Как найти значения параметров онлайн

Решение уравнений с параметром

Примеры уравнений с параметром

Указанные выше примеры содержат также:

• модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
  арккотангенс acot(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
  гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
  гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
• другие тригонометрические и гиперболические функции:
  секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
  арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
  гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
  гиперболический арккосеканс acsch(x)
• функции округления:
  в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
• знак числа:
  sign(x)
• для теории вероятности:
  функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
  функция Лапласа laplace(x)
• Факториал от x:
  x! или factorial(x)
• Гамма-функция gamma(x)
• Функция Ламберта LambertW(x)
• Тригонометрические интегралы: Si(x),
  Ci(x),
  Shi(x),
  Chi(x)

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x

– умножение

3/x

– деление

x^2

– возведение в квадрат

x^3

– возведение в куб

x^5

– возведение в степень

x + 7

– сложение

x – 6

– вычитание

Действительные числа

вводить в виде 7.5, не 7,5

Постоянные

pi

– число Пи

e

– основание натурального логарифма

i

– комплексное число

oo

– символ бесконечности

Решение уравнений с параметром по математике

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве
сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только
возрастает. В математике существуют задачи, в которых необходимо произвести поиск решений линейных и
квадратных уравнений в общем виде или произвести поиск количества корней, которое имеет уравнение в
зависимости от значения параметра. Все эти задачи с параметрами.

Так же читайте нашу статью “Решить уравнение пропорцией
онлайн”

Рассмотрим следующие уравнения в качестве наглядного примера:

[у = kx,] где [x, y] – переменные, [k ]- параметр;

[у = kx + b,] где [x, y] – переменные, [k, b] – параметр;

[аx^2 + bх + с = 0,] где [x] – переменная, [а, b, с] – параметр.

Решить уравнение с параметром значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений.

Однако, придерживаясь определенного алгоритма, можно легко решить такие уравнения:

1. Определить “контрольные” значения параметра.

2. Решить исходное уравнение относительно [x] при значениях параметра, определенных в первом пункте.

3. Решить исходное уравнение относительно [x] при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом
пункте.

Допустим, дано такое уравнение:

[mid 6 – x mid = a.]

Проанализировав исходные данные, видно, что a [ge 0.]

По правилу модуля [6 – x = pm a, ] выразим [x:]

[x = 6 pm a. ]

Ответ: [x = 6 pm a,] где [a ge 0.]

Где можно решить уравнение с параметром онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель
позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это
просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию
и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей
групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда
рады помочь вам.

Универсальный математический калькулятор

Онлайн-калькулятор позволяет решать математические выражения любой сложности с выводом подробного результата решения по шагам.

Также универсальный калькулятор умеет производить действия со скобками, дробями, тригонометрическими функциями, возведение в любую степень и многое другое (смотрите примеры ниже).

Онлайн калькулятор уравнений, интегралов, производных, пределов, дробей и пр.

Разделитель системы уравнений

Натуральный логарифм и предел:

Пояснения к калькулятору

1. Для решения математического выражения необходимо набрать его в поле ввода с помощью предложенной виртуальной клавиатуры и нажать кнопку ↵ .
2. Управлять курсором можно кликами в нужное местоположение в поле ввода или с помощью клавиш со стрелками ← и → .
3. ⌫ – удалить в поле ввода символ слева от курсора.
4. C – очистить поле ввода.
5. При использовании скобок ( ) в выражении в целях упрощения может производится автоматическое закрытие, ранее открытых скобок.
6. Для того чтобы ввести смешанное число или дробь необходимо нажать кнопку ½ , ввести сначала значение числителя, затем нажать кнопку со стрелкой вправо → и внести значение знаменателя дроби. Для ввода целой части смешанного числа необходимо установить курсор перед дробью с помощью клавиши ← и ввести число.
7. Ввод числа в n-ой степени и квадратного корня прозводится кнопками a b и √ соответственно. Завершить ввод значения в степени или в корне можно клавишей → .

Упрощение выражений, раскрытие скобок, разложение многочленов на множители

Калькулятор позволяет произвести некоторые алгебраические преобразования с выражениями. Результат выводится в нескольких вариантах упрощения/разложения/раскрытия скобок и пр.

