Как найти значения остальных тригонометрических функций если

ВИДЕО УРОК

Выражение всех тригонометрических функций через одну из них с помощью основных
тригонометрических тождеств.

Основные тригонометрические тождества позволяют определить по значению
одной из тригонометрических функций значения всех остальных.

ПРИМЕР:

Известно, что

sin x =
–³/₅,

причём

π < х <  ^3π/₂.

Найти

cos x,
tg x, ctg x.

РЕШЕНИЕ:

Из формулы

sin² α
+ cos² α = 1

получаем

cos² х  = 1 – sin² х.

подставив вместо  sin
х  его
значение, получим:

Итак,

cos² х
= ¹⁶/₂₅

значит,

либо  cos х = ⁴/₅

либо  cos х = –⁴/₅.

По условию:

π < х <  ^3π/₂,

то есть аргумент  х  принадлежит 
третьей четверти. Но в третьей четверти косинус отрицателен. Значит, из
двух указанных выше возможностей выбираем одну:

cos х
= –⁴/₅.

Зная  sin x  и  cos
х, находим  tg x  и  ctg x:

ctg x = ⁴/₃.

ОТВЕТ:

cos х = –⁴/₅,

tg x
= ³/₄,

ctg x
= ⁴/₃.

ПРИМЕР:

Дано:

sin α = ²⁰/₂₉.

Вычислить значения остальных
тригонометрических функций острого угла  α.

РЕШЕНИЕ:

Из формулы:

sin² α + соs² α = 1

имеем:

соs² α = 1 – sin² α

Подставляя вместо  sin² α  его численное значение  ²⁰/₂₉, получаем:

Следовательно:

соs α = ²¹/₂₉

Для нахождения 
tg α 
воспользуемся формулой

Получим:

tg α = ²⁰/₂₉ : ²¹/₂₉ = ²⁰/₂₁.

Отсюда, пользуясь формулой

tg α ∙ сtg α = 1,

Имеем:

ОТВЕТ:

соs α = ²¹/₂₉,

tg α = ²⁰/₂₁,

сtg α = ²¹/₂₀.

ПРИМЕР:

Определить значения тригонометрических функций угла  α, если

tg α = ³/₄

и  180° < α < 270°.

РЕШЕНИЕ:

По формуле

Находим

По формуле

Находим

Учитывая, что  sec α < 0  при 

180° < α < 270°

получим

–sec α = ⁵/₄

откуда

sec α = –⁵/₄

По формуле

Находим

сos α = – ⁴/₅.

Значения  sin α  найдём из
формулы

|sin α| = ³/₅.

Учитывая, что  sin α < 0  при 

180° < α < 270°

находим

sin α = –³/₅.

ОТВЕТ:

sin α = –³/₅,

соs α = –⁴/₅,

сtg α = ⁴/₃.

ПРИМЕР:

Известно, что

ctg x = –⁵/₁₂,

причём

^π/₂ < х < π.

Найти

sin х, cos x,
tg x.

РЕШЕНИЕ:

Из формулы

1 + ctg² α = cosec² α

находим

подставив
вместо  ctg x  его значение, получим:

Итак,

sin² х = ¹⁴⁴/₁₆₉

значит,

либо  sin х = ¹²/₁₃

либо  sin х = –¹²/₁₃.

По условию:

^π/₂ < х < π,

то есть аргумент  х  принадлежит 
второй четверти. Но во второй четверти синус положителен. Значит, из
двух указанных выше возможностей выбираем одну:

sin х = ¹²/₁₃.

Для отыскания значения  cos x  воспользуемся
формулой:

Из этой формулы находим

cos x
= ctg x ∙ sin х =

= –⁵/₁₂ ∙ ¹²/₁₃ = –⁵/₁₃.

Осталось вычислить
значение  tg x. Из равенства

находим

tg x = –¹²/₅.

ОТВЕТ:

sin х = ¹²/₁₃,

cos х = –⁵/₁₃,

tg x = –¹²/₅.

ПРИМЕР:

Дано:

сtg α = ⁴⁵/₂₈.

