Как найти значения выражений вероятности

Вероятность — очень лёгкая тема, если концентрироваться на смысле задач, а не на формулах. Найти вероятность того что — не просто. И  как решать задачи на вероятность?. Во-первых, что такое вероятность? Это шанс, что какое-то событие произойдёт. Если мы говорим, что вероятность некоторого события 50%, что это значит? Что оно либо произойдет, либо не произойдет — одно из двух. Таким образом подсчитать значение вероятности очень просто — нужно взять количество подходящих нам вариантов и разделить на количество всех возможных вариантов. Например, шанс получить решку при подбрасывании монеты это ½. Как мы получаем ½? Всего у нас два возможных варианта (орёл и решка), из них нам подходит один (решка), так мы и получаем вероятность ½.

Как мы уже с вами увидели, вероятность может быть выражена как в процентах, так и в обычных числах. Важно: на ЕГЭ вам нужно будет записать ответ в числах, не в процентах. Принято, что вероятность изменяется от 0 (никогда не произойдет) до 1 (абсолютно точно произойдет). Также можно сказать, что всегда

Вероятность подходящих событий + вероятность неподходящих событий = 1

Теперь мы точно понимаем, как считать вероятность отдельного события, и даже такие задачи есть в банке ФИПИ, но понятно, что на этом всё не заканчивается. Чтобы жизнь была веселее, в задачах на вероятность обычно происходят как минимум два события, и надо посчитать вероятность с учетом каждого из них.

Вероятность нескольких событий

Подсчитываем вероятность каждого события в отдельности, затем между дробями ставим знаки:

1. Если нужно первое И второе событие, то умножаем.

2. Если нужно первое ИЛИ второе событие, то складываем.

Задачи и решения задач на вероятность

Задача 1. Среди натуральных чисел от 23 до 37 случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что оно не делится на 5.

Решение:

Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству.

Всего в этом промежутке 15 чисел. Из них на 5 делится всего 3, значит не делится 12.

Вероятность тогда: 

Ответ: 0,8.

Задача 2. Для дежурства в столовой случайно выбирают двух учащихся класса. Какова вероятность того, что дежурить будут два мальчика, если в классе обучается 7 мальчиков и 8 девочек?

Решение: Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству. В классе 7 мальчиков, это благоприятные варианты. А всего 15 учеников.

Вероятность что первый дежурный мальчик:

Вероятность что второй дежурный мальчик:

Раз оба должны быть мальчики, вероятности перемножим:

Ответ: 0,2.

Задача 3. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Решение: Пассажиру В. удобны 30 мест (12 + 18 = 30), а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна 30/300, т. е. 0,1.

Задача 4. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам.

Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

Решение: Из 25 билетов 15 не содержат вопроса по неравенствам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна 15/25, т. е. 0,6.

Задача 5. В сборнике билетов по химии всего 35 билетов, в 7 из них встречается вопрос по кислотам.

Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам.

Решение: Из 35 билетов 28 не содержат вопроса по кислотам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам, равна 28/35, т. е. 0,8.

Задача 6. В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 2 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение: Если из 500 насосов 2 подтекают, то 498 не подтекают. Следовательно, вероятность выбора хорошего насоса — 498/500, т. е. 0,996.

Задача 7. Вероятность того, что новый пылесос в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,065. В некотором городе из 1000 проданных пылесосов в течение года в гарантийную мастерскую поступило 70 штук.

На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение: Частота события «гарантийный ремонт» равна 70/1000, т. е. 0,07. Она отличается от предсказанной вероятности на 0,005 (0,07 – 0,065 = 0,005).

Задача 8. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 18 из России, 14 из Украины, остальные — из Белоруссии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием.

Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Белоруссии.

Решение: Всего участниц на чемпионате 50, а спортсменок из Белоруссии — 18 (50 – 18 – 14 = 18).

Вероятность того, что первой будет выступать спортсменка из Белоруссии — 18 из 50, т. е. 18/50, или 0,36.

Задача 9. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 80 докладов — первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой.

Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение: За первые три дня будут прочитаны 36 докладов (12 ∙ 3 = 36), на последние два дня планируется 44 доклада. Поэтому на последний день запланировано 22 докладов (44 : 2 = 22). Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 22/80, т. е. 0,275.

Задача 10.

Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шахматистов, среди которых 14 участников из России, в том числе Егор Косов.

Найдите вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России?

Решение: В первом туре Егор Косов может сыграть с 25 шахматистами (26 – 1 = 25), из которых 13 ― из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России, равна 13/25, или 0,52.

Задача 11.

В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение: Вероятность того, что команда России окажется во второй группе, равна отношению количества карточек с номером 2, к общему числу карточек, т. е. 4/16, или 0,25.

Задача 12.  В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?

Решение: Выбирают двоих туристов из пяти. Следовательно, вероятность быть выбранным равна 2/5, т. е. 0,4.

Задача 13. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.

Решение: На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что турист полетит первым рейсом вертолёта, равна 6/30, или 0,2.

Задача 14. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

Решение: Натуральных чисел от 10 до 19 десять, из них на 3 делятся три числа: 12, 15 и 18. Следовательно, искомая вероятность равна 3/10, т. е. 0,3.

Вероятность нескольких событий

Задача 1. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стратор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только вторую игру.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Нас устроит следующий вариант: «Статор» не начинает первую игру, начинает вторую игру, не начинает третью игру. Вероятность такого развития событий равна произведению вероятностей каждого из этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, следовательно: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125.

Задача 2. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей ― 1 очко, если проигрывает ― 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Задачу выполняют несколько вариантов:

Игра №1	Игра №2	Вероятность данного варианта
3	1	0,4 · 0,2 = 0,08
1	3	0,2 · 0,4 = 0,08
3	3	0,4 · 0,4 = 0,16

Вероятность происхождения какого-либо их этих 3-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32.

Задача 3. В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того что Аня и Нина окажутся в одной группе.

Решение: 

Тип вопроса: уменьшение групп.

Вероятность попадания Ани в одну из групп равна 1. Вероятность попадания Нины в ту же группу равна 2 из 20 (2 оставшихся места в группе, а человек осталось 20). 2/20 = 1/10 = 0,1.

Задача 4. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.

Решение:

Способ №1

Тип задачи: уменьшение групп.

Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая однорублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1.

Вероятность, что две двухрублевые монеты попадут в этот же карман = количество оставшихся мест в этом кармане/на количество оставшихся мест в обоих карманах = 2/5 = 0,4.

Способ №2

Тип вопроса: совмещение событий.

Задачу выполняют в несколько вариантов:

Если Петя переложил в другой карман три из четырех рублевых монет (а двухрублевые не перекладывал), или если переложил в другой карман обе двухрублевые монеты и одну рублевую одним из трех способов: 1, 2, 2; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 

Задача 5. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Решение:

Тип задачи: уменьшение групп.

Способ №1

Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая двухрублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1. Вероятность, что вторая монета попадет в другой карман = количество оставшихся мест в другом/ на количество оставшихся мест в обоих карманах = 3/5 = 0,6.

Способ №2

Тип вопроса: совмещение событий.