Решение уравнений и неравенств

Математический калькулятор может решать уравнения и неравентства относительно переменной “x”. Если есть необходимость найти другую переменную, например “y”, то следует просто поменять их местами в выражении. Ввод переменных “x”,”y”,”z” производится в группе xyz нажатием соответствующих кнопок x , y , z .

Примеры решений уравнений и неравенств:

Решение систем уравнений и неравенств

Системы уравнений и неравенств также решаются с помощью онлайн калькулятора. Чтобы задать систему необходимо ввести уравнения/неравенства, разделяя их точкой с запятой с помощью кнопки ; .

Примеры вычислений систем уравнений и неравенств:

Вычисление выражений с логарифмами

В калькуляторе кнопкой log_e(x) возможно задать натуральный логарифм, т.е логарифм с основанием “e”: log_e(x) – это ln(x). Для того чтобы ввести логарифм с другим основанием нужно преобразовать логарифм по следующей формуле: $$log_a left(bright) = frac<log left(bright)><log left(aright)>$$ Например, $$log_ <3>left(5x-1right) = frac<log left(5x-1right)><log left(3right)>$$

Примеры решений выражений с логарифмами:

Вычисление пределов функций

Предел функции задается последовательным нажатием групповой кнопки f(x) и функциональной кнопки lim .

Примеры решений пределов:

Решение интегралов

Онлайн калькулятор предоставляет инструменты для интегрирования функций. Вычисления производятся как с неопределенными, так и с определенными интегралами. Ввод интегралов в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:
∫ f(x) – для неопределенного интеграла;
b a∫ f(x) – для определенного интеграла.

В определенном интеграле кроме самой функции необходимо задать нижний и верхний пределы.

Примеры вычислений интегралов:

Вычисление производных

Математический калькулятор может дифференцировать функции (нахождение производной) произвольного порядка в точке “x”. Ввод производной в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:
f'(x) – производная первого порядка;
f”(x) – производная второго порядка;
f”'(x) – производная третьего порядка.
f n (x) – производная любого n-о порядка.

Действия над комплексными числами

Онлайн калькулятор имеет функционал для работы с комплексными числами (операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и пр.). Комплексное число обзначается символом “i” и вводится с помощью групповой кнопки xyz и кнопки i

Решение уравнений онлайн

В общем виде, уравнение относительно некоторой переменной может быть записано следующим образом:

Решить, приведенное выше уравнение, означает найти все значения переменной при которых выражение обращается в верное тождество.

Графически, корни уравнения представляют собой абсциссы точек пересечения графика функции с осью :

Таким образом, из приведенного на рисунке графика некоторой функции , мы можем сразу сказать, что значения являются корнями уравнения .

В зависимости от конкретного вида функции существует бесконечное множество различных уравнений (линейные, квадратные, кубические, тригонометрические, уравнения с корнями, степенями и т.д.).

Наш онлайн калькулятор построен на основе системы Wolfram Alpha LLC и способен решить очень много различных типов уравнений с описанием подробного решения.

Параметрическое уравнение прямой проходящей через две точки: онлайн-калькулятор

Параметрическое уравнение прямой можно легко составить с помощью онлайн-калькулятора. Просто выберите размерность (плоскость или трехмерное пространство), укажите координаты точек и нажмите «рассчитать». Онлайн-калькулятор выдаст подробное пошаговое решение.

Как найти параметрическое уравнение прямой, проходящей через две точки, с помощью онлайн-калькулятора

Рассмотрим пример, наглядно демонстрирующий работу с онлайн-калькулятором. Найдем параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки с координатами (1;4) и (3;0). Для этого:

1. Укажем размерность. Калькулятор позволяет работать с объектами на плоскости (2), или в пространстве (3). В нашем конкретном примере выберем плоскость (2):
2. Зададим прямую по двум точкам. Для этого впишем координаты этих точек в пустые поля калькулятора:
3. Нажмем «Рассчитать» и получим ответ с решением:

Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

Параметрическое уравнение прямой онлайн

Параметрическое уравнение прямой представляет собой систему из двух или трех уравнений. Чтобы задать прямую на плоскости или в пространстве параметрически, достаточно знать координаты двух точек, через которые эта прямая проходит. Онлайн-калькулятор позволяет найти параметрическое уравнение прямой в один клик, минуя все расчеты.

Интерфейс онлайн-калькулятора устроен максимально понятно и просто: вы можете не только получить ответ, но и разобраться с ходом решения примера, так как программа выдает все математические выкладки с подробным пояснением.