Вычислить остальные тригонометрические функции
острого угла  α.

РЕШЕНИЕ:

Записываем значение  tg α  как
величину, обратную  сtg α:

tg α = ²⁸/₄₅.

на основании формулы

имеем:

Возведя обе части этого
равенства в квадрат, получим:

Прибавим к обеим частям
этого равенства по единице:

Учитывая, что

sin² α + cos² α = 1,

находим:

откуда

sin α = ²⁸/₅₃.

Из формулы

Имеем, что

соs α = сtg α ∙ sin α.

В применению к данному случаю получим:

ОТВЕТ:

sin х = ²⁸/₅₃,

cos х = ⁴⁵/₅₃,

tg x = ²⁸/₄₅.

Вычисление
значений тригонометрических функций острого угла по значению одной из них надо
производить каждый раз, как было показано выше на примерах, пользуясь основными
формулами:

которые
надо твёрдо заучить.

Соотношения
между тригонометрическими функциями одного аргумента.

Если
преобразовать основные тригонометрические тождества, не предавая определённого
значения заданной функции, то можно вывести некоторые соотношения между
тригонометрическими функциями одного аргумента. Можно получить
выражения любой из тригонометрических функций через все остальные с помощью
следующих формул:

 Формулы,
приведённые в таблице, позволяют по значению одной из тригонометрических
функций находить значения всех остальных.

Во всех формулах, в
которых входят функции  tg α  или  sес α,
исключается значение

α = (2k + 1) ^π/₂,

где  k – любое целое
число, так как при этих и только при этих значениях  α  функции  tg α  или  sес α  не определены, то
есть не существуют. Во всех формулах, в которые входят функции  ctg α  или  cosес α, исключаются значения 

α = kπ,

где  k – любое целое
число, так как при этих и только при этих значениях  α  функции  ctg α  или  cosес α  не определены (не
существуют).

В тех формулах, в
которые входят радикалы, в общем случае перед радикалом следует становить
двойной знак  ±. Выбор определенного знака может быть произведён, если
дано дополнительное условие.

Пусть, например,

Если угол 
α 
находится в интервале от  0  до  π (или от  2kπ  до  2kπ + π, где  k – любое целое число), то

а если угол 
α 
находится в интервале от  π  до  2π (или от  π + 2kπ  до  2π + 2kπ, где  k – любое целое число), то

Таким образом,
выбор знака перед радикалом зависит от того промежутка, в котором
находится  α.

ПРИМЕР:

Дано:

соs α = ²/₇.

Вычислить значения остальных
тригонометрических функций острого угла  α.

РЕШЕНИЕ:

Из формулы:

sin² α + соs² α = 1

имеем:

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Выразить значения
тригонометрических функций острого угла   
через  cos α.

РЕШЕНИЕ:

Из формулы:

sin² α +
cos² α = 1

находим:

Из формулы:

имеем:

и, следовательно

Подобного
рода задачи можно решать в общем виде и составить формулы, выражающие любую из
тригонометрических функций через все остальные.

ПРИМЕР:

Выразить  cos α  через все остальные тригонометрические функции
угла  α.

РЕШЕНИЕ:

Из тождества:

sin² α +
cos² α = 1

находим:

Далее из равенства

sec² α = 1 + tg² α

находим:

откуда

Заменив в полученном
равенстве

находим:

Так как

то последнее равенство примет вид:

Итак

ПРИМЕР:

Вывести выражения
тригонометрических функций острого угла   
через  tg α.

РЕШЕНИЕ:

Из формулы:

имеем:

Прибавляя к обеим частям
этих равенств по единице, получим:

или,
так как

Для того, чтобы определить значение угла α, необходимо воспользоваться подходящей функции из тригонометрии. Во время решения задач постоянно возникает необходимость в том, чтобы узнать значение углов. Для некоторых углов можно найти точные значения, для других сложно определить точную цифру и можно вывести только приблизительное значение.

В этой статье мы подробно поговорим о функциях из тригонометрии. Мы не только расскажем о свойствах синуса, тангенса и других функций, но и узнаем, как правильно вычислять значения для каждого отдельного случая.