Задачу выполняют несколько вариантов:

Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 

Задача 6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение: Тип вопроса: нахождение желаемого и действительного совмещение событий Нас устраивают три варианта:

Орёл ― решка ― орёл;

Орёл ― орёл ― решка;

Решка ― орёл ― орёл;

Вероятность каждого случая ― 1/2, а каждого варианта ― 1/8 (1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8)

Нас устроит либо первый, либо второй, либо третий вариант. Следовательно, складываем их вероятности и получаем 3/8 (1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8), т. е. 0,375.

Задача 7. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

В любом случае А. будет играть как белыми, так и черными, поэтому нас устроит вариант, когда гроссмейстер А. выиграет, играя белыми (вероятность ― 0,5), а также играя чёрными (вероятность ― 0,34). Поэтому надо перемножить вероятности этих двух событий: 0,5 ∙ 0,34 = 0,17.

Задача 8. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,98. Покупателю надо, чтобы и первая, и вторая батарейка были исправны: 0,98 · 0,98 = 0,9604.

Задача 9. На рок-фестивале выступают группы ― по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из США будет выступать после группы из Канады и после группы из Китая? Результат округлите до сотых.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (КИТ — Китай, КАН = Канада):

… США, КАН, КИТ …

… США, КИТ, КАН …

… КИТ, США, КАН …

… КАН, США, КИТ …

… КАН, КИТ, США …

… КИТ, КАН, США …

США находится после Китая и Канады в двух последних случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна:

≈ 0,33.

Дополняющая вероятность

Задача 1. 

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05.

Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована.

Решение: 

Существуют 2 варианта, которые нам подходят:

Вариант А: батарейка забракована, она неисправна;

Вариант Б: батарейка забракована, она исправна.

Вероятность варианта А: 0,02 ∙ 0,97 = 0,0194;

Вероятность варианта Б: 0,05 ∙ 0,98 = 0,049;

Нас устроит либо первый, либо второй вариант: 0,0194 + 0,049 = 0,0684.

Задача 2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стекол, вторая — 40%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение: 

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,6 · 0,03 = 0,018.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,4 · 0,05 = 0,02.

Вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным, равна 0,018 + 0,02 = 0,038.

Задача 3. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.

Решение: 

Предположим, у нас х тарелок изначально (ведь мы постоянно имеем дело с процентами, поэтому нам ничего не мешает оперировать конкретными величинами).

Тогда 0,1х — дефектные тарелки, а 0,9х — нормальные, которые поступят в магазин сразу. Из дефектных убирается 80%, то есть 0,08х, и остаётся 0,02х, которые тоже пойдут в магазин. Таким образом, общее количество тарелок на полках в магазине окажется: 0,9х + 0,02х = 0,92х. Из них нормальными будет 0,9х. Соответственно, по формуле вероятность будет 0,9х/0,92х ≈ 0,978.

Задача 4. По отзывам покупателей Игорь Игоревич оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,91. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,89. Игорь Игоревич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит товар, равна 1 − 0,91 = 0,09. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар, равна 1 − 0,89 = 0,11. Вероятность происхождения двух этих событий одновременно равна произведению вероятностей каждого из них: 0,09 · 0,11 = 0,0099.

Задача 5. При изготовлении подшипников диаметром 70 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше чем на 0,01 мм, равна 0,961. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 69,99 мм или больше чем 70,01 мм.

Решение: Нам дана вероятность события, при котором диаметр будет в пределах между 69,99 мм и 70,01 мм, и она равна 0,961. Вероятность всех остальных вариантов мы можем найти по принципу дополняющей вероятности: 1 − 0,961 = 0,039.

Задача 6. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся верно решит больше 9 задач, равна 0,68. Вероятность того, что верно решит больше 8 задач, равна 0,78. Найдите вероятность того, что верно решит ровно 9 задач.

Решение: Вероятность того, что Т. верно решит более 8 задач, включает в себя вероятность решения ровно 9 задач. При этом, события, при которых О. решит больше 9 задач, нам не подходят. Следовательно, отняв от вероятности решения более 9 задач вероятность решения более 8 задач, мы и найдём вероятность решения только 9 задач: 0,78 – 0,68 = 0,1.

Задача 7. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 21 пассажира, равна 0,88. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,66. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 20.

Решение. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше 21 пассажира, включает в себя вероятность, что в нём окажутся от 12 до 20 пассажиров. При этом события, при которых пассажиров будет меньше 12, нам не подходят. Следовательно, отняв от первой вероятности (менее 21) вторую вероятность (менее 12), мы и найдём вероятность того, что пассажиров будет от 12 до 20 : 0,88 – 0,66 = 0,22.

Задача 8. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 10 апреля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 13 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

Задачу выполняют несколько вариантов («Х» — хорошая погода, «О» — отличная погода):

11 апреля	12 апреля	13 апреля	Вероятность данного варианта
X – 0,9	X – 0,9	O – 0,1	0,9 ·0,9 ·0,1 = 0,081
X – 0,9	O – 0,1	O – 0,9	0,9 ·0,1 ·0,9 = 0,081
O – 0,1	O – 0,9	O – 0,9	0,1 ·0,9 ·0,9 = 0,081
O – 0,1	X – 0,1	O – 0,1	0,1 ·0,1 ·0,1 = 0,001

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,081 + 0,081 + 0,081 + 0,001 = 0,244.

Задача 9. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

Задачу выполняют несколько вариантов («Х» ― хорошая погода, «О» ― отличная погода):

4 июля	5 июля	6 июля	Вероятность данного варианта
X – 0,8	X – 0,8	O – 0,2	0,8 · 0,8 · 0,2 = 0,128
X – 0,8	O – 0,2	O – 0,8	0,8 · 0,2 · 0,8 = 0,128
O – 0,2	O − 0,8	O − 0,8	0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,128
O – 0,2	X – 0,2	O – 0,2	0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4 ― х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,128 + 0,128 + 0,128 + 0,008 = 0,392.

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.

События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом .

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом .

Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.

1. Вероятность принимает значения на отрезке от 0 до 1, т.е. .
2. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. .
3. Вероятность достоверного события равна 1, т.e. .
4. Если события A и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т.е. .

Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные  из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле . Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .

Ответ получаем по формуле .

Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков – 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А – это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:

   

Ответ: 0,4

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. .

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае .

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого — 3, для пятого — 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается “шесть факториал”.

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов  В нашем случае .

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

   

В нашем случае .

И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго — 5 способами, третьего — четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:

   

В нашем случае .

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Решение:

.

Ответ: 0,3.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

Ответ: 0,98.

Задача 3.

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Решение:

Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие “У. верно решит ровно 9 задач” входит в условие “У. верно решит больше 8 задач”, но не относится к условию “У. верно решит больше 9 задач”.

Однако, условие “У. верно решит больше 9 задач” содержится в условии “У. верно решит больше 8 задач”. Таким образом, если мы обозначим события: “У. верно решит ровно 9 задач” – через А, “У. верно решит больше 8 задач” – через B, “У. верно решит больше 9 задач” через С. То решение будет выглядеть следующим образом:

.

Ответ: 0,06.

Задача 4.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме “Тригонометрия”, либо к теме “Внешние углы”. По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

Ответ: 0,35.