Данный сервис будет полезен студентам, школьникам, преподавателям, а также всем людям, интересующимся математикой.

[spoiler title=”источники:”]

http://mathforyou.net/online/equation/arbitrary/

http://zaochnik.com/online-calculators/tochka-pryamaya-ploskost/parametricheskoe-uravnenie-pryamoj-prohodyashej-cherez-dve-tochki/

[/spoiler]

На этой странице вы узнаете

• Игра в прятки: как значение одной переменной может помочь найти другую?
• Парадокс: как стоять на месте и бежать с любой скоростью одновременно? 
• Решаем параметры осторожно: как не совершить ошибку в квадратном уравнении с параметром? 

Мы привыкли, что в уравнении коэффициенты не меняются. Но возможно ли из одного уравнения составить бесконечное множество различных его вариантов? Узнаем об этом в статье. 

Что такое параметр 

Утром на термометре было некоторое количество градусов, которое мы обозначим за х. В обед температура воздуха изменилась в несколько раз. Во сколько раз должна была измениться температура воздуха, чтобы на термометре было 20 градусов? 

Такие задачи достаточно легко решаются. Если бы изначально было пять градусов, то искомое число было бы равно (frac{20}{5} = 4). А если было 10 градусов, то искомое число было бы равно (frac{20}{10} = 2). 

Но не все так просто. Мы не знаем, какой изначально была температура. Также мы не знаем, во сколько раз она изменилась. То есть мы получили уравнение с двумя неизвестными переменными. 

Обозначим вторую переменную a, у нас получится уравнение вида ax=20. Только что введенная нами переменная “a”  называется параметр. 

Параметр — это условная буква, вместо которой можно подставить число. 

То есть параметр — это еще одна переменная, которая может принять несколько значений. 

Как решать уравнения с параметром, если у нас целых две (а то и больше) неизвестных переменных? Нужен иной подход, чем при решении обычного уравнения.

Решить уравнение с параметром — это найти такие числовые значения параметра, при которых условие выполняется. 

Мы ищем не единственное значение параметра, а все возможные его значения для заданного условия.

Линейные уравнения с параметром

Вернемся к нашей погоде. У нас получилось уравнение ax = 20. Как найти, сколько градусов было изначально? Разделить все уравнение на число a. 

(x = frac{20}{a})

Какие значения может принимать параметр? Любые. Например, при a = 1 x = 20.
При a = 2 x = 10.
При a = 40 x = 0,5 

Что, если a=0? Мы получаем уравнение (x = frac{20}{0}), у которого нет решения, поскольку на 0 делить нельзя. 

Если мы не будем преобразовывать изначальное уравнение, то получится 0*x=20, то есть уравнение не будет выполняться: какое бы число мы ни умножили на 0, получится 0. 

Получается, решение есть при любых значениях a, кроме 0. Таким образом, мы и нашли ответ: при a = 0 решений нет, при a (neq) 0 — x = 20a. 

Добавим немного теории. Представим наше уравнение в виде ax = b, где a, b — действительные числа. Рассмотрим несколько случаев. 

1) b (neq) 0. 

Предположим, Пете необходимо в несколько раз увеличить скорость х, пробежать дистанцию и поставить рекорд. Чтобы поставить рекорд, он должен бежать со скоростью 15 км/ч — это и будет коэффициент b. 

Получаем уравнение ax = 15. Как найти начальную скорость Пети? (x = frac{15}{a}). 

Такое уравнение мы уже решали выше. Получаем два случая: 

• Если a = 0 — решений нет. 
• Если a (neq) 0, то изначальная скорость Пети была равна (x = frac{15}{a}). 

2) b = 0. 

Мы получаем уравнение ax = 0. Также разберем два случая значений параметра: 

• a = 0. Мы получаем уравнение 0 * x = 0. Какое значение х нужно подставить, чтобы уравнение выполнялось? 

Какое бы число мы ни умножили на 0, получим 0. Получаем бесконечное множество решений. 

• a (neq) 0. Здесь получается, что равен 0 уже х: (x = frac{0}{a} = 0). 

Подведем итог. Как можно решить уравнение вида ax = b?

• Если a = 0, b = 0 — бесконечное множество решений. 
• Если a = 0, b (neq) 0 — решений нет. 
• Если a (neq) 0, b (neq) 0 — решением будет (x = frac{b}{a}). 

