генеральных совокупностейX иY
извлечены независимые выборки объемовn = 40 иm
= 50. Выборочные средние оказались
равными_в
= 25,7 и_в
= 26, а выборочные дисперсииD_в(X)
= 12,5 иD_в(Y)
= 15,6 . При уровне значимости α = 0,05 проверить
нулевую гипотезуН₀ :M(X)
=M(Y)
при противоречащей гипотезеН₁
:M(X)
<M(Y).

Решение.
Наблюдаемое значение критерия равно

Z_н ===
– 0,633 .

Значение
z_кр находим
также, как для правосторонней области,
с помощью равенства

Ф(z_кр) =
(1-2α)/2 == 0,45 .

По
таблице функции Лапласа находим, что
z_кр = 1,645 .
Так какZ_н >
–z_кр , т.е.Z_нпопало в
область принятия гипотезы, то нет
оснований отвергнуть нулевую гипотезуН₀ .Е

Нулевая гипотеза Н₀ :M(X)
=M(Y)
может быть выражена по другому. Так как
выборочные средние являются несмещенными
оценками генеральных средних, то естьM(X)
=M()
иM(Y)
=M(),
то нулевую гипотезу можно записать так:

Н₀ :M()
=M().

Это значит, что проверка гипотезы о
равенстве двух генеральных средних
равносильна проверке гипотезы о равенстве
математических ожиданий выборочных
средних.

Выборочные средние
_в
и_впрактически всегда оказываются не
равными друг другу. Но если окажется,
что нет оснований отвергнуть нулевую
гипотезуН₀ :M(X)
=M(Y)
о равенстве генеральных средних, то
различие выборочных средних являетсянезначимым и объясняется
не природой изучаемых объектов, а просто
случайным отбором объектов выборки.
Если же нулевая гипотеза отвергается,
т.е. генеральные средние не равны друг
другу, то различие выборочных средних
являетсязначимым и главная
причина этого есть действительное
различие свойств изучаемых объектов,
а неизбежная случайность отбора при
составлении выборки играет второстепенную
роль.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Как найти критические точки уравнения

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

2. Отыскание точек экстремума

Теория:

Теорема 3. Если функция (y=f(x)) имеет экстремум в точке x = x 0 , то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Теорема 4 (достаточные условия экстремума). Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке (X) и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x = x 0 . Тогда:

а ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x x 0 выполняется неравенство f ′ ( x ) 0 , а при x > x 0 — неравенство f ′ ( x ) > 0 , то x = x 0 — точка минимума функции y = f ( x ) );

б ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x x 0 выполняется неравенство f ′ ( x ) > 0 , а при x > x 0 — неравенство f ′ ( x ) 0 , то x = x 0 — точка максимума функции y = f ( x ) );

в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки x 0 знаки производной одинаковы, то в точке x 0 экстремума нет.

Обычно точки из области определения функции, в которых производная равна нулю, называются стационарными , а точки из области определения функции, в которых функция непрерывна, а производная не существует, называются критическими .

Итак, чтобы определить экстремумы (минимумы и максимумы) функции f ( x ) , сначала нужно найти критические точки, в которых f ′ ( x ) = 0 или же производная не существует (и которые принадлежат области определения функции). Тогда легко определить интервалы, в которых у производной неизменный знак. (Критические (стационарные) точки делят реальную числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы определить знак производной, достаточно вычислить значение производной функции в какой-либо точке соответственного интервала.)

Алгоритм исследования непрерывной функции y = f ( x ) на монотонность и экстремумы:

1. найдём производную f ′ ( x ) .

2. Определим стационарные и критические точки.

3. Нанесём стационарные и критические точки на числовую прямую и определим знаки производной на каждом промежутке.

4. Опираясь на теоремы (1), (2) и (4), определим промежутки монотонности функции и точки экстремума функции.

Экстремумы функции

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Если в точке x * выполняется условие:

Пример №1 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке [1; 3].
Решение.

Критическая точка одна x₁ = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку [1;3]. (Точка x=0 не является критической, так как 0∉[1;3]).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 /₂, f(3)=3 8 /₈₁
Ответ: f_min= 5 /₂ при x=2; f_max=9 при x=1

Пример №2 . С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π /₃+2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x= π /₃+2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=- π /₃+2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3 . Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x₀ или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

Пример №4 . Разбить число 49 на два слагаемых, произведение которых будет наибольшим.
Решение. Обозначим x – первое слагаемое. Тогда (49-x) – второе слагаемое.
Произведение будет максимальным: x·(49-x) → max
или
49x – x 2

[spoiler title=”источники:”]

http://www.yaklass.ru/p/algebra/10-klass/proizvodnaia-primenenie-proizvodnoi-dlia-issledovaniia-funktcii-9147/issledovanie-funktcii-na-monotonnost-i-ekstremumy-11226/re-8c9017fb-9609-45ff-addb-15e7a264bda1

http://math.semestr.ru/math/minmax.php

[/spoiler]

Как определить критические точки

Критические точки являются одним из важнейших аспектов исследования функции с помощью производной и имеют широкую область применения. Они используются в дифференциальном и вариационном исчислениях, играют большую роль в физике и механике.

Инструкция

Понятие критической точки функции тесно связано с понятием ее производной в этой точке. А именно, точка называется критической, если производная функции в ней не существует или равна нулю. Критические точки являются внутренними точками области определения функцию.

Чтобы определить критические точки данной функции, необходимо выполнить несколько действий: найти область определения функции, вычислить ее производную, найти область определения производной функции, найти точки обращения производной в ноль, доказать принадлежность найденных точек области определения исходной функции.

Пример 1Определите критические точки функции y = (x – 3)²·(x-2).

РешениеНайдите область определения функции, в данном случае ограничений нет: x ∈ (-∞; +∞);Вычислите производную y’. По правилам дифференцирования произведения двух функций имеется: y’ = ((x – 3)²)’·(x – 2) + (x – 3)²·(x – 2)’ = 2·(x – 3)·(x – 2) + (x – 3)²·1. После раскрытия скобок получается квадратное уравнение: y’ = 3·x² – 16·x + 21.

Найдите область определения производной функции: x ∈ (-∞; +∞).Решите уравнение 3·x² – 16·x + 21 = 0 для того, чтобы найти, при каких x производная обращается в ноль: 3·x² – 16·x + 21 = 0.

D = 256 – 252 = 4×1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 – 2)/6 = 7/3.Итак, производная обращается в ноль при значениях x, равных 3 и 7/3.

Определите, принадлежат ли найденные точки области определения исходной функции. Поскольку x (-∞; +∞), то обе эти точки являются критическими.

Пример 2Определите критические точки функции y = x² – 2/x.

РешениеОбласть определения функции: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), поскольку x стоит в знаменателе.Вычислите производную y’ = 2·x + 2/x².

Область определения производной функции та же, что у исходной: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞).Решите уравнение 2·x + 2/x² = 0:2·x = -2/x² → x = -1.

Итак, производная обращается в ноль при x = -1. Выполнено необходимое, но недостаточное условие критичности. Поскольку x=-1 попадает в интервал (-∞; 0) ∪ (0; +∞), то эта точка являются критической.

Источники:

• Критический объем реализации , штПорог

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?