Задача 5.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: – лампочка горит, – лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события “лампочка перегорела”, “лампочка горит”, “лампочка горит”: , где вероятность события “лампочка горит” подсчитывается как вероятность события, противоположного событию “лампочка не горит”, а именно: .

 

 

 

 

 

Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: .

Ответ: 0,975608.

Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:

Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.

Содержание:

1. Сумма событий
2. Произведение событий
3. Противоположное событие
4. Следствия событий. Равные события
5. Разность событий
6. Некоторые тождества
7. Элементы комбинаторики
8. Правило произведения
9. Формула включения-исключения
10. Размещения
11. Перестановки
12. Бином Ньютона
13. Некоторые примеры вычисления вероятностей

Рассмотрим опыт, состоящий в подбрасывании монеты. Ясно, что у этого опыта при каждом испытании может быть только два исхода: выпал герб или выпала цифра. Очевидно, что, во-первых, мы не можем предсказать, какая сторона монеты выпадет в очередном испытании, и, во-вторых, из соображений симметричности монеты эти два исхода можно считать равновозможными.

Следующий пример связан с подбрасыванием игральной кости – симметричного кубика с гранями, помеченными цифрами от 1 до 6. У данного опыта имеется шесть исходов: при каждом испытании может выпасть любая цифра в указанном диапазоне. Выпадение той или иной грани является случайным и равновозможным событием.

Легко усложнить любой из рассмотренных примеров. Допустим, что опыт состоит в том, что мы подбрасываем сразу три монеты. Тогда общее число исходов возрастет до восьми и мы можем все их перечислить. Обозначим для краткости выпадение герба буквой Г и цифры буквой Ц. Тогда все возможные исходы опыта можно записать в виде последовательностей из трех таких букв. Например, последовательность означает, что на первой и второй монетах выпал герб, а на третьей цифра. Таким образом, перечень всевозможных исходов имеет вид:

Поскольку мы считаем, что все монеты симметричные, то можно считать все эти исходы равно-возможными. Допустим, что мы хотим выяснить, насколько часто произойдет случайное событие состоящее в том, что цифра выпала ровно два раза. Глядя на этот перечень, легко увидеть, что благоприятных исходов три, а именно Разделив это число на общее число исходов, мы получим число – вероятность случайного события

Рассмотрим математическую модель таких и подобных им примеров. Итак, пространством элементарных событий назовем конечное множество состоящее из исходов или элементарных событий Случайным событием назовем любое подмножество пространства элементарных событий и будем говорить, что исходы благоприятны для события

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:

Будем говорить, что событие наступило, если в опыте наблюдался один из благоприятных исходов. Вероятностью случайного события называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов

• В этой модели отражены существенные (и идеализированные) черты рассмотренных нами опытов. А именно, все элементарные события равноправны, что характеризует симметричность исходов, и все они различны. Такое определение вероятности называется классическим.

В опыте с подбрасыванием монеты пространство элементарных событий состоит из двух исходов а вероятность выпадения герба равна опыте с подбрасыванием игральной кости пространство элементарных событий состоит из шести исходов Найдем вероятность случайного события – выпадения четного числа, большего трех. В этом случае событие состоит из двух исходов: поэтому В опыте с подбрасыванием трех монет пространство элементарных событий состоит из восьми исходов Найдем вероятность случайного события состоящего в выпадении одинаковых сторон всех трех монет. Событие состоит из двух благоприятных исходов: так что В общем случае из определения вероятности случайного события (1.1) легко следует его свойства

1. Вероятность случайного события заключена в пределах от 0 до 1.

Крайние значения вероятности: 0 и 1 тоже принимаются. Введем следующие определения.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Событие которое произойдет при любом испытании, называется достоверным. Это означает, что выполняется равенство

Например, в опыте с подбрасыванием игральной кости событие задаваемое условием «число выпавших очков положительно», будет достоверным.

2. Вероятность достоверного события равна 1.

Событие которое не может произойти ни при одном испытании, называется невозможным. Иными словами, выполняется равенство Например, событие задаваемое условием «при подбрасывании игральной кости выпало 7 очков», является невозможным.

3. Вероятность невозможного события равна 0.

Мы видим, что в рамках этой модели подсчет вероятности состоит в установлении того, как случайное событие выражается через более простые события и, в конечном счете, через элементарные, а также подсчета чисел

Алгебра случайных событий

При нахождении вероятностей приходится, естественно, учитывать связи между событиями. Формы таких связей весьма многообразны. Наиболее простые из них заключаются в том, что одни события являются комбинациями других. Далее мы ознакомимся с тремя основными видами комбинаций: суммой событий, произведением событий, противоположным событием.

Сумма событий

Пусть с некоторым пространством элементарных событий связаны события Их суммой называется третье событие которое (по определению) состоит из исходов, благоприятных либо для либо для Если мы условимся исход, благоприятный для события, обозначать знаком “1”, а неблагоприятный – знаком “0”, то полную характеристику события будет давать следующая таблица:

Аналогично определяется сумма трех событий, четырех и т.д. Вообще, сумма любого множества событий есть событие, состоящее из тех и только тех исходов, которые являются благоприятными хотя бы для одного из событий данного множества.

Пример 1:

Пусть пространство элементарных событий заключается в выборе наугад точки из области являющейся квадратом на плоскости (такой опыт осуществляет брошенный наугад биллиардный шар – после ряда отражений от бортов биллиардного стола шар останавливается в случайной точке).

Решение: 

Если означает попадание точки в верхнюю половину квадрата (рис. 1.1), а попадание в правую половину, то будет означать попадание в область, являющуюся объединением указанных половин.

Пример 2:

Пусть в опыте с бросанием игральной кости событие есть выпадение числа, кратного 2, а – выпадение числа, кратного 3. Тогда будет выпадение хотя бы одного из чисел 2,3,4, 6.

Произведение событий

Пусть – два события. Их произведением называется третье событие которое состоит из тех и только тех исходов, которые благоприятны одновременно для

Таблица, характеризующая событие имеет вид:

Аналогично определяется произведение любого множества событий. Это событие, состоящее из исходов, которые благоприятны для всех событий данного множества.

Если, например, – события из приведенного выше примера с выбором точки внутри квадрата, то будет означать попадание точки в правую верхнюю четверть квадрата. В примере с бросанием игральной кости событие означает выпадение 6 очков. Если в том же примере в качестве принять выпадение четного числа очков, а в качестве – выпадение нечетного числа очков, то будет означать невозможное событие.

Противоположное событие

Противоположное событие для события обозначается По определению в событие входят те и только те исходы, которые не благоприятны для

Например, если есть выпадение четного числа очков при бросании игральной кости, то -это выпадение нечетного числа очков; если – это попадание при выстреле, то – промах; если означает исправность всех элементов некоторой системы, то – выход из строя хотя бы одного из элементов.