Квадратные уравнения с параметром

Прежде чем приступать к изучению следующего материала, рекомендуем ознакомиться с понятием квадратного уравнения в статье «Линейные, квадратные и кубические уравнения». Также важно ориентироваться в графиках параболы из статьи «Основные элементарные функции». 

Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, а графиком функции y = ax² + bx + c будет парабола. 

Как работать с такими уравнениями, если в них присутствует параметр? В первую очередь, важны рассуждения. Любое задание с параметром можно решить, проанализировав функцию.  

Решение квадратного уравнения опирается на понятие дискриминанта. В зависимости от его значений может получиться разное количество корней: 

• При D > 0 уравнение имеет два корня. 
• При D = 0 уравнение имеет один корень. 
• При D < 0 уравнение не имеет корней. 

Как это проверить на графике? Корни уравнения — это точки, в которых парабола пересекает ось абсцисс, то есть ось х. 

Рассмотрим три уравнения. 

1) x² — x — 2 = 0
Решим уравнение с помощью дискриминанта. 
D = 1² — 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9
Поскольку дискриминант больше 0, то уравнение имеет два корня. 

(x_1 = frac{1 + 3}{2} = 2)
(x_2 = frac{1 — 3}{2} = -1)

Проверим с помощью графика функции. Построим параболу и заметим, что она действительно дважды пересекает ось абсцисс, а координаты этих точек равны (−1; 0) и (2; 0) . 

2) x² -4x + 4 = 0
Решим уравнение с помощью дискриминанта. 
D = 16 — 4 * 1 * 4 = 16 — 16 = 0
Поскольку дискриминант равен 0, у уравнения всего один корень. 

(x = frac{4}{2} = 2)

Проверим на графике. И действительно, парабола касается оси х только один раз в вершине, координаты которой (2; 0). 

3) x² — 5x + 7 = 0
Решим уравнение с помощью дискриминанта. 
D = 25 — 4 * 1 * 7 = 25 — 28 = -3

Поскольку дискриминант отрицательный, у уравнения нет корней. И это отлично видно, если посмотреть на график функции: парабола лежит выше оси х и никогда ее не пересечет. 

Где можно применить эти знания, решая параметры? 

Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение x² + (3a + 11)x + 18,25 + a = 0 имеет два различных решения. 

Решение. Перед нами квадратное уравнение с коэффициентами b = 3a + 11, c = a + 18,25. В каких случаях это уравнение будет иметь два различных корня?

Квадратное уравнение имеет два корня, если D > 0. Нужно найти все значения параметра, при которых дискриминант будет положительным. 

1. Для начала найдем сам дискриминант. 

D = (3a + 11)² — 4 * 1 * (a + 18,25) = 9a² + 66a + 121 — 4a — 73 = 9a² + 62a + 48

2. Поскольку дискриминант должен быть больше 0, то получаем неравенство 9a² + 62a + 48 > 0

3. Решим его «Методом интервалов».

9a² + 62a + 48 = 0
D = 3844 — 1728 = 2116
(a_1 = frac{-62 + 46}{18} = -frac{16}{18} = -89)
(a_2 = frac{-62 — 46}{18} = -frac{108}{18} = -6)

4. Дискриминант будет положительным при (a in (-infty; -6) cup (-frac{8}{9}; +infty)). Это и будет ответ. 

Ответ: (a in (-infty; -6) cup (-frac{8}{9}; +infty)).

Важно: в уравнении мы указываем не сами решения уравнения, а значения параметра, при которых уравнение имеет два решения. 

Пример 2. При каких значениях параметра a уравнение (2a + 1)x² — ax + 3a + 1 = 0 имеет два различных решения? 

Решение. Этот пример похож на предыдущий, однако здесь есть одна важная особенность. Что произойдет с уравнением, если 2a+1 = 0? 

Мы получим уравнение 0,5x — 0,5 = 0, то есть линейное уравнение. У уравнения будет всего одно решение, что уже не подходит под условие задачи. 

1. Поскольку по условию должно быть 2 решения, мы получаем, что a (neq) -0,5. 

2. Найдем дискриминант уравнения. Он должен быть строго больше 0, чтобы у уравнения было два решения. 