Рассмотрим подробно каждый случай.

Приближенное число для каждой из известных функций можно найти по определению. Для одних можно указать точные значения, для других – только приблизительные.

Соотношения сторон и углов фигуры используются для того, чтобы определить значения для 30°, 45°, 60°. Если угол выходит за пределы 90°, то перед вычислением значения следует воспользоваться специальной формулой для того, чтобы привести угол к нужному виду.

Если известно значение синуса для α, можно быстро узнать значение косинуса для этого же угла. Это легко выполнить с помощью основных тождеств, которые представлены в геометрии.

В некоторых случаях для того, чтобы узнать sin или cos угла, можно использовать подходящую тригонометрическую формулу. Например, по известному значению синуса 45°, мы сможем определить значение синуса 30°, воспользовавшись правилом из тригонометрии.

Если для примера не подходит ни одно из приведенных выше решений, можно найти приближенное значение. В этом вам помогут таблицы основных тригонометрических функций, которые легко можно найти.

Если взять за основу определения, возможно определить значения для определенного угла α. Также можно вычислить значения тангенса и котангенса для определенного случая. Можно найти значений основных функций из тригонометрии для частных вариантов. Это углы 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Разобьем эти углы на четыре группы: 360·z градусов (2π·z рад), 90+360·z градусов (π2+2π·z рад), 180+360·z градусов (π+2π·z рад) и 270+360·z градусов (3π2+2π·z рад), где z- любое целое число.

Изобразим данные формулы на рисунке: 

 

Для каждой группы соответствуют свои значения.

Если А(1, 0) повернуть на 90+360·z°, то она перейдет в А1 (0, 1).  По определению:  sin (90°+360°·z) =1 и cos (90°+360°·z) =0 . Мы не сможем определить значение тангенса, но котангенс рассчитывается по данной формуле: ctg (90°+360°·z) =01=0 . 

Рассмотрим особенности для третьей группы углов. После поворота точки А(1, 0) на любой из углов 180+360·z°, она перейдет в A1(−1, 0). Мы находим значения функций кроме тангенса.

Чем точнее выполняется чертеж, тем более точными будут значения для каждого индивидуального случая. Выполнять вычисления удобно только в теории, так как на практике довольно сложно и долго выполнять рисунки.

Линии тригонометрических функций

Линии тригонометрических функций – это линии, которые изображаются вместе с единичной окружностью. Они имеют точку отсчета и единичный отрезок, которая равна единице в координатной системе. Они используются для наглядного изображения значений.

Рассмотрим их на подробном рисунке

Как найти sin α, cos α, tg α, ctg α

Для тридцати-, сорокопяти-, шестидесятиградусных углов мы имеем определенные значения. Чтобы найти их, можно воспользоваться правилами о прямоугольном треугольнике с острыми углами. Для этого используется теорема Пифагора.

Полученные значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов будут использоваться для решения различных задач. Запишите их – они часто будут использоваться. Для удобства можно использовать таблицу значений.

Проиллюстрируем значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов с использованием окружности и линий.

Значения основных функций тригонометрии

Основные тождества из геометрии связывают с собой sin α, cos α, tg α, ctg α для определенного угла. С помощью одной функции вы легко сможете найти другую.

Для того, чтобы найти синус по известному косинусу, sin2α+cos2α=1 . 

Тангенс по известному косинусу tg2α+1=1cos2α . 

Котангенс по известному синусу или наоборот 1+ctg2α= 1sin2α . 

Тангенс через котангенс или наоборот можно найти благодаря удобной формуле: tg α·ctg α=1 . 

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим их на подробном примере

Сведение к углу 

Удобнее всего находить значения для угла от 0 до 90 °. Сведение к углу из интервала от 0 до 90 °. Если угол не соответствует заданному интервалу, можно использовать законы и тождества, которые мы учили на уроках геометрии. Тогда мы сможем найти значение, которое будет равно для угла указанных пределах.