Таблица, характеризующая событие выглядит так:

Беря несколько событий и применяя к ним в любом порядке операции сложения и умножения, а также используя переход к противоположным событиям, можно строить различные комбинации, например: и т.п. Читатель должен отчетливо понимать смысл подобных выражений, научиться быстро и безошибочно перечислять благоприятные или неблагоприятные исходы той или иной комбинации. Укажем, например, таблицу, характеризующую событие

Пример 3:

Покупаются три лотерейных билета; событие означает выигрыш по первому билету, -выигрыш по второму, – по третьему. Рассмотрим следующую комбинацию:

Решение: 

Согласно определению операций сложения и умножения благоприятными исходами для события (1.3) являются любой из трех случаев: выигрывают 1-й и 2-й билеты, выигрывают 2-й и 3-й, выигрывают 1-й и 3-й. Другими словами, событие (1.3) означает выигрыш не менее чем по двум билетам.

Аналогичным образом, рассмотрев комбинацию

легко убедиться, что событие (1.4) означает выигрыш ровно по двум билетам.

Следствия событий. Равные события

По определению, событие влечет за собой событие или событие является следствием события (обозначение: если каждый исход, благоприятный для является благоприятным и для

Иными словами, все элементарные события, из которых состоит событие входят в событие

Например, пусть событие состоит в том, что при бросании игральной кости выпало нечетное число, меньшее 5, а событие – выпавшее число меньше 4. Легко видеть, что

Другой пример. Условие: если в семье муж старше жены и жене больше 50 лет то мужу больше 50 лет – можно записать в виде импликации

События равны (обозначение: в случае, когда они являются следствиями друг друга.

Иными словами, события равны, если всякий раз, когда наступает одно из них, наступает и другое, или они состоят из одних и тех же исходов.

Разумеется, равные события могут иметь отличающиеся по форме словесные описания. Например, события “не все студенты данного курса успешно сдали теорию вероятностей” и “по крайней мере один из студентов данного курса не сдал теорию вероятностей” равны, хотя и выражены различными оборотами речи.

Разность событий

Событие является разностью событий (обозначение: если оно содержит все исходы, благоприятные для не являющиеся исходами, благоприятными для

Легко видеть, что выполняется равенство

И наоборот, противоположное событие можно выразить с помощью этой операции:

Надо иметь в виду, что так определенные операции сложения и вычитания событий все-таки отличаются от аналогичных действий с числами. В частности, событие вообще говоря, не равно невозможному событию.

Пример 4:

Пусть в группе из 20 студентов имеются три подгруппы, состоящие из 10 студентов, которые знают английский и французский языки, 6 – знающих французский и немецкий, 4 – английский и немецкий.

Решение: 

Рассмотрим событие – студент знает английский язык, – студент знает французский. Тогда состоит из студентов, знающих английский и немецкий языки, а из студентов, знающих французский и немецкий. Таким образом, событие состоит из 10 студентов, входящих во вторую и третью подгруппы.

Некоторые тождества

При рассмотрении операций над событиями часто приходится пользоваться двумя важными равенствами:

Проверим справедливость первого из них; второе проверяется аналогично.

Наступление события означает, что наступает по меньшей мере одно из событий

Наступление противоположного события означает, следовательно, что не наступает ни одно из событий или, по-другому, что наступают одновременно все события но это в точности означает наступление события

Для наглядного истолкования различных соотношений между событиями удобно пользоваться так называемыми диаграммами Эйлера-Венна. В этом случае каждое событие рассматривается как попадание случайно брошенной точки в некоторую область на плоскости; иначе говоря, каждое событие задается некоторой фигурой на плоскости. При таком истолковании событие будет не что иное, как попадание точки в область, являющуюся объединением фигур (рис. 1.2), событие – попадание в область, являющуюся пересечением фигур а событие – попадание в область, дополнительную к фигуре Позже мы увидим, что такой подход является универсальным: с определенной точки зрения (см. § 1.6, п. 2°) каждое событие можно истолковать как некоторое множество, а операции над событиями – как операции объединения, пересечения и дополнения для множеств.

Элементы комбинаторики

В этом параграфе рассматриваются задачи комбинаторного характера. В каждой из них требуется подсчитать число различных вариантов, ответить на вопрос “сколько? ” или “сколькими способами?”. Например, интересно узнать, сколькими способами можно рассадить людей в аудитории, где имеется мест каким количеством способов студент может набрать на сессии, состоящей из 4 экзаменов, сумму баллов не ниже 12, сколькими способами можно купить 10 акций трех предприятий и т.п.

Комбинаторика имеет весьма непосредственное отношение к теории вероятностей. Близость этих разделов обусловлена, прежде всего, классическим способом подсчета вероятностей.

Формула

где – число всех исходов опыта, а – число исходов, благоприятных для сводит вычисление к нахождению двух чисел последняя задача во многих случаях носит явно комбинаторный характер. Кроме теории вероятностей, комбинаторика используется в теории вычислительных машин, теории автоматов, в некоторых задачах экономики, биологии и т.д.

Правило произведения

Будем рассматривать последовательности данной длины

состоящие из некоторых элементов (не обязательно различных). Условимся для краткости называть такие последовательности строками. Две строки будем считать различными в том и только том случае, если хотя бы для одного номера (из совокупности 1, 2,…, элемент отличен от

Правило произведения может быть сформулировано следующим образом.

Пусть элемент может быть выбран способами; при каждом выборе элемент может быть выбран способами; при каждом выборе пары элемент может быть выбран способами Тогда число различных строк равно произведению

Докажем это правило сначала для т.е. для строк длины 2.

Обозначим через различные значения для Среди строк имеется ровно строк, начинающихся с (т.е. строк вида ровно строк, начинающихся с и т.д. Следовательно, число всех строк будет:

Пусть теперь Любую строку

можно рассматривать как строку из двух объектов: строки и элемента Первый объект, по доказанному, может быть выбран способами; при любом из этих способов элемент по условию, может быть выбран способами. Применяя опять-таки правило произведения для строк длины 2, получим, что число различных строк вида (1.7) будет

Ясно, что такое же рассуждение можно применить к строкам длины 4, затем 5 и т.д.

Пример 5:

Рассматриваются 5 различных языков. Сколько словарей нужно иметь для непосредственного перевода с любого языка на любой?

Решение: 

Любой словарь задается строкой где – язык, с которого делается перевод, а – язык, на который переводят. Объект может быть выбран 5 способами; при каждом выборе объект может быть выбран 4 способами. По правилу произведения находим, что число различных словарей будет

Пример 6:

Сколько можно составить пятизначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры числа были различны?

Решение: 

Пятизначному числу с цифрами можно сопоставить строку При этом выбор цифры возможен 9 способами; если цифра выбрана, то для выбора имеется тоже 9 возможностей может быть любой из цифр 0, 1, 2, …, 9, отличной от , после выбора для цифры имеется снова 9 возможностей и т.д. Применяя правило произведения, находим, что искомое количество чисел есть

Пример 7:

Сколько различных подмножеств имеет множество состоящее из элементов?

Решение: 

Пусть – подмножество в Сопоставим этому подмножеству строку длиной – нечто вроде “шифра” подмножества А именно: положим равным 1 или 0, смотря по тому, входит или не входит элемент в подмножество положим равным 1 или 0, смотря по тому, входит или не входит и так далее. В результате каждому подмножеству будет соответствовать строка длины состоящая из единиц и нулей. И обратно, любая строка длины состоящая из единиц и нулей, однозначно определяет некоторое подмножество (например, в случае строка (0, 0, 0, 1, 1) определяет подмножество Но число различных строк

по правилу произведения равно Значит, число различных подмножеств множества будет также

Формула включения-исключения

Для любого конечного множества обозначим через число его элементов. Тогда для любых двух конечных множеств выполняется формула

Очевидно, что если не пересекаются, то Общий случай сводится к рассмотренному, поскольку (см. рис. Формула (1.8) обобщается на случай трех множеств, а именно

Графическая иллюстрация формулы (1.9) приведена ниже (рис. 1.4). Ее вывод мы предлагаем читателю.