D = a² — 4 * (2a + 1) * (3a + 1) = a² — 24a² — 20a -4 = -23a² — 20a — 4

3. Составим неравенство и решим его:

-23a² — 20a — 4 > 0
23a² + 20a + 4 < 0
23a² + 20a + 4 = 0
D = 400 — 4 * 23 * 4 = 400 — 368 = 32
(a_1 = frac{-20 + 4 sqrt{2}}{46} = frac{2sqrt{2} — 10}{23})
(a_2 = frac{-20 — 4sqrt{2}}{46} = frac{-2sqrt{2} — 10}{23})

4. Разложим уравнение на множители: 

(23a^2 + 20a + 4 = 23(a — frac{2sqrt{2} — 10}{23})(a — frac{-2sqrt{2} — 10}{23}))

5. Получаем неравенство:

(23(a — frac{2sqrt{2} — 10}{23})(a — frac{-2sqrt{2} — 10}{23} < 0)

6.Тогда  (a in (frac{-2sqrt{2} — 10}{23}; frac{2sqrt{2} — 10}{23})). Вспомним, что a (neq) -0,5, следовательно, мы получаем ответ (a in (frac{-2sqrt{2} — 10}{23}; -0,5) cup (-0,5; frac{2sqrt{2} — 10}{23})).

Ответ: (a in (frac{-2sqrt{2} — 10}{23}; -0,5) cup (-0,5; frac{2sqrt{2} — 10}{23}))

Теорема Виета 

Дискриминант — не единственный способ решить квадратное уравнение. Обратимся к теореме Виета. Если нам дано уравнение ax² + bx + c = 0, то его корни можно найти с помощью следующей системы: 

Теорему Виета удобно использовать, если на корни уравнения наложены дополнительные ограничения. 

Пример 3. При каких значениях параметра a корни уравнения x² — 3ax — a(a — 1) = 0 удовлетворяют условию x₁ = 5x₂. 

Решение. 1. Корни уравнения — это два различных числа. Значит, дискриминант должен быть строго больше 0: 

D = 9a² — 4 * 1 * (-a² + a) = 9a² + 4a² — 4a = 13a² — 4a = a(13a — 4)

Получаем неравенство a(13a — 4) > 0, следовательно, (a in (-infty; 0) cup (frac{4}{13}; +infty)). 

2. По теореме Виета найдем корни уравнения: 

3. По условию x₁ = 5x₂, тогда 5x₂ + x2 = 6x₂ = 3a, откуда получаем:
(x_2 = frac{3a}{6} = frac{a}{2})
(x_1 = 5 * a_2 = frac{5a}{2})

4. Подставим во второе уравнение системы:
(frac{a}{2} * frac{5a}{2} = a — a^2)
(frac{5a^2}{4} = a — a^2 | * 4)
5a² = 4a — 4a²
(9a^2 — 4a = 0 rightarrow a(9a — 4) = 0 rightarrow a = 0, a = frac{4}{9})

5. Мы нашли значения параметра, при которых выполняется условие. Осталось проверить, чтобы при этих значениях у уравнения было два корня. 

a = 0 не подходит, поскольку ограничение (a in (-infty; 0) cup (frac{4}{13}; +infty)) не включает точку 0. 

(a = frac{4}{9}) подходит, поскольку (frac{4}{9} > frac{4}{13}). 

Ответ: (a = frac{4}{9})

Условия на корни квадратного трехчлена 

Однако могут встретиться еще более сложные задания с параметрами. Рассмотрим каждый из этих случаев. 

1. Корни квадратного трехчлена меньше, чем число N. 

Построим параболу. Вспомним, что ветви параболы могут быть направлены или вверх, или вниз. 

Если ветви параболы направлены вверх. Отметим на оси х точку N так, чтобы она лежала правее обоих корней уравнения. Так мы зададим условие, что корни уравнения меньше, чем число N. 

Представим, что мы идем по холмистой местности, и у нас есть ее карта. Имея перед собой плоскую картинку, мы понимаем, как относительно друг друга располагаются точки в пространстве. Но посмотрев на рельеф сбоку, заметим, что точки имеют разную высоту. 

Пусть в точках, где парабола пересекает ось х, будут привалы на экскурсионном маршруте, а в точке N будет смотровая площадка. 

Что можно сказать про смотровую площадку на этой карте? Она находится выше, чем привалы, и лежит правее, чем самая низкая точка рельефа. 