Задача заключается в том, чтобы найти синус 210°. Представим 210 как разность или сумму, разложив число на несколько. Воспользуемся соответствующей формулой для приведения.  Используем формулу для нахождения значения синуса 30°: sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-12 , или косинуса 60 ° sin 210°=sin(270°-60°)=-cos 60°=-12.

Для того, чтобы решать задачи было намного проще, при нахождении значений переходите к углам из интервала от 0 до 90° с помощью формул приведения, если угол не находится в этих пределах.

Использование формул

Раннее мы рассмотрели подробности, касающиеся нахождению значений основных функций с использованием формул тригонометрии. Для того, чтобы определить значение для определенного угла, используйте формулы и значения основных функций для известных углов.

Для примера вычислим значение тангенса π8, который был использован в предыдущем примере. Возьмем за основу основные формулы тригонометрии.

Частные случаи

Тригонометрия – довольно сложная наука. Далеко не всегда можно найти формулы, используемые для вычисления. Существует множество уравнений, которые не поддаются стандартным формулам. Некоторые значения очень сложно обозначить точной цифрой. Это не так просто, как может показаться.

Однако точные значения не всегда нужны. Хватает и тех, что не претендуют на высокую точность. Благодаря существующим таблицам, которые можно найти в математических учебниках, можно найти любое приближенное значение основных функций. Благодаря справочным материалам вычислять формулы будет намного проще. В таблицах содержатся значения с высокой точностью.

При помощи формул (1)-(8) можно выразить (с точностью до знака) через любую из шести тригонометрических функций угла $alpha$ остальные пять функций. Мы ограничимся только функциями $sin alpha , cos alpha$ и $tg alpha$.

1. Выражение через $sin alpha$. Из тождества $sin^{2} alpha + cos^{2} alpha = 1$ находим

$cos alpha = pm sqrt{1 – sin^{2} alpha }$. (1)

Подставив найденное значение $cos alpha$ в тождество $tg alpha = frac{ sin alpha}{ cos alpha}$, получим

$tg alpha = pm frac{ sin alpha }{ sqrt{1 – sin^{2} alpha } }$, (2)

где $alpha neq frac{ pi}{2} + n pi; n = 0, pm 1, pm 2, cdots$

2. Выражение через $cos alpha$. Из тождества $sin^{2} alpha + cos^{2} alpha = 1$ находим

$sin alpha = pm sqrt{1 – cos^{2} alpha }$. (3)

Подставив найденное значение $sin alpha$ в тождество $tg alpha = frac{ sin alpha}{ cos alpha}$, получим

$tg alpha = pm frac{ sqrt{1 – cos^{2} alpha } }{ cos alpha }$, (4)

где $alpha neq frac{ pi}{2} + n pi; n = 0, pm 1, pm 2, cdots$

3. Выражение через $tg alpha$. Из тождества $1 + ctg^{2} alpha = cosec^{2} alpha$ находим $sec alpha = pm sqrt{1 + tg^{2} alpha}$. Подставив значение $sec alpha$ в тождество $sec alpha = frac{1}{ cos alpha}$, получим из него

$cos alpha = pm frac{1}{ sqrt{1 + tg^{2} alpha } }$, (5)

где $alpha neq frac{ pi}{2} + n pi; n = 0, pm 1, pm 2, cdots$

Далее находим

$sin alpha = tg alpha cos alpha = pm frac{tg alpha }{ sqrt{1 + tg^{2} alpha } }$, (6)

где $alpha neq frac{ pi}{2} + n pi; n = 0, pm 1, pm 2, cdots$

При извлечении квадратного корня знак следует выбирать в зависимости от того, в какой четверти находится угол $alpha$.

В дальнейшем мы будем использовать следующий факт:

Для того чтобы два действительных числа $x$ и $y$ можно было принять за $cos alpha$ и $sin alpha$ одного и того же угла $alpha$, необходимо и достаточно, чтобы сумма их квадратов была равна единице: $x^{2} + y^{2}= 1$.

Доказательство. Необходимость. Если $x = cos alpha$ и $y = sin alpha$, то по тождеству $sin^{2} alpha + cos^{2} alpha = 1$, т. е. $x^{2} + y^{2} = 1$.