Пример 8:

В группе из 30 студентов 20 студентов (множество изучают английский язык, 15 студентов – немецкий и

10 – французский. При этом 8 студентов изучают одновременно английский и немецкий, 5 студентов – английский и французский, 4 – французский и немецкий. Сколько студентов изучают все три языка?

Решение: 

Имеем По условию,

Применим формулу (1.9):

откуда видно, что искомое число равно 2.

Формула (1.9) по индукции легко обобщается на случай объединения любого числа множеств и в этом случае называется формулой включения-исключения.

Размещения

Пусть – множество, состоящее из элементов. Любой упорядоченный набор различных элементов множества называется размещением из элементов по

Для множества состоящего из трех элементов все размещения из двух элементов выглядят следующим образом:

Число размещений обозначается и вычисляется по формуле

Для вывода этой формулы применим правило произведения. Действительно, для выбора первого элемента у нас имеется возможностей, так как на первом месте может стоять любой элемент множества Фиксируя первый элемент, мы видим, что для выбора второго элемента у нас остается возможность, для выбора третьего при выбранных первых двух элементах возможности и т.д. Вид последнего множителя в формуле (1.10) обусловлен тем, что число множителей равно

Пример 9:

Найти число способов распределения первых трех призовых мест для восьми участников финального забега.

Решение: 

Всякий такой способ является размещением из восьми участников по три. Поэтому число способов вычисляется по формуле (1.10):

Перестановки

Пусть – множество, состоящее из элементов. Перестановкой элементов множества называется их расположение в каком-либо определенном порядке:

Иными словами, перестановка является размещением из элементов по Число различных перестановок обозначим Из формулы (1.10) следует, что справедлива формула (1.11)

Заметим, что произведение обозначается (читается факториал”). Итак,

Например, 5 человек могут выстроиться в очередь (скажем, к кассе кинотеатра) 5! = 1 • 2 • 3 • 4 5 = 120 способами.

С помощью факториала формулу (1.10) можно переписать следующим образом

Для доказательства достаточно умножить и разделить правую часть формулы (1.10) на Добавим к определению числа равенство которое примем по определению.

Сочетания. Число сочетаний. Пусть снова – множество, состоящее из элементов. Любое подмножество множества содержащее элементов, называется сочетанием элементов из при этом, разумеется,

Число различных сочетаний элементов из обозначается Одной из важнейших формул комбинаторики является следующая формула для числа

Ее можно преобразовать после очевидных сокращений следующим образом:

В частности,

это вполне согласуется с тем, что в множестве имеется только одно подмножество из 0 элементов -пустое подмножество.

Приведем доказательство формулы (1.13). Пусть – какое-либо подмножество множества содержащее элементов. Составив всевозможные перестановки из этих элементов, получим все размещения элементов длиной Если указанную операцию проделать с каждым подмножеством содержащим элементов, то получим все размещения из по число которых равно Получим формулу

откуда следует формула (1.14) или (1.13) в зависимости от того, какую формулу для числа размещений подставить: (1.10) или (1.12).

Числа обладают рядом замечательных свойств. Эти свойства, в конечном счете, выражают различные соотношения между подмножествами данного множества Их можно доказывать непосредственно, исходя из формулы (1.13), но более содержательными являются доказательства, опирающиеся на теоретико-множественные рассуждения. 1) Справедлива формула

вытекающая из (1.13) очевидным образом. Смысл формулы (1.15) состоит в том, что имеется взаимнооднозначное соответствие между множеством всех членных подмножеств из X и множеством всех членных подмножеств из чтобы установить это соответствие, достаточно каждому членному подмножеству сопоставить его дополнение во множестве

2) Справедлива формула

Поскольку сумма, стоящая в левой части, выражает собой число всех подмножеств множества есть число 0-членных подмножеств, число 1-членных подмножеств и т.д.), то для доказательства формулы (1.15) достаточно сослаться на уже известный читателю факт (см. пример 4 из пункта 1°): число различных подмножеств членного множества равно 2″ .

3) При любом справедливо равенство

Это равенство нетрудно получить с помощью формулы (1.13). В самом деле,

Вывод формулы (1.17), основанный на теоретико-множественных соображениях, мы предоставляем провести читателю. Укажем, что для этого следует выделить какой-то определенный элемент и все членные подмножества разбить на две группы: подмножества, содержащие и подмножества, не содержащие

4) Рассмотрим так называемый арифметический треугольник Паскаля.

Равенство (1.17) позволяет вычислять значения если известны Иными словами, с помощью этого равенства можно последовательно вычислять сначала при затем при и т.д. Вычисления удобно записывать в виде треугольной таблицы:

в строке которой по порядку стоят числа При этом крайние числа строки, т.е. равны 1, а остальные числа находятся по формуле (1.17). Поскольку располагаются в этой таблице строкой выше, чем число и находятся в этой строке слева и справа от него, то для получения числа надо сложить находящиеся слева и справа от него числа предыдущей строки. Например, число 10 в шестой строке мы получаем, сложив числа 4 и 6 пятой строки. Указанная таблица и есть как раз “арифметический треугольник Паскаля”.

Пример 10:

Пусть два целых числа, причем Сколько существует различных строк длиной состоящих из букв с условием, что в каждой из этих строк буква встречается раз (и, следовательно, буква раз)?

Решение: 

Для примера приведем несколько строк с двумя буквами и тремя

Пусть – одна из строк указанного вида. Рассмотрим все номера такие, что Совокупность таких номеров является подмножеством множества состоящим из элементов. Обратно, если любое подмножество множества состоящее из элементов, то, положив для всех для всех получим строку требуемого вида. Значит, число указанных в задаче строк равно числу элементных подмножеств в элементном множестве т.е. равно числу

Бином Ньютона

Из школьного курса читателю известны формулы:

Обобщением этих формул является следующая формула, называемая обычно формулой бинома Ньютона:

В этой формуле может быть любым натуральным числом. Вывод формулы (1.18) несложен. Прежде всего, запишем:

где число перемножаемых скобок равно Из обычного правила умножения суммы на сумму вытекает, что выражение (1.19) равно сумме всевозможных произведений, которые можно составить следующим образом: любое слагаемое первой из сумм умножается на любое слагаемое второй суммы на любое слагаемое третьей суммы и т.д. Например, при имеем:

Из сказанного ясно, что слагаемым в выражении для соответствуют (взаимно однозначно) строки длиной составленные из букв Среди слагаемых будут встречаться подобные члены; очевидно, что таким членам соответствуют строки, содержащие одинаковое количество букв Но число строк, содержащих ровно раз букву равно (см. задачу в конце предыдущего пункта 4°). Значит, сумма всех членов, содержащих букву множителем ровно раз, равна Поскольку может принимать значения то из нашего рассуждения следует формула (1.18).