Рассмотрим эти условия на графике. В точке N значение функции f(x) больше, чем в корнях уравнения. Более того, она лежит правее, чем вершина параболы, то есть ее абсцисса больше абсциссы параболы. 

Почему эти условия так важны? Пусть точка N будет лежать левее вершины параболы. Тогда не выполняется условие, что корни меньше, чем N. 

В этом случае на нашем экскурсионном маршруте смотровая площадка будет лежать до привалов. 

А если значение функции в точке N будет меньше, чем в корнях уравнения? Точка N будет лежать между ними. 

В этом случае смотровая площадка окажется между привалами. 

Аналогичным способом можно проследить изменение условий при любом положении точки N на графике. 

Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена ax² + bx + c были меньше, чем число N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 

Что произойдет, если ветви параболы будут направлены вниз? Наш экскурсионный маршрут немного поменяется: появится гора, а не овраг. 

Где теперь располагается смотровая площадка? Она будет ниже, чем привалы, и дальше, чем самая высокая точка горы. 

Мы можем сделать вывод, что точка N на графике будет лежать правее вершины параболы, а значение функции в ней будет меньше, чем значение функции в корнях уравнения. 

Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена ax² + bx + c были меньше, чем число N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 

2. Корни квадратного трехчлена больше, чем число N. 

Рассуждаем так же, как и в предыдущей функции, однако теперь точка N перемещается левее параболы. 

Если ветви параболы направлены вверх, то функция в точке N принимает большее значение, чем в корнях уравнения, а сама точка N будет лежать левее параболы. 

Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена ax² + bx + c были больше, чем число N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 

Теперь направим ветви параболы вниз. Значение функции в точке N будет меньше, чем в корнях уравнения. 

Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена ax² + bx + c были больше, чем число N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 

С помощью анализа расположения точек на графике функций можно задать условия для любой ситуации, даже если точек будет несколько. 

В итоге должна получиться система, с помощью которой можно решить задачу.

Фактчек

• Параметр — это буква a, вместо которой можно подставить число. Решить уравнение с параметром — это найти такие числовые значения параметра, при которых условие выполняется. 
• При решении линейного уравнения ax=b в зависимости от значения коэффициентов может получиться несколько вариантов решений. Если a = 0, b = 0 — бесконечное множество решений. Если a = 0, b (neq) 0 — решений нет. Если a (neq) 0, b (neq) 0 — решением будет (x = frac{b}{a}). 
• При решении квадратного уравнения обязательно проверять коэффициент перед x². Если коэффициент будет равен 0, то уравнение станет линейным.
• При решении квадратного уравнения важно учитывать значение дискриминанта: если он строго больше 0, то корней у уравнения два, если дискриминант равен 0, то у уравнения один корень, если дискриминант меньше 0, то у уравнения нет корней. 
• Решить квадратное уравнение можно и с помощью теоремы Виета. 
• Если в задаче даны дополнительные условия на корни уравнения (например, они должны быть больше или меньше определенного числа), то задать их можно с помощью системы. Неравенства в системе можно составить с помощью анализа примерного графика функций. 

Проверь себя

Задание 1. 
Что такое параметр?

1. Это буква a, вместо которой можно подставить число.
2. Это коэффициент перед x² в квадратном уравнении.
3. Это переменная х.
4. Это значение функции в определенной точке. 

Задание 2. 
Дано уравнение ax = b. Сколько решений оно имеет, если a = 0 и b = 0?

1. Решений нет.
2. Одно решение.
3. Бесконечное множество решений.
4. Невозможно определить количество решений. 

Задание 3. 
При каких значениях дискриминанта уравнение будет иметь корни?

1. D > 0
2. D = 0
3. D < 0
4. D (neq) 0

Задание 4. 
Корни квадратного уравнения меньше числа А. Где будет лежать вершина параболы относительно точки А?

1. Справа.
2. Слева.
3. Совпадать с точкой А.
4. Невозможно определить расположение вершины. 

Задание 5. 
Меньший корень квадратного уравнения больше числа А, но меньше числа В. Ветви параболы направлены вниз. Чему будет равно значение функции в точке В?

1. Значение функции в точке В будет меньше 0.
2. Значение функции в точке В будет равно 0.
3. Значение функции в точке В будет больше 0.
4. Невозможно определить значение функции. 

Ответы: 1. — 1 2. — 3 3. — 4 4. — 2 5. — 3.