Достаточность. Рассмотрим радиус-вектор $vec{OM}$ (рис.) с проекциями $x$ и $y$. Так как по условию $x^{2} + y^{2} = 1$, то длина этого вектора равна 1. Следовательно, $vec{OM}$ – единичный радиус-вектор. Согласно первым двум формулам $begin{cases} sin alpha = y, cos alpha = x \ tg alpha = frac{y}{x}, ctg alpha = frac{x}{y} \ sec alpha = frac{1}{x}, cosec alpha = frac{1}{y} end{cases}$ $sin alpha = y$ и $cos alpha = x$, где $alpha$ – угол, образованный подвижным единичным радиусом-вектором ОМ и положительным направлением оси $Ox$.

3ГОНОМЕТРИЯ     В НАЧАЛО
Нахождение значений тригонометрических функций угла по значению какой-нибудь одной из них.
Используя основные тригонометрические тождества, легко найти значения всех тригонометрических функций sin х, cos х, tg x, ctg x, sec x, cosec x, если известно значение какой-нибудь одной из них. Поясним это на конкретных примерах.
Пример   1. Найти значения   тригонометрических функций  угла φ, если известно, что sin φ = 3/5. Из тождества sin2 φ + cos2φ = 1  находим: cos2φ = 1 — sin2 φ = 16/25 Поэтому cos φ = ± 4/5 Знак + или — следует выбирать в зависимости от того,  в какой четверти оканчивается угол φ. По условию sin φ = 3/5 > 0. Значит, угол φ оканчивается либо в   1-й,  либо во 2-й четверти. 1)Если он оканчивается в 1-й четверти, то cos φ = + 4/5.    2)Если же он оканчивается во 2-й четверти, то cos φ = — 4/5. В  первом случае
Во втором случае tg φ = — 3/4;  ctg φ = —  4/3;  sес φ = —  5/4; cosec φ = 5/3
Пример 2. Найти значения тригонометрических функций угла φ, если  известно,   что  он   оканчивается  в  4-й  четверти и  tg φ = — 3/4 Используя тождество 1 + tg2 φ = sec2 φ, найдем sec φ: sec φ = /1 + tg2 φ  = /1+ (— 3/4 ) 2  =  5/4 Знак + перед радикалом мы взяли потому, что угол φ по условию оканчивается в 4-й четверти, sec φ = 1/cosφ  , а косинус угла, оканчивающегося в 4-й четверти, положителен; поэтому положителен и sec φ. Далее получаем:                 cos φ = 1/secφ = 4/5 Теперь, используя тождество sin2 φ + cos2 φ = 1, найдем   sin φ: sin φ = — / l — cos2 φ = — 3/5 . Здесь перед радикалом нужно брать знак — ,  поскольку синус угла, оканчивающегося в 4-й четверти, отрицателен. Заметим, что в данном случае рациональнее было бы   найти sin φ из тождества tg φ = sin φ/cos φ  . Однако мы сознательно  получили  sin φ  другим путем, чтобы еще раз показать, как нужно  выбирать знак (+ или —) перед радикалом. Итак, мы получили cos φ, sin φ, tg φ, sec φ. После этого легко найти значения и других тригонометрических функций угла φ: ctg φ = 1/tg φ = — 4/3  ;  cosec φ = 1/sin φ = — 5/3
Упражнения 1.  Найти   значения   тригонометрических   функций   угла   α по  следующим данным; 1) sin α = 0,6  0°<α<90°;       4) cosα = —0,8, 180°<α<270°; 2) sinα= — /2/3, π <α< 3/2  π; 5) tgα = —2,   3/2  π <α< 2π; 3) cosα= 12/13, 270°<α<360°;       6) tgα =  1/3 ,  180°<α<270°. 2.   Найти значения   тригонометрических   функций   угла  φ, если известно,  что sin φ = /2ab /a+b     (a > b > 0)  и  угол φ оканчивается не в  1-й четверти. 3.   Найти   значения   тригонометрических   функций   угла   φ, если известно, что tg φ = а2 — 1 ( |а| < 1), и угол φ оканчивается не во 2-й четверти.