Используя знак суммирования, формулу (1.18) можно записать короче:

Хотя формулу (1.18) называют именем Ньютона, в действительности она была открыта еще до Ньютона (например, ее знал Паскаль). Заслуга Ньютона состоит в том, что он нашел обобщение этой формулы на случай нецелых показателей.

Числа входящие в формулу (1.18), принято называть биномиальными коэффициентами. Из формулы (1.18) можно получить целый ряд свойств этих коэффициентов. Например, полагая получим: т.е. формулу (1.16). Если положить то будем иметь:

или

Некоторые примеры вычисления вероятностей

Мы рассмотрели классическое определение вероятности случайного события как отношение числа благоприятных исходов опыта к общему числу исходов – формулу (1.1)

В этом параграфе мы разберем ряд примеров непосредственного вычисления вероятности случайного события.

Пример 11:

В урне находятся 10 шаров: 4 белых и 6 черных. Из урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что он окажется черным (событие

Решение: 

Представим себе, что шары снабжены номерами 1, 2,…, 10, причем черные шары получили номера 1, 2,…, 6.

Обозначим через где исход опыта: извлечение шара с номером Интересующему нас событию благоприятны исходы Значит, в данном случае

Пример 12:

Дважды бросается игральная кость. Какова вероятность того, что сумма очков при обоих бросаниях окажется больше 10 (событие

Решение: 

Через обозначим исход опыта, состоящий в том, что при первом бросании выпало очков, а при втором Тогда 36 событий

можно рассматривать как элементарные исходы опыта, заключающегося в двукратном бросании игральной кости. Действительно, при каждом осуществлении опыта наступает один и только один из этих исходов, а соображения “равноправия” (между гранями игральной кости, а также между первым

и вторым бросанием) позволяют считать указанные события равновозможными. Интересующему нас событию благоприятны исходы (остальные неблагоприятны). Отсюда имеем:

Пример 13:

В лотерее разыгрывается 100 билетов. Выигрыши падают на 10 билетов. Некто

покупает три билета. Какова вероятность того, что хотя бы один из них выиграет?

Решение: 

В данном случае опыт заключается в выборе наугад трех лотерейных билетов.

Перенумеруем все возможные тройки билетов. В качестве номеров будут фигурировать числа

Пусть – исход опыта, заключающийся в покупке тройки с номером Тогда события можно рассматривать как все исходы данного опыта.

Интересующее нас событие состоит в том, что хотя бы один из выбранных билетов оказался выигрышным. Благоприятными для являются такие группы из трех билетов, которые содержат хотя бы один выигрышный билет, неблагоприятными – такие, в которых ни на один билет не падает выигрыш. Число неблагоприятных групп равно следовательно, число благоприятных есть Отсюда

Полученное выражение приближенно равно:

Впрочем, выражение (1.20) нетрудно подсчитать точно. Такой подсчет дает Рассмотрим в связи с последним примером еще один пример.

Пример 14:

В условиях лотереи примера 1.10 выяснить, какое минимальное число билетов нужно купить, чтобы вероятность получения хотя бы одного выигрыша оказалась большей, чем 0,5.

Решение: 

Пусть покупаются билетов. Обозначим вероятность выигрыша хотя бы по одному из них через Понятно, что с ростом число будет возрастать. Наша цель – найти наименьшее значение при котором это число больше 0,5. Рассуждая, как в примере 1.10, получим:

Следовательно, должно выполнятся неравенство

Таким образом, для наших целей достаточно, чтобы выполнялось неравенство

или Логарифмируя по десятичному основанию и решая полученное неравенство, получим

Таким образом, искомое значение равно 7. Непосредственное вычисление вероятности по формуле (1.21) дает следующие значения:

Многие задачи на подсчет вероятностей можно свести к так называемой схеме случайного выбора. Рассмотрим два основных варианта этой схемы: выбор с возвращением и выбор без возвращения.

1) Выбор с возвращением. Представим себе, что в некотором ящике собрано различных предметов Из ящика наугад извлекается один из предметов, регистрируется, затем кладется обратно в ящик. Если осуществить таких извлечений, то получим некоторую строку длиной составленную из элементов множества Она называется выборкой с возвращением

объема из множества Число различных выборок объема согласно правилу произведения равно

Описанная процедура носит название случайного выбора с возвращением. Слово “случайный” в этом названии означает нечто большее, нежели просто тот факт, что состав выборки предсказать заранее невозможно. Мы условимся вкладывать в это слово следующий смысл: все выборок равно-возможны. Другими словами, опыт состоит из исходов, и вероятность появления любой конкретной выборки равна

К схеме случайного выбора с возвращением можно свести большое число опытов. Например, бросание монеты можно представить как случайный выбор одного элемента из множества {герб, цифра}. Вместо двукратного бросания игральной кости можно рассматривать случайный выбор с возвращением двух элементов из множества Выяснение дней рождения случайных прохожих можно заменить случайным выбором с возвращением элементов из множества и т.д.

2) Выбор без возвращения. В этом случае выбранный предмет не кладется обратно в ящик и следующее извлечение производится из меньшего числа предметов. После извлечений получаем строку длиной без повторений. Число таких строк, как следует из правила произведения, будет равно числу размещений из по

Случайный характер выбора понимается, как и выше, в том смысле, что опыт состоит из всех равновозможных выборок данной длины.

Пример 15:

Пусть из совокупности предметов извлекаются с возвращением предметов. Найти вероятность того, что все предметы, составляющие выборку, окажутся различными (событие

Решение: 

В данном случае число всех элементарных исходов опыта равно а число исходов, благоприятных для события равно Отсюда искомая вероятность

Остановимся на одном частном случае разобранного выше примера – так называемом парадоксе дня рождения.

Пример 16:

На лекции присутствует студентов. Какова вероятность того, что хотя бы у двух студентов дни рождения совпадают (событие

Решение: 

Как уже отмечалось, выяснение дней рождения у случайно собравшихся людей можно заменить выбором с возвращением элементов из множества Нам необходимо найти вероятность события – совпадения дней рождения у каких-либо двух студентов. Событие, противоположное заключается в том, что все дни рождения различны – выше это событие было обозначено Формула (1.22) при дает:

откуда следует:

Найденное нами выражение для зависит, естественно, от – числа студентов на лекции. Подсчитав для различных значений можно получить такую таблицу:

(все знаки после запятой, начиная с четвертого, отброшены). Из таблицы видно, что если в аудитории

находятся всего лишь 23 человека, то уже и тогда имеется более половины шансов на то, что, по крайней мере, у двух из них дни рождения совпадают!

Пример 17:

Монету бросают 10 раз. Какова вероятность того, что герб при этом выпадет ровно 3 раза (и, следовательно, цифра выпадет 7 раз)?

Решение: 

Десятикратное бросание монеты можно рассматривать как составление строки длиной 10 (с повторениями) из элементов множества Число всех строк такого рода равно Строк, в которых элемент встречается 3 раза, а входит 7 раз, будет Отсюда искомая вероятность

Пример 18:

Слово “карета”, составленное из букв-кубиков, рассыпано на отдельные буквы, которые затем сложены в коробке. Из коробки наугад извлекают буквы одну за другой. Какова вероятность получить при таком извлечении слово “ракета”?

Решение: 

Здесь нет схемы случайного выбора в прежнем понимании, так как буквы, сложенные в коробке, не все различны (три одинаковые буквы “а”). Представим себе, что одинаковые буквы (в данном случае индивидуализированы с помощью знаков 1, 2, 3 (превратились в Следовательно,

Пример 19:

(задача о выборке). Партия готовых изделий содержит ровно изделий – стандартных и бракованных Из партии наудачу извлекают изделий. Какова вероятность того, что в выборке будет стандартных изделий и бракованных (где

Решение: 

Выбор изделий из возможен равновероятными способами. Подсчитаем, в скольких случаях будет получаться выборка, содержащая стандартных и бракованных. Число различных групп, состоящих из стандартных изделий, равно Число различных групп, состоящих из бракованных изделий, равно По правилу произведения число различных выборок, содержащих стандартных изделий и бракованных, будет Следовательно, вероятность получить выборку из стандартных изделий и бракованных равна

❓ Что такое теория вероятностей?

Теория вероятностей использует случайные величины и распределения вероятностей для математической оценки неопределенных ситуаций. Понятие вероятности используется для присвоения числового описания вероятности наступления события. Вероятность можно определить как число благоприятных исходов, деленное на общее число возможных исходов события.

Определение теории вероятностей

Теория вероятностей – это область математики и статистики, которая занимается определением вероятностей, связанных со случайными событиями. Существует два основных подхода к изучению теории вероятностей: теоретический и экспериментальный. Теоретическая вероятность определяется на основе логических рассуждений без проведения экспериментов. В отличие от нее, экспериментальная вероятность определяется на основе исторических данных путем проведения повторных экспериментов.

Пример теории вероятностей

Предположим, нам необходимо определить вероятность выпадения числа 4 при бросании игральной кости. Число благоприятных исходов равно 1. Возможные исходы игральной кости – {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Из этого следует, что всего существует 6 исходов. Таким образом, вероятность выпадения 4 при бросании игральной кости, используя теорию вероятности, можно вычислить как 1 / 6 ≈ 0,167.

🎲 Основы теории вероятностей

Мы можем понять эту область математики с помощью нескольких основных терминов, напрямую связанных с теорией вероятностей.

Случайный эксперимент

Случайный эксперимент в теории вероятностей – это испытание, которое повторяется несколько раз для получения четко определенного набора возможных результатов. Подбрасывание монеты является примером случайного эксперимента.

Пространство выборки

Пространство выборки можно определить как множество всех возможных исходов, полученных в результате проведения случайного эксперимента. Например, пространство выборки при подбрасывании симметричной монеты (fair coin), стороны которой – это орел и решка.

Событие

Теория вероятностей определяет событие как набор исходов эксперимента, который образует подмножество пространства выборки.

Примеры событий:

1. Независимые – те, на которые не влияют другие события, являются независимыми.
2. Зависимые – те, на которые влияют другие события.
3. Взаимоисключающие – события, которые не могут произойти в одно и то же время.
4. Равновероятные – два или более события, которые имеют одинаковые шансы произойти.
5. Исчерпывающие – это события, которые равны выборочному пространству эксперимента.

Случайная величина

В теории вероятностей случайную переменную можно определить как величину, которая принимает значение при всех возможных исходах эксперимента.

Существует два типа случайных величин:

1. Дискретная случайная величина – принимает точные значения, такие как 0, 1, 2…. Описывается кумулятивной функцией распределения и функцией массы вероятности.
2. Непрерывная случайная величина – переменная, которая может принимать бесконечное число значений. Для определения характеристик этой переменной используются кумулятивная функция распределения и функция плотности вероятности.

Вероятность

Вероятность мы можем определить как численную вероятность наступления события. Вероятность того, что событие произойдет, всегда лежит между 0 и 1. Это связано с тем, что число желаемых исходов никогда не может превысить общее число исходов события. Теоретическая вероятность и эмпирическая вероятность используются в теории вероятностей для измерения шанса наступления события.

Условная вероятность

Ситуация, когда необходимо определить вероятность наступления события, притом что другое событие уже произошло.

Обозначается как P(A | B).

Если хочешь подтянуть свои знания по математике, загляни на наш курс «Математика для Data Science», на котором ты:

• Усвоишь специальную терминологию и сможешь читать статьи по Data Science без постоянных обращений к поисковику.
• Подготовишься к успешной сдачи вступительных экзаменов в Школу анализа данных Яндекс.
• Овладеешь математическим аппаратом, который необходим, чтобы стать специалистом в Data Science.

Ожидание

Ожидание случайной величины X можно определить как среднее значение результатов эксперимента, проводимого многократно. Ожидание обозначается как E[X]. Также известно как среднее значение случайной величины.

Дисперсия

Дисперсия – это мера, которая показывает, как распределение случайной величины изменяется относительно среднего значения. Дисперсия определяется как среднее квадратичное отклонение от среднего значения случайной величины. Обозначается как Var[X].

Функция распределения теории вероятностей

Распределение вероятностей или кумулятивная функция распределения – это функция, которая моделирует все возможные значения эксперимента, используя случайную переменную. Распределение Бернулли и биномиальное распределение – это примеры дискретных распределений вероятностей. Например, нормальное распределение представляет собой пример непрерывного распределения.

Массовая функция вероятности

Массовая функция вероятности определяется как вероятность того, что дискретная случайная величина будет в точности равна определенному значению.

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности – это вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает множество возможных значений.

Формулы теории вероятностей

В теории вероятностей существует множество формул, которые помогают рассчитать различные вероятности, связанные с событиями.

Наиболее важные формулы:

1. Теоретическая вероятность: Число благоприятных исходов / Число возможных исходов.
2. Эмпирическая вероятность: Число случаев, когда событие происходит / Общее число испытаний.
3. Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B), где A и B – события.
4. Правило комплементарности: P(A’) = 1 – P(A). P(A’) означает вероятность того, что событие не произойдет.
5. Независимые события: P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B).
6. Условная вероятность: P(A | B) = P(A∩B) / P(B).
7. Теорема Байеса: P(A | B) = P(B | A) ⋅ P(A) / P(B).
8. Массовая функция вероятности: f(x) = P(X = x).
9. Функция плотности вероятности: p(x) = p(x) = dF(x) / dx, где F(x) – кумулятивная функция распределения.
10. Ожидание непрерывной случайной величины: ∫xf(x)dx, где f(x) является МФВ (Массовой функцией вероятности).
11. Ожидание дискретной случайной величины: ∑xp(x), где p(x) – это ФПВ (Функцией плотности вероятности).
12. Дисперсия: Var(X) = E[X2] – (E[X])2.

Применение теории вероятностей

Теория вероятностей используется во многих областях и помогает оценить риски, которые связаны с теми или иными решениями. Некоторые из направлений, где применяют теорию вероятностей:

• В финансовой отрасли теория вероятностей используется для создания математических моделей фондового рынка с целью прогнозирования будущих тенденций. Это помогает инвесторам вкладывать средства в наименее рискованные активы, которые дают наилучший доход.

• В потребительской индустрии теория вероятностей используется для снижения вероятности неудачи при разработке продукта.

• Казино использует теорию вероятностей для разработки азартных игр с максимизацией своей прибыли.

🏋️ Практические задания

Задача 1: При бросании двух игральных костей, какова вероятность того, что выпадет комбинация, сумма которой будет равна 8?

Задача 2: Какова вероятность вытащить карту королеву из колоды?

Задача 3: Из 10 человек 3 купили карандаши, 5 купили тетради, а 2 купили и карандаши, и тетради. Если покупатель купил тетрадь, какова вероятность того, что он также купил карандаш?

В заключение

Подведем итоги:

• Теория вероятностей – это раздел математики, в котором рассматриваются вероятности случайных событий.
• Понятие вероятности объясняет возможность наступления того или иного события.
• Значение вероятности всегда лежит между 0 и 1.
• В теории вероятностей все возможные исходы случайного эксперимента составляют пространство выборки.
• Теория вероятностей использует такие важные понятия, как случайные величины и кумулятивные функции распределения для моделирования случайного события. Сюда же относится определение различных вероятностей, связанных с этим.

Если хочешь подтянуть свои знания по математике, загляни на наш курс «Математика для Data Science», который включает в себя:

• 47 видеолекций и 150 практических заданий.
• Консультации с преподавателями курса.

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

• Краткая теория
• Примеры решения задач
• Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

---

Ранее
непрерывная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Этот
способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно
также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью
распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной
функцией).

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины

 называют функцию

 – первую производную от функции распределения

:

Из этого определения следует, что
функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Заметим, что для описания
распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность
распределения неприменима.

Зная плотность распределения, можно
вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение,
принадлежащее заданному интервалу.

Вероятность того, что непрерывная
случайная величина

 примет
значение, принадлежащее интервалу

 равна
определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от

 до

:

Геометрически полученный результат
можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина
примет значение, принадлежащее интервалу

, равна площади криволинейной трапеции, ограниченной
осью

, кривой распределения

 и прямыми

 и

.

В частности, если

 – четная
функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то:

Зная плотность распределения

 можно найти
функцию распределения

 по формуле:

Свойства плотности распределения

Свойство 1.

Плотность
распределения – неотрицательная функция:

Свойство 2.

Несобственный
интеграл от плотности распределения в пределах от

 до

 равен единице:

Смежные темы решебника:

• Дискретная случайная величина
• Непрерывная случайная величина
• Интегральная функция распределения вероятностей

Примеры решения задач

---

Пример 1

Задана
плотность распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной
величины X. Требуется:

1)
определить коэффициент A;

2) найти
функцию распределения F(x);

3)
схематично построить графики F(x) и f(x);

4) найти
математическое ожидание и дисперсию X;

5) найти
вероятность того, что X примет значение из
интервала (α,β):

α=1;  β=1.7

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

1)
Постоянный параметр

 найдем из
свойства плотности вероятности:

В
нашем случае эта формула имеет вид:

Получаем:

2)
Функцию распределения

 найдем из
формулы:

Учитывая
свойства

,  сразу можем
отметить, что:

Остается
найти выражение для

, когда

 принадлежит
интервалу

.

Получаем:

3) Построим графики

 и

:

График плотности распределения

График функции распределения

4)
Математическое ожидание находим по формуле:

Для
нашего примера:

Дисперсию
можно найти по формуле:

5)
Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала

:

---

Пример 2

Плотность
распределения вероятности непрерывной случайной величины равна

, x∈(0,∞). Найти нормировочный множитель C,
математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).

Решение

Нормировочный множитель

 найдем из
свойства плотности вероятности:

В
нашем случае эта формула имеет вид:

Плотность
вероятности:

Математическое
ожидание находим по формуле:

Для
нашего примера:

Дисперсию
можно найти по формуле: 

---

Пример 3

Непрерывная
случайная величина

 имеет плотность распределения:

Найти
величину a, вероятность P(X<0) и математическое
ожидание X.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Постоянный
параметр

 найдем из
свойства плотности вероятности:

В
нашем случае эта формула имеет вид:

Плотность
вероятности имеет вид:

Вероятность:

Математическое
ожидание находим по формуле:

Для
нашего примера:

Задачи контрольных и самостоятельных работ

---

Задача 1

Плотность
распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:

Найти:

а)
параметр a;

б)
функцию распределения F(x);

в)
вероятность попадания случайной величины X в интервал (6.5;  11);

г)
математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X);

Построить
график функций f(x) и F(x).

---

Задача 2

Задана
функция распределения непрерывной случайной величины:

Найти и
построить график функции плотности распределения вероятностей.

---

Задача 3

Случайная
величина X задана функцией распределения F(x).
Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию
случайной величины. Построить график функции
F(x).

---

Задача 4

Задана
плотность вероятности f(x) или функции распределения
непрерывной случайной величины X. Найти a, M[X], D[X], P(α<x<β).

α=1,β=2

---

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 5

Непрерывная
случайная величина

 задана плотностью распределения вероятностей.

Требуется
найти:

– функцию
распределения вероятностей;

–
математическое ожидание;

–
дисперсию;

– среднее
квадратическое отклонение;

– вероятность
того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не
более, чем на одну четвертую длины всего интервала возможных значений этой
величины;

–
построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей.

---

Задача 6

Случайная
величина X равномерно распределена на интервале (2;7).
Составить f(x),F(x), построить графики. Найти
M(X),D(X).

---

Задача 7

Случайная
величина X~N(a,σ)

a=25;
σ=4; α=13; β=30; δ=0.1.

Требуется:

–
составить функцию плотности распределения и построить ее график;

– найти
вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет
значение, принадлежащее интервалу (α; β);

– найти
вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной
величины от ее математического ожидания не превысит δ.

---

Задача 8

Плотность
вероятности непрерывной случайной величины ξ задана следующим выражением:

Найти
постоянную C, функцию распределения Fξ (x), математическое
ожидание и дисперсию Dξ случайной величины ξ.

---

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 9

Случайная
величина X задана функцией распределения вероятностей F(x).

Требуется:

1. Найти
функцию плотности распределения f(x).

2. Найти M(X).

3. Найти
вероятность P(α<X<β)

4.
Построить графики f(x) и F(x).

α=2, β=4.5

---

Задача 10

Найти
функцию плотности нормально распределенной случайной величины X и
постройте ее график, зная M(X) и D(X).

M(X)=-1; D(X)=8

---

Задача 11

Случайная
величина X задана интегральной F(x) или дифференциальной f(x)
функцией. Требуется:

а) найти
параметр C;

б) при
заданной интегральной функции F(x) найти дифференциальную функцию f(x), а при
заданной дифференциальной функции f(x) найти интегральную функцию F(x);

в)
построить графики функций F(x) и f(x);

г) найти
математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и
среднее квадратическое отклонение σ(x);

д)
вычислить вероятность попадания в интервал P(a≤x≤b)

е)
определить, квантилем какого порядка является точка xp;

ж)
вычислить квантиль порядка p

a=π/4; b=π/3; xp=π/2; p=0.75

 

• Краткая теория
• Примеры решения задач
• Задачи контрольных и самостоятельных работ